第一篇：初中數學校本教材(完整版)

初中數學校本教材

———— 《生活與數學》序言

一、把握數學的生活性——“使教學有生活味”

《數學課程標準》中指出：“數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息做出恰當的選擇和判斷，進而解決問題，直接為社會創造價值”。這說明數學來源于社會，同時也反作用于社會，社會生活與數學關系密切，它已經滲透到生活的每個方面，我們的衣食住行都離不開它。現代數學論認為：數學源于生活，又運用于生活，生活中充滿數學，數學教育寓于生活實際。有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數學問題的聯系，借助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激發學生學習數學的求知欲，幫助學生更好的理解和掌握數學基礎知識，并運用學到的數學知識去解決實際生活中的數學問題。

二、把握數學的美育性——“使教學有韻味”

數學家克萊因認為：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。” 美作為現實的事物和現象，物質產品和精神產品、藝術作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產品的數學就具有上述美的特點。

簡練、精確是數學的美。數學的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數學語言是如此慎重的、有意的而且經常是精心設計的，憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，我們就可以表達和研究數學思想，這種簡潔性有助于思維的效率。

數學很講究它的邏輯美。數學的應用是被人們廣泛認同的，可學習數學還能訓練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應，抽象的數學也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學生留有了思索和創新的空間。抽象的數學不正展示它的魅力嗎？

數學上有很多知識是和對稱有關的。對稱給人協調，平穩的感覺，像圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優美。正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才構成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。

中學數學的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會發現數學蘊涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學生感受美的同時既提高教學質量，又使教學韻味深厚。

三、把握校本教材的可讀性-------“使教學有拓展性”

陶行知先生早就說過：“在現狀下，把學習的基本自由還給學生。”，經過我們反復的思考和研究，同時邀請專家親臨指點，最終我們確定本課程的基本框架，本課程的設計理念就是要“把學習的基本自由還給學生”，所有的過程基本上都是以學生的活動展開的，真正實現“自主、合作、探究”的學習方式的變革，本課程共分為六個章節，分別是：《古老的數學》，《好玩的數學》，《有用的數學》，《智慧的數學》，《先進的數學》和《美麗的數學》。

在《古老的數學》一章中，并不是把數學史作為一門研究數學的起源、發展過程和規律的學科，而是根據現代心理學發現的一個體現數學史的認知功能的“遺傳法則”。從數學一次又一次的飛躍中尋找數學發現的故事，用故事的形式讓學生了解這些數學知識產生的背景、體會數學家們為尋找這些知識的付出的艱辛。這樣一方面可以讓學生從本質上更好的理解自己所學的知識；另一方面也可以以此作為人生觀與價值觀教育的教材，讓學生體會“只有付出努力才會獲得成功的人生道理”，“為實現理想而不懈追求的數學精神”。

在《好玩的數學》一章中，利用心理學中“興趣是學習最好的老師”的規律，以一系列數學游戲為載體，讓學生感受到數學并不是“枯燥”的代名詞，真正的數學其實可以是樂趣無窮的，以此來激發學生的學習興趣，并以這種興趣作為他以后學習數學的動力和源泉。這樣一方面可以讓學生主動意識到自己愛玩的游戲原來與數學緊密相連，從而為學生學好數學培養內在驅動力；另一方面，也可以在學生玩游戲的過程中幫助學生鞏固看似乏味的知識，讓學生的學科知識在游戲中得到鍛煉和提升。

在《有用的數學》一章中，根據《數學課程標準》：義務教育階段的數學課程要求“人人學有價值的數學”，設計了很多貼近學生、符合實際、利用學生現有知識能夠解決的生活實例。這樣做可以使學生深刻的感受到生活中處處存在著數學，數學來源于生活。這些在生活中經常碰到的數學問題需要我們去探究，學生通過對這些數學問題的解決，能夠更具體更深刻的理解什么是數學，知道學習和學好數學是很有用的，從而進一步培養學生學習數學的興趣、增強學生學好數學的內在驅動力。

在《智慧的數學》一章中，通過穿插一些有趣的數學小故事,以改變人們認為科學研究枯燥無味的看法。本章內容主要包括有趣的數學問題、經 典的數學問題、奇怪的數學問題。通過對“有趣的數學問題”的研究，使學生對數學中的存在的智慧產生強烈的好奇與追求，從而激發學生天生的求知欲；通過對“經典的數學問題”的研究使學生掌握一些基本的數學方法，學會用數學的方法解決問題；通過對“奇怪的數學問題”的研究，幫助學生開闊眼界，增長知識、鍛煉和培養學生的創新思維。

在《先進的數學》一章中，主要學習和研究數學軟件“幾何畫板”的使用方法。通過對幾何畫板軟件的學習，可以激發學生的學習興趣，拓寬學生的知識面，改變學生“數學枯燥論”和“數學無用論”的觀點；可以開發學生的學習潛能，培養學生的學習習慣，改變學生的學習方式，從而實現提高學生數學素養的目的；另外，通過對幾何畫板軟件的學習，可為學生學習其他計算機軟件打下了一個結實的基礎，從而提高學生的電腦素養，為學生終身發展和可持續發展做出數學教育上的貢獻。

在《美麗的數學》一章中，展示給大家的是數學的美麗無所不在，數學的符號、公式、算法、圖形、表格、方程、解題思路、解題方法??都是很美麗的。這些“數學之美”都需要我們能夠和我們的學生一起去尋找、去發現、去挖掘、去欣賞，使美麗的數學成為學生快樂學習的源泉。數學的美麗使我們深刻感受到數學的教育不應該僅僅是作為對數學學科的教學，更應該把它作為一種審美教育的載體，用它來感染和啟迪學生的心靈，讓學生的人格更健全，心靈更美好。

開發校本課程要有高度的責任感、使命感和強烈的事業心，決不能僅僅憑著自己的興趣，更重要的是要把它作為自己的事業來做，要付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程，只有付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程才能在這個過程中感受成功的喜悅與幸福。

開發校本課程，首先要有一個追求（對我們國家的教育事業無比熱愛，功利心不能太強，不要一說到數學研究就問這件事情對我職稱評審有沒有用，對我評骨干教師有沒有用??），要確定一個核心思想（即開發的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校內外各類資源，要不斷地進行課程資源的積累和課程特色的培育；校本課程的規劃要根據學生的課程需要來制訂；要選擇貼近時代特點、社會發展與學生實際的課程內容，要變革教學方式和學習方式，充分發揮師生的獨立性、自主性和創造性，引導學生在身心愉悅的環境中實踐和研究。

校本課程的開發和建設是一個漫長的道路，需要我們時時刻刻做一個有心人，心中時時刻刻裝著為學生的終身發展和可持續發展考慮，裝著為我們數學教學向數學教育轉變服務的理想和追求。

編者按

2011年8月

第一章

興趣數學

第一節

七橋問題（一筆畫問題）

18世紀時，歐洲有一個風景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結。當時哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發點？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個問題。

七橋問題引起了著名數學家歐拉（1707—1783）的關注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點出發，一筆畫出這個簡單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線 只畫一次不準重復），并且最后返回起點？

歐拉經過研究得出的結論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個結論是如何產生呢？

如果我們從某點出發，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那么除起點和終點外，畫筆每經過一個點一次，總有畫進該點的一條線和畫出該點的一條線，因此就有兩條線與該點相連結。如果畫筆經過一個n次，那 么就有2n條線與該點相連結。因此，這個圖形中除起點與終點外的各點，都與偶數條線相連。

如果起點和終點重合，那么這個點也與偶數條線相連；如果起點和終點是不同的兩個點，那么這兩個點部是與奇數條線相連的點。

綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點或者都是與偶數條線相連的點，或者其中只有兩個點與奇數條線相連。

圖2中的A點與5條線相連結，B、C、D各點各與3條線相連結，圖中有4個與奇數條線相連的點，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形。

歐拉定理 ：

如果一個圖是連通的并且奇頂點的個數等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。

一筆畫：

■⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。

■⒉凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。

■⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)

練習：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個圖形嗎？試試看。（不走重復線路）圖例1

圖例2

圖例3

圖例4

第二節

四色問題

人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區圖，至少需要幾種顏色，才能把相鄰的政區或區域通過不同的顏色區分開來，就未必是一個簡單的問題了。

這個地圖著色問題，是一個著名的數學難題。大家不妨用一張中國政區圖來試一試，無論從哪里開始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所有省份都區別開來。所以，很早的時候就有數學家猜想：“任何地圖的著色，只需四種顏色就足夠了。”這就是“四色問題”這個名稱的由來。

四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。

四色問題的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。”用數學語言表示，即“將平面任意地細分為不相重迭的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。”（上右圖）。

這里所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇于一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。

數學史上正式提出“四色問題”的時間是在1852年。當時倫敦的大學的一名學生法朗西斯向他的老師、著名數學家、倫敦大學數學教授莫根提出了這個問題，可是莫根無法解答，求助于其它數學家，也沒有得到答案。于是從那時起，這個問題便成為數學界的一個“懸案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美國數學會通告》正式宣布了一件震撼全球數學界的消息：美國伊利諾斯大學的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了“四色問題”這個猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉化為2000個特殊圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了足足1200個小時，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問題，轟動了世界。

這是一百多年來吸引許多數學家與數學愛好者的大事，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。

第三節

麥比烏斯帶

數學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？

對于這樣一個看來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。后來，德國的數學家麥比烏斯對此發生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。

有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。

一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發現，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圓圈。

麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。

圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。” 麥比烏斯圈就這樣被發現了。

做幾個簡單的實驗，就會發現“麥比烏斯圈”有許多讓我們感到驚奇而有趣的結果。弄好一個圈,粘好,繞一圈后可以發現,另一個面的入口被堵住了,原理就是這樣啊.實驗一

如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟是一個大圈兒。實驗二

如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開后的結果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發現，紙帶不一分為二，一大一小的相扣環。

有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結罷了。

奇妙之處有三：

一、麥比烏斯環只存在一個面。

二、如果沿著麥比烏斯環的中間剪開，將會形成一個比原來的麥比烏斯環空間大一倍的、具有正反兩個面的環（在本文中將之編號為：環0），而不是形成兩個麥比烏斯環或兩個其它形式的環。

三、如果再沿著環0的中間剪開，將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，且這兩個環是相互套在一起的（在本文中將之編號為：環1和環2），從此以后再沿著環1和環2以及因沿著環1和環2中間剪開所生成的所有環的中間剪開，都將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，永無止境……且所生成的所有的環都將套在一起，永遠無法分開、永遠也不可能與其它的環不發生聯系而獨立存在。

數學中有一個重要分支叫拓撲學，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特征和規律的，麥比烏斯圈變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。

麥比烏斯圈的概念被廣泛地應用到了建筑，藝術，工業生產中。運 用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。

一、1979年，美國著名輪胎公司百路馳創造性地把傳送帶制成麥比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍。

二、針式打印機靠打印針擊打色帶在紙上留下一個一個的墨點，為充分利用色帶的全部表面，色帶也常被設計成麥比烏斯圈。

三、在美國匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部“加強版”的云霄飛車——它的軌道是一個麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。

四、麥比烏斯圈循環往復的幾何特征，蘊含著永恒、無限的意義，因此常被用于各類標志設計。微處理器廠商Power Architecture的商標就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標志也是由麥比烏斯圈變化而來。

垃圾回收標志

Power Architecture 標志

第四節

分割圖形

分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強觀察能力的一種有趣的游戲。我們先來看一個簡單的分割圖形的題目──分割正方形。在正方形內用4條線段作“井”字形分割，可以把正方形分 成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。

用4條線段還可以把一個正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是，每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形分成10塊呢？請你先動腦筋想想，在動腦的同時還要動手畫一畫

其實，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。

練習：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應該怎樣分？

第五節

數學故事

（1）奇特的墓志銘

在大數學家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個有趣的幾 何圖形：一個圓球鑲嵌在一個圓柱內。相傳，它是阿基米 德生前最為欣賞的一個定理。

在數學家魯道夫的墓碑上，則鐫刻著圓周率π的35位 數值。這個數值被叫做。”魯道夫數”。它是魯道夫畢生心血 的結晶。

大數學家高斯曾經表示，在他去世以后，希望人們在他 的墓碑上刻上一個正17邊形。因為他是在完成了正17邊形 的尺規作圖后，才決定獻身于數學研究的……

不過，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數學家丟番 圖的。他的墓碑上刻著一道謎語般的數學題： “過路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年時期。又過了生命 的 1／ 7他才結婚。婚后 5年有了一個孩子，孩子活到他 父親一半的年紀便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲 哀中又活了4年，也結束了塵世生涯。過路人，你知道丟 番圖的年紀嗎？” 丟番圖的年紀究竟有多大呢？

設他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀，只要解出這個方程就行了。

這段墓志銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀，誰 就得解一個一元一次方程；而這又正好提醒前來瞻仰的人 們，不要忘記了丟番圖獻身的事業。

在丟番圖之前，古希臘數學家習慣用幾何的觀點看待 遇到的所有數學問題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一 個大代數學家，喜歡用代數的方法來解決問題。現代解方程的基本步驟，如移項、合并同類項、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長解答不定方 程，發明了許多巧妙的方法，被西方數學家譽為這門數學 分支的開山鼻祖。

丟番圖也是古希臘最后一個大數學家。遺憾的是，關 于他的生平。后人幾乎一無所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何時。幸虧有了這段奇特的墓志銘，才知 道他曾享有84歲的高齡。

（2）希臘十字架問題

圖上那只巨大的復活節彩蛋上有一個希臘十字架，從它引發出許多切割問題，下面是其中的三個。

(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個正方形;

有無限多種辦法把一個希臘十字架分成四塊，再把它們拼成一個正方形，下圖給出了其中的一個解法。奇妙的是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結果，分成的四塊東西總是能拼出一個正方形。

(b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個菱形;(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個矩形，要求其 長是寬的兩倍。

第二章

最完美的數

完美數又稱為完全數,最初是由畢達哥拉斯(Pythagoras)的信徒發現的,他們注意到: 數6有一個特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3，下一個具有同樣性質的數是28, 28=1+2+4+7+14 接著是496和8128.他們稱這類數為完美數.歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了: 若2n-1是素數,則數 2n-1[2n-1](1)是完全數.兩千年后,歐拉證明每個偶完全數都具有這種形式.這就在完全數與梅森數(形式為2n?1的素數)之間建立了緊密的聯系,到1999

年6月1日為止,共發現了38個梅森素數,這就是說已發現了38個完全數.1：完全數是非常奇特的數,它們有一些特殊性質,例如每個完全數都是三角形數,即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/2 28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2 n-1n

n

n

n2：把它們(6除外)的各位數字相加,直到變成一位數,那么這個一位數一定是1;它們都是連續奇數的立方和(6除外), 22(23-1)=28=13+33 2(2-1)=496=1+3+5+7

2(2-1)=8128=1+3+5+7+9+11+13+1

5....2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3

3：除了因子1之外,每個完全數的所有因子(包括自身)的倒數和等于1,比如: 67

3453

31/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....4：完全數都是以6或8結尾的,如果以8結尾,那么就肯定是以28結尾.注意以上談到的完全數都是偶完全數,至今仍然不知道有沒有奇完全數,如果真的存在奇完全數.第三章

有理數的巧算

有理數運算是中學數學中一切運算的基礎．它要求同學們在理解有理數的有關概念、法則的基礎上，能根據法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善于根據題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發展思維的敏捷性與靈活性．

1．括號的使用

在代數運算中，可以根據運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單．

例1 計算：

分析 中學數學中，由于負數的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數與負數的性質符號．因此進行有理數運算時，一定要正確運用有理數的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化．

注意 在本例中的乘除運算中，常常把小數變成分數，把帶分數變成假分數，這樣便于計算．

例2 計算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接計算很麻煩，根據運算規則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單．本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算．

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000．

說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數巧算中的常用技巧．

例3 在數1，2，3，?，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數是多少？

分析與解 因為若干個整數和的奇偶性，只與奇數的個數有關，所以在1，2，3，?，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性．在1，2，3，?，1998中有1998÷2個奇數，即有999個奇數，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數和總為奇數，故最小非負數不小于1．

現考慮在自然數n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

這啟發我們將1，2，3，?，1998每連續四個數分為一組，再按上述規則添加符號，即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+?+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非負數是1．

說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化．

2．用字母表示數

我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22．

這是一個對具體數的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變為

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①

這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算．

例4 計算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．

例5 計算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

例6 計算：

分析與解 直接計算繁．仔細觀察，發現分母中涉及到三個連續整數：12 345，12 346，12 347．可設字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變為n2-(n-1)(n+1)．應用平方差公式化簡得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例7 計算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，?每一個數都是前一個數的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=??

