專題六：曲線運動

參考答案

題型1：運動的合成與分解

1．運動特點

曲線運動的速度：曲線運動中速度的方向是在曲線上某點的切線方向，是時刻改變的，具有加速度，因此曲線運動一定是變速運動，但變速運動不一定是曲線運動．

2．物體做曲線運動的條件

(1)從動力學角度看，如果物體所受合外力方向跟物體的速度方向不在同一條直線上，物體就做曲線運動．

(2)從運動學角度看，就是加速度方向與速度方向不在同一條直線上．經常研究的曲線運動有平拋運動和勻速圓周運動．

3．運動的合成與分解

已知分運動求合運動稱為運動的合成；已知合運動求分運動稱為運動的分解．兩者互為逆運算．在對物體的實際運動進行分析時，可以根據實際效果分解，也可以采用正交分解．

4．遵循的法則

運動的合成與分解是指描述運動的各物理量，即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們都是矢量，故遵循平行四邊形定則．

1．物體做曲線運動的受力特點

物體所受合外力與速度方向不在一條直線上，且指向軌跡的凹側．

2．不同運動類型的分類分析

軌跡

分　類

條　件

直線運動

勻速直線運動

F合＝0

勻變速直線運動

F合為恒力不等于零且與速度同線

非勻變速直線運動

F合為變力且與速度同線

曲線運動

勻變速曲線運動

F合≠0為恒力與速度不同線

非勻變速曲線運動

F合≠0為變力與速度不同線

3.合運動與分運動的關系

（1）等時性：合運動與分運動經歷的時間相等，即合運動與分運動同時開始，同時結束.（2）獨立性：物體在任何一個方向的運動，都按其本身規律進行，不會因為其他方向的運動是否存在而受影響.（如河水流速變化不影響渡河時間）

（3）等效性：各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有完全相同的效果.1.一小船在河中xOy平面內運動的軌跡如圖所示，下列判斷正確的是()

①．若小船在x方向始終勻速，則y方向先加速后減速

②．若小船在x方向始終勻速，則y方向先減速后加速

③．若小船在y方向始終勻速，則x方向先減速后加速

④．若小船在y方向始終勻速，則x方向先加速后減速

A．①③正確

B．②④正確

C．①④正確

D．②③正確

解析：小船運動軌跡上各點的切線方向為小船的合速度方向，若小船在x方向始終勻速，由合速度方向的變化可知，小船在y方向的速度先減小再增加．故①錯誤，②正確；若小船在y方向始終勻速，由合速度方向的變化可知，小船在x方向的速度先增加后減小，故③錯誤，③正確，選B．

答案：B

2.一快艇要從岸邊某一不確定位置處到達河中離岸邊100

m遠的一浮標處，已知快艇在靜水中的速度vx圖象和流水的速度vy圖象如圖甲、乙所示，則()

A．快艇的運動軌跡為直線

B．快艇的運動軌跡為曲線

C．能找到某一位置使快艇最快到達浮標處的時間為20

s

D．快艇最快到達浮標處經過的位移為100

m

解析：艇沿河岸方向的勻速運動與垂直于河岸的勻加速運動的合運動是類平拋

性質的曲線運動．最快到達浮標處的方式是使垂直于河岸的速度vx保持圖甲所

示的加速度a＝0.5

m/s2的勻加速運動，則

at2＝x，代入x＝100

m有t＝20

s．但實際位移為S＝＞100

m，D項錯．

答案：BC

1．此類題應用矢量合成與分解的方法，因為速度是矢量，在合成和分解時，采

用矢量合成與分解的平行四邊形定則．將艇的運動分解為沿河岸的勻速運動

和垂直于河岸的勻加速運動．

2．研究曲線運動的思維過程

(欲知)曲線運動規律

(只需研究)兩分運動規律

(得知)線運動規律．

3.如圖所示,一塊橡皮用細線懸掛于O點,用鉛筆靠著線的左側水平向右勻速移動,運動中始終保持懸線豎直,則橡皮運動的速度（）

A.大小和方向均不變

B.大小不變,方向改變

C.大小改變,方向不變

D.大小和方向均改變

【解析】

設細線的長度為L,則經過時間t,橡皮在豎直方向上移動的距離為這說明橡皮的運動為勻速運動;又橡皮在水平方向上隨鉛筆做勻速運動,因此橡皮的合速度的大小和方向都不變,選項A正確.【答案】

