第一篇：抽屜原理及其應用

抽屜原理及其應用

張 志 修

摘要：抽屜原理雖然簡單，但應用卻很廣泛，它可以解答很多有趣的問題，其中有些問題還具有相當的難度。掌握了抽屜原理解題的步驟就能思路清晰的對一些存在性問題、最小數目問題做出快速準確的解答。運用抽屜原理，制造抽屜是運用原則的一大關鍵。首先要確定分類對象（即“物體”），再從分類對象中找出分類規則（即“抽屜”）．根據題目條件和結論，結合有關的數學知識，抓住最基本的數量關系，設計和確定解決問題所需的抽屜及其個數，為使用抽屜鋪平道路。一般來說，“抽屜”的個數應比“物體”的個數少，最后運用抽屜原理。

關鍵詞：代數 幾何 染色 存在性

引言

抽屜原理最早是由德國數學家狄利克雷發現的，因此也叫狄利克雷重疊原則。抽屜原理是一條重要的理論。運用抽屜原理可以論證許多關于“存在”、“總有”、“至少有”的存在性問題。學習抽屜原理可以用來解決數學中的許多問題，也可以解決生活中的一些現象。

抽屜原理的內容

第一抽屜原理：

原理1 把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。

[證明]（反證法）：如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數至多是n，而不是題設的n?k?k?1?，這不可能。

原理2 把多于mn(m乘以n)個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m?1個或多于m?1個的物體。

[證明]（反證法）：若每個抽屜至多放進m個物體,那么n個抽屜

至多放進mn個物體,與題設不符，故不可能。

原理3 把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜里 有無窮個物體。.原理1 2 3都是第一抽屜原理的表述 第二抽屜原理：

把?mn﹣1?個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有?mn﹣1?個物體。

[證明]（反證法）：若每個抽屜都有不少于m個物體，則總共至少有mn個物體，與題設矛盾，故不可能。

一、應用抽屜原理解決代數問題

抽屜原理在公務員考試中的數字運算部分時有出現。抽屜原理是用最樸素的思想解決組合數學問題，它易于接受，在數學問題中有重要的作用。

1、整除問題常用剩余類作為抽屜。把所有整數按照除以某個自然數m的余數分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用?0?，?，?2?，?1?，?m﹣1?表示。

例1：對于任意的五個自然數，證明其中必有3個數的和能被3整除。

證明∵任何數除以3所得余數只能是0，1，2，不妨分別構造為3個抽屜：

?0?，?1?，?2?

①若這五個自然數除以3后所得余數分別分布在這3個抽屜中

(即抽屜中分別為含有余數為0，1，2，的數)，我們從這三個抽屜中各取1個(如1到5中取3,4,5)，其和?3?4?5?12? 必能被3整除。

②若這5個余數分布在其中的兩個抽屜中，則其中必有一個抽屜，包含有3個余數（抽屜原理），而這三個余數之和或為0，或為3，或為6，故所對應的3個自然數之和是3的倍數。

③若這5個余數分布在其中的一個抽屜中，很顯然，必有3個自然數之和能被3整除。

2、還有的以集合造抽屜

例2：從1、2、3、4??、12這12個自然數中，至少任選幾個，就可以保證其中一定包括兩個數，他們的差是7？

分析與解答：在這12個自然數中，差是7的自然數有以下5對：?12,5? ?11,4? ?10,3? ?9,2? ?8,1?。另外，還有2個不能配對的數是?6? ?7?。可構造抽屜原理，共構造了7個抽屜。只要有兩個數是取自同一個抽屜，那么它們的差就等于7。這7個抽屜可以表示為?12,5? ?11,4? ?10,3?

?9,2? ?8,1? ?6? ?7?，顯然從7個抽屜中取8個數，則一定可以使有兩個數字來源于同一個抽屜，也即作差為7。

二、應用抽屜原理解決幾何問題

利用分割圖形的方法構造抽屜

本方法主要用于解決點在幾何圖形中的位置分布和性質問題,通常我們把一個幾何圖形分割成幾部分,然后把每一部分當做一個“抽屜”,每個抽屜里放入相應的元素。

例3：已知邊長1為的等邊三角形內有5個點，則至少有兩個點

距離不大于1/2。

證明：用兩邊中點的連線將邊長為1的等邊三角形分成 四個邊長為1/2的等邊三角形，若規定邊DE、EF、FD上的 點屬于三角形DEF，則三角形ABC內的所有點被分為 4個全等的小等邊三角形，由抽屜原理，三角形內的任意5個點至少有2個點屬于同一小等邊三角形，由“三角形內（包括邊界）任意兩點間的距離不大于其最大邊長”知這兩個點距離不大于1/2。

抽屜原理與中學數學的關系，常用抽屜原理的最值的思路解中學數學題。

例4:用柯西不等式及二元均值不等式證明了如下三角不等式： 在△ABC中，有sin2A?sin2B?sin2C?.證明：由抽屜原理知sinA,sinB,sinC中必有兩個不大于或不小于3294，不妨設sinA?33,sinB?22或sinA?33,sinB?22則[sin2A?(323)][sin2B?()2]?0,故 2243sin2A?sin2B?sin2Asin2B?

