第一篇：勾股定理知識(shí)總結(jié)
勾股定理知識(shí)總結(jié)
一：勾股定理
直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題
二：勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：
用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；
（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2 三：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系 區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理； 聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。四：互逆命題的概念 如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo) 1．勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。 3．勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過程中易犯的主要錯(cuò) 誤。 4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解． 我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理） 勾股定理知識(shí)總結(jié) 一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)： 1：勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用： （1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在?ABC中，則c?，?C?90?，b?，a?）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊 （3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題 2：勾股定理的證明 勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法 用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是 ①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變 ②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 請(qǐng)你根據(jù)圖形寫出勾股定理的證明過程： b acab ADCaDbcEbABbccacBbEaCa3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。證明：如果三角形的三邊長：a、b、c，滿足a+b＝c，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 要點(diǎn)詮釋： 勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意： （1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c； （2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形 22 2（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2 3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系 區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理； 聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念 如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo) 1．勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。 3．勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過程中易犯的主要錯(cuò)誤。 4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2＝c2，?那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解． 6：勾股數(shù) ①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2?b2?c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù) ②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n2?1,2n,n2?1（n?2,n為正整數(shù)）； 2n?1,2n?2n,2n?2n?1（n為正整數(shù)）m?n,2mn,m?n （m?n,m，n為正整數(shù) （一）結(jié)合三角形： 1.已知?ABC的三邊a、b、c滿足(a?b)?(b?c)?0，則?ABC為 2.在?ABC中，若a=（b+c）（b-c），則?ABC是三角形，且?90? 3.在?ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長為 1.已知x?12?x?y?25 與z?10z?25互為相反數(shù)，試判斷以x、y、z為三邊的三 角形的形狀。 2.已知：在?ABC中，三條邊長分別為a、b、c，a=n?1，b=2n，c=n?1（n>1）試說明：?C=90?。 2b、3.若?ABC的三邊a、試判斷?ABCc滿足條件a?b?c?338?10a?24b?26c，的形狀。 （二）、實(shí)際應(yīng)用： 1.梯子滑動(dòng)問題： （1）一架長2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7m（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子底端將向左滑動(dòng)米 （2）如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC⊥BC，AC=BC，當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)y米，則x與y的大小關(guān)系是（） A.x?yB.x?yC.x?yD.不能確定 （3）小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子吹到地面上還多1 m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面，試問旗桿的高度為米 2.直角邊與斜邊和斜邊上的高的關(guān)系： 直角三角形兩直角邊長為a，b，斜邊上的高為h，則下列式子總能成立的是（）A.ab?b2B.a2?b2?2h2C.變： 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1） 1a ? 1b ? 1h D.1a ? 1b ? 1h abh （2）a?b?c?h ? ? C （3）以a?b，h，c?h為三邊的三角形是直角三角形 3.爬行距離最短問題： 1.如圖，一塊磚寬AN=5㎝，長ND=10㎝，CD上的點(diǎn)F距地面的高FD=8㎝，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，要爬行的最短路線是cm 2.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只昆蟲想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是分米？ 3.如圖，一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則它走過的路程最短為（） A D B A.3aB.1? ? 2aC.3aD.5a ? A Q B （三）方向問題： 1.一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接著，它又掉頭向正東方向航行15千米． ⑴ 此時(shí)輪船離開出發(fā)點(diǎn)多少km? ⑵ 若輪船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此過程中輪船共耗油多少升? （四）旋轉(zhuǎn)問題： 1.如圖，?ABC為等腰直角三角形，?BAC=90?，將?ABH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?ACH?