第一篇：中考50天沖刺 東莞龍文教育全日制輔導提分快

中考50天沖刺 東莞龍文教育全日制輔導提分快

如何沖刺中考、高考：①、考前沖刺：經驗豐富的1對1輔導教師專業講評，幫助學員檢查復習效果，重點突破并提高提分能力。②、應試實戰：針對歷年真題和模考試卷講評兩部分，強化考點內容和訓練解題技巧。③、理論提高：設置考點精講和基礎串講兩部分，系統梳理和名師陣容，能有效掌握期末考點。④、基礎固本：從勾勒框架入手串起學科考點，幫助學員建立完整的1對1學科體系。

龍文1對1“全日制”輔導：龍文教育1對1“全日制”輔導模式可以讓孩子得到更加連貫的鞏固知識，更適合孩子快速穩步的提高學習成績。整個教學方法是在連續教學的過程中讓孩子一步步的學會一種思維方法，讓他們走出盲區。當然，這不光是為了教而教，同時還要為孩子建立一種獨立思考和自我學習能力，進一步通過其教學和孩子自身體會相結合，讓孩子學習到更多的知識。

龍文“全日制”成果：截止到目前為止，龍文教育已有1000余家分校區，遍及全國53個大中城市。其中分布在東莞已有20所龍文校區，已成功招收“全日制”學員900余人，其中350余人參加中考總復習輔導，其余的全部是備戰高考的同學。據統計：考取清華、北大、復旦、南開的學員共計30多名。所有學員皆有所成。

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第二篇：中考沖刺階段如何有效提分

中考沖刺階段如何有效提分？

現在離中考已不到一個月時間，中考的腳步越來越近，考生也進入到緊張的沖刺階段。面對即將到來的大考，不少中考生顯得挺緊張。中考畢竟是一場競爭，在大多數考生眼中，中考是人生的一個轉折點。如何才能在中考中取得更好的成績，本報邀請永康部分名師為您支招。●語文：

念好“三字經”有效提分

指導教師：

胡德方（永康中學）

在不到一個月的時間里，每位初三畢業生在語文復習中，可以通過念好“三字經”,進行有效提分。

一、“實”。這是針對語文知識積累與運用而言。首先是夯實基礎，回歸教材。將精讀課文中的重點字詞句再梳理一遍，尤其是容易錯或曾經錯的內容，如“慰藉”的“藉”要念“jiè”，“即使”不能寫成“既使”等。其次是考點的再落實，如古詩文名句默寫題有6分，只考必背的80句，既要句句會背，更要字字寫對，有意識地注意不能寫成同音字或形近字，如“醉翁之意不在酒，在乎山水之間也”中的“在乎”誤寫成“在呼”。

二、“活”。這是針對閱讀題而言。目前，現代文閱讀題不在于練得多，而要練得“活”。要在把握文體特征的基礎上，準確理解文意，根據不同問題靈活回答。同時，注意歸納一下答題技巧，以靈活應對。如文學作品整體感知題，可從“什么人，什么事，什么結果”這幾個角度去考慮，結合文本抓住重點順暢答題。課外文言文閱讀，更要聯系課內所學，注重遷移。

三、“穩”。這是針對作文而言。作文歷來是語文考試中的“重頭戲”，有人說“得作文者得天下”，畢竟作文占了45分，輕視不得。要重點訓練記敘文，在選材、構思、立意、行文諸方面先求“穩”，再求穩中有新。可以整理一下近期練習或考試中自己寫的作文，從中挑選幾篇，進行認真修改與潤色，總結出一點自己的應試作文之“道”，做到心中有素材，思考有方向，以充分展示自己的作文個性，寫出佳作來。

●社會：

胸有成竹，沉著應付

指導教師：

胡麗紅（永康三中）

中考就在眼前，如何在有限的時間里提高學習效率？

首先，要立足基礎，回歸教材。要把各課、各節、各框的知識進行梳理，使之系統化、網絡化，同時要打破教材的章節和各年級知識的界限，進行橫向歸納，縱向貫穿。以不變應萬變，切忌丟掉教材而陷入資料與題海中。

其次，要精做練習，培養能力。在以前的考試中，學生往往自我感覺不錯，但成績都不理想，這跟學生審題的偏差、思維的缺陷及表述的不規范有關。所以要進行聯系訓練，明白

審題要審設問、審分數、審材料；答題要多層次、多角度，寧多勿少；答題時要注意有針對性、規范性，并注意字跡清晰、要點清楚、層次分明、行文規范。

再次，要關心時政、查漏補缺。歷年中考，大量試題都以時政為重點，社會熱點為背景材料，是為“材料取于時政，考點源于教材”。所以考生應適當關注一下老師準備好的時政資料。另外，將最后階段的試卷裝訂成冊，抽出時間看錯題，從查漏補缺中提高解題能力。最后，要注意心理調節，提高應試素質。考生在考試前要注意勞逸結合，保證充足的睡眠，實現學習與休息的良性循環。強化信心，優化情緒，常給自己積極暗示，以平常心對待中考，提前進入中考狀態，充分發揮自己的水平。

●數學：

回歸基礎以守帶攻

指導教師：

胡銀規（永康中學）

目前的數學復習以題海戰術為主，通過不斷的模擬訓練增強解題能力。胡銀規認為，“以守帶攻”是當下階段數學復習的主要策略。

“學會調整做題節奏，訓練考試意境。在復習中期，瘋狂做題是可行的，但在復習后期，要適當減量，練習考試的感覺和情景，把平時中考化，中考才能平時化。特別是到了6月初，學生更應該側重做一些簡單的題目，反芻基礎知識。”胡銀規說。

到了中考時，學生同樣該有一個“守基礎、攻難題”的思路。“去年的一道中考題，我花了1個多小時才解答完整，考生只有兩個小時的時間，解答出來基本不可能。”胡銀規以此告誡學生對難題要懂得取舍。“一般來說，一道題目如果五六分鐘后還沒任何思路，那就要果斷放棄，繼續以下題目或者回頭檢查已完成的題目。把握好基礎題后再去攻克難題，或許就會有靈感了。”

●英語：

靈活運用景式答題

指導教師：

胡燕兒（實驗學校）

現在這個階段，考生不要再糾結于單詞的背誦。

作文是比較容易提分的一部分，考生可以將之前寫的一些作文整理出來，再次熟悉每一體裁的寫作模式。對于平時掌握的材料和詞匯，要學會靈活運用。可以適當地再記憶一些句式、好詞好句和名言警句等。文章有亮點，比較容易得高分。

閱讀理解和完形填空方面，可以運用情景式的答題方式，即設身處地于故事中，將文字轉化為電視畫面，隨主人公的情緒慢慢發展劇情，知道主人公的心理、表情等，對于正確答題十分有效。

另外，要保證書寫清潔，字體清晰，這會給改卷老師留下好印象。

●科學：

思想上放松

行為上抓緊

指導教師：

施振生（永康三中）

“不要懶不要慌，哪個懶人走得遠，哪個慌人會變強。昨天學習懶中過，不懂裝懂好心傷；昨天學習慌中過，看錯算錯痛斷腸。中考已是屈指數，莫笑臨陣在磨槍；讀書可以今天起，且韌且靜志未央。”

為了鼓勵學生復習的勁頭，永康市第三中學的科學老師施振生為學生們編了這樣一首打油詩。對于緊張的初三備考學生，施振生給大家提個醒，在思想上要放松，但在行為上要抓緊。對于不懂的問題就要能疑敢問。

對于科學這門課，也不要只是一味地去做題。一個問題從10個角度分析所取得的功效，要遠大于同一類問題重復10次。

中考不僅是考學生還是在考老師。施振生認為，作為老師在平時復習過程中，激發學生學習興趣取得的功效，遠大于認真備課認真改作業所取得的功效；認真備課、認真改作業所取得的功效，遠大于加班加點，題海戰術所取得的功效。

第三篇：中考沖刺提分七大高效復習方法

中考沖刺提分七大高效復習方法中考是初中生進一步提升的一次大的“關卡”。對于初三學子而言，中考時間臨近，掌握一些高效的復習方法是十分必要的。

一、復習時要做到“五到”。即復習時要做到眼到、手到、口到、耳到、心到。尤其以心到最為重要，通過全身心的投入，多器官感知信息，記憶的效率就高。

二、要養成固定時間內復習固定內容的習慣。有關資料表明：一個人確實存在著在某一固定的時間內，做某一類事情可獲得最佳效果的生理、心理規律，這就是人體生物鐘現象。

三、要在理解的基礎上復習。理解是記憶的前提和基礎。要復習好功課，必須先得把知識消化了才行，這就要求學生必須做到：上課高度集中自己的注意力，把課聽懂，當天的疑難問題當天解決，決不拖到第二天。

