第一篇：固體習題之一

固體物理學習題

1.求sc晶格中沿a1,a2,a3,?a1,?a2,?a3，以及面對角線，體對角線方向，和a1?2.設兩原子間的相互作用能可表示為

11a2?a3 方向的晶列指數。23rr

其中，第一項為吸引能；第二項為排斥能；?、?、n和m均為大于零的常數。證明，要使這個兩原子系統處于穩定平衡狀態，必須滿足n > m。

3.原子質量為m，原子間距為a的一維單原子鏈，設原子間力常數為?, 在最近鄰近似和最近鄰近似下

（1）寫出晶格振動的運動方程；（2）求出格波色散關系并畫出示意圖；（3）分析并確定波矢的獨立取值范圍；（4）分析并確定波矢的具體分立取值。4.*設晶體的總相互作用能可表示為 u?r????m??nU?r???AB?rmrn

其中，A、B、m和n均為大于零的常數，r為最近鄰原子間的距離。根據平衡條件求：(1)平衡時，晶體中最近鄰原子的間距r0和晶體的相互作用能U0；

(2)設晶體的體積可表為V＝N?r，其中N為晶體的原子總數，?為體積因子。若平衡時

晶體的體積為V0，證明：平衡時晶體的體積壓縮模量K為 3K? mnU09V0。

5.畫出sc的（100），（110），（111），（121），（231）晶面。6.證明晶面指數的兩個定義等價。

7.證明，對于立方晶系，晶向?hkl?與晶面(hkl)正交。8.證明：

1）、正基矢與倒基矢的關系 ai?bj?2??ij???2? ?02）、正格矢與倒格矢的關系 Rl??h?2?m（m為整數）3）、兩種點陣原胞間的關系???(2?)

?34）、正格子與倒格子互為對方的倒格子（倒格子的倒格子是正格子）

5）、倒格矢?h?h1b1?h2b2?h3b3與正格子晶面族(h1h2h3)正交.9.說明半導體硅單晶的晶體結構，布拉伐格子，所屬晶系，每個晶胞（Conventional unit cell）中的硅原子數；如果晶格常數為a，求正格子空間原胞（Primitive cell）的體積和第一布里淵區的體積。

10.說明氯化鈉單晶的晶體結構，布拉伐格子，所屬晶系，每個晶胞中包含的原子數；如果晶格常數為a，求正格子空間原胞（Primitive cell）的體積和第一布里淵區的體積。11.求NaCl晶體中一個原胞的平均相互作用勢能。12.求一維NaCl晶體的馬德隆常數。

13.求NaCl晶體的馬德隆常數，僅計算至次次近鄰。

314.用H原子的波函數（Rn,l, Yl,m）表示出Px, Py, Pz 軌道波函數；寫出金剛石中C原子的四個sp雜化軌道波函數。15.問題：證明(2.4－5)可以等價地寫成如下形式：

??r（1）uij????0r????ij126??r0????2???，r0為兩原子體系的平衡距離。??r????ij??（2）uij?rij?12?2rij?6，（約化單位：能/?，長度/r0）16.寫出Lennard-Jones勢。

17.計算一位單原子晶格中格波速度（相速度）vp，證明在長波極限（q?0），晶格中傳播的格波就象在連續介質中傳播一樣。

18.計算布里淵區邊界處格波的群速度，并對結果進行討論。19.一維雙原子晶格，對長聲學波（q?0，?-?0），證明： 1）???aq2?a?Y?q?q?qv，它與連續介質的色散關系（?＝kv）一致，這是?-支被稱為聲學m?Mm?M?2a波的原因。2）??B???1?A??表明，在長波限，兩種原子振幅相同；又相鄰原子的位相aq?0，故長波限聲學波與連續機械波類似。這是?-支被稱為聲學波的又一原因。20.一維雙原子晶格，對長光學波（q?0），證明：

?2??Cons.????mM??說明這結果的物理意義。m?M???B?m???????1?M??A??21.求三維晶格的波矢空間q點的分布密度。22.證明聲子無真實物理動量。

23.一維單原子晶格中兩個聲子q1和q2發生碰撞后形成第三個聲子q3,求q3的大小: 1）q1?q2??;6a2)q1?q2?2?.3a24.(2013-11-27改造)二維正方格子，原胞基矢a1?ai?aj，a2?aj，求：

????1)倒基矢b1，b2；

2)寫出倒易空間中任意倒格點的位置矢量Kh的表達式； 3)畫出第一布里淵區；

4)寫出倒易空間中聲子波矢q的表達式；

5)畫出倒易空間中聲子波矢q（點）的分布示意圖 6)設兩個聲子q1,q2相撞后變成q3，求q3：

(1)q1?0.15b1?0.2b2,(2)q1?0.3b1?0.2b2,q2?0.1b1?0.2b2 ； q2?0.3b1?0.6b2.??二維正方格子，原胞基矢a1?ai?aj，a2?aj，求：

