第一篇：《應用統計與隨機過程》第1次小班討論課(講解)
《 應用統計與隨機過程》第1次小班討論課
隨機過程的預測與相關性之間的關系
設隨機過程X(t)的相關函數為RX(?)?E[X(t??)X(t)]?0.8|?|/?T，若已知X(t)某一樣本函數在t??T、t?2?T的值x(?T)、x(2?T)，預測x(3?T)的值，采用最優線性預測，即：
?(3?T)?ax(?T)?bx(2?T)x最優準則為：minE{[X(3?T)?aX(?T)?bX(2?T)]2}
a,b?(3?T)。假設x(?T)?0.8、x(2?T)?0.5，求x討論：若X(t)為正態隨機過程，X1?X(?T)、X2?X(2?T)、X3?X(3?T)?(3?T)、minE{[X(3?T)?aX(?T)?bX(2?T)]2}與條服從3維聯合正態分布，則xa,b件概率密度分布函數fX3|X2X1(x3|x2,x1)的均值參數及方差參數的關系。
解：
g(a,b)?minE{[X(3?T)?aX(?T)?bX(2?T)]2}a,b?minE{X2(3?T)?a2X2(?T)?b2X2(2?T)a,b ?2aX(3?T)X(?T)?2bX(3?T)X(2?T)?2abX(?T)X(2?T)}?min{E[X2(3?T)]?a2E[X2(?T)]?b2E[X2(2?T)]a,b
?2aE[X(3?T)X(?T)]?2bE[X(3?T)X(2?T)]?2abE[X(?T)X(2?T)]}?min{RX(0)?a2RX(0)?b2RX(0)?2aRX(2?T)?2bRX(?T)?2abRX(?T)}a,ba,b?min{1?a2?b2?1.28a?1.6b?1.6ab}聯立方程?g(a,b)?g(a,b)?0、?0，求得：a?0、b?0.8。?a?b?(3?T)?bx(2?T)?0.8?0.5?0.4 xminE{[X(3?T)?aX(?T)?bX(2?T)]2}a,b
?1?02?0.82?1.28?0?1.6?0.8?1.6?0?0.8?0.36RX(?)?0，說明X(t)是零均值的。隨機矢量[X1 X2 X3]T的協方差矩陣為 K3?E{[X1 X2 X3]T[X1 X2 X3]}?E[X1X1]???E[X2X1]??E[X3X1]0.8?1??1?0.8??0.640.8E[X1X3]??RX(0)RX(?T)RX(2?T)??R(?T)? E[X2X2]E[X2X3]??R(0)R(?T)XXX???E[X3X2]E[X3X3]?RX(0)????RX(2?T)RX(?T)?0.64?0.8??1??E[X1X2]X1、X2、X3的聯合概率密度分布函數為
??x1??1????1?exp?[x x x]Kx123321?2???32?2?|K3|??x3?????1fX3X2X1(x3,x2,x1)???
??1?222??[0.36x?0.5904x?0.36x1123?exp?2?0.12963??2??0.36 ?0.576xx?0.576xx]??1223???K2?E{[X1 X2]T[X1 X2]}?E[X1X1]E[X1X2]??RX(0)RX(?T)??10.8?
?????R(?T)R(0)???0.81?E[XX]E[XX]??2122??XX??X1、X2的聯合概率密度分布函數為 fX2X1(x2,x1)?1?1x??1?1?exp?[x x]K?122???12x2?2???2?|K2|21??
??1??22exp?[x?x?1.6xx12122???2?0.36?2??0.6?條件概率密度函數
fX3|X2X1(x3|x2,x1)?fX3X2X1(x3,x2,x1)fX2X1(x3,x2,x1)?11??exp??(x3?0.8x2)2?