34于是

43sin2A?sin2B?sin2C?sin2Asin2B?sin2C?

344cos(A?B)?cos(A?B)23]?sin2C? =[32413?(1?cosC)2?1?cos2C? 34219??(cosC?)2? 3249? 4

三、應用抽屜原理解決染色問題

染色問題是數學中的重要內容之一，也是深受廣大師生喜愛的的題目類型之一。染色問題是借用圖論的思想心提高解決問題的能力，所涉及的各科數學知識都不是很難，但染色法解數學問題技巧性非常強，而且解題的途徑都比較獨特，難度往往在于尋求解決問題的關鍵所在或最佳方法．

平面染色問題為點染色或線染色問題。通常是根據各個物體所存在的狀態,將它們的狀態看作抽屜原理中的“抽屜”和“元素”,從而來解決問題的。

（1）點染色問題

例5：將平面上每點都任意地染上黑白兩色之一。求證:一定存在一個邊長為1或3的正三角形,它的三個頂點同色。

證明：在這個平面上作一個邊長為1的正三角形。如果A、B、C這三點同色，則結論成立，故不妨設A和B異色。以線段AB為底邊,作一個腰長為2的等腰ABD。由于點A和B異色,故無論D為何色,總有一腰的兩個端點異色。不妨設點A和D異色。設AD的中點為E,則AE=ED=1。不妨設點A和E為白色,點D為黑色。

以AE為一邊,在直線AD兩側各作一個等邊三角形:AEF與AEG。若點F和G中有一個是白點,則導致一個邊長為1的等邊三角形的三個頂點都是白點；否則,邊長為3的等邊DFG的三個頂點同為黑點。

（2）邊染色問題

例6：假設在一個平面上有任意六個點，無三點共線，每兩點用紅色或藍色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個由這些線構成的三角形，使三角形的三邊同色？

解：首先可以從這六個點中任意選擇一點，然后把這一點到其他五點間連五條線段，在這五條線段中，至少有三條線段是同一種顏色，假定是紅色，現在我們再單獨來研究這三條紅色的線。這三條線段的另一端或許是不同顏色，假設這三條線段（虛線）中其中一條是紅色的，那么這條紅色的線段和其他兩條紅色的線段便組成了我們所需要的同色三角形，如果這三條線段都是藍色的，那么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。因而無論怎樣著色，在這六點之間的所有線段中至少能找到一個同色三角形。

四、應用抽屜原理解決實際問題

在有些問題中，“抽屜”和“物體”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的，一方面需要認真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經驗。

例7：黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的2雙筷子（每雙筷子兩根的顏色應一樣），問至少要取材多少根才能保證達到要求？

解：這道題并不是品種單一，不能夠容易地找到抽屜和蘋果，由于有三種顏色的筷子，而且又混雜在一起，為了確保取出的筷子中有2雙不同顏色的筷子，可以分兩步進行。第一步先確保取出的筷子中

有1雙同色的；第二步再從余下的筷子中取出若干根保證第二雙筷子同色。首先，要確保取出的筷子中至少有1雙是同色的，我們把黑色、白色、黃色三種顏色看作3個抽屜，把筷子當作蘋果，根據抽屜原則，只需取出4根筷子即可。其次，再考慮從余下的20根筷子中取多少根筷子才能確保又有1雙同色筷子，我們從最不利的情況出發，假設第一次取出的4根筷子中，有2根黑色，1根白色，1根黃色。這樣，余下的20根筷子，有6根黑色的，7根白色的，7根黃色的，因此，只要再取出7根筷子，必有1根是白色或黃色的，能與第一次取出的1根白色筷子或黃色筷子配對，從而保證有2雙筷子顏色不同，總之，在最不利的情況下，只要取出4?7?11根筷子，就能保證達到目的。

例8：某校校慶，來了n位校友，彼此認識的握手問候.請你證明無論什么情況，在這n個校友中至少有兩人握手的次數一樣多。

分析與解答：共有n位校友，每個人握手的次數最少是0次，即這個人與其他校友都沒有握過手；最多有n﹣1次，即這個人與每位到會校友都握了手.然而，如果有一個校友握手的次數是0次，那么握手次數最多的不能多于n﹣2次；如果有一個校友握手的次數是n-1次，那么握手次數最少的不能少于1次.不管是前一種狀態0、1、2、?、n﹣2，還是后一種狀態1、2、3、?、n-1，握手次數都只有n﹣1種情況.把這n-1種情況看成n-1個抽屜，到會的n個校友每人按照其握手的次數歸入相應的“抽屜”，根據抽屜原理，至少有兩個人屬于同一抽屜，則這兩個人握手的次數一樣多。