A

4.5.如圖所示,在河岸上用細繩拉船,為了使船勻速靠岸,拉繩的速度必須是（）

A.加速拉

B.減速拉

C.勻速拉

D.先加速拉后減速拉

【解析】

設拉繩的速度為v,繩與水平方向的夾角為船的速度為將船的速度分解為沿繩方向和垂直繩方向的分速度,有cos船勻速靠岸過程不變增大,則v減小.【答案】

B

相互牽連的兩物體的速度往往不相等，一般需根據速度分解確定兩物體的速度關系．在分解速度時，要注意兩點：①只有物體的實際運動才是合運動，如本題A向右運動，所以A向右的速度是合速度，也就是說供分解的合運動一定是物體的實際運動；②兩物體沿繩或沿桿方向的速度(或分速度)相等.5.甲、乙兩船在同一條河流中同時開始渡河，河寬為H，河水流速為v0，劃船速度均為v，出發時兩船相距為H，甲、乙兩船船頭均與河岸成60°角，如圖4－1－19所示，已知乙船恰好能垂直到達對岸A點，則下列判斷正確的是()

A．甲、乙兩船到達對岸的時間不同

B．v＝v0

C．兩船可能在未到達對岸前相遇

D．甲船也在A點靠岸

解析：渡河時間均為，乙能垂直于河岸渡河，對乙船，由vcos

60°＝v0，可得v＝2v0，甲船在該時間內沿

水流方向的位移為(vcos

60°＋v0)＝H剛好到A點．綜上所述，A、B、C錯誤，D正確．

答案：

D

6.小船從A碼頭出發,沿垂直于河岸的方向渡河,若小河寬為d,小船渡河速度恒定,河水中各點水流速大小與各點到較近河岸邊的距離成正比是各點到近岸的距離/2,k為常量),要使小船能夠到達距A正對岸為S的B碼頭.則下列說法中正確的是（）

A.小船渡河的速度

B.小船渡河的速度

C.小船渡河的時間為

D.小船渡河的時間為

【解析】

/2時,垂直河岸方向勻速運動水流方向可知水流方向勻加速運動,加速度a=/2時,水流方向勻減速運動,當船運動到河中間時,即d///2,選項A正確。

【答案】

A

7.如圖所示,一個長直輕桿兩端分別固定一個小球A和B,兩球的質量均為m,兩球半徑忽略不計,桿AB的長度為l,現將桿AB豎直靠放在豎直墻上,輕輕振動小球B,使小球B在水平地面上由靜止向右運動,求當A球沿墻下滑距離為時,A、B兩球的速度v和.(不計一切摩擦)

【解析】

A、B兩球的速度分解情況如圖所示，由題意知30,由運動的合成與分解得

sincos

①(3分)

又A、B組成的系統機械能守恒，所以.②(3分)

由①②解得.(4分)