2??0.6?2?0.36?X1?x1、X2?x2已知情況下，X3的條件均值為0.8x2，概率密度函數在條?3?0.8x2為最大似然估計，正態分布情況下，線件均值處取得最大值，因此，x?3的變化方差為0.36,即為最優線性性最優估計與最大似然估計等價，X3圍繞x估計的精度minE{[X(3?T)?aX(?T)?bX(2?T)]2}。
a,b
第二篇：應用統計與隨機過程實驗報告
實驗三 線性系統對隨機過程的響應
一、實驗目的
通過本仿真實驗了解正態白色噪聲隨機過程通過線性系統后相關函數以及功率譜的變化；培養計算機編程能力。
二、實驗要求
采用MATLAB或VB語言進行編程
1)運用正態分布隨機數產生函數產生均值為零、根方差=1的白色噪聲樣本序列[或可參考實驗1的正態分布產生方法]{u(n)|n=1, 2,…,2000}；畫出噪聲u(n)的波形圖。2)設離散時間線性系統的差分方程為
x(n)?u(n)-0.36u(n-1)?0.85u(n-2)(n?3,4,...,2000)畫出x(n)的波形圖。
3)隨機過程x(n)的理論上的功率譜密度函數為 S(?)?|1?0.36e?j??0.85e?j2?|2 在[0,π]范圍內對w進行采樣，采樣間隔0.001π，計算S(i×
0.001π)(i=1,2,…,1000);畫出波形圖。
4)根據步驟(2)產生的數據序列x(n)計算相關函數的估計值 ?(m)?RX20001x(n)x(n?m)(m?0,1,2,3,4,5)?1998?mn?3?m 與理論值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差異。
5)根據相關函數的估計值對隨機過程的功率譜密度函數進行估計
?(0)?2R?(1)cos(?)?2R?(2)cos(2?)S1(?)?RXXX 在[0,π]范圍內對w進行采樣，采樣間隔0.001π，計算S1(i× 0.001π)(i=1,2,…,1000);畫出波形圖；比較其與理論上的功率 譜密度函數S(w)的差異。
6)仿照實驗1的方法統計數據x(n)在不同區間出現的概率,計算其理論概率，觀察二者是否基本一致。
三、實驗代碼及結果
1.運用正態分布隨機數產生函數產生均值為零、根方差=1的白色噪聲樣本序列[或可參考實驗1的正態分布產生方法]{u(n)|n=1, 2,…,2000}；畫出噪聲u(n)的波形圖。代碼：
n=1:2000;u1(n)=rand(1,2000);u2(n)=rand(1,2000);u(n)=sqrt(-2*log(u1(n))).*cos(2*pi*u2(n));stem(u,'.');title('u(n)');波形圖：
分析：運用正態分布隨機數產生函數產生均值為零、根方差?=1的白色噪聲樣本序列。
2.設離散時間線性系統的差分方程為 x(n)?u(n)-0.36u(n-1)?0.85u(n-2)(n?3,4,...,2000)畫出x(n)的波形圖。代碼：
n=3:2000;x(n)=u(n)-0.36*u(n-1)+0.85*u(n-2);stem(x,'.');title('x(n)');波形圖：
分析：正態隨機序列通過線性離散系統生成的還是正態隨機序列。3.隨機過程x(n)的理論上的功率譜密度函數為 S(?)?|1?0.36e?j??0.85e?j2?|在[0,π]范圍內對w進行采樣，采樣間隔0.001π，計算S(i×
0.001π)(i=1,2,…,1000);畫出波形圖。代碼：
i=1:1000;w=0.001*pi.*i;s=(abs(1-0.36.*exp((-1j).*w)+0.85.*exp((-2j).*w))).*(abs(1-0.36.*exp((-1j).*w)+0.85.*exp((-2j).*w)));stem(s,'.');title('s(i*0.001*pi)');波形圖：
