第一篇：數學思想方法在數學教學中的應用

論文題目：

數學思想方法在數學教學中的應用

姓名：高

媛 單位：四群中學

數學思想方法在數學教學中的應用

數學做為一門基礎性學科，在日常生活和各個領域都有著較為廣泛地應用。而數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，它貫穿于我們的整個數學教學過程中。在教學工作中數學思想方法不僅是對課本知識簡單傳授，更要注重對學生數學思想方法的滲透和培養，把數學思想方法和數學知識、技能綜合起來，不斷提高學生的思維能力、解題能力，從而解決生活中的實際問題。下面就幾種常用的數學思維方法及其在數學教學中的應用，談一些看法和體會。

一、符號與變元思想方法

用符號化語言和在其中引進變元，它能夠使數學研究的對象更加準確、具體、形象簡明，更易于揭示對象的本質。一套形式化的數學語言極大地簡化加速思維過程，例如：將文字化的數學題用代數式表示，就會是題又繁瑣變得一目了然；有如：平方差公式公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2就是采用符號化語方來表述，當a、b代的任意數、單項式、多項式等代數式都成立，這樣的字母表示“變元”，初中教材中的公式、法則、運算律等絕大多數都是用含有變元及符號組合，來表示某一般規律和規則的，這種用符號表達的過程，反映了思維的概括性和簡潔

二、數形結合思想方法

“數無形，少直觀，形無數，難入微”，利用“數形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。把代數和幾何相結合，例如對幾何問題用代數方法解答，對代數問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用。又如如用線段圖解應用題的思想，有關解直角三角形的知識的題型，數形結合可使思維更快。

三、化歸思想方法

在于將未知的，陌生的，復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡單的問題。在我們的教學和學習中也經常用到化歸思想，如把有理數的減法運算轉化為加法運算，除法運算轉化為乘法運算，最后轉化為算術數的運算；把一元一次方程轉化為最簡方程；把異分母轉化為同分母；將多元方程轉化為一元方程；將高次方程化為低次方程；將分式方程化為整式方程；將無理方程化為有理方程；把求 負數立方根問題轉化為求正數立方根的問題；把多邊形轉化為三角形或特殊四邊形等等。例如一元二次的根與系數關系的應用就是化未知為已知的轉化思想的應用。

四、.分類討論思想方法

當一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論。數學分類須滿足兩點要求：①相稱性，即保證分類對象既不重復又不遺漏。②同一性，即每次分類必須保持同一的分類標準。（注意同一數學對象，也可有不同的分類標準）在教材中有許多處體現分類思想方法如在概念的形成中有：有理數的概念、絕對值的概念等；在幾何證明中有：已知同園中兩條平行弦，求兩線之間的距離；圓周角定理的證明、弦切角定理的證明等；在運算的法則中有：一元一次不等式（組）的解法、一元二次方程根的判別等，在圖形（像）的性質中有：點、直線、圓之間的位置關系、函數圖像的性質等，這些命題都要分類。可見，分類思想在初中數學中占有重要的地位。分類思想對培養學生思維的條理性、縝密性及提高學生分面、周密地分析問題和解決問題能力都有著重要的作用。

五、函數與方程思想方法

方程思想是指運用適當的數學語言，從數學問題的數量關系出發，將此問題中的條件轉化為各種數學模型（可以是方程，可以式不等式，或者是方程和不等式的混合），然后運用方程或不等式的解答方式求解。而函數思想是指構造函數的性質去處理問題，整理出函數解析式和利用函數的特點解決。同時，函數的研究不能離開方程，函數和方程可以使問題變得簡潔、清晰，可以化繁為簡，變難為易。例如對于函數y=f(x)(其中f(x)為x的一元一次或一元二次式)，當y=0時，就轉變為方程f(x=0)，也可以把函數式f(x)看做二元方程y-f(x)=0。利用函數方法解答方程，運用方程公式解答函數，方程與函數的思想在數學解題中有著廣泛的應用。