抽屜原理雖然簡單，但應用卻很廣泛，它可以解答很多有趣的問題，其中有些問題還具有相當的難度。掌握了抽屜原理解題的步驟就能思路清晰的對一些存在性問題、最小數目問題做出快速準確的解答。運用抽屜原理，制造抽屜是運用原則的一大關鍵。首先要確定分類對象（即“物體”），再從分類對象中找出分類規則（即“抽屜”）．根據題目條件和結論，結合有關的數學知識，抓住最基本的數量關系，設計和確定解決問題所需的抽屜及其個數，為使用抽屜鋪平道路。一般來說，“抽屜”的個數應比“物體”的個數少，最后運用抽屜原理。解決問題，抽屜原理是一個利器。我們在解題的過程中可以迅速代入，更多要思考怎樣用抽屜原理讓問題清晰化，簡單化。通過學習，使我的邏輯思維能力得到了提高，擴展了我的知識面，掌握了“抽屜原理”的基本內容，懂得把所學知識運用到生活中去，運用“抽屜原理”解決生活中的許許多多以前不明白的現象。

參考文獻：

[1] 殷志平、張德勤著《數學解題轉化策略舉要》

《中學教學教與學》1996.1 第19頁 [2] 宿曉陽著《用抽屜原理巧證一個三角不等式》

《中學數學月刊》2010.6 第45頁

[3] 其他參考：http:// http://baike.baidu.com/view/8899.htm http://wenku.baidu.com/view/4527ed3710661ed9ad51f30e.html http://wenku.baidu.com/view/158dd2***92ef78c.html http:///free/20101221/84545509713564.html http://wenku.baidu.com/view/4272e8f9941ea76e58fa0489.html 8

第二篇：抽屜原理及其簡單應用

抽屜原理及其應用

摘 要: 本文著重從抽屜的構造方法闡述抽屜原理,介紹了抽屜原理及其常見形式，并結合實例探討了這一原理在高等數學和初等數論中的應用。關鍵詞: 組合數學；抽屜原理；抽屜構造

1．引言

抽屜原理也叫鴿籠原理, 它是德國數學家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet)首先提出來的, 因此也稱作狄利克雷原理.它是數學中一個基本的原理，在數論和組合論中有著廣泛的應用。在數學的學習研究中，我們也可以把它看作是一種重要的非常規解題方法，應用它能解決許多涉及存在性的數學問題。

2．抽屜原理的基本形式與構造

2.1基本形式

陳景林、閻滿富編著的中國鐵道出版社出版的《組合數學與圖論》一書中對抽屜原理給出了比較具體的定義，概括起來主要有下面幾種形式: 原理Ⅰ 把多于n個的元素按任一確定的方式分成n個集合，則一定有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素。

原理Ⅱ 把m個元素任意放到n(m?n)個集合里，則至少有一個集合里至少有k個元素，其中

?m , 當n能整除m時,??nk???m??　　?1　, 當n不能整除m時.?????n?原理Ⅲ 把無窮個元素按任一確定的方式分成有窮個集合，則至少有一個集合中仍含無窮個元素。

2.2基本構造

利用抽屜原理解題過程中首先要注意指明什么是元素，什么是抽屜，元素進入抽屜的規則是什么，以及在同一個盒子中，所有元素具有的性質。構造抽屜是用抽屜原理解題的關鍵。有的題目運用一次抽屜原理就能解決，有的則需反復用多次；有些問題明顯能用抽屜原理解決，但對于較復雜的問題則需經過一番剖析轉化才能用抽屜原理解決。3.利用抽屜原理解題的常用方法

3.1利用劃分數組構造抽屜

例1 在前12個自然數中任取七個數，那么, 一定存在兩個數, 其中的一個數是另一個數的整數倍。

分析：若能把前12個自然數劃分成六個集合, 即構成六個抽屜，使每個抽屜內的數或只有一個, 或任意的兩個數, 其中的一個是另一個的整數倍，這樣, 就可以由抽屜原理來推出結論。現在的問題是如何對這12個自然數：1，2 ,?,12 進行分組, 注意到一個自然數, 它要么是奇數, 要么是偶數。若是偶數, 我們總能把它表達為奇數與2k（k?1,2,3...）的乘積的形式，這樣, 如果允許上述乘積中的因子2k的指數K可以等于零, 則每一個自然數都可表達成“ 奇數?2k”（k?1,2,3...）的形式, 于是, 把1，2，3?,12個自然數用上述表達式進行表達, 并把式中“奇數” 部分相同的自然數作為一組, 構成一個抽屜。

證明： 把前12個自然數劃分為如下六個抽屜：

A1={1?20,1?21,1?22,1?23} A2={3?20,3?21,3?22} A3={5?20,5?21} A4={7?20} A5={9?20} A6={11?20} 顯然, 上述六個抽屜內的任意兩個抽屜無公共元素, 且A1+A2+...+A6={1,2,3,...,12}.于是，由抽屜原理得，對于前12個自然數不論以何種方式從其中取出七個數，必定存在兩個數同在上述六個抽屜的某一個抽屜內。設x、y是這兩個數，因為A4、A5、A6都是單元素集，因此，x、y不可能同在這三個抽屜中的任何一個抽屜內。可見，x、y必同在A1、A2、A3的三個抽屜中的某一個之內，這樣x和y兩個數中，較大的數必是較小數的整數倍。例2 學校組織1993名學生參觀天安門，人民大會堂和歷史博物館，規定每人必須去一處，最多去兩處參觀。那么至少有多少學生參觀的地方完全相同？

