第一篇：數學廣角教案01

二年級上冊數學廣角—— 排列與組合

一、以故事形式引入新課

小朋友們，今天老師給大家?guī)砹?只可愛的小動物，你們看它們是誰呀？

（邊說邊貼出動物頭像：小刺猬、小鴨、小雞）小刺猬、小鴨和小雞三個是好朋友，今天準備到企鵝博士家去做客呢，可是剛走了一半路，突然下起雨來，可是它們只帶了兩把傘，你能幫他們想想辦法怎么搭配撐雨傘嗎？

學生可能出現的答案有：①小雞和小刺猬拼一把傘，小鴨自己打一把傘。②小鴨和小刺猬拼一把傘，小雞自己打一把傘。③小鴨和小雞拼一把傘，小刺猬自己打一把傘。

當學生在回答以上方法時，教師根據學生的回答把相應的動物頭像帖在傘的下面。

師：大家想的辦法都不錯。的確，三只小動物都和你們一樣試了上面這三種方法，可最后它 們卻選擇了哪種方法，你們知道為什么嗎？原來呀，當它們開始用前面兩種方法時，可沒 走幾步，小刺猬身上的刺就把小鴨和小雞給刺疼了，所以只能選擇第③種方法。

二、用開密碼鎖的方法進行數的排列活動

師：三只小動物到了企鵝博士家，卻發(fā)現大門緊閉，門上還掛著一把鎖

（邊說邊在課件出示文字）咦，鎖上還有一張紙條呢，讓我看看紙條上寫著什么呢？

（教師讀紙條上寫的內容：歡迎你們的到來，為了考考你們的智慧，請你們先想辦法把這把密碼鎖打開，鎖的密碼提示1：請用數字1、2、3擺出所有的兩位數。

師：三只小動物都犯傻了，怎么辦呢？小朋友們能不能幫幫他們？老師給你們準備了數字卡片，在信封里。但是老師有要求： 同桌合作用數字卡片擺，并且讓一個人把擺出來的數字記在白紙上，在動手之前先商量一下你們打算怎么擺再開始。

教師巡視，搜集各種不同的擺法。（板書，標上序號）匯報找密碼的過程。（先全部板書，再請學生來說說哪種方法好，好在哪？說說是怎么擺的，最后學生用卡片演示一遍。）

老師這里有5種不同的答案，我給它們標上號。仔細觀察，它是怎么擺的？你覺得哪種方法比較好？好在哪里？先和同桌說一說。預設：

他是怎么擺的？先擺出12，再把十位和個位交換位置。

師：哦，你的意思是用十位和個位交換位置的方法。覺得這種方法的同學請舉手。（位置交換法）誰愿意再來說說這種方法好在哪里？師：你還覺得哪種擺法比較好？ 他是先把1放在十位上，然后把數字2和3放在個位上組成12、13，再把2放在十位上……。（十位固定法）師：你的意思是先確定十位。十位是1的有哪些數？

12、13，21、23，31、32。這樣擺有什么好處？（不會重復，不會遺漏，有序。）（請一生上來擺，其余生讀數字，感受規(guī)律。）

師：觀察5號，他有沒有順序？（有，他是先確定個位。）

師：為什么不覺得1、2方法好？為什么會漏掉？（沒有按次序，還重復，漏掉了。）

師小結：看來以后碰到這樣的問題，想擺得快又不漏掉，我們應該選擇一定的順序和一定的規(guī)律去擺就不會重復也不會遺漏。答錯的小朋友現在你學會這些好辦法了嗎？ 小結：像這種跟順序有關系的叫排列，板書題目 ：排列 師：我們來看一下接下來的提示。

密碼提示2：密碼就是這些數從小到大排列中的第4個。師：你們找到密碼了嗎？是多少？ 三．用選食物的方法進行組合活動

師：通過大家的幫忙，企鵝博士家的密碼鎖被打開了，小動物們可高興了。為了表示慶賀，他們每兩只動物互相擊掌一次，那我們三個一共擊掌了幾次呢？

來到了企鵝博士家。瞧，企鵝博士為他們提供了豐盛的美食！飲料和點心只能各選一種，這樣有幾種不同的選法呢？

請你用連一連的方法在練習紙上寫。學生匯報。（生邊說，師邊畫上序號1,2,3種）

追問：那牛奶和餅干還能連嗎？（不能了，因為連了還是這兩種食物。沒變。）四．排列組合的對比。

師：咦？為什么3個數字能組成6個不同的數字，同樣也是3種食物，選2樣食物卻只有3種結果呢？

小結：兩個數字可以交換組成2個兩位數，而兩種食物交換后還是這兩種只能算一種。跟順序排列沒關系的叫組合。（板書：組合）五．練習：

小動物們選了自己喜歡的美食好好享受完之后，他們決定去冒險。但是企鵝博士給他們一張古老的地圖。3只小動物商量之后決定排著整齊的隊伍再走，她們可以有幾種排法？

師：他們排著整齊隊伍，從企鵝博士家出發(fā)到城堡去探險，你知道他們從企鵝博士家到城堡一共有多少種走法嗎？

師：從企鵝博士家到獨木橋有2條路，為了小朋友等會表達的清楚我們把它標上A、B。從獨木橋到城堡有3條路，我們標上1、2、3。從企鵝博士家到城堡有哪幾種走法呢？想不想自己研究研究。