處，若AH=3㎝，試求出H、H?兩點(diǎn)之間的距離。 2.如圖所示，已知在?ABC中，AB=AC，?BAC=90?，D是BC上任一點(diǎn)，求證：BD?CD （五）折疊問題 1.如圖，矩形紙片ABCD的長AD=9㎝，寬AB=3㎝，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后DE的長是 2.如圖，在長方形ABCD中，將?ABC沿AC對(duì)折至?AEC位置，CE與AD交于點(diǎn)F。（1）試說明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的長 ?2AD。 勾股定理（基礎(chǔ)） 撰稿：吳婷婷 責(zé)編：常春芳 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想； 2．能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長（只限于常用的數(shù)）； 3．通過對(duì)勾股定理的探索解決簡單的實(shí)際問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題． 【要點(diǎn)梳理】 【高清課堂 勾股定理 知識(shí)要點(diǎn)】 要點(diǎn) 一、勾股定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a?b?c． 要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系． （2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的． （3）理解勾股定理的一些變式： 222a2?c2?b2，b2?c2?a2，c2??a?b??2ab． 要點(diǎn) 二、勾股定理的證明 方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形． 圖（1）中，所以 ． 2方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形． 圖（2）中，所以 ． 方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形． 要點(diǎn) 三、勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊； 2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題； 3． 與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算； 4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用． 【典型例題】 類型 一、勾股定理的直接應(yīng)用，所以． 1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a． 【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理a?b?c來求未知邊長． 【答案與解析】 解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，a?b?c，a＝5，b＝12，所以c?a?b?5?12?25?144?169．所以c＝13．（2）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，a?b?c，c＝26，b＝24，所以a?c?b?26?24?676?576?100．所以a＝10． 【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再?zèng)Q定用勾股原式還是變式． 舉一反三： 【變式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c． （1）已知b＝6，c＝10，求a； （2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c． 【答案】 解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ a?c?b?10?6?64，∴ a＝8． （2）設(shè)a?3k，c?5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ a?b?c． 即(3k)?32?(5k)． 解得k＝8． ∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40． 類型 二、與勾股定理有關(guān)的證明 ****** 2、如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中線，MN⊥AB，垂足為N，試說明AN?BN?AC． 222 【答案與解析】 解：因?yàn)镸N⊥AB，所以AN?MN?AM，BN?MN?MB，所以AN?BN?AM?BM． 因?yàn)锳M是中線，所以MC＝MB． 又因?yàn)椤螩＝90°，所以在Rt△AMC中，AM?MC?AC，所以AN?BN?AC． 【總結(jié)升華】證明帶有平方的問題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．若沒有直角三角形，常常通過作垂線構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理證明． 舉一反三： 【變式】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（） A．AC2B．BD 2C．BC2D．DE2 ***2 【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得，選A． 類型 三、與勾股定理有關(guān)的線段長 【高清課堂 勾股定理 例3】 3、如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F 處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D； 【解析】 解：設(shè)AB＝x，則AF＝x，∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6． 2【總結(jié)升華】折疊問題包括“全等形”、“勾股定理”兩大問題，最后通過勾股定理求解． 類型 四、與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算 4、如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（） A．6 B．5 C．11 D．16 【思路點(diǎn)撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積． 【答案】D 【解析】 解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，??ABC??CDE?∵??ACB??DEC ?AC?CE?∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB?BC?AC ∴AB?DE?AC ∴b的面積為5+11=16，故選D． 【總結(jié)升華】此題巧妙的運(yùn)用了勾股定理解決了面積問題，考查了對(duì)勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵． 類型 五、利用勾股定理解決實(shí)際問題 5、一圓形飯盒，底面半徑為8cm，高為12cm，若往里面放雙筷子（精細(xì)不計(jì)），那么筷子最長不超過多少，可正好蓋上盒蓋？ 222222 【答案與解析】 解：如圖所示，因?yàn)轱埡械酌姘霃綖?cm，所以底面直徑DC長為16cm． 則在Rt△BCD中，BD2?DC2?BC2=162+122=400，所以BD?20(cm)． 答：筷子最長不超過20cm，可正好蓋上盒蓋． 【總結(jié)升華】本題實(shí)質(zhì)是求飯盒中任意兩點(diǎn)間的最大距離，其最大距離是以飯盒兩底面的一對(duì)平行直徑和相應(yīng)的兩條高組成的長方形的對(duì)角線長． 舉一反三： 【變式】如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？ 【答案】 解：因?yàn)槠鞐U是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴ AB?BC?AC?5?12?169． ∴ AB?13(m)． ∴ BC＋AB＝5＋13＝18(m)． ∴ 旗桿折斷前的高度為18m． 22222 拓展時(shí)間與空間 放手讓學(xué)生發(fā)展 ————《勾股定理》教學(xué)總結(jié) 新課程改革要求我們：將數(shù)學(xué)教學(xué)置于學(xué)生自主探究與合作交流的數(shù)學(xué)活動(dòng)中；將知識(shí)的獲取與能力的培養(yǎng)置于學(xué)生形式各異的探索經(jīng)歷中；關(guān)注學(xué)生探索過程中的情感體驗(yàn)，并發(fā)展實(shí)踐能力及創(chuàng)新意識(shí)。