=(232-1)(232+1)=264-1．

例8 計算：

分析 在前面的例題中，應用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2．

這個公式也可以反著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．

本題就是一個例子．

通過以上例題可以看到，用字母表示數給我們的計算帶來很大的益處．下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化．

例9計算：

我們用一個字母表示它以簡化計算．

． 觀察算式找規律

例10 某班20名學生的數學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析與解 若直接把20個數加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數均在90上下，所以可取90為基準數，大于90的數取“正”，小于90的數取“負”，考察這20個數與90的差，這樣會大大簡化運算．所以總分為

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95．

例11 計算1+3+5+7+?+1997+1999的值．

分析 觀察發現：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法．

解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+?+1997+1999． ①

再將S各項倒過來寫為 S=1999+1997+1995+?+3+1． ②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+?+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+?+2000+2000(1000個2000)

=2000×1000．

從而有 S=1000 000．

說明 一般地，一列數，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=?=1999-1997，都等于2)，那么，這列數的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．

例13 計算 1+5+52+53+?+599+5100的值．

分析 觀察發現，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍．如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算．

解 設

S=1+5+52+?+599+5100，①

所以

5S=5+52+53+?+5100+5101． ②

②—①得 4S=5101-1，說明 如果一列數，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決．

例14 計算：

分析 一般情況下，分數計算是先通分．本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關系式

來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法．

解 由于

所以

說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現一些可以相消的相反數的項，這種方法在有理數巧算中很常用．

練習

1．計算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-?-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100；

(3)1991×1999-1990×2000；

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+?+244；

2．某小組20名同學的數學測驗成績如下，試計算他們的平均分．

81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

第四章 歸納與發現

歸納的方法是認識事物內在聯系和規律性的一種重要思考方法，也是數學中發現命題與發現解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經驗歸納，也就是在求解數學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經驗結果，然后以這些經驗作基礎，分析概括這些經驗的共同特征，從而發現解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個例題，以見一般．

例1 如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點，?這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？

分析與解 我們來觀察點陣中各層點數的規律，然后歸納出點陣共有的點數．

第一層有點數：1；

第二層有點數：1×6； 第三層有點數：2×6； 第四層有點數：3×6；

??

第n層有點數：(n-1)×6.因此，這個點陣的第n層有點(n-1)×6個．n層共有點數為

例2 在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：

(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區域？

(2)這n個圓共有多少個交點？

分析與解(1)在圖2-100中，設以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區域有多少個？為此，我們列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??

由此，不難推測

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因為S1=2，所以

Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說明．

下面對

因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區域數，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發現的方法來解決．為此，可列出表18．2．

由表18．2容易發現

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，?? an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n個式子相加

注意 請讀者說明an=an-1＋(n-1)的正確性．

例3 設a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數)，試問這樣的三角形有多少個？

分析與解 我們先來研究一些特殊情況：

(1)設b=n=1，這時b=1，因為a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構成三角形，可見，當b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個．

(2)設b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．

這時滿足條件的三角形總數為：1+2=3．

(3)設b=n=3，類似地可得表18．4．

這時滿足條件的三角形總數為：1＋2＋3=6．

通過上面這些特例不難發現，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

這個猜想是正確的．因為當b=n時，a可取n個值(1，2，3，?，n)，對應于a的每個值，不妨設a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

例4 設1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：

(1)當n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)當n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)當n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)當n=4時，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個猜想的正確性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n 33 =2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n

=2！×3+3！×3+?＋n！×n

=3！+3！×3+?+n！×n＝?

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設x＞0，試比較代數式x3和x2+x+2的值的大小．

分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發我們發現解題思路．為此，設x=0，顯然有

x3＜x2+x+2．①

設x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

設x=100，則有x3＞x2+x+2．

觀察、比較①，②兩式的條件和結論，可以發現：當x值較小時，x3＜x2+x+2；當x值較大時，x3＞x2+x+2．

那么自然會想到：當x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．為此，設x3=x2＋x＋2，則

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因為x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣(1)當x=2時，x3=x2+x+2；(2)當0＜x＜2時，因為

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當x＞2時，因為

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答． 練習七

1．試證明例7中：

2．平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點．試求：

(1)這n條直線共有多少個交點？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區域？

然后做出證明.)

3．求適合x5=656356768的整數x．

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

第五章 生活中的數學（儲蓄、保險與納稅）

儲蓄、保險、納稅是最常見的有關理財方面的數學問題，幾乎人人都會遇到，因此，我們在這一講舉例介紹有關這方面的知識，以增強理財的自我保護意識和處理簡單財務問題的數學能力．

1．儲蓄

銀行對存款人付給利息，這叫儲蓄．存入的錢叫本金．一定存期(年、月或日)內的利息對本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率經×存期)．

如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 設年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

答 某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元．

以上計算利息的方法叫單利法，單利法的特點是無論存款多少年，利息都不加入本金．相對地，如果存款年限較長，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復利法，即利息再生利息．目前我國銀行存款多數實行的是單利法．不過規定存款的年限越長利率也越高．例如，1998年3月我國銀行公布的定期儲蓄人民幣的年利率如表22．1所示．

用復利法計算本利和，如果設本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分別是s1，s2,?，sn，則

s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，??，sn=p(1+r)n．

例2 小李有20000元，想存入銀行儲蓄5年，可有幾種儲蓄方案，哪種方案獲利最多？

解 按表22．1的利率計算．

(1)連續存五個1年期，則5年期滿的本利和為

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

(2)先存一個2年期，再連續存三個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

(3)先連續存二個2年期，再存一個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

(4)先存一個3年期，再轉存一個2年期，則5年后的本利和為

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

(5)先存一個3年期，然后再連續存二個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

(6)存一個5年期，則到期后本利和為

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

顯然，第六種方案，獲利最多，可見國家所規定的年利率已經充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的．

2．保險

保險是現代社會必不可少的一種生活、生命和財產保護的金融事業．例如，火災保險就是由于火災所引起損失的保險，人壽保險是由于人身意外傷害或養老的保險，等等．下面舉兩個簡單的實例．

例3 假設一個小城鎮過去10年中，發生火災情況如表22．2所示．

試問：(1)設想平均每年在1000家中燒掉幾家？

(2)如果保戶投保30萬元的火災保險，最低限度要交多少保險費保險公司才不虧本？

解(1)因為

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元)．

答(1)每年在1000家中，大約燒掉2.6家．

(2)投保30萬元的保險費，至少需交780元的保險費．

例4 財產保險是常見的保險．假定A種財產保險是每投保1000元財產，要交3元保險費，保險期為1年，期滿后不退保險費，續保需重新交費．B種財產保險是按儲蓄方式，每1000元財產保險交儲蓄金25元，保險一年．期滿后不論是否得到賠款均全額退還儲蓄金，以利息作為保險費．今有兄弟二人，哥哥投保8萬元A種保險一年，弟弟投保8萬元B種保險一年．試問兄弟二人誰投的保險更合算些？(假定定期存款1年期利率為5.22％)

解 哥哥投保8萬元A種財產保險，需交保險費

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

弟弟投保8萬元B種財產保險，按每1000元交25元保險儲蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息為

2000×0.0522=104.4(元)．

兄弟二人相比較，弟弟少花了保險費約

240-104.4=135.60(元)．

因此，弟弟投的保險更合算些．

3．納稅

納稅是每個公民的義務，對于每個工作人員來說，除了工資部分按國家規定納稅外，個人勞務增收也應納稅．現行勞務報酬納稅辦法有三種：

(1)每次取得勞務報酬不超過1000元的(包括1000元)，預扣率為3％，全額計稅．

(2)每次取得勞務報酬1000元以上、4000元以下，減除費用800元后的余額，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．

(3)每次取得勞務報酬4000元以上的，減除20％的費用后，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．

每次取得勞務報酬超過20000元的(暫略)．

由(1)，(2)，(3)的規定，我們如果設個人每次勞務報酬為x元，y為相應的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關于勞務報酬納稅的分段函數：

例5 小王和小張兩人一次共取得勞務報酬10000元，已知小王的報酬是小張的2倍多，兩人共繳納個人所得稅1560元，問小王和小張各得勞務報酬多少元？

解 根據勞務報酬所得稅計算方法(見函數①)，從已知條件分析可知小王的收入超過4000元，而小張的收入在1000～4000之間，如果設小王的收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：

由①得y=10000-x，將之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化簡、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，所以

0.04x=280，x=7000(元)．

則 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小張收入3000元．

例6 如果對寫文章、出版圖書所獲稿費的納稅計算方法是

其中y(x)表示稿費為x元應繳納的稅額．

那么若小紅的爸爸取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到6216元，問這筆稿費是多少元？

解 設這筆稿費為x元，由于x＞4000，所以，根據相應的納稅規定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，化簡、整理得

0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)．

答 這筆稿費是7000元．

練習八

1．按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本利和各是多少？(設1年期、3年期、5年期的年利率分別為5.22％，6.21％，6.66％保持不變)

(1)定期1年，每存滿1年，將本利和自動轉存下一年，共續存10年；

(2)先連續存三個3年期，9年后將本利和轉存1年期，合計共存10年；

(3)連續存二個5年期．

2．李光購買了25000元某公司5年期的債券，5年后得到本利和為40000元，問這種債券的年利率是多少？

3．王芳取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到2580元，問這筆稿費是多少元？

4．把本金5000元存入銀行，年利率為0.0522，幾年后本利和為6566元(單利法)？

第六章

中外著名數學家

1、韋達（1540-1603），法國數學家。

年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會議員，在西班牙的戰爭中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達還致力于數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的多種有理變換，發現了方程根與分數的關系，韋達在歐洲被尊稱為“代數學之父”。1579年，韋達出版《應用于三角形的數學定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法國數學家、物理學家和哲學家．

16歲的時候就發現了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內接六邊形的三組對邊的交點共線”，對射影幾何學作出了重要貢獻．19歲時，發明了一種能做加法和減法運算的計算器，這是世界上第一臺機械式的計算機．他對連續不可分量、微分三角形、面積和重心等問題的深入研究，對微積分學的建立起到了積極的作用．帕斯卡對數學的最大貢獻是創立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問題，帕斯卡廣泛應用了算術三角形（即二項式定理系數表，西方稱帕斯卡三角，我國稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項展開式的系數規律以及這個三角形的構造及其許多有趣的性質。帕斯卡在物理學方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想錄》和《致鄉人書》對法國散文的發展產生了重要的影響。

3、在數學史上，很難再找到如此年輕而如此有創見的數學家。他就是出生在法國的伽羅華（1811——1832）

伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時就寫了一篇關于《五次方程代數解法》這個世界數學難題的論文，最先提出了近代數學的一個基本概念

——“群”。可是這篇論文被法國科學院一位目空一切的數學家丟失了。次年，他又寫了幾篇數學論文送交法國科學院，不料主審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過兩年，他被近把自己的研究再次寫成簡述，寄往法國科學，他去信尖銳地提醒權威們：“第一，不要因為我叫伽羅化，第二，不要因為我是大學生，”而“預先決定我對這個問題無能為力。”在這封咄咄逼人的書信面前，有兩位數學家不得不宣讀了他的研究簡述，但隨即又以“完全不能理解”予以否定，其實，他們并沒有讀懂伽羅華的論文。

伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對守在旁邊的弟弟說：“不要忘了我，因為命運不讓我活到祖國知道我的名字的時候。”在決斗前夜，他給友人寫了著名的“科學遺囑”，其中充滿自信地說：“我一行中不只一次敢于提出我沒有把握的命題，我期待著將來總會有人認識到：解開這個謎對雅可比和高斯是有好處的。”

他的預言成為現實，那是在三十八年他的六十頁厚的論文終于出版的時候，從此，他被認為“群論”的奠基 人。

4、劉 徽

劉徽（生于公元250年左右），是中國數學史上一個非常偉大的數學家，在世界數學史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數學遺產．

《九章算術》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法．在許多方面：如解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創造性的

貢獻．他是世界上最早提出十進小數概念的人，并用十進小數來表示無理數的立方根．在代數方面，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了“割圓術”，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.14的結果．劉徽在割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作．

《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目．

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人．

劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富．

5、賈 憲

賈憲，中國古代北宋時期杰出的數學家。曾撰寫的《黃帝九章算法細草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：數導）均已失傳。

他的主要貢獻是創造了“賈憲三角”和增乘開方法，增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷、又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優越性，這個方法的提出要比歐洲數學家霍納的結論早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（約1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數學四大家。早年在杭州“訪習于太史，又嘗從隱君子受數學”，1247年寫成著名的《數書九章》。《數書九章》全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要的數學成就----“大衍總數術”（一次同余組解法）與“正負開方術"(高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上占有突出的地位。

7、李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學，被元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回鄉。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的是說明用天元術列方程的方法。“天元術”與現代代數中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當于“設x為某某“，可以說是符號代數的嘗試。李冶還有另一步數學著作《益古演段》（1259）也是講解天元術的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》

后序）。朱世杰數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。《算術啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最杰出的數學創造有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）．

9、祖沖之

祖沖之（公元429～500年）祖籍是現今河北省淶源縣，他是南北朝時代的一位杰出科學家。他不僅是一位數學家，同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂等領域，并且是一位天文學家。

祖沖之在數學方面的主要成就是關于圓周率的計算，他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927，這一結果的重要意義在于指出誤差的范圍，是當時世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個形式的π值，約率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，這兩個數都是π的漸近分數。

10、祖 暅

祖暅，祖沖之之子，同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式。現行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世紀可謂祖暅對世界杰出的貢獻。

11、楊輝

楊輝，中國南宋時期杰出的數學家和數學教育家。在13世紀中葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多。

第二篇：初中數學興趣小組校本教材

初中數學校本教材

———— 《校本課程》序言

一、把握數學的生活性——“使教學有生活味”

《數學課程標準》中指出：“數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息作出恰當的選擇和判斷，進而解決問題，直接為社會創造價值”。這說明數學來源于社會，同時也反作用于社會，社會生活與數學關系密切，它已經滲透到生活的每個方面，我們的衣食住行都離不開它。

現代數學論認為：數學源于生活，又運用于生活，生活中充滿數學，數學教育寓于生活實際。有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數學問題的聯系，借助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激發學生學習數學的求知欲，幫助學生更好的理解和掌握數學基礎知識，并運用學到的數學知識去解決實際生活中的數學問題。

二、把握數學的美育性——“使教學有韻味”

數學家克萊因認為：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。” 美作為現實的事物和現象，物質產品和精神產品、藝術作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產品的數學就具有上述美的特點。

簡練、精確是數學的美。數學的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數學語言是如此慎重的、有意的而且經常是精心設計的，憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，我們就可以表達和研究數學思想，這種簡潔性有助于思維的效率。

數學很講究它的邏輯美。數學的應用是被人們廣泛認同的，可學習數學還能訓練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應，抽象的數學也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學生留有了思索和創新的空間。抽象的數學不正展示它的魅力嗎？

數學上有很多知識是和對稱有關的。對稱給人協調，平穩的感覺，象圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優美。正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才構成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。

中學數學的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會發現數學蘊涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學生感受美的同時既提高教學質量，又使教學韻味深厚。

第一章

興趣數學

第一節七橋問題（一筆畫問題）

18世紀時，歐洲有一個風景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的 左岸B、右岸C各有兩座橋相連結，河中兩支流間 的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結。當時哥尼 斯堡的居民中流傳著一道難題：一個人怎樣才能一次 走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發點？ 大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個 問題。

七橋問題引起了著名數學家歐拉（1707—1783）的關注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點出發，一筆畫出這個簡單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線 只畫一次不準重復），并且最后返回起點？

歐拉經過研究得出的結論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個結論是如何產生呢？ 如果我們從某點出發，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那么除起點和終點外，畫筆每經過一個點一次，總有畫進該點的一條線和畫出該點的一條線，因此就有兩條線與該點相連結。如果畫筆經過一個n次，那么就有2n條線與該點相連結。因此，這個圖形中除起點與終點外的各點，都與偶數條線相連。

如果起點和終點重合，那么這個點也與偶數條線相連；如果起點和終點是不同的兩個點，那么這兩個點部是與奇數條線相連的點。

綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點或者都是與偶數條線相連的點，或者其中只有兩個點與奇數條線相連。

圖2中的A點與5條線相連結，B、C、D各點各與3條線相連結，圖中有4個與奇數條線相連的點，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形。

