第一篇：孫維剛老師數學哲學思想在解題教學中的應用

孫維剛老師數學哲學思想在解題教學中的應用

孫維剛老師是京城普教界的傳奇人物。他去世多年，但是他創(chuàng)造的教育奇跡，至今讓同行贊嘆不已。近幾年來，筆者一直研讀孫老師的著作，探尋他老人家創(chuàng)造教育奇跡的真啼。本文試圖通過案例分析，來展示孫老師數學哲學思想在解題教學中的應用。

一、孫維剛老師最重要的數學哲學思想。

1.廣義對稱思想：指的是“合理和和諧”。例如。輪換對稱式a3?b3?c3?3abc中的a.b.c是對稱的，并不是它們各占30%，指的是地位是平等的。2.換個角度思考問題：指的是“可以從不同角度去思考”。

看上去這些思想樸實無華，沒有什么奇妙的地方。但是，在好多難題面前威力無比。

二、案例分析 案例1（2011年江蘇高考壓軸題）設M為部分正整數組成的集合，數列{an}的首項a1?1，前n項的和為Sn，已知對任意整數k?M，當n?k時，Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)都成立．（1）設M?{1}，a2?2，求a5的值；（2）設M?{3,4}，求數列{an}的通項公式．

2011年江蘇高考卷，讓大部分考生眉開眼笑，因為前18題很簡單。但是尖子生怎么也笑不出來，因為壓軸題的第（2）小問能做的人十萬分之一都不到。

根據江蘇考綱等差數列、等比數列都是c級要求，所以好多考生都知道是等差數列或等比數列，有的同學甚至通過特值猜出答案。可是怎么證都難以找到理論根據。現在用孫老師的數學哲學思想分析如下： 分析：從“廣義對稱思想”看，把sn轉化為an ,根據等式有三個方向:消

?sn?3?sn?3?2(sn?s3)?(1)k?3k?

4、、。、代人得

消sn，snsn?ksn?k??sn?4?sn?4?2(sn?s4?(2)（2）?（1）得an?4?an?3?2a4。消sn?k，（1）式下標放大一個減去（2）式得（2）式下標放大一個減去（1）式得an?2?an?3?2an?1?2a4。.消sn?k，an?5?an?4?2an?1?2a4。即

?an?7?an?2a4?(3)??an?1?an?2an?4?2a4?(4)

上式必須消去a4，才能得到關于an關系式，根?a?a?2a?2a?(5)n?14?n?5n?4 據“廣義對稱思想”分別有（3）和(4)、（3）和（5）、（4）和（5）消a4。

?an?7?an?1?2an?4?(6)?（3）+(4)、（3）（5）、（4）并化簡得：??（5）?an?7?an?an?5?an?4??2an?1?(7)。

?a?a?a?a?(8)n?1n?n?5n?4（6）、（7）、（8）看不出什么關系，但是如果我們“換個角度思考”，消去a4除了（3）、（4）、（5）兩兩相消外，還可以（3）、（4）、（5）下標放大一個與原式相減去消。（3）、（4）、（5）下標放大一個與原式相減并化簡得：?an?8?an?7?an?1?an?(9)?（10）式讓我們眼前一亮，?an?2?an?2(an?5?an?4)?(10)

顯然（8）式、?a?a?2(a?a)?(11)n?2n?1?n?6n?4即得：an?2?an?2(an?1?an),?an?an?2?2an?1,??an?成等差數列。由sn?3?sn?3?2(sn?s3)得：sn?6?sn?2(sn?3?s3),(n?6)a1?(n?6)(n?5)n(n?1)d?na1?d?2(n?3)?

22(n?3)(n?2)d?6a1?6d,?a1?1?代人化簡即得：d?2?an?2n?1。

其實本題從上面分析過程看，用“廣義對稱思想”和“換個角度思考問題”去分析，思路自然流淌。完全沒有高考壓軸題那種讓普通學生深不見底，高不可攀的感覺。如果普通學生掌握這些思想，也能領略一下高考壓軸題的奧秘。

案例2（2010年全國高中數學聯賽加試題第3題）給定整數n?2，設正實數

a?a??ak,k?1,2,?n，a1,a2,?an滿足ak?1,k?1,2,?,n記Ak?12k求證:?ak??Ak?k?1k?1nnn?1 2分析：乍看這一題目，很自然把ak?Ak?ak??a??Akk?1k?1nnk化成?(ak?Ak).k?1na1?a2??ak(k?1)ak?a1?a2?ak?1?再下去如何做，對大部分學

kk生都是一條絕路。可是我們回過頭來想一想，剛才是把Ak統一成ak去尋找解題思路。這里轉化只有兩個方向，一個轉化為Ak，另一個轉化為ak。Ak轉化為ak此路不通。何不“換個角度思考問題”，把左邊統一成Ak形式。2 ?a??Akk?1k?1nnk寫到這里，對 An?Ak?nAn??Ak??An??Ak??(An?AK)。

k?1k?1k?1k?1nnnn?1的處理，必然還要回歸到定義。a?a?ana1?a2?ak11An?Ak?12??(a1?a2??ak)(?)

