第一篇：8.2 消元——二元一次方程組的解法導學案

七年級數學（下）第八章二元一次方程組 8.2 消元——二元一次方程組的解法（3）

教學目標 知識點：

列二元一次方程在解應用題（加減消元法）重點：

1、會用加減消元法解二元一次方程組，并掌握加減法解二元一次方程組的步驟；

2、理解加減消元法解二元一次方程組的過程，領會消元法所體現的“化未知為已知”的思想方法；

難點：運用加減法解相同未知數的系數不成整數倍的二元一次方程組； 預習與檢測

（1）若a=b，則a±c____b±c，這是利用了______________（2）若a=b，c=d，則a±c____b±d這是利用了______________ 合作探究 探究一：

解方程組?x?y?221????2x?y?40?2? 解：（2）-（1），得

x=____ 把x=_____代入（1），得

2×18+y=40 解得：y=_____ 所以原方程組的解是?x?____??y?____

思考：（1）用（2）-（1）后，消去了未知數____，那么用（1）-（2）也可以達到這樣的目的嗎？

（2）加減消元法：________________________________________________ 探究二：

觀察方程組?3x?4y?16??5x?6y?33

（1）根據方程組中各未知數系數的特點，能直接用加減法求解嗎?(2)若要求未知數x的系數相同，兩個方程應分別作怎樣變化？若要求未知數y的系數互為相反數，又怎么辦？

（3）求出方程組的解 探究三：

2臺大收割機和5臺小收割機均工作2小時共收割小麥3.6公頃，3臺大收割機和2臺小收割機均工作5小時共收割小麥8公頃。1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥多少公頃？

問題一：題目中存在的等量關系：

_________________________ ________________________

問題二：若設1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥x公頃和y公頃，那么2臺 大收割機和5臺小收割機均工作1小時共收割小麥______________公頃，3臺大收割機和2臺小收割機均工作1小時共收割小麥________________公頃。問題三：根據題目中的等量關系，可列方程組為：

___________________________

問題四：解上面的方程組，解為________________

拓展與提升

?2x?3y?5?（1）要使方程組?4x-2y?1中未知數

x的系數相同，你的方法是_______________；要

使y的系數互為相反數，你的方法是________________。

?2x?3y?a?（2）已知方程組?4x?3y?a?4的解

x與y的和是2，則a=________________。

（3）若方程3x-13y=10的解也是x-3y=2的解，則x=______,y=_________。（4）已知a、b的值同時滿足方程a+2b=8和2a+b=7，則a+b=_________。

（5）若二元一次方程2x+y=3，3x-y=2和2x-my=－1有公共解，則m的值為（）A、－2

B、－1

C、3

D、4 達標測試

（1）運輸360噸化肥，裝載了6節火車皮與15輛汽車；運輸440噸化肥，裝載了8節火車皮與10輛汽車，每節火車皮與每輛汽車平均各裝多少噸化肥？（2）用適當的方法解方程組：

?2x?14y?3?x?y?7

（1）??3?2?2

（2）???23 ??3(2x?1)?2(4y?3)?5?x??3?y4??1課堂反思：

第二篇：8.2 消元──二元一次方程組的解法”教學設計

“8.2 消元──二元一次方程組的解法”教學設計

摘 要：“目標引領，問題設計，學案教學”是在“基于問題設計的中學數學課堂教學策略研究”中探索出的一種模式。在這種模式下的教學設計是教師在認真研讀教材、深刻理解教材的基礎上，根據學情，靈活地整合、重組教學內容，制定恰當的教學目標，編制科學的、讓學生樂于學習、敏于思考、敢于分享的學案，并在課堂上以問題為主線展開教學。問題如何設計、如何恰時恰點地提出、如何用好該問題，則是一節課成敗的關鍵。該教學設計的創新之處在于最初的問題是由學生自己提出的，學生自然會以很高的興致去嘗試解決，從而積極主動認真地完成一節課的學習任務。

關鍵詞：提出問題；解決問題；消元思想；體味文化

一、內容和內容解析

內容

人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》七年級下冊“8.2 消元──二元一次方程組的解法”。

內容解析

現實生活中存在大量問題涉及多個未知數，其中許多問題中的數量關系是一次（也稱線性）的，而方程組則是解決這些問題的有力工具.學生在小學階段已經學習了解簡易方程，在七年級上學期系統學習了解一元一次方程。解二元一次方程組的教學是在前面學習的基礎上對方程的進一步研究和學習“元增多”(一元→二元)，而到九年級將解決“次增高”（一次→二次）。