1、q1?0.15b1?0.2b2,2、q1?0.3b1?0.2b2,解： q2?0.1b1?0.2b2 q2?0.3b1?0.6b2。

??（1）由正基矢與倒基矢的關系ai?bj?2??ij可得：

b1?2??2???i,b2?(?i?j)aa2???m2?[(m1?m2)ij]

a（2）倒易空間中任意倒格點的位置矢量可表示為

Gm?m1b1?m2b1?（3）如圖：

（4）

（a）: 當q1?0.15b1?0.2b2,q2?0.1b1?0.2b2時，q1?q2?0.25b1?0.4b2?2???0.4?(?0.15ij)位于第一布里淵區內，所以，a2???0.4?q3?q1?q2?0.25b1?0.4b2?(?0.15ij)a(b): 當q1?0.3b1?0.2b2,q2?0.3b1?0.6b2時，2???0.8?(?0.2ij)位于第一布里淵區外，所以，a q1?q2?0.6b1?0.8b2?q3?q1?q2?G?1,?1?0.6b1?0.8b2?b1?b2??0.4b1?0.2b22??2???2??2????0.4i?0.2(?i?j)??0.2i?0.2jaaaa25.求一個振動模?的平均聲子占有數。

26.對于??cq2，求振動模式密度g(?)：（a）三維情況；（b）二維情況；（c）一維情況。27.什么是固體熱容量的愛因斯坦模型，什么是固體熱容量的德拜模型？

28.利用晶格振動的量子理論，導出愛因思坦模型的定容熱容CV的表示式，并進一步證明：（1）T???E時，CV過渡到杜隆－柏替定律。（2）T???E時，此模型不正確。

29.利用晶格振動的量子理論，導出德拜模型的定容熱容CV的表示式，并進一步證明（1）T???D時，CV過渡到杜隆－柏替定律。（2）T???D時，此模型嚴格正確。

30.求一維單原子鏈的振動模式密度g(?)。31.求德拜模型的振動模式密度g(?)

32.計算一定模式（振動模）下原子的振幅與該模式中聲子占有數的關系，并對結果進行討論，說明T＝0時也有振動。33.一邊長為L的單價原子立方體金屬塊，由N個原子組成，將價電子視為自由電子。（1）求自由電子氣的能級密度的表

0達式。（2）求T＝0K時，電子氣的費米能EF的表達式及電子的平均動能。

34.使用自由電子氣模型證明絕對0K下k空間費米球的半徑為kF=(3πn), n為電子密度。

35.設有二價金屬原子構成的晶體，試證明自由電子費米球與第一布里淵區邊界相交（提示：倒格子空間離原點與最近的倒格子間連線的垂直平分面圍成的區域位第一布里淵區，也稱簡約布里淵區）

解：（1）∵T=0時低于費米能EF0的能及全部被電子占據，而電子是費米子，每個狀態只允許一個電子占據

0??0(EF?EF)∴f(E)?? 0?1(E?E)FF?21/3在能級間隔E—E+dE中的電子數dN=f(E)ρ(E)dE ∴N?dN???0EF01??(E)dE??320EF0203CEdE?CEF2

3其中C?4?V(2m)帶入上式得：

h232324?V(2m)02N?(E)F23h設n為電子密度，則n=N/V 3224?V(2m)02(EF)∴nV?23h3?2∴E?(3n?2)3

2m0F2∴T=0時費米球面半徑k0F?02mEF??(3?n)

213得證。

（2）二價金屬原子構成的晶體，其布拉伐格子為體心立方（bcc），其倒格子為面心立方（fcc）在bcc中a、b、c為晶胞基矢，則a=ai, b=bj, c=ck 原胞基矢：

a1=a(-i +j +k)，a2=a(+i-j +k)，a3=a(+i +j +k)5 2?4?a2?a3?(j?k)13aa則fcc中，24?4?b1?(j?k)?2aab1?∴在具有體心立方結構的二價金屬原子的一個晶胞中，有4個電子 ∴電子密度n=4/a，代入自由電子費米球面半徑k

30F?02mEF??(3?n)得

213面心立方原胞和Wigner－Seitz原胞

面心立方原胞和Wigner－Seitz原胞

0kF?

(12?)a(12?)4.91b12?4.76????aa2aa(12?)22?6.28?b1??a2aa1231231230kF?∵0kF?

∴自由電子費米球與第一布里淵區邊界相交。

36.由泡利不相容原理，金屬中費米面附近的自由電子容易被激發，費米能級以下的很低能級上的電子很難被激發，通常被稱為費米凍結。用此物理圖像，估算在室溫下金屬中一個自由電子的比熱。

解：電子的熱容主要來自金屬中費米面附近的自由電子的貢獻。在室溫T0時，能夠發生躍遷的電子數為：

N'??0EF03EF?kBT2dN?C?0EF03EF?kBT29kTEdE?NB0

4EF（N為自由電子總數）∵每個電子具有的能量為3kBT 2327(kBT)2∴N’個可發生躍遷的電子總能量E?N'kBT? N028EF2T?E27kB∴CV??N0