四、要及時復習。知識剛學過之后，遺忘特別快，經過較長時間以后，雖然記憶保留的量減少了，但遺忘的速度卻放慢了。即遺忘的規律是：先快后慢，先多后少。因此，當天課堂上學過的新知識，除了該堂課上學過的新知識，當天課后還要及時再復習。

六、復習時要做好四件事：(1)嘗試回憶，就是下課后獨立地把老師上課講的內容回想一遍，；(2)看教科書，重點看嘗試回憶時想不起來、記不清楚、印象模糊的部分，高度概括課文內容的語言以及有利于記憶、帶提示性的語句；(3)整理筆記，先把上課時沒有記下來的部分補上，再把記得不準確的地方更正過來，以保證筆記的完整性和準確性；(4)看參考書，把精彩的內容、精彩的題目及時摘到課堂筆記上，這樣就會促使知識掌握向深度和廣度發展，使學習逐漸形成良性循環。

七、要適時做好系統性復習。

第四篇：高考語文輔導培訓沖刺提分：識記之后還干什么

高考語文輔導培訓沖刺提分：識記之后還干什么 2014年高考在即，以下是高考語文復習過程中擺脫語文低分狀態的技巧，希望考生認真閱讀，取得理想高考成績!

一、觀念問題：語文不是背一背

許多家長和學生在實際的學習過程中，都有一種根深蒂固的偏見：那就是語文差一點沒關系，因為語文不需要多費腦子，臨考試的時候，背一背，記一記，也就行了。當然，大家之所以這樣講，與語文課堂的某些現狀有關，有的老師就是把語文當成知識課來上的。考試就是知識搬家，將記在筆記本上的內容原封不動地搬到了試卷上。語文考試就變成了關于記憶力的檢測。記憶力當然是人很重要的一項能力，一個人失去了應有的記憶力，那會完全變成白癡了。但是現代人才，絕非僅僅有記憶力就行的。思維力、想象力、反思力、推斷力、創造力，這些能力的要求對一個現代人來說是更為重要的能力。語文課與這些能力原本相關，但為大家所忽略。將語文的學習視為只要背一背，記一記，這是造成語文低分的重要的主觀原因。

二、方式問題：從不關注或一曝十寒

這里我們從語文學習的方式上找一找語文低分的原因。一部分同學低分的原因是除了在課堂上有一搭沒一搭地聽幾句之外，課下從未關注過語文，基本沒有課外閱讀，只寫老師布置的作文。這一類同學還有一個最為顯著的特征，那就是他們從來不朗讀，讀書只要一出聲，必定是磕磕絆絆，念什么文章，都是一個勁，沒有輕重緩急，也無抑揚頓挫。這一招當然也是家長朋友檢測孩子語文程度的一個簡便易行的有效方式。您不妨讓孩子讀一段報紙，讀一篇文章，如果孩子是這樣的話，那就證明他的語文學習已經出現了問題。還有的同學，倒是關注了語文學習，不過是一曝十寒式的學習。猛干一晚，十天不看。其實，語文的學習最是不能這樣。它需要的是少量多次，循序漸進，邊讀邊悟。

三、內容問題：識記之后還干什么

語文低分還有一個原因就是在同學備考復習的時候，將語文豐富的內涵與思考內容經常簡化為字音、字形和文學文化常識、背誦的課文這幾項內容。假如我們新近學了賀知章的一首古詩《回鄉偶書》：“少小離家老大回，鄉音無改鬢毛衰。兒童相見不相識，笑問客從何處來。”一般同學復習備考的內容是：復習字形“鬢毛”的“鬢”，寫幾遍，保證會寫;然后再掌握字音“衰”讀作“cuī”;再后，記住這首詩的作者是唐代的詩人賀知章，號四明狂客，還曾寫過的一首詩叫《詠柳》。培訓搜px.wangxiao.so培訓課程網提示您這個復習夠充分了吧。都這么復習了，那還能干什么呢，剩下的就是去考場發揮了。其實這個同學語文復習得的確不錯，但他把最應該復習的內容卻丟掉了。那就是面對“兒童相見不相識，笑問

客從何處來”的那群天真爛漫的孩子，白發蒼蒼的87歲致仕歸鄉的賀知章此時的心境到底是怎樣的，他有何樣的人生感慨?你可以將賀知章此時心潮起伏的心情用你的筆描繪記錄下來嗎?體悟人生，感動生命，增加人生豐厚的體驗，將復雜的內心世界用自己的筆能夠準確細膩的記錄下來，這些才是語文學習的應有之義。

四、高考語文成績提升方法

1.轉化觀念，從今天做起。改變對語文不重視的觀念，改變語文學習方法。堅持每天學習語文40分鐘。

2.提前預習，認真面對課文，將容易寫錯和不理解的詞語首先劃出來。能查字典弄清楚的，就自己查字典。查完后，仍然難解其意的，準備好，第二天問老師。一邊讀，一邊想，將自己的想法可以用鉛筆寫在書頁空白的地方。大膽地去寫，不要害怕自己的幼稚與錯誤。

3.帶著這樣的問題，第二天上課的時候，與老師碰撞。看一看，自己哪些地方與老師英雄所見略同，哪些地方還有差距，哪些地方自己理解錯了，想一想為什么會有這樣的錯誤。

4.課下整理基礎知識后，能夠堅持寫聽課感悟，感悟中可以寫：在課堂上，自己領悟了哪些，在哪些地方收到了啟發，轉變了什么，老師與其他同學的精彩在哪里?

5.帶著自己這些感受，與授課老師或四中網校的老師坦誠交流。認真聽取老師肯定了你什么，對哪些內容指出了問題。

6.針對自己的不足，在四中網校的優質資源中找到相關的講座與問題研討。一邊聽，一邊寫下自己的感受，依據老師的建議，快速而積極地修正自己以往之不足。

7.增加閱讀量，帶著從老師那里領悟而來的方法，運用到自我閱讀中。

8.期末考試早下手，自我先做模擬考。依據自己的成績與不足，再行改變。

第五篇：「中考數學」證明題：真題專項突破沖刺提分60題（含答案解析）

【中考數學】證明題：精選真題專項打破沖刺提分60題

（含答案解析）

一、解

答

題（共60小題）

1．（2015?遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延伸線于點F．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）證明四邊形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．

2．（2015?珠海）已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．

（1）如圖1，連接BD，AF，則BD　　　　　　AF（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF．

3．（2015?鎮江）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延伸OA，OC到點E，F，使AE=CF，依次連接B，F，D，E各點．

（1）求證：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，則當∠EBA=　　　　　　°時，四邊形BFDE是正方形．

4．（2015?漳州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG∥CD，交AE于點G連接DG．

（1）求證：四邊形DEFG為菱形；

（2）若CD=8，CF=4，求的值．

5．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延伸線于點C，E為的中點，連接DE，EB．

（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；

（2）已知圖中暗影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．

6．（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E點，使DE=AB．

（1）求證：∠ABC=∠EDC；

（2）求證：△ABC≌△EDC．

7．（2015?營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若PD=，AC=8，求圖中暗影部分的面積；

（3）在（2）的條件下，若點E是的中點，連接CE，求CE的長．

8．（2015?徐州）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AD的兩側，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．

（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；

（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE=

時，四邊形BFCE是菱形．

9．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延伸與AD的延伸線相交于點F．

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

10．（2015?湘西州）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）求證：四邊形BFDE為矩形．

11．（2015?咸寧）已知關于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數根；

（2）m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根．

12．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．

（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，連結AD，求⊙O的半徑和AD的長．

13．（2015?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．

（1）求證：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．

14．（2015?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．

（1）求證：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．

15．（2015?銅仁市）已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延伸交BC的延伸線于點E，EF=FD．

