第一篇：勾股定理知識總結

勾股定理知識總結

一．基礎知識點：

1：勾股定理

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）

要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在?ABC中，則c?，?C?90?，b?，a?）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊

（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題

2：勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法

用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是

①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變

②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理

請你根據圖形寫出勾股定理的證明過程：

b

acab

ADCaDbcEbABbccacBbEaCa3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關系a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。證明：如果三角形的三邊長：a、b、c，滿足a+b＝c，那么這個三角形是直角三角形。

要點詮釋：

勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：

（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；

（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形 22

2（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2

3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系

區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理； 聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。4：互逆命題的概念

如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。規律方法指導

1．勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。

3．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。

4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關系：a2+b2＝c2，?那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對“數形結合”的理解． 6：勾股數

①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即a2?b2?c2中，a，b，c為正整數時，稱a，b，c為一組勾股數 ②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代數式表示n組勾股數：n2?1,2n,n2?1（n?2,n為正整數）；

2n?1,2n?2n,2n?2n?1（n為正整數）m?n,2mn,m?n

（m?n,m，n為正整數

（一）結合三角形：

1.已知?ABC的三邊a、b、c滿足(a?b)?(b?c)?0，則?ABC為

2.在?ABC中，若a=（b+c）（b-c），則?ABC是三角形，且?90?

3.在?ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長為

1.已知x?12?x?y?25 與z?10z?25互為相反數，試判斷以x、y、z為三邊的三

角形的形狀。

2.已知：在?ABC中，三條邊長分別為a、b、c，a=n?1，b=2n，c=n?1（n>1）試說明：?C=90?。

2b、3.若?ABC的三邊a、試判斷?ABCc滿足條件a?b?c?338?10a?24b?26c，的形狀。

（二）、實際應用： 1.梯子滑動問題：

（1）一架長2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7m（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子底端將向左滑動米

（2）如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC⊥BC，AC=BC，當梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時，梯足B沿CB方向滑動y米，則x與y的大小關系是（）

A.x?yB.x?yC.x?yD.不能確定

（3）小明想知道學校旗桿的高度，他發現旗桿上的繩子吹到地面上還多1 m，當他把繩子的下端拉開5米后，發現繩子下端剛好觸到地面，試問旗桿的高度為米

2.直角邊與斜邊和斜邊上的高的關系：

直角三角形兩直角邊長為a，b，斜邊上的高為h，則下列式子總能成立的是（）A.ab?b2B.a2?b2?2h2C.變：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，設AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1）

1a

?

1b

?

1h

D.1a

?

1b

?

1h

abh

（2）a?b?c?h

?

?

C

（3）以a?b，h，c?h為三邊的三角形是直角三角形

3.爬行距離最短問題：

1.如圖，一塊磚寬AN=5㎝，長ND=10㎝，CD上的點F距地面的高FD=8㎝，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，要爬行的最短路線是cm

2.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩相對的端點，A點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B點的最短路程是分米？

3.如圖，一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從點A爬到點B，則它走過的路程最短為（）

A

D

B

A.3aB.1?

?

2aC.3aD.5a

?

A

Q

B

（三）方向問題：

1.一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接著，它又掉頭向正東方向航行15千米．

⑴ 此時輪船離開出發點多少km?

⑵ 若輪船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此過程中輪船共耗油多少升?

（四）旋轉問題：

1.如圖，?ABC為等腰直角三角形，?BAC=90?，將?ABH繞點A逆時針旋轉到?ACH?處，若AH=3㎝，試求出H、H?兩點之間的距離。

2.如圖所示，已知在?ABC中，AB=AC，?BAC=90?，D是BC上任一點，求證：BD?CD

（五）折疊問題

1.如圖，矩形紙片ABCD的長AD=9㎝，寬AB=3㎝，將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的長是

2.如圖，在長方形ABCD中，將?ABC沿AC對折至?AEC位置，CE與AD交于點F。（1）試說明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的長

?2AD。

第二篇：勾股定理知識總結

勾股定理知識總結

一：勾股定理

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊

（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題

二：勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關系a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：

用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形應注意：（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；

（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2

三：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系

區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；

聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。四：互逆命題的概念

如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。規律方法指導

1．勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。

3．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯 誤。

4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關系：a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法．

