第一篇：總結離散數學和概率論的應用
總結離散數學和概率論的應用
馬濤
2901312017
摘要：離散數學、概率論是工科基礎課程，它們都是后續課程的準備課程，而且各自在實際的生產生活中都有著重要的應用。總結各門課程各部分在實際生活中的應用，指出它們在相關領域的重要性。關鍵詞：離散數學、概率論
0引言
離散數學是現代數學的一個重要分支，也是計算機科學與技術的理論基礎，所以又稱為計算機數學。首先它是數據結構，軟件技術基礎，操作系統，人工智能等計算機科學專業的準備課程；其次，離散數學還是計算機科學的重要研究工具。概率論作為數學重要的一個分支，在生活及經濟領域有重要作用，而且是學習隨機信號分析，信息論等課程前的必修課程。
1離散數學的應用
1.1在計算機學科中的應用
離散數學把計算機科學中所涉及到的研究離散量的數學綜合在一起，進行較系統的、全面的論述，為研究計算機科學的相關問題提供了有力的工具。計算機要解決一個具體問題，必須運用數據結構知識。對于問題中所處理的數據，必須首先從具體問題中抽象出一個適當的數學模型，然后設計一個解此數學模型的算法，最后編出程序，進行測試、調整直至得到問題的最終解答。而尋求數學模型就是數據結構研究的內容。尋求數學模型的實質是分析問題，從中提取操作的對象，并找出這些操作對象之間含有的關系，然后用數學的語言加以描述。數據結構中將操作對象間的關系分為四類：集合、線性結構、樹形結構、圖狀結構或網狀結構。數據結構研究的主要內容是數據的邏輯結構，物理存儲結構以及基本運算操作。其中邏輯結構和基本運算操作來源于離散數學中的離散結構和算法思考。離散數學中的集合論、關系、圖論、樹四個章節就反映了數據結構中四大結構的知識。1.2在通信領域的應用
代數系統在計算機中的應用廣泛,例如有限機,開關線路的計數等方面。但最常用的是在糾錯碼方面的應用。在計算機和數據通信中,經常需要將二進制數字信號進行傳遞,這種傳遞常常距離很遠,所以難免會出現錯誤。通常采用糾錯碼來避免這種錯誤的發生,而設計的這種糾錯碼的數學基礎就是代數系統。糾錯碼中的一致校驗矩陣就是根據代數系統中的群概念來進行設計的,另外在群碼的校正中,也用到了代數系統中的陪集。
1.3在人工智能中的應用
人工智能是計算機學科中一個非常重要的方向,離散數學在人工智能中的應用主要是數理邏輯部分在人工智能中的應用。數理邏輯包括命題邏輯和謂詞邏輯,命題邏輯就是研究以命題為單位進行前提與結論之間的推理,而謂詞邏輯就是研究句子內在的聯系。大家都知道,人工智能共有兩個流派,連接主義流派和符號主義流派。其中在符號主義流派里,他們認為現實世界的各種事物可以用符號的形式表示出來,其中最主要的就是人類的自然語言可以用符號進行表示。語言的符號化就是數理邏輯研究的基本內容,計算機智能化的前提就是將人類的語言符號化成機器可以識別的符號,這樣計算機才能進行推理,才能具有智能。由此可見數理邏輯中重要的思想、方法及內容貫穿到人工智能的整個學科。
1.4在現實生活中的應用
離散數學不僅在軟件技術中有重要的應用價值，在企業管理、交通規劃、戰爭指揮、金融分析等領域都有重要的應用。正是由于離散數學的重要作用，美國已將離散數學列為21 世紀應重點發展的三個數學領域之一，在美國有一家用離散數學命名的公司，他們用離散數學的方法來提高企業管理的效益，這家公司辦得非常成功。此外，試驗設計也是具有很大應用價值的學科，它的數學原理就是組合設計。用組合設計的方法解決工業界中的試驗設計問題，在美國已有專門的公司開發這方面的軟件。最近，德國一位著名離散數學家利用離散數學方法研究藥物結構，為制藥公司節省了大量的費用，引起了制藥業的關注。
2概率論的應用
2.1在經濟學中的應用
假如某個企業擁有三支能夠贏得利潤相互獨立的股票，同時，三支股票能夠贏得利潤的概率分別為0.7、0.5、0.4，求：(1)從三支股票中任意取出兩支股票，有大于等于一支的股票能夠贏得利潤的概率；(2)在三支股票中，有大于等于一支的股票能夠贏得利潤的概率。
設A、B、C 分別表示三支股票能夠贏得利潤，A、B、C 是相互獨立的。P(A)=0.7，P(B)=0.5，P(C)=0.4，則由乘法公式與加法公式：
(1)從三支股票中任意取出兩支股票，有大于等于一支的股票能夠贏得利潤等價于三支股票至少有兩支能夠贏得利潤的概率。P1=P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C)=0.7×0.5+0.7×0.4+0.5×0.4-2×0.7×0.5×0.4=0.55(2)在三支股票中，有大于等于一支的股票能夠贏得利潤的概率。
