第一篇：九年級數學下冊《二次函數與一元二次方程的聯系》教案(湘教版)

九年級數學下冊《二次函數與一元二次方程的聯系》教案（湘教版）

【知識與技能】

掌握二次函數圖象與x軸的交點橫坐標與一元二次方程兩根的關系

2理解二次函數圖象與x軸的交點的個數與一元二次方程根的個數的關系

3會用二次函數圖象求一元二次方程的近似根

4能用二次函數與一元二次方程的關系解決綜合問題

【過程與方法】

經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程,體會二次函數與方程之間的聯系,進一步體會數形結合的思想

【情感態度】

通過自主學習,小組合作,探索出二次函數與一元二次方程的關系,感受數學的嚴謹性,激發熱愛數學的情感

【教學重點】

①理解二次函數與一元二次方程的聯系

②求一元二次方程的近似根

【教學難點】

一元二次方程與二次函數的綜合應用

一、情境導入，初步認識

一元二次方程ax2+bx+=0的實數根，就是二次函數=ax2+bx+,當=0時，自變量x的值，它是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標

2拋物線=ax2+bx+與x軸交點個數與一元二次方程ax2+bx+=0根的判別式的關系：當b2-4a＜0時，拋物線與x軸無交點；當b2-4a=0時，拋物線與x軸有一個交點；當b2-4a＞0時，拋物線與x軸有兩個交點

學生回答,教師點評

二、思考探究，獲取新知

探究1

求拋物線=ax2+bx+與x軸的交點

例1求拋物線=x2-2x-3與x軸交點的橫坐標

【分析】拋物線=x2-2x-3與x軸相交時，交點的縱坐標=0，轉化為求方程x2-2x-3=0的根

解:因為方程x2-2x-3=0的兩個根是x1=3,x2=-1,所以拋物線=x2-2x-3與x軸交點的橫坐標分別是3或-1

【教學說明】求拋物線與x軸的交點坐標，首先令=0，把二次函數轉化為一元二次方程，求交點的橫坐標就是求此方程的根

探究2

拋物線與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系思考：

（1）你能說出函數=ax2+bx+的圖象與x軸交點個數的情況嗎？猜想交點個數和方程ax2+bx+=0的根的個數有何關系？

一元二次方程ax2+bx+=0的根的個數由什么來判斷？

第二篇：二次函數與一元二次方程的聯系教案

【知識與技能】

1.掌握二次函數圖象與x軸的交點橫坐標與一元二次方程兩根的關系.2.理解二次函數圖象與x軸的交點的個數與一元二次方程根的個數的關系.3.會用二次函數圖象求一元二次方程的近似根.4.能用二次函數與一元二次方程的關系解決綜合問題.【過程與方法】

經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程,體會二次函數與方程之間的聯系,進一步體會數形結合的思想.【情感態度】

通過自主學習,小組合作,探索出二次函數與一元二次方程的關系,感受數學的嚴謹性,激發熱愛數學的情感.【教學重點】

①理解二次函數與一元二次方程的聯系.②求一元二次方程的近似根.【教學難點】

一元二次方程與二次函數的綜合應用.一、情境導入,初步認識

1.一元二次方程ax2+bx+c=0的實數根,就是二次函數y=ax2+bx+c,當 y=0 時,自變量x的值,它是二次函數的圖象與x軸交點的 橫坐標.2.拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點個數與一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式的關系:當b2-4ac<0時,拋物線與x軸 無 交點;當b2-4ac=0時,拋物線與x軸有 一 個交點;當b2-4ac&0時,拋物線與x軸有 兩 個交點.學生回答,教師點評

二、思考探究,獲取新知

探究1 求拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點

例1 求拋物線y=x2-2x-3與x軸交點的橫坐標.【分析】拋物線y=x2-2x-3與x軸相交時,交點的縱坐標y=0,轉化為求方程x2-2x-3=0的根.解:因為方程x2-2x-3=0的兩個根是x1=3,x2=-1,所以拋物線y=x2-2x-3與x軸交點的橫坐標分別是3或-1.【教學說明】求拋物線與x軸的交點坐標,首先令y=0,把二次函數轉化為一元二次方程,求交點的橫坐標就是求此方程的根.探究2 拋物線與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系思考:

(1)你能說出函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點個數的情況嗎?猜想交點個數和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的個數有何關系?

(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的個數由什么來判斷?