nknka?a??anak?1?ak?2??an11?k?1k?2??(?)(a1?a2??ak)?0?a?1?nnknak?1?ak?2??ann?kk1111k??1?。(?)(a1?a2??ak)?(?)k?1?。nnnknknnk?An?Ak?1??nkn?1。本題之所以峰a?A?A?A?(1?)?????kKnkn2k?1k?1k?1k?1nnn?1n?1回路轉，那是“換個角度思考問題”。事實上如果掌握了這一思想，本題就不在是什么難題。

總之，孫老師的著作，博大精深。對我們師生很有指導意義。以上只是筆者學習孫老師著作的粗淺體會，望各位同行批評指正。

第二篇：讀孫維剛初中數學有感

讀《孫維剛初中數學》有感

———馮巖

《孫維剛初中數學》是數學教育家孫維剛老師的著作，涵蓋了現行初中數學教育大綱中所要掌握的內容，是孫老師三輪實驗班的數學教材。孫老師的數學教學理念可以概括成四句話：八方聯系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底。他認為，學好數學，首重概念扎實，基礎知識牢固。解數學題，要在“扎實”“牢固”的基礎上，加強在概念的理解，引申，概念外圍的規(guī)律方法，以及解題思考規(guī)律方面的功夫。而在本書中，他更旗幟鮮明的亮出自己的觀點：要學好數學，還要學會“聰明的做題”，這一論點給我留下了深刻地印象。

孫老師認為：提不求多，但求精彩，要求“知人善用”。很多老師和同學做了大量的聯系，但實際上無論從知識或是從思維能力哪個方面來說，收獲都很少，明顯的與付出不成正比。造成這種情況的主要原因在于：其一，是否從思想上明確了如上所述的做題目的目的；其二，是否在用科學的態(tài)度和方法去做題。所謂科學的態(tài)度和方法主要包括一下幾個方面：

1.題不求多，但求精彩。對于題目的選擇可以遵循下述幾個原則：（1）題目本身無錯誤；（2）不要選只是對概念，定理，方法進行復述的題目（這一點對于我校學生尤為重要），這種題目，對于理解知識，培養(yǎng)能力幾乎毫無作用；（3）題目從解法上看，應是充滿活力，不要死氣沉沉，只是繁瑣的堆砌公式或冗長無味；（4）同一類型的題目，解透一兩個有代表性的即可，不必大量重復；（5）不問津那些對于概念無理解價值，在思考方法上遠離一般規(guī)律的偏題，怪題

2、講究做題的方法——

一題多解（達到熟悉）、多解歸一（尋求共性）、多題歸一（尋求規(guī)律）。這三種方法與其說是是研究問題的三種手段，不如說是深入理解解題思想的三個層次。在本書中孫老師用了幾個淺顯的例子來說明自己如何通過這三個層次的引導，幫助學生掌握知識熟練技巧，進而思考規(guī)律的。而孫老師教學成功的所在，我認為也恰恰在于他對學生做題方法指導上。

我從一些資料中了解到，孫維剛訓練學生，一要“敢”提問題；二要“會”提問題；三是在發(fā)現問題后，找出此知識與彼知識間的相互聯系。別人要花一個月，他們僅用三個半天便講完了高中數學的118個公式。初中三年便提前學完了高中的全部數學課程，而且還增加了許多課本上沒有的內容和部分大學的數學課程。初二上到一半，便可以優(yōu)異的成績答完前一年的高考數學試卷。

而孫維剛學生的成績，總是和“付出”之間有一道“不等式”：課前不用預習，課上沒有筆記，課后沒有作業(yè)。孫維剛到底靠什么呢？

他說：“我給學生出一道題，自己要先做10道題，從中選出最精彩、最典型、最能啟發(fā)學生思維的。”

在孫維剛的書櫥里，有一摞大硬皮本。數數共有二十二個（但這只是其中一部分）。上面畫著三角、圓錐等各種幾何圖形，旁邊則是密密麻麻的解題筆記。

他為學生開創(chuàng)了解題的“三級跳”：一題多解（達到熟悉）、多解歸一（尋求共性）、多題歸一（尋求規(guī)律）；又是他為學生歸納了4個大規(guī)律，15個中規(guī)律，30多個小規(guī)律，使他們從初一到高三，從代數到幾何，再沒有不會做的題目了。