本節教學的核心是“消元”，從討論解方程組的需要出發，引導學生從解決問題的基本策略的角度（轉化思想：多元（新問題）→一元（舊問題）），實現問題的解決.這里的轉化亦即消元化歸思想，認知策略是逐步減少未知數的個數，以使方程組化歸為一元方程，即先解出一個未知數，然后逐步解出其他未知數.這對學生的能力提升以及后續學習非常重要.在這種思想的指導下，結合學生對同一個問題的不同解方法對照，發現用代入的方法能夠實現消元，不僅對消元思想的理解由抽象到具體，而且找出了解二元一次方程組的一種基本方法──代入消元法.教學重點

解決問題的一般思路：轉化（化繁為簡，化難為易，化新為舊）；對消元化歸思想的初步理解；用代入法解二元一次方程組.二、目標和目標解析

（1）經歷由實際問題抽象為方程組的過程，讓學生體會其中蘊含的符號化、模型化的思想，進一步了解建模思想.數學思想方法是蘊含在數學知識中的，學生對思想方法的理解和掌握是循序漸進的.在一元一次方程應用的學習中，學生已經對建模思想有了初步的了解，通過本節的教學，學生能更進一步地理解和體會這一思想，為本章第3節“實際問題與二元一次方程組”的順利學習及分析問題、解決問題能力的提高奠定基礎.（2）通過對不同解題思路及方法的對照、比較，發現二元到一元的轉化，理解消元思想的內涵.數學教學承載著啟迪學生智慧的重任，智慧的啟迪源自學生對問題的主動探究（如觀察、注意、思維、想象、記憶等），繼而使問題得以解決.這一目標旨在消除部分學生對消元化歸思想的模糊認識，真正理解消元思想，使學生能透過現象看到本質，激活思維，學會思考.（3）經歷二元到一元的轉化過程，理解代入消元的本質；通過對代入法解二元一次方程組過程的提煉、歸納、整理，掌握這一方法的基本解題過程并會靈活應用.對本節的教學不能僅停留在具體題目的具體解題過程上，而應不斷加深學生對思想方法的領悟，讓學生從思想方法的高度認識、理解所學內容。這樣，我們和學生分享的才是能活學活用、能解決問題、真正意義上的知識，而非“死”知識.（4）讓學生閱讀一次方程組的古今表示及解法，使學生了解一些有關數學史的知識，感受我國古代數學的光輝成就.數學的應用不是數學價值的全部體現.因此，數學教學不僅要培養學生應用數學知識、方法解決問題的能力，更承擔著培養學生良好數學素養的責任.這就要求我們的課堂教學在傳播知識的同時傳播文化.三、教學問題診斷分析

數學思想方法是具體的數學知識的靈魂，數學思想方法對一個人的影響往往要大于具體的數學知識.在本章教材中，實際問題情境貫穿全章，本節對方程組解法的討論也是在解實際問題的過程中進行的，因此建模的數學思想（方程思想）在這里得以充分體現。盡管在教學中教師會有意識地進行滲透、明確，但學生對這一思想的理解和體會也許并不會深刻.或許，他們依舊不會有意識地、主動地在這種數學思想指導下對問題進行分析，必將導致分析問題的盲目性，就會不可避免地走彎路.用代入消元法解二元一次方程如果僅停留在模仿、生搬硬套的水平上的話，方法本身并不難，經過大量題組的機械訓練，相信絕大部分學生都能掌握這個方法，但對學生思維的發展、學習能力的提高毫無益處.以后在其他的問題情境中遇到需要代入或消元的方法時，學生會感到茫然、束手無策.因此，本節的教學難點是：對數學思想方法的理解，尤其是對用代入的方法實現消元的主動理解.突破這一難點的關鍵是給學生充足的思考、探索、交流的時間，讓他們的思維自然流淌，使消元“水到渠成”，從而“悟”出消元的必然.四、教學過程設計

（一）情景導課

背景材料：老師在我們學校代三個班的數學，所教學生共143人.問題1：你能提出什么數學問題？如何解決？ 學生可能提出的問題：

（1）每個班有多少個學生？

（2）男生、女生各多少個？ …… 針對問題（2），增加條件：男生人數的2倍比女生人數的3倍少14人.學生活動：解決問題；展示方法.教師點撥：（1）用建模思想引領思維，實際問題－數學問題.（2）一元一次方程會解但難列，因為要綜合考慮問題中的各種等量關系；二元一次方程組易列，因為可以分別考慮兩個等量關系，但不會解。從而產生了新問題。方程組對于解含多個未知數的問題很有效，它的優越性會隨著問題中未知數的增加而體現得更加明顯 【設計意圖】（1）由于是借班上課，以此形式開課既能創造輕松的氛圍、拉近師生之間的距離，又可以巧妙引出本節課的教學內容.（2）問題是學生自己提出的，因此他們解決這個問題的積極性更高，思維更開闊，各種方法的出現便會成為必然.（3）讓學生體會到方程組在解決實際問題中的優越性.（二）解決問題