第三篇：二次函數與一元二次方程教案

22.5二次函數與一元二次方程（教案）

一、教學目標

1、經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的關系.2、理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，理解何時函數有兩個交點、一個交點和沒有沒有交點.3、理解一元二次方程的根就是二次函數與x軸交點的橫坐標.二、教學重點和難點

重點：探索二次函數圖象與x軸的交點及一元二次方程的根的情況.難點：利用圖象法探究交點個數的判別方法.三、教學方法 自主探究、合作交流

四、教學設計

1.舊知回顧：（1）一次函數y＝x＋2的圖象與x軸的交點為（，）

一元一次方程x＋2＝0的根為________

（2）一次函數y＝－3x＋6的圖象與x軸的交點為（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根為________ 通過觀察對比，一次函數y＝kx＋b的圖象與x軸的交點與一元一次方程kx＋b＝0的根有什么關系？

結論：一次函數y＝kx＋b的圖象與x軸的交點的橫坐標就是一元一次方程kx＋b＝0的根 2.新課引入：

2.1問題導出：二次函數y＝ax2＋bx＋c與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有什么關系？ 動手操作：請每位同學在方格紙中畫出二次函數y＝x－2x－3的圖象 觀察思考：你的圖象與x軸的交點坐標是什么？ 解一元二次方程： x－2x－3＝0

你發現了什么？ 發現的結論：（1）二次函數y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點的橫坐標就是當y＝0時一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根

（2）二次函數的問題可以轉化為一元二次方程去解決 反饋練習1：求下列二次函數與x軸的交點坐標

（1）y＝x＋4x－5；（2）y＝－x＋6x－9；（3）y＝2x＋3x＋5

通過計算發現問題：不是所有的二次函數與x軸都有兩個交點！有的函數只有一個交點，有的沒有交點（借助圖象的平移說明這個事實）

2.2設想：二次函數與x軸的交點個數與一元二次方程的解的個數有關系 我們在學習一元二次方程時是用什么來判斷解的個數的？ 回顧判別式：對于一元二次方程ax＋bx＋c＝0 b－4ac＞0 b－4ac＝0 b2－4ac＜0 22

2方程有兩個不相等的實數根 方程有兩個相等的實數根 方程沒有實數根

那么，對于二次函數y＝ax2＋bx＋c，判別式又能給我們什么樣的結論？學生歸納： b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b－4ac＜0 2函數與x軸有兩個交點 函數與x軸有一個交點 函數與x軸沒有交點

反饋練習2：判斷下列二次函數圖象與x軸的交點情況（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b為常數，a≠0）

2.3聯想：二次函數與x軸的交點個數可以借助判別式解決，那么二次函數與一次函數的交點個數又該怎么解決呢？

例如，二次函數y＝x－2x－3和一次函數y＝x＋2有交點嗎？有幾個？

分析：兩個函數的交點是這兩個函數的公共解，列出方程組，消去y后再利用判別式判斷即可.反饋練習3：二次函數y＝x2－2x－3和一次函數y＝x＋b有唯一公共點，求出b的值.3.交流總結

4.作業 2

第四篇：二次函數與一元二次方程教案1

二次函數與一元二次方程教案1 二次函數與一元二次方程

教學目標

(一)教學知識點

1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程,體會方程與函數之間的聯系.2.理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系,理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根.3.理解一元二次方程的根就是二次函數與y=h(h是實數)交點的橫坐標.(二)能力訓練要求

1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程,培養學生的探索能力和創新精神.2.通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數,討論一元二次方程的根的情況,進一步培養學生的數形結合思想.3.通過學生共同觀察和討論,培養大家的合作交流意識.(三)情感與價值觀要求

1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程,體驗數學活動充滿著探索與創造,感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性.2.具有初步的創新精神和實踐能力.教學重點

1.體會方程與函數之間的聯系.2.理解何時方程有兩個不等的實根,兩個相等的實數和沒有實根.3.理解一元二次方程的根就是二次函數與y=h(h是實數)交點的橫坐標.教學難點

1.探索方程與函數之間的聯系的過程.2.理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系.教學方法

討論探索法.教具準備

投影片二張

第一張:(記作§2.8.1A)

第二張:(記作§2.8.1B)

教學過程

Ⅰ.創設問題情境,引入新課

[師]我們學習了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函數y=kx+b(k≠0)后,討論了它們之間的關系.當一次函數中的函數值y=0時,一次函數y=kx+b就轉化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標即為一元一次方程kx+b=0的解.現在我們學習了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),它們之間是否也存在一定的關系呢?本節課我們將探索有關問題.Ⅱ.講授新課

一、例題講解

投影片:(§2.8.1A)

我們已經知道,豎直上拋物體的高度h(m)與運動時間t(s)的關系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是拋出時的高度,v0(m/s)是拋出時的速度.一個小球從地面被以40m/s的速度豎直向上拋起,小球的高度h(m)與運動時間t(s)的關系如下圖所示,那么

(1)h與t的關系式是什么?