歐拉定理 ：

如果一個圖是連通的并且奇頂點的個數等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。

練習：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個圖形嗎？試試看。（不走重復線路）圖例1

圖例2

圖例3

圖例4

2四色問題

人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區圖，至少需要幾種顏色，才能把相鄰的政區或區域通過不同的顏色區分開來，就未必是一個簡單的問題了。

這個地圖著色問題，是一個著名的數學難題。大家不妨用一張中國政區圖來試一試，無論從哪里開始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所有省份都區別開來。所以，很早的時候就有數學家猜想：“任何地圖的著色，只需四種顏色就足夠了。”這就是“四色問題”這個名稱的由來。

四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。

四色問題的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能 使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。”用數學語言表示，即“將平面任意地細分為不相重迭的區域，每一個區域總可 以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰 的兩個區域得到相同的數字。”（右圖）

這里所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇于一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。

數學史上正式提出“四色問題”的時間是在1852年。當時倫敦的大學的一名學生法朗西斯向他的老師、著名數學家、倫敦大學數學教授莫根提出了這個問題，可是莫根無法解答，求助于其它數學家，也沒有得到答案。于是從那時起，這個問題便成為數學界的一個“懸案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美國數學會通告》正式宣布了一件震撼全球數學界的消息：美國伊利諾斯大學的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了“四色問題”這個猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉化為2000個特殊圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了足足1200個小時，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問題,轟動了世界。

這是一百多年來吸引許多數學家與數學愛好者的大事，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。2 麥比烏斯帶

每一張紙均有兩個面和封閉曲線狀的棱(edge)，如果有一張紙它有一條棱而且只有一個面，使得一只螞蟻能夠不越過棱就可從紙上的任何一點到達其他任何一點，這有可能嗎?事實上是可能的只要把一條紙帶半扭轉，再把兩頭貼上就行了。這是德國數學家麥比烏斯(M?bius.A.F 1790-1868)在1858年發現的，自此以後那種帶就以他的名字命名，稱為麥比烏斯帶。有了這種玩具使得一支數學的分支拓樸學得以蓬勃發展。

3分割圖形

分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強觀察能力的一種有趣的游戲。

我們先來看一個簡單的分割圖形的題目──分割正方形。在正方形內用4條線段作“井”字形分割，可以把正方形分 成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。

用4條線段還可以把一個正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是，每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形分成10塊呢？請你先動腦筋想想，在動腦的同時還要動手畫一畫 其實，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。

練習：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應該怎樣分？

5數學故事

（1）奇特的墓志銘

在大數學家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個有趣的幾 何圖形：一個圓球鑲嵌在一個圓柱內。相傳，它是阿基米 德生前最為欣賞的一個定理。

在數學家魯道夫的墓碑上，則鐫刻著圓周率π的35位 數值。這個數值被叫做。”魯道夫數”。它是魯道夫畢生心血 的結晶。

大數學家高斯曾經表示，在他去世以后，希望人們在他 的墓碑上刻上一個正17邊形。因為他是在完成了正17邊形 的尺規作圖后，才決定獻身于數學研究的……

不過，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數學家丟番 圖的。他的墓碑上刻著一道謎語般的數學題： “過路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年時期。又過了生命 的 1／ 7他才結婚。婚后 5年有了一個孩子，孩子活到他 父親一半的年紀便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲 哀中又活了4年，也結束了塵世生涯。過路人，你知道丟 番圖的年紀嗎？” 丟番圖的年紀究竟有多大呢？

設他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀，只要解出這個方程就行了。這段墓志銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀，誰 就得解一個一元一次方程；而這又正好提醒前來瞻仰的人 們，不要忘記了丟番圖獻身的事業。

在丟番圖之前，古希臘數學家習慣用幾何的觀點看待 遇到的所有數學問題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一 個大代數學家，喜歡用代數的方法來解決問題。現代解方程的基本步驟，如移項、合并同類項、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長解答不定方 程，發明了許多巧妙的方法，被西方數學家譽為這門數學 分支的開山鼻祖。

丟番圖也是古希臘最后一個大數學家。遺憾的是，關 于他的生平。后人幾乎一無所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何時。幸虧有了這段奇特的墓志銘，才知 道他曾享有84歲的高齡。

（2）希臘十字架問題

圖上那只巨大的復活節彩蛋上有一個希臘十字架，從它引發出許多切割問題，下面是其中的三個。(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個正方形;

有無限多種辦法把一個希臘十字架分成四塊，再把它們 拼成一個正方形，下圖給出了其中的一個解法。奇妙的 是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結果，分成的四塊東西總是能拼出一個 正方形。

(b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個菱形;(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個矩形，要求其 長是寬的兩倍。

第二章

最完美的數

完美數又稱為完全數,最初是由畢達哥拉斯(Pythagoras)的信徒發現的,他們注意到: 數6有一個特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3，下一個具有同樣性質的數是28, 28=1+2+4+7+14 接著是496和8128.他們稱這類數為完美數.歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了: 若2n-1是素數,則數 2n-1[2n-1](1)是完全數.兩千年后,歐拉證明每個偶完全數都具有這種形式.這就在完全數與梅森數(形式為

2n?1的素數)之間建立了緊密的聯系,到1999年6月1日為止,共發現了38個梅森素數,這就是說已發現了38個完全數.1：完全數是非常奇特的數,它們有一些特殊性質,例如每個完全數都是三角形數,即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/2 28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2 n-1n

n

n

n2：把它們(6除外)的各位數字相加,直到變成一位數,那么這個一位數一定是1;它們都是連續奇數的立方和(6除外)，22(23-1)=28=13+33 24(25-1)=496=13+33+53+73

26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+1

53....2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3

3：除了因子1之外,每個完全數的所有因子(包括自身)的倒數和等于1,比如: 1/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....4：完全數都是以6或8結尾的,如果以8結尾,那么就肯定是以28結尾.注意以上談到的完全數都是偶完全數,至今仍然不知道有沒有奇完全數,如果真的存在奇完全數.第三章

有理數的巧算

有理數運算是中學數學中一切運算的基礎．它要求同學們在理解有理數的有關概念、法則的基礎上，能根據法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善于根據題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發展思維的敏捷性與靈活性．

1．括號的使用

在代數運算中，可以根據運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單．

例1 計算：

分析 中學數學中，由于負數的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數與負數的性質符號．因此進行有理數運算時，一定要正確運用有理數的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化．

注意 在本例中的乘除運算中，常常把小數變成分數，把帶分數變成假分數，這樣便于計算．

例2 計算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接計算很麻煩，根據運算規則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單．本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算．

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000．

說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數巧算中的常用技巧． 例3 在數1，2，3，?，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數是多少？

分析與解 因為若干個整數和的奇偶性，只與奇數的個數有關，所以在1，2，3，?，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性．在1，2，3，?，1998中有1998÷2個奇數，即有999個奇數，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數和總為奇數，故最小非負數不小于1．

現考慮在自然數n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

這啟發我們將1，2，3，?，1998每連續四個數分為一組，再按上述規則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+?+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非負數是1．

說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化．

2．用字母表示數

我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22．

這是一個對具體數的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變為(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①

這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算．

例4 計算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．

例5 計算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

例6 計算：

分析與解 直接計算繁．仔細觀察，發現分母中涉及到三個連續整數：12 345，12 346，12 347．可設字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變為n2-(n-1)(n+1)．應用平方差公式化簡得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例7 計算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，?每一個數都是前一個數的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=??

=(232-1)(232+1)=264-1．

例8 計算：

分析 在前面的例題中，應用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2．

這個公式也可以反著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．

本題就是一個例子．

通過以上例題可以看到，用字母表示數給我們的計算帶來很大的益處．下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化．

例9計算：

我們用一個字母表示它以簡化計算．

1． 觀察算式找規律

例10 某班20名學生的數學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析與解 若直接把20個數加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數均在90上下，所以可取90為基準數，大于90的數取“正”，小于90的數取“負”，考察這20個數與90的差，這樣會大大簡化運算．所以總分為

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95．

例11 計算1+3+5+7+?+1997+1999的值．

分析 觀察發現：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法．

解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+?+1997+1999． ①

再將S各項倒過來寫為 S=1999+1997+1995+?+3+1． ②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+?+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+?+2000+2000(1000個2000)

=2000×1000．

從而有 S=1000 000．

說明 一般地，一列數，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=?=1999-1997，都等于2)，那么，這列數的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．

例13 計算 1+5+52+53+?+599+5100的值．

分析 觀察發現，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍．如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算．

解 設

S=1+5+52+?+599+5100，①

所以

5S=5+52+53+?+5100+5101． ②

②—①得 4S=5101-1，說明 如果一列數，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決．

例14 計算：

分析 一般情況下，分數計算是先通分．本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關系式

來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法．

解 由于

所以

說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現一些可以相消的相反數的項，這種方法在有理數巧算中很常用．

練習

1．計算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-?-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100；

(3)1991×1999-1990×2000；

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+?+244；

2．某小組20名同學的數學測驗成績如下，試計算他們的平均分．

81，90，76，72，77，83，73，85，92，91，86，78，74，85． 84，75，63，76，97，80，第四章 歸納與發現

歸納的方法是認識事物內在聯系和規律性的一種重要思考方法，也是數學中發現命題與發現解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經驗歸納，也就是在求解數學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經驗結果，然后以這些經驗作基礎，分析概括這些經驗的共同特征，從而發現解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個例題，以見一般．

例1 如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點，?這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？

分析與解 我們來觀察點陣中各層點數的規律，然后歸納出點陣共有的點數．

第一層有點數：1；

第二層有點數：1×6；

第三層有點數：2×6； 第四層有點數：3×6；

??

第n層有點數：(n-1)×6.因此，這個點陣的第n層有點(n-1)×6個．n層共有點數為

例2 在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：

(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區域？

(2)這n個圓共有多少個交點？

分析與解(1)在圖2-100中，設以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區域有多少個？為此，我們列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??

由此，不難推測

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因為S1=2，所以

面對Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說明．

下

因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區域數，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發現的方法來解決．為此，可列出表18．2．

由表18．2容易發現

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，?? an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n個式子相加

注意 請讀者說明an=an-1＋(n-1)的正確性．

例3 設a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數)，試問這樣的三角形有多少個？

分析與解 我們先來研究一些特殊情況：

(1)設b=n=1，這時b=1，因為a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構成三角形，可見，當b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個．

(2)設b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．

這時滿足條件的三角形總數為：1+2=3．

(3)設b=n=3，類似地可得表18．4．

這時滿足條件的三角形總數為：1＋2＋3=6．

通過上面這些特例不難發現，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

這個猜想是正確的．因為當b=n時，a可取n個值(1，2，3，?，n)，對應于a的每個值，不妨設a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

例4 設1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×1＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：

(1)當n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)當n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)當n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)當n=4時，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個猜想的正確性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n

=2！×3+3！×3+?＋n！×n

=3！+3！×3+?+n！×n＝?

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設x＞0，試比較代數式x3和x2+x+2的值的大小．

分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發我們發現解題思路．為此，設x=0，顯然有

x3＜x2+x+2．①

設x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

設x=100，則有x3＞x2+x+2．

觀察、比較①，②兩式的條件和結論，可以發現：當x值較小時，x3＜x2+x+2；當x值較大時，x3＞x2+x+2．

那么自然會想到：當x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．為此，設x3=x2＋x＋2，則

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因為x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣

(1)當x=2時，x3=x2+x+2；

(2)當0＜x＜2時，因為

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即

x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當x＞2時，因為

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答． 練習七

1．試證明例7中：

2．平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點．試求：

(1)這n條直線共有多少個交點？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區域？

然后做出證明.)

3．求適合x5=656356768的整數x．

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

第五章 生活中的數學（儲蓄、保險與納稅）

儲蓄、保險、納稅是最常見的有關理財方面的數學問題，幾乎人人都會遇到，因此，我們在這一講舉例介紹有關這方面的知識，以增強理財的自我保護意識和處理簡單財務問題的數學能力．

1．儲蓄

銀行對存款人付給利息，這叫儲蓄．存入的錢叫本金．一定存期(年、月或日)內的利息對本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率經×存期)．

如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 設年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

答 某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元．

以上計算利息的方法叫單利法，單利法的特點是無論存款多少年，利息都不加入本金．相對地，如果存款年限較長，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復利法，即利息再生利息．目前我國銀行存款多數實行的是單利法．不過規定存款的年限越長利率也越高．例如，1998年3月我國銀行公布的定期儲蓄人民幣的年利率如表22．1所示．

用復利法計算本利和，如果設本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分別是s1，s2,?，sn，則

s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，??，sn=p(1+r)n．

例2 小李有20000元，想存入銀行儲蓄5年，可有幾種儲蓄方案，哪種方案獲利最多？

解 按表22．1的利率計算．

(1)連續存五個1年期，則5年期滿的本利和為

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

(2)先存一個2年期，再連續存三個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

(3)先連續存二個2年期，再存一個1年期，則5年后本利和為 20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

(4)先存一個3年期，再轉存一個2年期，則5年后的本利和為

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

(5)先存一個3年期，然后再連續存二個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

(6)存一個5年期，則到期后本利和為

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

顯然，第六種方案，獲利最多，可見國家所規定的年利率已經充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的．

2．保險

保險是現代社會必不可少的一種生活、生命和財產保護的金融事業．例如，火災保險就是由于火災所引起損失的保險，人壽保險是由于人身意外傷害或養老的保險，等等．下面舉兩個簡單的實例．

例3 假設一個小城鎮過去10年中，發生火災情況如表22．2所示．

試問：(1)設想平均每年在1000家中燒掉幾家？

(2)如果保戶投保30萬元的火災保險，最低限度要交多少保險費保險公司才不虧本？

解(1)因為

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元)．

答(1)每年在1000家中，大約燒掉2.6家．

(2)投保30萬元的保險費，至少需交780元的保險費．

例4 財產保險是常見的保險．假定A種財產保險是每投保1000元財產，要交3元保險費，保險期為1年，期滿后不退保險費，續保需重新交費．B種財產保險是按儲蓄方式，每1000元財產保險交儲蓄金25元，保險一年．期滿后不論是否得到賠款均全額退還儲蓄金，以利息作為保險費．今有兄弟二人，哥哥投保8萬元A種保險一年，弟弟投保8萬元B種保險一年．試問兄弟二人誰投的保險更合算些？(假定定期存款1年期利率為5.22％)

解 哥哥投保8萬元A種財產保險，需交保險費

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

弟弟投保8萬元B種財產保險，按每1000元交25元保險儲蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息為

2000×0.0522=104.4(元)．

兄弟二人相比較，弟弟少花了保險費約

240-104.4=135.60(元)．

因此，弟弟投的保險更合算些．

3．納稅

納稅是每個公民的義務，對于每個工作人員來說，除了工資部分按國家規定納稅外，個人勞務增收也應納稅．現行勞務報酬納稅辦法有三種：

(1)每次取得勞務報酬不超過1000元的(包括1000元)，預扣率為3％，全額計稅．

(2)每次取得勞務報酬1000元以上、4000元以下，減除費用800元后的余額，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．

(3)每次取得勞務報酬4000元以上的，減除20％的費用后，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．

每次取得勞務報酬超過20000元的(暫略)．

由(1)，(2)，(3)的規定，我們如果設個人每次勞務報酬為x元，y為相應的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關于勞務報酬納稅的分段函數：

例5 小王和小張兩人一次共取得勞務報酬10000元，已知小王的報酬是小張的2倍多，兩人共繳納個人所得稅1560元，問小王和小張各得勞務報酬多少元？

解 根據勞務報酬所得稅計算方法(見函數①)，從已知條件分析可知小王的收入超過4000元，而小張的收入在1000～4000之間，如果設小王的收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：

由①得y=10000-x，將之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化簡、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，所以

0.04x=280，x=7000(元)．

則 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小張收入3000元．

例6 如果對寫文章、出版圖書所獲稿費的納稅計算方法是

其中y(x)表示稿費為x元應繳納的稅額．

那么若小紅的爸爸取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到6216元，問這筆稿費是多少元？

解 設這筆稿費為x元，由于x＞4000，所以，根據相應的納稅規定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，化簡、整理得

0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)．

答 這筆稿費是7000元．

練習八

1．按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本利和各是多少？(設1年期、3年期、5年期的年利率分別為5.22％，6.21％，6.66％保持不變)