為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)及可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。為此我在教學(xué)設(shè)計(jì)中注重了以下幾點(diǎn)： 一、引經(jīng)據(jù)典，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 上這節(jié)課前一個(gè)星期教師布置給學(xué)生任務(wù)：查有關(guān)勾股定理的資料（可上網(wǎng)查，也可查閱報(bào)刊、書籍）.提前兩三天由幾位學(xué)生匯總(教師可適當(dāng)指導(dǎo))。這樣可使學(xué)生在上這節(jié)課前就對(duì)勾股定理歷史背景有全面的理解，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到勾股定理的重要性，學(xué)習(xí)勾股定理是非常必要的，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)生也是一次愛國主義教育，培養(yǎng)民族自豪感，激勵(lì)他們奮發(fā)向上．同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力及歸類總結(jié)能力。 二、大膽放手，注重了學(xué)生的自主探究 首先，創(chuàng)設(shè)情境，由實(shí)例引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然后通過動(dòng)手操作、大膽猜想、勇于驗(yàn)證等一系列自主探究、合作交流活動(dòng)得出定理，并運(yùn)用定理進(jìn)一步鞏固提高。體現(xiàn)了學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。 對(duì)于拼圖驗(yàn)證，學(xué)生還沒有接觸過，所以在教學(xué)中教師給予學(xué)生適當(dāng)指導(dǎo)與鼓勵(lì)。充分體現(xiàn)了教師是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。 三、拓展思維，培養(yǎng)了學(xué)生的各種能力 課前查資料，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力及歸類總結(jié)能力；課上的探究培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦的能力、觀察能力、猜想歸納總結(jié)的能力、合作交流的能力…… 四、開闊視野，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí) 數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，而又應(yīng)用于實(shí)踐。因此從實(shí)例引入，最后通過定理解決引例中的問題，并在定理的應(yīng)用中，讓學(xué)生舉生活中的例子，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。 整節(jié)課都是在生生互動(dòng)、師生互動(dòng)的和諧氣氛中進(jìn)行的，在教師的鼓勵(lì)、引導(dǎo)下學(xué)生進(jìn)行了自主學(xué)習(xí)。學(xué)生上講臺(tái)表達(dá)自己的思路、解法，體驗(yàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了細(xì)心觀察、認(rèn)真思考的態(tài)度。但本節(jié)課拼圖驗(yàn)證的方法以前學(xué)生沒接觸過，稍嫌吃力。另在舉勾股定理在生活中的例子時(shí)，學(xué)生思路不夠開闊。以后要多培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作能力及應(yīng)用拓展能力，使學(xué)生思路更開闊。 勾股定理專題 第 1 講 一、《標(biāo)準(zhǔn)》要求 1．在研究圖形性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)等過程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。2．在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力。 3．經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性。4．探究勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用他們解決一些簡單的實(shí)際問題。 二、教學(xué)目標(biāo)： （一）、知識(shí)與技能： 經(jīng)歷勾股定理及其逆定理的探索過程，了解勾股定理的各種探究法方法及其內(nèi)在聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，解和掌握勾股定理內(nèi)容及簡單應(yīng)用，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和推理能力。 （二）、過程與方法： 1．掌握勾股定理及其逆定理的內(nèi)容； 2．能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長（只限于常用的數(shù)）； 3．通過對(duì)勾股定理的探索解決簡單的實(shí)際問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題． （三）、情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過實(shí)例了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。 三、教學(xué)重點(diǎn) 勾股定理及其逆定理在解決數(shù)學(xué)問題中的靈活應(yīng)用 四、教學(xué)難點(diǎn) 勾股定理及其逆定理的證明 五、教學(xué)過程 一、引入新課 據(jù)傳兩千多年前的一天（公元前580-490年左右），古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來，原來朋友家的地面是由許多直角三角形組成的圖案，黑白相間，美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟地站了起來，大笑著跑回去了，原來，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系。 那么黑白相間的地磚上的正方形之間存在怎樣的關(guān)系呢？讓我們一起來探索！ 勾股定理被稱為“幾何學(xué)的基石”，勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。 別名：商高定理、畢達(dá)哥拉斯定理、百牛定理。1（1）、動(dòng)手畫一個(gè)直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用 刻度尺量出AB的長。（2）、再畫一個(gè)兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長 你能觀察出直角三角形的三邊關(guān)系嗎？看不出來的話我們先來看一下下面的活動(dòng)。 4.如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個(gè)單位長度和2.4個(gè)單位長度，上面的猜想關(guān)系還成立嗎？ 二、新知傳授 通過上面的活動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。因?yàn)槲覈糯阎苯侨切屋^短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此我國把上面的這個(gè)結(jié)論稱為勾股定理。 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a,b,c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a?b?c。22 勾股定理的一些變式： 2a2?c2?b2，b2?c2?a2，c??a?b??2ab． 2勾股定理的證明 勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證明的，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． 方法一：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形． ，所以． (這個(gè)方法叫加菲爾德證法。