(2)小球經過多少秒后落地?你有幾種求解方法?與同伴進行交流.[師]請大家先發表自己的看法,然后再解答.[生](1)h與t的關系式為h=-5t2+v0t+h0,其中的v0為40m/s,小球從地面被拋起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h與t的關系式.(2)小球落地時h為0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h為0,求出t即可.還可以觀察圖象得到.[師]很好.能寫出步驟嗎?

[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0，當v0=40,h0=0時，h=-5t2+40t.(2)從圖象上看可知t=8時,小球落地或者令h=0,得:

-5t2+40t=0，即t2-8t=0.∴t(t-8)=0.∴t=0或t=8.t=0時是小球沒拋時的時間,t=8是小球落地時的時間.二、議一議

投影片:(§2.8.1B)

二次函數①y=x2+2x, ②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的圖象如下圖所示.(1)每個圖象與x軸有幾個交點?

(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個根?解方程驗證一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?

(3)二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系?

[師]還請大家先討論后解答.[生](1)二次函數y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象與x軸分別有兩個交點,一個交點,沒有交點.(2)一元二次方程x2+2x=0有兩個根0,-2;方程x2-2x+1=0有兩個相等的根1或一個根1;方程x2-2x+2=0沒有實數根.(3)從觀察圖象和討論中可知,二次函數y=x2+2x的圖象與x軸有兩個交點,交點的坐標分別為(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有兩個根0,-2;

二次函數y=x2-2x+1的圖象與x軸有一個交點,交點坐標為(1,0),方程x2-2x+1=0有兩個相等的實數根(或一個根)1;二次函數y=x2-2x+2的圖象與x軸沒有交點,方程x2-2x+2=0沒有實數根.由此可知,二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的橫坐標即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根.[師]大家總結得非常棒.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點有三種情況:有兩個交點、有一個交點、沒有交點.當二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點時,交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、想一想

在本節一開始的小球上拋問題中,何時小球離地面的高度是60m?你是如何知道的?

[師]請大家討論解決.[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,當h0=0,v0=40m/s,h=60m時,有

-5t2+40t=60，t2-8t+12=0，∴t=2或t=6.因此當小球離開地面2秒和6秒時,高度都是60m.Ⅲ.課堂練習

隨堂練習(P67)

Ⅳ.課時小結

本節課學了如下內容:

1.經歷了探索二次函數與一元二次方程的關系的過程,體會了方程與函數之間的聯系.2.理解了二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系,理解了何時方程有兩個不等的實根.兩個相等的實根和沒有實根.Ⅴ.課后作業

習題2.9

板書設計

§2.8.1二次函數與一元二次方程(一)

一、1.例題講解(投影片§2.8.1A)

2.議一議(投影片§2.8.1B)

3.想一想

二、課堂練習

隨堂練習

三、課時小結

四、課后作業

備課資料

思考、探索、交流

把4根長度均為100m的鐵絲分別圍成正方形、長方形、正三角形和圓,哪個的面積最大?為什么?

解:(1)設長方形的一邊長為x m,另一邊長為(50-x)m,則

S長方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.即當x=25時,S最大=625.(2)S正方形=252=625.(3)∵正三角形的邊長為 m,高為 m，∴S三角形= =≈481(m2).(4)∵2πr=100,∴r=.∴S圓=πr2=π·()2=π· = ≈796(m2).所以圓的面積最大.

第五篇：九年級數學下冊 2.5 二次函數與一元二次方程教案1 (新版)北師大版

二次函數與一元二次方程

【教學內容】二次函數與一元二次方程

（一）【教學目標】

知識與技能 理解二次函數與一元二次方程的關系，會用△值判斷二次函數與x軸交點個數

過程與方法 經歷用二次函數圖象探索一元二次方程根的過程，能夠領會二次函數與x軸交點個數與一元二次方程根的個數關系。

情感、態度與價值觀 通過對二次函數與一元二次方程關系的探討，培養學生勇于探索的好習慣，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性。【教學重難點】

重點：理解一元二次方程的根就是二次函數與交點的橫坐標 難點：利用二次函數的與x軸交點與一元二次方程根的關系 【導學過程】

【知識回顧】 一元二次方程的一般形式是什么？二次函數的一般形式是什么？ 【情景導入】

二次函數與一元二次方程有一定的相似之處，它們的表達式基本相同。其實，二次函數中的y值為零時，那么就會變成一元二次方程。那么它們之間到底有怎樣的關系，本節課將給以解答。

