第一篇：圓——教案

圓的定義

目標(biāo)：探索圓的兩種定義，理解并掌握弧、弦、優(yōu)弧、劣弧、半圓等基本概念，能夠從圖形中識(shí)別

1、想想生活中的圓：摩天輪、呼啦圈、自行車、圓月、硬幣、瓶蓋、鐘面、圓桌、鈕扣、圓形餅干、鐵餅

2、動(dòng)手畫(huà)圓：在一個(gè)平面內(nèi)一條線段OA繞它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)形成的圖形就是圓．

3、第一定義：圓：在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段OA繞它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓；

圓心：固定的端點(diǎn)O叫作圓心；

半徑：線段OA的長(zhǎng)度叫作這個(gè)圓的半徑．

圓的表示方法：以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑）；（2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上．

第二定義：所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形叫作圓．

4、弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦； 直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑；

?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫作圓弧，簡(jiǎn)稱??；

?弧的表示方法：以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB”；

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓．

?優(yōu)弧：大于半圓的弧叫作優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如圖3中的ABC； ?劣弧：小于半圓的弧叫作劣弧，如圖3中的BC．

5、思考：車輪為什么做成圓形？如果做成正方形會(huì)有什么結(jié)果？

把車輪做成圓形，車輪上各點(diǎn)到車輪中心（圓心）的距離都等于車輪的半徑，當(dāng)車輪在平面上滾動(dòng)時(shí)，車輪中心與平面的距離保持不變，因此當(dāng)車輛在平坦的路上行駛時(shí)，坐車的人會(huì)感覺(jué)到非常平穩(wěn)；如果做成其他圖形，比如正方形，正方形的中心（對(duì)角線的交點(diǎn)）距離地面的距離隨著正方形的滾動(dòng)而改變，因此中心到地面的距離就不是保持不變，因此不穩(wěn)定．

6、如何在操場(chǎng)上畫(huà)一個(gè)半徑是5 m的圓？

7、從樹(shù)木的年輪，可以很清楚地看出樹(shù)生長(zhǎng)的年齡．如果一棵20年樹(shù)齡的紅杉樹(shù)的樹(shù)干直徑是23 cm，這棵紅杉樹(shù)平均每年半徑增加多少？

垂直于弦的直徑

目標(biāo)：探索圓的對(duì)稱性，進(jìn)而得到垂直于弦的直徑所具有的性質(zhì)； 能夠利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題．

1、動(dòng)手活動(dòng)：用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？

沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，直徑兩旁的部分能夠完全重合，由此可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸．

2、動(dòng)手活動(dòng)：第一步，在一張紙上任意畫(huà)一個(gè)⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個(gè)圓對(duì)折，使圓的兩半部分重合；

第二步，得到一條折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中點(diǎn)M是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足； 第四步，將紙打開(kāi)，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B垂直于弦的直徑的性質(zhì)：

（1）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

?例１：AB所在圓的圓心是點(diǎn)O，過(guò)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圓的半徑．

弦長(zhǎng)、半徑、拱形高、弦心距（圓心到弦的距離）四個(gè)量中，只需要知道兩個(gè)量，其余兩個(gè)量就可以求出來(lái)．

??例２：已知AB，請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖的方法作出AB的中點(diǎn)，說(shuō)出你的作法．

3、某條河上有一座圓弧形拱橋ACB，橋下面水面寬度AB為7．2米，橋的最高處點(diǎn)C離水面的高度2．4米．現(xiàn)在有一艘寬3米，船艙頂部為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過(guò)這里，問(wèn)：這艘船是否能夠通過(guò)這座拱橋？說(shuō)明理由．

GCFMAHEDOB

連接AO、GO、CO，由于弧的最高點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，所以得到 OC⊥AB，OC⊥GF，根據(jù)勾股定理容易計(jì)算 OE=1．5米，OM=3．6米．

所以ME=2．1米，因此可以通過(guò)這座拱橋．

4、銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道．如圖7所示，污水水面寬度為60 cm，水面至管道頂部距離為10 cm，問(wèn)修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道?