（1）看地圖，請你自己想想。（2）反饋。預設1：

師：有幾種？ 師：哪六種？你能說的清楚一點嗎？

師：恩，用符號來表示非常清晰有序！他先確定的是？是A。師：非常會思考！不僅可以先確定A，還可以倒著想，先確定1。

六、總結：

愉快的探險結束了，于是他們留在了城堡里，在這節(jié)課中你有什么收獲呢？同學們總結的很好，通過與小伙伴的合作，能很有序的進行排列，不重復不遺漏。其實在生活中還有許多事情，能采用今天有序思考進行排一排的事例，回去找找好嗎？

第二篇：人教版六年級數學下冊數學廣角教案01

抽屜原理

教學內容 ：數學六年級下冊第 70 頁例 1。

教學目標：

1、經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽 屜原理”解決

簡單的實際問題。

2、通過操作發(fā)展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。

3、通過“抽屜原理”的靈活應用感受數學的魅力。

教學重點 ：經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。

教學難點：通過操作發(fā)展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。

教學準備：多媒體課件、鉛筆、文具盒等。

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，導入新知

老師組織學生做“搶凳子的游戲”。請 4 位同學上來，擺開 3 張凳子。老師宣布游戲規(guī)則：4 位同學圍著凳子轉圈，老師喊“停”的時候，四個人每個人都必須坐在凳子上。教師背對著游戲的學生，宣布游戲開始，然后叫“停”！師：都坐下了嗎？老師不用看，也知道肯定有一張凳子上至少坐著 2 位同學。老師說得對嗎？ 師：老師為什么說得這么肯定呢？

二、自主操作，探究新知

1、觀察猜測。多媒體出示例 ：4 枝鉛筆，3 個文具盒。師：4 個人坐 3 張凳子，不管怎么坐，總有一張凳子至少坐兩個同學。4 枝鉛筆放進 3 個文具盒中呢？（不管怎么放，總有一個文具盒中至少放進 2 枝鉛筆）。師：真的是這樣嗎？為什么會這樣呢？你能給大家解釋這一現象嗎？

2、自主思考。（1）獨立思考：怎樣解釋這一現象？（2）小組合作，拿鉛筆和文具盒實際擺一擺、放一放，看一共有幾 種情況?

3、交流討論。學生匯報是用什么辦法來解釋這一現象的。（學情預設： 第一種：用實物擺一擺，把所有的擺放結果都羅列出來。學生展示把 4 枝鉛筆放進 3 個盒子里的幾種不同擺放情況，教師根據 學生擺的情況，有序板書：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）請學生觀察不同的放法，能發(fā)現什么？ 引導學生發(fā)現：每一種擺放情況，都一定有一個文具盒中至少有 2 枝 鉛筆。也就是說不管怎么放，總有一個盒子里至少有 2 枝鉛筆。第二種：假設法。教師請只擺了一種或沒有擺放就能解釋的同學說說自己的想法。師：其他學生是否明白他的想法呢？ 引導學生在交流中明確：可以假設先在每個文具盒中放 1 枝鉛筆，3 個文具盒里就放了 3 枝鉛筆。還剩下 1 枝，放入任意一個文具盒，那么這 個文具盒中就有 2 枝鉛筆了。也就是先平均分，每個文具盒中放 1 枝，余 下 1 枝，不管放在哪個盒子里，一定會出現總有一個文具盒里至少有 2 枝 鉛筆。教師指出：碰到這樣的問題，一般用平均分。

4、比較優(yōu)化。請學生繼續(xù)思考： 如果把 5 枝鉛筆放進 4 個文具盒，結果是否一樣呢？怎樣解釋這一現象？ 請學生繼續(xù)思考： 把 7 枝鉛筆放進6 個文具盒里呢？ 把 10 枝鉛筆放進 9 個文具盒里呢？ 把 100 枝鉛筆放進 99 個文具盒里呢？ 你發(fā)現了什么？ 引導學生發(fā)現：只要放的鉛筆數比文具盒的數量多 1，不論怎么放，總有一個文具盒里至少放進 2 枝鉛筆。請學生繼續(xù)思考：如果要放的鉛筆數比文具盒的數量多 2 呢？多 3 呢？多 4 呢？ 你發(fā)現了什么？ 引導學生發(fā)現： 只要鉛筆數比文具盒的數量多，這個結論都是成立的。5.學習抽屜原理概念。