問題2：怎么解二元一次方程組呢？ 追問：為什么要這樣做？依據是什么？ 你的解題思路是什么？

你的解題方法的名稱是什么？為什么可以這樣歸納？（學生思考、交流.）

教師明確：轉化思想──新問題轉化成舊問題； 消元思想──將未知數的個數由多化少，逐一解決.（學生展示自己的方法.）

師生交流，達成共識，明確思路：變形—代入—求解—寫解。教師規范解題過程，進而形成概念：

代入消元法──把二元一次方程組中的一個方程變形成用含一個未知數的式子表示另一個未知數的形式，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解.這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.【設計意圖】我們一直強調讓學生“知其然，而且要知其所以然”.但學生往往停留在對知識或方法的表層理解的水平上，究其原因，還是沒有形成較強的問題意識，不習慣于多問個“為什么是這樣的”、“這樣做的依據是什么”等問題.因此，教學應不失時機地培養學生養成良好的問題意識.在問題的引導下，鼓勵學生投入到活動中，并留給學生足夠的獨立思考和自主探索的時間和空間，從而讓學生積極、主動地思考，隨著思維的自然流淌，“順勢”自然地理解消元思想，解決問題的思路逐漸清晰.通過探索實踐，體驗知識方法的形成過程，發現代入消元法的由來及過程，真正體會消元思想.練習1 你能把下列方程寫成用含x的式子表示y的形式嗎？（1）3x+y-1=0；（2）2x-y=3；（3）2y-4x=7。

【設計意圖】變形其實是解含字母系數的方程，是學生容易出錯的地方，這個問題的設置是為代入法做準備.練習2 解方程組

【設計意圖】這一環節，可以讓學生趁熱打鐵——熟悉自己發現的方法。通過學生板書、學生批閱對錯、教師規范，不僅可以讓學生明確代入消元法解方程組的一般過程，再次規范解題的步驟.總結：用代入法解二元一次方程組的一般步驟。

【設計意圖】我們不應倡導學生對某一方法的死記硬背，但必要的歸納、提煉、反思，能讓學生體會解方程組過程中的程序化思想，能幫助學生對基礎知識和基本方法有清晰的認識，尤其是對學習學習基礎較弱的學生.（三）鞏固拓展

A組：必做題

B組：選做題

【設計意圖】理解了思路，明確了方法，還要通過一定量的練習才能切實掌握方法，融會貫通，領悟思路，啟迪智慧，靈活應用.另外，上課時可以請兩名學生選擇同一道題目進行板演，主要是對比代入的字母不同，簡易程度也不同。同時應指出，在方程組中有未知數的系數為±1時，應用代入法求解起來很簡便，如果不是，就比較麻煩，所以在“變形”這一步中，要注意觀察，同時為后面的加減法的學習做了伏筆。

（四）反思提高

這節課，我學到的知識方法、思想有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

這節課，讓我頗受啟發的是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.這節課，我的收獲還有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.這節課，讓我感到難理解是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.【設計意圖】我們的教學不僅僅是和學生分享知識和方法，更重要的是培養學生的學習習慣、提高他們的學習能力，而勤于總結、善于反思則是能力提高的快車道.（五）體味文化

學生把自己搜集到的關于我國古代解方程組的資料互相交流 【設計意圖】教學不僅要關注學生在數學知識和能力方面得到提高，還要關注數學文化的傳承，使學生受到數學文化的熏陶.五、目標檢測設計

1.把下列方程寫成用含一個未知數的式子表示另一個未知數的形式。(1)3x-y=4；

(2)-2x+y+3=0；

(3)2x+3y=4。2.解下列方程組。(1)

(2)（3）

如何上好方程組解法的第一課

──對兩節“消元──二元一次方程組的解法”課的思考

湖北省荊州市實驗中學 王用華

摘 要：如何在轉化、消元等思想方法的引領下上好方程組解法的第一課，是一個值得深入研究的問題。現結合同課異構的兩個課例，從“情景引入”、“解法探究”，“技能訓練”、“小結反思”等四個方面進行研究與探討，認為在課堂中，應把基本的數學思想方法與知識、技能融于一體，使學生在學習知識、技能的同時，也悟到一定的數學思想方法，進而真正提高學生的數學素養.關鍵詞：二元一次方程組；解法；轉化；消元

“中學數學核心概念、思想方法及其教學設計的理論與實踐”課題組第六次課題研討會于今年四月中旬在江蘇南通召開，課題會上，北京五中分校的曹老師和山西陽泉十九中的翟老師就“消元——二元一次方程組的解法”這一內容以同課異構的方式各上了一節研究課，兩位老師對該課不同的教學設計與處理引發了我們對“如何上好方程組解法第一課”的思考，并形成本文，與同行們商榷.一、關于新課導入