連接OA，過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E，交圓于F，1則AE=2AB = 30 cm．令⊙O的半徑為R，則OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．

在Rt△AEO中，OA=AE+OE，即R=30+(R-10)． 解得R =50 cm．

修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑為100 cm的管道．

222

弧、弦、圓心角

目標(biāo)：（1）圓的旋轉(zhuǎn)不變性；

（2）圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理；

動(dòng)手活動(dòng)：(1)在兩張透明紙上，作兩個(gè)半徑相等的⊙O和⊙O′，沿圓周分別將兩圓剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′，如圖1所示，圓心固定．

注意：在畫(huà)∠AOB與∠A′O′B′時(shí)，要使OB相對(duì)于OA的方向與O′B′相對(duì)于O′A′的方向一致，否則當(dāng)OA與OA′重合時(shí)，OB與O′B′不能重合．

(3)將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度．使得OA與O′A′重合． 在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．

（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等；

（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)（劣）弧相等．

AB??AC，∠ACB＝60°，求證∠AOB=∠AOC=∠BOC． 例

1、在⊙O中，?AOBC

例

2、AB是⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度數(shù)．

思考：定理“在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？

圓周角

目標(biāo)：1．了解圓周角與圓心角的關(guān)系．

2．探索圓周角的性質(zhì)和直徑所對(duì)圓周角的特征． 3．能運(yùn)用圓周角的性質(zhì)解決問(wèn)題．

問(wèn)題1：同學(xué)甲站在圓心O的位置，同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角（?AOB和?ACB）有什么關(guān)系？

問(wèn)題2：如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角（?ADB和?AEB）和同學(xué)乙的視角相同嗎？

同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒(méi)有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半． 問(wèn)題3：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是多少度？90°的圓周角所對(duì)的弦是什么? 例：如圖，⊙O的直徑 AB 為10 cm，弦 AC 為6 cm，∠ACB 的平分線交⊙O于 D，求BC、AD、BD的長(zhǎng)．

AD=BD

ACOBD

（一）圓的有關(guān)概念

1、圓（兩種定義）、圓心、半徑；

2、圓的確定條件：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小； ②不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

3、弦、直徑；

4、圓弧（弧）、半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

5、等圓、等弧，同心圓；

6、圓心角、圓周角；

（二）圓的基本性質(zhì)

1、圓的對(duì)稱性

①圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。*②圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是對(duì)稱中心。

2、圓的弦、弧、直徑的關(guān)系

①垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

* [引申] 一條直線若具有：Ⅰ、經(jīng)過(guò)圓心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所對(duì)的劣弧；Ⅴ、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，這五個(gè)性質(zhì)中的任何兩條，必具有其余三條性質(zhì)，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ時(shí)，應(yīng)除去弦為直徑的情況）

3、弧、弦、圓心角的關(guān)系

①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。

②在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等。③在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等。

歸納：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。

4、圓周角的性質(zhì)

①定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。②在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。

③推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

第二篇：圓 教案

圓教案

一、本章知識(shí)框架

二、本章重點(diǎn)

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合． 2．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上． 設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點(diǎn)P在⊙O 外； d＝r點(diǎn)P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等． ③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形． ⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角．

(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角． 弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半． 4．圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸． 垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?3)弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧．

(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過(guò)圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦?jiàn)A的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)． 6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：

①經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過(guò)圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)． ③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過(guò)圓心．

(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)．

(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等． 8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和⊙O 相交dr)，圓心距

．

(1)外離(2)含(3)外切(4)dR＋r． 沒(méi)有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部

內(nèi)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部d＝R＋r． 的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，內(nèi)切d＝R－r．

相交(5)有兩個(gè)公共點(diǎn)R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)． 11．圓中有關(guān)計(jì)算： 圓的面積公式：，周長(zhǎng)C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長(zhǎng)．

圓心角為n°，半徑為R，弧長(zhǎng)為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算．

．

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側(cè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為【經(jīng)典例題精講】

