第一篇：整數的分拆(蘭生復旦中學理科班教程)

整數的分拆

1.將50分拆成10個質數之和，要求其中最大的質數盡可能的大，那么這個最大的質數是？

2.將60分拆成10個質數之和，要求最大的質數盡可能小，那么其中最大的質數是?

3.將2003拆成兩個自然數之和，使其中一個是11的倍數且這個數盡可能小，而另一個是13的倍數且盡可能大，那么這兩個數分別是？

4.將2002寫成若干個連續自然數之和，有多少種方法？

5.有面值為1分、2分、5分的硬幣各4枚，用它們去支付2角3分。問：有多少種不同的支付方法？

6.3個孩子分20個蘋果，每人至少1個，分得的蘋果個數是整數，則分配方法共有多少種？

7.能寫成兩個合數之和的自然數稱為“好數”。那么在1到88的自然數中，“好數”有多少個？

8.從1，2，3，4，5，6，…中去掉不能表示為3個合數之和的那些數之后，剩下的數從小到大排的第95個數是？

9.1，2，3，…，12這12個數，配成六對，有五對的兩數之和分別是4，6，14，20，21，那么還有一對的兩數之積為？

10.對于一個自然數n，如果能找到非零自然數k和l，使得n?k?l?kl，則稱n為“好數”，3＝1＋1＋1，所以3是好數。在1，2，…，46中，這46個自然數中，“好數”有多少個？

11.將37拆成若干個不同的質數之和，有多少種不同的拆法？將每一種分拆所得的質數相乘，那么所得乘積中，最小的是哪個？

12.將20表示成一些合數之和，這些合數的乘積的最大是？

13.將23寫成若干個不相同自然數之和，使得這些自然數的乘積達到最大，這個乘積是?

14.若有8分和15分的郵票可以無限制的取用，但有些郵資，比如9，29等等不能夠剛好湊成，那么只用8分和15分的郵票不能湊成的最大郵資是多少分？

15.有很多種方法可以將2001寫成25個自然數之和，對于每一種寫法，這25個自然數均有相應的最大公約數，那么這個最大公約數的最大值是？

16.某個自然數可以表示成9個連續自然數之和，也能表示成10個連續自然數之和，還可以表示成11個連續自然數之和，那么符合以上條件的最小自然數是？

17.26?1?5?1?3?4可以斷定26最多可以表示成3個互不相同的非零自然數的平方和。問：360最多能表示成多少個互不相同的非零自然數的平方和？

18.一張紙，允許剪成6塊或者12塊，每塊新紙片又能剪成6塊或者12塊或者保持不變。問：能否用這種方法把紙片剪成40塊？ 22222

19.99個蘋果分給一群小朋友，每一個小朋友所分得的蘋果數都要不一樣，且每一位

小朋友至少要有一個蘋果。問：這群小朋友最多有幾位？

第二篇：取整計算(蘭生復旦中學理科班教程)

取整計算(六年級)

定義1：[x]表示不超過x的最大整數。

定義2：{x}表示x?[x]，性質①[x]?x?[x]?1；②x?1?[x]?x；③0?{x}?1；

④ [n?x]?n?[x]，n為整數； ○5?x???y???x?y?.已知S?1

1111?????***8，求S的整數部分.2.S?1?

3.已知0?a?1，且?a?

4.已知2003?x?2004，如果要求[x]?{x}是正整數，求滿足條件的所有實數x。

5.在1，2，3，4，5，…，2008這2008個數中，有多少個可以表示成?x[x]?的形式，其中x是正實數。

111????，求[S] 222232008??1??2?29???a????a??18，求?10a?的值 ?????30??30?30??

6.求?

?3?1??3?2??3?3??3?10?的值.?????????????11??11??11??11?

7.求滿足方程[x]?[2x]?19的x的值.?12??22??20082?8.在?中，有多少不同的整數？ ,?,?,?????2008??2008??2008?

9.設A?100!?12?M，其中M，n均是自然數，則n的最大值是多少？

10.已知：S??????97??