?T4EF∴金屬中一個自由電子的比熱

2CV27kBT C'V??0N4EF36-1.（2015加）證明對金屬自由電子氣的熱容量有貢獻的電子數約為總自由電子數目的1%。

36-2.（2015加）根據金屬熱電子發射的電流密度的查孫-杜師曼公式：j=AT2e-W/kBT，證明兩塊金屬I和II的接觸電勢差是，?V?VI? VII?(WI? WII)/e

36-3.（2015加）一個電子具有的固有磁矩叫什么，用什么符號表示。電子氣磁化率的經典理論叫什么（哪位科學家的貢獻），與溫度是什么關系？對嗎？電子氣磁化率的量子理論叫什么（哪位科學家的貢獻），與溫度是什么關系？對嗎？

37.（20分）六角晶體的原胞基矢是

??3?1??3?1??ai?j，c?ck。a?ai?j，b??2222 7（2015-6-29說明：以上有誤，應該為a1?3131）ai?aj，a2??ai?aj，a3?ck，相應地以下求解也要改。

22求其倒格矢。

解：原胞體積??a??(b??c?)

?(3?2a?i?12j)?[(?3?1??2ai?2j)?ck]

?(3?2a?i?12j)?(3?1?2acj?2ci)

?32ac由倒格子基矢的定義

a?*?2???(b?c?)

?2?3(?3?2a?i?1?2j)?ck2ac ?4?3ac(32ac?j?12c?i)

?2?3a(?i?3a?j)b?*?2??(c??a?)

?2?3ck??(3?1?2ai?2j)2ac ?4?3ac(3?2acj?12c?i)?2?3a(??i?3a?j)c?*?2????(a?b)

228 3ac24?3?3? ?(ak?ak)43ac42???kc????∴倒格矢Gh?hb1?kb2?lb3

（h,k,l為整數）???2??2?2???h(i?3aj)?k(?i?3aj)?lkc3a3a

??2?2???(h?k)i?2?(h?k)j?lkc3a38.證明布洛赫定理

39.一電子在如圖所示的周期勢場V(x)?V(x?na)中運動，這里，V(x)???2?(3?1?3?1?ai?j)?(?ai?j)2222??V0?0?0?x?c?。

?c?x?a?求：

1）、將V(x)的展為傅立葉級數，并計算展開系數Vm；

??k?2）、計算Hk??0L(0)*k??V?(0)k(0)*(0)V?V?kdx??； dx???k?0L??3）、寫出一般微擾理論的二級修正本征能量和一級修正波函數。說明為什么一般微擾理論不適于描述晶格周期場中電子k?m?的狀態； am?m?(1??)，利用簡并微擾的態k?aa4）、對本題周期勢場V(x)中運動的單電子，設?是一小量（???1），對于接近理論求其本征能量表達式；

5）、對??0的情況，求電子能量表達式E?； 6）、求第一能帶寬度和第二帶隙Eg。解：

1）于是，V(x)??Venni2?nxa?i2a?nx?1，其中，Vn??V(x)?e?dx

a0??a* 9 利用Gn?nb?2?n，Vn可以寫為 aVn?V0i?iGnc1aiGnx*V(x)edx??e?1 [] ?0aaGn?????1a?im2a??eV(?)d??Vm??a?0??k??2）Hk?0??3）一級微擾修正的波函數：

2?)a [] 2?(k?k??m)a(k?k??m?k?Hk(0)?k?(0)(0)Ek?Ek?2m?)xa?k??(k0)??(k1)??(k0)??'k?1ikxVm1i(k? =e??'2e?2m???LL22mk?(k?)2m?a???

??2m???ix?Vm1ikx??a ?e?1??'2e?.?2m??2Lm2???k?(k?)????2m?a???二級微擾修正的能量為：

(0)(2)E(k)?Ek?Ek??k ?V??'22m??22m?2?mk?(k?)??2m?a?22Vm2??表示對m?0的所有整數求和。

m?m?(2)二級微擾修正的能量Ek在k?處發散。顯然，這結果沒有意義。換句話說，上述計算結果在k?處沒有意義，aam?m?不適于描述晶格周期場中電子的狀態。出現這種情況的原因是，當k?時，存在另一狀態k???，有矩陣元

aam?m?m???k?Vm?0，且這兩個狀態的能量相等。即態k?和態k???是能量簡并的。[行波k=與其（布拉格）Hkaaam?/反射波k=-的迭加形成駐波。]由量子力學知，對于能量簡并問題，需用簡并微擾來求解（上述計算利用了非簡并a微擾理論）。[]

4）設?是一小量（???1），對于接近k?m?m?(1??)的態，k?aa 10 與之能量相近，且有作用的態是 k??k?2m?m?2m?m?(1??)???(1??)