課例A

師：在上一節課，我們研究了一個與籃球賽有關的應用問題，還記得嗎？

（學生未作回答。）師：在那一節課，我們列出了一個二元一次方程組（板書方程組），并通過對這一問題的研究，學習了什么叫二元一次方程組及二元一次方程組解的定義.大家列方程組解應用題，最關注的是什么？會解這個二元一次方程組嗎？

（學生未作回答。）

師：在探究一個新問題之前，大家先想一想，我們有沒有學過與之相關聯的知識？

生1：學過解一元一次方程.師：解一元一次方程的依據是什么？

生2：等式性質.師：這一節課我們就來共同探究一下，能不能運用等式性質和一元一次方程的相關知識解決今天新的問題——二元一次方程組（板書課題）.??

課例B

媒體先播放引言：在數學的領域中，提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要.──德國數學家 康托爾

師：得知我到這個地方來上課，我的學生特意讓我帶來他們對你們的問候。

媒體同時播放背景材料：老師在我們學校帶3個班的數學，所教學生共143人.師：就這個背景，你能提出哪些問題？

生1：平均每班人數為多少？ 生2：男生和女生人數分別為多少？

師：問題提得好不好？想不想知道問題的答案？想知道就需要老師增加條件.媒體接著播放增加的條件：男生人數的2倍比女生人數的3倍少14.師：如何解決這個問題？

隨后，教師與學生開始共同探討問題及求解方法（未出示課題）.??

良好的開端是成功的一半.如何在上課伊始將學生的“心”、“思”緊緊抓住，讓他們全身心、主動地參與到數學教學活動中來？這需要我們對課堂的引入做精心的設計.從兩位教師的教學設計看，課例A以問題串為紐帶，通過師生對話，以期實現以舊引新.課例B欲通過創設問題情境，創造輕松氛圍，拉近師生距離，同時引出本節課的教學內容.但從具體實施效果看，都不夠理想.引入和情境創設的方法較多，無論采用哪種方式和手段進行教學設計與實施，都必須基于所授課的教學目標、教學內容和學生具體的學情.同時，作為課堂教學的第一個環節，還必須做到簡明扼要、緊扣主題.作為方程組解法的第一課，我們欣賞并提倡使用教材精心編排的引入，以章頭圖所涉問題為背景，從討論解方程組的需要出發，通過對比、類比，引導學生從解決問題的基本策略的角度先歸納出“將未知數的個數由多化少，逐一解決”的消元思想，然后在這種思想指導下從具體到抽象，從特殊到一般地認識代入消元法.這樣做，開門見山、直奔主題、重點突出、切中要害，學生很快就能將注意力集中在教學內容最本質、最核心、最重要的問題上來.二、關于解法探究

課例A

學生自主探究方程組（5分鐘后。）的解法（教師不加任何解釋和引導）.生1：由②－①，得x=18。把x=18代入①，得y=4.生2：由①得：x=22－y③，將③代入②得：y=4，??，x=18.接下來，師生共同探討并學習解二元一次方程組的兩種方法——代入消元法、加減消元法.??

課例B

師：怎樣解二元一次方程組？

配合教師的問題，媒體播放“問題2：怎么解二元一次方程組呢？”以及“追問：為什么要這樣做？依據是什么？你的解題思路是什么？你的解法的名稱是什么？為什么可以這樣歸納？”

（學生思考、交流.）生1：由①得，代入②，得，??

生2：我有不同意見，先把②式算出來x=143－y，然后代入①得3(143－y)－2y=14，?? 然后，師生依照“問題2”展開對代入消元法的探討與學習.??

課例A，先充分放手，讓學生自主探究方程組的解法，待學生找到了二元一次方程組的兩種解法──代入消元法、加減消元法后，同時對這兩種解法展開學習.課例B先出示引導性問題，再組織學生探究解決這些問題，并在此基礎上學習代入消元法.在方程組解法的起始課上，同時呈現兩種解法并加以學習，這一做法我們曾在一數學基礎較好的數學實驗班中做過嘗試，但效果欠佳.這樣處理是否妥當，還有待于進一步探討與研究.課例B的解法探究，由于所提供問題情景中方程組的數據偏大，且計算稍顯復雜（就剛接觸方程組解法的學生而言），給學生的認知與探究帶來了一定的障礙（如生