11.求滿足方程?x???2x??18的x的值.12.k是自然數，且n?199?1??199?2??199?96?，求S＝？ ??????97??97?1001?1002???1985?1986是整除，k的最大值是多少？ 11k

第三篇：絕對值-(蘭生復旦中學理科班教程)

絕對值

1.當a、b滿足什么條件時，下列關系成立：

(1)|a?b|?|a|?|b|，(2)|a?b|?|a|?|b|

(3)|a?b|?|a|?|b|(4)|a?b|?|a|?|b|

(5)|a?b|?|a|?|b|(6)|a?b|?|a?b|

(7)|a?b|?|a?b|(8)|a?b|?|a?b|

2.若a,b,c,d均為有理數，且|a?b|?9,|c?d|?16,|a?b?c?d|?25，|b?a|?|d?c| ?

3.若|x?1|?1

1000,|y?1|?1

1000，求x?y與x?y的取值范圍。

4.若|a?c|??

2,|b?c|??

2，求證|a?b|??。

5.解下列關于x的不等式。

(1)|x|?|x?1|(2)1?|5x?1|?4

(3)|x?1|?|x?2|?4(4)|2x?1|?|3x?2|(5)2?2?2x?2x?1(6)(x?1)|x?1|?0(7)x

x?1?x

x?1(7)|2x?3|?x

(8)|x?3|?2x?1(9)|x?3|?2x?1

(10)|x?2|?a(11)|x?4|?2a?1

6.求下列不等式的整數解(1)2

x?1?9

10(2)2

x?13?9

7.(1)|x?3|?|x?1|的最小值是

(2)|x?3|?|x?1|的最大值是

8.求y?|2x?6|?|x?1|?4|x?1|的最大值 則

9.若y?|x?1|?2|x|?|x?2|且?1?x?2，求y的最大和最小值。

10.若a?b?c?d，則當x取何值時，|x?a|?|x?c|?|x?d|取得最小值，最小值是多少？

11.當x取何值時，|x?1|?|x?2|?|x?3|???|x?2007|取得最小值，最小值是多少？

12.若|x|?1,|y|?1且u?|x?y|?|y?1|?|2y?x?4|，則umin?umax?

13.當x變化時，|x?5|?|x?t|有最小值2，則常數t的值為

14.滿足(|x|?1)?(|y|?1)?2的整數對(x,y)共有多少對？

15.(1)若關于x的不等式|x?1|?|x?2|?a無解，求a的取值范圍。

(2)若關于x的不等式|x?1|?|x?2|?a恒成立，求a的取值范圍。

(3)a取怎樣的值時，|x?1|?|x?2|?2a?3對一切實數x恒成立。

(4)a取何值時，|x?1|?|x?2|?3?a無解。

(5)若|x?a|?|x|?|x?1|恒成立，求a的取值范圍。

216.三臺生產同一種產品的機器M1M2M3在x軸上的位置如圖所示。M1M2M3生產該產品的效率之比為2：1：3，它們生產的產品都需要沿著x軸運送到檢驗臺檢驗，而移動所需費用與移動的距離成正比。問檢驗臺應該設在x軸上的何處，才能使移動產品所花費的費用最省？ M

M3

17.將1，2，…，100這100個正整數任意分成50組，每組兩個數。現將每組兩個數中的一個記為a，另一個記為b，代入1(|a?b|?a?b)中進行計算，并求出結果。502

組都代入后，可求得50個值，求這50個值的和的最大值。

18.設n個實數x1,x2,...,xn滿足|xi?|?i1(且1nx1?|x2|???|xn|?19?|x1?x2???xn|。

19.設x1,x2,...,xn是1到2007這2007個不同的正整數的一個排列，那么不等式0?x1?x2?x3???x2007?2006是否始終成立？

已知x???