4.根據步驟(2)產生的數據序列x(n)計算相關函數的估計值 ?(m)?RX20001?x(n)x(n?m)(m?0,1,2,3,4,5)1998?mn?3?m 與理論值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差異。代碼：
Rx=rand(1,6);for m=1:1:6 sum=0;for n=(3+m):1:2000 sum=sum+x(n)*x(n-m+1);end Rx(m)=sum/(1999-m);end S1=rand(1,1000);for i=1:1:1000 S1(i)=Rx(1)+2*Rx(2)*cos(i*0.001*pi)+2*Rx(3)*cos(2*i*0.001*pi);end figure stem(S1)運行結果：
分析：所得的數據與理論值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0存在一定的差異。5.根據相關函數的估計值對隨機過程的功率譜密度函數進行估計
?(0)?2R?(1)cos(?)?2R?(2)cos(2?)S1(?)?RXXX 在[0,π]范圍內對w進行采樣，采樣間隔0.001π，計算S1(i× 0.001π)(i=1,2,…,1000);畫出波形圖；比較其與理論上的功率 譜密度函數S(w)的差異。代碼：
N=1000;P1=0;P2=0;P3=0;P4=0;for n=3:1:N If(x(n)<-1)P1=P1+1;else if(x(n)>=-1&x(n)<=0)P2=P2+1;else if(x(n)>0&x(n)<=1)P3=P3+1;else P4=P4+1;end end end end p1=P1/N p2=P2/N p3=P3/N p4=P4/N p=p1+p2+p3+p4 figure hist(x,1000)return 運行結果：
分析：采樣計算得到的功率譜密度函數比較其與理論上的功率譜密度函數相比，沒有完全成偶對稱。數據的概率分布沒有理論那樣均勻。6.分析：
理論概率Rx = 1.8315-0.6430 0.8528-0.0473-0.0096-0.0102。所以二者基本一致。
第三篇：廣東工業大學應用數學學院《隨機過程》教學大綱
《 隨機過程 》課程教學大綱
Stochastic Process 課程代碼： 課程性質：專業基礎理論課/必修 適用專業：信息計算、統計 開課學期：5 總學時數：56
總學分數：3.5 編寫年月： 2007.5 修訂年月：2007.7 執 筆：涂鈺青
一、課程的性質和目的
本課程屬于隨機數學系列課程的組成部分。隨機數學系列課程是非數學類研究生數學公共基礎課程之一。隨機過程是隨機數學的一個高級組成部分，也是應用數學的基本研究對象之一，它研究隨機現象的數學理論和方法。在自然科學、工程技術和經濟金融領域有廣泛應用，學會求解隨機數學問題，是眾多領域的研究生的最基本的數學素養之一。通過該門課程的學習，要求學生能較深刻地理解隨機過程的基本理論、思想和方法，并能應用于解決實踐中遇到的隨機問題，從而提高學生的數學素質，加強學生開展科研工作和解決實際問題的能力。提高自己在建立隨機數學模型、分析和解決問題方面的水平和能力。
二、課程教學內容及學時分配
本課程作為隨機數學系列課程的組成部分，其主干內容包括隨機過程的基本理論、思想和方法，教學內容分為五部分：隨機過程引論、Poisson過程、Markov過程、平穩過程和Brown運動，以下對這五部分教學內容做出詳細介紹。
第一章 隨機過程引論(6學時)
本章內容：隨機過程基本概念和例子
有限維分布和數字特征
平穩過程和獨立增量過程
條件期望
矩母函數及生成函數
隨機變量序列的收斂性
本章要求
1．了解參數集的定義, 理解隨機過程的基本概念和例子；
2．了解有限維分布的概念，掌握有限維分布的計算及其數字特征； 3．理解嚴平穩和寬平穩的基本定義，掌握平穩獨立增量過程的基本定義； 4．理解條件期望的概念, 熟練掌握條件期望的性質和計算；