(1)定期1年，每存滿1年，將本利和自動轉存下一年，共續存10年；

(2)先連續存三個3年期，9年后將本利和轉存1年期，合計共存10年；

(3)連續存二個5年期．

2．李光購買了25000元某公司5年期的債券，5年后得到本利和為40000元，問這種債券的年利率是多少？

3．王芳取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到2580元，問這筆稿費是多少元？

4．把本金5000元存入銀行，年利率為0.0522，幾年后本利和為6566元(單利法)？

第六章

中外著名數學家

1、韋達（1540-1603），法國數學家。

年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會議員，在西班牙的戰爭中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達還致力于數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的多種有理變換，發現了方程根與分數的關系，韋達在歐洲被尊稱為“代數學之父”。1579年，韋達出版《應用于三角形的數學定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法國數學家、物理學家和哲學家．

16歲的時候就發現了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內接六邊形的三組對邊的交點共線”，對射影幾何學作出了重要貢獻．19歲時，發明了一種能做加法和減法運算的計算器，這是世界上第一臺機械式的計算機．他對連續不可分量、微分三角形、面積和重心等問題的深入研究，對微積分學的建立起到了積極的作用．帕斯卡對數學的最大貢獻是創立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問題，帕斯卡廣泛應用了算術三角形（即二項式定理系數表，西方稱帕斯卡三角，我國稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項展開式的系數規律以及這個三角形的構造及其許多有趣的性質。帕斯卡在物理學方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想錄》和《致鄉人書》對法國散文的發展產生了重要的影響。

3、在數學史上，很難再找到如此年輕而如此有創見的數學家。他就是出生在法國的伽羅華（1811——1832）

伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時就寫了一篇關于《五次方程代數解法》這個世界數學難題的論文，最先提出了近代數學的一個基本概念——“群”。可是這篇論文被法國科學院一位目空一切的數學家丟失了。次年，他又寫了幾篇數學論文送交法國科學院，不料主審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過兩年，他被近把自己的研究再次寫成簡述，寄往法國科學，他去信尖銳地提醒權威們：“第一，不要因為我叫伽羅化，第二，不要因為我是大學生，”而“預先決定我對這個問題無能為力。”在這封咄咄逼人的書信面前，有兩位數學家不得不宣讀了他的研究簡述，但隨即又以“完全不能理解”予以否定，其實，他們并沒有讀懂伽羅華的論文。

伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對守在旁邊的弟弟說：“不要忘了我，因為命運不讓我活到祖國知道我的名字的時候。”在決斗前夜，他給友人寫了著名的“科學遺囑”，其中充滿自信地說：“我一行中不只一次敢于提出我沒有把握的命題，我期待著將來總會有人認識到：解開這個謎對雅可比和高斯是有好處的。”

他的預言成為現實，那是在三十八年他的六十頁厚的論文終于出版的時候，從此，他被認為“群論”的奠基 人。

4、劉 徽

劉徽（生于公元250年左右），是中國數學史上一個非常偉大的數學家，在世界數學史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數學遺產．

《九章算術》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法．在許多方面：如解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創造性的貢獻．他是世界上最早提出十進小數概念的人，并用十進小數來表示無理數的立方根．在代數方面，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了“割圓術”，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.14的結果．劉徽在割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作．

《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目．

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人．

劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富．

5、賈 憲

賈憲，中國古代北宋時期杰出的數學家。曾撰寫的《黃帝九章算法細草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：數導）均已失傳。

他的主要貢獻是創造了“賈憲三角”和增乘開方法，增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷、又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優越性，這個方法的提出要比歐洲數學家霍納的結論早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（約1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數學四大家。早年在杭州“訪習于太史，又嘗從隱君子受數學”，1247年寫成著名的《數書九章》。《數書九章》全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要的數學成就----“大衍總數術”（一次同余組解法）與“正負開方術“(高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上占有突出的地位。

7、李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學，被元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回鄉。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的是說明用天元術列方程的方法。“天元術”與現代代數中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當于“設x為某某“，可以說是符號代數的嘗試。李冶還有另一步數學著作《益古演段》（1259）也是講解天元術的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。朱世杰數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。《算術啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最杰出的數學創造有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）．

9、祖沖之

祖沖之（公元429～500年）祖籍是現今河北省淶源縣，他是南北朝時代的一位杰出科學家。他不僅是一位數學家，同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂等領域，并且是一位天文學家。

祖沖之在數學方面的主要成就是關于圓周率的計算，他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927，這一結果的重要意義在于指出誤差的范圍，是當時世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個形式的π值，約率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，這兩個數都是π的漸近分數。

10、祖 暅

祖暅，祖沖之之子，同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式。現行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世紀可謂祖暅對世界杰出的貢獻。

11、楊輝

楊輝，中國南宋時期杰出的數學家和數學教育家。在13世紀中葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多。

他著名的數學書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷（1275年）、《續古摘奇算法》二卷（1275年）。

楊輝的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算乘除捷算法進行總結和發展，有的還編成了歌決，如九歸口決。

他在《續古摘奇算法》中介紹了各種形式的”縱橫圖“及有關的構造方法，同時”垛積術“是楊輝繼沈括”隙積術“后，關于高階等差級數的研究。楊輝在”纂類“中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類。

他非常重視數學教育的普及和發展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的”習算綱目“是中國數學教育史上的重要文獻。

12、趙 爽

趙爽，三國時期東吳的數學家。曾注《周髀算經》，他所作的《周髀算經注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百余字，并附有云幅插圖（已失傳），這篇注文簡練地總結了東漢時期勾股算術的重要成果，最早給出并證明了有關勾股弦三邊及其和、差關系的二十多個命題，他的證明主要是依據幾何圖形面積的換算關系。

趙爽還在《勾股圓方圖注》中推導出二次方程(其中a>0,A>0)的求根公式

在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關系，給出了”重差術"的證明。（漢代天文學家測量太陽高、遠的方法稱為重差術）。

13、華羅庚

華羅庚，中國現代數學家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。1985年6月12日在日本東京逝世。華羅庚1924年初中畢業之后，在上海中華職業學校學習不到一年，因家貧輟學，他刻苦自修數學，1930年在《科學》上發表了關于代數方程式解法的文章，受到專家重視，被邀到清華大學工作，開始了數論的研究，1934年成為中華教育文化基金會研究員。1936年作為訪問學者去英國劍橋大學工作。1938年回國，受聘為西南聯合大學教授。1946年應蘇聯普林斯頓高等研究所邀請任研究員，并在普林斯頓大學執教。1948年始，他為伊利諾伊大學教授。

1924年金壇中學初中畢業，后刻苦自學。1930年后在清華大學任教。1936年赴英國劍橋大學訪問、學習。1938年回國后任西南聯合大學教授。1946年赴美國，任普林斯頓數學研究所研究員、普林斯頓大學和伊利諾斯大學教授，1950年回國。歷任清華大學教授，中國科學院數學研究所、應用數學研究所所長、名譽所長，中國數學學會理事長、名譽理事長，全國數學競賽委員會主任，美國國家科學院國外院士，第三世界科學院院士，聯邦德國巴伐利亞科學院院士，中國科學院物理學數學化學部副主任、副院長、主席團成員，中國科學技術大學數學系主任、副校長，中國科協副主席，國務院學位委員會委員等職。曾任一至六屆全國人大常務委員，六屆全國政協副主席。曾被授予法國南錫大學、香港中文大學和美國伊利諾斯大學榮譽博士學位。主要從事解析數論、矩陣幾何學、典型群、自守函數論、多復變函數論、偏微分方程、高維數值積 分等領域的研究與教授工作并取得突出成就。40年代，解決了高斯完整三角和的估計這 一歷史難題，得到了最佳誤差階估計（此結果在數論中有著廣泛的應用）；對Ｇ.Ｈ.哈代與Ｊ.Ｅ.李特爾伍德關于華林問題及Ｅ.賴特關于塔里問題的結果作了重大的改進，至 今仍是最佳紀錄。代數方面，證明了歷史長久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體的正規子體一定包含在它的中心之中這個結果的一個簡單而直接的證明，被稱為嘉 當-布饒爾-華定理。其專著《堆壘素數論》系統地總結、發展與改進了哈代與李特爾伍 德圓法、維諾格拉多夫三角和估計方法及他本人的方法，發表40余年來其主要結果仍居世界領先地位，先后被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀經典數論著作之 一。其專著《多個復變典型域上的調和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達式。這項工作在調和分析、復分析、微分方程等研究中有著廣泛深入的影響，曾獲中國自然科學獎一等 獎。倡導應用數學與計算機的研制，曾出版《統籌方法平話》、《優選學》等多部著作 并在中國推廣應用。與王元教授合作在近代數論方法應用研究方面獲重要成果，被稱為 “華-王方法”。在發展數學教育和科學普及方面做出了重要貢獻。發表研究論文200多篇，并有專著和科普性著作數十種。

14、陳景潤

數學家，中國科學院院士。1933 年5月22日生于福建福州。1953年畢業于廈門大學 數學系。1957年進入中國科學院數學研究所并在華羅庚教授指導下從事數論方面的研究。歷任中國科學院數學研究所研究員、所學術委員會委員兼貴陽民族學院、河南大學、青島大學、華中工學院、福建師范大學等校教授，國家科委數學學科組成員，《數學季刊》主編等職。主要從事解析數論方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得國 際領先的成果。這一成果國際上譽為“陳氏定理”，受到廣泛引用。這項工作，使之與王 元教授、潘承洞教授共同獲得1978年國家自然科學獎一等獎。其后對上述定理又作了改進，并于1979年初完成論文《算術級數中的最小素數》，將最小素數從原有的80推進到 16，受到國際數學界好評。對組合數學與現代經濟管理、科學實驗、尖端技術、人類生活密切關系等問題也作了研究。發表研究論文70余篇，并有《數學趣味談》、《組合 數學》等著作。

15、我們的希望是在21世紀看見中國成為數學大國。”——陳省身

2004年12月3日，國際數學大師、中科院外籍院士陳省身，在天津病逝．享年93歲．陳省身，1911年10月26日生于浙江嘉興．少年時就喜愛數學，覺得數學既有趣又較容易，并且喜歡獨立思考，自

第三篇：談初中數學校本教材的開發

一、把握數學的生活性——“使教學有生活味”

《數學課程標準》中指出：“數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息做出恰當的選擇和判斷，進而解決問題，直接為社會創造價值”。這說明數學來源于社會，同時也反作用于社會，社會生活與數學關系密切，它已經滲透到生活的每個方面，我們的衣食住行都離不開它。現代數學論認為：數學源于生活，又運用于生活，生活中充滿數學，數學教育寓于生活實際。有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數學問題的聯系，借助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激發學生學習數學的求知欲，幫助學生更好的理解和掌握數學基礎知識，并運用學到的數學知識去解決實際生活中的數學問題。

二、把握數學的美育性——“使教學有韻味”

數學家克萊因認為：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。”美作為現實的事物和現象，物質產品和精神產品、藝術作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產品的數學就具有上述美的特點。

簡練、精確是數學的美。數學的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數學語言是如此慎重的、有意的而且經常是精心設計的，憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，我們就可以表達和研究數學思想，這種簡潔性有助于思維的效率。

數學很講究它的邏輯美。數學的應用是被人們廣泛認同的，可學習數學還能訓練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應，抽象的數學也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學生留有了思索和創新的空間。抽象的數學不正展示它的魅力嗎？

數學上有很多知識是和對稱有關的。對稱給人協調，平穩的感覺，像圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優美。正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才構成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。

中學數學的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會發現數學蘊涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學生感受美的同時既提高教學質量，又使教學韻味深厚。

三、把握校本教材的可讀性-------“使教學有拓展性”

陶行知先生早就說過：“在現狀下，把學習的基本自由還給學生。”，經過我們反復的思考和研究，同時邀請專家親臨指點，最終我們確定本課程的基本框架，本課程的設計理念就是要“把學習的基本自由還給學生”，所有的過程基本上都是以學生的活動展開的，真正實現“自主、合作、探究”的學習方式的變革，本課程共分為六個章節，分別是：《古老的數學》，《好玩的數學》，《有用的數學》，《智慧的數學》，《先進的數學》和《美麗的數學》。

在《古老的數學》一章中，并不是把數學史作為一門研究數學的起源、發展過程和規律的學科，而是根據現代心理學發現的一個體現數學史的認知功能的“遺傳法則”。從數學一次又一次的飛躍中尋找數學發現的故事，用故事的形式讓學生了解這些數學知識產生的背景、體會數學家們為尋找這些知識的付出的艱辛。這樣一方面可以讓學生從本質上更好的理解自己所學的知識；

另一方面也可以以此作為人生觀與價值觀教育的教材，讓學生體會“只有付出努力才會獲得成功的人生道理”，“為實現理想而不懈追求的數學精神”。

在《好玩的數學》一章中，利用心理學中“興趣是學習最好的老師”的規律，以一系列數學游戲為載體，讓學生感受到數學并不是“枯燥”的代名詞，真正的數學其實可以是樂趣無窮的，以此來激發學生的學習興趣，并以這種興趣作為他以后學習數學的動力和源泉。這樣一方面可以讓學生主動意識到自己愛玩的游戲原來與數學緊密相連，從而為學生學好數學培養內在驅動力；

另一方面，也可以在學生玩游戲的過程中幫助學生鞏固看似乏味的知識，讓學生的學科知識在游戲中得到鍛煉和提升。

在《有用的數學》一章中，根據《數學課程標準》：義務教育階段的數學課程要求“人人學有價值的數學”，設計了很多貼近學生、符合實際、利用學生現有知識能夠解決的生活實例。這樣做可以使學生深刻的感受到生活中處處存在著數學，數學來源于生活。這些在生活中經常碰到的數學問題需要我們去探究，學生通過對這些數學問題的解決，能夠更具體更深刻的理解什么是數學，知道學習和學好數學是很有用的，從而進一步培養學生學習數學的興趣、增強學生學好數學的內在驅動力。

在《智慧的數學》一章中，通過穿插一些有趣的數學小故事,以改變人們認為科學研究枯燥無味的看法。本章內容主要包括有趣的數學問題、經典的數學問題、奇怪的數學問題。通過對“有趣的數學問題”的研究，使學生對數學中的存在的智慧產生強烈的好奇與追求，從而激發學生天生的求知欲；

通過對“經典的數學問題”的研究使學生掌握一些基本的數學方法，學會用數學的方法解決問題；

通過對“奇怪的數學問題”的研究，幫助學生開闊眼界，增長知識、鍛煉和培養學生的創新思維。

在《先進的數學》一章中，主要學習和研究數學軟件“幾何畫板”的使用方法。通過對幾何畫板軟件的學習，可以激發學生的學習興趣，拓寬學生的知識面，改變學生“數學枯燥論”和“數學無用論”的觀點；

可以開發學生的學習潛能，培養學生的學習習慣，改變學生的學習方式，從而實現提高學生數學素養的目的；

另外，通過對幾何畫板軟件的學習，可為學生學習其他計算機軟件打下了一個結實的基礎，從而提高學生的電腦素養，為學生終身發展和可持續發展做出數學教育上的貢獻。

在《美麗的數學》一章中，展示給大家的是數學的美麗無所不在，數學的符號、公式、算法、圖形、表格、方程、解題思路、解題方法……都是很美麗的。這些“數學之美”都需要我們能夠和我們的學生一起去尋找、去發現、去挖掘、去欣賞，使美麗的數學成為學生快樂學習的源泉。數學的美麗使我們深刻感受到數學的教育不應該僅僅是作為對數學學科的教學，更應該把它作為一種審美教育的載體，用它來感染和啟迪學生的心靈，讓學生的人格更健全，心靈更美好。

開發校本課程要有高度的責任感、使命感和強烈的事業心，決不能僅僅憑著自己的興趣，更重要的是要把它作為自己的事業來做，要付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程，只有付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程才能在這個過程中感受成功的喜悅與幸福。

開發校本課程，首先要有一個追求（對我們國家的教育事業無比熱愛，功利心不能太強，不要一說到數學研究就問這件事情對我職稱評審有沒有用，對我評骨干教師有沒有用……），要確定一個核心思想（即開發的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校內外各類資源，要不斷地進行課程資源的積累和課程特色的培育；

校本課程的規劃要根據學生的課程需要來制訂；

要選擇貼近時代特點、社會發展與學生實際的課程內容，要變革教學方式和學習方式，充分發揮師生的獨立性、自主性和創造性，引導學生在身心愉悅的環境中實踐和研究。

校本課程的開發和建設是一個漫長的道路，需要我們時時刻刻做一個有心人，心中時時刻刻裝著為學生的終身發展和可持續發展考慮，裝著為我們數學教學向數學教育轉變服務的理想和追求。