P2=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.7+0.5+0.4-0.7×0.5-0.7×0.4-0.5×0.4+0.7×0.5×0.4 =0.91 通過上面的計算，能夠看出：投資三支股票能夠贏得利潤的概率要比投資兩支股票能夠贏得利潤的概率大，也就能夠推出，投資許多支股票能夠贏得利潤的概率要比投資少數的幾支股票能夠贏得利潤的概率大。因此，在經濟分析中進行股票的投資決策時，可以通過投資多支股票來達到分散風險的目的。2.2 在環境保護中的統計與概率 在環境保護中，統計與概率也在發揮其作用。
例如：根據某地環境保護法規定，傾入河流的廢水中某種有毒化學物質含量不得超過3（ppm）。該地區環保組織對沿河各廠進行檢查，測定每日傾入河流的廢水中該物質的含量。某廠連日的記錄為：2.9，3.1，3.2，3.3，2.9，3.5，3.4，2.5，4.3，2.9，3.6，3.2，3.0，2.7，3.5。試在顯著水平為0.05 上判斷該廠是否符合環保規定（假定廢水中有毒物質含量。分析，該題可以利用假設檢驗的方法做出判斷。因為該題沒有給出方差，可以求出樣本的方差S=0.421，用統計量,而拒絕域為C{t≥(14)}，顯然樣本觀察值落入拒絕域C 中。因此在顯著水平為0.05 上認為該廠廢水中有毒化學物質含量超標，不符合環保規定，應采取措施來降低廢水中有毒物質的含量。通過這個例子知道，統計與概率知識是進行環保，執行政策離不開的有力工具。
2.3 在保險業務中的應用
隨機現象在日常生活中隨處可見，概率是研究隨機現象規律的學科，它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，同時為統計學的發展提供了理論基礎。保險業越來越多地走進人們的生活。例如：在保險公司里有2 000個同齡人參加人壽保險，參加保險者在1 年的第1 天交付20 元保險金。若在1 年內保險者死亡，其家屬可從保險公司領取3 000 元賠償費。設在1 年里這些人的死亡率為0.25%。
（1）求保險公司1 年中至少盈利10 000 元的概率。
（2）求保險公司虧本的概率，求保險公司1 年內的平均盈利。
解：設參加保險1 年內的死亡人數為隨機變量ξ，則ξ～B（2 000,0.0025）（1）因為2 000·20-3 000≥10 000 可解得0≤ξ≤10 保險公司1 年中至少盈利10 000元的概率為P（0≤ξ≤10）=0.986 3，即保險公司以98.63%把握至少盈利10 000元。（2）因為3 000ξ>40 000 可解的ξ≥14 保險公司1 年內虧本的概率為P（ξ≥14）=0.000 7 由此可見保險公司虧本的概率是極小的。（3）保險公司1 年內的平均盈利為
E（40 000-3000ξ）=40 000-3000 E（ξ）=40 000-3 000·2 000·0.0025=25 000（單位：元）保險公司正是看清每年能平均盈利才發展下去的 結束語
離散數學已經成為計算機學科的核心課程，在計算機各學科中都有重要的應用。而概率論更是在許多方面都有應用，成為經濟等領域的最主要數學工具，為生產生活帶來諸多便利。做為數學學科的兩個重要分支，概率論和離散數學都得到極快的發展和及廣泛的應用，雖然是基礎性課程，但無論在生產生活中，還是后續學習中都有很重要的作用。
參考文獻
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第二篇：離散數學總結
一、課程內容介紹：
1．集合論部分： 離散數學學習總結
集合論是離散數學中第一個抽象難關，在老師的生動講解下，深入淺出，使得集合論成了相當有趣的知識。只是對于以后的應用還不是很了解，感覺學好它很重要。直觀地說，把一些事物匯集到一起組成一個整體就叫集合，而這些事物就是這個集合的元素或成員。例如： 方程x2－1＝0的實數解集合；
26個英文字母的集合；
坐標平面上所有點的集合；
集合通常用大寫的英文字母來標記，例如自然數集合N(在離散數學中認為0也是自然數)，整數集合Z，有理數集合Q，實數集合R，復數集合C等。
表示一個集合的方法有兩種：列元素法和謂詞表示法，如果兩個集合的交集為，則稱這兩個集合是不相交的。例如B和C是不相交的。
兩個集合的并和交運算可以推廣成n個集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}
2．關系
二元關系也可簡稱為關系。對于二元關系R，如果
例如R1={<1,2>,
給出一個關系的方法有三種:集合表達式，關系矩陣和關系圖。設R是A上的關系，我們希望R具有某些有用的性質，比如說自反性。如果R不具有自反性，我們通過在R中添加一部分有序對來改造R，得到新的關系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'與R相差太多，換句話說，添加的有序對要盡可能的少。滿足這些要求的R'就稱為R的自反閉包。通過添加有序對來構造的閉包除自反閉保外還有對稱閉包和傳遞閉包。
3．代數系統