【答案】

題型2：平拋運動

1．定義：水平方向拋出的物體只在重力作用下的運動．

2．性質：平拋運動是加速度為g的勻加速曲線運動，其運動軌跡是拋物線．

3．平拋物體運動條件：(1)v0≠0，沿水平方向，(2)只受重力作用．

4．研究方法

運動的合成與分解．把平拋運動分解為水平方向的勻速運動和豎直方向的自由落體運動．

5．運動規律

以拋出點為坐標原點，水平初速度v0方向為x軸正方向，豎直向下的方向為y軸

正方向，建立如圖所示的坐標系，則平拋運動規律如下表．

水平方向

vx＝v0　x＝v0t.豎直方向

vy＝gt

y＝

.合運動

合速度：vt＝

合位移：s＝

合速度與水平方向的夾角tan

α＝

合位移與水平方向的夾角tan

θ＝

1．平拋運動的主要特點有哪些？

(1)平拋運動是勻變速曲線運動，故相等的時間內速度的變化量相等．由

Δv＝gt，速度的變化必沿豎直方向，如圖4－1－3所示．

(2)物體由一定高度做平拋運動，其運動時間由下落高度決定，與初速度無關，由公式y＝

gt2，可得t＝

；落地點距拋出點的水平距離x＝v0t，由水平速度和下落時間共同決定．

(3)水平方向和豎直方向的兩個分運動同時存在，互不影響，具有獨立性．

2．平拋運動的兩個重要推論

推論Ⅰ：做平拋(或類平拋)運動的物體在任一時刻任一位置處，設其末速度

方向與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為θ，則tan

α＝2tan

θ.證明：如圖所示，由平拋運動規律得：，所以tan

α＝2tan

θ.推論Ⅱ：做平拋(或類平拋)運動的物體，任意時刻的瞬時速度方向的反向延長線一定通過此時水平位移的中點．

證明：如圖4－1－5所示，設平拋物體的初速度為v0，從原點O到A點的時間為t，A點坐標為(x，y)，B點坐標為(x′，0)，則x＝v0t，y＝，v⊥＝gt，又tan

α＝，解得x′＝

.即末狀態速度方向的反向延長線與x軸的交點B必為此時水平位移的中點．

(1)平拋運動是勻變速運動，但其合速度大小v＝

并不隨時間均勻增加．

(2)速度矢量和位移矢量與水平方向的夾角關系為tan

α＝2tan

θ，不能誤認為

α＝2θ.8.如圖所示，從傾角為θ的足夠長的斜面頂端P以速度v0拋出一個小球，落在斜面上某處Q點，小球落在斜面上的速度與斜面的夾角α，若把初速度變為2v0，則下列說法錯誤的是()

A．空中的運動時間變為原來的2倍

B．夾角α將變大

C．PQ間距一定大于原來間距的3倍

D．夾角α與初速度大小無關

解析：由tan

θ＝

得t＝，故A正確；

＝，所以若v0加倍，PQ間距將為原來的4倍，C正確；設小球落到斜面上時與水平方向

夾角為β，則tan

β＝

＝2tan

θ，可見β與v0無關，因此α＝β－θ也與初速

度無關，B錯誤，D正確．

答案：B

類平拋運動的求解方法

(1)常規分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的勻加速直線運動，兩分運動彼此獨立，互不影響，且與合運動具有等時性．

(2)特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當的直角坐標系，將加速度分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向列方程求解．

9.如圖所示，三個小球從同一高處的O點分別以水平初速度v1、v2、v3拋出，落在水平面上的位置分別是A、B、C，O′是O在水平面上的射影點，且O

′A∶AB∶BC＝1∶3∶5.若不計空氣阻力，則下列說法正確關系是()

A．v1∶v2∶v3＝1∶3∶5

B．三個小球下落的時間相同

C．三個小球落地的速度相同

D．三個小球落地的動能相同

解析：本題考查平拋運動的規律．根據t＝

可得，做平拋運動的物體在空中

運動的時間是由高度決定的，B項正確；根據平拋運動的速度公式

由于O

′A∶AB∶BC＝1∶3∶5，所以O

′A∶O

′B∶O

′C＝1∶4∶9，故v1∶v2∶v3＝1∶4∶9，A項錯誤；落地

時的速度v＝，由于三個小球高度相同，所以落地時它們的豎直分速度vy是

相等的，但是由于vx不相等，所以落地時的速度v不相等，C項錯誤；由于三小球

落地時的速度不相等，所以它們落地時動能也不相等，D項錯誤．

答案：B

10.一演員表演飛刀絕技，由O點先后拋出完全相同的三把飛刀，分別垂直打在豎直木板上M、N、P三點．假設不考慮飛刀的轉動，并可將其看做質點，已知O、M、N、P四點距離水平地面高度分別為h、4h、3h、2h，以下說法正確的是()

A．三把刀在擊中板時動能相同

B．三次飛行時間之比為1∶∶

C．三次初速度的豎直分量之比為3∶2∶1

D．設三次拋出飛刀的初速度與水平方向夾角分別為θ1、θ2、θ3，則有θ1>θ2>θ3

解析：　初速度為零的勻變速直線運動推論：(1)靜止起通過連續相等位移所用時間之比t1∶t2∶t3∶…＝1∶(－1)∶(－)∶…；(2)前h、前2h、前3h…所用的時間之比為1∶∶∶….對末速度為零的勻變速直線運動，可以相應的運用這些規律(從后往前用)．三把刀在擊中板時速度不等，動能不相同，選項A錯誤；飛刀擊中M點所用的時間長一些，選項B錯誤；三次初速度豎直分量之比等于∶∶1，選項C錯誤．只有選項D正確．