第四篇：初中校本課程教材《經典誦讀》

初中校本課程教材

經典誦讀

前 言

中華文化博大精深，源遠流長，豐富多彩的文化瑰寶哺育了一代代中華兒女。《詩經》、《楚辭》、先秦諸子、唐詩、宋詞、元曲，《三字經》、《百家姓》、《千字文》、《千家詩》、《論語》等諸多國學經典，薈萃和濃縮了一個民族最寶貴的精神記憶，可以告訴我們很多做人做事的道理，是我們的精神食糧。

經典文化是中華文明傳承數千年的重要載體，內容博大精深，流傳的經典浩如煙海，縱使天才也沒有那么多的經歷和時間統統讀完。為此，我校根據學生的年齡和認知能力，精心編寫了該校本教材，并開發為校本課程對學生進行教育，我們的出發點是誦讀經典和語文學科學習相結合，和深化課堂改革相結合，和提升學生文史知識相結合，和學生做人教育提升學生涵養相結合。我們的目標是：

一、傳承中華美德。通過學習，讓傳統經典中承載的 “仁義忠恕孝悌禮信”的道德倫理觀和構成中華傳統文化的核心價值體系指導青少年處理人與人、人與社會、人與自然的關系。

二、健全人格。讓同學們從青少年時期接受熏陶，經典文化將在他們心里埋下種子，隨著他們慢慢長大，會與他們形影相隨，對他們的一生都將產生積極影響。如今，外來文化、網絡文化等所謂“流行文化”對孩子們的影響越來越大，不少學生不但在文化素養方面出現嚴重“營養不良”，還不同程度地表現出浮躁、自私、攀比、好逸惡勞等不良心態。學習經典讓他們在本國優秀傳統文化的滋養中成長，健全學生人格，培育民族精神。

三、陶冶情操。優秀的古典經文意存高遠，可以培養孩子們的古典文化底蘊和優雅情懷。用這些優秀的傳統文化資源充實孩子，給同學們一把開啟心智的鑰匙，繼承和發揚中華民族的燦爛文明，實現人的全面發展。

四、鑄造精神。在學生心靈最純凈、記憶力最好的時候接觸獨具智慧和價值的經典，讓學生徜徉于經典文化之中，感受祖國傳統文化的巨大魅力，逐漸培養其人文精神。

五、提升智力。讓同學們從這些經典中汲取營養，用經典智慧的鑰匙開啟現代各學科知識的寶庫。

辦優質教育、育棟梁人才是我們的目標，我校將永遠向上，永遠攀登，為培養有中國靈魂、世界眼光、有國際競爭力的創新人才而竭盡全力潛心探索、躬身實踐，奮然前行，希望學校和學生家長共同努力，積極引導學生品味經典、傳承文化，鼓勵學生在課外時間讀經典，增長這方面的知識，使青少年成為中華民族文明的傳遞者！

我們堅信：當一批又一批優秀人才秀于中華大地，橫臥成梁、挺立成柱的時候，當國家和民族十分興旺發達，屹立于世界東方的時候，我們教育人的幸福將是充實而又崇高的！

《經典誦讀》校本課程編寫組

目錄

一、愛國篇

滿江紅/8 示兒/9 過零丁洋/9 十一月四日風雨大作/10 永遇樂·京口北固亭懷古/11 破陣子 為陳同甫賦壯詞以寄之/12

二、勸學篇

勸學（孟郊）/14 勸學（荀子）/15

三、勵志篇

茅屋為秋風所破歌/29 少年中國說/30 《岳陽樓記》/34 《誡子書》/37 《前出師表》/37 《蘭亭集序》/39 《愛蓮說》/41 《師說》/42

四、感恩篇

《游子吟》/46 《墨萱圖》/47

《紙船——寄母親》/48 《再別康橋》/49 《我愛這土地》/51 《鄉愁》/52

五、紅色經典

《賀新郎》/53 《憶秦娥 婁山關 》/53 《長征》/54 《沁園春·雪》/54 《人民解放軍占領南京》/55 《西江月·井岡山》/55 《七律·長征 》/58 《卜算子·詠梅》/59 《水調歌頭·重上井岡山》59

一、【愛國篇】

滿江紅 岳飛

怒發沖冠，憑闌處，瀟瀟雨歇。抬望眼，仰天長嘯，壯懷激烈。三十功名塵與土，八千里路云和月。莫等閑，白了少年頭，空悲切!

靖康恥，猶未雪；臣子恨，何時滅？駕長車，踏破賀蘭山缺。壯志饑餐胡虜肉，笑談渴飲匈奴血。待從頭，收拾舊山河，朝天闕！

【鑒賞】

上片抒發作者為國立功滿腔忠義奮發的豪氣。

以憤怒填膺的肖像描寫起筆，開篇奇突。憑欄眺望，指顧山河，胸懷全局，正英雄本色。“長嘯”，狀感慨激憤，情緒已升溫至高潮。

“三十”、“八千”二句，反思以往，包羅時空，既反映轉戰之艱苦，又謙稱建樹之微薄，識度超邁，下語精妙。“莫等”期許未來，情懷急切，激越中微含悲涼。

下片抒寫了作者重整山河的決心和報效君王的耿耿忠心。

最后兩句語調陡轉平和，表達了作者報效朝廷的一片赤誠之心。肝膽瀝瀝，感人至深。全詞如江河直瀉，曲折回蕩，激發處鏗然作金石聲。

示 兒

【宋】陸游

死 去 元 知 萬 事 空，但 悲 不 見 九 州 同。王 師 北 定 中 原 日，家 祭 無 忘 告 乃 翁。【鑒賞】

這首詩是陸游的絕筆。他在彌留之際，還是念念不忘被女真貴族霸占著的中原領土和人民，熱切地盼望著祖國的重新統一，因此他特地寫這首詩作為遺囑，諄諄告誡自己的兒子。從這里我們可以領會到詩人的愛國激情是何等的執著、深沉、熱烈、真摯！無怪乎自南宋以來，凡是讀過這首詩的人無不為之感動，特別是當外敵入侵或祖國分裂的情況下，更引起了無數人的共鳴。

這首詩用筆曲折，情真意切地表達了詩人臨終時復雜的思想情緒，既有對抗金大業未就的無窮遺恨，也有對神圣事業必成的堅定信念。全詩有悲的成分，但基調是激昂的。詩的語言渾然天成，沒有絲毫雕琢，全是真情的自然流露，但比著意雕琢的詩更美，更感人。

過零丁洋

（南宋）文天祥

辛苦遭逢起一經，干戈寥落四周星。山河破碎風飄絮，身世浮沉雨打萍。惶恐灘頭說惶恐，零丁洋里嘆零丁。人生自古誰無死，留取丹心照汗青。

【鑒賞】

這是一首永垂千古的述志詩。詩的開頭，回顧身世。意在暗示自己是久經磨煉，無論什么艱難困苦都無所畏懼。接著追述戰斗生涯：在荒涼冷落的戰爭環境里，我度過了四年。把個人命運和國家興亡聯系在一起了。三四句承上從國家和個人兩個方面，繼續抒寫事態的發展和深沉的憂憤。這一聯對仗工整，比喻貼切，真實反映了當時的社會現實和詩人的遭遇。國家民族的災難，個人坎坷的經歷，萬般痛苦煎熬著詩人的情懷，使其言辭倍增凄楚。五六句喟嘆更深，以遭遇中的典型事件，再度展示詩人因國家覆滅和己遭危難而顫栗的痛苦心靈。結尾兩句以磅礴的氣勢收斂全篇，寫出了寧死不屈的壯烈誓詞，意思是，自古以來，人生哪有不死的呢？只要能留得這顆愛國忠心照耀在史冊上就行了。

《十一月四日風雨大作》

（南宋）陸游

僵臥孤村不自哀，尚思為國戍輪臺。

夜闌臥聽風吹雨，鐵馬冰(兵)河(何)入夢來。

賞析：

陸游自南宋孝宗淳熙十六年(1189)罷官后，閑居家鄉山陰農村。此詩作于南宋光宗紹熙三年(1192)十一月四日。當時詩人已經68歲，雖然年邁，但愛國

情懷絲毫未減，日夜思念報效祖國。詩人收復國土的強烈愿望，在現實中當然已不可能實現，于是，在一個“風雨大作”的夜里，觸景生情，由情生思，在夢中實現了自己金戈鐵馬馳騁中原的愿望。感情深沉悲壯，凝聚了詩人所有的愛國主義激情。

永遇樂·京口北固亭懷古

宋·辛棄疾

千古江山，英雄無覓，孫仲謀處。舞榭歌臺，風流總被，雨打風吹去。斜陽草樹，尋常巷陌。人道寄奴曾住。想當年，金戈鐵馬，氣吞萬里如虎。元嘉草草，封狼居胥，贏得倉皇北顧。四十三年，望中猶記，烽火揚州路。可堪回首，佛貍祠下，一片神鴉社鼓。憑誰問：廉頗老矣，尚能飯否？

賞析：

《永遇樂·京口北固亭懷古》寫于宋寧宗開禧元年(1205), 辛棄疾六十六歲時。當時韓侂胄執政, 正積極籌劃北伐, 閑置已久的辛棄疾于前一年被起用為浙東安撫使，這年春初，又受命擔任鎮江知府，戍守江防要地京口(今江蘇鎮江)。從表面看來，朝廷對他似乎很重視，然而實際上只不過是利用他那主戰派元老的招牌作為號召而已。辛棄疾到任后，一方面積極布置軍事進攻的準備工作；但另一方面，他又清楚地意識到政治斗爭的險惡，自身處境的孤危，深感很難有所作為。辛棄疾支持北伐抗金的決策，但是對獨攬朝政的韓侂胄輕敵冒進的作法，又感到憂心忡忡，他認為應當做好充分準備，絕不能草率從事，否則難免重蹈覆轍，使北伐再次遭到失敗。辛棄疾的意見沒有引起南宋當權者的重視。一次他來到京口北固亭，登高眺望，懷古憶昔，心潮澎湃，感慨萬千，于是寫下了這篇千古傳誦的杰作。

破陣子 為陳同甫賦壯詞以寄之

南宋 辛棄疾

醉里挑燈看劍，夢回吹角連營。八百里分麾下炙，五十弦翻塞外聲，沙場秋點兵。馬作的盧飛快，弓如霹靂弦驚。了卻君王天下事，贏得生前身后名。可憐白發生！

賞析：

這是辛棄疾寄給陳亮（字同甫）的一首詞。陳亮是一位愛國志士，一生堅持抗金的主張，他是辛棄疾政治上、學術上的好友。他一生不得志，五十多歲才狀元及第，第二年就死了。他倆同是被南宋統治集團所排斥、打擊的人物。宋淳熙十五年，陳亮與辛棄疾曾經在江西鵝湖商量恢復大計，但是后來他們的計劃全都落空了。這首詞可能是這次約會前后的作品。

【勸學篇】

勸學

（唐）孟郊

擊石乃有火，不擊元無煙。人學始知道，不學非自然。萬事須己運，他得非我賢。青春須早為，豈能長少年。

【鑒賞】

只有擊打石頭，才會有火花；如果不擊打，連一點兒煙也不冒出。人也是這樣，只有通過學習，才能掌握知識；如果不學習，知識不會從天上掉下來。

任何事情必須自己去實踐，別人得到的知識不能代替自己的才能。青春年少時期就應趁早努力，一個人難道能夠永遠都是“少年”嗎？

勸 學

荀子

君子曰：學不可以已。青，取之于藍，而青于藍；冰，水為之，而寒于水。木直中繩，輮（r?u）以為輪，其曲中規。雖有（y?u）槁暴（pù），不復挺者，輮使之然也。故木受繩則直，金就礪則利，君子博學而日參省乎己，則知明而行無過矣。

故不登高山，不知天之高也；不臨深溪，不知地之厚也；不聞先王之遺

言，不知學問之大也。干,越,夷,貉之子，生而同聲，長而異俗，教使之然也。詩曰：“嗟爾君子，無恒安息。靖共爾位，好是正直。神之聽之，介爾景福。”神莫大于化道，福莫長于無禍。

吾嘗終日而思矣，不如須臾之所學也。吾嘗跂而望矣，不如登高之博見也。登高而招，臂非加長也，而見者遠；順風而呼，聲非加疾也，而聞者彰。假輿馬者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而絕江河。君子生(xìng)非異也，善假于物也。

南方有鳥焉，名曰蒙鳩，以羽為巢，而編之以發，系之葦苕，風至苕折，卵破子死。巢非不完也，所系者然也。西方有木焉，名曰射干，莖長四寸，生于高山之上，而臨百仞之淵，木莖非能長也，所立者然也。蓬生麻中，不扶而直；白沙在涅，與之俱黑。蘭槐之根是為芷，其漸之滫（xiǔ），君子不近，庶人不服。其質非不美也，所漸者然也。故君子居必擇鄉，游必就士，所以防邪辟而近中正也。

物類之起，必有所始。榮辱之來，必象其德。肉腐出蟲，魚枯生蠹（dù）。怠慢忘身，禍災乃作。強自取柱，柔自取束。邪穢在身，怨之所構。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就濕也。草木疇生，禽獸群焉，物各從其類也。是故質的張，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；樹成蔭，而眾鳥息焉。酰酸，而蚋聚焉。故言有招禍也，行有招辱也，君子慎其所立乎！

積土成山，風雨興焉；積水成淵，蛟龍生焉；積善成德，而神明自得，圣心備焉。故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海。騏驥一躍，不能十步；駑馬十駕，功在不舍。鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤。蚓無爪牙之利，筋骨之強，上食埃土，下飲黃泉，用心一也。蟹六跪而二螯，非蛇鱔之穴無可寄托者，用心躁也。

是故無冥冥之志者，無昭昭之明；無惛惛之事者，無赫赫之功。行衢(qú)道者不至，事兩君者不容。目不能兩視而明，耳不能兩聽而聰。螣蛇無足而飛，鼫鼠五技而窮。《詩》曰：“尸鳩在桑，其子七兮。淑人君子，其儀一兮。其儀一兮，心如結兮！”故君子結于一也。

昔者瓠巴鼓瑟，而流魚出聽；伯牙鼓琴，而六馬仰秣。故聲無小而不聞，行無隱而不形。玉在山而草潤，淵生珠而崖不枯。為善不積邪？安有不聞者乎？

學惡乎始？惡乎終？曰：其數則始乎誦經，終乎讀禮；其義則始乎為士，終乎為圣人，真積力久則入，學至乎沒而后止也。故學數有終，若其義則不可須臾舍也。為之，人也；舍 之，禽獸也。故書者，政事之紀也；詩者，中聲之所止也；禮者，法之大分，類之綱紀也。故學至乎禮而止矣。夫是之謂道德之極。禮之敬文也，樂之中和也，詩書之博也，春秋之微 也，在天地之間者畢矣。君子之學也，入乎耳，著乎心，布乎四體，形乎動靜。端而言，蝡而動，一可以為法則。小人之學也，入乎耳，出乎口；口耳之間，則四寸耳，曷足以美七尺之軀哉！古之學者為己，今之學者為人。君子之學也，以美其身；小人之學也，以為禽犢。故不問而告謂之傲，問一而告二謂之囋。傲、非也，囋、非也；君子如響矣。

學莫便乎近其人。禮樂法而不說，詩書故而不切，春秋約而不速。方其人之習君子之說，則尊以遍矣，周于世矣。故曰：學莫便乎近其人。

學之經莫速乎好其人，隆禮次之。上不能好其人，下不能隆禮，安特將學雜識志，順詩書而已耳。則末世窮年，不免為陋儒而已。將原先王，本仁義，則禮正其經緯蹊徑也。若挈裘領，詘五指而頓之，順者不可勝數也。不道禮憲，以詩書為之，譬之猶以指測河也，以戈舂黍也，以錐餐壺也，不可

以得之矣。故隆禮，雖未明，法士也；不隆禮，雖察辯，散儒也。

問楛者，勿告也；告楛者，勿問也；說楛者，勿聽也。有爭氣者，勿與辯也。故必由其道至，然后接之；非其道則避之。故禮恭，而后可與言道之方；辭順，而后可與言道之理；色從而后可與言道之致。故未可與言而言，謂之傲；可與言而不言，謂之隱；不觀氣色而言，謂瞽。故君子不傲、不隱、不瞽，謹順其身。詩曰：“匪交匪舒，天子所予。”此之謂也。

百發失一，不足謂善射；千里跬步不至，不足謂善御；倫類不通，仁義不一，不足謂善學。學也者，固學一之也。一出焉，一入焉，涂巷之人也；其善者少，不善者多，桀紂盜跖也；全之盡之，然后學者也。