六、整體變換思想方法

從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意識的整體變換處理，使問題簡單化。整體變換思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。例如：我們較熟悉的題，已知： 1/x+1/y=3,求：（2x-3xy+2y）/(x+xy+y)的值。析：從已知條件出發，將其變形（x+y）/xy=3為：x+y=3xy,將其整體代入則： 原式=[2(x+y)-3xy]/[(x+y)+xy]=[2×3xy-3xy]/[3xy+xy]=3/4 總之，學生不是知識的容器，而是學習的主體。在數學教學中，依據課本內容和學生的認識水平，切實把握好數學思想方法，做到有計劃有步驟地滲透，使其成為由知識轉化為能力的紐帶。在傳授知識、技能時，要充分發揮學生積極性、主動性、創造性，讓學生有自主學習的時間和空間，引導他們自己動腦、動口、動手，使學生有進行深入細致思考的機會、自我體驗的機會。盡自己最大的努力，充分地激發和調動學生的學習積極性，提高他們的學習興趣，由“要我學”轉化為“我要學”、“我愛學”使學生真正成為學習的主人。

第二篇：數學思想方法在教學中的應用策略

數學思想方法在教學中的應用策略

數學思想方法在教學中的應用策略主要有以下幾條：

1、滲透轉化思想，提高學生分析解決問題的能力

2、滲透數形結合的思想方法，提高學生的數形轉化能力和遷移思維的能力

3、滲透分類討論的思想方法，培養學生全面觀察事物、靈活處理問題的能力

4、滲透方程思想，培養學生數學建模能力

5、滲透從特殊到一般的數學方法，加強學生創造性思維的形成和創新能力的培養

第三篇：「教學論文」數學思想方法在一次函數教學中的應用

數學思想方法在一次函數教學中的應用

所謂數學思想方法是對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，他在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想;是在數學教學中提出問題、解決問題過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。掌握數學思想方法，就是掌握數學的精髓，因此要使學生領悟、掌握和熟練地使用數學思想方法，不是機械的傳授。下面我就在一次函數教學中用到哪些數學思想方法談談個人的一些做法：

一、數形結合思想方法

“數無形，少直觀，形無數，難入微”。“數形結合”是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。利用“數形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡，使抽象變得直觀。如：一次函數y=-x+5圖象不經過哪一象限？解法一：根據圖象性質，k＜0,b＞0過一二四，即不過三象限。解法二：若忘了一次函數圖象性質，可做出此函數的圖象，問題就迎刃而解了。這就是利用了數形結合思想方法。

三、分類思想方法

當一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論，例如一次函數y=kx+b的圖象經過哪幾個象限，這時就要分四類討論：

(1)當k＞0,b＞0時，圖象經過一二三象限；

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(2)當k＞0,b＜0時，圖象經過一三四象限；

(3)當k＜0,b＞0時，圖象經過一二四象限；

(4)當k＜0,b＜0時，圖象經過二三四象限。

三、整體思想方法

整體思想是從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。例如：已知y+b與x+a（a,b是常數）成正比例，（1）試說明y是x的一次函數：（2）如是x=3時，y=5，x=2時，y=2，求y與x的函數關系式。解決這個問題（1）時，我們就要把y+b與x+a都看成一個整體，設y+b=k（x+a）得出y=kx+ak-b，從而說明y是x的一次函數，解決問題（2）時，當我們把握兩組數值代入解析式y=kx+ak-b中后得到一個三元二次方程組，顯然不能求出每個未知數的值，但我們可以把ak-b看作一個整體，就可以求出k=3，ak-b=4，從而求出y與x的函數的關系式是y=3x-4，在這個問題中兩次運用到整體思想方法。

四、模型思想方法

當一個問題可能與某個方程建立關聯時，可以構造方程并對方程的性質進行研究以解決這個問題。如若想找出一次函數y=kx+b與x軸、y軸交點，可根據點在坐標軸上的特征，x軸上的點縱坐標為0，即當y=0時，x=-b/k，即與x軸交點為（-b/k，0）。y軸上的點橫坐標為0，即當x=0時，y=b，因此與y軸交點為（0，b）。這就用到了方程這一模型思想方法。

五、類比思想方法

當我們要探究一次函數y=kx+b的圖象及其變化規律時，由于一次函數y=kx+b的圖象可以看作是由正比例函數y=kx的圖象平移|b|個單位長度而得到的，因而可以利用之前已經學習正比例函數y=kx的圖象及其變化規律類比得出一次函數y=kx+b的圖象及其變化規律。

六、特殊與一般思想方法

要研究正比例函數y=kx的圖象及其變化規律，先讓學生畫出正比例函數y=2x與y=-2x的圖象，比較這兩個函數的相同點與不同點，考慮兩個函數的變化規律，再由此而得出y=kx的圖象及其變化規律。這就用到了特殊與一般思想方法。