代數結構也叫做抽象代數，主要研究抽象的代數系統。抽象的代數系統也是一種數學模型，可以用它表示實際世界中的離散結構。例如在形式語言中常將有窮字符表記為∑，由∑上的有限個字符（包括0個字符）可以構成一個字符串，稱為∑上的字。∑上的全體字符串構成集合∑*。設α,β是∑*上的兩個字，將β連接在α后面得到∑*上的字αβ。如果將這種連接看作∑*上的一種運算，那么這種運算不可交換，但是可結合。集合∑*關于連接運算就構成了一個代數系統，它恰好是抽象代數系統--半群的一個實例。抽象代數在計算機中有著廣泛的應用，例如自動機理論、編碼理論、形式語義學、代數規范、密碼學等等都要用到抽象代數的知識。代數結構的主要研究對象就是各種典型的抽象代數系統。
構成一個抽象代數系統有三方面的要素：集合、集合上的運算以及說明運算性質或運算之間關系的公理。請看下面的例子。
整數集合Z和普通加法＋構成了代數系統〈Z,＋〉，n階實矩陣的集合Mn(R)與矩陣加法＋構成代數系統〈Mn(R),＋〉。冪集P(B)與集合的對稱差運算也構成了代數系統
。類似這樣的代數系統可以列舉出許多許多，他們都是具體的代數系統。考察他們的共性，不難發現他們都含有一個集合，一個二元運算，并且這些運算都具有交換性和結合性等性質。為了概括這類代數系統的共性，我們可以定義一個抽象的代數系統
為了研究抽象的代數系統，我們需要先定義一元和二元代數運算以及二元運算的性質，并通過選擇不同的運算性質來規定各種抽象代數系統的定義。在此基礎上再深入研究這些抽象代數系統的內在特性和應用。
4．圖論部分
圖論是作為我們計算機專業的一門很有用處的知識，也是新興的一個數學分支，在計算機迅速發展的同時，圖論也迅速發展。因此，圖論給我們以一種神奇的感覺，在學習圖論中，老師總是把圖論分析得很透徹，學起來很有趣，同時也很簡單。圖論在數據結構方面的應用極其廣泛，對我們學計算機專業的人來說，是一門必須要學好的知識。
一個圖可以用一個圖形表示，定義中的結點對可以是有序的，也可以是無序的，若邊所對誤碼的結點對（a,b）是有序的，剛稱L是有向邊，a稱為L的起點，b稱為L的終點，若邊L所對應的結點對（a,b）是無序的，則稱L是無向邊。
5．數理邏輯部分
數理邏輯作為離散數學的最后一部分，充滿著對邏輯思維的挑戰，同時鍛煉了我們思考問題的嚴密性，當然最重要的是學會如何用數學方法去分析邏輯問題。
數理邏輯又稱符號邏輯，它是用數學方法支研究抽象思維的規律的應用學科，1.命題：把能判斷真假的陳述句稱為命題，作為命題的陳述句表達的判斷結果稱為命題的真值。命題公式、對偶與范式、命題演算的推理等等。
二、學習總結與體會
在本學期一開始學習這門課程時，老師就明確的告訴我們這門課程很重要，是我們大學中專業課程的核心課程，同時由于難度系數較高，故本門課程較為難學。總的來說，一個學期下來，自認為比較好地掌握了離散數學的基礎知識，并在平時的各方面得到了很好的應用。
對于離散數學，在剛開始學習的不知道他的重要性，以為他與高等數學一樣，或者學習的時候的時候，一定要有高等數學的知道，其實不然，當我開始學習之后才知道，只有掌握了高等數學以及線性代數等相關知道才能更好的學習離散數學。而且，作為計算機科學專業的學生，離散數學當中所涉及到相關知道，對于我們是至關重要的。比如，關系、群、路徑、圖的矩陣表示、樹等內容，都是在計算機程序設計以及相關
信息當中要用到的內容。
所以學習了離散數學課之后，我的收獲是很多的。對于一些數學相關的知識有了不同的理解，學會了用不同的方法去解決程序設計方法以及將計算機和數學有機聯系起來，不過在學習的過程中也遇到了一些難題，最為突出的，就是書本上的和老師講解的都還是比較的簡單，自己在課堂上也能聽懂，但是到具體的應用就很困難了。
特別是不看書，就很多的東西都還給了老師，所以，我會嚴格的要求自己，學過的東西，都要下來練習，盡量的多做一些習題，盡量的把學過的數學基礎知識練熟悉，這樣才能夠提高自己專業知識，提高自己解決問題的能力。
有一點讓我遺憾的是沒有學完這門課程，但在這門課程快要結束的時候，我總結了學習中遇到的一些問題，最為突出的是，書本上的知識與老師講的都比較容易懂，可是在真正運到實際生活中時，就不能將老師所講的知識點與書上所羅列的。因此，針對這一情況，在以后的學習中我會嚴格要求自己，多參加實踐，只有這樣，才能夠提高運用知識，解決問題的能力。
三、教學建議
1.在課程開設方面，對于離散數學等相關基礎、重要的課程，應當在大一或大二開設，不應放在大三下期，這樣對于我們學習時也有一定的幫助。我希望這一本書上能多一些練習題，以便我們學過了，下課了也有很多的練習題做，來鞏固課堂上的新內容。同時，我也希望在有些程序部分，能給出詳細的注釋語句。
2.相互學習，教師應當努力使現代教學手段與傳統教學手段有機結合，相互取長補短。在教學實施中既能發揮教學手段的優勢，又能善于運用傳統方式，使教學效果達到最佳。建議能給一些學生練習的時間，這樣我們才能對學過的新內容有一個鞏固的時間，其實這樣更有助于以后的教學，前面的基礎知識打牢了，后面的學習更愉快。