所以，要想引導學生理性思維，首先教師要有很大的內存和相當的積累，并且用心總結剖析，才有可能做到這種深入淺出和行云流水的境界。

3、在可見的系統中學習，知道自己還缺什么，知道自己已擁有什么。達到知己知彼。魏書生認為，教學中首先應當幫助學生解決“學什么”的問題。為此，他與學生多次討論、商量，畫出了語文學科的知識結構圖，整理成了支干、小杈、葉子的系統，即所謂“語文知識樹”，或叫“知識地圖”。這樣做就能使學生“當思維的車在知識的原野上奔馳時．有了這張‘地圖’，目標才能明確，少走冤枉路”。

孫維剛則把站在系統的高度教學知識分成了三層意思：

一、每個數學概念、定理、公式等知識的傳輸，都是在見樹木更見森林、見森林才見樹木的狀況下進行的；

二、在教學過程中，對任何細節(jié)都鼓勵學生追根溯源，凡事都去問為什么，尋找它與其它事物之間的聯系；

三、在系統中進行教學。孫維剛認為這種做法所起到的作用是：“使學生發(fā)現知識之間盤根錯節(jié)，又渾然一體，而到后來，知識好像在手心里，了如指掌，不再是一堆雜亂無章的瓦礫、一片望而生畏的戈壁灘。”

第三篇：解讀孫維剛初中數學教學秘方!

觀《孫維剛老師初中數學教學視頻》小結

本小結的順利完成,首先要感謝研究孫維剛老師的存世資料的教育工作們,一周研究，讓我頗有啟迪, 受益匪淺。在這里'我要誠摯地向孫維剛老師表達衷心的謝意,在百忙的時間中抽出時間來觀看研究，頓時讓我對數學教學從困惑到茅塞頓開！

現在來談談我的想法：

數學“多解歸一”的本質：

那么在孫維剛老師的結構教學法中,教師高于學生的部分具體體現在什么方面呢?我

想主要還是在于結構上,說得更通俗一點就在于“多解歸一”的那個“一”上,這里的“一”

其實大有文章。

在三角形內角和定理的課堂上,孫維剛老師和學生一起討論出了六種不同的證法,這

六種證明方法看似很多,但仔細分析會發(fā)現其實它們是一個統一的整體,由其中的任一種

證法容易想出其余的各種證法,只要思想方法正確,所用的手段可以任意選擇。這可以歸

結到“多解歸一,尋求本質”的第三點上:幾種解法融會貫通,由特殊到一般,統一在了

一個最本質最簡捷透徹的方法上。這里“六解歸一”的“一”如果要升華,便是指哲理上 的對稱思想了。

在三角形內角平分線性質定理證明的八種證法中也是有“一”可循的。這八種證法咋

看雜亂無章,但若仔細分析思考,容易尋求出不同解法之間的共同木質。其一,在思想方

法上,某些證法是共同的。例如,證法

一、證法

二、證法

五、證法

六、證法

七、證法八，都是“等比代換”的思想;證法三和證法四,都是“等量代換”的思考;證法六和證法七，都是利用面積法;證法四和證法六,都是改造或制造了相似三角形。其二,在具體步驟上，某些證法也是共同的。例如,證法六和證法七,是兩種不同的面積證明方法,但都離不開

“要把某個圖形的面積用兩種方法各表達一次”這一關鍵歩驟;證法和證法五,用不同 的方式去改造并制造相似三角形時,都必須保留原來相等的那一組角。甚至,在某些證明

中,有某個工具是誰都不可不用的;某個步驟,是誰都無法繞開的。這里“八解歸一”所

歸的“?”,便是課堂上所總結出來的證明線段成比例問題的一般思考規(guī)律,孫維剛老師

完全是站在方法論的角度來看待問題了。

教育雙重目的：

教育具有雙重目的,既要適合滿足國家與社會的需要,又要使學生的主體個性得到充分的發(fā)展,使學生的人格和心靈得到完善。同時,課程的改革也總是要以社會需要、學科體系和學生發(fā)展為基礎;隨著新一輪課程標準的頒布,人們現在已經普遍意識到了,在教學中既要重視系統知識的學習,又要充分發(fā)揮學生的學習主動性。而這一點如果用來評價維剛老師的結構教學思想,只怕是孫維剛老師的這種意識是有過之而不及。當時孫維剛老師的教學理念在現今完全適用,孫維剛老師的課堂就是現在新課標所提倡的教學模板。