5.?應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對“數形結合”的理解．

我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）

第三篇：勾股定理(基礎)知識講解

勾股定理（基礎）

撰稿：吳婷婷 責編：常春芳

【學習目標】

1．掌握勾股定理的內容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數形結合的思想； 2．能夠運用勾股定理求解三角形中相關的邊長（只限于常用的數）；

3．通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題． 【要點梳理】

【高清課堂 勾股定理 知識要點】 要點

一、勾股定理

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a?b?c．

要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系．

（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的．

（3）理解勾股定理的一些變式：

222a2?c2?b2，b2?c2?a2，c2??a?b??2ab．

要點

二、勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．

圖（1）中，所以

．

2方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．

圖（2）中，所以

．

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．

要點

三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊； 2.用于解決帶有平方關系的證明問題； 3． 與勾股定理有關的面積計算； 4．勾股定理在實際生活中的應用． 【典型例題】

類型

一、勾股定理的直接應用，所以．

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．

【思路點撥】利用勾股定理a?b?c來求未知邊長． 【答案與解析】

解：（1）因為△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，a＝5，b＝12，所以c?a?b?5?12?25?144?169．所以c＝13．（2）因為△ABC中，∠C＝90°，a?b?c，c＝26，b＝24，所以a?c?b?26?24?676?576?100．所以a＝10．

【總結升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再決定用勾股原式還是變式． 舉一反三：

【變式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．

（1）已知b＝6，c＝10，求a；

（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c． 【答案】 解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ a?c?b?10?6?64，∴ a＝8．

（2）設a?3k，c?5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ a?b?c． 即(3k)?32?(5k)．

解得k＝8．

∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．

類型

二、與勾股定理有關的證明 ******

2、如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中線，MN⊥AB，垂足為N，試說明AN?BN?AC． 222

【答案與解析】

解：因為MN⊥AB，所以AN?MN?AM，BN?MN?MB，所以AN?BN?AM?BM． 因為AM是中線，所以MC＝MB．

又因為∠C＝90°，所以在Rt△AMC中，AM?MC?AC，所以AN?BN?AC．

【總結升華】證明帶有平方的問題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進行轉化．若沒有直角三角形，常常通過作垂線構造直角三角形，再用勾股定理證明． 舉一反三：

【變式】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（）

A．AC2B．BD

2C．BC2D．DE2 ***2

【答案】連接AD構造直角三角形，得，選A．

類型

三、與勾股定理有關的線段長 【高清課堂 勾股定理 例3】

3、如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F 處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D； 【解析】

解：設AB＝x，則AF＝x，∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6．

2【總結升華】折疊問題包括“全等形”、“勾股定理”兩大問題，最后通過勾股定理求解． 類型

四、與勾股定理有關的面積計算

4、如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）

A．6 B．5 C．11 D．16 【思路點撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積． 【答案】D 【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，??ABC??CDE?∵??ACB??DEC ?AC?CE?∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB?BC?AC ∴AB?DE?AC

∴b的面積為5+11=16，故選D． 【總結升華】此題巧妙的運用了勾股定理解決了面積問題，考查了對勾股定理幾何意義的理解能力，根據三角形全等找出相等的量是解答此題的關鍵． 類型

五、利用勾股定理解決實際問題

5、一圓形飯盒，底面半徑為8cm，高為12cm，若往里面放雙筷子（精細不計），那么筷子最長不超過多少，可正好蓋上盒蓋？ 222222

【答案與解析】

解：如圖所示，因為飯盒底面半徑為8cm，所以底面直徑DC長為16cm．

則在Rt△BCD中，BD2?DC2?BC2=162+122=400，所以BD?20(cm)．

答：筷子最長不超過20cm，可正好蓋上盒蓋． 【總結升華】本題實質是求飯盒中任意兩點間的最大距離，其最大距離是以飯盒兩底面的一對平行直徑和相應的兩條高組成的長方形的對角線長． 舉一反三：

【變式】如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？

【答案】

解：因為旗桿是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴ AB?BC?AC?5?12?169． ∴ AB?13(m)．

∴ BC＋AB＝5＋13＝18(m)． ∴ 旗桿折斷前的高度為18m． 22222

第四篇：勾股定理教學總結（范文）

拓展時間與空間 放手讓學生發展

————《勾股定理》教學總結

新課程改革要求我們：將數學教學置于學生自主探究與合作交流的數學活動中；將知識的獲取與能力的培養置于學生形式各異的探索經歷中；關注學生探索過程中的情感體驗，并發展實踐能力及創新意識。為學生的終身學習及可持續發展奠定堅實的基礎。為此我在教學設計中注重了以下幾點：