3.提升技能：教師應重新認識離散數學與計算機聯系。同時，要始終把學生放在講課對象的中心位置，特別是在課余時間，建議由老師組
織學生進行分組，大家共同學習，由于現今的大學學習較為分散，很多時候同學們都不同在課堂上完成任務，只能下來之后繼續完成，所以組建學習小組后，通過完成任務等方式，讓學生學習到更多的知識點。學會更多的內容。
4.任務引領：充分調動學習學習積極性讓學習在完成任務的過程當中，充分學習到多媒體課件的制作以及多媒體信息的處理等等。
第三篇：《離散數學》課程總結
《離散數學》學期總結
轉眼之間，這學期要結束了。我們的離散數學，這門課程的學習也即將接近尾聲。下面就是我對這門課一些認識及自己的學習心得。
首先我們這門課程離散數學到底包含了哪幾大部分？每部分具體又有什么內？這門課程在計算機科學中有什么地位？這門課程在我們以后的學習生活中，以及在將來的工作中有什么幫助？下面我將以上幾個方面具體談一談并將總結一下自己本人在這門課程學習過程中遇到的一些問題和心得體會。
這門課程有數理邏輯，集合論，代數系統和圖論四部分。這四大部分通常被稱為離散數學的四大體系。其中每一部分都是一個獨立的學科，內容豐富。而我們離散數學中的內容是其中最基本，最重要且和計算機科學最密切相關的內容吸收到離散數學中來，并使它們前后貫通，形成一個有機整體。這門課的主要內容有命題邏輯、謂詞邏輯，屬于數理邏輯部分，集合論中有集合、二元關系、函數，代數系統包含代數系統基礎、群、環、域以及格和布爾代數的知識（這部分我們沒有涉及）。
那么這門課程在計算機科學中有著什么樣的地位呢，這門課程是計算機科學專業中重要的專業基礎課程，核心課程，可以這么說，離散數學，既是一門專業基礎課，是一門工具性學科。這門課講授的內容，與后續專學習業密切相關。在這門課里我們講授了大量的計算機學科專業必要的基本概念，基本理論和基本方法。為我們以后的學習，工作打下良好基礎。在算法設計，人工智能，計算機網絡，神經網絡，智能計算等學科中有著重要的作用。在計算機科學中有著廣泛的應用。通過這門課可以對我們計算機算法的理解和邏輯思維得到提高。
那么我們具體學了什么內容呢？
（一）首先集合論是整個數學的基礎，（不管是離散數學還是連續數學）如果沒有專門學過，那么出現在離散數學中還是很合適的。至于由集合論引出的二元關系，函數的內容，也是理所應當的。
數理邏輯是一個讓人眼前一亮的東西。我第一次發現，原來有些復雜的推理問題是可以通過“計算”的方法解決的。
數理邏輯，又叫符號邏輯。就是依靠專門的數學符號去推導過程對的科學。在推導過程中，我們探索出一套完整的規則。這個規格就是我們的推理規則。竟然為了確保這套規則的，準確性。防止二義性，以至于可以將公理理論公式化，依據各項規則，證得論證的有效性。
這一章里，我們首先學習了，命題邏輯的基本概念。并和一些邏輯連接詞。包括真值連接詞的否定，真值連接詞合取，析取。我們可以用，符號形式寫出各種命題，并利用真值表來判斷命題的真假。用真值表來判斷，命題是十分有效方便的。所以，對于真值表的記憶是十分重要的。命題公式的表示，也是用符號話的需要來給出的。隨后我們學習了永真式和永假式，對于永真式和永假式的證明，用制表技術可以方便的給出。對于永真式，因為原子命題變元，不論表示什么命題，是真的還是假的，它總是真的。所以它反映的是命題邏輯的邏輯規律。所以我們著重研究永真式。下面，在一個公式中，如果用另外的是替換其中某個或某些原子命題變元，就會得到全新的公式，這個全新的公式，和原公式什么關系呢？進而引出了我們的代入規則和替換規則。為了更方便的證明各種命題，我們學習了，等價和蘊涵的各種定理，還有范式和范式的判定問題，其中主要是主析取范式和合取范式的概念，定理，證明。證明過程我們在課上都已經證明過了。在這一章還學習了三段式的證明，此證明方法在以后的學習過程中經常使用。
謂詞邏輯就是對命題和推理做深一步的研究的學習。在謂詞演算中，原子命題分為謂詞和個體兩部分。謂詞邏輯就是將命題的內涵，通過個體和謂詞中的表現出來，把同一類命題，用命題函數表示，增強其表達能力。在這里要注意的是，命題還是不是命題，因為其沒有確定的真假異議，但是可以將一個命題函數轉化為問題，方法有二，（1）用個體域中的特定個體去替換個體變元；（2）這個體域上，將命題函數量化。所謂量化，就是用量詞的命題函數中的個體變元進行約束，由此引入了量詞的概念。量詞分為全稱，量詞與存在量詞，量詞反映了個體域與量詞間的真假關系。此外，在謂詞邏輯中，個體的個體域也是很重要的。將一個命題用謂詞，邏輯符號化時，通常經以下步驟（1）確定特性謂詞及其他謂詞。（2）確定量詞。（3）量詞與邏輯連接詞的搭配。有了量詞的概念后，謂詞邏輯表達能力就讓廣泛了，它所刻畫的語句也也更為普遍，更為深刻。
代數系統，在計算機科學中也非常重要。在計算機科學中帶出系統科，用作研究，抽象數據結構的性能及操作，也是程序設計語言的理論基礎。