求證：AD=CE．

16．（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等．

17．（2015?鐵嶺）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E、F分別在邊CD、AB上．

（1）若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長．

18．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結AC，與DE交于點P．求證：

（1）AC?PD=AP?BC；

（2）PE=PD．

19．（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

20．（2015?隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO．

（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線；

（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長．

21．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延伸線于點E．

（1）求證：BD+2DE=BM．

（2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=　　　　　　．

22．（2015?蘇州）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧．設兩弧交于點D，與AB、AC的延伸線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結果保留π）．

23．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延伸線上，且OE=OB，連接DE．

（1）求證：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．

24．（2015?廈門）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2．

求證：四邊形ABCD是矩形．

25．（2015?慶陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF．

（1）當AB=2時，求△GEC的面積；

（2）求證：AE=EF．

26．（2015?青海）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E．求證：四邊形ADCE是菱形．

27．（2015?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接OC，如果OC恰好弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．

28．（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點．

（1）求證：PN與⊙O相切；

（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長．

29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延伸線交于點M，∠COB=∠APB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．

30．（2015?盤錦）如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延伸線交于點F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑；

（2）求證：直線BF是⊙O的切線；

（3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延伸線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結論．

31．（2015?內江）如圖，將?ABCD的邊AB延伸至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC于點O．

（1）求證：△ABD≌△BEC；

（2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．

32．（2015?南通）如圖，在?ABCD中，點E，F分別在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求證：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．

33．（2015?南平）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延伸線上的一點，CD與半圓O相切于點D，連接AD，BD．

（1）求證：∠BAD=∠BDC；

（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（到0.01）

34．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延伸線與AD的延伸線交于點E，且DC=DE．

（1）求證：∠A=∠AEB；

（2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．

35．（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

36．（2015?南昌）（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為

A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的地位，拼成四邊形AFF′D．

①求證：四邊形AFF′D是菱形．

②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長．

37．（2015?梅州）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①以A為圓心，AB長為半徑畫弧；

②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；

③連接BD，與AC交于點E，連接AD，CD．

（1）求證：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長．

38．（2015?龍巖）如圖，E，F分別是矩形ABCD的邊AD，AB上的點，若EF=EC，且EF⊥EC．

（1）求證：AE=DC；

（2）已知DC=，求BE的長．

39．（2015?柳州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，連接AE，BE．

（1）求證：AB=AC；

（2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH．

40．（2015?遼陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延伸線于點F．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；

（2）若AC=10，cosA=，求CG的長．

41．（2015?連云港）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E．

（1）求證；∠EDB=∠EBD；

（2）判斷AF與DB能否平行，并闡明理由．

42．（2015?萊蕪）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F．

（1）判斷四邊形ACGD的外形，并闡明理由．

（2）求證：BE=CD，BE⊥CD．

43．（2015?酒泉）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延伸線與BC的延伸線交于點F，連結CE，DF．

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①當AE=　　　　　　cm時，四邊形CEDF是矩形；

②當AE=　　　　　　cm時，四邊形CEDF是菱形．

（直接寫出答案，不需求闡明理由）

44．（2015?荊門）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延伸線上一點，且∠ODB=∠AEC．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）求證：CE2=EH?EA；

（3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長．

45．（2015?吉林）如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S扇形=，由弧長l=，得S扇形==??R=lR．經過觀察，我們發現S扇形=lR類似于S三角形=×底×高．

類比扇形，我們探求扇環（如圖②，兩個同心圓圍成的圓環被扇形截得的一部分交作扇環）的面積公式及其運用．

（1）設扇環的面積為S扇環，的長為l1，的長為l2，線段AD的長為h（即兩個同心圓半徑R與r的差）．類比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代數式表示S扇環，并證明；

（2）用一段長為40m的籬笆圍成一個如圖②所示的扇環形花園，線段AD的長h為多少時，花園的面積，面積是多少？

46．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉到△OC′D′．

（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ能否成立？請闡明理由．

47．（2015?黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延伸線于點P．

（1）求證：∠BCP=∠BAN

（2）求證：=．

48．（2015?湖北）如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D．

（1）求證：BE=CF；

（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．

49．（2015?葫蘆島）如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延伸線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？

50．（2015?呼倫貝爾）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結論．

51．（2015?呼倫貝爾）如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延伸線交直線l于點C．

（1）求證：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半徑．

52．（2015?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足為D，OE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的長（結果保留根號）．

53．（2015?賀州）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在E處，BE與AD相交于點F．若DE=4，BD=8．

（1）求證：AF=EF；

（2）求證：BF平分∠ABD．

54．（2015?河南）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延伸BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD、PO．

（1）求證：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，則四邊形AOPD的面積為　　　　　　；

②連接OD，當∠PBA的度數為　　　　　　時，四邊形BPDO是菱形．

55．（2015?桂林）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點．

（1）求證：四邊形EBFD為平行四邊形；

（2）對角線AC分別與DE、BF交于點M、N，求證：△ABN≌△CDM．

56．（2015?貴港）如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延伸線相交于點M，連接AC，CM．

（1）若AB=4，求的長；（結果保留π）

（2）求證：四邊形ABMC是菱形．

57．（2015?甘南州）如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H．

（1）求證：CF=CH；

（2）如圖2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結論．

58．（2015?東莞）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延伸EF交邊BC于點G，連接AG．

（1）求證：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的長．

59．（2015?大慶）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，P為BD上一點，∠APB=∠BAD．

（1）證明：AB=CD；

（2）證明：DP?BD=AD?BC；

（2）證明：BD2=AB2+AD?BC．

60．（2015?赤峰）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延伸線交于點D，DE⊥PO交PO延伸線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求證：PB是的切線．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑．

2015年全國中考數學證明題60例

參考答案與試題解析

一、解

答

題（共60小題）

1．（2015?遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延伸線于點F．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）證明四邊形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．

考點：

菱形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據AAS證△AFE≌△DBE；

（2）利用①中全等三角形的對應邊相等得到AF=BD．已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出結論；

（3）由直角三角形ABC與菱形有相反的高，根據等積變形求出這個高，代入菱形面積公式可求出結論．

解答：

（1）證明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．

∵DB=DC，∴AF=CD．

∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，∴AD=DC=BC，∴四邊形ADCF是菱形；

（3）解：設菱形DC邊上的高為h，∴RT△ABC斜邊BC邊上的高也為h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面積為：DC?h=×=10．

點評：

本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的運用，菱形的面積計算，次要考查先生的推理能力．

2．（2015?珠海）已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．

（1）如圖1，連接BD，AF，則BD　=　AF（填“＞”、“＜”或“=”）；

（2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF．

考點：

全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；平移的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據等腰三角形的性質，可得∠ABC與∠ACB的關系，根據平移的性質，可得AC與DF的關系，根據全等三角形的判定與性質，可得答案；

（2）根據類似三角形的判定與性質，可得GM與HN的關系，BM與FN的關系，根據全等三角形的判定與性質，可得答案．

解答：

（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．

由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．

在△ABF和△DFB中，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案為：BD=AF；

（2）證明：如圖：

MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．

在△BMH和△FNG中，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了平移的性質，類似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質．

3．（2015?鎮江）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延伸OA，OC到點E，F，使AE=CF，依次連接B，F，D，E各點．

（1）求證：△BAE≌△BCF；

（2）若∠ABC=50°，則當∠EBA=　20　°時，四邊形BFDE是正方形．

考點：

菱形的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由題意易證∠BAE=∠BCF，又由于BA=BC，AE=CF，于是可證△BAE≌△BCF；

（2）由已知可得四邊形BFDE對角線互相垂直平分，只需∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．

解答：

（1）證明：∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE與△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；

（2）∵四邊形BFDE對角線互相垂直平分，∴只需∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．

故答案為：20．

點評：

本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質以及正方形的判定．本題關鍵是根據SAS證明△BAE≌△BCF．

4．（2015?漳州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG∥CD，交AE于點G連接DG．

（1）求證：四邊形DEFG為菱形；

（2）若CD=8，CF=4，求的值．

考點：

翻折變換（折疊成績）；勾股定理；菱形的判定與性質；矩形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據折疊的性質，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易證FG=FE，故由四邊相等證明四邊形DEFG為菱形；

（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，從而求出的值．

解答：

（1）證明：由折疊的性質可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四邊形DEFG為菱形；

（2）解：設DE=x，根據折疊的性質，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．

點評：

本題次要考查了折疊的性質、菱形的判定以及勾股定理，熟知折疊的性質和菱形的判定方法是解答此題的關鍵．

5．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延伸線于點C，E為的中點，連接DE，EB．

（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；

（2）已知圖中暗影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．

考點：

切線的性質；平行四邊形的判定；扇形面積的計算．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由∠BOD=60°E為的中點，得到，于是得到DE∥BC，根據CD是⊙O的切線，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可證得四邊形BCDE是平行四邊形；