分析：我們可以把某學生參觀某處記作“1”，沒有去參觀記作“0”。并用有序數組{a，b，c}表示學生去參觀天安門、人民大會堂和歷史博物館的不同情況。因為規定每人必須去一處，最多去兩處，所以參觀的方式，只有下列六種可能：

{1、1、0} {1、0、1} {0、1、1} {1、0、0} {0、1、0} {0、0、1} 把這六種情況作為六個抽屜，根據抽屜原理，在1993名學生中，至少有（1993）+1=333人參觀的地方相同。63.2利用余數構造抽屜

把所有整數按照除以某個自然數m的余數分為m類，叫做m的剩余類或同余類，用[0],[1],[2],?,[m?1]表示。在研究與整除有關的問題時，常常用剩余類作為抽屜。

例3 對于任意的五個自然數，證明其中必有3 個數的和能被3 整除。

證明：任何數除以3 所得余數只能是0，1，2，不妨分別構造為3個抽屜：[0]，[1]，[2]

1、若這五個自然數除以3 后所得余數分別分布在這3 個抽屜中(即抽屜中分別為含有余數為0,1,2 的數)，我們從這三個抽屜中各取1 個(如1到5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3 整除。

2、若這5 個余數分布在其中的兩個抽屜中，則其中必有一個抽屜，包含有3 個余數（抽屜原理），而這三個余數之和或為0，或為3，或為6，故所對應的3 個自然數之和是3 的倍數。

3、若這5 個余數分布在其中的一個抽屜中，很顯然，必有3 個自然數之和能被3 整除。

3.3利用等分區間構造抽屜

所謂等分區間簡單的說即是：如果在長度為1的區間內有多于n個的點，可考慮把區間n等分成n個子區間，這樣由抽屜原理可知，一定有兩點落在同一子

1區間，它們之間的距離不大于這種構造法常用于處理一些不等式的證明。

n例4 已知11個數x1,x2,?,x11,全滿足0?xi?1　,i＝1,　2　?　,11,證明必有兩個xi,xj(i?j)滿足xi?xj?1.101.由抽屜原理，10證明：如圖1，將實數軸上介于0與1那段(連同端點)等分為10小段(這10個小段也就是10個等分區間，即10個抽屜)，每一小段長為

?11?11個點(數)中至少有??+1=2個點落在同一條小線段上，這兩點相應的數之差

?10?的絕對值? 1.100

圖1 對于給定了一定的長度或區間并要證明不等式的問題，我們常常采用等分區間的構造方法來構造抽屜，正如上面的例子，在等分區間的基礎上我們便很方便的構造了抽屜，從而尋找到了證明不等式的一種非常特殊而又簡易的方法，與通常的不等式的證明方法(構造函數法，移位相減法)相比，等分區間構造抽屜更簡易，更容易被人接受。

3.4利用幾何元素構造抽屜

在涉及到一個幾何圖形內有若干點時，常常是把圖形巧妙地分割成適當的部分，然后用分割所得的小圖形作抽屜。這種分割一般符合一個“分劃”的定義，即抽屜間的元素既互不重復，也無遺漏；但有時根據解題需要，分割也可使得抽屜之間含有公共元素。

例5 如果直徑為5的圓內有10個點，求證其中有某兩點的距離小于2。分析：把圓等分成9個扇形而構造出9個抽屜，是最先考慮到的，但顯然是不行的（雖然有兩個點在某一扇形內，但不能確認它們之間的距離小于2）。轉而考慮先用一個與已知圓同心，半徑為1 的不包含邊界的小圓作為一個抽屜，然后把圓環部分等分成八個部分，如圖二所示，這樣就構成了9個抽屜。

證明：先將圓分成八個全等的扇形，再在中間作一個直徑d=1.8的圓(如圖2)，這就把已知的圓分成了9個區域(抽屜).由抽屜原理，圓內的10個點(球)，必有兩點落在同一區域內，只須證明每個區域中的兩點的距離都小于2.顯然，小圓內任兩點間的距離小于2，又曲邊扇形ABCD中，AB?2，AD?2，CD?2，而任兩點距離最大者AC，有

AC =OA2?OC2?2OA?OCcos45?