圖論這一章里，我們學習的圖并不是幾何學中的圖形。而是客觀世界中某些事物具體聯系的一個數學抽象。用點代表事物，用邊表示各事物間的二元關系。這一章剛開始學的概念很多，讓我感覺有些亂。所以在課后要自己多下功夫了。
然后就是我在學習中出現的一些問題及解決方法了，今天，在學習數理邏輯的時候，覺得離散數學這門課程很簡單。但是隨著學習的進一步深入，我發現我的想法是錯誤的。對于后面的一些推理論證，自己缺乏思路。雖然，老師在課上也教給了我們推理的方法，但是，還是忍不住去看書上的證明。這一點在隨后的學習中，我一般盡量克服，也是在老師的幫助下，在證明時盡量自己想，憋自己一下，讓自己的思維得到訓練，自己的推理論證能力得到提高。進而使綜合素質，都要提高。
再說一下李勇老師的講課吧，講的非常棒。首先它會對每一部分的內容，及，基本概念給大家進行講解。然后就是強調自己的推理能力。每節課都會讓我們自己推理，驗證定理。從基礎出發，從小定理驗證到大定理，由特殊推廣到一般。一般都會讓我們從兩三個開始驗證，逐步得到結論，發現規律。一次，李勇老師對，課堂教學有著自己深刻的理解，對這門課的教學方法，教學模式有著獨特的看法。還有就是李勇老師，朋輩式的教學方法，在教學過程中，我們共同進步，教學相長，這樣是非常好的。
對于老師每節課讓我們自己推理的使用模式，我表示非常贊同。我認為，最好的學習辦法就是找到合適自己解決問題的方法。學習任何課程都是為了解決實際問題。離散數學也是如此，有了對概念的理解，有了正確的思考問題的方式，解決問題的時候就不會走彎路了，也就是說，基本的解決問題的方法就自然而然的掌握了。對于我們從小缺乏鍛煉的推理能力，在這里得到了非常高的提升。
第四篇：離散數學學期總結
200820174036何志伍計算機科學與技術
離散數學學期總結
離散數學是描繪一些離散量與量之間的相互邏輯結構及關系的學科。它的思想方法及內容滲透到計算機學科的各個領域中。因此它成為計算機及相關專業的一門重要專業基礎課。主要內容包括：集合論、關系、代數系統、圖論和數理邏輯五個部分。結構上，從集合論入手，后介紹數理邏輯，便于學生學習。為了能很好的消化理解內容，列舉了大量的較為典型、易于接受、說明問題的例題，配備了相當數量的習題，也列舉了部分實際應用問題。
一． 知識點
第一章.集合論
集合論或集論是研究集合（由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，包含集合、元素和成員關系等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何描述數學物件的語言。
本章主要介紹集合的基本概念、運算及冪集合和笛卡爾乘積。這章是本書的基礎部分，要學好離散數學就必須很好的掌握集合的內容。集合論的概念和方法已經滲透到所有的數學分支，因而各數學分支的完整體系，都是在所取集合上。
第二章．關系
關系在我們日常生活中經常會遇到關系這一概念。但在數學中關系表示集合中元素間的聯系。本章主要學習關系的基本概念、關系的性質、閉包運算、次序關系、等價關系，本章學習的重點：關系的性質、閉包運算、次序關系。
關系這一章是集合論這一章的延伸，對集合論的理解程度對學習關系這一章是非常有影響的。而關系又是學習下一章代數系統必不可少的，所以本章是非常重要的章節。
第三章．代數系統
代數結構也叫做抽象代數，主要研究抽象的代數系統。抽象代數研究的中
心問題就是一種很重要的數學結構--代數系統：半群、群等等。
本章主要學習了運算與半群、群。學習本章需要學會判斷是否是代數系統、群和半群，以及判斷代數系統具有哪些運算規律，如：結合、交換律等及單位元、逆元。這些都在我們計算機編碼中體現出重要的作用。
第四章．圖論
圖論〔Graph Theory〕起源于著名的柯尼斯堡七橋問題，以圖為研究對象。圖論中的圖是由若干給定的點及連接兩點的線所構成的圖形，這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關系，用點代表事物，用連接兩點的線表示相應兩個事物間具有這種關系。
本章主要學習圖的基本概念、路徑與回路、圖的矩陣表示、平面圖和二部圖、以及樹。學習的重點：圖的矩陣表示、平面圖和二部圖、以及樹。
第五章．數理邏輯
數理邏輯又稱符號邏輯、理論邏輯。它既是數學的一個分支，也是邏輯學的一個分支。是用數學方法研究邏輯或形式邏輯。數理邏輯是數學基礎的一個不可缺少的組成部分。雖然名稱中有邏輯兩字，但并不屬于單純邏輯學范疇。數理邏輯與計算機科學有著密切的關系，它已成為計算機科學的基礎理論。
本章學習的重點：命題及聯結詞、命題公式及公式的等值和蘊含關系、對偶與范式、命題演算的推理規則、謂詞邏輯簡介。
二．學習情況
離散數學作為一門必修課，其地位是非常重要的。學習好這門課對于我們也是頗有益處。而且離散數學還是一門有很深內涵的學科。