加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。) 方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形． 圖（1）中，所以 ． 這是加菲爾德證法變式 如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對(duì)角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個(gè)梯形拼在一起，就變?yōu)榱舜俗C明方法。 大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積，即: 方法三：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形． 圖（2）中，所以 ． (這個(gè)方法是以前一個(gè)叫趙爽的人對(duì)這個(gè)圖做出的描述，所以這個(gè)圖又叫趙爽弦圖，用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言描述就是大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積。) 那么勾股定理到底可以用來干什么呢？ 勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊； 2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題； 3． 與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算； 4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用． 類型 一、勾股定理的直接應(yīng)用 例 1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c． 5（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a． 【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理a2?b2?c2來求未知邊長． 解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，a＝5，b＝12，所以c2?a2?b2?52?122?25?144?169．所以c＝13． （2）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，c＝26，b＝24，所以a2?c2?b2?262?242?676?576?100．所以a＝10． 練習(xí)1 △ABC，AC=6，BC=8,當(dāng)AB=________時(shí)，∠C=90° 2.在△ABC中，?A?900，則下列式子中不成立的是（）A.BC2?AB2?AC 2B.AC2?BC2-AB2 B.AB2?BC2?AC2 D.AB2?AC2?BC2 3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a； （2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c． 【答案】 解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ a?c?b?10?6?64，∴ a＝8．（2）設(shè)a?3k，c?5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ a?b?c． 222(3k)?32?(5k)即． 22222222解得k＝8． ∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40． 類型 二、與勾股定理有關(guān)的證明 例 2、（2015?豐臺(tái)區(qū)一模）閱讀下面的材料 勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形． 由圖1可以得到（a+b）=4×222 2，整理，得a+2ab+b=2ab+c． 222所以a+b=c． 如果把圖1中的四個(gè)全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請(qǐng)你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空： 由圖2可以得到 ，整理，得 ，所以 ． 【答案與解析】 證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得 2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2． 故答案是：4?1ab?（b-a)2?c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 2 練習(xí)2 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（） A．AC2 B．BD2 C．BC2 D．DE2 【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得，選A． 類型 三、與勾股定理有關(guān)的線段長 例 3、如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F 處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D； 【解析】 解：設(shè)AB＝x，則AF＝x，∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6． 2類型 四、與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算 例 4、如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（） A．6 B．5 C．11 D．16 【思路點(diǎn)撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積． 【答案】D 【解析】 解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵??ABC??CDE???ACB??DEC?AC?CE? ∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB?BC?AC ∴AB?DE?AC ∴b的面積為5+11=16，故選D． 練習(xí)4如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，請(qǐng)?jiān)趫D中找出若干圖形，使得它們的面積之和恰好等于最大正方形①的面積，嘗試給出兩種以上的方案。22222 24.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，則S=（） A.25 B.31 C.32 D.40 【答案】解：如圖，由題意得： AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故選B． 類型 五、利用勾股定理解決實(shí)際問題 例 5、有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過一個(gè)長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對(duì)角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高． 【答案與解析】 解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得： x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺） 答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺． 練習(xí)5 如圖，某儲(chǔ)藏室入口的截面是一個(gè)半徑為1.2m的半圓形，一個(gè)長、寬、高分別是1.2m,1m,0.8m的箱子能放進(jìn)儲(chǔ)藏室嗎？ 5.如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？ 【答案】 解：因?yàn)槠鞐U是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴ AB?BC?222AC?52?122?169 ．∴ AB?13(m)． ∴ BC＋AB＝5＋13＝18(m)． ∴ 旗桿折斷前的高度為18m．第二篇：勾股定理知識(shí)總結(jié)
第三篇：勾股定理(基礎(chǔ))知識(shí)講解
第四篇：勾股定理教學(xué)總結(jié)（范文）
第五篇：勾股定理教案
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