?aaaa0)(0)按簡并微擾論，我們把能量為Ek（為方便記為E）的電子態寫成?(k和?k?的線性迭加： 0)(0)??a?（k??b?k(1)

??2d2?由波動方程： ???V(x)?E??(x)?0(2)22mdx????2d2?000?V??E?k 并考慮到： ??kk?2?2mdx???2d2?000??V???k??Ek??k? 2?2mdx?000得 a(Ek?E??V)?0k?b(Ek??E??V)?k??0

上式分別乘以?k(0)*和?k?并積分，可得(0)*0*??(Ek?E)a?Vmb?0(3)?0??Vma?(Ek??E)b?0其中用到: ? ?k|?V|k???k|(V?V)|k???k?|?V|k???0 和

?k??Vm ? ?k?|?V|k???k|?V|k????k|(V?V)|k????k|V|k???HkVm是周期場V(x)的傅立葉展開式中第m 個參數.(3)式有解的條件是

(Ek?E)Vm解之得, 0Vm0*(Ek??E)?0

（4）

1200E??{(Ek?Ek?)?[(Ek0?Ek0?)2?4Vm]2}

（5）[]

21(Ek0?Ek0?)m?005)．對??0，表示ｋ（或k?）很接近的情況,此時有Ek?Ek???Vm。對展開（5）式到一級得，aVm 11 ?Ek0?Ek0?1??00E???Ek?Ek???2Vm?2?4Vm?????2?????

（6）????222??k?m???02?1?????V?Tm(1??)?Ek?V??V?其中2m2m?a? ???Ek0??V?Tm(1??)2?這里Tm表示k??m?的自由電子態的電子動能： a?2k2?2m?2Tm??(?)

2m2ma可得，2Tm?2V?T?V??T(?1)mmm?Vm?E???（7）[]

?V?T?V??2T(2Tm?1)mmm?Vm?6）??0時，E??V?Tm?Vm，（8）

原來能量都等于V?Tm的兩個狀態，k?其間的能量差稱為“禁帶寬度”

m?m?和k???，由于它們的相互作用很強，變成兩個能量不同的狀態E?和E?，aaEg?2Vm

（9）

禁帶發生在波矢k?m?m?m?和k???處，即k??（m=1,2,3…）處，禁帶寬度等于周期性勢能的展開式中，波矢為aaaGm?m2?的付里葉分量Vm的絕對值的兩倍． a第一能帶寬度?E1?E??V?V?T1?V1?V?T1?V1，第二帶隙Eg?2V2 []

40.利用緊束縛方法求簡單立方晶格中，1）自由原子S態?s?r?形成的能帶函數E(k)，計算E(?),E(X),E(R)，并求帶寬。（10分）2）畫出第一布里淵區中的能帶圖E(kx)。（10分）? 12 3）求電子在帶頂和帶底及狀態k?(??2a,??2a,??2a**)的有效質量m*xx,myy,mzz（10分）

解：

?n,n??????iK公式 E?K???i?J0??J1?Rn,Rm?e?Rs

m因為 ?s?r?球對稱，偶宇稱，所以?s???????r????r?，所以 J?R,R??J1nm1?0（對6個最近鄰格點的交疊積分相同）

取Rn?0則SC的6個最近鄰坐標Rm為 ???a,0,0?,??a,0,0?,?0,a,0?,?0,?a,0?,?0,0,a? ?0,0,?a??n,n??????所以 E?K???s?J0?J1?exp?iK?am1i?m2j?m3k ????m ??s?J0?2J1cosakx?cosaky?cosakz??（5分）

??點，K??0,0,0?；

E??0,0,0???s?J0?6J1

????K?,0,0?? X點，a?? EX?,0,0???s?J0?2J1 ???a????????R點： K??，?

?aaa? 13 ER????a,?a,??a????S?J0?6J1 由于 J1?0，?1?cos??1，所以E?和ER分別是帶I的帶底（能量）和帶頂（能量），帶寬為：

ER?E??12J1。（5分）

（10分）

由 E?K???s?J0?2J1?cosakx?cosaky?cosakz?容易求出電子的有效質量為，2m*xx?2a2Jcos?1(kxa),12m*yy?2a2Jcos?1(kya)1

（5分）

2m*zz?2a2Jcos?1(kza)1所以，22帶底：m*(?)?m*(?)?m*?1xxyyyy(?)?2a2Jcos(0)?，12a2J1帶

頂

22帶頂：m*(R)?m*(R)?m*(?1?xxyyyyR)?2a2Jcos(a)??2J,1a2a1 14

：k?(?m*xx(??2a,??2a,??2a)處：)?m*yy(??2a)?m*yy(??2a?2a2)?2aJ12cos?1(??2a

a)??,（5分）

第二篇：固體習題之二

一． 簡述題（每題10分，共20分）

1.什么是雜化軌道，寫出金剛石sp雜化的軌道波函數。2.何為聲子，談談你對聲子的認識。二． 填空題（每小題0.5分，共29分）

1.（）布拉伐格子為體心立方的晶體是A.鈉B.金C.氯化鈉D.金剛石 2.（）布拉伐格子為面心立方的晶體是A.鎂B.銅C.石墨D.氯化銫 3.（）布拉伐格子為簡立方的晶體是A.鎂B.銅C.石墨D.氯化銫

