第一篇：22.2 二次函數與一元二次方程 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

知識與技能

1．總結出二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，表述何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根．

2．會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解.過程與方法

經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的聯系． 情感態度價值觀

通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數，討論一元二次方程的根的情況，進一步體會數形結合思想．

2.教學重點/難點

重點:方程與函數之間的聯系，會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解.難點:二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系.3.教學用具 4.標簽

教學過程

教學過程設計

（一）問題的提出與解決

問題 如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線.如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關系

考慮以下問題（1）球的飛行高度能否達到15m？如能，需要多少飛行時間？（2）球的飛行高度能否達到20m？如能，需要多少飛行時間？（3）球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？（4）球從飛出到落地要用多少時間？

分析：由于球的飛行高度h與飛行時間t的關系是二次函數

所以可以將問題中h的值代入函數解析式，得到關于t的一元二次方程，如果方程有合乎實際的解，則說明球的飛行高度可以達到問題中h的值：否則，說明球的飛行高度不能達到問題中h的值.從上面可以看出.二次函數與一元二次方程關系密切.由學生小組討論，總結出二次函數與一元二次方程的解有什么關系？

（二）問題的討論

二次函數 的圖象如圖26.2－2所示.（1）以上二次函數的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標是多少？（2）當x取公共點的橫坐標時，函數的值是多少？由此，你能得出相應的一元二次方程的根嗎？

先畫出以上二次函數的圖象，由圖像學生展開討論，在老師的引導下回答以上的問題.可播放課件：函數的圖像，輸入a,b,c的值，劃出對應的函數的圖像，觀察圖像，說出函數對應方程的解.可以看出：

（三）歸納 一般地，從二次函數（1）如果拋物線的圖象可知，與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當x的一個根.＝x0時，函數的值是0，因此x＝x0就是方程（2）二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點.這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根.由上面的結論，我們可以利用二次函數的圖象求一元二次方程的根.由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的.（四）例題

播放課件：函數的圖象與求解一元二次方程的解，前一個課件用來畫圖，可根據圖像估計出方程x2－2x－2＝0實數根的近似解，后一個課件可以準確的求出方程的解，體會其中的差異.（五）小結 總結本節的知識點.（六）作業: 板書

第二篇：二次函數與一元二次方程教學設計

二次函數與一元二次方程教學設計

留格初中

黃美娜

一、教材分析

1、教材所處的地位和作用：

《二次函數與一元二次方程》是初中數學（山東教育出版社）九年級上冊《二次函數》的一節內容。本節內容體會二次函數與一元二次方程之間的聯系；理解二次函數圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，及何時方程有兩個不等的實根，兩個相等的實根和沒有實根；通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數，討論一元二次方程的根的情況，進一步培養學生運用數形結合思想解決問題的能力;通過這節的學習，學生將掌握二次函數與一元二次方程的關系，本節是初中階段所學的有關函數知識的重要內容之一。2.教學目標

知識與技能目標：理解二次函數圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，及何時方程有兩個不等的實根，兩個相等的實根和沒有實根；理解一元二次方程的根就是二次函數y=h（h是實數）圖象交點的橫坐標．

過程與方法目標：體會二次函數與方程之間的聯系；掌握用圖象法求方程的近似根； 情感態度與價值觀：培養學生熱愛數學、主動探究的能力

教學重點：把握二次函數圖象與x軸（或y=h）交點的個數與一元二次方程的根的關系． 教學難點：應用一元二次方程根的判別式，及求根公式，來對二次函數及其圖象進行進一

步的理解．

二、教學策略：

1、教學手段：啟發式講解 互動式討論 研究式探索

本節課以學生的自主探索為主，老師主要通過演示引導啟發學生得出結論，這樣有利于學生提高學習興趣，獲得成就感。在教學中可以放手讓學生自己去畫圖象，討論研究出函數與一元二次方程的關系，以提問的形式與學生互動，通過練習加深學生對函數性質的理解和應用。