總之，數學思想方法在教學中是無處不在，我們要善于引導學生掌握并運用這些思想方法，從而更好地去學習數學。

第四篇：分類數學思想方法在小學數學教學中的應用

分類數學思想方法在小學數學教學中的應用

113數教 黃怡嫻 68

【摘要】分類思想是一種基本的數學思想方法，它是根據一定的標準對事物進行有序劃分和組織的過程。分類能力的發展，反映了兒童思維發展，特別是概括能力的發展水平。小學階段，兒童以形象思維為主，認知水平不高，其最大的特點是思維離不開具體事物的支撐。分類必然存在分類對象，滿足了學生的認知需要形象支撐的特點。數學研究對象主要是事物的數量關系和空間圖形，這種關系是要逐步脫離事物的物質屬性。正視學生概念學習的困難，在具體情境中，借助學生已有知識背景和生活經驗，利用分類思想，使抽象的概念形象化，便于學生理解和掌握。分類中的逐級分類，逐級討論，可以使學生思維互補深入。應用分類，可以化整為零，對每個子類的情況分別討論，各個擊破，再合零為整，可以使看似復雜的問題變得簡單。小學階段的課程標準的基本理念第二條明確指出：“課程內容既要反映社會的需要、數學學科的特征，也要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結論，也應包括數學結論的形成過程和數學思想方法。課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗、思考與探索。課程內容的組織要處理好過程與結果的關系，直觀與抽象的關系，直接經驗與間接經驗的關系。課程內容的呈現應注意層次性和多樣性。分類，在一年級第一學期，學生學習完的認識之后，就作為第一個數學思想性教學內容，正式和學生見面，可見，分類思想方法在整個數學體系的基礎性和重要性。分類思想是一種基本的數學思想方法，它是根據一定的標準對事物進行有序劃分和組織的過程。分類能力的發展，反映了兒童思維發展，特別是概括能力的發展水平。

【關鍵詞】：分類 思考 無痕化 深入化 簡單化

一、分類方法

1.分類及其要素

人們認識事物往往是從區分失誤開始。要區分事物首先就要進行比較，有比較才有鑒別。比較是確定研究對象的相同和差異的一種邏輯方法。事物之間存在的差異性和同一性是進行比較的客觀基礎。同時并存著的事物之間和先后相隨的事物之間都存在著差異性和同一性。因此，比較可分為空間上的比較和時間上的比較。空間上的比較是在既定形態上的比較，以區分或認識各種不同的事物；時間上的比較是在歷史形態上的比較，以進一步發現同一事物隨時間的變化。在認識過程中，這兩種比較是常常結合使用。事物之間既存在現象的同一與差異，也存在本質上的同一與差異。

要系統地總結和掌握已經識別的各種事物，就要進一步通過比較進行分類。分類是根據對象的相同點和異同點和將對象區分為不同種類的基本邏輯方法，分類也叫作劃分。

2.分類標準

第五篇：數學思想方法與應用

沈括運糧故事淺析

田小寬

（數學與統計學學院 數學與應用數學 2010212449）

【摘要】：沈括在其著作《夢溪筆談》中，涉及了軍隊運糧的有關問題。他把每人背的糧食，每天的食量作為已知定值，將士兵作戰時不缺糧食的天數和需要的運量人數作為未知數，通過這樣一個關系來說明軍隊作戰乃是國之大事

【關鍵詞】：運糧 運籌 軍事

【引言】凡師行，因糧于敵，最為急務。運糧不但多費，而勢難行遠。予嘗計之，人負米六斗，卒自攜五日干糧，人餉一卒，一去可十八日；米六斗，人食日二升，二人食之，十八日盡；若計復回，只可進九日。二人餉一卒，一去可二十六日；（米一石二斗，三人食日六升，八日則一夫所負已盡，給六日糧遣回，后十八日，二人食日四或并糧）。叵計復回，止可進十三日。（前八日日食六升，后五日并回程，日食四升并糧）三人餉一卒，一去可三十一日，米一石八斗，前六日半四人食日八升，減一夫，給四日糧；十七日三人食日六升，又減一夫，給九日糧；后十八日，二人食日四升并糧。計復回止可進十六日，（前六日半日食八升，中七日日食六升，后十一日并回程日食四升并糧）。三人餉一卒，極矣。若興師十萬，輜重三之一，止得駐戰之卒七萬人，已用三十萬人運糧，此外難復加矣。（放回運夫須有援卒，緣運行死亡疾病，人數稍減，且以所減之食，備援卒所費）。運糧之法，人負六斗，此以總數率之也。