集合論是本書的這一章節，我們在以前已經學習過集合，為什么現在還要學習呢，這就足見集合在離散數學這門課程中的重要，把集合的知識作為一個基礎的知識點，來作鋪墊。所以說要想學習好離散數學就必須先將集合的知識掌握好。
關系是集合知識點的延伸，關系是相對于集合而言的。關系也是一個重要的知識點，對后續知識的學習也有重要的作用。后面的代數系統就必須依賴關系才存在的。如果一個系統里不存在關系，那么這個系統也是不存在的。系統里必然存在某種關系，這才使系統存在有意義。
代數系統的學習是對前面的集合論與關系的以個總結。學習了集合論與關系有什么用，在這一章節我們就可以看出來。通過學習這一章，對前面兩章有了更深的理解，也對前面所學知識有了一個總結。但同時本章也是本書中比較難以了理解的章節，在本章的學習中遇到一些問題，但是在同學的幫助下都一一解決了。
圖論的學習對于我們計算機專業的學生來說是非常的重要的，因為它與我們
計算機專業的關系最密切。在學習中，圖不再是我們以前接觸的圖，而是學習的事如何在點與點之間連結的問題。這對于發散我們的思維有很大的幫助。
數理邏輯是本書最重要的章節，它是培養我們的抽象思維，讓我們能在其他學科能夠運用一定的思維方式來解決問題。對于計算機專業來說，數理邏輯提高了計算機的工作效率。數理邏輯在計算機專業方面起到了重要的作用。
三．學習體會
學習了離散數學這門課程，對于一個愛好數學的人來說，我是非常受益的。同時，離散數學作為一門與計算機學科相關的專業基礎課，對我學專業知識也有很大的幫助。
學習離散數學，可以培養我們的邏輯思維方式，對于我們學習計算機方向的學生來說是非常有用的。尤其是在計算機編程方面對邏輯思維就有一定的要求。離散數學這門課程，是一門比較難學的課程，它有太多的概念、定義，需要我們有很好的記憶力，但是要完全記住這么多的概念、定義是非常困難的。所以說我們在有好的記憶力之外，還要運用理解記憶的方法來解決，這樣我們就不必花費過多的時間和精力去記憶這么多的概念和定義了。離散數學作為一門理科學科，在我看來最好的學習方法就是多動手、多做題，在做題得過程中，慢慢積累做題得經驗，同時也可以對概念和定義有一個更深層次的理解。
學習各個學科都有其各自的學習方法與思維方式，只有運用對了學習方法才能更好的學習這門課程。學習一門課程都是為了解決實際問題，學習離散數學也不例外。學通了一門課程才能在解決問題的時候不會走彎路。
上面說到了離散數學是一門比較難學的課程，在學習的過程中，也肯定會遇到許多的問題，比如在第三章學習的代數系統中的半群與運算，關于單位元與逆元素這兩個知識點遇到一些問題。但是通過反復的理解概念及做練習題和與同學交流，最后還是解決了這些問題。當解決問題的時候心中有一種成就感。
學習離散數學的過程中，也有許多的樂趣。但在輕松學習的過程中，還得從中學到東西，學到道理。我在學習這門課程之后，對我的專業知識方面有了很大的幫助，讓我的思維有了進一步的發散，使我在其他的學科中受益匪淺。
第五篇：概率論章節總結
第一章考核內容小結 種類相加，步驟相乘 排列（數）：從n個不同的元素中，任取其中m個排成與順序有關的一排的方法數叫排列數，記作或。的計算公式為：
排列數
例如：
（四）組合（數）：從n個不同的元素中任取m個組成與順序無關的一組的方法數叫組合數，記作或。
=45 例如：
組合數有性質
（1）例如：，（2）
，（3）
（1）A，B，C三事件中，僅事件A發生-------（3）A，B，C三事件都不發生--------（5）A，B，C三事件只有一個發生--------
（2）A，B，C三事件都發生-------ABC
（4）A，B，C三事件不全發生---------
（6）A，B，C三事件中至少有一個發生-------A+B+C（1）A，B都發生且C不發生
（2）A與B至少有一個發生而且C不發生
簡記AB+AC+BC
簡記
（3）A，B，C都發生或A，B，C都不發生）（4）A，B，C中最多有一個發生（5）A，B，C中恰有兩個發生（6）A，B，C中至少有兩個發生）（7）A，B，C中最多有兩個發生
（一）了解隨機事件的概率的概念，會用古典概型的計算公式
計算簡單的古典概型的概率
（二）知道事件的四種關系
（1）包含：表示事件A發生則事件B必發生
（2）相等：
（3）互斥：與B互斥
（4）對立：A與B對立AB=Φ，且A+B=Ω
（三）知道事件的四種運算
（1）事件的和（并）A+B表示A與B中至少有一個發生 性質：（1）若，則A+B=A（2）且
（2）事件積（交）AB表示A與B都發生，則AB=B∴ΩB=B且
性質：（1）若
（2）
（3）事件的差：A-B表示A發生且B不發生
∴
（4）
性質
，且A-B=A-AB 表示A不發生
（四）運算關系的規律
（1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結合律（AB）C=A（BC）