君子知夫不全不粹之不足以為美也，故誦數以貫之，思索以通之，為其人以處之，除其害者以持養之。使目非是無欲見也，使口非是無欲言也，使心非是無欲慮也。及至其致好之也，目好之五色，耳好之五聲，口好之五味，心利之有天下。是故權利不能傾也，群眾不能移也，天下不能蕩也。生乎由是，死乎由是，夫是之謂德操。德操然后能定，能定然后能應。能定能應，夫是之謂成人。天見其明，地見其光，君子貴其全也。【譯文】

有道德修養的人說：學習是不可以停止的。靛青是從藍草里提取的，可是比藍草的顏色更深；冰是水凝結而成的，卻比水還要寒冷。木材直得可以符合拉直的墨線，用火烤把它彎曲成車輪，（那么）木材的彎度（就）合乎圓規的標準了，即使又被風吹日曬而干枯了，（木材）也不會再挺直，是因為經過加工，使它成為這樣的。所以木材用墨線量過，再經輔具加工就能取直，刀劍等金屬制品在磨刀石上磨過就能變得鋒利，君子廣泛地學習，而且每天檢查反省自己，那么他就會聰明機智，而行為就不會有過錯了。

因此，不登上高山，就不知天多么高；不面臨深澗，就不知道地多么厚；不懂得先代帝王的遺教，就不知道學問的博大。干越夷貉之人，剛生下來啼哭的聲音是一樣的，而長大后風俗習性卻不相同，這是教育使之如此。《詩經》上說：“你這個君子啊，不要總是貪圖安逸。恭謹對待你的本職，愛好正直的德行。神明聽到這一切，就會賜給你洪福 祥瑞。”精神修養沒有比受道德熏陶感染更大了，福分沒有比無災無禍更長遠了。

我曾經整天地思考，卻不如片刻學習的收獲大；我曾經提起腳后跟眺望，卻不如登上高處看的廣闊。登上高處招手，手臂并沒有加長，但人們在遠處也能看見；順著風向呼喊，聲音并沒有增強，但聽的人聽得更清楚。借助車馬的人，不是腳步快，卻能到達千里之外；借助船舶楫槳的人，不一定善于游水，卻能橫渡長江黃河。君子的本性（同一般人）沒有差別，只是善于借助外物罷了。

南方有一種叫“蒙鳩”的鳥，用羽毛作窩，還用毛發把窩編結起來，把窩系在嫩蘆葦的花穗上，風一吹葦穗折斷，鳥窩就墜落了，鳥蛋全部摔爛。不是窩沒編好，而是不該系在蘆葦上面。西方有種叫“射干”的草，只有四寸高，卻能俯瞰百里之遙，不是草能長高，而是因為它長在了高山之巔。蓬草長在麻地里，不用扶持也能挺立住，白沙混進了黑土里，就再不能變白了，蘭槐的根叫香艾，一但浸入臭水里，君子下人都會避之不及，不是艾本身不香，而是被浸泡臭了。所以君子居住要選擇好的環境，交友要選擇有道德的人，才能夠防微杜漸保其中庸正直。

事情的發生都是有起因的，榮辱的降臨也與德行相應。肉腐了生蛆，魚枯死了生蟲，懈怠疏忽忘記了做人準則就會招禍。太堅硬物體易斷裂，太柔弱了又易被束縛，與人不善會惹來怨恨，干柴易燃，低洼易濕，草木叢生，野獸成群，萬物皆以類聚。所以靶子設置好了就會射來弓箭，樹長成了森林就會引來斧頭砍伐，樹林繁茂蔭涼眾鳥就會來投宿，醋變酸了就會惹來蚊蟲，所以言語可能招禍，行為可能受辱，君子為人處世不能不保持謹慎。

堆積土石成了高山，風雨就從這里興起了；匯積水流成為深淵，蛟龍就從這兒產生了；積累善行養成高尚的品德，精神就能達到很高的境界，圣人的思想（也就）具備了。所以不積累一步半步的行程，就沒有辦法達到千里之遠；不積累細小的流水，就沒有辦法匯成江河大海。千里馬一跨躍，也不足十步遠；劣馬拉車走十天，（也能走得很遠，）它的成功就在于不停地走。雕刻一樣物品但最后放棄了它了，（那么）腐爛的木頭也刻不斷。（如果）不停地刻下去，（那么）金石也能雕刻成功。蚯蚓沒有鋒利的爪牙，強健的筋骨，卻能向上吃到泥土，向下可以喝到泉水，這是由于它用心專一啊。蟹有六條腿和兩個蟹鉗，（但是）如果沒有蛇、鱔的洞穴它就無處存身，這是因為它用心浮躁啊。

因此沒有刻苦鉆研的心志，學習上就不會有顯著成績；沒有埋頭苦干的實踐，事業上就不會有巨大成就。在歧路上行走達不到目的地，同時事奉兩個君主的人，兩方都 不會容忍他。眼睛不能同時看兩樣東西而看明白，耳朵不能同時聽兩種聲音而聽清楚。螣蛇沒有腳但能飛，鼫鼠有五種本領卻還是沒有辦法。《詩》上說：“布谷鳥筑巢在桑樹上，它的幼鳥兒有七只。善良的君子們，行為要專一不偏邪。行為專一不偏邪，意志才會如磐石堅。”所以君子的意志堅定專一。

古有瓠巴彈瑟，水中魚兒也浮出水面傾聽，伯牙彈琴，拉車的馬會停食仰頭而聽。所以聲音不會因為微弱而不被聽見，行為不會因為隱秘而不被發現。寶玉埋在深山，草木就會很潤澤，珍珠掉進深淵，崖岸就不會干枯。行

善可以積累，哪有積善成德而不被廣為傳誦的呢？

學習究竟應從何入手又從何結束呢？答：按其途徑而言，應該從誦讀《詩》、《書》等經典入手到《禮經》結束；就其意義而言，則從做書生入手到成為圣人結束。真誠力行，這樣長期積累，必能深入體會到其中的樂趣，學到死方能后已。所以學習的教程雖有盡頭，但進取之愿望卻不可以有片刻的懈怠。畢生好學才成其為人，反之又與禽獸何異？《尚書》是政事的記錄；《詩經》是心聲之歸結；《禮經》是法制的前提、各種條例的總綱，所以要學到《禮經》才算結束，才算達到了道德之頂峰。《禮經》敬重禮儀，《樂經》講述中和之聲，《詩經》《尚書》博大廣闊，《春秋》微言大義，它們已經將天地間的大學問都囊括其中了。

君子學習，是聽在耳里，記在心里，表現在威儀的舉止和符合禮儀的行動上。一舉一動，哪怕是極細微的言行，都可以垂范于人。小人學習是從耳聽從嘴出，相距不過四寸而已，怎么能夠完美他的七尺之軀呢？古人學習是自身道德修養的需求，現在的人學習則只是為了炫耀于人。君子學習是為了完善自我，小人學習是為了賣弄和嘩眾取寵，將學問當作家禽、小牛之類的禮物去討人好評。所以，沒人求教你而去教導別人叫做浮躁；問一答二的叫羅嗦；浮躁羅嗦都是不對的，君子答問應像空谷回音一般，不多不少、恰到好處。

學習沒有比親近良師更便捷的了。《禮經》、《樂經》有法度但嫌疏略；《詩經》、《尚書》古樸但不切近現實；《春秋》隱微但不夠周詳；仿效良師學習君子的學問，既崇高又全面，還可以通達世理。所以說學習沒有比親近良師更便捷的了。

崇敬良師是最便捷的學習途徑，其次就是崇尚禮儀了。若上不崇師，下

不尚禮，僅讀些雜書，解釋一下《詩經》《尚書》之類，那么盡其一生也不過是一介淺陋的書生而已。要窮究圣人的智慧，尋求仁義的根本，從禮法入手才是能夠融會貫通的捷徑。就像彎曲五指提起皮袍的領子，向下一頓，毛就完全順了。如果不究禮法，僅憑《詩經》《尚書》去立身行事，就如同用手指測量河水，用戈舂黍米，用錐子到飯壺里取東西吃一樣，是辦不到的。所以，尊崇禮儀，即使對學問不能透徹明了，不失為有道德有修養之士；不尚禮儀，即使明察善辯，也不過是身心散漫無真實修養的淺陋儒生而已。

如果有人前來向你請教不合禮法之事，不要回答；前來訴說不合禮法之事，不要去追問；在你面前談論不合禮法之事，不要去參與；態度野蠻好爭意氣的，別與他爭辯。所以，一定要是合乎禮義之道的，才給予接待；不合乎禮義之道的，就回避他；因此，對于恭敬有禮的人，才可與之談道的宗旨；對于言辭和順的人，才可與之談道的內容；態度誠懇的，才可與之論及道的精深義蘊。所以，跟不可與之交談的交談，那叫做浮躁；跟可與交談的不談那叫怠慢；不看對方回應而隨便談話的叫盲目。因此，君子不可浮躁，也不可怠慢，更不可盲目，要謹慎地對待每位前來求教的人。《詩經》說：“不浮躁不怠慢才是天子所贊許的。”說的就是這個道理。

射出的百支箭中有一支不中靶，就不能算是善于射；駕馭車馬行千里的路程，只差半步而沒能走完，這也不能算是善于駕；對倫理規范不能融會貫通、對仁義之道不能堅守如一，當然也不能算是善學。學習本是件很需要專心至致的事情，學一陣又停一陣那是市井中的普通人。好的行為少而壞的行為多，桀、紂、拓就是那樣的人。能夠全面徹底地把握所學的知識，才算得上是個學者。

君子知道學得不全不精就不算是完美，所以誦讀群書以求融會貫通，用

思考和探索去理解，效仿良師益友來實踐，去掉自己錯誤的習慣性情來保持養護。使眼不是正確的就不想看、耳不是正確的就不想聽，嘴不是正確的就不想說，心不是正確的就不愿去思慮。等達到完全醉心于學習的理想境地，就如同眼好五色，耳好五聲，嘴好五味那樣，心里貪圖擁有天下一樣。如果做到了這般地步，那么，在權利私欲面前就不會有邪念，人多勢眾也不會屈服的，天下萬物都不能動搖信念。活著是如此，到死也不變。這就叫做有德行、有操守。有德行和操守，才能做到堅定不移，有堅定不移然后才有隨機應對。能做到堅定不移和隨機應對，那就是成熟完美的人了。到那時天顯現出它的光明，大地顯現出它的廣闊，君子的可貴則在于他德行的完美無缺。

名言警句

1、敏而好學，不恥下問——孔子

2、業精于勤，荒于嬉；行成于思，毀于隨——韓愈

3、學而不思則罔，思而不學則殆——孔子

4、知之者不如好之者，好之者不如樂之者——孔子

5、三人行，必有我師也。擇其善者而從之，其不善者而改之——孔子

6、興于《詩》，立于禮，成于樂——孔子

7、己所不欲，勿施于人——孔子

8、讀書破萬卷，下筆如有神——杜甫

9、讀書有三到，謂心到，眼到，口到——朱熹

10、立身以立學為先，立學以讀書為本——歐陽修

11、讀萬卷書，行萬里路——劉彝

12、黑發不知勤學早，白發方悔讀書遲——顏真卿

13、書卷多情似故人，晨昏憂樂每相親——于謙

14、書猶藥也，善讀之可以醫愚——劉向

15、少壯不努力，老大徒傷悲——《漢樂府。長歌行》

16、莫等閑，白了少年頭，空悲切——岳飛

17、發奮識遍天下字，立志讀盡人間書——蘇軾

18、鳥欲高飛先振翅，人求上進先讀書——李苦禪

19、立志宜思真品格，讀書須盡苦功夫——阮元 20、非淡泊無以明志，非寧靜無以致遠——諸葛亮

21、勿以惡小而為之，勿以善小而不為——陳壽《三國志》

22、熟讀唐詩三百首，不會作詩也會吟——孫洙《唐詩三百首序》

23、書到用時方恨少，事非經過不知難——陸游

24、問渠那得清如許，為有源頭活水來——朱熹

25、舊書不厭百回讀，熟讀精思子自知——蘇軾

26、書癡者文必工，藝癡者技必良——蒲松齡

27、讀書百遍，其義自見——《三國志》

28、千里之行，始于足下——老子

29、路漫漫其修道遠，吾將上下而求索——屈原 30、奇文共欣賞，疑義相如析——陶淵明

31、讀書之法，在循序而漸進，熟讀而精思——朱熹

32、吾生也有涯，而知也無涯——莊子

33、非學無以廣才，非志無以成學——諸葛亮

34、玉不啄，不成器；人不學，不知道——《禮記》

【勵志篇】

茅屋為秋風所破歌

杜甫

八月秋高風怒號，卷我屋上三重茅。

茅飛度江灑江郊，高者掛卷長林梢，下者飄轉沈塘坳。

南村群童欺我老無力，忍能對面為盜賊。

公然抱茅入竹去，唇焦口燥呼不得，歸來倚仗自嘆息。

俄頃風定云墨色，秋天漠漠向昏黑。

布衾多年冷似鐵，驕兒惡臥蹋里裂。

床頭屋漏無干處，雨腳如麻未斷絕。

自經喪亂少睡眠，長夜沾濕何由徹！

安得廣廈千萬間，大庇天下寒士俱歡顏，風雨不動安如山！嗚呼，何時眼前突兀見此屋，吾廬獨破受凍死亦足！鑒賞：

本詩作者抒發的情懷與范仲淹的《岳陽樓記》中“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”抒發的情懷基本一致。也表達了作者關心民間疾苦，憂國憂民的思想感情。

俄國著名文學評論家別林斯基曾說：“任何一個詩人也不能由于他自己和靠描寫他自己而顯得偉大，不論是描寫他本身的痛苦，或者描寫他本身的幸福。任何偉大詩人之所以偉大，是因為他們的痛苦和幸福的根子深深地伸進了社會和歷史的土壤里，因為他是社會、時代、人類的器官和代表。”杜甫在這首詩里描寫了他本身的痛苦，但他不是孤立地、單純地描寫他本身的痛苦，而是通過描寫他本身的痛苦來表現“天下寒士”的痛苦，來表現社會的苦難、時代的苦難。

他也不是僅僅因為自身的不幸遭遇而哀嘆、而失眠、而大聲疾呼，在狂風猛雨無情襲擊的秋夜，詩人腦海里翻騰的不僅是“吾廬獨破”，而且是“天下寒士”的茅屋俱破。杜甫這種熾熱的憂國憂民的情感和迫切要求變革黑暗現實的崇高理想，千百年來一直激動讀者的心靈，并發生過積極的作用。

少年中國說

梁啟超

日本人之稱我中國也，一則曰老大帝國，再則曰老大帝國。是語也，蓋襲譯歐西人之言也。嗚呼！我中國其果老大矣乎？梁啟超曰：惡！是何言！是何言！吾心目中有一少年中國在。

欲言國之老少，請先言人之老少。老年人常思既往，少年人常思將來。惟思既往也，故生留戀心；惟思將來也，故生希望心。惟留戀也，故保守；惟希望也，故進取。惟保守也，故永舊；惟進取也，故日新。惟思既往也，事事皆其所已經者，故惟知照例；惟思將來也，事事皆其所未經者，故常敢破格。老年人常多憂慮，少年人常好行樂。惟多憂也，故灰心；惟行樂也，故盛氣。惟灰心也，故怯懦；惟盛氣也，故豪壯。惟怯懦也，故茍且；惟豪壯也，故冒險。惟茍且也，故能滅世界；惟冒險也，故能造世界。老年人常厭事，少年人常喜事。惟厭事也，故常覺一切事無可為者；惟好事也，故常覺一切事無不可為者。老年人如夕照，少年人如朝陽。老年人如瘠牛，少年人如乳虎。此老年與少年性格不同之大略也。梁啟超曰：人固有之，國亦宜然。

造成今日之老大中國者，則中國老朽之冤業也；制出將來之少年中國者，則中國少年之責任也。故今日之責任，不在他人，而全在我少年。少年智則國智，少年富則國富，少年強則國強，少年獨立則國獨立，少年自由則國自由，少年進步則國進步，少年勝于歐洲，則國勝于歐洲，少年雄于地球，則國雄于

地球。紅日初升，其道大光；河出伏流，一瀉汪洋；潛龍騰淵，鱗爪飛揚；乳虎嘯谷，百獸震惶；鷹隼試翼，風塵翕張；奇花初胎，矞矞皇皇；干將發硎，有作其芒；天戴其蒼，地履其黃；縱有千古，橫有八荒，前途似海，來日方長。美哉,我少年中國，與天不老；壯哉,我中國少年，與國無疆！