【新知探究】 探究

一、我們已經知道,豎直上拋物體的高度h(m)與運動時間t(s)的關系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是拋出時的高度,v0(m/s)是拋出時的速度.一個小球從地面以40m/s的速度豎直向上拋出起,小球的高度h(m)與運動時間t(s)的關系如圖所示,那么(1).h和t的關系式是什么？

(2).小球經過多少秒后落地?你有幾種求解方法?與同伴進行交流.探究

二、在同一坐標系中畫出二次函數y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象并回答下列問題：

(1).每個圖象與x軸有幾個交點？

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個根?驗證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?(3).二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系?你能利用a、b、c之間的某種關系判斷二次函數y=ax＋bx＋c的圖象與x軸何時有兩個交點、一個交點，何時沒有交點？

2探究

三、【例1】已知二次函數y=kx－7x－7的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍為

．

2【例2】拋物線y=ax＋bx＋c與x軸交于點A（－3，0），對稱軸為x=－1，頂點C到x軸的距離為2，求此拋物線表達式．

【例3】有一個二次函數的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點： 甲：對稱軸是直線x=4；

乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數；

丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三點為頂點的三角形面積為3． 請寫出滿足上述全部特點的一個二次函數表達式

． 【知識梳理】本節課我們學習二次函數與一元二次方程的關系，能夠領會二次函數與x軸交點個數與一元二次方程根的個數關系。會用△值判斷二次函數與x 軸交點個數，【隨堂練習】

1．求下列二次函數的圖象與x軸交點坐標，并作草圖驗證．

22（1）y=x－2x；（2）y=x－2x－3．

22已知二次函數y=ax+bx+c,且a<0,a-b+c>0,則一定有().2222 A.b-4ac>0 B.b-4ac=0 C.b-4ac<0 D.b-4ac≤0 3．拋物線y=a（x－2）（x＋5）與x軸的交點坐標為

．

4．已知拋物線的對稱軸是x=－1，它與x軸交點的距離等于4，它在y軸上的截距是－6，則它的表達式為

．

25．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么拋物線y=ax＋bx＋c經過

象限．

26．拋物線y=x－2x＋3的頂點坐標是

．

27．若拋物線y=2x－（m＋3）x－m＋7的對稱軸是x=1，則m=

．

28．拋物線y=2x＋8x＋m與x軸只有一個交點，則m= ．

29．已知拋物線y=ax＋bx＋c的系數有a－b＋c=0，則這條拋物線經過點 ．

210．二次函數y=kx＋3x－4的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍

．

2211．拋物線y=x－2ax＋a的頂點在直線y=2上，則a的值是 ．

12．拋物線y=3x＋5x與兩坐標軸交點的個數為（）A．3個

B．2個

C．1個

D．無

abc??213．如圖1所示，函數y=ax－bx＋c的圖象過（－1，0），則b?cc?aa?b的值是（）

A．－3

B．3

1C．2

1D．－2

14．已知二次函數y=ax＋bx＋c的圖象如圖2所示，則下列關系正確的是（）2bbbbA．0＜－2a＜1 B．0＜－2a＜2 C．1＜－2a＜2 D．－2a=1 15．已知二次函數y=x＋mx＋m－2．求證：無論m取何實數，拋物線總與x軸有兩個交點．

2216．已知二次函數y=x－2kx＋k＋k－2．（1）當實數k為何值時，圖象經過原點？

（2）當實數k在何范圍取值時，函數圖象的頂點在第四象限內？

217．已知拋物線y=mx＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）與x軸有兩個不同的交點．（1）求m的取值范圍；

（2）判斷點P（1，1）是否在拋物線上；

（3）當m=1時，求拋物線的頂點Q及P點關于拋物線的對稱軸對稱的點P′的坐標，并過P′、Q、P三點，畫出拋物線草圖．

218．已知二次函數y=x－（m－3）x－m的圖象是拋物線，如圖2-8-10．（1）試求m為何值時，拋物線與x軸的兩個交點間的距離是3？

2（2）當m為何值時，方程x－（m－3）x－m=0的兩個根均為負數？

（3）設拋物線的頂點為M，與x軸的交點P、Q，求當PQ最短時△MPQ的面積． 2

19．在平原上，一門迫擊炮發射的一發炮彈飛行的高度y（m）與飛行時間x（s）的關系滿12足y=－x＋10x． 5（1）經過多長時間，炮彈達到它的最高點？最高點的高度是多少？（2）經過多長時間，炮彈落在地上爆炸？

220．已知拋物線y=x－（k＋1）x＋k．（1）試求k為何值時，拋物線與x軸只有一個公共點；（2）如圖，若拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸的負半軸交于點C，試問：是否存在實數k，使△AOC與△COB相似？若存在，求出相應的k值；若不存在，請說明理由．