三、靈活應用，解決問題

1、第 70 頁“做一做”。（1）課件出示：7 只鴿子飛回 5 個鴿舍，至少有 2 只鴿

子要飛進同一 個鴿舍里。為什么？（2）學生獨立思考，自主探究。（3）交流，說理。

（4）如果8只鴿子飛回3個鴿舍，至少有幾只鴿子飛回同一個鴿舍？

2、智慧城堡：（1）把13只小兔子關在5個籠子里，至少有（）只兔子要關在同一個籠子里？（2）、六（1）班第一組共有 26名學生，一定至少有3名學生的生日在同一個月，為什么？指導學生理解題意，明白一年有 12 個月，共有 26 名學生，是把26個學生平均分給12個月。（學生獨立思考，交流。）

（3）、從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的 52 張中任意抽出 5 張，至少 有 2 張撲克是同花色的。試一試，并說明理由。（1）幫助學生理解題意：剩下的 52 張撲克有 4 種花色。（2）學生思考，可以動手試一試。（3）交流。

四、全課總結（略）

第三篇：數學廣角教案

師：一共有幾種不同的搭配方法？

請有6種的學生在黑板上演示，邊擺邊說。要求：其他同學認真聽，仔細看。（板演的學生擺，其他的學生數有幾種）師：你有什么看法？ 生匯報。

學生在黑板上擺。（其他學生數）師：你們有什么看法？ 生匯報。

師 ：沒有條理地擺，會出現什么問題？（重復，遺漏，板書）誰有比他更好的擺法，讓我們能看得清清楚楚，明明白白的，即不重復，也不遺漏。學生邊擺邊說擺法。

師：他的擺法好嗎？好在哪？

4． 小結：看來，要象這個同學一樣，先選一件衣服，和下裝分別搭配，再選另一件衣服，和下裝搭配，這樣有條理地進行，才不會出現重復，或遺漏了。板書：有條理

5． 剛才，我們選定了上衣，那還可以選定什么來搭配呢？誰愿意上來，選定下裝，搭配搭配？ 6．學生在黑板上擺

小結：再搭配衣服時與選擇衣服的順序無關 7．早餐的搭配練習

師： 貝貝選好了喜歡的衣服，媽媽也為她準備好了早餐（課件出示115頁1題課件打出要求）讓我們看看，有哪些哪些飲料？哪些點心？）（學生獨立做在書上，用連線）8．拓展練習

如果有4種點心，2種飲料，有幾種不同的搭配呢？ 師：還有沒有想法不一樣的？ 9． 搭配兩位數練習

師：吃完了早餐，爸爸媽媽帶貝貝來到兒童樂園，（課件出示）師：請大家看黑板上的數字卡片，注意聽要求：先觀察可以拉出哪些兩位數，寫在練習本上。學生匯報。

師：你寫了哪些數？你是怎樣想的？ 師：我們有哪些方法？（課件出示）10 例2的教學

師：你們想繼續(xù)玩游戲嗎？ 生：回答 師：那你們必須先過這一關才可以玩后面的游戲（課件，聲音：同學們，數字游戲可以開發(fā)我們的智力，讓我們一起來玩一個數字游戲，這里有三張數字卡片7，3，9，可以擺出多少個不同的三位數呢?）

師：請拿出練習本先組一組，然后把組出的所有三位數記錄下來，看誰租得又對又快。寫完后，找小伙伴交流交流。學生匯報，提問：你是怎樣想的？

小結：我們在排數的時候，可以先確定百位上的數，再確定十位和個位，這樣有條理地排列，就不會出現重復或遺漏。組數與數字的順序有關。11照相問題

師：同學們，你們今天的表現太棒了。恭喜你們可以繼續(xù)下一個游戲，看到里面是唐僧師徒四人到了雷音寺，準備合影留念，同學們看課本113頁做一做，說說他們遇到了什么問題？

最后指名匯報：你是怎樣做到不重復、不遺漏的全部記錄下來？

三 學習效果測評

師：從兒童樂園出來，貝貝要去猴山玩，讓我們看看圖。

師：先看看從兒童樂園到百鳥園有幾條路？（課件演示）從百鳥園到候山有幾條路？（課件演示），（課件演示），學生用手劃一劃、說一說。四 總結

總結：孩子們，這節(jié)課，你們和貝貝一起玩的開心嗎？在玩的同時我們共同學完了數學廣角中的學問。板書完課題。

師：聰明的貝貝，把這有趣的一天寫在了自己的數學日記里，那同學們回家要干什么呢？

回家想一想生活中還有哪些問題可以用到我們今天學習的知識。

板書設計：

973 937 有條理

數學廣角

793 739 397 379 不重復

不遺漏

第四篇：數學廣角教案

《沏茶問題》

——合理安排時間

教案

沏茶問題

——合理安排時間

吳泊艦

課前三分鐘

由學科組長導入：

我有一個問題想考考大家，大家愿意接受嗎？我今天早上起床晚了，10分鐘內再不出發(fā)就要遲到了，但我需要10分鐘等飯涼，洗臉刷牙又需要8分鐘。你認為怎樣安排這兩項活動我才不會遲到？

學生回答，評價。

接下來的時間交給我們的老師。引題

同學們，效率在于時間管理，合理的安排時間可以讓我們在較短的時間內完成較多的事情，節(jié)省下來更多的時間去做我們想做的事。今天我們就來學習如何合理地安排我們的時間。板書課題：