答案：　D

11.如圖所示，在斜面頂端a處以速度va水平拋出一小球，經過時間ta恰好落在斜面底端P處；今在P點正上方與a等高的b處以速度vb水平拋出另一小球，經過時間tb恰好落在斜面的中點處．若不計空氣阻力，下列關系式正確的是()

①．va＝vb

②．va＝vb

③．ta＝tb

④．ta＝tb

A．①③正確

B．②④正確

C．①④正確

D．②③正確

解析：做平拋運動的物體運動時間由豎直方向的高度決定t＝，a物體下落的高度是b的2倍，有ta＝tb，④正確；水平方向的距離由高度和初速度決定S＝v0，由題意得a的水平位移是b的2倍，可知va＝vb，②正確．

12．如圖1所示，斜面上有a、b、c、d四個點，ab＝bc＝cd.從a點正上方的O點以速度v水平拋出一個小球，它落在斜面上的b點．若小球從O點以速度2v水平拋出，不計空氣阻力，則它落在斜面上的()

A．b與c之間某一點

B．c點

C．c與d之間某一點

D．d點

答案：A

13.如右圖所示，在斜面上某處A以初速度v水平拋出一個石塊，不計空氣阻力，在確保石塊能落到斜面上的前提下，則()

A．只增大v，會使石塊在空中飛行的時間變短

B．只增大v，會使石塊的落地點更接近A點

C．只將A點沿斜面上移，石塊飛行時間變長

D．只將A點沿斜面上移，石塊飛行時間不變

解析：　由平拋運動規律x＝vt，h＝gt2，tan

θ＝，可得t＝.顯然石塊飛行時間只與平拋初速度v、斜面傾角θ有關，與A點位置無關，選項C錯誤，D正確．只增大v會使石塊在空中飛行的時間變長，選項A錯誤．石塊的落地點距A點的距離L＝＝，顯然，只增大v會使落地點更遠離A點，選項B錯誤．

答案：　D

14.在同一水平直線上的兩位置分別沿水平方向拋出兩小球A和B,其運動軌跡如圖所示,不計空氣阻力.要使兩球在空中相遇,則必須（）

A.先拋出A球

B.先拋出B球

C.同時拋出兩球

D.A球初速度小于B球初速度

【解析】

由題圖知,兩球在空中相遇時,下落高度相同,A球的水平位移較大,因而下落時間相同,A球初速度大于B球初速度,選項C正確.

【答案】

C

15.如圖所示,從某高度水平拋出一小球,經過時間t到達地面時,速度與水平方向的夾角為θ,不計空氣阻力,重力加速度為g.下列說法正確的是…（）



A.小球水平拋出時的初速度大小為

B.小球在t時間內的位移方向與水平方向的夾角為

C.若小球初速度增大,則平拋運動的時間變長

D.若小球初速度增大,則θ減小

【解析】

小球在豎直方向上做自由落體運動,落地時速度的豎直分量,水平分量(初速度),可見,增大,減小,選項A錯D對;設位移方向與水平方向的夾角為α,則,選項C錯誤;根據可知,平拋運動時間與高度有關,與初速度無關,選項C錯誤.

【答案】

D

16.如圖所示,相對的左、右兩個斜面的傾角分別為53°和37°,在斜面頂端把兩個小球以同樣大小的初速度分別向左右兩邊水平拋出,小球均落在斜面上,若不計空氣阻力,則兩小球在空中的飛行時間之比為（）

A.1∶1

B.4∶3

C.16∶9

D.9∶16

【解析】

設斜面傾角為θ,小球落在斜面上時水平位移和豎直位移之間有，得,代入題中數據得.