4.（）銀晶體的布拉伐格子是A.面心立方B.體心立方C.底心立方D.簡立方 5.（）金剛石的布拉伐格子是A.面心立方B.體心立方C.底心立方D.簡立方 6.（）硅晶體的布拉伐格子是A.面心立方B.體心立方C.底心立方D.簡立方 7.（）氯化鈉晶體的布拉伐格子是A.面心立方B.體心立方C.底心立方D.簡立方 8.（）氯化銫晶體的布拉伐格子是A.面心立方B.體心立方C.底心立方D.簡立方 9.（）晶格振動的能量量子稱為A.極化子 B.激子 C.聲子 D.光子

10.（）ZnS晶體的布拉伐格子是A.面心立方B.體心立方C.底心立方D.簡立方 11.（）下列晶體的晶格為簡單晶格的是A.硅B.冰C.銀D.金剛石

12.（）下列晶體的晶格為復式晶格的是A.鈉 B.金 C.銅 D.磷化鎵13.（）晶格常數為格，原胞體積等于A.B.C.D.的簡立方晶

313.（）含有N個初基原胞的銅晶體，晶格振動的聲學波支數為A.0 B.1 C.2 D.3 14.（）晶格常數為a的體心立方晶格，原胞體積?等于A.2aB.aC.a/2 D.a/4

3315.（）晶格常數為16.（）晶格常數為17.（）晶格常數為18.（）晶格常數為19.（）晶格常數為20.（）晶格常數為21.（）晶格常數為22.（）晶格常數為24.（）晶格常數為的面心立方晶格，原胞體積?等于A.2aB.aC.a/2 D.a/4

33的CsCl晶體的原胞體積?等于A.2aB.aC.a/2 D.a/4 3 3

33的NaCl晶體的原胞體積?等于A.2aB.aC.a/2 D.a/4 的Cu晶體的原胞體積?等于A.2aB.aC.a/2 D.a/4 3 3 3 3

333

333的Na晶體的原胞體積?等于A.2aB.aC.a/2 D.a/4 的Au晶體的原胞體積?等于A.2aB.aC.a/2 D.a/4 的金剛石晶體的原胞體積?等于A.2aB.aC.a/2 D.a/4

3的Cu晶體的單胞體積?等于A.2aB.aC.a/2 D.a/4

323.（）含有N個初基原胞的銅晶體，晶格振動的光學波支數為A.0 B.1 C.2 D.3 的Ge晶體的單胞體積?等于A.2aB.aC.a/2 D.a/4

325.（）含有N個初基原胞的銅晶體，晶格振動的總格波支數為A.0 B.1 C.2 D.3 26.（）晶體銅的配位數是A.12 B.8 C.6 D.4 27.（）金屬鈉晶體的配位數是A.12 B.8 C.6 D.4 28.（）金剛石的配位數是A.12 B.8 C.6 D.4 29.（）面心立方密集的致密度是A.0.76 B.0.74 C.0.68 D.0.62 30.（）體心立方密集的致密度是A.0.76 B.0.74 C.0.68 D.0.62 31.（）晶體的布拉伐格子共有幾種？A.12 B.13 C.14 D.15 32.（）立方晶系的布拉伐格子共有幾種？A.1 B.2 C.3 D.4 33.（）四方晶系的布拉伐格子共有幾種？A.1 B.2 C.3 D.4 34.（）正交晶系的布拉伐格子共有幾種？A.1 B.2 C.3 D.4 35.（）含有N個初基原胞的銅晶體，不同的波矢總數為A.3N B.2N C.N D.N/2 36.（）晶體共有幾個晶系？A.4 B.5 C.6 D.7 37.（）不屬于14種布拉伐格子的格子是A.面心立方 B.體心立方 C.底心立方 D.簡立方 38.（）不屬于14種布拉伐格子的格子是A.底心單斜 B.體心四方 C.底心四方 D.簡單四方 39.（）不屬于14種布拉伐格子的格子是A.體心四方 B.體心立方 C.面心四方 D.面心立方 40.（）不屬于14種布拉伐格子的格子是A.簡單三斜 B.底心三斜 C.簡單單斜 D.底心單斜

41.（）不屬于14種布拉伐格子的格子是A.底心正交 B.底心單斜 C.面心正交 D.面心四方 42.（）描述晶體宏觀對稱性的基本對稱元素有A.8個 B.48個 C.230個 D.320個 43.（）晶體點群有A.230種 B.320種 C.48種 D.32種

44.（）含有N個初基原胞的金剛石晶體，晶格振動的聲學波支數為A.0 B.1 C.2 D.3 45.（）有N個初基原胞的二維簡單正方形晶格，晶體中的聲子有多少種可能的量子態A.N B.2N C.N/2 D.N2 46.（）對于體積為V的NaCl晶體，設原胞體積為Ω，則該晶體包含的晶格振動總模式數為A.V/Ω B.2V/Ω C.4V/Ω D.6V/Ω