=2.52?0.92?2.5?0.9?2=3.88<2.圖2

3.5利用狀態制構造抽屜

例6 設有六點，任意三點不共線，四點不共面，如果把這六個點兩兩用直線聯系起來，并把這些直線涂以紅色或者藍色.求證：不論如何涂色，總可以找到三點，做成以它們為頂點的三角形，而這三角形三邊涂有相同的顏色。

分析：設已知六點為A1,A2,A3,A4,A5,A6,由于任三點不共線，所以任三點均可作為某三角形的三個頂點。

證明：從六個點中任取一點A1，將A1與其余五點相連得到五條線段，線段如下所示： A1A2,A1A3,A1A4,A1A5,A1A6,這五條線段只有兩種顏色即紅色或者藍色，由抽屜原理知，至少有三條涂有同一種顏色。顏色為抽屜，線段為元素，不妨設A1A2,A1A3,A1A4,涂有紅色，這時我們考察△A2A3A4

(1)若△A2A3A4中有一條紅色邊，如A2A3，則△A1A2A3為三邊同紅的三角形；

(2)若△A2A3A4中無一條紅色邊，則△A2A3A4就是三邊均為藍色的三角形。4.抽屜原理的應用

4.1抽屜原理在高等數學中的應用

高等數學中一些問題抽象，復雜，解答比較困難，如果一些問題巧妙地運用抽屜原理會收到很好的效果，下列舉例介紹抽屜原理在高等數學中的巧妙應用。

例7 設A為n階方陣，證明：存在1?i?n，使秩(Ai)=秩(Ai?1)=秩(Ai?2)??

證明：因為n階方陣的秩只能是0,1　,　2,　?　,n這n+1個一，由抽屜原理可知，存在k,l滿E?A0,A,A2,?,An,An?1,E的個數多于秩的個數，足1?k

秩(Ak)= 秩(Al), 但

秩(Ak)?秩(Ak?1)???秩(Al), 所以

秩(Ak)=秩(Ak?1), 利用此式與秩的性質得

秩(ABC)?秩(AB)+秩(BC)-秩(B), 這里的A,B,C是任意三個可乘矩陣，用數學歸納法可證

秩(Ak?m)=秩(Ak?m?1).其中m為非負整數，故命題的結論成立。

4.2抽屜原理在初等數論中的應用

例8(中國剩余定理)令m和n為兩個互素的正整數，并令a和b為整數，且0?a?m?1以及0?b?n?1，則存在一個正整數x，使得x 除以m 的余數是a，并且x 除以n 的余數為b，即x可以寫成x?pm?a的同時又可以寫成x?qn?b的形式，這里p 和q 是整數。

(n?1)m?a，證明: 為了證明這個結論考慮n 個整數a，m?a，2m?a，?，這些整數中的每一個除以m都余a.設其中的兩個除以n 有相同的余數r． 令這兩個數為im?a 和jm?a，其中存在兩整數qi和qj，使得im?a?qin?r及jm?a?qjn?r，0?i?j?n?1.因此，這兩個方程相減可得(j?i)m?(qj?qi)n.于是n是(j?i)m的一個因子． 由于n和m沒有除1 之外的公因子，因此n是j?i的因子． 然而，0?i?j?n?1意味著，0?j?i?n?1,也就是說n 不可能是j?i的因子． 該矛盾產生于我們的假設: n個整數a，m?a,2m?a,...,(n?1)m?a中有兩個除以n會有相同的余數。

因此這n個數中的每一個數除以n 都有不同的余數。

根據抽屜原理，n個數0，1，?，n?1 中的每一個作為余數都要出現，特別地，數b也是如此。令p 為整數，滿足0?p?n?1，且使數x?pm?a 除以n余數為b． 則對于某個適當的q，有x?qn?b．

因此，x?pm?a且x?qn?b，從而x具有所要求的性質。

5.結束語

本文對抽屜原理的常見形式及其應用結合實例做了一些探討，為數學解題提供了一種簡便的方法．應用抽屜原理解題的難點在于如何恰當的構造抽屜，而制造抽屜的辦法是靈活多變的, 不能生搬硬套某個模式, 需要靈活運用。

參考文獻

[1]陳景林,閻滿富.組合數學與圖論.北京：中國鐵道出版社出版,2000.4-6 [2]曹汝成.組合數學.廣州：華南理工大學出版社,2001.170-173 ［3]鐘穎.關于抽屜原理［J］.成都教育學院學報，2003，17（7）：75.［4]朱華偉,符開廣.抽屜原理［J］.數學通訊，2006，19（17）：37.[5]忘向東,周士藩等.高等代數常用方法.山西：高校聯合出版社,1989.64-66 [6]劉否南.華夏文集.太原：高校聯合出版社,1995.88-90 [7]魏鴻增等.抽屜原理在高等數學中的應用.數學通報,1995,2.3-4 [8]嚴示健.抽屜原則及其它的一些應用.數學通報,1998,4.10-11

The Principle And Application Of The Drawer

Liu Xiaoli Abstract: this article emphatically from the drawer methods of constructing this drawer principle, and introduces the drawer principle and common form, and combined with the discusses the principle in the higher mathematics elementary theory and the application.Keywords: combinatorial mathematics;drawer principle;theory of drawer structure