例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有

．

分析：要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個(gè)符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律． 解：

連結(jié)OP，P點(diǎn)為中點(diǎn)．

小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對(duì)的弧相等 B．等弧所對(duì)的弦相等 C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓

D．平分弦的直徑垂直于弦． 解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的劣弧相等，所以A不正確． B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個(gè)點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個(gè)圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B．

例3 四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角之和相等，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等． 解：

設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．

∴∠D＝90°．

小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長(zhǎng)為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長(zhǎng)． 例4 0

分析：測(cè)量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長(zhǎng)性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行合作解決，即過(guò)P點(diǎn)作直線OP⊥PA，再用三角板畫(huà)一個(gè)頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個(gè)角的另一邊與OP的交點(diǎn)即為圓心O，再用三角函數(shù)知識(shí)求解．

解：

．

小結(jié)：應(yīng)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)將實(shí)際問(wèn)題變成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型． 例5 已知

相交于A、B兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)

與AB交于C，連結(jié)又∵AB＝16 ∴AC＝8． 在在故(2)若，則垂直平分AB，∴

．

中，中，．

． ．

位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)

． 的延長(zhǎng)線與AB交于C，連結(jié)∵垂直平分AB，∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個(gè)點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問(wèn)題時(shí)，要注意雙解或多解問(wèn)題．

三、相關(guān)定理：

1.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）

說(shuō)明：幾何語(yǔ)言：

若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，P任作一弦AB，設(shè)為。，⊙O半徑為，過(guò)，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

說(shuō)明：幾何語(yǔ)言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC^2=PA·PB 例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長(zhǎng)。

解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴

∴，（舍）由勾股定∴

四、輔助線總結(jié) 1.圓中常見(jiàn)的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明．

3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．

4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角．

5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過(guò)切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角． 7)．遇到切線，作過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心向直線作垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)．

10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線．

13)．求公切線時(shí)常過(guò)小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過(guò)圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補(bǔ)充完整． 3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長(zhǎng)為()

A．2 B．3 C．4 D．5 分析：連結(jié)OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設(shè)AE＝x，則在Rt△CEO中，則，(舍去)．，即，答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為5cm，那么側(cè)面積等于()A． B．

C．

D．

分析：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高，即圓柱的母線長(zhǎng)；另一邊長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘以圓柱的高，即

．答案：B．

例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CM交⊙O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，．

求：EM的長(zhǎng)．

簡(jiǎn)析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設(shè)EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以

．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程

(其中m為實(shí)數(shù))的兩根．

(1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數(shù)．

簡(jiǎn)析：(1)由BE、BD是關(guān)于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為(2)由相交弦定理，得

．得，即

．故BE＝BD．

．而PB切⊙O于點(diǎn)B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以

．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第三篇：認(rèn)識(shí)圓教案

《認(rèn)識(shí)圓》

一、教材說(shuō)明；

九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第十一冊(cè)《圓的認(rèn)識(shí)》

二、教學(xué)目標(biāo)；

1、使學(xué)生認(rèn)識(shí)圓，掌握?qǐng)A的特征；了解圓的各部分名稱。

2、會(huì)用字母表示圓心、半徑、直徑；理解并掌握在同圓（或等圓）中直徑與半徑的關(guān)系。

3、能正確熟練地掌握用圓規(guī)畫(huà)圓的操作步驟。

4、培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、主動(dòng)探究、自主發(fā)現(xiàn)、交流合作的能力。

三、教學(xué)流程；

1、導(dǎo)入新課

（1）學(xué)生活動(dòng)（邊玩邊觀察）。

①球、球相碰玩具表演。②線系小球旋轉(zhuǎn)玩具表演。

（2）師生對(duì)話（學(xué)生可相互討論后回答）。

教師：日常生活中或周圍的物體上哪里有圓？

學(xué)生：在鐘面、圓桌、人民幣硬幣上……都有圓。

教師：請(qǐng)同學(xué)們用手摸一摸，體會(huì)一下有什么感覺(jué)？

學(xué)生用眼看一看、用手摸一摸，感覺(jué)：……閉封的、彎曲的。

教師：這（指圓）和我們以前學(xué)過(guò)的平面圖形，有什么不同呢？

學(xué)生：以前我們學(xué)過(guò)的平面圖形如長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形的共同特征，都是由線段圍成的直線圖形。而我們現(xiàn)在看到的（指圓）這種圖形是由曲線圍成的圖形。