一、引經據典，激發了學生的學習興趣

上這節課前一個星期教師布置給學生任務：查有關勾股定理的資料（可上網查，也可查閱報刊、書籍）.提前兩三天由幾位學生匯總(教師可適當指導)。這樣可使學生在上這節課前就對勾股定理歷史背景有全面的理解，從而使學生認識到勾股定理的重要性，學習勾股定理是非常必要的，激發學生的學習興趣，對學生也是一次愛國主義教育，培養民族自豪感，激勵他們奮發向上．同時培養學生的自學能力及歸類總結能力。

二、大膽放手，注重了學生的自主探究

首先，創設情境，由實例引入，激發學生的學習興趣，然后通過動手操作、大膽猜想、勇于驗證等一系列自主探究、合作交流活動得出定理，并運用定理進一步鞏固提高。體現了學生是數學學習的主人，人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。

對于拼圖驗證，學生還沒有接觸過，所以在教學中教師給予學生適當指導與鼓勵。充分體現了教師是學生數學學習的組織者、引導者、合作者。

三、拓展思維，培養了學生的各種能力

課前查資料，培養學生的自學能力及歸類總結能力；課上的探究培養學生的動手動腦的能力、觀察能力、猜想歸納總結的能力、合作交流的能力……

四、開闊視野，培養了學生的數學應用意識

數學來源于實踐，而又應用于實踐。因此從實例引入，最后通過定理解決引例中的問題，并在定理的應用中，讓學生舉生活中的例子，充分體現了數學的應用價值。

整節課都是在生生互動、師生互動的和諧氣氛中進行的，在教師的鼓勵、引導下學生進行了自主學習。學生上講臺表達自己的思路、解法，體驗了數形結合的數學思想方法，培養了細心觀察、認真思考的態度。但本節課拼圖驗證的方法以前學生沒接觸過，稍嫌吃力。另在舉勾股定理在生活中的例子時，學生思路不夠開闊。以后要多培養學生實驗操作能力及應用拓展能力，使學生思路更開闊。

第五篇：勾股定理教案

勾股定理專題 第 1 講

一、《標準》要求

1．在研究圖形性質和運動等過程中，進一步發展空間觀念。2．在多種形式的數學活動中，發展合情推理能力。

3．經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性。4．探究勾股定理及其逆定理，并能運用他們解決一些簡單的實際問題。

二、教學目標：

（一）、知識與技能：

經歷勾股定理及其逆定理的探索過程，了解勾股定理的各種探究法方法及其內在聯系，體驗數形結合的思想，解和掌握勾股定理內容及簡單應用，進一步發展空間觀念和推理能力。

（二）、過程與方法：

1．掌握勾股定理及其逆定理的內容；

2．能夠運用勾股定理求解三角形中相關的邊長（只限于常用的數）；

3．通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題．

（三）、情感態度與價值觀

通過實例了解勾股定理的歷史與應用，體會勾股定理的文化價值。

三、教學重點

勾股定理及其逆定理在解決數學問題中的靈活應用

四、教學難點

勾股定理及其逆定理的證明

五、教學過程

一、引入新課

據傳兩千多年前的一天（公元前580-490年左右），古希臘著名的數學家畢達哥拉斯到朋友家做客，在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發起呆來，原來朋友家的地面是由許多直角三角形組成的圖案，黑白相間，美觀大方。主人看到畢達哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達哥拉斯突然恍然大悟地站了起來，大笑著跑回去了，原來，他發現了地磚上的三個正方形存在某種數學關系。

那么黑白相間的地磚上的正方形之間存在怎樣的關系呢？讓我們一起來探索！

勾股定理被稱為“幾何學的基石”，勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

別名：商高定理、畢達哥拉斯定理、百牛定理。1（1）、動手畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用

刻度尺量出AB的長。（2）、再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長

你能觀察出直角三角形的三邊關系嗎？看不出來的話我們先來看一下下面的活動。

4.如果直角三角形的兩直角邊分別為1.6個單位長度和2.4個單位長度，上面的猜想關系還成立嗎？

二、新知傳授

通過上面的活動，可以發現：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。因為我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此我國把上面的這個結論稱為勾股定理。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a,b,c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a?b?c。22