時代要發(fā)展,教育的改革當然要滿足時代發(fā)展的需求,牛頓曾說他看得遠,只是因為他站在了巨人的肩膀上;而時代發(fā)展、教育改革這些事情本來就需要高瞻遠矚、立意深遠,如何做到這些呢?瞻前顧后,效仿前人的成功之典范,取其精華而吸收、利用,這是一條必經的道路。其實熟諳新課程標準思想的學者,一定不難在孫維剛老師的結構教學思想中發(fā)現新課程標準思想的影了;而孫維剛老師的教育教學實驗遠在新課程標準頒布之前,若認為新課程標準的頒布也參考了孫維剛老師教育教學實驗的經驗和教訓,這種說法也不能說是全無道理,更重要的是對于研究者而言,研究的意義正在于此。

新課程標準的核心思想是什么?引“還教育之本源”,孫維剛老師的教學思想也正是“還教育之木源”的初衷而展開。做教育不僅是要使學生學會獨立的思考,更重要的是讓學生學會做人,孫維剛老師的結構教學思想始終不離哲理思想的指導,那么他所教出來的學生必定是能夠站在哲理的高度去思考問題的“高人”，學生的思想境界高了,所能取得的成就也自然會高。

由于受時間、條件、自身素質所限,對孫維剛結構教學視頻思想的探究尚有一些不足之處。

其一,案例資源有限。

想做的研究很大程度上是想向大家展示完整的孫維剛老師對初高中六年課程的整體編排和教學設計,但由于目前只觀看了初中教學視頻實錄。筆者也就不敢妄自菲薄了,只好充分利用手頭資料,做成案例的形式,供有興趣的讀者參考。

其二,沒有結合布魯納的結構主義教學。

認為孫維剛老師的一套教育教學理論已經自成體系,可以作為一個獨立的研究對象而存在,所以本文所探究的是孫維剛老師的結構教學思想,但從內容上來看,沒有很好地結合布魯納的結構主義教學來加以評價,難免顯得有些孤立。若能適當的結合布魯納結構主義教學的幾個要點,如學科基木結構、發(fā)現學習等方面,對孫維剛老師的結構教學內容和方式加以恰當的褒獎,相信能夠更好的說明孫維剛老師結構教學思想的本質。

其三,結構教學思想把握不夠。

孫維剛老師的結構教學思想很好,若能把握精髓必定又是數學教育界的一筆寶貴財富。雖然曾在中學參加過見習和實習教學實踐活動,但是畢竟沒有真切的一線實踐經驗,所說之話恐有“越俎代庖”之嫌,同時受思想境界所限,對孫維剛老師結構教學思想的把握只能是淺嘗輒止,并沒有完全領悟透徹,還需要更多專家、學者的批評和指正。

這些不足之處,雖然筆者也在盡力彌補,但終究力不從心;只是希望把這些不足之處擺出來之后,能夠為后來的研究者們提供借鑒和參考,筆者將不甚榮幸。

孫維剛老師在教育教學實驗中的成就是有目共睹的,目前國內研究孫維剛老師的學者也很多,但相關著作研究鮮見于世,大概也是年代久遠、資源不足等客觀因素所限。筆者在當今重提孫維剛老師的教育教學思想,特別是結構教學的思想,認為具有相當大的意義。雖年代已經久遠,但其精神、思想永存;而作為一名研究者,文字表達的意義也正在于此。通過觀看孫維剛老師的教學視頻,也讓本人意識到,要格外珍惜一線教學資源,特別是一線教師的教學手稿,做好各方面的保存、保管工作,不能讓珍寶流逝于粗心大意之間。同時,對孫維剛老師的結構教學思想,認為還可以從以下幾個方面展開進一步的研究、探討:

(1)孫維剛老師結構教學思想產生的背景如何 ?(2)在現今的教學活動中,如何落實、實踐孫維剛老師的結構教學方法?(3)對于不同層次的學生,孫維剛老師的結構教學應如何把握進度?(4)在孫維剛老師的結構教學中,應怎樣發(fā)揮學生的主體意識?(5)孫維剛老師結構教學思想的木質是什么?

參考文獻：

[I] 《孫維剛,全班55%怎樣考上北大、清華》 [2] 《 孫維剛,孫維剛初中數學》 [3] 《 孫維剛,孫維剛高中數學》

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[4] 《 孫維剛初中數學輔導》教學視頻 [5] 《 孫維剛高中數學輔導》教學視頻

初中、高中數學教學視頻

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第四篇：數學模型方法在數學解題教學中的應用

數學模型方法在數學解題教學中的應用

摘 要：數學模型方法是一種重要的數學方法，闡述了靈活應用函數模型、不等式模型、幾何模型等模型的解題方法，以及數學模型方法教學的基本原則。

關鍵詞：數學模型；模型方法；解題；教學

一、數學模型的概念及分類

根據波利亞對數學模型的描述，中學數學中的一切公式、定理、法則、圖象、函數以及相應的運算系統都可以作為數學模型。根據數學本身的特點，數學模型可以分為概念型模型、方法型模型和結構模型三大類，而根據中學數學教材的內容，中學數學模型應包括函數模型、不等式模型、復數模型、排列組合模型、概率統計模型以及平面幾何中的平面，解析幾何中的平面，立體圖形模型，距離模型，線性模型等。