教師（鼓勵(lì)表?yè)P(yáng)學(xué)生）：對(duì)，這個(gè)圖形就是圓，你能說(shuō)說(shuō)什么是圓嗎？

學(xué)生討論后回答：圓是平面上的一種曲線圖形。

總結(jié)：我們生活中有這么多的圓，讓我們來(lái)好好認(rèn)識(shí)一下圓這個(gè)圖形。

2、探索新知。（1）探究——圓心

① 徒手畫(huà)圓。

教師請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生一同在黑板上徒手畫(huà)圓，然后請(qǐng)同學(xué)們?cè)u(píng)一評(píng)（3個(gè)人）誰(shuí)畫(huà)的圓好呢？

②用工具畫(huà)圓。教師請(qǐng)同學(xué)們用自己喜歡的工具畫(huà)圓。學(xué)生畫(huà)圓：a.用圓規(guī)畫(huà)圓；b.用圓形物體畫(huà)圓。（畫(huà)圓方法任學(xué)生自選）

③找圓心。

學(xué)生動(dòng)手剪一剪、折一折，再議一議、找一找……自我探索發(fā)現(xiàn)圓的“圓心”。

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)：圓中心的一點(diǎn)叫做圓心，圓心用字母“O”表示。（學(xué)生在圓形紙片上點(diǎn)出圓心，標(biāo)出字母。）（2）探究——圓的直徑、半徑及其關(guān)系。

讓學(xué)生用刻度尺量一量圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離；請(qǐng)學(xué)生報(bào)出測(cè)量的結(jié)果，并想一想發(fā)現(xiàn)了什么？（引導(dǎo)學(xué)生得出：圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等。把有關(guān)數(shù)據(jù)寫(xiě)在黑板上）

教師在黑板的圖中連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，告訴學(xué)生這線段叫做半徑。

讓學(xué)生在自己的學(xué)具圓里用筆畫(huà)出幾條半徑，再量一量它們的長(zhǎng)度。問(wèn)：你還發(fā)現(xiàn)什么？（引導(dǎo)學(xué)生得出：在同一個(gè)圓里，可畫(huà)無(wú)數(shù)條半徑，所有的半徑都相等。）再讓學(xué)生量一量在自己的學(xué)具圓用筆畫(huà)的通過(guò)圓心的線段（折痕），問(wèn)：通過(guò)測(cè)量，你又發(fā)現(xiàn)什么？（學(xué)生得出：這些線段都相等。把有關(guān)數(shù)據(jù)寫(xiě)在黑板上。）

說(shuō)明：我們把圓對(duì)折時(shí)，看到每條折痕都通過(guò)圓心。這些通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。直徑一般用字母d表示。

師：直徑與半徑之間有什么關(guān)系？

①分組探究，合作學(xué)習(xí)。

教師提出學(xué)習(xí)活動(dòng)要求：先獨(dú)立進(jìn)行，再分組交流。通過(guò)動(dòng)手“折、量、畫(huà)、數(shù)、比（估）、看、議”等，總之隨你用什么方法都可以，探索圓的直徑、半徑及其關(guān)系。分組匯報(bào)，全班交流。

②重點(diǎn)請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明你是怎樣發(fā)現(xiàn)的，展示發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，讓同學(xué)們?cè)u(píng)價(jià)。