（2）連接OE，由（1）知，得到∠BOE=120°，根據扇形的面積公式列方程即可得到結論．

解答：

解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E為的中點，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形；

（2）連接OE，由（1）知，∴∠BOE=120°，∵暗影部分面積為6π，∴=6π，∴r=6．

點評：

本題考查了切線的性質，平行四邊形的判定，扇形的面積公式，垂徑定理，證明是解題的關鍵．

6．（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E點，使DE=AB．

（1）求證：∠ABC=∠EDC；

（2）求證：△ABC≌△EDC．

考點：

全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據四邊形的內角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根據鄰補角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，從而求出∠B=∠CDE；

（2）根據“邊角邊”證明即可．

解答：

（1）證明：在四邊形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）連接AC，由（1）證得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS）．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，根據四邊形的內角和定理以及鄰補角的定義，利用同角的補角相等求出夾角相等是證明三角形全等的關鍵，也是本題的難點．

7．（2015?營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若PD=，AC=8，求圖中暗影部分的面積；

（3）在（2）的條件下，若點E是的中點，連接CE，求CE的長．

考點：

切線的判定；扇形面積的計算．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，證明結論；

（2）證明△ADP∽△PDA，得到成比例線段求出BC的長，根據S陰=S⊙O﹣S△ABC求出答案；

（3）連接AE、BE，作BM⊥CE于M，分別求出CM和EM的長，求和得到答案．

解答：

（1）證明：如圖1，連接OC，∵PA切⊙O于點A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切線；

（2）解：由（1）得PA，PC都為圓的切線，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD?DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由題意知OD為△的中位線，∴BC=6，OD=6，AB=10．

∴S陰=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；

（3）解：如圖2，連接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵點E是的中點，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB?cos45°=5，∴EM==4，則CE=CM+EM=7．

點評：

本題考查的是切線的判定和性質、扇形面積的計算和類似三角形的判定和性質，靈活運用切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑和切線的判定是解題的關鍵．

8．（2015?徐州）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AD的兩側，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．

（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；

（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE=　4

時，四邊形BFCE是菱形．

考點：

平行四邊形的判定；菱形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易證得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四邊形BFCE是平行四邊形；

（2）當四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，根據菱形的性質即可得到結果．

解答：

（1）證明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF

∴EC∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形；

（2）當四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴當BE=4

時，四邊形BFCE是菱形，故答案為：4．

點評：

此題考查了類似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，留意數形思想的運用，留意掌握輔助線的作法．

9．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延伸與AD的延伸線相交于點F．

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

考點：

平行四邊形的判定與性質；等腰三角形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據同旁內角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）分①BC=BD時，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；②BC=CD時，過點C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再根據矩形的對邊相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計算即可得解；③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾．

解答：

（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC與△FED中，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是邊CD的中點，∴CE=DE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）①BC=BD=3時，由勾股定理得，AB===2，所以，四邊形BDFC的面積=3×2=6；

②BC=CD=3時，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四邊形BDFC的面積=3×=3；

③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時不成立；

綜上所述，四邊形BDFC的面積是6或3．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，（1）確定出全等三角形是解題的關鍵，（2）難點在于分情況討論．

10．（2015?湘西州）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）求證：四邊形BFDE為矩形．

考點：

矩形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由DE與AB垂直，BF與CD垂直，得到一對直角相等，再由ABCD為平行四邊形得到AD=BC，對角相等，利用AAS即可的值；

（2）由平行四邊形的對邊平行得到DC與AB平行，得到∠CDE為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形即可的值．

解答：

證明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS）；

（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，則四邊形BFDE為矩形．

點評：

此題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質，以及平行四邊形的性質，純熟掌握矩形的判定方法是解本題的關鍵．

11．（2015?咸寧）已知關于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數根；

（2）m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根．

考點：

根的判別式；解一元二次方程-公式法．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）求出方程根的判別式，利用配方法進行變形，根據平方的非負性證明即可；

（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根，根據題意求出m的值．

解答：

（1）證明：△=（m+2）2﹣8m

=m2﹣4m+4

=（m﹣2）2，∵不論m為何值時，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程總有實數根；

（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有兩個不相等的正整數根，∴m=1或2，m=2不合題意，∴m=1．

點評：

本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的運用，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：△＞0?方程有兩個不相等的實數根；△=0?方程有兩個相等的實數根；△＜0?方程沒有實數根是解題的關鍵．

12．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．

（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，連結AD，求⊙O的半徑和AD的長．

考點：

切線的性質；菱形的判定與性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OD、OE、ED．先證明△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形；

（2）連接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半徑，然后證明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，進而求出AD．

解答：

（1）證明：如圖1，連接OD、OE、ED．

∵BC與⊙O相切于一點D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等邊三角形，∴AE=AO=0D，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵OA=OD，∴四邊形AODE是菱形．

（2）解：設⊙O的半徑為r．

∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．

∴，即10r=6（10﹣r）．

解得r=，∴⊙O的半徑為．

如圖2，連接OD、DF．

∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直徑，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC?AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．

點評：

本題考查了切線的性質、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、菱形的判定和性質以及類似三角形的判定和性質，是一個綜合題，難度中等．純熟掌握相關圖形的性質及判定是解本題的關鍵．

13．（2015?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．

（1）求證：HF=AP；

（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．

考點：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）先根據EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根據∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出結論；

（2）由勾股定理求出BP的長，根據EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP，再根據銳角三角函數的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根據EQ=EF﹣QF即可得出結論．

解答：

（1）證明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．

∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．

在Rt△APB與Rt△HFE中，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；

（2）解：由勾股定理得，BP===4．

∵EF是BP的垂直平分線，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ?tan∠FBQ=BQ?tan∠ABP=2×=．

由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．

點評：

本題考查的是正方形的性質，熟知正方形的性質及全等三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．

14．（2015?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．

（1）求證：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．

考點：

類似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；圓周角定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連結AE，如圖，根據圓周角定理，由AC為⊙O的直徑得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性質即可得到BE=CE；

（2）連結DE，如圖，證明△BED∽△BAC，然后利用類似比可計算出AB的長，從而得到AC的長．

解答：

（1）證明：連結AE，如圖，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；

（2）連結DE，如圖，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．

點評：

本題考查了類似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形類似時，應留意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋覓類似三角形的普通方法是經過作平行線構造類似三角形．也考查了角平分線的性質和圓周角定理．

15．（2015?銅仁市）已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延伸交BC的延伸線于點E，EF=FD．

求證：AD=CE．

考點：

全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

作DG∥BC交AC于G，先證明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再證明△ADG是等邊三角形，得出AD=GD，即可得出結論．

解答：

證明：作DG∥BC交AC于G，如圖所示：

則∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等邊三角形，∴AD=GD，∴AD=CE．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質；純熟掌握等邊三角形的判定與性質，并能進行推理論證是處理成績的關鍵．

16．（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等．

考點：

全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據同角的余角相等可得到∠3=∠5，條件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可證得結論．

解答：

解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．

點評：

本題次要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

17．（2015?鐵嶺）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E、F分別在邊CD、AB上．

（1）若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長．

考點：

矩形的性質；平行四邊形的判定；菱形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）首先根據矩形的性質可得AB平行且等于CD，然后根據DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可證明四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）根據四邊形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后設DE=x，表示出AE，CE的長度，根據相等求出x的值，繼而可求得菱形的邊長及周長．

解答：

解；（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）∵四邊形AFCE是菱形，∴AE=CE，設DE=x，則AE=，CE=8﹣x，則=8﹣x，解得：x=，則菱形的邊長為：8﹣=，周長為：4×=25，故菱形AFCE的周長為25．

點評：

本題考查了矩形的性質和菱形的性質，解答本題的關鍵是則矩形對邊平行且相等的性質以及菱形四條邊相等的性質．

18．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結AC，與DE交于點P．求證：

（1）AC?PD=AP?BC；

（2）PE=PD．

考點：

切線的性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）首先根據AB是⊙O的直徑，BC是切線，可得AB⊥BC，再根據DE⊥AB，判斷出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判斷出=，即可判斷出ED=2EP，據此判斷出PE=PD即可．