5．理解矩母函數和生成函數的定義, 掌握用矩母函數來計算隨機變量的某些數字特征； 6．了解隨機變量序列的收斂性定義，理解均方收斂的定義。第二章 Poisson過程(10學時)本章內容：Poisson過程
與Poisson過程相聯系的若干分布
非齊次Poisson過程
復合Poisson過程
標值Poisson
過程
空間Poisson過程
更新過程
本章要求
1．理解Poisson過程的基本定義，掌握滿足Poisson過程的4個條件；
2．了解Poisson過程樣本路徑的階梯函數服從指數分布，事件到達時間服從?分布，理解等待時間的聯合密度的計算公式；
3．理解非齊次Poisson過程的基本定義，掌握非齊次Poisson過程滿足的條件； 4．了解復合Poisson過程的基本概念； 5．了解標值Poisson過程的基本概念； 6．了解空間Poisson過程的基本定義；
7．理解更新過程的基本定義，掌握更新過程的分布。第三章 Markov過程(14學時)本章內容：Markov鏈的定義和例子
互達性和周期性
常返與瞬過
Markov鏈的極限定理與平穩分布
分支過程
連續時間Markov鏈
純生過程
生滅過程
Kolmogorov向后向前微分方程
本章要求
1．了解Markov鏈的基本定義和一步轉移概率的定義，熟練掌握轉移概率滿足條件和計算； 2．理解可達、互達與周期的定義，理解非周期不可約的Markov鏈性質，掌握互達性的等 價關系、互達的周期和周期的基本性質；
3．理解常返和順過的基本定義，理解零常返的概念，掌握常返的充要條件；
4．理解Markov鏈的基本極限定理，理解Markov鏈的平穩分布，掌握遍歷的不可約Markov鏈及其極限分布之間關系的重要定理；
5．了解分支過程的基本概念，理解分支過程中群體消亡與生長到無窮的重要定理；
6．理解連續時間Markov鏈的基本定義及其轉移概率，掌握Markov過程轉移概率滿足的條件； 7．了解純生過程的基本概念，了解Yule過程； 8．了解生滅過程的基本概念和滿足條件；
9．理解Kolmogorov向后微分方程和向前微分方程的表達式，理解Markov過程的性質。第四章平穩過程(10學時)
本章內容：平穩過程的定義和例子
遍歷性定理
平穩過程的協方差函數
幾個常見隨機信號的協方差函數
功率譜密度
一般預報理論
平穩序列的預報
本章要求
1．了解周期平穩過程的含義，理解平穩過程的基本定義、嚴平穩和寬平穩隨機過程、高斯過程和滑動平均序列；
2．了解遍歷性的基本概念，理解均值遍歷和協方差函數遍歷，掌握均值遍歷性定理和協方程函數遍歷性定理；
3．理解協方差函數的基本性質；
4．了解振幅調制波、頻率調制波和平方檢波；
5．了解確定性時間函數的能量、能譜密度、功率譜的基本概念，理解平穩過程功率譜的概念，理解Wiener-Khintchine公式；
6．了解最小均方誤差預報，理解最佳預報的基本含義；
7．了解平穩序列的預報的基本概念，理解自回歸模型的線性最佳預報和滑動平均模型的預報。第五章 Brown運動(14學時)本章內容：Brown運動的定義
Brown運動的性質
隨機積分
隨機微分
關于Brown運動的積分
常系數線性隨機微分方程
n階常系數線性隨機微分方程
Ito微分公式
一般隨機微分方程簡介
Brown運動的其他一些應用
本章要求
1．了解Brown運動的物理含義，理解Brown運動的基本定義； 2．了解Brown橋過程的含義，理解Brown運動的基本性質；
3．了解隨機積分、隨機微分的基本定義，理解Brown運動的積分及其計算；
4．了解隨機微分方程引入的物理背景，理解一般常系數線性隨機微分方程和n階常系數線性隨機微分方程； 5．了解Ito微分公式的金融背景，理解Ito微分公式；