2、教學方法及學法：自主探索 觀察發現 合作交流 對比歸納

三、學情分析：

學生的知識技能基礎：學生在上學期已經學習過一元二次方程的知識，之前學習了二次函數的圖象和代數表達式的三種表示方法，其中主要對一般式和頂點式做了大量的訓練，因而從“數”的方面對二次函數有了比較全面的認識，但對交點式仍然停留在感性認識層面，特別是對于從數形結合的這一數學思想來認識二次函數，他們對整章各節知識的關系還沒有真正完整的形成，通過從本節課學習二次函數與一元二次方程之間的關系開始，學生將會對二次函數的“數”和“形”真正開始進行全面、深刻的接觸。

學生活動經驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經經歷了認識二次函數圖象、求二次函數解析式、利用建立二次函數的數學模型，通過轉化為頂點式求出最值，解決了一些簡單的實際問題，感受到了二次函數與生活的緊密聯系，他們已經有了探索本節課的數學基礎；同時在以前的數學學習中學生已經經歷了一次函數圖象應用的學習，對于一次函數和一元一次方程的關系有了較多的認識，因此教學中多采取聯想、類比的啟發式教學，相信他們會有能力完成好本節新課的學習任務。

【學習過程】

環節一：學生預習,教師導學：

我們已經知道,豎直上拋物體的高度h(m)與運動時間t(s)的關系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是拋出時的高度,v0(m/s)是拋出時的速度.一個小球從地面以40m/s的速度豎直向上拋出起,小球的高度h(m)與運動時間t(s)的關系如圖所示,那么(1)h和t的關系式是什么？

(2)小球經過多少秒后落地?你有幾種求解方法?與同伴進行交流.【設計意圖】：通過設置問題，幫助學生體會二次函數與實際生活密不可分的關系；初步感受二次函數與一元二次方承的聯系。

環節二：學生合作，教師參與：

1.在同一坐標系中畫出二次函數y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象并回答下列問題：(1).每個圖象與x軸有幾個交點？

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個根?驗證一下一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?(3).二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系? 例題講解

1、在本節一開始的小球上拋問題中,何時小球離地面的高度是60cm?你是如何知道的?

2、二次函數y=ax+bx+c何時為一元二次方程?它們的關系如何?

【設計意圖】：這是本節的重點，比較抽象，因此通過畫圖讓學生能夠清楚形象的解決問題，并且能夠培養學生總結問題的能力。環節三：學生展示，教師點撥： 若方程ax2+bx+c=0的根為x1=-2和x2=3，則二次函數 y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點坐標是

.2 拋物線y=0.5x2-x+3與x軸的交點情況是（）

A 兩個交點

B 一個交點

C 沒有交點

D 畫出圖象后才能說明 3 不畫圖象，求拋物線y=x2-x-6與x軸交點坐標.【設計意圖】：本環節是對本節知識的鞏固應用，是對新知識點生華，培養學生數學思維的嚴謹性

環節四：學生探究，教師引領：（給同學充分的時間考慮，1號同學發言交流，教師引導補充）

2如圖，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置OA，A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標系，水流噴出的高度y(m)與水平距離x(m)之間的關系式是y=-x2+2x+3(x﹥0).柱子OA的高度是多少米？若不計其它因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？

【設計意圖】：本環節目的是為了培養優生，鍛煉學生的發散思維能力。環節五：學生達標，教師測評：

1．這節課我們主要學習了哪些知識？（提示：鼓勵學生交流收獲，視情況給小組加分）2．檢測：

（1）拋物線y=x2+2x-3與x軸的交點個數是

（2）拋物線y=mx2-3x+3m+m2經過原點，則其頂點坐標為

【設計意圖】：本環節是為了檢測學生一節課的收獲，使教師能夠全面了解學生的接收受情況，以備個別輔導。

教學反思：

本節主要內容是用函數的觀念看一元二次方程，探討二次函數與一元二次方程的關系。教材結合一個具體的實例討論了一元二次方程的實根與二次函數圖象之間的聯系，然后介紹了用圖象法求一元二次方程近似解的過程。這一節是反映函數與方程這兩個重要數學概念之間的聯系的內容。