47.（）晶體沒有下列哪一種對稱軸A.3度對稱軸 B.4度對稱軸 C.5度對稱軸 D.6度對稱軸 48.（）晶格常數為49.（）晶格常數為的一維單原子鏈，倒格子基矢的大小為A.的一維雙原子鏈，倒格子基矢的大小為A.B.B.C.C.D.D.50.（）對于一維單原子鏈晶格振動的頻帶寬度，若最近鄰原子之間的力常數β增大為4β，則晶格振動的頻帶寬度變為原來的A.2倍 B.4倍 C.16倍 D.不變

51.（）一個二維簡單正交晶格的倒格子原胞的形狀是A.長方形 B.正六邊形 C.圓 D.圓球 52.（）體心立方的倒格子是A.二維正方形 B.面心立方 C.體心立方 D.簡立方 53.（）面心立方的倒格子是A.二維正方形 B.面心立方 C.體心立方 D.簡立方

54.（）三維晶格的原胞體積與倒格子的原胞體積之積等于A.（2π）B.（2π）C.（2π）D.（2π）55.（）若簡立方晶格的晶格常數增大一倍，則簡約布里淵區的體積變為A.1/2倍 B.1/8倍 C.2倍 D.8倍 56.（）由N個原子組成的一維單原子鏈，簡約布里淵區中的分立波矢取值有A.N個 B.2N個 C.N/2個 D.N2個

21057.（）有N個初基原胞的二維簡單正方形晶格，簡約布里淵區中的分立波矢狀態有A.N種 B.2N種 C.N/2種 D.N2種

58.（）N個基元構成的鈉晶體，其相鄰兩原子之間的相互作用能為u，只計最近鄰相互作用，則鈉晶體總的相互作用能U為 A.Nu，B.2Nu，C.4 Nu，D.8 Nu

三、計算證明題（任選3題，每題17分，共51分，多做加分）

1.假設某晶體的晶胞是一邊長為a的立方體，其八個頂角上為A種原子，六個面心上為B種原子，體心上為C種原子。說明這種單晶所屬的晶系，布拉伐格子，每個原胞中的包含的A、B、C原子數；每個晶胞中的包含的A、B、C原子數；求正格子空間原胞（Primitive cell）的體積和簡約布里淵區的體積。

2.對于含有N個原胞的金屬銅、金屬鎂、金剛石、單晶硅、二維石墨層晶體、一維三原子晶格，分別寫出：（1）原胞內原子數；（2）格波支數；（3）聲學波支數；（4）光學波支數；（5）每支格波的獨立振動模數目；（6）獨立振動模的總數。

3.原子質量為m，原子間距為a的一維單原子鏈，設原子間力常數為?, 在最近鄰近似和最近鄰近似下

（1）寫出晶格振動的運動方程；（2）求出格波色散關系并畫出示意圖；（3）分析并確定波矢的獨立取值范圍；（4）分析并確定波矢的具體分立取值。、體心立方（bcc）和面心立方（fcc）三種結構，在這三4.將半徑為R的剛性球分別排成簡單立方（sc）種結構的間隙中分別填入半徑為rp、rb和rf的小剛球，試分別求出rp/R、rb/R和rf/R的最大值。

提示：每一種晶體結構中都有多種不同的間隙位置，要比較不同間隙位置的填充情況。5.晶格常數為a的簡單二維密排晶格的基矢可以表為

??a1?a?i???1?3?

aj?a2??ai??22 2

??(1)求出其倒格子基矢b1和b2, 證明倒格子仍為二維密排格子；

(2)求出其倒格子原胞的面積?b。

6.由N個原子（或離子）所組成的晶體的體積V可以寫為V＝Nv = N?r，其中v為平均一個原子（或離子）所占的體積，r為最近鄰原子（或離子）間的距離，?是依賴于晶體結構的常數，試求下列各種晶體結構的?值:(1)sc結構(2)fcc結構(3)bcc結構(4)金剛石結構(5)NaCl結構。7.設兩原子間的相互作用能可表示為 u?r???

3?rm??rn

其中，第一項為吸引能；第二項為排斥能；?、?、n和m均為大于零的常數。證明，要使這個兩原子系統處于穩定平衡狀態，必須滿足n > m。8.設晶體的總相互作用能可表示為

Ur???AB?n mrr其中，A、B、m和n均為大于零的常數，r為最近鄰原子間的距離。根據平衡條件求：(1)平衡時，晶體中最近鄰原子的間距r0和晶體的相互作用能U0；