二、數學模型方法的含義及基本步驟

1.數學模型方法的含義

數學模型方法（Mathematical Modeling Method）是利用數學模型解決問題的一般數學方法，簡稱MM方法。它是處理各種數學理論問題、解決各種實際問題的不可或缺的方法，無疑，數學教師在日常教學中都應當注意讓學生了解并掌握這種方法，最大可能地培養(yǎng)其構造數學模型的能力。這絕對不是一個輕松的過程。首先，學生必須先掌握一定的數學知識，讓他們學“雜”一些，使得建立模型解題才有了可能性。其次，要讓學生多接觸題目，多動腦。

2.數學模型方法的基本步驟

在中學數學教學中，數學模型方法已成為一種非常重要的思想方法，它在解題中的基本步驟表示如下：

將所要解決的問題轉化為比較簡單的比較常見的問題，或已經解決了的問題，然后再通過后者的解來解決原來的問題，這便是人們在數學研究中經常采用的一種方法――關系影射反映方法。模型解答題，按照上圖中的三個步驟來完成。在構造模型時，要仔細分析問題中的條件，找出可以用來構造模型的因素，挖掘各種因素、各個事物的聯系，最后，利用恰當的數學工具達到最終目的。

三、應用模型解題

1.應用不等式模型解題

用“>”或“<”號表示大小關系的式子，叫做不等式。不等式是研究不等關系的數學工具，它與等式和方程是研究相等關系的數學工具的性質是一樣的。問題的研究經常要分析其中的不等關系，列出不等式，并用不等式求出某些數量的取值范圍。

歷年高考試題幾乎都會涉及最值問題，而這些問題的絕大多數都可以轉化為不等式問題。這就要求學生應當熟悉幾種常見的求最值問題的不等式模型，提高解題速度，從而更好地把握考試時間。

2.應用幾何模型解題

有些實際應用問題，可以通過分析、聯想，建立恰當的幾何模型，將問題轉化為空間圖形的位置關系，數量關系或者轉化為曲線問題來加以解決。

3.應用概率模型解題

概率是隨機事件出現可能性的量度，在初中數學中加大概率的內容已成為共識。現實生活中的部分現象極好地體現了概率知識的廣泛應用，這里主要探討概率模型在一般數學題目中的應用。

四、數學模型方法教學的基本原則

建立數學模型解決原型的過程確實不易。教師在數學模型方法的教學中就必須遵循一些原則，概括起來有以下三點：

1.循序漸進教學原則

也稱為分層次教學原則。該原則的出發(fā)點為學生認知水平的層次性。模型方法的教學應該重點體現在知識的應用期。引導他們掌握數學模型方法的基本步驟，要求他們會建立相應的數學模型。反過來，模型的建立、求解又進一步鞏固所學知識。

2.引導啟發(fā)教學原則

該原則就是要讓學生自己領會模型方法，掌握不同的模型。在課堂上多創(chuàng)造一些生活的情境，多給學生動手實踐的機會。教師將目標落實到具體的課堂教學中，與教學結構的各環(huán)節(jié)相匹配。

3.融會貫通教學原則

解數學題目時，要嘗試用另外一種方法去檢驗結果。模型方法的教學更是如此。或許建立某種模型可以解決這個問題，但是應用其他模型卻有可能使得問題的呈現更加明了。一題多模不但能夠使題目獲得最為簡明的解答方式，而且能夠讓學生從多個角度觀察事物，進而提高學生的思維活動能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新精神。

參考文獻：

[1]顧泠沅，朱成杰.數學思想方法[M].北京：中央廣播電視大學出版社，2004.[2]孫宏安.數學模型法的三個來源[J].大連教育學院學報，1997（1）.[3]高連成.解決最值問題的6個不等式模型[J].第二課堂：高中版，2007（4）.[4]劉美香.構造多種模型證明一道競賽題[J].上海中學數學，2008（12）.|編輯 楊兆東

第五篇：特級教師孫維剛老師的數學最優(yōu)學習方法

特級教師孫維剛老師的數學最優(yōu)學習方法

我曾仔細讀過已故特級教師孫維剛老師的書，書里孫老師談到如何在教學中利用結構教學法，讓學生在學習中學會舉一反

三、融會貫通。孫老師的學生們學習靈活性都很強，也都有很強的自學能力。孫老師帶的班成績都好得驚人，最好的班有全班55%的同學考上清華北大，其余全是一類本科，更難得的是他從不布置課后作業(yè)，即使高三學生也能保證每天睡到8個小時以上，這簡直不可想象，但是我們敬愛的孫老師，他做到了！