本節課，在引入問題的設計中做的不夠充分，知識的生成沒能有效呼應，沒有達到預設的課堂效果。我要在以后的課堂教學中，加強對教材的研讀，合理把握重難點，在情景引入和知識生成的問題設計上多下功夫，力爭使自己的教育教學水平有新的突破

第三篇：二次函數與一元二次方程教案

22.5二次函數與一元二次方程（教案）

一、教學目標

1、經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數之間的關系.2、理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系，理解何時函數有兩個交點、一個交點和沒有沒有交點.3、理解一元二次方程的根就是二次函數與x軸交點的橫坐標.二、教學重點和難點

重點：探索二次函數圖象與x軸的交點及一元二次方程的根的情況.難點：利用圖象法探究交點個數的判別方法.三、教學方法 自主探究、合作交流

四、教學設計

1.舊知回顧：（1）一次函數y＝x＋2的圖象與x軸的交點為（，）

一元一次方程x＋2＝0的根為________

（2）一次函數y＝－3x＋6的圖象與x軸的交點為（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根為________ 通過觀察對比，一次函數y＝kx＋b的圖象與x軸的交點與一元一次方程kx＋b＝0的根有什么關系？

結論：一次函數y＝kx＋b的圖象與x軸的交點的橫坐標就是一元一次方程kx＋b＝0的根 2.新課引入：

2.1問題導出：二次函數y＝ax2＋bx＋c與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有什么關系？ 動手操作：請每位同學在方格紙中畫出二次函數y＝x－2x－3的圖象 觀察思考：你的圖象與x軸的交點坐標是什么？ 解一元二次方程： x－2x－3＝0

你發現了什么？ 發現的結論：（1）二次函數y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點的橫坐標就是當y＝0時一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根

（2）二次函數的問題可以轉化為一元二次方程去解決 反饋練習1：求下列二次函數與x軸的交點坐標

（1）y＝x＋4x－5；（2）y＝－x＋6x－9；（3）y＝2x＋3x＋5

通過計算發現問題：不是所有的二次函數與x軸都有兩個交點！有的函數只有一個交點，有的沒有交點（借助圖象的平移說明這個事實）

2.2設想：二次函數與x軸的交點個數與一元二次方程的解的個數有關系 我們在學習一元二次方程時是用什么來判斷解的個數的？ 回顧判別式：對于一元二次方程ax＋bx＋c＝0 b－4ac＞0 b－4ac＝0 b2－4ac＜0 22

2方程有兩個不相等的實數根 方程有兩個相等的實數根 方程沒有實數根

那么，對于二次函數y＝ax2＋bx＋c，判別式又能給我們什么樣的結論？學生歸納： b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b－4ac＜0 2函數與x軸有兩個交點 函數與x軸有一個交點 函數與x軸沒有交點

反饋練習2：判斷下列二次函數圖象與x軸的交點情況（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b為常數，a≠0）

2.3聯想：二次函數與x軸的交點個數可以借助判別式解決，那么二次函數與一次函數的交點個數又該怎么解決呢？

例如，二次函數y＝x－2x－3和一次函數y＝x＋2有交點嗎？有幾個？

分析：兩個函數的交點是這兩個函數的公共解，列出方程組，消去y后再利用判別式判斷即可.反饋練習3：二次函數y＝x2－2x－3和一次函數y＝x＋b有唯一公共點，求出b的值.3.交流總結