第三篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學設計 芙蓉中心小學 簡淑梅 【教學內容】：

人教版《義務教育課程標準實驗教科書●數學》六年級（下冊）第四單元數學廣角“抽屜原理”第70、71頁的內容。【教材分析】：

這是一類與“存在性”有關的問題，教材通過幾個直觀例子，放手讓學生自主思考，先采用自己的方法進行“證明”，然后再進行交流，在交流中引導學生對“枚舉法”、“反證法”、“假設法”等方法進行比較，使學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題，從而抽象出“抽屜原理”的一般規律。并利用這一規律對一些簡單的實際問題加以“模型化”。即：只需要確定實際生活中某個物體（或某個人、或種現象）的存在就可以了。【學情分析】：

抽屜原理是學生從未接觸過的新知識，很難理解抽屜原理的真正含義，尤其是對平均分就能保證“至少”的情況難以理解。

年齡特點：六年級學生既好動又內斂，教師一方面要適當引導，引發學生的學習興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要創造條件和機會，讓學生發表見解，發揮學生學習的主體性。

思維特點：知識掌握上，六年級的學生對于總結規律的方法接觸比較少，尤其對于“數學證明”。因此，教師要耐心細致的引導，重在讓學生經歷知識的發生、發展和過程，而不是生搬硬套，只求結論，要讓學生不知其然，更要知其所以然。【教學目標】：

1．知識與能力目標：

經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。通過猜測、驗證、觀察、分析等數學活動，建立數學模型，發現規律。滲透“建模”思想。

2．過程與方法目標：

經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力。

3．情感、態度與價值觀目標：

通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數學問題的能力和興趣，感受到數學文化及數學的魅力。【教學重點】：

經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。【教學難點】：

理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。【教學準備】：

多媒體課件、撲克牌、盒子、鉛筆、書、練習紙。【教學過程】：

一、課前游戲，激趣引新。

上課伊始，老師高舉3張卡片。（高興狀）

（1）老師這有3張漂亮的卡片，我想把它們送給在坐的三位同學，想要嗎？

（2）在送之前，我想請同學們猜一猜，這三張卡片會到男生手上還是會到女生手上？（學生思考后回答：可能送給了3名女生、可能送給了3名男生、也有可能送給了2名男生和1名女生、還有可能送給了2名女生和1名男生。）

（3）同學們列出的這四種情況是這個活動中可能存在的現象，你能從這四種可能存在的現象中找到一種確定現象嗎？（學生思考后回答：得到卡片的三個同學當中，至少會有兩個同學的性別相同。）

（4）老師背對著學生把卡片拋出驗證學生的說法。

（5）如果老師再拋幾次還會有這種現象出現嗎？其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數學原理，也就是我們今天這節課要研究的學習內容，想不想研究啊？

〖設計意圖〗：在知識探究之前通過送卡片的游戲，從之前學過的“可能性”導入到今天的學習內容。一方面是使教師和學生進行自然的溝通交流；二是要激發學生的興趣，引起探究的愿望；三是要讓學生明白這種“確定現象”與“可能性”之間的聯系，為接下來的探究埋下伏筆。

二、操作探究，發現規律。

1．動手擺擺，感性認識。

把4枝鉛筆放進3個文具盒中。

（1）小組合作擺一擺、記一記、說一說，把可能出現的情況都列舉出來。

（2）提問：不管怎么放，一定會出現哪種情況？討論后引導學生得出：不管怎樣放，總有一個文具盒里至少放了2只鉛筆。

〖設計意圖〗：抽屜原理對于學生來說，比較抽象，特別是“總有一個杯子中

至少放進2根小棒”這句話的理解。所以通過具體的操作，列舉所有的情況后，引導學生直接關注到每種分法中數量最多的杯子，理解“總有一個杯子”以及“至少2根”。

2．提出問題，優化擺法。

（1）如果把 5支鉛筆放進4個文具盒里呢？結果是否一樣？怎樣解釋這一現象？（學生自由擺放，并解釋些種現象存在的確定性。）

（2）老師指著一名擺得非常快的同學問：怎么你比別人擺得更快呢？你是否有最簡潔、最快速的方法，快快說出來和同學一起分享好嗎？

（3）學生匯報了自己的方法后，教師圍繞假設法（平均分的方法），組織學生展開討論：為什么每個杯子里都要放1根小棒呢？

（4）在討論的基礎上，師生小結：假如每個杯子放入一根小棒，剩下的一根還要放進一個杯子里，無論放在哪個杯子里，一定能找到一個杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能將小棒盡可能地分散，保證“至少”的情況。

〖設計意圖〗：鼓勵學生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎上，學生意識到了要考慮最少的情況，從而引出假設法滲透平均分的思想。

3．步步逼近，理性認識。

（1）師：把6枝鉛筆放在5個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆嗎？為什么？

把7支鉛筆放進6個文具盒里呢？

把8枝筆放進7個盒子里呢？

把20枝筆放進19個盒子里呢？

……

（2）符合這種結果的情況你能一一說完嗎？你會用一句歸納這些情況嗎？

（筆的枝數比盒子數多1，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。）

〖設計意圖〗：通過這個連續的過程發展了學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維，從而達到理性認識“抽屜原理”。