在構建知識結構的過程中，我意識到如果能巧妙利用知識結構進行教學，將使教學效率大大提高，會有效減輕學生的課業(yè)負擔，而且學生能保持優(yōu)良的成績——這是我一直孜孜不倦夢寐以求的。因自身水平有限，還需要進一步學習，我想借這次機會好好來談談我研讀孫老 師的結構教學法的收獲，好好研究一下如何靈活運用知識結構教學法來提高學生的學習效率，與各位教師，各位家長，各位同學共同學習和探討，讓同學們達到輕松 學習，快樂學習的美好境界，使學生真正有時間進行豐富多彩的課外活動，除了文化課的學習，還能參加更多的體育，藝術，社會活動，使學生們健康快樂地成長。

孫老師在課堂上的魅力案 例很多，在這里無法一一敘述。我想把我仔細研讀孫老師的書的收獲和感受，以及孫老師的結構教學法的優(yōu)點，其中最值得學生們學習的一些經驗以要點的形式總結出來，如果有不妥之處，懇請有識之士斧正。孫老師的結構教學法主要有以下幾點經驗非常值得學生們學習：

1、學會找知識的新舊聯系。

許多知識都是互相聯系的，比如高中時要學的余弦定理，你就應該明白勾股定理就余弦定理的一個特例。找到新舊知識的聯系，那么數學就變得簡單多了。

課堂上老師常會重復以前的知識，這時候你應努力找到新舊知識的聯系，這樣學習數學就變得簡單而有趣了。就像華羅庚說的，讀書應有個過程——先把書讀“厚”，再把書讀“薄”，也就是說要善于總結規(guī)律。

孫老師則把站在系統的高度教學知識分成了三層意思：

（1）每個數學概念、定理、公式等知識的傳輸，都是在見樹木更見森林、見森林才見樹木的狀況下進行的；

（2）在教學過程中，對任何細節(jié)都鼓勵學生追根溯源，凡事都去問為什么，尋找它與其它事物之間的聯系；

（3）在系統中進行教學。孫老師認為這種做法所起到的作用是：“使學生發(fā)現知識之間既盤根錯節(jié)，又渾然一體，而到后來，知識好像在手心里，了如指掌的一張網，而不再是一堆雜亂無章的瓦礫和一片望而生畏的戈壁灘。”

孫老師的教學方法被稱為“結構教學法”，講究新知識和舊知識的比較與聯系。他并不擔心學生的腦子夠不夠使，因為教師的任務就是造就學生發(fā)達的腦子。在他的課上，基本上是先出題，寫出公式，然后讓學生討論，上黑板演示，老師在一旁點撥，讓學生學會尋找規(guī)律。比如在教三角形內角和定理的證明時，課本上只是延長三角形底邊并做出一邊的平行線，引導學生做出證明。而孫老師則把問題交給學生，上來就讓學生猜想三角形內角和是多少，再讓學生提出自己的證明。幾種證法出來后，孫維剛再問：“那么多邊形內角和是多少？”學生答：“(n-2)180°。”“怎么證？”學生們踴躍舉手，把幾種證法寫在黑板上，然后，由孫老師做總結，提到了證明所用的就是數學歸納法的思想。數學歸納法是高二才接觸的內容，在初一教學中就涉及了，學生接受得了嗎？當然，孫老師并不指望學生能一下子就理解和掌握數學歸納法，而只是抓住時機對教材結構進行調整，有關知識和方法先“閃現”一下，做個埋伏，做個鋪墊，以后還會“再現”，以激發(fā)學生的求知欲望，培養(yǎng)他們的探索精神。

孫老師花費不知多少不眠之夜，設計，編寫的“結構教學”和配套教材，取得了極大的成功。“結構教學”使學生成了課堂的主人，課后沒有硬性的、繁瑣的家庭作業(yè)，上課超前學一步，下課更輕松。他的“結構教學法”，注重新舊知識的比較與聯系，用他的話說是“八方聯系，渾然一體；漫江碧透，魚翔淺底。”??六年的課程三年學完，學生接連在各種競賽中獲獎。在他看來，生源的差別不應該成為影響教育成果的首要因素，只要方向對頭，方法得當，我們的教育對象都能成為棟梁之才。

2、聽講要專心，專心的標準是什么？ 是精神集中，不走神嗎？ 孫老師覺得這不是一個好的回答，只把精神集中到老師的講授內容上，很可能是跟在老師的后面亦步亦趨，學生的思維即使在活動，也只是處在被動的狀態(tài)。