勾股定理的一些變式：

2a2?c2?b2，b2?c2?a2，c??a?b??2ab．

2勾股定理的證明

勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化進行證明的，體現了數形結合的思想．

方法一：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．

，所以．

(這個方法叫加菲爾德證法。加菲爾德在證出此結論5年后，成為美國第20任總統，所以人們又稱其為“總統證法”。)

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．

圖（1）中，所以

．

這是加菲爾德證法變式 如果將大正方形邊長為c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個梯形拼在一起，就變為了此證明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即:

方法三：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．

圖（2）中，所以

．

(這個方法是以前一個叫趙爽的人對這個圖做出的描述，所以這個圖又叫趙爽弦圖，用現代的數學語言描述就是大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個三角形的面積。)

那么勾股定理到底可以用來干什么呢？

勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊； 2.用于解決帶有平方關系的證明問題； 3． 與勾股定理有關的面積計算； 4．勾股定理在實際生活中的應用．

類型

一、勾股定理的直接應用

例

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．

5（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．

【思路點撥】利用勾股定理a2?b2?c2來求未知邊長．

解：（1）因為△ABC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，a＝5，b＝12，所以c2?a2?b2?52?122?25?144?169．所以c＝13．

（2）因為△ABC中，∠C＝90°，a2?b2?c2，c＝26，b＝24，所以a2?c2?b2?262?242?676?576?100．所以a＝10．

練習1

△ABC，AC=6，BC=8,當AB=________時，∠C=90°

2.在△ABC中，?A?900，則下列式子中不成立的是（）A.BC2?AB2?AC

2B.AC2?BC2-AB2 B.AB2?BC2?AC2

D.AB2?AC2?BC2

3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．（1）已知b＝6，c＝10，求a；

（2）已知a:c?3:5，b＝32，求a、c．

【答案】

解：（1）∵ ∠C＝90°，b＝6，c＝10，∴ a?c?b?10?6?64，∴ a＝8．（2）設a?3k，c?5k，∵ ∠C＝90°，b＝32，∴ a?b?c．

222(3k)?32?(5k)即． 22222222解得k＝8．

∴ a?3k?3?8?24，c?5k?5?8?40．

類型

二、與勾股定理有關的證明

例

2、（2015?豐臺區一模）閱讀下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．

由圖1可以得到（a+b）=4×222

2，整理，得a+2ab+b=2ab+c．

222所以a+b=c．

如果把圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由圖2可以得到

，整理，得

，所以

．

【答案與解析】

證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2． 故答案是：4?1ab?（b-a)2?c2；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2． 2

練習2 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點，DE⊥AB于E，則AE2-BE2等于（）

A．AC2

B．BD2

C．BC2

D．DE2

【答案】連接AD構造直角三角形，得，選A．

類型

三、與勾股定理有關的線段長

例

3、如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F 處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D； 【解析】

解：設AB＝x，則AF＝x，∵ △ABE折疊后的圖形為△AFE，∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，22在Rt△ABC中，x?8??x?4?，解得x?6．

2類型

四、與勾股定理有關的面積計算

例

4、如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）

A．6

B．5

C．11

D．16 【思路點撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積． 【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵??ABC??CDE???ACB??DEC?AC?CE?

∴△ABC≌△CDE ∴BC=DE ∵AB?BC?AC ∴AB?DE?AC

∴b的面積為5+11=16，故選D．

練習4如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，請在圖中找出若干圖形，使得它們的面積之和恰好等于最大正方形①的面積，嘗試給出兩種以上的方案。22222

24.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，則S=（）

A.25 B.31 C.32 D.40

【答案】解：如圖，由題意得： AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故選B．

類型

五、利用勾股定理解決實際問題

例

5、有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．

【思路點撥】根據題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構成直角三角形，運用勾股定理可求出門高．

【答案與解析】

解：設門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）

答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺．

練習5

如圖，某儲藏室入口的截面是一個半徑為1.2m的半圓形，一個長、寬、高分別是1.2m,1m,0.8m的箱子能放進儲藏室嗎？

5.如圖所示，一旗桿在離地面5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折斷前有多高？

【答案】

解：因為旗桿是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5m，AC＝12m，∴

AB?BC?222AC?52?122?169 ．∴

AB?13(m)．

∴

BC＋AB＝5＋13＝18(m)．

∴

旗桿折斷前的高度為18m．