4.作業 2

第四篇：22.2二次函數與一元二次方程教學設計

22.2二次函數與一元二次方程

【教學目標】 知識與技能：

理解二次函數與一元二次方程的關系，會判斷拋物線與x軸的交點個數、掌握方程與函數間的轉化。過程與方法：

逐步探索二次函數與一元二次方程之間的關系，函數圖象與x軸的交點情況。由特殊到一般，提高學生的分析、探索、歸納能力。情感、態度與價值觀：

培養合作的良好意識和大膽探索數學知識間聯系的好習慣，體會到二次函數廣泛意義。【教學重點】：探索一次函數圖象與一元二次方程的關系，理解拋物線與x軸交點情況。【教學難點】：函數?方程?x軸交點，三者之間的關系的理解與運用。【教學準備】：多媒體課件、作圖工具 【教學方法】：提問法，練習法，總結法 【教學過程】

一、師生互動、課堂探究

1．[探究]（1）教材P43問題：如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線。如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關系：h=20t-5t2.考慮以下問題：

球的飛行高度能否達到15m？如能，需要多少飛行時間？

球的飛行高度能否達到20m？如能，需要多少飛行時間？

球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？ 球從飛出到落地需要多少時間？ 學生交流各自愿 求解方法與結論。

[歸納]二次函數與一元二次方程有如下關系；

1、函數y=ax2+bx+c，當函數值y為某一確定值m時，對應自變量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根。特別是y=0時，對應的自變量x的值就是方程ax2+bx+c=0的根。以上關系，反過來也成立。

[議一議]利用以上關系，可以解決什么問題？

利用以上關系，可以解決兩個方面問題。其一，當y為某一確定值時，可通過解方程來求出相應的自變量x值；其二，可以利用函數圖象來找出相應方程的根。2．二次函數的圖象與x軸的交點情況同一元二次方程的根的情況之間的關系 [議一議]觀察圖中的拋物線與x軸的交點情況，你能得出相應方程的根嗎？ 方程x2+x-2=0的根是x1=-2，x2 =1.方程x2-6x+9=0的根是x1= x2=3。方程x2-x+1=0無實數根。[歸納] 一般地，從二次函數y=ax2+bx+c的圖象可知： 如果拋物線y=與x軸有公共點（x0，0），那么x0就是方程ax2+bx+c=0的一個根。

拋物線與x軸的三種位置關系：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。

三、課堂練習：

根據本節課的內容選4個題進行檢測，檢查學生掌握的程度。針對存在的問題小組進行評講，老師總結評價。

四、課時小結：

一般地，從二次函數y=ax2+bx+c的圖象可知： 如果拋物線y=與x軸有公共點（x0，0），那么x0就是方程ax2+bx+c=0的一個根。拋物線與x軸的三種位置關系：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。

五、布置作業：課本P47習題22.2第1、2題

教學反思：

第五篇：二次函數與一元二次方程教案1

二次函數與一元二次方程教案1 二次函數與一元二次方程

教學目標

(一)教學知識點

1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程,體會方程與函數之間的聯系.2.理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系,理解何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數和沒有實根.3.理解一元二次方程的根就是二次函數與y=h(h是實數)交點的橫坐標.(二)能力訓練要求

1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程,培養學生的探索能力和創新精神.2.通過觀察二次函數圖象與x軸的交點個數,討論一元二次方程的根的情況,進一步培養學生的數形結合思想.3.通過學生共同觀察和討論,培養大家的合作交流意識.(三)情感與價值觀要求

1.經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程,體驗數學活動充滿著探索與創造,感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性.2.具有初步的創新精神和實踐能力.教學重點

1.體會方程與函數之間的聯系.2.理解何時方程有兩個不等的實根,兩個相等的實數和沒有實根.3.理解一元二次方程的根就是二次函數與y=h(h是實數)交點的橫坐標.教學難點

1.探索方程與函數之間的聯系的過程.2.理解二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系.教學方法

討論探索法.教具準備

投影片二張

第一張:(記作§2.8.1A)

第二張:(記作§2.8.1B)

教學過程

Ⅰ.創設問題情境,引入新課

[師]我們學習了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函數y=kx+b(k≠0)后,討論了它們之間的關系.當一次函數中的函數值y=0時,一次函數y=kx+b就轉化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標即為一元一次方程kx+b=0的解.現在我們學習了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),它們之間是否也存在一定的關系呢?本節課我們將探索有關問題.Ⅱ.講授新課

一、例題講解

投影片:(§2.8.1A)

我們已經知道,豎直上拋物體的高度h(m)與運動時間t(s)的關系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是拋出時的高度,v0(m/s)是拋出時的速度.一個小球從地面被以40m/s的速度豎直向上拋起,小球的高度h(m)與運動時間t(s)的關系如下圖所示,那么

(1)h與t的關系式是什么?