孫老 師的建議是：一個命題提出來了，自己先試著去判斷它的真假；一個定理或公式寫出來了，自己先試著去證明它；一個例題寫出來了，自己先試著分析、解出它。甚 至在學習進程中自己設想，該提出什么命題了，該定義什么概念了，讓思維跑在老師的前面。如果達不到大幅度的超前，也要設想講課的老師正在進行的推理的這句 話的下一句會是什么。

孫老師在每屆的數學教學中，要求學生做到如下幾點：

（1）幾乎每道例題、每個定理、每個公式都是引導學生自己動手完成的。

（2）在課堂上要創(chuàng)造條件，造成學生總是想在老師前面、向老師(包括課本)挑戰(zhàn)的氛圍，讓學生在思維運動中訓練思維。讓一個個學生到前面來講，促進了學生之間聰明才智的相互傳染。

（3）從數學學科特點出發(fā)，在知識上指導學生注意追根究底，尋找知識之間的聯系和規(guī)律，在比較中學習新知識，站在哲理的高度思考問題，注重聯想。

（4）在解題中指導學生一題多解，多題歸一，多解歸一，歸納共性，分離個性，并總結出了一套科學有效的解題規(guī)律。

（5）提倡和指導學生開展問題研究，練習寫論文、寫總結。（6）不能忽視回顧總結工作，學生完成作業(yè)后，要回顧、總結、反思，只有掩卷反思才會有所發(fā)現和優(yōu)化。

（7）世上不存在沒有“為什么”的事物，凡事需問“所以然”。知其然，更知其所以然，凡事都要問一個為什么。鼓勵學生勇于探索大膽創(chuàng)新，各抒己見，展開爭論。

孫老師認為：老師給學生講題，如果只把題目的解法過程一步一步講清楚，哪怕再細致明白，而講不出這些解法步驟是怎么想出來的，對提高學生的解題能力，效果是不大的，甚至起消極作用。要講清楚自己當時的心緒和想法，在笨拙中學會反思，學會提出問題解決問題。

3、學習的四種基本能力組成了學習的基本模型。

孫老師訓練學生，一要“敢”提問題；二要“會”提問題；三是在發(fā)現問題后，找出此知識與彼知識間的相互聯系。別人要花一個月，他們僅用三個半天便講完了高中數學的118個公式。初中三年便提前學完了高中的全部數學課程，而且還增加了許多課本上沒有的內容和部分大學的數學課程。初二上到一半，便可以優(yōu)異的成績答完前一年的高考數學試卷。

而孫老師的學生的成績，總是和“付出”之間有一道“不等式”：課前不用預習，課上沒有筆記，課后沒有作業(yè)。

孫老師到底靠什么呢？

孫老師說：“我給學生出一道題，自己要先做10道題，從中選出最精彩、最典型、最能啟發(fā)學生思維的。”

在孫老師的書櫥里，有一摞大硬皮本，共有二十二個（但這只是其中一部分）。上面畫著三角、圓錐等各種幾何圖形，旁邊則是密密麻麻的解題筆記。孫老師每出一道題，自己要先做上10道題，從中選出最精彩、最典型、最能啟發(fā)學生思維的，讓學生在課堂上討論，不用預習，不留作業(yè)。學生在討論中感受到學習數學的樂趣，下課自己就會把找題解題當做一種樂趣。這就是孫老師教學成功的秘訣。

孫老師為學生開創(chuàng)了解題的“三級跳”：一題多解（達到熟悉）、多解歸一（尋求共性）、多題歸一（尋求規(guī)律）；又是他為學生歸納了4個大規(guī)律，15個中規(guī)律，30多個小規(guī)律，使他們從初一到高三，從代數到幾何，再沒有不會做的題目了。

心理學研究可以證明，孫老 師的結構教學法是有理論支持的。心理學研究發(fā)現：學優(yōu)生和學差生的知識組織是不一樣的。學差生頭腦中的知識是零散的和孤立的，呈現水平排列方式、列舉方 式，而學優(yōu)生頭腦中的知識是有組織和系統的，知識點按層次排列，并且知識點之間有內在聯系，呈現出一個層次網絡結構。可見如果知識在頭腦中無條理地堆積的 話，那么知識越多，越不利于問題的解決，就像是進入圖書館借書一樣，當書按一定順序整齊地排列著，那么書會很容易找到；但書如果無順序、雜亂無章地堆放 著，我們就很難找到需要的書。

有些家長會說自己孩子上課聽講很認真，也挺聰明，但就是考試不出成績，上課聽得很會，就是不會做題。這到底是什么原因呢？ 其實這就是知識零散造成的結果。結構乃是決定事物性質的重要因素。知識的作用，主要不是知識量的作用，而是合理結構的作用。在知識的應用、解決問題的過程中，并非獨立的“某個單項知識”，而歸根到底是整個知識結構在起作用。