1、生2變形后均未能及時求出對應未知數的值），從而影響了解法探究的順暢進行，導致整個解法探究不夠自主與不夠徹底等現象的出現.代入消元法與加減消元法都屬于解二元一次方程組最基本的方法，但加減消元法的求解過程中包含有大量“代入”的過程，同時，代入消元法與加減消元法的“實施程序”基本相同，因此，先學好代入消元法將有助于學生認知的同化，并對加減消元法的學習與掌握產生有力的推動作用.因此，我們主張方程組解法的第一課，應先進行代入消元法的學習，讓學生切實掌握代入消元法.同時，在解法學習的過程中，應力求做到以下三點.（1）自主.著名數學教育家波利亞說：“學習任何東西的最佳途徑就是自己去發現”.另外，根據本章所涉內容的特點，在本章內容的呈現和結構設計上，教材編寫者也有意加強了學習的主動性和探究性.就本節課而言，其內容與設計的目的是讓學生確定解題方向，找到一個在本階段有能力解決問題的方法，來解二元一次方程組.而在二元一次方程組的求解過程中，讓學生感到困難的地方是：有兩個方程，兩個未知數.怎樣才能把難點轉化為學生已經學過的知識？如果能夠把兩個未知數變成一個未知數，即成為一元一次方程，問題將迎刃而解.而通過比較二元一次方程組和一元一次方程，學生可以找到兩者間的聯系，由此自然聯想到將二元一次方程組轉化為一元一次方程來解，并在此基礎上找到消去一個未知數的方法：用含一個未知數的代數式表示另一個未知數.進而展開對代入消元法更深入的學習.“目標發現”—“遇困”—“問題解決”，這是一個自主學習的“好”過程，只要教師引導、組織、合作得當，學生將在此過程中自主、自然地感受消元思想，流暢、徹底地掌握代入消元法.（2）深刻

在學生已有的認知和發展水平的基礎上，進一步加深學生對代入消元法的認識，幫助學生切實掌握用代入消元法解二元一次方程組的全過程.以方程組為例.在學生了解了代入消元法后，必須思考并處理好以下6個問題：

①這個二元一次方程組如何轉化為一元一次方程？怎么轉化較簡便？

②哪個未知數的值可以先求出來？從哪里求？問題解完了嗎？

③另一個未知數的值如何求？

④可以把方程x=22－y代回x＋y=22求解嗎？為什么？

⑤先求出的一個未知數的值可以代回到方程x＋y=22或2x＋y=40中，求出另一個未知數的值嗎？

⑥你能談談代入消元法解二元一次方程組的一般過程與步驟嗎？

以上問題的有效處理，將是消元、轉化思想的進一步滲透，同時也是代入消元法學習與認識的進一步深刻.（3）優化.“變形—消元—求解—回代—寫解”是代入消元法解二元一次方程組的一般過程.其中，在變形的過程中，選擇哪一個方程變形較為方便？在回代的過程中，選擇哪一個方程回代計算較簡便？如何使整個方程組的求解更為順暢、準確、便捷？思考、解決好這些問題，幫助學生實施認知的進一步“協調”與“精致”，是學生解法學習與掌握的又一次飛躍.同時，在運算中尋找最佳途徑，將復雜問題簡單化，這種優化思想的滲透，對于學生良好思維習慣的培養有著較為重要的意義.三、關于技能訓練

課例A 出示練習題，并要求全班學生求解.解方程組：

（1）（2）（3）（4）

課例B 出示練習題，并要求學生求解.A組：必做題

（1）（2）（3）B組：選做題

兩節課例在這一環節的處理方式上基本相同，均是在解法探究后進行一定量的練習.但練習的設計較為籠統，其針對性、系統性也較弱.認知心理學家把知識分為陳述性知識與程序性知識，特殊領域程序性知識又被進一步劃分為特殊領域的自動化基本技能與特殊領域的策略性知識（認知策略），數學基本技能屬于特殊領域的自動化基本技能，是否達到自動化是判斷是否掌握數學基本技能的標準之一.從基本技能的認知階段開始，尤其是聯系階段和自動化階段，必須強調訓練的重要性，必須進行有針對性、切實有效、一定數量的訓練.聯系階段應注重基礎訓練和理解性訓練，自動化階段應注重變式訓練.代入消元法屬于典型的程序性技能知識，因此，在保證有適度訓練“量”的前提下，還必須注意訓練的“質”.練習的使用必須注重選擇性與針對性，訓練的方式也應力求循序漸進、層層遞進.課堂練習的改進：

（1）（直接代入）（2）（簡單變形）

（3）（策略優化）（4）

（5）（進一步變式）

另外，一定量的訓練對促進學生有關技能的形成與獲得十分重要，但形式化的技能訓練有時難以激發學生的學習興趣，從教材的編排來看，教材力圖在后續各節中，將解方程組的技能訓練與實際問題的解決融為一體，在實際問題的解決過程中提高學生的解題技能，這一點也需要我們注意.四、關于小結與反思

“編筐窩簍全在收口.”課堂小結是對知識進一步加工、處理、和整合的過程，是教師幫助學生形成知識結構、揭示知識內在聯系、發現和總結規律、由感知上升到理性思考的重要環節.本課的小結，課例A注重了框圖的作用，這一點值得肯定和提倡。例如，用代入消元法解二元一次的過程可表示為如下圖所示的框圖。