【答案】

C

17.如圖是簡化后的跳臺滑雪的雪道示意圖.整個雪道由傾斜的助滑雪道AB和著陸雪道CD以及水平的起跳平臺BC組成,AB與BC圓滑連接.運動員從助滑雪道AB上由靜止開始下滑,到達C點后水平飛出,以后落到F點.E是運動軌跡上的某一點,在該點運動員的速度方向與軌道CD平行.設運動員從C到E與從E到F的運動時間分別為和,則它們的大小關系為（）

A.一定大于

B.一定等于

C.一定小于

D.條件不足,無法確定

【解析】

因E點的速度方向與軌道CD平行,所以該點離CD距離最遠,整個軌跡關于過E點垂直于CD的直線對稱,有=.

【答案】

B

18.在廣州亞運會上一位運動員進行射擊比賽時,子彈水平射出后擊中目標.當子彈在飛行過程中速度平行于射出點與目標的連線時,大小為v,不考慮空氣阻力,已知射出點與目標的連線與水平面的夾角為θ,則在整個飛行過程中,子彈（）

A.初速度



B.飛行時間

C.飛行的水平距離

D.飛行的豎直距離

【解析】

如圖所示,將速度v沿水平和豎直方向分解得,初速度,選項錯誤;

此時的豎直分速度,飛行時間,

飛行的水平距離,

飛行的豎直距離,選項B、D錯C對.

【答案】

C

19.如圖所示，一小球從平臺上水平拋出，恰好落在臨近平臺的一傾角為α＝53°的光滑斜面頂端，并剛好沿光滑斜面下滑，已知斜面頂端與平臺的高度差h＝0.8

m，g＝10

m/s2，sin

53°＝0.8，cos

53°＝0.6，則

(1)小球水平拋出的初速度v0是多大？

(2)斜面頂端與平臺邊緣的水平距離s是多少？

(3)若斜面頂端高H＝20.8

m，則小球離開平臺后經多長時間t到達斜面底端？

解析：(1)由題意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，說明此時小球速度方向與斜面平行，否則小球會彈起，所以vy＝v0tan

53°，v＝2gh，則vy＝4

m/s，v0＝3

m/s.(2)由vy＝gt1得t1＝0.4

s，x＝v0t1＝3×0.4

m＝1.2

m.(3)小球沿斜面做勻加速直線運動的加速度a＝gsin

53°，初速度v＝5

m/s.則

＝vt2＋at，解得t2＝2

s．(或t2＝－

s不合題意舍去)

所以t＝t1＋t2＝2.4

s.答案：(1)3

m/s(2)1.2

m(3)2.4

s

20．如圖所示，在距地面80

m高的水平面上做勻加速直線運動的飛機上每隔1

s依次放下M、N、P三物體，拋出點a、b與b、c間距分別為45

m和55

m，分別落在水平地面上的A、B、C處．求：

(1)飛機飛行的加速度；

(2)剛放下N物體時飛機的速度大小；

(3)N、P兩物體落地點B、C間的距離．

解析：(1)飛機在水平方向上，由a經b到c做勻加速直線運動，由Δx＝a0T2得，a0＝＝＝10

m/s2.(2)因位置b對應a到c過程的中間時刻，故有

vb＝＝50

m/s.(3)設物體落地時間為t，由h＝gt2得：t＝

＝4

s

BC間的距離為：BC＝bc＋vct－vbt

又vc－vb＝a0T

得：BC＝bc＋a0Tt＝95

m.答案：(1)10

m/s2(2)50

m/s(3)95

m

21.如圖所示,小球由靜止開始沿光滑軌道滑下,接著水平拋出.小球拋出后落在斜面上.已知斜面的傾角為θ,斜面底端在拋出點正下方,斜面頂端與拋出點在同一水平面上,斜面長度為L,斜面上M、N兩點將斜面長度等分為3段,小球可以看做質點,空氣阻力不計.為使小球能落在M點以上,小球開始時釋放的位置相對于拋出點的高度h應滿足什么條件？

【解析】

小球沿軌道滑下,由動能定理得:

(3分)

小球離開桌面后做平拋運動:(1分)

(1分)

得:(1分)

為使小球落在M點以上,應滿足:當時

2分)

故要使小球落在M點以上,則h滿足的條件:

.(2分)

【答案】