沏茶問題 設疑自探：

看到這個題目你有什么想知道的，想問的？ 聯系？ 作用？ 方法？

出示學習目標：（齊讀）

1、能夠用合理、快捷的方式解決沏茶這一簡單的生活問題，懂得在同一時間內，所做事情越多，效率就越高。

2、能從解決問題的多種方案中尋找出最優(yōu)方案。

3、提高解決問題的能力。

明確了學習目標，相信同學們可以更快更好的完成今天的學習任務，下面請看老師為大家準備的學習提示

出示學習提示：（看一看，想一想，先獨立思考再小組內討論，時間5分鐘）（師讀）

1、想一想沏茶要做哪些事情通過動畫熟悉沏茶需要做什么事情。

2、想一想沏茶這件事情需先做什么，再做什么？

3、一步一步做最節(jié)省時間嗎？哪些事情可以同時做？

4、根據你的想法，設計出一種最節(jié)省時間的方案。

帶著問題觀看課件動畫。獨立完成后，小組內討論。

提示1由各小組1號同學搶答； 回答的同時由課件展示。提示2由各小組2號同學搶答； 回答的同時由課件展示，并板書。

提示3由各位同學舉手回答（有意識的多挑3號同學回答，多找?guī)讉€人）

……

預設：燒水可以和找茶葉、洗茶杯同時進行，有些同學不能一次找出來，及時發(fā)現并提示。

提示4由各位同學舉手回答，展示。（有意識的由3號或4號同學回答）

完成例1教學。小結：

合理安排時間需要按照這樣的步驟進行：

1、完成一項工作要做哪些事情。

2、每項事情各需要多少時間。

3、合理安排工作的順序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同時做。

4、最后計算出時間。課外知識引申：

運籌學——華羅庚

學習了如何合理安排時間，還要會運用，老師準備了一些練習題，來考驗大家。知識運用

做晚飯

引導學生說出做晚飯需要完成哪些事情？ 先后順序，以及如何合理的安排？

最快的時間是多久？用流程圖表示，同時課件顯示。課堂檢測

1、李袁帥同學要為爸爸沖一杯咖啡，可是開水用光了，她需要燒開水（6分鐘）、找咖啡（1分鐘）、洗茶杯（2分鐘）。若想使爸爸更快喝上咖啡需要完成______、_______、_______三件事情，其中______可以和______、______同時完成，所以完成這件事的最快時間為____分鐘。

學生舉手回答。

2、判斷

汪曉彤同學一家三口每天早上都要喝煮沸的鮮奶。同時還要做兩件事情，一是煮鮮奶（10分鐘），二是洗三個奶瓶（3分鐘/個），她一家喝到牛奶最快要用10+3×3=19（分鐘）。對嗎？請說明理由。

學生討論后，舉手回答。

3、選擇

付力元早晨起來，燒開水要8分鐘，整理床鋪要5分鐘，刷牙要3分鐘，洗臉要2分鐘．她最少要()分鐘就能完成這些事．

A.18 B.13 C.10

學生舉手回答，并講解思路。

4、聞靖瑤同學放學回家后，媽媽對她說：“今天我給你做你最喜歡吃的紅燒魚！不過你要幫媽媽設計一下，怎樣安排才能使所用的時間最少？”同學們，你能幫她一塊兒來設計一個順序嗎？