上圖不僅展示了代入消元法和解方程組的具體步驟，而且展示了各步驟的作用，利用這一框圖進行解題后的反思與回顧，一方面，可以滲透算法中程序化的思想，另一方面，有助于培養學生良好的學習習慣，提高思考的深度.本節課的核心思想是消元與轉化，除此之外還涉及到了程序化思想和簡化、優化思想，在教學中也應注意適度滲透.同時，我們應時刻在課堂中把基本的數學思想方法與知識、技能融于一體，使學生在學習知識、技能的同時，領悟到一定數學思想方法.在運用思想方法的同時，鞏固知識、技能.這樣，思想方法就有了載體，知識技能就有了靈魂，才能真正提高學生的數學素養.

第三篇：二元一次方程組復習導學案

石槽二中導學案（第7單元）

學科：七年級下冊

課題：小結與復習時間：------------------姓名：-----------------------一.自學目標

1.了解二元一次方程及二元一次方程組的概念

2.能靈活運用二元一次方程組的解法解二元一次方程組

3.能用二元一次方程組解決簡單的實際問題，提高分析問題、解決問

題的能力

自學重難點

重點：

消元法接解一元二次方程組

難點：

運用方程組的思想解決實際問題

二．自學指導：閱讀課本22頁至34頁的內容，完成下列問題：

1.含有______未知數，且每個未知數的次數都是____，這樣的方程組就叫做

______________.2.一般地，使二元一次方程組中___個方程的__________的值都相等的＿＿

＿＿＿＿的值，就叫做二元一次方程組的解。

3.二元一次方程組的解法有：(1)＿＿＿＿＿＿(2)＿＿＿＿＿

4.二元一次方程x+3y=8的自然數解是____________。

5.“一群鵝來一群狗，鵝頭狗頭五十五，一百五十條腿齊步走，多少鵝來多

少狗?”設有x只鵝，y只狗，可列方程組為_______________。

三．團結力量大

?2x?3y??10

1.解方程組?時，用______法比較簡單，它的解是________.?3x?3y?5

2.在二元一次方程2(x+y)+1=5x-y中,當y=3時，x=______.?2x?y?3.已知x、y滿足方程組?，則x-y的值是______.?x?2y?4

?3x?5y?m?4.已知方程組?的解的和是2，則m=______.2x?3y?m?

5.已知2ay?5b3x與a2xb2?4y是同類項，那么x=___,y=___.?2x?y?b?x?6.若方程組?的解是?，那么a?b=______.?x?by?a?y?0

四．課堂小結，大膽質疑

1.你本節有什么收獲？

2.你還有什么疑問？

五.我行我秀

1.已知梯形的面積是30，高是5，且下底2倍比上底的3倍少11，如設上底

為x，下底為y，可列方程組為____________.2.解下列方程組：

?2x?y?6?

（1）?

（2）??x?y??2?

x?1?2y 32(x?1)?y?11

?3x?2y?4?2ax?3by?19

3.已知關于x、y的方程組?與?有相同的解，求

?ax?by?7?5y?x?3

a、b的值.4.已知關于x、y的方程y=kx+b中，當x=2時，y=–1；當x=–1時，y=5；

求當x=3時y的值.六.能力提升

?x?1.編寫一個解是?的二元一次方程組.y??1?

?ax?by?13?x?2.在解方程組?時，甲同學因看錯了b，求得的解是?，cx?y?4y?2??

?x?5乙同學看漏了c，求得的解是?，試求a、b、c的值.?y?1

3.古題：“我問開店李公三，眾客都來此店中，一房七客多七客，一房九客

一房空.”問多少房間多少客？

七．預習指導

預習內容：課本40頁至53頁

第八章 一元一次不等式

預習目標：

1.了解一元一次不等式及其有關概念

2.會靈活運用不等式的基本性質求一元一次不等式（組）的解集

3.能用不等式的思想解決簡單的實際問題

4.培養數學的建模思想，養成分析問題和解決問題的習慣

第四篇：認識二元一次方程組導學案

認識二元一次方程組導學案

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5.1.1認識二元一次方程組

姓名：_________

班級：___________

使用時間：________

【學習過程】

一：復習舊知：

問題1：你能寫出一個一元一次方程嗎？

問題2：形如

（）叫一元一次方程.二：情境引入：

問題1：在一望無際的呼倫貝爾大草原上，一頭老牛和一匹小馬馱著包裹吃力地行走著，老牛喘著氣吃力地說：“累死我了”，小馬說：“你還累，這么大的個，才比我多馱2個.”老牛氣不過地說：“哼，我從你背上拿來一個，我的包裹就是你的2倍！”，小馬天真而不信地說：“真的？！”同學們，你們能否用數學知識幫助小馬解決問題呢？