(2)設晶體的體積可表為V＝N?r，其中N為晶體的原子總數，?為體積因子。若平衡時

晶體的體積為V0，證明：平衡時晶體的體積壓縮模量K為

3mnU0 K?9V0。

第三篇：黃昆版《固體物理學》課后習題答案（解析版）

《固體物理學》習題解答

黃昆

原著

韓汝琦改編

（陳志遠解答，僅供參考）

第一章

晶體結構

1.1、解：實驗表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對稱結構。因此，可以把這些原子或離子構成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個晶體原胞所包含的點的數目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率，（1）對于簡立方結構：（見教材P2圖1-1）

a=2r，V=，Vc=a3，n=1

∴

（2）對于體心立方：晶胞的體對角線BG=

n=2,Vc=a3

∴

（3）對于面心立方：晶胞面對角線BC=

n=4，Vc=a3

（4）對于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6=

晶胞的體積：V=

n=12=6個

（5）對于金剛石結構，晶胞的體對角線BG=

n=8,Vc=a3

1.2、試證：六方密排堆積結構中

證明：在六角密堆積結構中，第一層硬球A、B、O的中心聯線形成一個邊長a=2r的正三角形，第二層硬球N位于球ABO所圍間隙的正上方并與這三個球相切，于是：

NA=NB=NO=a=2R.即圖中NABO構成一個正四面體。…

1.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。

證明：（1）面心立方的正格子基矢（固體物理學原胞基矢）：

由倒格子基矢的定義：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是體心立方。

（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學原胞基矢）：

由倒格子基矢的定義：，同理可得：即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。

所以，體心立方的倒格子是面心立方。

1.5、證明倒格子矢量垂直于密勒指數為的晶面系。

證明：

因為，利用，容易證明

所以，倒格子矢量垂直于密勒指數為的晶面系。

1.6、對于簡單立方晶格，證明密勒指數為的晶面系，面間距滿足：，其中為立方邊長；并說明面指數簡單的晶面，其面密度較大，容易解理。

解：簡單立方晶格：，由倒格子基矢的定義：，倒格子基矢：

倒格子矢量：，晶面族的面間距：

面指數越簡單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點的密度越大，單位表面的能量越小，這樣的晶面越容易解理。

第二章

固體結合2.1、兩種一價離子組成的一維晶格的馬德隆常數（）和庫侖相互作用能，設離子的總數為。

＜解＞

設想一個由正負兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負離子作參考離子（這樣馬德隆常數中的正負號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負離子取負號），用r表示相鄰離子間的距離，于是有

前邊的因子2是因為存在著兩個相等距離的離子，一個在參考離子左面，一個在其右面，故對一邊求和后要乘2，馬德隆常數為

當X=1時，有

2.3、若一晶體的相互作用能可以表示為

試求：（1）平衡間距；

（2）結合能（單個原子的）；

（3）體彈性模量；

（4）若取，計算及的值。

解：（1）求平衡間距r0

由，有：

結合能：設想把分散的原子（離子或分子）結合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個能量稱為結合能（用w表示）

（2）求結合能w（單個原子的）

題中標明單個原子是為了使問題簡化，說明組成晶體的基本單元是單個原子，而非原子團、離子基團，或其它復雜的基元。

顯然結合能就是平衡時，晶體的勢能，即Umin

即：

（可代入r0值，也可不代入）

（3）體彈性模量

由體彈性模量公式：

（4）m

=

2，n

=

10，w

=

4eV，求α、β

①

②

將，代入①②

（1）平衡間距r0的計算

晶體內能

平衡條件，（2）單個原子的結合能，（3）體彈性模量

晶體的體積，A為常數，N為原胞數目

晶體內能

由平衡條件，得

體彈性模量

（4）若取，，第三章

固格振動與晶體的熱學性質

3.2、討論N個原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N個格波解，當=

時與一維單原子鏈的結果一一對應。

解：質量為的原子位于2n-1，2n+1，2n+3

……；質量為的原子位于2n，2n+2，2n+4

……。

牛頓運動方程

N個原胞，有2N個獨立的方程

設方程的解，代回方程中得到

A、B有非零解，則

兩種不同的格波的色散關系

一個q對應有兩支格波：一支聲學波和一支光學波.總的格波數目為2N.當時，兩種色散關系如圖所示：

長波極限情況下，與一維單原子晶格格波的色散關系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰原子間的力常數交錯地為和，兩種原子質量相等，且最近鄰原子間距為。試求在處的，并粗略畫出色散關系曲線。此問題模擬如這樣的雙原子分子晶體。

答：（1）

淺色標記的原子位于2n-1，2n+1，2n+3

……；深色標記原子位于2n，2n+2，2n+4

……。

第2n個原子和第2n＋1個原子的運動方程：

體系N個原胞，有2N個獨立的方程

方程的解：，令，將解代入上述方程得：

A、B有非零的解，系數行列式滿足：

因為、，令得到

兩種色散關系：

當時，當時，（2）色散關系圖：

3.7、設三維晶格的光學振動在q=0附近的長波極限有

求證：;.＜解＞

依據，并帶入上邊結果有

3.8、有N個相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。

證明：在到間的獨立振動模式對應于平面中半徑到間圓環的面積，且則，第四章

能帶理論

4.1、根據狀態簡并微擾結果，求出與及相應的波函數及?，并說明它們的特性．說明它們都代表駐波，并比較兩個電子云分布說明能隙的來源(假設=)。

＜解＞令，簡并微擾波函數為

取

帶入上式，其中

V(x)<0，從上式得到B=

-A,于是

=

取，=

由教材可知，及均為駐波．

在駐波狀態下，電子的平均速度為零．產生駐波因為電子波矢時，電子波的波長，恰好滿足布拉格發射條件，這時電子波發生全反射，并與反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對應不同代入能量。