6．了解擴散方程，理解Black-Scholes公式及其在金融中的應用； 7．了解Donsker定理、反正弦律和Brown橋在經驗分布函數中的應用。
三、課程教學的基本要求
隨機過程是一個有特色的數學分支，有自己獨特的概念和方法，內容豐富，結果深刻。是一門應用性很強的學科，教學上注意引導學生從傳統的確定性思維模式進入隨機性思維模式，使學生掌握處理在工程、經濟管理、生命科學、人文社科以及科學研究中出現的隨機問題的數學方法，強調注重理論聯系實際的教學思想，提高學生分析問題和解決問題的能力，通過對本課程的學習，學生應熟練掌握概率論與數理統計中的基本理論和分析方法，能熟練運用基本原理解決某些實際問題。
課堂教學采用和現代化的教學手段結合的形式，利用多媒體教學手段效率高的特點，結合傳統板書的講授形式。
（一）課堂講授
由于本課程有其獨特的數學概念和方法，并大量向各學科滲透并與之結合成不少邊緣學科，其教學方式應注重啟發式、引導式，課堂上應注意經常列舉概率在各領域成功應用的實例，來聯系已學過課程的有關概念、理論和方法，使同學加深對本課程的基本概念、基本理論和基本方法的理解。
（二）習題課
同時配合理論教學需要，習題課以典型例題分析為主，并適當安排開闊思路及綜合性的練習及討論，使同學通
過做題既加深對課堂講授的內容的理解，又增強運用理論知識建立數學模型、解決實際問題的能力。
（三）課外作業
課外作業的內容選擇基于對基本理論的理解和鞏固，培養綜合計算和分析、判斷能力以及計算能力。習題以計算性小題為主，平均每學時3~6道題。
（四）考試
考試采用閉卷的形式，題型包括基本概念，基本理論的選擇題，真空題題型和分析計算題。總評成績：課外作業，平時測驗，實驗占30%；期末閉卷考試占70%
四、本課程與其它課程的聯系與分工
先修課程：數學分析
高等代數
概率論、數理統計等 后續課程：時間序列
統計的預測與決策等
五、建議教材及教學參考書
[1] 方兆本、繆柏其編著，《隨機過程》（第二版），科學出版社，2004 [2] 盛驟等編，《概率論與數理統計》，浙江大學編，高等教育出版社 [3] 《概率論》第三冊——隨機過程，復旦大學，人民教育出版社，1981 [4] 錢敏平，龔光魯，《應用隨機過程》，北京大學出版社，1998 [5] S.M.Ross,《Stochastic Processes》, John Wiley & Sons
第四篇：應用隨機過程學習總結
應用隨機過程學習總結
一、預備知識：概率論
隨機過程屬于概率論的動態部分，即隨機變量隨時間不斷發展變化的過程，它以概率論作為主要的基礎知識。
1、概率空間方面，主要掌握sigma代數和可測空間，在隨機過程中由總體樣本空間所構成的集合族。符號解釋： sup表示上確界，inf表示下確界。本帖隱藏的內容
2、數字特征、矩母函數與特征函數：隨機變量完全由其概率分布來描述。其中由于概率分布較難確定，因此通常計算隨機變量的數字特征來估算分布總體，而矩母函數和特征函數便用于隨機變量的N階矩計算，同時唯一的決定概率分布。
3、獨立性和條件期望：獨立隨機變量和的分布通常由卷積來表示，對于同為分布函數的兩個函數，卷積可以交換順序，同時滿足結合律和分配率。條件期望中，最重要的是理解并記憶E(X)= E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。
二、隨機過程基本概念和類型
隨機過程是概率空間上的一族隨機變量。因為研究隨機過程主要是研究其統計規律性，由Kolmogorov定理可知，隨機過程的有限維分布族是隨機過程概率特征的完整描述。同樣，隨機過程的有限維分布也通過某些數值特征來描述。
1、平穩過程，通常研究寬平穩過程：如果X(t1)和X(t2)的自協方差函數r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即隨機過程X(t)的協方差函數r(t,s)只與時間差t-s有關，r(t)= r(-t)記為寬平穩隨機過程。