若設老牛馱了個包裹，小馬馱了個包裹。則：

①根據“已知老牛比小馬多馱2個包裹”你能得到怎樣的方程？

②“如果將馬背上的包裹拿掉一個放到牛背上，那么牛馱的包裹數是馬的2倍。”這時牛馱了

個包裹，馬馱了

個包裹。由此你又能得到怎樣的方程？

問題2：昨天，有8個人去紅山公園玩，他們買門票共花了34元.每張成人票5元，每張兒童票3元.那么他們到底去了幾個成人、幾個兒童呢？同學們，你們能否用所學的方程知識解決呢？

三：知識新授：

（一）二元一次方程的概念概括：含有

，并且所含未知數的 的次數都是 的方程叫做二元一次方程。

注意：①含有兩個未知數；

②所含未知數的項的最高次數是一次.。

鞏固練習1：

.下列方程有哪些是二元一次方程，是的打√，不是的打×：

（1），（）

（2），（）

（3），（）

（4），（）

（5），（）

（6）.（）

2.如果方程是二元一次方程，那么m＝

，n＝

.（二）二元一次方程組概念的概括：

.前面第二題中的兩個方程中含義相同嗎？

表示

呢？一樣嗎？

表示，是否同時滿足兩個方程？

2.二元一次方程組的概念：含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程.如：

注意：在方程組中的各方程中的同一個字母必須表示同一個對象.鞏固練習2：

（1）

同學們各自寫出一個二元一次方程組。.判斷下列方程組是否是二元一次方程組：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（三）方程的解的概念

.適合方程嗎？呢？呢？你還能找到其他x,y值適合方程嗎？

2.適合方程嗎？呢？

3.你能找到一組值x,y同時適合方程和嗎？

☆適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的解.例如，x=6,y=2是方程x+y=8的一個解，記作

通過前面我們知道是方程的一個解，同時

又是方程的一個解.☆二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.例如，就是二元一次方程組的解。

鞏固練習3：

.下列四組數值中，哪些是二元一次方程的解？（）

（A）

（B）

（c）

（D）

2.二元一次方程的解有：

……

3.二元一次方程組的解是（）

（A）

（B）

（c）

（D）

4.以為解的二元一次方程組是（）

（A）

（B）

（c）

（D）

5.二元一次方程的正整數解為

.6.如果是的解，那么m＝

，n＝

.7.寫出一個以為解的二元一次方程組為

.（答案不唯一）

8.方程在自然數范圍的解的個數為

，整數范圍呢？

四：小結：這堂課你掌握的知識；

你還有那些不明白的地方？

第五篇：消元---解二元一次方程組教學反思

反思一：消元---解二元一次方程組教學反思

常言道：舉一反三，觸類旁通。數學教學尤其如此。旨在于對一個數學知識點反復例舉、反復引導、反復訓練，進而對類似問題能夠參考性的對比解決并且不斷提升知識的認知水平。消元二元一次方程組的解法這個課時的思想就是把未知數的個數遞減而逐一解決。我在教學這個內容中得到如下反思。

一、在這節課的開始應該充分利用教材關于勝負問題的例子，讓學生首先明白兩個方程中的x都表示勝的場數，y都是表示負的場數，這個過程就是為了消除學生在以下的代入消元法和加減消元法中為什么能夠互換的疑慮。這是個好的開端。

二、充分強調等式的變化。雖然這是個復習的問題，但是，讓學生反復演練這樣的等式變換是一個必要的過程，它將為后面的代入法順利進行起到鋪墊的作用。

三、在進行代入消元法時，遵循由淺入深、循序漸進的原則，引導并強調學生觀察未知數的系數，注意系數是1的未知數，針對這個系數進行等式變換，然后代入另一個方程。在這個教學過程中，學生的學習難點就是當未知數的系數不是1的情況，教師就應該運用開課前復習的等式變換的知識點：用含有一個字母的代數式表示另一個字母，引導學生熟練進行等式變換，這個過程教師往往忽略訓練的深度和廣度，要引起注意把握訓練尺度。

四、在進行加減消元法時，難點是：相同未知數的系數不相同也不是互為相反數的情況。基于此，教學原則也應該是由易到難、逐次深入的原則。教師應該先讓學生熟悉簡單的未知數相同或互為相反數這類題目的加減消元法則和原理;繼而認真展示成倍數關系的未知數的系數;然后出示一些比如：3x-5y=10，2x+10y=1，等等的問題，提示學生怎樣使相同未知數的系數相同或互為相反數，這時教師要幫助學生認真分析，強調遵循求幾個數最小公倍數的原則，使它們相同未知數的系數變成為它們的最小公倍數，然后進行加減消元法去解決問題。