展臺展示，并由學生展示講解。拓展運用

請你根據所學的沏茶問題知識，仿照練習題，自己出一道考驗考驗你的同學。課堂小結

今天你都知道了什么知識？

學生回答之后，把課題質疑的問號擦掉。復習合理安排時間的步驟：

1、完成一項工作要做哪些事情。

2、每項事情各需要多少時間。

3、合理安排工作的順序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同時做。

4、最后計算出時間。學科長總結

優(yōu)勝小組，優(yōu)勝個人（鼓勵），需要努力的小組，繼續(xù)努力。下課

第五篇：數學廣角教案

《在一條線段上植樹（兩端都栽）》教學設計

教學內容：人教版小學數學教材五年級上冊第106頁例1及相關內容。

教學目標：

1．建立并理解在線段上植樹（兩端都栽）的情況中“棵數=間隔數+1”的數學模型。

2．利用線段圖理解“點數=間隔數+1”“總長=間隔數×間距”等間隔數與點數、總長、間距之間的關系，解決生活中的實際問題。

教學重點：建立并理解“點數=間隔數+1”的數學模型。

教學難點：培養(yǎng)用畫線段圖的方法解決問題的意識，并能熟練掌握這種方法。

教學準備：課件。

教學過程：

一、情境出示，設疑激趣

教師：哪位同學知道我們國家設立的植樹節(jié)是在哪一天？（3月12日）在這一天的植樹活動中，遇到了這樣一個問題。（課件出示問題）

例1：同學們在全長100 m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

教師：你能利用所學的知識解決問題嗎？

預設1：20棵。（教師追問：你是怎么想的？）每隔5 m栽一棵，共栽100÷5=20（棵）。

預設2：我認為是21棵，因為題目中寫著“兩端要栽”，所以要再加1棵。

教師：你認為哪一個結果是正確的？（指名回答）

【設計意圖】直接出示例題的情境，通過學生的嘗試解答，既是對教學起點的了解，又利用兩種不同的結果設置疑問，激發(fā)了學生探求新知的熱情。

二、經歷過程，感受方法

教師：可以用怎樣的方法進行檢驗呢？（畫線段圖）那我們可以在草稿本上試一試。遇到了什么困難？

預設：100 m太長了，不太好畫。（追問：那我們可以怎么辦？）

學生：可以先用簡單的數試一試。（課件出示）

【設計意圖】使學生經歷分析思考的整個過程，感受“猜測──驗證”的學習方法。在實際操作中發(fā)現問題有助于激發(fā)學生的思考，從而深刻地體會“從簡單事例中發(fā)現規(guī)律，并利用此規(guī)律解決較復雜問題”的數學思想。

三、探索實踐，建立模型

教師：先看看20 m的距離，在兩端都栽的情況下可以栽幾棵樹，在草稿本上畫一畫。

實物投影或課件出示：

教師：說說你是怎么想的？

預設：20÷5=4，20 m被平均分成4段，因為兩端要栽，所以要栽5棵樹。教師：再畫一畫，25 m可以栽幾棵樹？（學生操作）誰來說說你的想法？ 預設：25÷5=5，就是把25 m平均分成了5段，因為兩端都要栽，所以要栽6棵樹。

還可以這樣畫：這里的藍色線段表示什么？（間隔數）紅色線段呢？（植樹棵數）

教師：不畫圖，你能把下面的表格填寫完整嗎？

（根據學生回答，教師在課件上輸入數據）你發(fā)現了什么規(guī)律？

預設：棵數要比間隔數多1。（追問：可以用怎樣的一個式子表示？）棵數=間隔數+1。

教師：誰能說說為什么要“+1”？（因為兩端都要栽，所以栽樹的棵樹比間隔數多1。）你能用發(fā)現的規(guī)律解決開頭的問題嗎？（指名回答，分析講解）

教師：回顧這個問題的解答過程，說說你的想法。

歸納小結：在解決較復雜或數據較大的問題時，可以先從簡單數據出發(fā)得出規(guī)律，然后將規(guī)律運用于復雜問題進行解決。

【設計意圖】“畫示意圖──抽象出線段圖──不畫圖”的教學過程，體現了從具體到抽象、從特殊到一般的設計理念，也正是在這一進程中，通過積極有效的教學活動，使學生建立起“一條線段兩端都栽”這類植樹問題的數學模型。

四、利用新知，解決問題

教師：根據剛才學到的知識，還可以解決許多生活中的問題。（課件出示問題）

1．在一條全長2 km的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50 m安一盞。一共要安裝多少盞路燈？

教師：讀完這個題目，你覺得有哪些地方需要特別引起注意？

預設1：單位不統一，要先進行轉化再計算。

預設2：兩旁。（追問：表示什么？）就是兩邊。你能通過畫圖的方法表示出“兩旁”嗎？在計算時該怎樣體現？（先算出一邊的路燈的數量，再乘以2。）

學生練習，指名回答。km=2000 m

（2000÷50+1）×2=82（盞）答：一共要安裝82盞路燈。

教師：2000÷50算的是什么？（間隔數）“+1”說明了什么？（兩端都要安裝）

2．馬路一邊栽了25棵梧桐樹。如果每兩棵梧桐樹中間栽一棵銀杏樹，一共要栽多少棵？

教師：仔細讀題，認真思考，說說你對這個題目的理解。

引導得出：要求一共栽多少棵銀杏樹，實際就是求梧桐樹的間隔數。由“棵數=間隔數+1”可得“間隔數=棵數-1”。

25-1=24（棵）

答：一共要栽24棵銀杏樹。

教師：可以用怎樣的方法驗證結果是否正確？（可以先用比較簡單的例子，通過畫線段圖的方法進行驗證）和這題有關的簡單的例子，我們只要張開一只手。五個手指相當于題目中的？（梧桐樹）每兩個手指之間栽一棵（銀杏樹），可以栽幾棵？你還有其他的方法嗎？

【設計意圖】練習中的實際問題，相比例題有一些變化，對于學生的理解能力提出了更高的要求。第1題用畫圖的方法直觀地表示出“兩旁”，解決了算式中為什么要“×2”的問題；第2題先讓學生思考，說說自己的理解，驗證的環(huán)節(jié)既是對方法的回顧，又體現了數學的趣味性。