【譯文】

日本人稱呼我們中國，一稱作老大帝國，再稱還是老大帝國。這個稱呼，是承襲照譯了歐洲西方人的話。真是實在可嘆啊！我們中國果真是老大帝國嗎？梁啟超說：“不！這是什么話！這算什么話！在我心中有一個少年中國存在。”

要想說國家的老與少，請讓我先來說一說人的老與少。老年人常常喜歡回憶過去，少年人則常常喜歡考慮將來。由于回憶過去，所以產生留戀之心；由于考慮將來，所以產生希望之心。由于留戀，所以保守；由于希望，所以進取。由于保守，所以永遠陳舊；由于進取，所以日日更新。由于回憶過去，所有的事情都是他已經經歷的，所以只知道照慣例辦事；由于思考未來，各種事情都是他所未經歷的，因此常常敢于破格。老年人常常多憂慮，少年人常常喜歡行樂。因為多憂愁，所以容易灰心；因為要行樂，所以產生旺盛的生氣。因為灰心，所以怯懦；因為氣盛，所以豪壯。因為怯懦，所以只能茍且；因為豪壯，所以敢于冒險。因為茍且因循，所以必定使社會走向死亡；因為敢于冒險，所以能夠創造世界。老年人常常厭事，少年人常常喜歡任事。因為厭于事，所以常常覺得天下一切事情都無可作為；因為好任事，所以常常覺得天下一切事情都無不可為。老年人如夕陽殘照，少年人如朝旭初陽。老年人如瘦瘠的老牛，少年人如初生的虎犢。老年人如坐僧，少年人如飛俠。老年人如釋義的字典，少年人如活潑的戲文。老年人如抽了鴉片洋煙，少年人如喝了白蘭地烈酒。老

年人如告別行星向黑暗墜落的隕石，少年人如海洋中不斷增生的珊瑚島。老年人如埃及沙漠中矗立的金字塔，少年人如西伯利亞不斷延伸的大鐵路。老年人如秋后的柳樹，少年人如春前的青草。老年人如死海已聚水成大澤，少年人如長江涓涓初發源。這些是老年人與少年人性格不同的大致情況。梁啟超說：人固然有這種不同，國家也應當如此。

梁啟超說：造成今天衰老腐朽中國的，是中國衰老腐朽人的罪孽。創建未來的少年中國的，是中國少年一代的責任。那些衰老腐朽的人有什么可說的，他們與這個世界告別的日子不遠了，而我們少年才是新來并將與世界結緣。如租賃房屋的人一樣，他們明天就將遷到別的地方去住，而我們今天才搬進這間屋子居住。將要遷居別處的人，不愛護這間屋子的窗戶，不清掃治理這間房舍的庭院走廊，這是俗人常情，又有什么值得奇怪的！至于象我們少年人，前程浩浩遠大，回顧遼闊深遠。中國如果成為牛馬奴隸，那么烹燒、宰割、鞭打的慘酷遭遇，只有我們少年承受。中國如果稱霸世界，主宰地球，那么發號施令左顧右盼的尊貴光榮，也只有我們少年享受；這對于那些氣息奄奄將與死鬼做鄰居的老朽有什么關系？他們如果漠然對待這一問題還可以說得過去。我們如果漠然地對待這一問題，就說不過去了。假如使全國的少年果真成為充滿朝氣的少年，那么我們中國作為未來的國家，它的進步是不可限量的；假如全國的少年也變成衰老腐朽的人，那么我們中國就會成為從前那樣的國家，它的滅亡不久就要到來。所以說今天的責任，不在別人身上，全在我們少年身上。少年聰明我國家就聰明，少年富裕我國家就富裕，少年強大我國家就強大，少年獨立我國家就獨立，少年自由我國家就自由，少年進步我國家就進步，少年勝過歐洲，我國家就勝過歐洲，少年稱雄于世界，我國家就稱雄于世界。紅日剛剛升起，道路充滿霞光；黃河從地下冒出來，洶涌奔瀉浩浩蕩蕩；潛龍從深淵中

騰躍而起，它的鱗爪舞動飛揚；小老虎在山谷吼叫，所有的野獸都害怕驚慌，雄鷹隼鳥振翅欲飛，風和塵土高卷飛揚；奇花剛開始孕起蓓蕾，是光明盛大的樣子；寶劍新磨，鋒刃大放光芒。頭頂著青色的長天，腳踏著黃色的大地，從縱的時間看有悠久的歷史，從橫的空間看有遼闊的疆域。前途像海一般寬廣，未來的日子無限遠長。美麗啊，我的少年中國，將與天地共存不老！雄壯啊，我的中國少年，將與祖國萬壽無疆！

《岳陽樓記》

范仲淹

慶歷四年春，滕子京謫（封建王朝官吏降職或遠調）守巴陵郡。越（及，到）明年，政通人和，百廢具（同“俱”全，皆）興。乃重修岳陽樓，增其舊制，刻唐賢今人詩賦于其上。屬（同“囑”）予作文以記之。

予觀夫巴陵勝狀（好風景），在洞庭一湖。銜遠山，吞長江，浩浩湯湯（水波浩蕩的樣子），橫（廣遠）無際（邊）涯；朝暉（日光）夕陰，氣象萬千。此則岳陽樓之大觀也。前人之述備矣。然則北通巫峽，南極（盡）瀟湘，遷客騷人，多會于此，覽物之情，得無異乎？

若夫霪雨（連綿不斷的雨）霏霏，連月不開（放晴），陰風怒號，濁浪排空（沖向天空）；日星隱耀，山岳潛形；商旅不行，檣傾楫摧；薄（迫近）暮冥冥，虎嘯猿啼。登斯樓也，則有去國懷鄉，憂讒畏譏，滿目蕭然，感極而悲者矣。

至若春和景（日光）明，波瀾不驚，上下天光，一碧萬頃；沙鷗翔集，錦鱗（美麗的魚）游泳；岸芷汀蘭，郁郁青青。而或長煙一空，皓月千里，浮光躍金，靜影沉璧，漁歌互答，此樂何極！登斯樓也，則有心曠神怡，寵辱偕忘，把（持）酒臨風，其喜洋洋者矣。

嗟夫！予嘗（曾經）求（探求）古仁人之心，或異二者之為，何哉？不以物喜，不以己悲；居廟堂之高則憂其民；處江湖之遠則憂其君。是進亦憂，退亦憂。然則何時而樂耶？其必曰“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”乎。噫！微（沒有）斯人，吾誰與歸（歸依？ 時六年九月十五日。

賞析

《岳陽樓記》的著名，首先是因為它的思想境界崇高。和它同時的另一位著名的文學家歐陽修在為他寫的碑文中說，他從小就有志于天下，常自誦曰：“士當先天下之憂而憂，后天下之樂而樂也。”可見《岳陽樓記》末尾所說的“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”，是范仲淹一生行為的準則。孟子說：“達則兼善天下，窮則獨善其身”。這已成為封建時代許多士大夫的信條。范仲淹寫這篇文章的時候正貶官在外，“處江湖之遠”，本來可以采取獨善其身的態度，落得清閑快樂。可是他不肯這樣，仍然以天下為己任，用“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”這兩句話來勉勵自己和朋友，這是難能可貴的。

一個人要做到先憂，必須有膽、有識、有志，固然不容易；而一個先憂之士當他建立了功績之后還能后樂，才更加可貴。這兩句話所體現的精神，那種吃苦在前，享樂在后的品質，在今天無疑仍有教育意義。

《誡子書》

諸葛亮

夫(fú)君子之行，靜以修身，儉以養德。非淡泊(澹泊)無以明志，非寧靜無以致遠。夫學須靜也，才須學也。非學無以廣才，非志無以成學。淫漫則不能勵精，險躁則不能冶性。

年與時馳，意與日去，遂成枯落，多不接世，悲守窮廬，將復何及！

賞析：

古代家訓，大都濃縮了作者畢生的生活經歷、人生體驗和學術思想等方面內容，不僅他的子孫從中獲益頗多，就是今人讀來也大有可借鑒之處。三國時蜀漢丞相諸葛亮被后人譽為“智慧之化身”，他的《誡子書》也可謂是一篇充滿智慧之語的家訓，是古代家訓中的名篇。文章短小精悍，闡述修身養性、治學做人的深刻道理，讀來發人深省。

《前出師表》 諸葛亮

臣亮言：先帝創業未半，而中道崩殂；今天下三分，益州疲弊，此誠危急存亡之秋也。然侍衛之臣，不懈于內；忠志之士，忘身于外者：蓋追先帝之殊遇，欲報之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣；不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。

宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同：若有作奸犯科，及為忠善者，宜付有司，論其刑賞，以昭陛下平明之治；不宜偏私，使內外異法也。

侍中、侍郎郭攸之、費依、董允等，此皆良實，志慮忠純，是以先帝簡拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必得裨補闕漏，有所廣益。將軍向寵，性行淑均，曉暢軍事，試用之于昔日，先帝稱之曰“能”，是以眾議舉寵為督：愚以為營中之事，事無大小，悉以咨之，必能使行陣和穆，優劣得所也。親賢臣，遠小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠賢臣，此后漢所以傾頹也。先帝在時，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也！侍中、尚書、長史、參軍，此悉貞亮死節之臣也，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計日而待也。

臣本布衣，躬耕南陽，茍全性命于亂世，不求聞達于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，諮臣以當世之事，由是感激，遂許先帝以驅馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危難之間：爾來二十有一年矣。先帝知臣謹慎，故臨崩寄臣以大事也。受命以來，夙夜憂慮，恐付托不效，以傷先帝之明；故五月渡瀘，深入不毛。今南方已定，甲兵已足，當獎帥三軍，北定中原，庶竭駑鈍，攘除奸兇，興復漢室，還于舊都：此臣所以報先帝而忠陛下之職分也。至于斟酌損益，進盡忠言，則攸之、依、允等之任也。

愿陛下托臣以討賊興復之效，不效則治臣之罪，以告先帝之靈；若無興復之言，則責攸之、依、允等之咎，以彰其慢。陛下亦宜自謀，以諮諏善道，察納雅言，深追先帝遺詔。臣不勝受恩感激！今當遠離，臨表涕泣，不知所言。

賞析：

《出師表》前半部分是臨行時的進諫，后半部分乃表明此行奪勝的決心。劉禪雖為蜀主，而蜀之安危成敗，實系于諸葛亮之身，因而率眾出征時，當促使后主保持清醒的頭腦，具備正確的觀點，采取得力的措施，才能保證前方順利進軍；同時表明自己忠貞死節之心，既是自勉自勵，也是預防小人惑主。

《蘭亭集序》 王羲之

永和九年，歲在癸丑暮春之初，會于會稽山陰之蘭亭。修禊事也，群賢畢至，少長咸集。此地有崇山峻嶺、茂林修竹，又有清流激湍映帶左右，引以為流觴曲水。列坐其次，雖無絲竹管弦之盛，一觴一詠，亦足以暢敘幽情。是日也，天朗氣清、惠風和暢，仰觀宇宙之大，俯察品類之盛，所以游目騁懷，足以極視聽之娛，信可樂也！夫人之相與俯仰一世，或取諸懷抱，悟言一室之內；或因寄所托，放浪形骸之外；雖趣舍萬殊，靜躁不同，當其欣于所遇，暫得于

己，快然自足，不知老之將至，及其所之既惓，情隨事遷，感慨系之矣！向之所欣，俯仰之間，以為陳跡，猶不能不以之興懷，況修短隨化、終期于盡？！

古人云：死生亦大矣，豈不痛哉！每攬昔人興感之由，若合一契，未嘗不臨文嗟悼，不能喻之于懷。固知一死生為虛誕，齊彭殤為妄作。后之視今亦由今之視昔。悲夫！故列敘時人，錄其所述，雖世殊事異，所以興懷其致一也，后之攬者，亦將有感于斯文！

賞析：

文章首先記述了集會的時間、地點及與會人物，言簡意賅。接著描繪蘭亭所處的自然環境和周圍景物，語言簡潔而層次井然。描寫景物，從大處落筆，由遠及近，轉而由近及遠，推向無限。先寫崇山峻嶺，漸寫清流激湍，再順流而下轉寫人物活動及其情態，動靜結合。然后再補寫自然物色，由晴朗的碧空和輕揚的春風，自然地推向寥廓的宇宙及大千世界中的萬物。意境清麗淡雅，情調歡快暢達。蘭亭宴集，真可謂“四美俱，二難并”。

但天下沒有不散的宴席，有聚合必有別離，所謂“興盡悲來”當是人們常有的心緒，盡管人們取舍不同，性情各異。剛剛對自己所向往且終于獲致的東西感到無比歡欣時，但剎那之間，已為陳跡。人的生命也無例外，所謂“不知老之將至”(孔子語)、“老冉冉其將至兮”(屈原語)、“人生天地間，奄忽若飆塵”(《古詩十九首》)，這不能不引起人的感慨。每當想到人的壽命不論長短，最終歸于寂滅時，更加使人感到無比凄涼和悲哀。如果說前一段是敘事寫景，那么這一段就是議論和抒情。作者在表現人生苦短、生命不居的感嘆中，流露著一腔對生命的向往和執著的熱情。

《愛蓮說》 周敦頤

水陸草木之花，可愛者甚蕃。晉陶淵明獨愛菊；自李唐來，世人皆愛牡丹；予獨愛蓮之出淤泥而不染，濯清漣而不妖，中通外直，不蔓不枝，香遠益清，亭亭凈植，可遠觀而不可褻玩焉。

予謂菊，花之隱逸者也；牡丹，花之富貴者也；蓮，花之君子者也。噫！菊之愛，陶后鮮有聞；蓮之愛，同予者何人？牡丹之愛，宜乎眾矣！

賞析：

文章托物言志，以蓮喻人，通過對蓮花的描寫與贊美，歌頌它堅貞不渝，出淤泥而不染的高尚品質，表現了作者不慕名利、潔身自好的生活態度。最突出的藝術手法是襯托，用菊正面襯托，用牡丹反面襯托。

《師說》 唐 韓愈

古之學者必有師。師者，所以傳道受業解惑也。人非生而知之者，孰能無惑？惑而不從師，其為惑也，終不解矣。生乎吾前，其聞道也固先乎吾，吾從而師之；生乎吾后，其聞道也亦先乎吾，吾從而師之。吾師道也，夫庸知其年之先后生于吾乎？是故無貴無賤，無長無少，道之所存，師之所存也。

嗟乎！師道之不傳也久矣！欲人之無惑也難矣！古之圣人，其出人也遠矣，猶且從師而問焉；今之眾人，其下圣人也亦遠矣，而恥學于師。是故圣益圣，愚益愚。圣人之所以為圣，愚人之所以為愚，其皆出于此乎？愛其子，擇師而教之；于其身也，則恥師焉，惑矣。彼童子之師，授之書而習其句讀者，非吾所謂傳其道解其惑者也。句讀之不知，惑之不解，或師焉，或不焉，小學而大

遺，吾未見其明也。巫醫樂師百工之人，不恥相師。士大夫之族，曰師曰弟子云者，則群聚而笑之。問之，則曰：“彼與彼年相若也，道相似也。位卑則足羞，官盛則近諛。”嗚呼！師道之不復，可知矣。巫醫樂師百工之人，君子不齒，今其智乃反不能及，其可怪也歟！

圣人無常師。孔子師郯子、萇弘、師襄、老聃。郯子之徒，其賢不及孔子。孔子曰：“三人行，則必有我師。”是故弟子不必不如師，師不必賢于弟子，聞道有先后，術業有專攻，如是而已。

李氏子蟠，年十七，好古文，六藝經傳皆通習之，不拘于時，學于余。余嘉其能行古道，作《師說》以貽之。

賞析；

這是韓愈散文中一篇重要的論說文。文章論述了從師表學習的必要性和原則，批判了當時社會上“恥學于師”的陋習，表現出非凡的勇氣和斗爭精神，也表現出作者不顧世俗獨抒己見的精神。作者表明任何人都可以作自己的老師，不應因地位貴賤或年齡差別，就不肯虛心學習。文末并以孔子言行作證，申明求師重道是自古已然的作法，時人實不應背棄古道。

名言警句

百川東到海,何時復西歸？少壯不努力,老大徒傷悲。(漢樂府《長歌行》)百學須先立志。(朱熹)寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。出師未捷身先死，長使英雄淚沾襟。(杜甫)春蠶到死絲方盡，蠟炬成灰淚始干。(李商隱)從善如登，從惡如崩。(《國語》)大丈夫寧可玉碎，不能瓦全。(北齊書)