（2）首先根據△AEP∽△ABC，判斷出；然后根據PE=PD，可得，據此判斷出AC?PD=AP?BC即可．

解答：

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴=…①，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴===…②，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．

（2）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，∵PE=PD，∴，∴AC?PD=AP?BC．

點評：

（1）此題次要考查了切線的性質和運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確：①圓的切線垂直于切點的半徑．②圓心且垂直于切線的直線必切點．③切點且垂直于切線的直線必圓心．

（2）此題還考查了類似三角形的判定和性質的運用，要純熟掌握．

19．（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

考點：

全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）延伸DE交AB于點G，連接AD．構建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），則由該全等三角形的對應邊相等證得結論；

（2）設AC與FD交于點O．利用（1）中全等三角形的對應角相等，等角的補角相等以及三角形內角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．

解答：

證明：（1）延伸DE交AB于點G，連接AD．

∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴ED∥BC，ED=BC．

∵點E是AC的中點，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．

∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．

又BF=BC，∴BF=DE．

∴在△AED與△DFB中，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；

（2）設AC與FD交于點O．

∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．

∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．

點評：

本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．

20．（2015?隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO．

（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線；

（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長．

考點：

切線的判定與性質；弧長的計算；作圖—基本作圖．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）按照作一個角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，根據角平分線的性質證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線；

（2）首先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長公式計算即可．

解答：

解：（1）作圖如右圖，連接OA，過O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切線；

（2）∵PA、PC是⊙O的切線，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等邊三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°=

∴OA=

∴==．

點評：

本題考查了尺規作圖、切線的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、銳角三角函數以及弧長的計算，求出圓心角和半徑長是處理成績的關鍵．

21．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延伸線于點E．

（1）求證：BD+2DE=BM．

（2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=　　．

考點：

類似三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）過點M作MP⊥BC交BD的延伸線于點P，首先證明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到結論；

（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的長．

解答：

（1）證明：過點M作MP⊥BC交BD的延伸線于點P，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形

∴BP=BM

∴BD+2DE=BM．

（2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴

設正方形邊長為a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2

∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=．

故答案為：．

點評：

本題次要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、類似三角形的判定與性質以及勾股定理的綜合運用，運用三角形類似求出正方形的邊長是處理第2小題的關鍵．

22．（2015?蘇州）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧．設兩弧交于點D，與AB、AC的延伸線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結果保留π）．

考點：

全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；弧長的計算．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據題意得出BD=CD=BC，由SSS證明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可；

（2）由等腰三角形的性質得出∠ABC=∠ACB=65°，由等邊三角形的性質得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定義求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根據弧長公式求出、的長度，即可得出結果．

解答：

（1）證明：根據題意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；

（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC為等邊三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的長度=的長度==；

∴、的長度之和為+=．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、弧長的計算；純熟掌握全等三角形和等邊三角形的判定與性質，并能進行推理計算是處理成績的關鍵．

23．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延伸線上，且OE=OB，連接DE．

（1）求證：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．

考點：

類似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由平行四邊形的性質得到BO=BD，由等量代換推出OE=BD，根據平行四邊形的判定即可得到結論；

（2）根據等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結論．

解答：

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD

∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD?CE=CD?DE．

點評：

本題考查了類似三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，熟記定理是解題的關鍵．

24．（2015?廈門）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2．

求證：四邊形ABCD是矩形．

考點：

矩形的判定；函數圖象上點的坐標特征．版權一切

專題：

證明題．

分析：

首先利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定該四邊形為平行四邊形，然后根據△ABE的面積得到整個四邊形的面積和AD的長，根據平行四邊形的面積計算方法得當DA⊥AB即可判定矩形．

解答：

證明：作EF⊥AB于點F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B兩點縱坐標相反，∴AB∥CD∥x軸，∴m﹣2=4，m=6，將B（6，n）代入直線y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4，△AEB的面積是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四邊形ABCD是矩形．

點評：

本題考查了矩形的判定，解題的關鍵是了解有一個角是直角的平行四邊形是矩形，難度不大．

25．（2015?慶陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF．

（1）當AB=2時，求△GEC的面積；

（2）求證：AE=EF．

考點：

全等三角形的判定與性質；正方形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）首先根據△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，從而求得GC=即可求得S△GEC；

（2）取AB的中點H，連接EH，根據已知及正方形的性質利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF；

解答：

解：（1）∵AB=BC=2，點E為BC的中點，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=，∴S△GEC=?EC?CG=×1×=；

（2）證明：取AB的中點H，連接EH；

∵ABCD是正方形，AE⊥EF；

∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°

∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF；

點評：

此題考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質，解（2）題的關鍵是取AB的中點H，得出AH=EC，再根據全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．

26．（2015?青海）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E．求證：四邊形ADCE是菱形．

考點：

菱形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

首先根據平行四邊形的判定方法，判斷出四邊形ADCE是平行四邊形；然后判斷出AE=CE，即可判斷出四邊形ADCE是菱形，據此解答即可．

解答：

證明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形．

點評：

此題次要考查了菱形的判定和性質的運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質；②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．

27．（2015?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）連接OC，如果OC恰好弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．

考點：

切線的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由AB為⊙O的直徑，可得∠D=90°，繼而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，則可證得BC是⊙O的切線；

（2）根據點O是AB的中點，點E時BD的中點可知OE是△ABD的中位線，故AD∥OE，則∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出結論．

解答：

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切線；

（2）∵點O是AB的中點，點E時BD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3．

點評：

本題考查的是切線的判定，熟知半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解答此題的關鍵．

28．（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點．

（1）求證：PN與⊙O相切；

（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長．

考點：

切線的判定與性質；弧長的計算．版權一切

專題：

計算題；證明題．

分析：

（1）連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，利用AAS得到三角形PEO與三角形PFO全等，利用全等三角形對應邊相等得到=OE，即可確定出PN與圓O相切；

（2）在直角三角形POE中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OE的長，∠EOB度數，利用弧長公式即可求出劣弧的長．

解答：

（1）證明：連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，∵PM與圓O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，則PN與圓O相切；

（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，則的長l==．

點評：

此題考查了切線的判定與性質，弧長公式，純熟掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．

29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延伸線交于點M，∠COB=∠APB．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．

考點：

切線的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據切線的性質，可得∠MAP=90°，根據直角三角形的性質，可得∠P+M=90°，根據余角的性質，可得∠M+∠MOB=90°，根據直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根據切線的判定，可得答案；

（2）根據類似三角形的判定與性質，可得==，根據解方程組，可得答案．

解答：

（1）證明：∵PA切⊙O于點A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°．

∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB直徑的外端點，∴PB是⊙O的切線；

（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴==，=

①，=

②

聯立①②得，解得，當OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2．

點評：

本題考查了切線的判定與性質，（1）利用了切線的判定與性質，直角三角形的判定與性質，余角的性質；（2）利用了類似三角形的判定與性質，解方程組．

30．（2015?盤錦）如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延伸線交于點F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑；

（2）求證：直線BF是⊙O的切線；

（3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延伸線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結論．

考點：

圓的綜合題．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據垂徑定理求得PC，連接OC，根據勾股定理求得即可；

（2）求得△PBC∽△BFA，根據類似三角形對應角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可證得結論；

（3）經過證得AE=BF，AE∥BF，從而證得四邊形AEBF是平行四邊形．

解答：

（1）解：CD⊥AB，∴PC=PD=CD=，連接OC，設⊙O的半徑為r，則PO=PB﹣r=4﹣r，在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=．

（2）證明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直線BF是⊙O的切線；

（3）四邊形AEBF是平行四邊形；

理由：解：如圖2所示：∵CD⊥AB，垂足為P，∴當點P與點O重合時，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O的切線，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位線，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．

∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位線，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四邊形AEBF是平行四邊形．

點評：

本題考查了切線的判定，勾股定理的運用，三角形類似的判定和性質，三角形的中位線的性質，平行四邊形的判定等，純熟掌握性質定理是解題的關鍵．

31．（2015?內江）如圖，將?ABCD的邊AB延伸至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC于點O．

（1）求證：△ABD≌△BEC；

（2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．

考點：

矩形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據平行四邊形的判定與性質得到四邊形BECD為平行四邊形，然后由SSS推出兩三角形全等即可；

（2）欲證明四邊形BECD是矩形，只需推知BC=ED．

解答：

證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，則BE∥CD．

又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD=EC．

∴在△ABD與△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SSS）；

（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD=OE，OC=OB．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．