3，求

|x?1|?|x?2|?|x?3|?|x?4|?|x?5|???|x?11|?|x?12|?|x?13|的值

設a?b?c?0,abc?0，求b?cc?aa?b的值 ??|a||b||c|

a、b、c的大小如圖所示，求a?bb?cc?aab?ac???的值。|a?b||b?c||c?a||ab?ac|

c

滿足|xy|?|x?y|?1的所有整數對(x,y)有多少對？

?c?||1?d，求|已知a,b,c,d滿足a??1?b?0?c?1?d，且|a?1|?|b?1|,|1

a?b?c?d的值。

已知2b?a?3,2a?b?5，求?|2b?a?7|?|b?2a?8|?|a?b?9|的值。

求|x?2|?|x?3|?|x?6|???|x?2000|的最小值。

化簡：|x?5|?|x?7|?|x?10|。

設x,y,z為整數并且滿足|x?y|的值。

某環形道上順次排列有四所學校：A1,A2,A3,A4，它們順次有彩電15臺、8臺、5臺、12臺，為使各校的彩電數相同，允許一些中學從相鄰的中學調出彩電。問：怎樣調配才能使調出的彩電數最小？并求調出彩電的最小總臺數。2001?|z?x|2002?1，求|x?y|3?|y?z|3?|z?x|3

第四篇：因式分解--乘法(蘭生復旦中學理科班教程)（模版）

因式分解

提取公因式法

5d?20de

2pq?6pq?4pq

完全分解下列各式

14acd?21cd?7cd

2ab?3abc?4acd

11pq?22pq?33pq2x(a?b)?3y(a?b)

232

x(2a?b)?3y(2a?b)3a(x?3)?6b(x?3)2x?4y?8z pa?pa?pa pz?pz?pz

5y(m?3n)?2z(m?3n)na?na?na

222

3x?9xy?12xy

abc?abc?abc9y

2a

222333

3xaa

2a

?6x

2x

a

?15y

a

4x

?2a?a

4a

b

2n

?8a

b?1

n2xx?1

b?2

a?a

a

?a

a

b?2

a?a

b

bb?1

?a

b?1

b?2

3x?6x?9x

a?6

2a?4a?4a

3axy?6axy?12axy

(2a?ab)(c?d)?(3ab?2a)(c?d)

十字相乘法

x?6x?53x?xy?2y

x?5x?6

acx?(ad?bc)x?bd

完全分解下列各式

1?14x?49x p?p?

1?k?20k a?8ab?16b ab?14ab?49

x?10xy?25y

2x2?7xy?15y23a2?10ab?7b26x2?5xy?6y2

12x2

?10x?125p2

?13p?6

5p2

q2

?7pq?64a2

?7a?3

4m2

?8mn?3n2

6p2

?7p?20

12p2?14pq?40q2

6a2?19ab?20b2

4x2

?22x?248x2

y2

?44xy?4814?31xy?15x2

y2

14m2

?29m?1510a2?5ab?15b2

4p2

?2p?

x2

?xy?bx?by

完全分解下列各式

xa?xy?3a?3yp2

?pq?2p?2q

2x2y2

?7xy?15

3a2

?10a?7

6x2y2

?5xy?6

5p2?13pq?6q2

5p2

?7p?6

4a2

?7a?34m2

?8m?36p2

?7p?20

6p2?7pq?20q2

6a2

?19a?202x2

?11x?126x2

?33xy?36y2

14?31x?15x2

14x2

?11xy?15y2

6x2

?9xy?81y2

4m2n2

?20mn?25分組分解法

x3?x2

?1?x

m2

?mb?mc?bc

ax?ay?x2

?xy

y3?y2

?y?1

2?4c?2c4?c3

e2?e?p2?p2

e

a2

?a?4?4a

ax2?a2

x?3xy?3ay8pq?3qr?12pr?2q2

x2

y2

?5x2

y?5xy2

?xy3(3x?2y)2

?6x?4y

a2?2ab?b2

a2?b2

x2

?(a?b)x?ab acx2?(ad?bc)x?bd

a3?b3

a3

?3a2

b?3ab2

?b3

a3

?b3

?c3

?3abc

(對自然數n)an?bn

(對奇數n)an?bn

16n2?8ne?e2

p2

?81q4

完全分解下列各式

x2

?64

n2

?100m2

121?y2

m2

?3m?3n?mn

2c?2d?d2

?dc

3bc?ac?6ab?2a2

a3?a2

?a?1

24mn?ab?3an?8bm

p2q?pqr?2pr?2r2

m3?m2

(2m?1)