(2)小球經過多少秒后落地?你有幾種求解方法?與同伴進行交流.[師]請大家先發表自己的看法,然后再解答.[生](1)h與t的關系式為h=-5t2+v0t+h0,其中的v0為40m/s,小球從地面被拋起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h與t的關系式.(2)小球落地時h為0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h為0,求出t即可.還可以觀察圖象得到.[師]很好.能寫出步驟嗎?

[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0，當v0=40,h0=0時，h=-5t2+40t.(2)從圖象上看可知t=8時,小球落地或者令h=0,得:

-5t2+40t=0，即t2-8t=0.∴t(t-8)=0.∴t=0或t=8.t=0時是小球沒拋時的時間,t=8是小球落地時的時間.二、議一議

投影片:(§2.8.1B)

二次函數①y=x2+2x, ②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的圖象如下圖所示.(1)每個圖象與x軸有幾個交點?

(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有幾個根?解方程驗證一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根嗎?

(3)二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關系?

[師]還請大家先討論后解答.[生](1)二次函數y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象與x軸分別有兩個交點,一個交點,沒有交點.(2)一元二次方程x2+2x=0有兩個根0,-2;方程x2-2x+1=0有兩個相等的根1或一個根1;方程x2-2x+2=0沒有實數根.(3)從觀察圖象和討論中可知,二次函數y=x2+2x的圖象與x軸有兩個交點,交點的坐標分別為(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有兩個根0,-2;

二次函數y=x2-2x+1的圖象與x軸有一個交點,交點坐標為(1,0),方程x2-2x+1=0有兩個相等的實數根(或一個根)1;二次函數y=x2-2x+2的圖象與x軸沒有交點,方程x2-2x+2=0沒有實數根.由此可知,二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的橫坐標即為一元二次方程ax2+bx+c=0的根.[師]大家總結得非常棒.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點有三種情況:有兩個交點、有一個交點、沒有交點.當二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點時,交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、想一想

在本節一開始的小球上拋問題中,何時小球離地面的高度是60m?你是如何知道的?

[師]請大家討論解決.[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,當h0=0,v0=40m/s,h=60m時,有

-5t2+40t=60，t2-8t+12=0，∴t=2或t=6.因此當小球離開地面2秒和6秒時,高度都是60m.Ⅲ.課堂練習

隨堂練習(P67)

Ⅳ.課時小結

本節課學了如下內容:

1.經歷了探索二次函數與一元二次方程的關系的過程,體會了方程與函數之間的聯系.2.理解了二次函數與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系,理解了何時方程有兩個不等的實根.兩個相等的實根和沒有實根.Ⅴ.課后作業

習題2.9

板書設計

§2.8.1二次函數與一元二次方程(一)

一、1.例題講解(投影片§2.8.1A)

2.議一議(投影片§2.8.1B)

3.想一想

二、課堂練習

隨堂練習

三、課時小結

四、課后作業

備課資料

思考、探索、交流

把4根長度均為100m的鐵絲分別圍成正方形、長方形、正三角形和圓,哪個的面積最大?為什么?

解:(1)設長方形的一邊長為x m,另一邊長為(50-x)m,則

S長方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.即當x=25時,S最大=625.(2)S正方形=252=625.(3)∵正三角形的邊長為 m,高為 m，∴S三角形= =≈481(m2).(4)∵2πr=100,∴r=.∴S圓=πr2=π·()2=π· = ≈796(m2).所以圓的面積最大.