又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四邊形BECD為矩形．

點評：

本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，平行線的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質等知識點的綜合運用，難度較大．

32．（2015?南通）如圖，在?ABCD中，點E，F分別在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求證：△AED≌△CFB；

（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．

考點：

平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到一對直角相等，利用等式的性質得到一對角相等，利用ASA即可得證；

（2）過D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EB=2DH，易得四邊形EBFD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到EB=DF，等量代換即可得證．

解答：

證明：（1）∵平行四邊形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB（ASA）；

（2）作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四邊形EBFD為平行四邊形，∴FD=EB，∴DA=DF．

點評：

此題考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及含30度直角三角形的性質，純熟掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．

33．（2015?南平）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延伸線上的一點，CD與半圓O相切于點D，連接AD，BD．

（1）求證：∠BAD=∠BDC；

（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（到0.01）

考點：

切線的性質；解直角三角形．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OD，利用切線的性質和直徑的性質轉化為角的關系進行證明即可；

（2）根據三角函數進行計算即可．

解答：

證明：（1）連接OD，如圖，∵CD與半圓O相切于點D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；

（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半徑為．

點評：

此題考查切線的性質，關鍵是根據切線的性質和直徑的性質轉化為角的關系進行分析．

34．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延伸線與AD的延伸線交于點E，且DC=DE．

（1）求證：∠A=∠AEB；

（2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．

考點：

圓內接四邊形的性質；等邊三角形的判定與性質；圓周角定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據圓內接四邊形的性質可得∠A+∠BCD=180°，根據鄰補角互補可得∠DCE+∠BCD=180°，進而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE=∠AEB，進而可得∠A=∠AEB；

（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進而可得∠AEB=60°，再根據∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進而可得△ABE是等邊三角形．

解答：

證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；

（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分線，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等邊三角形．

點評：

此題次要考查了等邊三角形的判定和性質，以及圓內接四邊形的性質，關鍵是掌握圓內接四邊形對角互補．

35．（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

考點：

全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；

（2）由全等三角形的性質得AF=BC，由等腰三角形的性質“三線合一”得BC=2CD，等量代換得出結論．

解答：

證明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B

在△AEF與△CEB中，∴△AEF≌△CEB（AAS）；

（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．

點評：

本題次要考查了全等三角形性質與判定，等腰三角形的性質，運用等腰三角形的性質是解答此題的關鍵．

36．（2015?南昌）（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為　C

A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的地位，拼成四邊形AFF′D．

①求證：四邊形AFF′D是菱形．

②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長．

考點：

圖形的剪拼；平行四邊形的性質；菱形的判定與性質；矩形的判定；平移的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據矩形的判定，可得答案；

（2）①根據菱形的判定，可得答案；

②根據勾股定理，可得答案．

解答：

解：（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為矩形，故選：C；

（2）①證明：∵紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，∴AE=3．

如圖2：，∵△AEF，將它平移至△DE′F′，∴AF∥DF′，AF=DF′，∴四邊形AFF′D是平行四邊形．

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF===5，∴AF=AD=5，∴四邊形AFF′D是菱形；

②連接AF′，DF，如圖3：

在Rt△DE′F中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF===，在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′===3．

點評：

本題考查了圖形的剪拼，利用了矩形的判定，菱形的判定，勾股定理．

37．（2015?梅州）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①以A為圓心，AB長為半徑畫弧；

②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；

③連接BD，與AC交于點E，連接AD，CD．

（1）求證：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長．

考點：

全等三角形的判定與性質；作圖—復雜作圖．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用SSS定理證得結論；

（2）設BE=x，利用角的三角函數易得AE的長，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的長．

解答：

（1）證明：在△ABC與△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）；

（2）解：設BE=x，∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=tan60°?x=x，∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=45°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CE=BE=x，∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2．

點評：

本題次要考查了全等三角形的判定及性質，角的三角函數，利用方程思想，綜合運用全等三角形的性質和判定定理是解答此題的關鍵．

38．（2015?龍巖）如圖，E，F分別是矩形ABCD的邊AD，AB上的點，若EF=EC，且EF⊥EC．

（1）求證：AE=DC；

（2）已知DC=，求BE的長．

考點：

矩形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據矩形的性質和已知條件可證明△AEF≌△DCE，可證得AE=DC；

（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的長．

解答：

（1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=DC；

（2）解：由（1）得AE=DC，∴AE=DC=，在矩形ABCD中，AB=CD=，在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，∴BE=2．

點評：

本題次要考查矩形的性質和全等三角形的判定和性質，在（1）中證得三角形全等是解題的關鍵，在（2）中留意勾股定理的運用．

39．（2015?柳州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，連接AE，BE．

（1）求證：AB=AC；

（2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH．

考點：

切線的性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據弦切角定理和圓周角定理證明∠ABC=∠ACB，得到答案；

（2）作AF⊥CD于F，證明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根據△ABH≌△ACF，得到答案．

解答：

證明：（1）∵AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；

（2）作AF⊥CD于F，∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH．

點評：

本題考查的是切線的性質和平行四邊形的性質以及全等三角形的判定和性質，運用性質證明相關的三角形全等是解題的關鍵，留意圓周角定理和圓內接四邊形的性質的運用．

40．（2015?遼陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延伸線于點F．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；

（2）若AC=10，cosA=，求CG的長．

考點：

切線的判定；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）首先判斷出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根據DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判斷出直線FG是⊙O的切線．

（2）首先根據類似三角形判定的方法，判斷出△ODF∽△AGF，再根據cosA=，可得cos∠DOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少．

解答：

（1）證明：如圖1，連接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠ODG=∠DGC，∵DG⊥AC，∴∠DGC=90°，∴∠ODG=90°，∴OD⊥FG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線FG是⊙O的切線．

（2）解：如圖2，∵AB=AC=10，AB是⊙O的直徑，∴OA=OD=10÷2=5，由（1），可得

OD⊥FG，OD∥AC，∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，在△ODF和△AGF中，∴△ODF∽△AGF，∴，∵cosA=，∴cos∠DOF=，∴=，∴AF=AO+OF=5，∴，解得AG=7，∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，即CG的長是3．

點評：

（1）此題次要考查了切線的判定和性質的運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確切線的判定定理：半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

（2）此題還考查了三角形類似的判定和性質的運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形類似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形類似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形類似．

41．（2015?連云港）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E．

（1）求證；∠EDB=∠EBD；

（2）判斷AF與DB能否平行，并闡明理由．

考點：

翻折變換（折疊成績）；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由折疊和平行線的性質易證∠EDB=∠EBD；

（2）AF∥DB；首先證明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根據三角形內角和與等式性質可證明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD．

解答：

解：（1）由折疊可知：∠CDB=∠EDB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠CDB=∠EBD，∴∠EDB=∠EBD；

（2）AF∥DB；

∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，由折疊可知：DC=DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB，∴DF=AB，∴AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°，同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°，∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA，∴AF∥DB．

點評：

本題次要考查了折疊變換、平行四邊形的性質、等腰三角形的性質的綜合運用，運用三角形內角和定理和等式性質得出內錯角相等是處理成績的關鍵．

42．（2015?萊蕪）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F．

（1）判斷四邊形ACGD的外形，并闡明理由．

（2）求證：BE=CD，BE⊥CD．

考點：

全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；平行四邊形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用等腰直角三角形的性質易得BD=2BC，由于G為BD的中點，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四邊形ACGD為平行四邊形；

（2）利用全等三角形的判定證得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性質得BE=CD；首先證得四邊形ABCE為平行四邊形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出結論．

解答：

（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均為等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G為BD的中點，∴BG=BD=BC，∴△CBG為等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45°

∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四邊形ACGD為平行四邊形；

（2）證明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC與△BAE中，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴CE=AB=AD，在△BCE與△CAD中，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．

點評：

本題次要考查了等腰直角三角形的性質，平行四邊形和全等三角形的判定及性質定理，綜合運用各種定理是解答此題的關鍵．

43．（2015?酒泉）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延伸線與BC的延伸線交于點F，連結CE，DF．