因為一條隨機序列僅僅是隨機過程的一次觀察，那么遍歷性問題便是希望將隨即過程的均值和自協方差從這一條樣本路徑中估計出來，因此寬平穩序列只需滿足其均值遍歷性原理和協方差遍歷性原理即可。
2、獨立增量過程：若X[Tn]– X[T(n-1)]對任意n均相互獨立，則稱X(t)是獨立增量過程。若獨立增量過程的特征函數具有可乘性，則其必為平穩增量過程。
兼有獨立增量和平穩增量的過程稱為平穩獨立增量過程，其均值函數一定是時間t的線性函數。
3、隨機過程的分類不是絕對的。例如，泊松過程既具有獨立增量又有平穩增量，既是連續時間的馬爾科夫鏈，又是一類特殊的更新過程。參數為lambda的泊松過程減去其均值函數同時還是一個鞅。
三、泊松過程
計數過程｛N(t), t>=0｝是參數為λ的泊松過程（λ> 0），具有平穩獨立增量性。而其任意時間長度t發生的次數服從均值為λ* t的泊松分布，即E[N(t)]= λ* t。
1、與泊松過程有關的若干分布：Xn表示第n次與第n-1次事件發生的時間間隔，定義Tn表示第n次事件發生的時刻，規定T0= 0。其中，Xn服從參數為λ的指數分布，且相互獨立。泊松過程在任何時候都是重新開始。Tn服從參數為n和λ的Γ分布
四、更新過程
更新過程{N(t),t>=0}中Xn仍保持獨立同分布性，但分布任意，不再局限于指數分布。更新過程中事件發生一次叫做一次更新，此時Xn就是第n-1次和第n次更新相距的時間，Tn是第n次更新發生的時刻，而N(t)就是t時刻之前發生的總的更新次數。
由強大數定理可知，無窮多次更新只可能在無限長的時間內發生。因此，有限長時間內最多只能發生有限次更新。
1、更新函數：更新理論中大部分內容都是有關E[N(t)]的性質。以M(t)記為E[N(t)]，稱為更新函數。此時，M(t)是關于t的函數而不是隨機變量。
2、更 新方程：若H(t)，F(t)為已知，且當t<0時，H(t)與F(t)均為0，同時當H(t)在任何區間上有界時，稱具有如下形式的方程K(t)= H(t)+ intergral(K(t-s)*dF(s))的方程稱為更新方程。當H(t)為有界函數時，更新方程存在唯一的有限區間內的有界的解K(t)= H(t)+ intergral(H(t-s)*dM(s))。
3、更新定理：Feller初等定理、Blackwell更新定理、關鍵更新定理。其中Blackwell定理指出，在遠離原點的某長度為a的區間內，更新次數的期望是a/u，u = E(Xn)。同時，Smith關鍵更新定理與Blackwell定理等價。
五、馬爾科夫鏈 馬 爾科夫鏈中的轉移概率為條件概率，同時給定過去的狀態X0，?，Xn-1和現在的狀態Xn，將來的狀態Xn+1的條件分布與過去的狀態獨立，只依賴于現在 的狀態。其中，Pij = P{Xn+1=j | Xn=i}為馬爾科夫鏈的一步轉移概率，它代表處于狀態i的過程下一步轉移到狀態j的概率。
當轉移概率Pij只與狀態i，j有關而與n無關時，稱為時齊馬爾科夫鏈，同時當狀態有限時，稱為有限鏈。轉移概率矩陣中概率非負，同時隨機矩陣中每一行的元素和為1。
記Pij(n)為n步轉移概率，它指系統從狀態i經過n步后轉移到狀態j的概率，而對中間n-1步轉移經過的狀態無要求。對n步轉移概率和轉移矩陣，有C-K方程公式。
1.狀態的分類和性質：如果狀態i經過n步轉移后到達j的概率大于0，稱狀態i可達狀態j。若同時狀態j可達狀態i，則稱i與j互通，兩兩互通的狀態有傳遞 性。我們將互通的各個狀態歸為一類，自己和自己互通，當一個馬爾科夫鏈中只有一類時稱為不可約類，否則則是可約類。
如果狀態i可以經過n步回到i狀態，則將所有n的最大公約數記為狀態i的周期，即d(i)，如果d>1，則稱i是周期的，如果d=1則為非周期，空集時為無窮大。同屬于一類的兩狀態周期相同。