4．數量積累，發現方法。

7只鴿子要飛進5個鴿舍里，無論怎么飛，至少會有兩子鴿子飛進同一個鴿舍。為什么？

（1）如果要用一個算式表示，你會嗎？

（2）算式中告訴我們經過第一次平均分配后，還余下了2只鴿子，這兩只鴿子會怎么飛呢？（有可能兩只飛進了同一個鴿舍里，也有可能飛進了不同的鴿舍里。）

（3）不管怎么飛，一定會出現哪種情況？

（4）討論：剛才是鉛筆數比文具盒數多1枝的情況，現在鴿子數比鴿舍要多2只，為什么還是“至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里”？

（4）如果是“8只鴿子要飛進取5個鴿舍里呢？”（余下3只鴿子。）

（5）“9只鴿子要飛進取5個鴿舍里呢？”（余下4只鴿子。）

根據學生的回答，用算式表示以上各題，并板書。

〖設計意圖〗：從余數1到余數2、3、4……，讓學生再次體會要保證“至少”必須盡量平均分，余下的數也要進行二次平均分。并發現余下的鴿子數只要小于鴿舍數，就一定有“至少有兩子鴿子飛進同一個鴿舍”的現象發生。

5．構建模型，解釋原理。

（1）觀察黑板上的算式，你有了什么新的發現？（只要鴿子數比盒鴿舍數多，且小于鴿舍數的兩倍，至少有2只鴿子飛進了同一個鴿舍里。）

（2）剛才我們研究的這些現象就是著名的“抽屜原理”，（教師板書課題：抽屜原理）我們將小棒、鴿子看做物體，杯子、鴿舍看做抽屜。

（3）課件出示：“抽屜原理”又稱“鴿巢原理”，最先是由19世紀的德國數學家狄利克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應用。“抽屜原理”的應用是千變萬化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結果。

（4）請你用“抽屜原理”解釋我們的課前游戲，為什么不管老師怎么送，得到卡片的同學一定有兩個同學的性別是一樣的？其中什么相當于“物體”？什么相當于“抽屜”？

〖設計意圖〗：通過對不同具體情況的判斷，初步建立“物體”、“抽屜”的模型，發現簡單的抽屜原理。研究的問題來源于生活，還要還原到生活中去，所以請學生對課前的游戲的解釋，也是一個建模的過程，讓學生體會“抽屜”不一定是看得見，摸得著，并讓學生體會平常事中也有數學原理，有探究的成就感，激發對數學的熱情。

三、循序漸進，總結規律。

（1）出示71頁的例2：把5本書放進2個抽屜中，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進3本書。為什么？

A、該如何解決這個問題呢？

B、如何用一個式子表示呢？

C、你又發現了什么？

教師根據學生的回答，繼續板書算式。

（2）如果一共有7本書呢？9本書呢？

（3）思考、討論：總有一個抽屜至少放進的本數是“商＋1”還是“商＋余數”呢？為什么？

教師師讓學生充分討論后得出正確的結論：總有一個抽屜至少放進的本數是“商＋1”（教師板書。）

〖設計意圖〗：對規律的認識是循序漸進的。在初次發現規律的基礎上，引導學生抓住假設法最核心的思路---“有余數除法”，學生借助直觀，很好的理解了如果把書盡量多地“平均分”給各個抽屜里，看每個抽屜里能分到多少本書，余下的書不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里比平均分得的書的本數多1本。從而得出“某個抽屜書的至少數”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余數”，從而使學生從本質上理解了“抽屜原理”。四．運用原理，解決問題。

1、基本類型，說說做做。

（1）8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有3只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么？

（2）張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，成績是41環。張叔叔至少有一鏢不低于9環。為什么？

2、深化練習，拓展提升。

（1）有一副撲克牌，去掉了兩張王牌，還剩52張，如果請五位同學每人任意抽1張，同種花色的至少有幾張？為什么？

如果9個人每一個人抽一張呢？

（2）某街道辦事處統計人口顯示，本街道轄區內當年共有 370名嬰兒出生。統計員斷定：“至少有2名嬰兒是在同一天出生的。”這是為什么？ 至少有多少名嬰兒是在同一個月出生的？為什么？

〖設計意圖〗：讓學生運用所學知識去分析、解決生活實際問題，不僅是學生掌握知識的繼續拓展與延伸，還是他們成功解決問題后獲取愉悅心情的重要途經；不同題型、不同難度的練習不僅能進一步調動學生學習的積極性，還能滿足不同的孩子學到不同的數學，并體會抽屜原理的形式是多種多樣的。

五、全課小結，課外延伸。

（1）說一說：今天這節課，我們又學習了什么新知識？你還有什么困惑？

（2）用今天學到的知識向你的家長解釋下列現象：

從1、2、3……100，這100個連續自然數中，任意取出51個不相同的數，其中必有兩個數互質，這是為什么呢？

〖設計意圖〗：既讓學生說數學知識的收獲，也引導學生談情感上的感受，同時培養他們的質疑能力，使三維目標落到實處；把課堂知識延伸到課外，與家長一起分析思考，主要是想拓展學生思維，達到“家校牽手，共話數學”的教學目的。