（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①當AE=　3.5　cm時，四邊形CEDF是矩形；

②當AE=　2　cm時，四邊形CEDF是菱形．

（直接寫出答案，不需求闡明理由）

考點：

平行四邊形的判定與性質；菱形的判定；矩形的判定．版權一切

專題：

證明題；動點型．

分析：

（1）證△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根據平行四邊形的判定推出即可；

（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根據矩形的判定推出即可；

②求出△CDE是等邊三角形，推出CE=DE，根據菱形的判定推出即可．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CF∥ED，∴∠FCG=∠EDG，∵G是CD的中點，∴CG=DG，在△FCG和△EDG中，∴△FCG≌△EDG（ASA）

∴FG=EG，∵CG=DG，∴四邊形CEDF是平行四邊形；

（2）①解：當AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形，理由是：過A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED=∠AMB=90°，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是矩形，故答案為：3.5；

②當AE=2時，四邊形CEDF是菱形，理由是：∵AD=5，AE=2，∴DE=3，∵CD=3，∠CDE=60°，∴△CDE是等邊三角形，∴CE=DE，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是菱形，故答案為：2．

點評：

本題考查了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，矩形的判定，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的運用，留意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．

44．（2015?荊門）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延伸線上一點，且∠ODB=∠AEC．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）求證：CE2=EH?EA；

（3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長．

考點：

圓的綜合題．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線；

（2）連接AC，由垂徑定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEH∽△AEC，得出對應邊成比例，即可得出結論；

（3）連接BE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，由三角函數求出BE，再根據勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的結論求出EH，然后根據勾股定理求出BH即可．

解答：

（1）證明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切線；

（2）證明：連接AC，如圖1所示：

∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH?EA；

（3）解：連接BE，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半徑為5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB?sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH?EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．

點評：

本題是圓的綜合標題，考查了切線的判定、圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關系定理、勾股定理、三角函數、類似三角形的判定與性質等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需求經過作輔助線證明三角形類似和運用三角函數、勾股定理才能得出結果．

45．（2015?吉林）如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S扇形=，由弧長l=，得S扇形==??R=lR．經過觀察，我們發現S扇形=lR類似于S三角形=×底×高．

類比扇形，我們探求扇環（如圖②，兩個同心圓圍成的圓環被扇形截得的一部分交作扇環）的面積公式及其運用．

（1）設扇環的面積為S扇環，的長為l1，的長為l2，線段AD的長為h（即兩個同心圓半徑R與r的差）．類比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代數式表示S扇環，并證明；

（2）用一段長為40m的籬笆圍成一個如圖②所示的扇環形花園，線段AD的長h為多少時，花園的面積，面積是多少？

考點：

圓的綜合題．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據扇形公式之間的關系，已知條件推出結果即可；

（2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的結果，化成頂點式，即可得出答案．

解答：

（1）S扇環=（l1﹣l2）h，證明：設大扇形半徑為R，小扇形半徑為r，圓心角度數為n，則由l=，得R=，r=

所以圖中扇環的面積S=×l1×R﹣×l2×r

=l1?﹣l2?

=（l12﹣l22）

=（l1+l2）（l1﹣l2）

=??（R﹣r）（l1﹣l2）

=（l1﹣l2）（R﹣r）

=（l1+l2）h，故猜想正確．

（2）解：根據題意得：l1+l2=40﹣2h，則S扇環=（l1+l2）h

=（40﹣2h）h

=﹣h2+20h

=﹣（h﹣10）2+100

∵﹣1＜0，∴開口向下，有值，當h=10時，值是100，即線段AD的長h為10m時，花園的面積，面積是100m2．

點評：

本題次要考查了扇形面積公式，弧長公式，二次函數的頂點式的運用，能猜想出正確結論是解此題的關鍵，有一定的難度．

46．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉到△OC′D′．

（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ能否成立？請闡明理由．

考點：

類似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）①由旋轉的性質得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，證出OC′=OD′，由SAS證明△AOC′≌△BOD′，得出對應邊相等即可；

②由全等三角形的性質得出∠OAC′=∠OBD′，又由對頂角相等和三角形內角和定理得出∠BEA=90°，即可得出結論；

（2）由旋轉的性質得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行線得出比例式，得出，證明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由對頂角相等和三角形內角和定理即可得出∠AEB=θ．

解答：

（1）證明：①∵△OCD旋轉到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D為OA、OB的中點，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；

②延伸AC′交BD′于E，交BO于F，如圖1所示：

∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；

（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如圖2所示：

∵△OCD旋轉到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．

點評：

本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、類似三角形的判定與性質；純熟掌握旋轉的性質，并能進行推理論證是處理成績的關鍵．

47．（2015?黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延伸線于點P．

（1）求證：∠BCP=∠BAN

（2）求證：=．

考點：

切線的性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由AC為⊙O直徑，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根據PC是⊙O的切線，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到結論．

（2）由等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB，根據圓內接四邊形的性質得到∠PBC=∠AMN，證出△BPC∽△MNA，即可得到結論．

解答：

（1）證明：∵AC為⊙O直徑，∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠ACN=90°，∵AB=AC，∴∠BAN=∠CAN，∵PC是⊙O的切線，∴∠ACP=90°，∴∠ACN+∠PCB=90°，∴∠BCP=∠CAN，∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN，由（1）知∠BCP=∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴．

點評：

本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，圓周角定理，類似三角形的判定和性質，圓內接四邊形的性質，解此題的關鍵是純熟掌握定理．

48．（2015?湖北）如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D．

（1）求證：BE=CF；

（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．

考點：

旋轉的性質；勾股定理；菱形的性質．版權一切

專題：

計算題；證明題．

分析：

（1）先由旋轉的性質得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根據旋轉的定義，△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，然后根據旋轉的性質得到BE=CD；

（2）由菱形的性質得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根據等腰三角形的性質得∠AEB=∠ABE，根據平行線得性質得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．

解答：

（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，∴BE=CF；

（2）解：∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．

點評：

本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉的距離相等；對應點與旋轉所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了菱形的性質．

49．（2015?葫蘆島）如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延伸線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？

考點：

切線的判定與性質；勾股定理；解直角三角形．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）過點O作OM⊥AB，垂足是M，證明OM等于圓的半徑OD即可；

（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF，則四邊形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函數求得OM和BM的長，則BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，則BF即可求解．

解答：

解：（1）過點O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O與AC相切于點D．

∴OD⊥AC，∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠DAO=∠NAO，∴OM=OD．

∴AB與⊙O相切；

（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF．

∵O是BC的中點，∴OB=2．

在直角△OBM中，∠MBO=60du6，∴OM=OB?sin60°=，BM=OB?cos60°=1．

∵BE⊥AB，∴四邊形OMBN是矩形．

∴ON=BM=1，BN=OM=．

∵OF=OM=，由勾股定理得NF=．

∴BF=BN+NF=+．

點評：

本題考查了切線的性質與判定，以及等邊三角形的性質，正確作出輔助線構造矩形是處理本題的關鍵．

50．（2015?呼倫貝爾）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結論．

考點：

平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分別為邊AB、CD的中點，可證得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；

（2）先證明BE與DF平行且相等，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再連接EF，可以證明四邊形AEFD是平行四邊形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根據菱形的判定可以得到四邊形是菱形．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分別為邊AB、CD的中點，∴AE=AB，CF=CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是菱形，理由如下：

解：由（1）可得BE=DF，又∵AB∥CD，∴BE∥DF，BE=DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，連接EF，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，∴DF∥AE，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴EF∥AD，∵∠ADB是直角，∴AD⊥BD，∴EF⊥BD，又∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴四邊形BFDE是菱形．

點評：

本題次要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中點是解題的關鍵．

51．（2015?呼倫貝爾）如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延伸線交直線l于點C．

（1）求證：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半徑．

考點：

切線的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可；

（2）延伸AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，根據AB=AC推出52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r，證△DPB∽△CPA，得出=，代入求出即可．

解答：

證明：（1）如圖1，連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；

（2）如圖2，延伸AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直徑，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=．

∴⊙O的半徑為3，線段PB的長為．

點評：

本題考查了等腰三角形的性質和判定，類似三角形的性質和判定，切線的性質，勾股定理，直線與圓的地位關系等知識點的運用，次要培養先生運用性質進行推理和計算的能力．本題綜合性比較強，有一定的難度．

52．（2015?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足為D，OE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的長（結果保留根號）．

考點：

切線的判定；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠，推出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據切線判定推出即可；

（2）首先求得線段AO的長，然后證△AOE∽△ACD，得出比例式，代入求出即可．

解答：

（1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC=∠OCF，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠OCF=90°，∴OC⊥CD，∵OC為半徑，∴CD是⊙O的切線．