五、逆向思考，拓展新知

園林工人沿一條筆直的公路一側植樹，每隔6 m種一棵，一共種了36棵。從第1棵到最后一棵的距離有多遠？

教師：讀題并思考，要求“從第1棵到最后一棵的距離”就是求什么？（路長）跟例題相比，有什么不同？

預設：例題是知道了路長求栽樹的棵數，這題是知道了栽樹的棵數，求路線長度。

教師追問：該怎樣解答呢？試一試，并說說你的思路。

（36-1）×6=210（m）

答：從第1棵到最后一棵的距離是210 m。

教師：“36-1”算的是什么？（間隔數）再根據“間隔數×間隔距離=路長”計算。

【設計意圖】通過變式練習，加深學生對例題中發(fā)現的規(guī)律的理解。該題是植樹問題數學模型的逆向應用，有了前一題“間隔數=棵數-1”的知識為基礎，學生應該能比較容易地解決這一問題。對于學習有困難的同學，也可引導他們用畫線段圖的方法解答。

六、回顧思考，全課總結

教師：通過這一節(jié)的學習，你有什么收獲？跟大家交流一下。根據學生回答，強調：

1．解決兩端都要栽的植樹問題的數學模型：棵數=間隔數+1。

2．當遇到較為復雜的數學問題時，可以先從簡單的事例中發(fā)現規(guī)律，然后應用找到的規(guī)律來解決原來的問題。

《在一條線段上植樹（兩端都不栽）》教學設計

教學內容：人教版小學數學教材五年級上冊第107頁例2及相關內容。

教學目標：

1．建立并理解在線段上植樹（兩端都不栽）的情況中“棵數=間隔數-1”的數學模型。

2．通過畫線段圖初步培養(yǎng)學生探索解決問題的有效方法的能力，嘗試用植樹問題的模型解決實際生活中的簡單問題，培養(yǎng)應用意識。

教學重點：建立并理解“棵數=間隔數-1”的數學模型。

教學難點：培養(yǎng)學生探索解決問題的有效方法的能力。

教學準備：課件。

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，復習引入

教師：上節(jié)課，我們學習了植樹問題中兩端都栽的情況，誰能說一說是用怎樣的數學模型解決這類問題的？（棵數=間隔數+1）能快速地完成下一題嗎？（課件出示題目）

準備題：綠化隊要在相距60 m的小路一邊植樹（兩端都栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3 m。一共要栽多少棵樹？

指名回答：60÷3+1=21（棵）

答：一共要栽21棵樹。

再來看看這一題（課件出示例2）認真思考，這兩個題目有什么不同？

大象館和猴山相距60 m。綠化隊要在兩館間的小路兩旁栽樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3 m。一共要栽多少棵樹？

【設計意圖】例2是在例1的基礎上教學的，對已學知識的復習是為了找準知識遷移的“原點”，為下一個環(huán)節(jié)的教學做好鋪墊。

二、比較分析，遷移新知

教師：你能用畫圖的方法表示出你的發(fā)現嗎？同桌之間可以互相交流。（指名匯報）

預設1：準備題是一邊，例2是小路兩旁。（追問：在圖上該如何表示？）就是有兩條線段。（怎么計算？）只要先算出一邊的樹木數量，再“×2”就可以了。

預設2：準備題是兩端都栽，例2是兩端不栽。（追問：你能通過示意圖說說為什么嗎？）因為小路的兩端都是場館。

教師：這個題目該如何解決呢？你想到了什么方法？（可以先從簡單的事例中發(fā)現規(guī)律）請你在草稿本上試一試。

【設計意圖】通過比較分析，使學生更為深刻地理解題意，引導“用畫圖的方法表示出來”對于培養(yǎng)學生良好的審題習慣具有非常重要的作用。該環(huán)節(jié)的設計還重點突出了對“先從簡單的事例中發(fā)現規(guī)律，再將規(guī)律應用于問題的解決”這一數學方法的遷移。

三、理解歸納，得出模型

指名回答，過程預設：

1．先畫一個簡單的線段圖看看，以20 m長的線段為例，在兩端都栽的情況下“棵數=間隔數+1”，需要栽5棵樹。

2．同樣長的線段，在兩端都不栽的情況下只需要栽3棵樹，也就是說栽的棵數比間隔數少1。（教師追問：可以用怎樣的數學模型表示？）棵數=間隔數-1。

教師：你能用不同的方法試一試，對這一數學模型進行驗證嗎？（學生操作，交流發(fā)現。）運用這一模型，例2可以怎樣解答？

60÷3-1=19（棵）

19×2=38（棵）答：一共要栽38棵樹。

教師追問：為什么要“×2”？（因為小路兩旁都要栽樹）

教師小結：我們一起來回顧一下這個題目的解決過程。通過與例1中兩端都栽的植樹問題相比較，采用同樣的方法得出了兩端不栽的植樹問題的數學模型，即棵數=間隔數-1。

【設計意圖】通過教師的引導，促使學生自主探索，經歷了問題解決的整個過程，對數學思想的滲透也在知識的遷移和轉化過程中得到了體現。在教學實際中，可結合“你能用不同的方法對這一數學模型進行驗證嗎？”這一問題，進行開放式的教學實踐，鼓勵學生用自己的方法探索出規(guī)律。