記 狀態i出發經n步后首次到達j的概率為Fij(n)，則所有可能n的概率Fij(n)加起來的和記為Fij。若Fij=1，i為常返狀態，Fij< 1，i為非常返狀態或瞬時狀態。對于常返狀態i，記Ui為從i第一次回到i的期望步長，若Ui有限，稱i為正常返狀態，若趨于無窮大，則為零常返狀態。若 正常返狀態i同時還是非周期的，則稱之為遍歷狀態。若遍歷狀態且Fii(1)=1，則稱為吸收狀態，此時Ui=1。
對于同屬于一類的狀態i，j，他們同為常返狀態或非常返狀態，并且當他們是常返狀態時，又同為正常返狀態或零常返狀態。狀態i至j的n步轉移概率與首達概率間存在一定關系。同時若i與j互通且i為常返狀態，則Fji = 1。2.極限定理及平穩分布：馬爾科夫鏈的極限情況即狀態i經過無窮多步轉移后到達i的概率是多少。有結論，若狀態i是周期為d的常返狀態，則Pii(nd)= d/Ui，即經過無窮多步后回到i的概率為常數，上述定理對Pij也有效。同時，不可約的有限馬爾科夫鏈是正常返的。
若 對于馬爾科夫鏈Pj = P(Xn = j)= sum(Pi*Pij)，則概率分布Pj為平穩分布。因為此時，對于任意Xn均有相同的分布。同時，對于遍歷的馬爾科夫鏈，極限分布就是平穩分布并且還是 唯一的平穩分布。極限分布即為很長時間后，無論最開始狀態如何，最終達到某一狀態的概率。若對于遍歷的馬爾科夫鏈，該概率是穩定的趨于常數。
3.連續時間馬爾科夫鏈、Kolmogorov微分方程
六、鞅
鞅 的定義是從條件期望出發，如果每次賭博的輸贏機會是均等的，并且賭博策略依賴于前面的賭博結果，賭博是“公平的”。因此，任何賭博者都不可能通過改變賭博 策略將公平的賭博變成有利于的賭博。如果將“鞅”描述的是“公平”的賭博，下鞅和上鞅分別描述了“有利”賭博與“不利”賭博。
隨機過程｛Sn, n>=0｝稱為Fn=sigma{X0,X1,?,Xn}適應的，如果對任意n>=0，Sn是Fn可測的，即Sn可以表示為X0,X1,X2,?,Xn的函數
1.鞅的停時定理：任意隨機函數T是關于{Xn，n>=0}的停時，即{T=n}應由n時刻及其之前的信息完全確定，而不需要也無法借助將來的情況，同時T必須是一個停時。同時，{T<=n}和{T>=n}也由n時刻及其之前的信息完全確定。若T和S是兩個停時，則 T+S，min{T,S}和max{T,S}也是停時。
則在一直Fn完全信息的前提下，有界停時的期望賭本與初始賭本相同。特別的，當完全信息未知時，有界停時的期望賭本與初始賭本的期望相同。
2.鞅的一致可積性：如果對任意ε>0，存在δ>0，使得對任意A，當P(A)<δ時，有E(|Xn|Ia)<ε對任意n成立。一致可積條件一般較難驗證，因此存在兩個一致可積的充分條件。
3.鞅的收斂定理：在很一般的情況下，鞅｛Mn｝會收斂到一個隨機變量。即對于｛Mn, n>=0｝是關于｛Xn, n>=0｝的鞅，并且存在常數C有限，使得E(|Mn|) 七、布朗運動 若B(0)=0，{B(t),t>=0}有平穩獨立增量，對每個t>0，B(t)服從正態分布N(0, t)稱之為標準布朗運動。布朗運動的二次變差[B,B](t)= t。 布 朗運動是滿足以下三點性質的隨即過程，即對于B(t)-B(s)~ N(0,t-s)，B(t)-B(s)服從均值為0，方差為t-s的正態分布。當s=0時，B(t)-B(0)~N(0,t)。并且，對任意0& lt;=s 1.高斯過程：有限維分布是多元正態分布的隨機過程。布朗運動是一種特殊的高斯過程，即B(t)的任何有限維分布都是正態的。2.｛B(t)｝是鞅，｛B(t)^2t｝也是鞅，則｛X(t)｝是布朗運動。 3.布朗運動｛B(t)｝具有馬爾科夫性，容易得到B(t+s)在給定條件Ft=sigma(B(0),B(1),?,B(t))下的分布與在給定條件 B(t)下的分布是一致的。同時由布朗運動具有時齊性，即分布不隨時間的平移而變化可知，布朗運動的所有有限維分布都是時齊的。 4.布朗運動的最大值變量及反正弦率：即求始于y點的布朗運動在區間(a,b)中至少有一個零點的概率為布朗運動的反正弦率。 