（2）∵OE⊥AC，∴AE=AC=cm，在Rt△AOE中，AO===4cm，由（1）得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，∴△AOE∽△ACD，∴，即，∴DC=cm．

點評：

本題考查了類似三角形的性質和判定，勾股定理，圓周角定理，平行線性質和判定，等腰三角形性質，切線的判定的運用，次要考查先生的推理能力．

53．（2015?賀州）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在E處，BE與AD相交于點F．若DE=4，BD=8．

（1）求證：AF=EF；

（2）求證：BF平分∠ABD．

考點：

翻折變換（折疊成績）；全等三角形的判定與性質；矩形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）先根據翻折變換的性質得出ED=CD，∠E=∠C，故ED=AB，∠E=∠A．由AAS定理得出△ABF≌△EDF，故可得出結論；

（2）在Rt△BCD中根據sin∠CBD==可得出∠CBD=30°，∠EBD=∠CBD=30°，由直角三角形的性質可知∠ABF=90°﹣30°×2=30°，所以∠ABF=∠DBF，BF平分∠ABD．

解答：

（1）證明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，∵△BED是△BCD翻折而成，∴ED=CD，∠E=∠C，∴ED=AB，∠E=∠A．

在△ABF與△EDF中，∵，∴△ABF≌△EDF（AAS），∴AF=EF；

（2）在Rt△BCD中，∵DC=DE=4，DB=8，∴sin∠CBD==，∴∠CBD=30°，∴∠EBD=∠CBD=30°，∴∠ABF=90°﹣30°×2=30°，∴∠ABF=∠DBF，∴BF平分∠ABD．

點評：

本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．

54．（2015?河南）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延伸BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD、PO．

（1）求證：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，則四邊形AOPD的面積為　4　；

②連接OD，當∠PBA的度數為　60°　時，四邊形BPDO是菱形．

考點：

菱形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據中位線的性質得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可證△CDP≌△POB；

（2）①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有面積，依此即可求解；

②根據有一組對應邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BPDO是平行四邊形，再根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，以及等邊三角形的判定和性質即可求解．

解答：

（1）證明：∵PC=PB，D是AC的中點，∴DP∥AB，∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，∵BO=AB，∴DP=BO，在△CDP與△POB中，∴△CDP≌△POB（SAS）；

（2）解：①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有面積，（4÷2）×（4÷2）

=2×2

=4；

②如圖：

∵DP∥AB，DP=BO，∴四邊形BPDO是平行四邊形，∵四邊形BPDO是菱形，∴PB=BO，∵PO=BO，∴PB=BO=PO，∴△PBO是等邊三角形，∴∠PBA的度數為60°．

故答案為：4；60°．

點評：

考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質，中位線的性質，解題的關鍵是SAS證明△CDP≌△POB．

55．（2015?桂林）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點．

（1）求證：四邊形EBFD為平行四邊形；

（2）對角線AC分別與DE、BF交于點M、N，求證：△ABN≌△CDM．

考點：

平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據平行四邊形的性質：平行四邊的對邊相等，可得AB∥CD，AB=CD；根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；

（2）根據平行四邊的性質：平行四邊形的對邊相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根據全等三角形的判定，可得答案．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．

∵E、F分別是AB、CD的中點，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四邊形EBFD為平行四邊形；

（2）證明：∵四邊形EBFD為平行四邊形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．

∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN與△CDM中，∴△ABN≌△CDM

（ASA）．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定與性質，利用了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定，根據條件選擇適當的判定方法是解題關鍵．

56．（2015?貴港）如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延伸線相交于點M，連接AC，CM．

（1）若AB=4，求的長；（結果保留π）

（2）求證：四邊形ABMC是菱形．

考點：

切線的性質；菱形的判定；弧長的計算．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）連接OB，由E為OD中點，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，進而求出∠AOE與∠AOB的度數，設OA=x，利用勾股定理求出x的值，確定出圓的半徑，利用弧長公式即可求出的長；

（2）由問得到∠BAM=∠BMA，利用等角對等邊得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM與三角形OBM全等，利用全等三角形對應邊相等得到CM=BM，等量代換得到CM=AB，再利用全等三角形對應角相等及等量代換得到一對內錯角相等，進而確定出CM與AB平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABMC為平行四邊形，由鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證．

解答：

（1）解：∵OA=OB，E為AB的中點，∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，∵OE⊥AB，E為OD中點，∴OE=OD=OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，設OA=x，則OE=x，AE=x，∵AB=4，∴AB=2AE=x=4，解得：x=4，則的長l==；

（2）證明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，∵BM為圓O的切線，∴OB⊥BM，在△COM和△BOM中，∴△COM≌△BOM（SAS），∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，∴CM∥AB，∴四邊形ABMC為菱形．

點評：

此題考查了切線的性質，菱形的判斷，全等三角形的判定與性質，以及弧長公式，純熟掌握切線的性質是解本題的關鍵．

57．（2015?甘南州）如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H．

（1）求證：CF=CH；

（2）如圖2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結論．

考點：

菱形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH；

（2）根據△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，由AC=CD判斷出四邊形ACDM是菱形．

解答：

（1）證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．

在△BCF和△ECH中，∴△BCF≌△ECH（ASA），∴CF=CH（全等三角形的對應邊相等）；

（2）解：四邊形ACDM是菱形．

證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°．

∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，又∵∠A=∠D=45°，∴四邊形ACDM是平行四邊形（兩組對角相等的四邊形是平行四邊形），∵AC=CD，∴四邊形ACDM是菱形．

點評：

菱形的判別方法是闡明一個四邊形為菱形的理論根據，常用三種方法：

①定義；

②四邊相等；

③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需求根據已知條件來確定．

58．（2015?東莞）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延伸EF交邊BC于點G，連接AG．

（1）求證：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的長．

考點：

翻折變換（折疊成績）；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用翻折變換對應邊關系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；

（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，進而求出BG即可；

解答：

解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，設BG=FG=x，則GC=6﹣x，∵E為CD的中點，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，∴BG=2．

點評：

此題次要考查了勾股定理的綜合運用以及翻折變換的性質，根據翻折變換的性質得出對應線段相等是解題關鍵．

59．（2015?大慶）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，P為BD上一點，∠APB=∠BAD．

（1）證明：AB=CD；

（2）證明：DP?BD=AD?BC；

（2）證明：BD2=AB2+AD?BC．

考點：

類似三角形的判定與性質；圓周角定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用平行線的性質圓周角定理得出=，進而得出答案；

（2）首先得出△ADP∽△DBC，進而利用類似三角形的性質得出答案；

（3）利用類似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，進而求出AB2=DB?PB，再利用（2）中所求得出答案．

解答：

證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴=，∴AB=BC；

（2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°，∴∠BCD=∠APD，又∵∠ADB=∠CBD，∴△ADP∽△DBC，∴=，∴DP?BD=AD?BC；

（3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA，∴△ABP∽△DBA，∴=，∴AB2=DB?PB，∴AB2+AD?BC=DB?PB+AD?BC

∵由（2）得：DP?BD=AD?BC，∴AB2+AD?BC=DB?PB+DP?BD=DB（PB+DP）=DB2，即BD2=AB2+AD?BC．

點評：

此題次要考查了類似三角形的判定與性質以及圓周角定理，純熟運用類似三角形的判定與性質是解題關鍵．

60．（2015?赤峰）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延伸線交于點D，DE⊥PO交PO延伸線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB．

（1）求證：PB是的切線．

（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑．

考點：

切線的判定與性質．版權一切

專題：

計算題；證明題．

分析：

（1）由已知角相等，及對頂角相等得到三角形DOE與三角形POB類似，利用類似三角形對應角相等得到∠OBP為直角，即可得證；

（2）在直角三角形PBD中，由PB與DB的長，利用勾股定理求出PD的長，由切線長定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的長，在直角三角形OCD中，設OC=r，則有OD=8﹣r，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解得到r的值，即為圓的半徑．

解答：

（1）證明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB為圓的半徑，∴PB為圓O的切線；

（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根據勾股定理得：PD==10，∵PD與PB都為圓的切線，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，設OC=r，則有DO=8﹣r，根據勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，則圓的半徑為3．

點評：

此題考查了切線的判定與性質，勾股定理，純熟掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．