四、課堂練習，應用新知

教師：利用這一數學模型，還能解決許多生活中的問題。

1．一條走廊長32 m，每隔4 m擺放一盆植物（兩端不放）。一共要放多少盆植物？

學生練習，指名回答：

32÷4-1=7（盆）

答：一共要放7盆植物。

教師：如果改為兩端都放，該怎么算？ 32÷4+1=9（盆）

教師：這兩種不同的擺法相差幾盆？（2盆）為什么？（兩端都放時，盆數=間隔數+1；兩端都不放時，盆數=間隔數-1。）

2．一根木頭長10 m，要把它平均分成5段。每鋸下一段需要8分鐘，鋸完一共要花多少分鐘？

教師：這個問題和我們學習的植樹問題有關聯嗎？屬于植樹問題中的哪一種情況？可以先用畫圖的方法試一試。

學生練習，分析講評：

10÷5-1=4（次）

8×4=32（分鐘）

答：鋸完一共要花32分鐘。

【設計意圖】第1題在完成后進行了比較練習，加深了學生對兩種不同數學模型之間關系的認識；第2題雖然不是植樹的情境，但規(guī)律是相同的，引導學生通過畫線段圖的方法即可抓住題目的本質，同時擴展了學生對所學知識的應用視野。

五、利用變式，強化認知

小明家門前有一條35 m的小路，綠化隊要在路旁栽一排樹。每隔5 m栽一棵樹（一端栽一端不栽）。一共要栽多少棵？

教師：這題與已經學過的植樹問題有什么不同？（一端栽一端不栽）先猜一猜，再用自己喜歡的方法驗證結果是否正確。

預設1：兩端都栽的情況下，棵數=間隔數+1；兩端不栽的情況下，棵數=間隔數-1。這種一端栽一端不栽的情況，應該是棵數=間隔數。

預設2：是用畫線段圖的方法得出的，一共要栽7棵。

預設3：直接用35÷5=7（棵）。（教師追問：35÷5算的是什么？）間隔數。（用這樣的方法計算其實是以什么作為依據的？）在一端栽一端不栽的情況下，棵數=間隔數。

教師：比較植樹問題的三種情況，說說你自己的理解。

【設計意圖】以已學知識為基礎，放手讓學生獨立思考，鼓勵用自己喜歡的方法探索這種情況的規(guī)律，在最后的比較環(huán)節(jié)也強調說出自己的理解。學生通過這樣的方式獲取的知識、思維活動的經驗才能更加鮮活和深刻，充分體現了“不同的人在數學上得到不同的發(fā)展”這一基本理念。

六、課堂小結，布置作業(yè)

小結：植樹問題在生活中的應用非常廣泛，在解決這類問題時，應該先判斷出屬于哪一種情況，再根據題意列式解答。

課外作業(yè)：先判斷以下各題屬于哪種情況，再列式解答。

（1）在一條長2千米的公路的一邊栽白楊樹，每隔8米栽1棵，最多可以栽多少棵？最少可以栽多少棵？

（2）搬運工從一樓到二樓，走了16級臺階，王麗家住6樓，每相鄰兩層臺階相同，從一樓到六樓一共走多少級臺階？

（3）一個古老的擺鐘，于六時整敲響六下，需時五秒鐘；那么，在正午敲響十二下時，需時多少秒？

《在一條首尾相接的封閉曲線上植樹》教學設計

教學內容：人教版小學數學教材五年級上冊第108頁例3相關內容。

教學目標：

1．運用轉化的方法，使學生理解在一條首尾封閉的曲線上植樹所需棵數與間隔數“一一對應”的數學模型。

2．進一步培養(yǎng)學生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，以及抽取數學模型的能力。

教學重點：理解在一條首尾相接的封閉曲線上植樹的基本數學模型。

教學難點：培養(yǎng)學生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力。

教學準備：課件。

教學過程：

一、談話引入，復習舊知

教師：在前面兩節(jié)課中，我們共同探討了在一條線段上植樹的問題，還運用發(fā)現的規(guī)律解決了許多生活中的實際問題。誰來幫助大家一起回顧這些知識？

預設：在一條線段上植樹可以分成三種情況：兩端都栽時，棵數比間隔數多1；兩端都不栽時，棵數比間隔數少1；一端栽一端不栽時，棵數和間隔數相等。

教師：在解決復雜問題時，我們是怎么做的？

預設：可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以從簡單的事例中發(fā)現規(guī)律，再應用找到的規(guī)律來解決原來的問題。

教師：同學們對已學知識掌握得很好！今天這節(jié)課，我們要一起來研究植樹問題中的另一種情況。

【設計意圖】復習舊知再現了在一條線段上植樹的三種情況，以及“猜測──驗證”的方法和“從簡單事例中發(fā)現規(guī)律，再將規(guī)律應用于復雜問題解決”的數學思想，為本課新知內容的探索打下了堅實的基礎。

二、自主探索，學習新知

1．出示情境，展開探索

例3：張伯伯準備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵樹？

教師：這道題與前面學習的植樹問題相比，有什么相同和不同的地方？

預設：不同之處在于前面學習的是在線段上植樹的問題，這道題是在一個圓形周圍植樹。（教師追問1：線段是怎樣的？圓形又是怎樣的？）線段是直的，圓形是一條曲線。（教師追問2：一條什么樣的曲線？）