③操作檢驗(yàn)，內(nèi)化提升。

a.考考你的判斷力。用彩色筆標(biāo)出下面各圓的半徑和直徑。（課本58頁(yè)做一做第1題）b.對(duì)答游戲（每?jī)蓚€(gè)學(xué)生一組）：你說(shuō)直徑長(zhǎng)度，我答半徑長(zhǎng)度；你說(shuō)半徑長(zhǎng)度，我答直徑長(zhǎng)度。c.邊體驗(yàn)，邊說(shuō)理：為什么車輪都要做成圓的，車軸應(yīng)安裝在哪里？ d.合作操作探索。

（3）自我習(xí)作——用圓規(guī)畫(huà)圓。①學(xué)生自學(xué)：用圓規(guī)畫(huà)圓的方法和步驟。

②學(xué)生操作：用圓規(guī)畫(huà)圓。（自我體會(huì)，怎樣才能畫(huà)對(duì)、畫(huà)好。）

③按要求畫(huà)圓。

a.半徑2厘米 b.半徑2.5厘米 c.直徑4厘米（比較a、c，你發(fā)現(xiàn)了什么？）

b.通過(guò)按要求畫(huà)圓并觀察你發(fā)現(xiàn)了什么？（教師請(qǐng)學(xué)生畫(huà)3個(gè)同心圓、3個(gè)大小不等的非同心圓。引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論、比較并歸納：圓心決定圓的位置；半徑?jīng)Q定圓的大小。）

c．體育老師在操場(chǎng)上的圓怎樣畫(huà)？（學(xué)生討論，全班交流。）

3、課堂小結(jié)。

教師啟發(fā)學(xué)生自我小結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲：知道了什么？怎么知道的？鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑：你還想知道什么？……

4、創(chuàng)新思維訓(xùn)練游戲。

教師：一個(gè)圓很美，大小不同的圓在一起組成美麗的圖案更美。請(qǐng)大家設(shè)計(jì)由圓（或圓和其它平面圖形）組成的圖案，并寫(xiě)出創(chuàng)意，帶到學(xué)校與同學(xué)交流。

第四篇：圓復(fù)習(xí)教案

第二十四章圓（復(fù)習(xí)）－－圓、與圓有關(guān)的位置關(guān)系（1）

圓的相關(guān)概念

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：了解點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系。

過(guò)程與方法：通過(guò)復(fù)習(xí)點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：經(jīng)歷觀察、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理和初步演繹推理能力。教學(xué)重點(diǎn)：掌握直線和圓的位置關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)：切線的性質(zhì)及證明。課型：復(fù)習(xí)課 教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體

使用日期：2016年12月14日 教學(xué)過(guò)程：

1、圓的定義：到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。

2、弦，弧，等圓，同心圓，等弧，優(yōu)弧，劣弧，弦心距，弓形

一、垂徑定理

1.定理 垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.2、垂徑定理的逆定理

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.例⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，則AB、CD間的 距離是___.二、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系

在同圓或等圓中,如果①兩個(gè)圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩 條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等

1、已知、是同圓的兩段弧，且弧AB等于2倍弧AC，則弦AB與CD之間的關(guān)系為（）；

A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能確定

2、在△ABC中，∠A＝70°，若O為△ABC的外心，∠BOC=

；若O為△ABC的內(nèi)心，∠BOC=

．

三、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

1、⊙O的半徑為R，圓心到點(diǎn)A的距離為d，且R、d分別是方程x2－6x＋8＝0的兩根，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)部 B．點(diǎn)A在⊙O上 C．點(diǎn)A在⊙O外部 D．點(diǎn)A不在⊙O上

2、M是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，已知過(guò)點(diǎn)M的⊙O最長(zhǎng)的弦為10 cm，最短的弦長(zhǎng)為8 cm，則OM=_____ cm.

四、直線與圓的位置關(guān)系

如圖,AB是圓O的直徑,圓O過(guò)AC的中點(diǎn)D,DE⊥BC于E．證明:DE是圓O的切線.