板書設計。

抽屜原理

物體數 抽屜數 至少數 =商＋1

（鉛筆數）（盒子數）

2

3

÷ 4 =1……1 2 =1＋1 ÷ 5 =1……2 2 =1＋1 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1

〖設計意圖〗：這樣的板書設計是在教學過程中動態生成的，按講思路來安排的，力求簡潔精練。這樣設計便于學生對本課知識的理解與記憶，突出了的教學重點，使板書真正起到畫龍點睛的作用。

第四篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學反思

嚴田小學彭性良

《課程標準》指出：數學必須注意從學生的生活情景和感興趣的事物出發，為他們提供參與的機會，使他們體會數學就在身邊，對數學產生濃厚的興趣和親近感。也就是創設豐富的學習氛圍，激發學生的學習興趣。通過讓學生放蘋果的環節，激發學生的學習興趣，引出本節課學習的內容。通過3個蘋果放入2個抽屜的各種情況的猜測，進一步感知抽屜原理。認識抽屜原理不同的表述方式：①至少有一個抽屜的蘋果有2個或2個以上；②至少有一個抽屜的蘋果不止一個。

充分利用學生的生活經驗，對可能出現的結果進行猜測，然后放手讓學生自主思考，采用自己的方法進行“證明”，接著再進行交流，在交流中引導學生對“枚舉法”、“假設法”等方法進行比較，教師進一步比較優化，使學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題，發展學生的抽象思維能力。在有趣的類推活動中，引導學生得出一般性的結論，讓學生體驗和理解“抽屜原理”的最基本原理。最后出示練習，讓學生靈活應用所學知識，解決生活中的實際問題，使學生所學知識得到進一步的拓展。

這種“創設情境——建立模型——解釋應用”是新課程倡導的課堂教學模式，讓學生經歷建模的過程，促進學生對數學原理的理解，進一步培養學生良好的數學思維能力。

第五篇：抽屜原理

《抽屜原理》教學設計

教材分析：現行小學教材人教版在十一冊編入這一原理，旨在于讓學生初步了解“抽屜原理”（也就是初步接觸第一原理），會用“抽屜原理”解決實際有關“存在”問題；通過猜測、驗證、觀察、分析等數學活動，讓孩子建立數學模型，發現規律；使孩子經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數學問題的能力和興趣，感受到數學文化及數學的魅力。

學情分析：使孩子經歷從具體到抽象的探究過程，提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力；通過“抽屜原理”的靈活應用，提高學生解決數學問題的能力和興趣，感受到數學文化及數學的魅力。教學目標：

1、經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。

2、通過操作發展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。

3、通過“抽屜原理”的靈活應用感受數學的魅力。

教學重點：經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。

教學難點：理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。

教學過程

一、游戲引入

3個人坐兩個座位，3人都要坐下，一定有一個座位上至少坐了2個人。

這其中蘊含了有趣的數學原理，這節課我們一起學習研究。

二、新知探究

1、把4枝鉛筆放進3個文具盒里，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進（）枝鉛筆先猜一猜，再動手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法記錄（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么發現？

不管怎么放總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆。總有是什么意思？至少是什么意思

2、思考

有沒有一種方法不用擺放就可以知道至少數是多少呢？

1、3人坐2個位子，總有一個座位上至少坐了2個人2、4枝鉛筆放進3個文具盒中，總有一個文具盒中至少放了2枝鉛筆5枝鉛筆放進4個文具盒中，6枝鉛筆放進5個文具盒中。99支鉛筆放進98個文具盒中。是否都有一個文具盒中

至少放進2枝鉛筆呢？ 這是為什么？可以用算式表達嗎？

4、如果是5枝鉛筆放到3個文具盒里，總有一個文具盒至少放進幾枝鉛筆？把7枝筆放進2個文具盒里呢? 8枝筆放進2個文具盒呢? 9枝筆放進3個文具盒呢？至少數=上+余數嗎？

三、小試牛刀 1、7只鴿子飛回5個鴿舍,至少有幾只鴿子要飛進同一個鴿舍里?

2、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有幾張是同花色的？

四、數學小知識

數學小知識：抽屜原理的由來最先發現這些規律的人是誰呢？最先是由19世紀的德國數學家狄里克雷運用于解決數學問題的，后人們為了紀念他從這么平凡的事情中發現的規律，就把這個規律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做

“抽屜原理”。

五、智慧城堡

1、把13只小兔子關在5個籠子里，至少有多少只兔子要關在同一個籠子里?

2、咱們班共59人，至少有幾人是同一屬相？

3、張叔叔參加飛鏢比賽，投了5鏢，鏢鏢都中，成績是41環。張叔叔至少有一鏢不低于9環。為什么？

4、六年級四個班的學生去春游，自由活時有6個同學在一起，可以肯定。為什么？

六、小結

這節課你有什么收獲？

七、作業：課后練習