這就是我在這個課程教學的一些反思。

反思二：消元---解二元一次方程組教學反思

1、這節課的主要內容是用代入法解二元一次方程組。這種代入消元法的關鍵是如何選擇一個方程，如何用含一個未知數的式子去表示另一個未知數。所以在教學上要抓住這個關鍵來講解。

2、在教學過程中，學生雖然學會了用代入法解二元一次方程組，但是在結構不同的方程組中，學生就有點不知所措，不懂選擇哪個方程代入另一個方程，以至

使運算簡便。而是盲目地規定消那個未知數，使得計算量很大。出現這種問題的

原因是，沒有抓住教師在課堂上強調的關鍵。針對這個問題，在以后的教學中，我會再強調這個解題的關鍵，甚至還專門利用課余時間，幫他們補回來。讓他們在這方面多多練習。

3、如果讓我重新上這節課，我覺得還有一些可以改進的地方。那就是在[活動4］

中，我布置學生做教科書第99頁練習的第2題時，學生完成后，再強調第⑴小題，方程不用變形，直接選第一個方程代入第二個方程的原因。

4、我會虛心接受各位老師給我的建議。那就是，對不同的學生進行針對性的指導，使不同的學生都有發展。

反思三：消元---解二元一次方程組教學反思

解二元一次方程組是二元一次方程組一章中很重要的知識，占有重要的地位。通過本節課的教學，使學生會用加減消元法解二元一次方程組，進一步了解消元的思想。加減法解二元一次方程組的基本思想與代入法相同，仍是消元化歸思想，通過代入法、加減法這些手段，使二元方程轉化為一元方程，從而使消元化歸這一轉化思想得以實現。因此在設計教學過程時，注重化歸意識的點撥與滲透，使學生在學習中逐步體會理解這種具有普遍意義的分析問題、解決問題的思想方法。

教學后發現，大部分學生能夠通過加減消元法解二元一次方程組，教學一開始給出了一個二元一次方程組，先讓學生用代入法求解，既復習了舊知識，又引出了新課題，引發學生探究的興趣。通過學生的觀察、發現，理解加減消元法的原理和方法，使學生明確使用加減法的條件，體會在一定條件下使用加減法的優越性。之后，通過兩個例題來幫助學生規范書寫，同時明確用加減法解二元一次方程組的步驟。接下來，通過一系列的練習來鞏固加減消元法的應用，并在練習中摸索運算技巧，培養能力，訓練學生思維的靈活性及分析問題、解決問題的綜合能力。有個別同學在運算上比較容易出錯，運用的靈活性掌握得不太好，解答起來速度較慢，我想只要多加練習，一定會又快又準確的。

反思四：消元---解二元一次方程組教學反思

解二元一次方程組分兩節設置，第一節講代入消元法，第二節講加減消元法。從學生作業反饋，對兩種消元法的步驟和方法能較好的掌握。但是學生解題中錯誤較多。問題出現在進行代入消元后的一元一次方程解錯了。如去分母時忘了用最小公倍數乘遍每一項，移項要變號，數與多項式相乘要乘遍每項。這樣導致整個方程組的解錯。對于加減法應讓學生明確方程組如果既能用加法消元又能用減法消元的情況下盡量用加法。畢竟加法不容易出錯。對于減法尤其是減數是負號時是學生解題的易錯點，應該多給學生一些思考的時間，讓他們自己摸索出解決問題的辦法。同時，也訓練了學生的思維。

幾個例題比較起來，學生做減法比較容易出錯，看來減法的練習應該多些，上課應多花些時間解決減法的問題，而在加減消元法的引入時我選擇了創設情景，二元一次方程組的應用問題等量關系相對比較簡單，這樣不僅可以讓學生感受數學的實際應用價值，而且可以增加他們對于解應用題的信心，因為有大部分的學生對于應用題有畏難的心理。這樣做的效果不錯。在第一課時著重講解系數相同和互為相反數的加減消元，不要涉及其他的，要鞏固前面的知識。第二節著重觀察、整理方程組，要多板書幾組規范的解題步驟。

通過本課教學，自己感覺有些方面還是做得不夠好：首先對于觀察二元一次方程組中同一未知數系數的特點的引入過于生硬，并且學生對于何時用同一未知數系數的絕對值的說法不理解，應讓學生明確只有在比較同一未知數的系數大小時，引用這樣的術語；其次是，學生對于教師引入用加減法的具體過程上缺少必要的過渡，主要原因是自己沒有做好這方面的預設，這一點可以再課前利用多媒體做一個簡單的方程組中兩個方程兩邊分別相加減的具體步驟，會更好；最后是本節課的練習的體量上有欠缺，沒有達到鞏固的目的，只停留在簡單的觀察、理解、熟悉上，缺少必要的加深和擴展。