一、軍隊運糧問題與運籌學聯系

軍隊運糧需要注意許多的變量，并且在事先確定了一些量之后，可以確定另外的比較重要的量最合適的數值，比如：當每人背的糧食和食量、前往作戰地所需的天數、作戰人數等確定之后可以得到數學模型下的理想的作戰的最長天數與運糧人數之間的一個關系式，即之間的一些線性關系，進而在作戰之前可以把運糧的大致工作安排妥當，所以說兵馬未動糧草先行。可見其是運籌學所研究的問題之一。

二、結合沈括著作《夢溪筆談》中運糧篇

先設定以下的量：士兵人數已知，x個農夫餉一卒，其他量如同上文沈括運糧問題內。

在沈括《夢溪筆談》運糧篇中，知道當兩人餉一卒時，不計往返則是二十六天，三人餉一卒時不計往返可行三十一日，則此時足夠到達作戰地點，當四人餉一卒時，不計往返可行三十四日，也能到達地點，并且此時若最后一批農夫不回，可支撐士兵作戰四天。具體計算如下：

1.一人餉一卒：設可堅持x天則有：2x+2(x-5)=60，x取整得18天

2．二人餉一卒：設第一個農夫在a天后回，則有：6a+2(a-2)=60，則a=8，加上最后一農夫所背糧食可支撐18天，則18+8=26 3.三人餉一卒：設第一個在b天后回，第二個在第一個回了c天后回，則有：8b+2(b-2)=60，則b取整為6天。又有：6c+2(b+c-2)=60，則c取整得7天，加上最后一人可支撐的18天，則有：6+7+18=31天

4.四人餉一卒：設第一個農夫在a天后回，第二個農夫在第一個回b天后回，第三個在第二個回c天后回，則：10a+2(a-2)=60,a取整得5,8b+2(b+5-2)=60,b取整得6天，2(c+5+6-2)+6c=60,c取整得5天，加上最后的18天，則5+6+5+18=34 用相同的方法以此類推，我們可以求得五人、六人以及更多人餉一卒的行軍的時間。到此時，我們乍一眼觀察，上面的運籌學模型沒有問題，可以把農夫人數無限制的演算下去，但是結合各個未知量的實際意義，我們知道a是一個不能小于2的量，因為由(a-2)的實際意義知a-2>0。而當又當x=14時，a=2，所以上面的運籌學模型只適用于農夫人數不大于14人時。若要繼續計算下去從十五人餉一卒開始，每增加一人多走一天，而當x>29時，此時農夫的增加和第一個農夫支撐天數a的對應關系又變。對于上述證明如下：

2(x+1)a+2(a-2)=60

a=32/(x+2)經過檢驗，當x=14時，a=2；當x=30時，a=1,這時，我們發現，實際情況是當x=29時，a=1！所以得證。

另外，當農夫人數增多時，四舍五入的方法也不在適用，在上面的計算時我們得到的一些數字采用了四舍五入，其中四人餉一卒時，b=5.6，若要當做6天計算，我們可以看到要多吃3.2升，那么農夫要空腹三四天才能返回，但此時顯然與上面方程矛盾，因此四舍五入應有限度。

有上述分析可知，解決這個運糧問題沒有一個固定的運籌學模型，或者說這個數學模型應是分段的，而且每一段都是遵循線性規劃模型的。

而且從上面分析，我們也應在四人餉一卒時應減去一天，即堅持33天。同樣在三人餉一卒時不能取整的天數也都舍掉零頭，這樣的意義是農夫空腹返回的時間少于2天。

綜上若要行軍一月則至少需三人餉一卒，十萬士兵就需要三十萬農夫運糧，但古時作戰士兵人數大多是在三十萬以上的，著名的赤壁之戰曹操號稱百萬大軍，則需要三百萬農夫。

由此可見古時兩國交戰是一件多么應該慎重的事，難怪真正懂得兵法人都說：兵者，國之大事，死生之地，存亡之道，不可不察也。甚至兵法圣典《孫子兵法》把它列在第一篇里的開頭。由此也可見運籌學對于軍事的重要貢獻。【參考文獻】

[1].刁在筠 劉桂真 宿潔 馬建華

《運籌學》（2007年1月第三版）

高等教育出版社 第82頁

[2].張俊杰 大眾文藝出版社 北京 2009年7月第一版 第10頁 《孫子兵法與三十六計》