學生學習課內外知識、獲取信息，將這些知識、信息進行有目的的加工整理，即把個別的、零散的、無規(guī)律的知識、信息，進行分析、歸納、篩選，按其內在聯系，分門別類，納入相應的“知識庫”中，使之結構化、系統化，形成網絡。這樣，運用時可以準確、迅捷地從“知識庫”中提取有效的知識信息解決問題，吸收新知識、信息，進而掌握《大綱》中應掌握的知識，形成《大綱》中應形成的能力。對知識信息進行加工整理，并納入相應的“知識庫”，使之結構化、系統化，形成“知識網絡”，簡而言之：整理知識。這是建立合理的知識結構的關鍵環(huán)節(jié)。它實際上包含這樣的兩個方面：

（1）知識門類化，即對所獲取的個別的、零散的、無規(guī)律的知識信息進行加工、篩選、并按其內在聯系分門別類：

（2）知識結構化，即將門類化的知識、信息納入“知識庫”中，使之結構化、系統化，形成知識網絡。

合理的知識結構可以在運用時，快速、準確的提取有效的知識。—個人是否真正把知識學到手了，要用“運用”來檢查。如果學了許多知識但不能在“運用”中表現出來，所貯存的知識不能根據需要成為進一步學習和解決實際問題的智慧和力量，那就是沒有把知識學到手。引導學生建立合理的知識結構，就是為了幫助學生快速提取，充分運用己掌握的知識，使知識發(fā)揮作用。美國心理學家布魯納認為，記憶保持的重要問題不是貯存而運用時“如何把用到的知識易于提取”，“易于提取”的關鍵又在于“對知識的組織”。因此掌握知識的人要善于把所掌握的知識進行科學安排，到需要時即能知道在何處提取。這讓人們想到圖書館的運作情況了。

當你走進一座相當規(guī)模的圖書館，藏書幾萬、幾十萬、幾百萬乃至上千萬冊，想借一本書，只要你遞上索書單，工作人員就能從數以萬計、十萬、百萬乃至上千萬計的茫茫書海中，快速、準確地找到它，讓你如愿以償。為什么能這樣迅速而準確地做到呢?最 根本的一點是：圖書館中的每本書，并非零散的，無系統性、規(guī)律性的，而是按某種結構標準進行劃分歸類，使它們從屬于各自的類目。工作人員就是以這為基礎，根據這些，從相應的不同級別的書庫中、書類目中準確快速地找到它的。試想如果你不提供這本書所在的類目情況；如果圖書館的數以萬計，乃至上千萬計的書沒有 進行有目的的整理，分門別類，而是隨意堆放，毫無規(guī)律性、結構性，那么，工作人員要找到它真的如大海撈針，千難萬難。由此可見，圖書館的運作過程中，把圖 書按一定的標準加以分類，并根據這種分類建立相應的各級別各類目的書庫，按照設定的各級別各類目的書庫情況，對進入館內的每本書進行分類，標明其從屬的類 目，至關重要。

建立相應的各個級別的“知識庫”，猶如圖書館中級別不一的書庫。每個小的知識點和能力訓練點，好比進入館內的經過加工整理類目從屬清晰的每本書。建立合理的語文知識結構，在運用時就能準確，迅捷地從眾多紛雜的記憶中提取有效的知識。孫老師的結構教學法的經驗不僅僅可以用在數學學習上，還可以復制到其它學科，因為各學科的思維結構和思維原點是相通的，是有規(guī)律可循的。從這些思維原點中提煉出來一個學習的基本模型，這個模型是由四種基本學習能力組成，即：

（1）發(fā)現研究對象的能力；

（2）圍繞研究對象確定研究角度的能力；（3）尋找知識之間聯系規(guī)律的能力；（4）建構知識網絡制作聯系導圖的能力。

這四種能力的訓練能夠在短時期內使學生站在系統的高度進行學習，造成學生總是浮想聯翩思潮如涌的思維狀態(tài)。

4、學習的六種復合能力組成了學習的復合模型。這六種復合學習能力是：（1）理解概念的能力；（2）研究概念的能力；（3）理解原理的能力；（4）研究原理的能力；

（5）審題解題的能力和研究試題的能力。

學 生掌握了這個復合學習模型，提升的是自己的智力素質，這樣就可以很輕松自在地運用到所有科目的學習中去，一理通，百理通。更為重要的是，它使使學生在思維 的根源上具備了面對問題、探索問題、解決問題的能力，它打開了思維的萬千視角，讓學生將這種領悟延伸到未來，受益終生。