3a?6b?(a?2b)2

公式法

a2?2ab?b2

a3?b3

4c2?8cd?4d2

4c2?b2

a2b2

?1

36x2

?y8

222

49c?de

22c?(d?2)

224x?4xy?y 22e?6ef?9f

9f

?24fg?16g 22

25p?10pq?q

49y?42yz?9z 14

m?mn?n

n?n?94

p?

pq?q

16x?4xy?

y

x?2xy?y 9xy?42xyz?49z 8xy?56xy?98xy 225x?169xy

4(6a?5b)?(3a?b)

?m?2mn?n 49xy?25z

6336

a?b

a

?

4b9

x

?

yz16

4x?

32ab?2b

ab?

c

64x?y

612

2n?9

4ab?(a?b?c)x?8y?z?6xyz

222222

8x?12x?6x?1 32a?1 ax5a

2n?1

2n?5

a?ab?ab?b

752257

?8ax

4m?6

?16ax

n?8

2n?11

b?20a

b

2m?4

?20ab

4ab?a?b?c?2(ab?ac?bc)

2244

x?y?3xy?1

(x?1)?(x?2)?(3?2x)

333

(a?b?c)?a?b?c

添項和拆項

a?2a?3a?2a?1 x?3x?4 x?3x?3x?2

432

2x?15x?38x?39x?14 3

x?2xy?3xy?4xy?y

43223

m

?m

?m?m?m?1

963

完全分解下列因式

a?64b x?y

8a?b?c?6abc1?x?x?x???x 8x?22xy?15y

333

2315

a?ab?ab?b?1

x?y?z?2xy?2xz?2yz?xy x?xy?6y?x?7y?26x?7xy?3y?11x?3 2x?5xy?3y?7y?2

3x?7x?4 x?48x?7

x?9x?26x?24 a?a?1

6x?13xy?6y?22x?23y?20 2y?5xy?2x?ay?ax?a

x?(2a?1)x?(a?2a?1)x?a?1

542322222x?(6?3y)x?(2?9y?2y)x?3(2?y?2y)x?(9y?2y)x?6y

16x?72xy?81y?8x?18y?1

4224

(x?1)?(x?1)?(x?1)

422422

x

5n

?x?1

n

x?x?1

a?b?c?2ab?2bc?2ca

第五篇：數值計算(蘭生復旦中學理科班教程)

數值計算(六年級)

1.在1到100中找出十個自然數，使它們的倒數和等于1

2.已知

3.在1，,?,4.5.求ab?1a是即約分數，a與b是一位數，b的倒數等于，求 b9a?2b11231中，選出若干個數，使得它們的和大于3，至少要選多少個數？ ***999的整數部分是多少？ ????***000001

1111?????***8的整數部分。

6.a?

7.5?8?11?14?17?20?23?26?29?32

1357991??????，a與相比較，大小關系是？ 246810010

8.4

4110011

1001?4421001?22

1001???449991001?2999

1001?4410001001?21000

1001 ?2

9.S?1?3?3?3???3231990

10.S?1?

3572?1992?1?2?3??? 22221992

22?132?142?1n2?1(n?1)2?111.S?2 ?2?2???2?22?13?14?1n?1(n?1)?1

12.S?(1?1990)(1?19902)(1?19904)?(1?19902)

13.S?1?2?3?4???(?1)n?1n

14.1?2?3?2?3?4?3?4?5?4?5?6???10?11?12

n

104?324224?324344?324464?324584?324????15.4 4?324164?324284?324404?324524?324

16.Sn?

1234n??????n與2的大小關系是 248162

12?2222?3232?4220022?20032

?????? 17.1?22?33?42002?2003