4.2、寫出一維近自由電子近似，第n個能帶(n=1，2，3)中，簡約波數的0級波函數。

＜解＞

第一能帶：

第二能帶：

第三能帶：

4.3、電子在周期場中的勢能．

0，其中d＝4b，是常數．試畫出此勢能曲線，求其平均值及此晶體的第一個和第二個禁帶度．

＜解＞(I)題設勢能曲線如下圖所示．

(2)勢能的平均值：由圖可見，是個以為周期的周期函數，所以

題設，故積分上限應為，但由于在區間內，故只需在區間內積分．這時，于是。

（3），勢能在[-2b,2b]區間是個偶函數，可以展開成傅立葉級數

利用積分公式得

第二個禁帶寬度代入上式

再次利用積分公式有

4.4、解：我們求解面心立方，同學們做體心立方。

（1）如只計及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結果，晶體中S態電子的能量可表示成：

在面心立方中，有12個最近鄰，若取，則這12個最近鄰的坐標是：

①

②

③

由于S態波函數是球對稱的，在各個方向重疊積分相同，因此有相同的值，簡單表示為J1=。又由于s態波函數為偶宇稱，即

∴在近鄰重疊積分中，波函數的貢獻為正

∴J1＞0。

于是，把近鄰格矢代入表達式得到：

=

+

=

=

（2）對于體心立方：有8個最近鄰，這8個最近鄰的坐標是：

4.7、有一一維單原子鏈，間距為a，總長度為Na。求（1）用緊束縛近似求出原子s態能級對應的能帶E(k)函數。（2）求出其能態密度函數的表達式。（3）如果每個原子s態只有一個電子，求等于T=0K的費米能級及處的能態密度。

＜解＞

(2),(3),第五章

晶體中電子在電場和磁場中的運動

5.1、設有一維晶體的電子能帶可寫成，其中為晶格常數，是電子的質量。

試求（1）能帶寬度；

（2）電子在波矢k狀態的速度；

（3）帶頂和帶底的電子有效質量。

解：（1）

=[－coska+(2cos2ka－1)]

＝[(coska－2)2－1]

當ka＝(2n+1)p時,n=0,±1,±2…

當ka=2np時,能帶寬度＝

（2）

(3)

當時,帶底，當時,帶頂，—

END

—

第四篇：固體廢棄物管理制度

固體廢棄物管理制度

為加強風景區固體廢棄物管理，保護和改善環境，保障人民身體健康，根據《中華人民共和國環境保護法》、《中華人民共和國固體廢物污染環境防治法》，結合景區實際，制定本辦法。

一、本辦法適用于景區范圍內所有單位、個人。

二、景區內固體物污染環境的防治工作實施統一監督管理。

三、禁止任何單位或者個人向河流等法律、法規規定禁止傾倒、堆放廢棄物的地點傾倒、堆放固體廢物。

四、景區主管部門對收集、貯存、運輸、處置固體廢物的設施、設備和場所，應當加強管理和維護，保證其正常運行和使用。

五、一次性醫療用品、敷料及廢棄的各種護理用具要實行專人管理，袋裝收集，封閉容器存放，定期消毒。存放廢棄物的容器上應標注“醫療廢物”字樣。

六、不得將醫療廢物裸露；從醫療廢物中撿拾廢品；將醫療廢物混入居民生活垃圾、建筑垃圾等其他廢棄物中；將醫療廢物埋入地下或排入城市排水管道中；任意處置醫療廢物。

七、使用后的一次性醫療器具和容易致人損傷的醫療廢物，應當消毒并作毀形處理；能夠焚燒的，應當及時焚燒；不能焚燒的，消毒后集中填埋。

八、禁止轉讓、買賣醫療廢物。

第五篇：固體廢棄物措施

固體廢棄物控制措施

目的：

為了確保公司的環境方針，有效的控制固體廢棄物對施工現場及周邊環境的影響，特制定本措施。

范圍：

本措施適用于項目部范圍內及施工過程中對固體廢棄物的控制。措施：

1、對施工現場的原材料固體廢棄物進行控制，并按照分類標準將固 體廢棄物分堆碼放并標識。

2、將固體廢棄物進行分類，可分直接回收和不可直接回收。

3、在施工現場要有貼有標簽的分類收集區域，并設專人管理，集中 成立廢料堆放區。

4、公司要對全體員工進行宣傳支持開展清潔生產，減少固體廢棄物 的產量，鼓勵支持綜合利用資源，對固體廢棄物進行充分回收、綜合利用。

5、公司全體員工在工作過程中不要隨意拋棄固體廢棄物。

6、對固體廢棄物應加強控制統一處理，控制處理應符合《中華人民 共和國固體污染環境廢物防治法》要求。

天津市寶坻區寶武公路工程項目經理部2011年5月