第五篇：奧爾夫教案：圓

教學(xué)目的: 1 認(rèn)識(shí)藝術(shù)的一個(gè)表現(xiàn)形式“圓”,探討藝術(shù)各門類表現(xiàn)方式的特征,并進(jìn)一步認(rèn)識(shí)不同文化應(yīng)用的特征。

創(chuàng)造性能力培養(yǎng):探索發(fā)現(xiàn)、即興、遷移、創(chuàng)編。3 賞析:藝術(shù)作品(繪畫(huà)、音樂(lè)、戲曲、舞蹈)教學(xué)過(guò)程: ——教師黑板畫(huà)一個(gè)大圓圈,問(wèn)這是什么?還可表示什么? 問(wèn):生活中那些東西是圓的?——請(qǐng)學(xué)生畫(huà)出各種“圓”(平面、,立體、球形、橢圓等),討論畫(huà)“圓”的要領(lǐng)。

——出示幾幅以“圓”為主題或主要表現(xiàn)形式的不同風(fēng)格和內(nèi)容的作品,并討論。

——站成圓圈,問(wèn):用身體的動(dòng)作可以做“圓”嗎?(如頭、手、臂、腿、腳、腰等部位)探索與模仿。

——加上移動(dòng)位置(如轉(zhuǎn)圓圈、旋轉(zhuǎn))和動(dòng)作組合探索更多地“圓”的形式。

——討論:從繪畫(huà)和動(dòng)作的“圓”探討其表現(xiàn)的意味和特點(diǎn)。相同與不同。

——引導(dǎo)到用聲音表現(xiàn)“圓”的特點(diǎn)(如圓滑、循環(huán)不斷),用嗓音或其他聲響表現(xiàn)與模仿。聽(tīng)?zhēng)锥我魳?lè)(如“小狗圓舞曲”肖邦曲、“金雞”李姆斯基——科薩柯夫曲等片段),請(qǐng)學(xué)生邊聽(tīng)邊用手在空中或用筆畫(huà)出旋律線走向,探索其中與“圓”相關(guān)的音樂(lè)特點(diǎn)。

——看幾段戲曲和舞蹈錄像,找出其中“圓”的表現(xiàn)形式(如中國(guó)的跑圓場(chǎng)、手、頭、眼動(dòng)作中的圓,外國(guó)的旋轉(zhuǎn)等),并帶領(lǐng)學(xué)生做幾組動(dòng)作來(lái)體驗(yàn)。

——聯(lián)系“圓”在中國(guó)文化中的表現(xiàn),如太極拳、陰陽(yáng)八卦符號(hào)、語(yǔ)言聲腔,以及文化觀念、風(fēng)俗人情,探討中國(guó)各種藝術(shù)在表現(xiàn)形式、風(fēng)格、文化內(nèi)涵上的關(guān)系,并比較與其他民族文化的不同特點(diǎn)。

——“圓”在藝術(shù)中的象征意義:表現(xiàn)那類的情感? ——分小組活動(dòng),用繪畫(huà)、舞蹈及音樂(lè)來(lái)創(chuàng)作一個(gè)小品,要求以“圓”為主要表現(xiàn)形式末表現(xiàn)一種情緒。

教案分析: 該教案是一個(gè)綜合教學(xué)的課例,不但將各藝術(shù)門類:繪畫(huà)、雕塑、舞蹈、戲曲、音樂(lè)等綜合進(jìn)行教學(xué),還將藝術(shù)表現(xiàn)的要素、形式、風(fēng)格、情感融為一體,一步步引導(dǎo)學(xué)生升華到文化的視角。主題集中,手段豐富。教學(xué)過(guò)程可分若干學(xué)時(shí)完成。教師在教學(xué)過(guò)程中也可根據(jù)自己的專長(zhǎng)將其中的某些環(huán)節(jié)縮減或擴(kuò)張,觸類旁通。整個(gè)教學(xué)中,教師是個(gè)引導(dǎo)者,主要是設(shè)置環(huán)境,讓學(xué)生去探索。對(duì)不同年齡段學(xué)生,可以以側(cè)重體驗(yàn)(操作),或增加藝術(shù)作品深度、評(píng)析內(nèi)容來(lái)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容程度。