5.幾何布朗運動X(t)= exp｛B(t)｝為幾何布朗運動。在金融市場中，人們經常假定股票價格是按照幾何布朗運動而發生變化。 八、隨機積分 1.布朗運動的積分，Ito積分過程，Ito公式，隨機微分方程 2.Black-Scholes模型 方案設計討論過程和感想 本小組成員：錢月強、郝洋、孟根、義拉貴、范進鈺 基地分析：罕臺鎮漢高塔村西李社阿巴汗生態旅游區位于鄂爾多斯市東勝區的西部，距市區9公里，南與伊金霍洛旗毗鄰，北與達拉特旗接壤，西與泊江海子鎮相連，總面積為89.71公頃。 小組討論及初步構思設想：經過本組成員的討論，該地塊屬于鄂爾多斯市的方位，所以我們要充分考慮當地文化和風俗，結合內蒙古漢民族和蒙古族以及其他少數民族特色來規劃設計該地塊，因為也有各地游客來這里旅游，所以同時把各地文化風景融入進了旅游區。一下便是我們小組討論分析后的結果。入口：（歡樂牧場、休閑山莊）設計者：范進鈺 入口處以疊嶂水層開啟旅游窗口，分東西兩個檢票口。東南區域為運動場地、后勤服務集團、游樂場、3D影吧 運動場地（包括羽毛球場、籃球場、兒童娛樂滑梯），主要為滿足中老年人的運動需求及其攜帶的小孩玩耍。 后勤服務集團：主要服務于園區內工作人員的餐飲、會議、休憩及器物存儲。游樂場：包含各種極限娛樂設施，主要服務于青年人及情侶，其中內設多條徑路。3D影吧：免費放映內蒙古自治區發展史。 冰雪世界：主要體現出內蒙古雪域特色，是室內大型滑雪場及滑冰場，內含各種冰雕設施。科技館：作為大中小學生教育實踐基地，內含本地區歷史進程及當地特色文化。 名人雕塑園：內含內蒙古自治區詩人、歌手、作家等歷史名人雕塑，在參觀途中可與科技館相呼應。 音樂噴泉：增加休閑區的韻律感和靈動性。 休閑山莊：提供各類休閑娛樂設施，供中老年人休憩和療養。中段：（休閑綠地帶、民族游覽區、江南風情區、北方民俗區）設計者：義拉貴、孟根、郝洋 休閑綠地帶（義拉貴）：小型廣場：主要滿足人們休閑觀賞為主的綠化帶 民族游覽區（義拉貴）： 蒙古包：感受蒙古族生活。 騎馬場：提供游客騎馬的休閑娛樂設施。射擊場：提供游客休閑娛樂。 文化館：弘揚少數民族民族文化，讓旅客了解蒙族文化。佛面：發揚宗教文化。北方民俗區（郝洋）： 包括：避暑山莊、北方民俗展覽館、典當行、豐鎮民情、西藏莊園、高臺民居、林地、晉商大院、東北大院、伊斯蘭教堂、水上游玩 避暑山莊：休閑娛樂，觀賞風景。 北方民俗展覽館：使游客更加詳細了解北方各區域文話。典當行：凸顯古典氣息，與已經建好的建筑互相呼應。 豐鎮民情：為游客提供具有地方特色食品、小吃，豐鎮月餅極具特色。西藏莊園：為已經建好的設施。 高臺民居：屬于新疆特色居住區，讓游客對中國西北部民居有所了解。林地：與結尾處戶外娛樂去相互呼應，起到障景作用。晉商大院：屬于已經建好的建筑。 東北大院：為游客提供休閑的住所，同時可以對東北人的生活習性有所了解。伊斯蘭教堂：為有信仰的游客提供場地，同時其他游客可以對此進行一定程度的了解。水上游玩：為游客提供水上娛樂及硬地休憩。 江南風情區（孟根）：北京四合院：為游客提供具有北京風味的飲食和住所。安徽閣：為游客提供安徽風味吃住行。 客家土樓：大型住宿區，也為游客提供客家風味的飲食 江南風清園：提供江南風味，提供住宿和飲食 陜西窯洞：體會陜西本地風情 江南風情步行街：集購物、飲食、交通、娛樂于一體的街道，便于人們購物，促進當地經濟。結尾：（農家樂體驗區、戶外娛樂區）設計者：錢月強 農家樂體驗區：淳樸的農家樂讓來此旅游的游客感受到鄉村的氣息，農家樂采摘區讓大家既有體會又有親身參與其中的樂趣。 戶外娛樂區：現在的人們已經缺少戶外鍛煉和游玩的時間，所以來到旅游區自然不能缺少戶外娛樂區的規劃了，為了滿足各類需求，有設計專門的燒烤篝火晚會，雕塑廣場、巨型長廊供游客觀光游玩，為了讓人們了解內蒙文化，還設計了大型摔跤場，感受內蒙獨有的文化。第五篇：方案設計討論過程與感想
點擊咨詢 