（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC
叫對偶律
（4）
（五）掌握概率的計算公式
（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
特別情形①A與B互斥時：P（A+B）=P（A）+P（B）
②A與B獨立時：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）
③
推廣P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
（2）
推廣：
因為，而，而BA與明顯不相容。
特別地，若所以當
，則有AB=A
當事件獨立時，P（AB）=P（A）P（B）
P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）
與B，A與，與
均獨立
性質若A與B獨立
（六）熟記全概率公式的條件和結論
若A1，A2，A3是Ω的劃分，則有
簡單情形
熟記貝葉斯公式
若已知，則
（七）熟記貝努利重復試驗概型的計算公式
第二章考核內容小結
（一）知道隨機變量的概念，會用分布函數求概率
（1）若X是離散型隨機變量，則 P（a （2）若X是連續型隨機變量，則 P（a P（a≤x＜b）=F（b）-F（a） °P{X≤b}=F(b).P（a °P{X>b}=1-P{X≤b}=1-F(b) （二）知道離散型隨機變量的分布律 會求簡單離散型隨機變量的分布律和分布函數，且若 則 （三）掌握三種常用的離散型隨機變量的分布律 （1）X～（0,1） P（x=k）= （2）X～B（n,p） （3）X～P（λ）P（x=k）= 并且知道泊松分布是二項分布當n很大，p很小的近似值，且λ=np （四）知道連續型隨機變量的概率密度概念和性質，概率密度和分布函數的關系及由概率密度求概率的公式。 （1）概率密度f（x）的性質 ①f（x）≥0 ② （2）分布函數和概率密度的關系 （3）分布函數的性質 ①F（x）連續，可導 ②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1 ③F（x）是不減函數。（4）概率計算公式： ①P（a ②P（a （五）掌握連續型隨機變量的三種分布 （1）X～U（a,b） X～f（x）= X～F（x）=（2）X～E（λ） ①X～f（x）= ②X～F（x）=（3）X～N（0,1） ①X～ ②X～ 性質：Φ（-x）=1-Φ（x）P（a ①X～ ②P（a （六）會用公式法求隨機變量X的函數Y＝g（x）的分布函數 （1）離散型 若 且g（x1）,g（x2）, …g（xn）不相同時，有 （2）連續型 若X～fX（x）,y=g（x）單調，有反函數x=h（y）且y的取值范圍為（α,β），則隨機變 量X的函數Y=g（x）的概率密度為 當α=－∞β=+∞時，則有 簡單情形，若Y＝ax+b則有 Y～fY（y）= 在簡單情形下會用公式法求Y＝ax+b的概率密度。 （3）重要結論 （i）若X～N（μ,σ2），則有Y＝ax+b時 Y～N（aμ+b,a2σ2） （ii）若X～N（μ,σ2），則有Y＝ 叫X的標準化隨機變量。 第三章內容小結 （一）知道二維隨機變量的分布函數的概念和性質。（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y） =P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性質（ⅰ）F（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0 F（-∞，-∞）=0（3）X～FX（X）=F（X,+ ∞） Y～FY（Y）=F（+∞,Y） （二）離散型二維隨機變量（1）（X，Y）的分布律 性質 （2）X的邊緣分布 證明 P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，… pm·=pm1+pm2+…pmn （3）Y的分布律 證 P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，… P·N= P1N+P2N+…+pmn （4）X，Y獨立的充要條件是： X，Y獨立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj） （i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判斷離散性隨機變量X，Y是否獨立。 （5）會求 Z=X+Y的分布律 （三）二維連續型隨機變量（1）若 已知 f（X,Y）時，會用上式求F（X,Y） 性質 （2） 已知F（X,Y）時，會用上式求f（X,Y） （3）會用公式 求（X，Y）在區域D上取值的概率。 （4）會用公式 分別求X，Y的概率密度（邊緣密度）（5）會根據X，Y獨立 判斷連續型隨機變量X，Y的獨立性。（6）知道兩個重要的二維連續隨機變量 ①（X，Y）在D上服從均勻分布 S是D的面積 X，Y獨立（7）若X，Y獨立，且 則 第四章小結 本章的考核內容是 （一）知道隨機變量的期望的定義和計算公式，性質。 （1）離散型： （2）連續型： （3） （4） 期望的性質：（1）E C=C（2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY（4）X,Y獨立時，E（XY）＝（EX）（EY） （二）知道方差的概念和計算公式以及方差的性質 ∴X是離散型隨機變量時 X是連續型隨機變量時 （2）計算公式 （3）性質 ①DC＝0 ② ③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)] =DX+DY±2Cov(X,Y) ∴X,Y獨立X,Y不相關時D(X±Y)=DX+DY Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)] 計算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY) 相關系數 定理X，Y獨立 X，Y不相關（） 特別情形X，Y正態，則有 X，Y獨立X，Y不相關 第五章考核要求 （一）知道切比雪夫不等式 或 并且會用切比雪夫不等式估計事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。 （二）知道貝努利大數定律 其中n是試驗次數，m是A發生次數，p是A的概率，它說明試驗次數很多時，頻率近似于概率。 （三）知道切比雪夫不等式大數定律 它說明在大量試驗中，隨機變量 （四）知道獨立同分布中心極限定理 取值穩定在期望附近。 若 記Yn～Fn（x），則有 它說明當n很大時，獨立同分布的隨機變量之和近似服從正態N（nμ,nσ2）所以，無論n個獨立同分布的X1,X2,…Xn服從何種分布，n很大時，X1+X2+…Xn卻近似正態N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理 若Zn表示n次獨立重復事件發生次數，即 Zn～B（n,p）,則有 即Zn近似正態N（np,np（1-p）2）。并會用中心極限定理計算簡單應用問題。 第六章章小結 本章的基本要求是 （一）知道總體、樣本、簡單樣本和統計量的概念 （二）知道統計量和s2的下列性質。 E（s2）=σ2 （三）若x的分布函數為F（x），分布函數為f（x），則樣本（x1,x2,…xn）的聯合分布函數為F（x1）F（x2）…F（xn）樣本（x1,x2,…xn）的聯合分布密度為f（x1）f（x2）…f（xn），樣本（x1,x2,…xn）的概率函數，p（x1,x 2 ,…xn）=p（X=x1）p（X=x2）…p（X=xn）因而順序統計量x（1），…x（n）中 X（1）的分布函數為1-（1-F（x））n X（n）的分布函數為[F（x）]n （四）掌握正態總體的抽樣分布 若X～N（μ，σ2）則有 （1） （2） （3） （4）若 => 當時。 （五）知道樣本原點矩與樣本中心矩的概念 第七章章小結 本章考核要求為 （一）點估計 （1）知道點估計的概念 （2）會用矩法求總體參數的矩估計值，主要依據是 （3）會用最大似然估計法求總體參數的估計值。 基本方法是由樣本x1，x2，x3，…，xn構造一個似然函數或似然函數的對數 L（x1，x2，x3，…，xn，）=P（X=x1）P（X=x2）…P（X=xn）L（x1，x2，x3，…，xn，）=f（x1）f（x2）…f（xn） 。是 然后由ln L（x1，x2，x3，…，xn，）取最大的值時的值為的值，即 L的最大值點。 （二）點估計量的評價標準 （1）若 （2）若 （3）若 就說是的相合估計，則是的無偏估計。都是的無偏估計，且。 就說 有效。 以上三條標準中主要掌握無偏估計和有效估計 （三）區間估計 （1）知道區間估計的概念 （2）會求一個正態總體的參數的置信區間。公式見表7-1 第八章小結 （一）理解假設檢驗的基本思想，知道假設檢驗的步驟。 （二）知道兩類錯誤 （三）掌握單個正態總體的均值和方差的檢驗方法，并會簡單應用，這是本章主要重點。 （四）兩個正態總體 （1） （2），會檢驗 第九章小結 本章考核要求： （一）會根據樣本（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）求y與x的線性回歸方程 其中 （二）會用F檢驗法判斷y與x的線性關系是否明顯
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