逐步引導得出：一條首尾相接的封閉曲線。

預設：相同之處是，都是已知長度和間隔距離。

教師：你能聯系已經學過的知識，自主解決“一共要栽多少棵樹”的問題嗎？

學生獨立思考，討論匯報。

2．概括歸納，得出模型

教師：大家想到了用什么方法來解決問題？（畫圖）120 m的長度太長了，怎么辦？（先用簡單的數據試一試）

（1）以周長為40 m的圓為例，通過下圖得知，能栽4棵樹。

（2）如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現什么？

預設：相當于在線段上植樹的問題中“一端栽一端不栽”的情況。

（3）我們還可以用這樣的方式來理解。

引導得出：植樹的棵數與間隔數“一一對應”。

教師：利用發(fā)現的知識，你能解決例3的問題嗎？（出示：池塘的周長是120 m？）

120÷10=12（棵）

答：一共要栽12棵樹。

教師：誰能完整地概括一下剛才的發(fā)現？

預設：在一條首尾相接的封閉曲線上植樹，所需棵數與間隔數“一一對應”，相當于在線段上植樹的一端栽一端不栽的情況。

【設計意圖】學生已經有了“在線段上植樹”的學習經驗，在出示情境圖引導學生比較相同點和不同點之后，教師放手讓學生自主探究。在概括歸納的環(huán)節(jié)，注重模型的對比和溝通，通過兩種不同的方式，自然地得出在一條首尾相接的曲線上植樹所需棵樹與間隔數“一一對應”的結論，相當于在線段上植樹中一端栽一端不栽的情況。

三、課堂練習，鞏固強化

教師：運用剛才的發(fā)現，解決以下實際問題。

1．圓形滑冰場的一周全長是150 m。如果沿著這一圈每隔15 m安裝一盞燈，一共需要裝幾盞燈？

150÷15=10（盞）

答：一共需要裝10盞燈。

教師：你能利用題目中的數據編出一道在線段上植樹（一端栽一端不栽）的問題嗎？

學生練習，交流匯報。

2．一條項鏈長60 cm，每隔5 cm有一顆水晶。這條項鏈上共有多少顆水晶？

教師：這題與我們學習的植樹問題的知識有關聯嗎？屬于哪一種情況？（在一條首尾相接的封閉曲線上植樹）你能說說在這題中誰與誰“一一對應”嗎？（水晶的顆數與間隔數）

練習校對：60÷5=12（顆）

答：這條項鏈上共有12顆水晶。

【設計意圖】第1題中利用題目中的數據編出一道在線段上植樹（一端栽一端不栽）的解決問題，進一步溝通了這兩種植樹問題之間的聯系；第2題通過提問，使學生切實感受到植樹問題的知識在實際生活中的廣泛應用，同時強化了“一一對應”的模型思想。

四、拓展延伸，靈活應用

小區(qū)花園是一個長60 m，寬40 m的長方形。現在要在花園四周栽樹，四個角上都要栽，每相鄰兩棵間隔5 m。一共要栽多少棵樹？

教師：仔細讀題并思考，這題與我們今天學習的內容有什么不同？（是在長方形的四周植樹）你能運用畫圖的方法找到這類問題中隱藏的規(guī)律嗎？

獨立思考，合作交流。

預設1：可以先求出花園的周長，再按照棵數和間隔數一一對應的方法來求。（追問：這種方法跟我們今天這節(jié)課學習的內容是？）相同的。

（60+40）×2=200（m）200÷5=40（棵）

答：一共要栽40棵樹。

教師：這樣的方法栽樹能夠保證四個角上都有樹嗎？為什么？（能夠保證，因為長和寬都是5的倍數）

預設2：也可以分別求四條邊上各栽多少棵，再求一共栽多少棵。（追問：用這種方法求的時候，要特別注意什么？）四個角上的樹不能重復計算。

教師：那我們可以把4條邊都當作一端栽一端不栽的情況來求。（你能自己畫一畫嗎？）

60÷5×2=24（棵）40÷5×2=16（棵）24+16=40（棵）

答：一共要栽40棵樹。

【設計意圖】通過從一條首尾相接的封閉曲線到長方形的轉變，繼續(xù)培養(yǎng)學生利用畫圖方法解決問題的能力。按第一種方法計算，最后的提問“這樣的方法能夠保證四個角上都有樹嗎？”意在引起學生的反思；第二種思路可以演化出多種算法，通過畫示意圖的方法能使學生更為深刻地理解此類問題中隱藏的規(guī)律。

五、全課總結，暢談收獲

教師：通過這一節(jié)的學習，你有什么收獲？跟大家交流一下。

根據學生回答，強調：在一條首尾相接的封閉曲線上植樹，所需棵數和間隔數“一一對應”，相當于在線段上植樹的問題中一端栽一端不栽的情況。