大直若屈，大巧若拙，大辯若訥。(《老子》)丹青不知老將至，富貴于我如浮云。(杜甫)不登高山，不知天之高也；不臨深溪，不知地之厚也。(《荀子》)不飛則已，一飛沖天；不鳴則已，一鳴驚人。(司馬遷)不患人之不己知，患不知人也。(孔子)不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層。(王安石)不以規矩，無以成方園。(孟子)采得百花成蜜后，為誰辛苦為誰甜。(羅隱)倉廩實則知禮節，衣食足則知榮辱。(《管子》)操千曲而后曉聲，觀千劍而后識器。(劉勰)察己則可以知人，察今則可以知古。(《呂氏春秋》)差以毫厘，謬以千里。(《漢書》)長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海。(李白)臣心一片磁針石，不指南方不肯休。(文天祥)沉舟側畔千帆過，病樹前頭萬木春。(劉禹錫)

【感恩篇】

游子吟

【唐】孟郊

慈母手中線，游子身上衣。臨行密密縫，意恐遲遲歸。誰言寸草心，報得三春暉。

賞析：

這是一首母愛的頌歌，在宦途失意的境況下，詩人飽嘗世態炎涼，窮愁終身，故愈覺親情之可貴。“詩從肺腑出，出輒愁肺腑”（蘇軾《讀孟郊詩》）。這首詩，雖無藻繪與雕飾，然而清新流暢，淳樸素淡中正見其詩味的濃郁醇美。全詩最后用一雙關句，寫出兒子對母親的深情。

全詩無華麗的詞藻，亦無巧琢雕飾，于清新流暢，淳樸素淡的語言中，飽含著濃郁醇美的詩味，情真意切，千百年來撥動多少讀者的心弦，引起萬千游子的共鳴。此詩寫在溧陽，到了清代，有兩位溧陽人又吟出這樣的詩句：“父書空滿筐，母線尚縈襦”（史騏生《寫懷》）；“向來多少淚，都染手縫衣”（彭桂《建初弟來都省親喜極有感》）。可見《游子吟》留給人們的深刻印象，是歷久而不衰的。

墨萱圖

【元】王冕

燦燦萱草花，羅生北堂下。南風吹其心，搖搖為誰吐？ 慈母倚門情，游子行路苦。甘旨日以疏，音問日以阻。舉頭望云林，愧聽慧鳥語

賞析：

燦燦的萱草花（中國的母親花，早在康乃馨成為母愛的象征之前，我國也有一種母親之花，它就是萱草花。另一稱號忘憂（忘憂草），來自《博物志》中：“萱草，食之令人好歡樂，忘憂思，故日忘憂草。），生在北堂之下（北堂：”詩經疏稱：“北堂幽暗，可以種萱”；北堂即代表母親之意。古時候當游子要遠行時，就會先在北堂種萱草，希望母親減輕對孩子的思念，忘卻煩憂。）

南風吹著萱草（即母親的心）搖擺著是為了誰吐露著芬芳？ 慈祥的母親倚著門盼望著孩子，遠行的游子是那樣的苦啊！對雙親的奉養每天都在疏遠，孩子的音訊每天都不能傳到。抬頭看著一片云林，聽到慧鳥的叫聲思念起來至此很是慚愧。

紙船——寄母親

冰心

我從不肯妄棄了一張紙，總是留著

留著，疊成一只一只很小的船兒，從舟上拋下在海里。

有的被天風吹卷到舟中的窗里，有的被海浪打濕，沾在船頭上。

我仍是不灰心的每天的疊著，總希望有一只能流到我要他到的地方去。

母親，倘若你夢中看見一只很小的白船兒，不要驚訝他無端入夢。

這是你至愛的女兒含著淚疊的，萬水千山，求他載著她的愛和悲哀歸來！賞析

古今中外表達母愛的詩作很多，這首詩卻有著自己的獨特之處。詩人以孩子般的純潔和天真，從兒童的游戲世界中找到了一個可以寄托對母親無限戀念的中介物——紙船，并以此展開自己的情思。

在這首詩中，詩人以紙船為題，托物言情，賦予紙船特別的含義。紙船象征漂泊無依的孤獨，象征思念母親思念祖國的一顆心，象征詩人純潔、美好的心愿。

再別康橋

徐志摩

輕輕的我走了，正如我輕輕的來； 我輕輕的招手，33 做別西天的云彩。那河畔的金柳，是夕陽中的新娘； 波光里的艷影，在我的心頭蕩漾。軟泥上的青荇，油油的在水底招搖； 在康河的柔波里，我甘心做一條水草。那榆陰下的一潭，不是清泉，是天上虹； 揉碎在浮藻間，沉淀著彩虹似的夢。尋夢？ 撐一只長篙，向青草更青處慢溯； 滿載一船星輝，在星輝斑斕里放歌。但我不能放歌，悄悄是離別的聲蕭； 夏蟲也為我沉默，沉默是今晚的康橋！

悄悄的我走了，正如我悄悄的來；

我揮一揮衣袖，不帶走一片云彩

我愛這土地

艾青 假如我是一只鳥，我也應該用嘶啞的喉嚨歌唱： 這被暴風雨所打擊著的土地，這永遠洶涌著我們的悲憤的河流，這無止息地吹刮著的激怒的風，和那來自林間的無比溫柔的黎明?? ———然后我死了，連羽毛也腐爛在土地里面。為什么我的眼里常含淚水？ 因為我對這土地愛得深沉?? 一九三八年十一月十七日

鄉愁

—余光中

小時候，鄉愁是一枚小小的郵票。

我在這頭，35

母親在那頭

長大后，鄉愁是一張窄窄的船票。

我在這頭，新娘在那頭。

后來啊，鄉愁是一方矮矮的墳墓。

我在外頭，母親在里頭。

而現在，鄉愁是一灣淺淺的海峽。

我在這頭，大陸在那頭。

【紅色經典】

賀新郎

揮手從茲去。

更那堪凄然相向，苦情重訴。眼角眉梢都似恨，熱淚欲零還住。知誤會前翻書語。

過眼滔滔云共霧，算人間知己吾與汝。人有病，天知否？

今朝霜重東門路，照橫塘半天殘月，凄清如許。汽笛一聲腸已斷，從此天涯孤旅。憑割斷愁思恨縷。

要似昆侖崩絕壁，又恰像臺風掃環宇。重比翼，和云翥。憶秦娥 婁山關 西風烈，長空雁叫霜晨月。霜晨月，馬蹄聲碎，喇叭聲咽。雄關漫道真如鐵，而今邁步從頭越。從頭越，蒼山如海，殘陽如血。

長征

紅軍不怕遠征難，萬水千山只等閑。五嶺逶迤騰細浪，烏蒙磅礴走泥丸。金沙水拍云崖暖，大渡橋橫鐵索寒。更喜岷山千里雪，三軍過后盡開顏。

沁園春·雪

北國風光，千里冰封，萬里雪飄。

望長城內外，惟余莽莽；大河上下，頓失滔滔。山舞銀蛇，原馳蠟象，欲與天公試比高！須晴日，看紅妝素裹，分外妖嬈。

江山如此多嬌，引無數英雄競折腰。惜秦皇漢武，略輸文采；唐宗宋祖，稍遜風騷。一代天驕，成吉思汗，只識彎弓射大雕。俱往矣，數風流人物，還看今朝！

人民解放軍占領南京

鐘山風雨起蒼黃，百萬雄師過大江。

虎踞龍盤今勝昔，天翻地覆慨而慷。

宜將剩勇追窮寇，不可沽名學霸王。

天若有情天亦老，人間正道是滄桑。

西江月·井岡山

毛澤東

山下旌旗在望，山頭鼓角相聞。

敵軍圍困萬千重，我自巋然不動。

早已森嚴壁壘，更加眾志成城。

黃洋界上炮聲隆，報道敵軍宵遁。

賞析：

〔井岡山〕位于江西、湖南兩省邊界的羅霄山脈中段，在江西省寧岡、遂川、永新和湖南省酃(líng靈)縣四縣交界的眾山叢中，周圍有五百多里。一九二七年十月，毛澤東率領秋收起義部隊進軍井岡山，在這里建立了中國第一個農村革命根據地。一九二八年四月，朱德、陳毅率領南昌起義保存下來的部隊和湘南農軍轉移到井岡山革命根據地，同毛澤東領導的部隊勝利會師。隨后，兩支軍隊合編為工農革命軍第四軍，不久又根據中共中央指示改稱紅軍第四軍。(第四軍的番號系沿用北伐戰爭中聲威昭著的國民革命軍第四軍的番號，這是因為該軍所部葉挺率領的獨立團中共產黨員很多，政治素質優異，戰績輝煌，紀律嚴明，所到之處，堅決支持工農群眾的革命斗爭，備受人民愛護。)一九二八年八月三十日，湖南、江西兩省敵軍各一部，乘紅四軍主力還在贛西南欲歸未歸之際，向井岡山進犯。紅軍不足一營，憑借黃洋界(在井岡山西北部，是進入井岡山五個主要隘口之一)天險奮勇抵抗，激戰一天，擊退敵軍，勝利地保衛了這個革命根據地。這首詞是毛澤東在黃洋界保衛戰勝利后所作。

憶秦娥·婁山關

毛澤東

一九三五年二月 西風烈，長空雁叫霜晨月。

霜晨月，馬蹄聲碎，喇叭聲咽。

雄關漫道真如鐵，而今邁步從頭越。從頭越，蒼山如海，殘陽如血。

賞析：

這首詞表達了作者指揮中央紅軍攻克婁山關后的激越情懷。1935年2月25日凌晨，紅軍向婁山關挺進，在紅花園與黔軍遭遇，黔軍倉皇應戰，敗退關口，紅軍沿盤山道猛烈攻擊，傍晚時分，終于把這座雄關控制在手中，使大部隊順利通過，邁向勝利的前程。由于這一仗意義重大，所以詩人的情懷無比激動，在戰斗結束不久即揮筆寫下這首不朽之作。

七律·長征

毛澤東

紅軍不怕遠征難，萬水千山只等閑。

五嶺逶迤騰細浪，烏蒙磅礴走泥丸。

金沙水拍云崖暖，40

大渡橋橫鐵索寒。

更喜岷山千里雪，三軍過后盡開顏。

賞析

56個字，負載著長征路上的千種艱難險阻，飽含著中國共產黨的萬般豪情壯志。它是中國革命的壯烈史詩，也是中國詩歌寶庫中的燦爛明珠。無論對革命史而言，亦或對詩歌史而論，它都是里程碑之作。長征如此偉大復雜的題目，毛主席以一首短短的七律濃縮了它的景觀，?其中包括了多少驚險，多少曲折，多少悲壯，多少感天地泣鬼神的故事。?這首《長征》，從題目就可看出，是寫整個長征的經過與感受，?詩人從正面挺身而出，運酣暢之筆朝四面八方抒寫，景致轉換向前，?一首八行七律擔當了二萬五千里，擔當了一個龐大的包羅萬象的主題。

卜算子·詠梅

毛澤東

風雨送春歸，飛雪迎春到。已是懸崖百丈冰，猶有花枝俏。

俏也不爭春，只把春來報。待到山花爛漫時，她在叢中笑。

《水調歌頭·重上井岡山》

毛澤東

久有凌云志，重上井岡山。千里來尋故地，舊貌變新顏。到處鶯歌燕舞，更有潺潺流水，高路入云端。過了黃洋界，險處不須看。

風雷動，旌旗奮，是人寰。三十八年過去，彈指一揮間。可上九天攬月，可下五洋捉鱉，談笑凱歌還。世上無難事，只要肯登攀。

賞析

這首詞作者采用了現實主義和浪漫主義相結合的方法。它以登井岡山為題材，在憶舊頌新中將崇高的理想和偉大的實踐精神相結合，將敘事、寫景、抒情、議論溶于一爐，既包含著豐富的思想內容，具有高度的概括力，又不乏明快活潑、生動細致的景物描寫，慷慨激昂，與詩人一貫的樂觀主義和浪漫主義一脈相承。

附：紅色經典詩詞目錄

題目 地點或事件摘要 年份 賀新郎 1923 沁園春 長沙 1925 菩薩蠻 黃鶴樓 1927 春 西江月 秋收起義 1927.09 西江月 井岡山 1928 秋 清平樂 蔣桂戰爭 1929 秋 采桑子 重陽 1929.10 如夢令 元旦 1930.01 減字木蘭花 廣昌路上 1930.02 蝶戀花 從汀洲向長沙 1930.07 漁家傲 反第一次大“圍剿” 1931 春 漁家傲 反第二次大“圍剿” 1931 夏 菩薩蠻 大柏地 1933 夏 清平樂 會昌 1934 夏 憶秦娥 婁山關 1935.02

十六字令 三首 1934-35 七律 長征 1935.10 念奴嬌 昆侖 1935.10 清平樂 六盤山 1935.10 沁園春 雪 1936.02 臨江仙 七律 七律 浣溪沙 浪淘沙 水調歌頭蝶戀花 七律 七律 七律 七絕 七律 七律 卜算子 七律 滿江紅 七律 賀新郎

贈丁玲 人民解放軍占領南京 和柳亞子先生 和柳亞子先生 北戴河 游泳 答李淑一 送瘟神二首 到韶山 登廬山 為女民兵題照 答友人 和郭沫若同志 詠梅 冬云 和郭沫若同志 吊羅榮桓同志 讀史 1936.12 1949.04 1949.04.29 1950.10 1954 夏 1956.06 1957.05.11 1958.07.01 1959.06 1959.07.01 1961.02 1961 1961.11.17 1961.12 1962.12.26 1963.01.09 1963.12 1964 春

水調歌頭 重上井岡山 1965.05 念奴嬌 鳥兒問答 1965 秋

山東省“誦讀經典、愛我中華”活動組委會推薦篇目

《誦讀經典三百篇》

目 錄

（注：本書目次均按作者出生日期先后為序一 古典詩詞（203篇）1.關雎（《詩經·周南》）2.木瓜（《詩經·衛風》）3.蒹葭（《詩經·秦風》）4.碩鼠（《詩經·魏風》）5.國殤（戰國·屈原）6.橘頌（戰國·屈原）7.迢迢牽牛星（《古詩十九首》）8.飲馬長城窟行（《樂府詩集》）9.長歌行（《樂府詩集》）10.古詩二首（《古詩源》）11.短歌行〔其一〕（漢·曹操）12.觀滄海（漢·曹操）13.龜雖壽（漢·曹操）14.七哀詩三首〔選一〕（漢·王粲）15.白馬篇（三國·曹植）16.詠懷八十二首〔選一〕（三國·阮籍）17.讀《山海經》十三首〔選一〕（晉·陶淵明）18.飲酒詩二十首〔選一〕（晉·陶淵明）19.詠荊軻（晉·陶淵明）20.歸園田居五首〔選二〕（晉·陶淵明）21.代春日行（南朝·鮑照）22.子夜四時歌〔春歌〕（南朝民歌）23.木蘭詩（北朝民歌）24.蟬（唐·虞世南）

25.送杜少府之任蜀川（唐·王勃）26.滕王閣詩（唐·王勃）27.詠柳（唐·賀知章）28.回鄉偶書（唐·賀知章）29.登幽州臺歌（唐·陳子昂）30.涼州詞〔其一〕（唐·王翰）31.望月懷遠（唐·張九齡）32.涼州詞（唐·王之渙）33.登鸛雀樓（唐·王之渙）

34.望洞庭湖贈張丞相（唐·孟浩然）35.宿建德江（唐·孟浩然）36.次北固山下（唐·王灣）37.芙蓉樓送辛漸（唐·王昌齡）

38.出塞（唐·王昌齡）39.從軍行〔其四〕（唐·王昌齡）40.采蓮曲三首〔其二〕（唐·王昌齡）41.清平調三首〔選二〕（唐·李白）42.憶秦娥〔簫聲咽〕（唐·李白）43.秋浦歌（唐·李白）

44.黃鶴樓送孟浩然之廣陵（唐·李白）45.行路難（唐·李白）46.送友人（唐·李白）47.將進酒（唐·李白）48.早發白帝城（唐·李白）49.望天門山（唐·李白）50.望廬山瀑布〔其二〕（唐·李白）

51.宣州謝朓樓餞別校書叔云（唐·李白）52.相思（唐·王維）

53.送元二使安西（唐·王維）54.雜詩三首〔其二〕（唐·王維）55.九月九日憶山東兄弟（唐·王維）56.使至塞上（唐·王維）57.山居秋暝（唐·王維）58.燕歌行（并序）（唐·高適）59.春江花月夜（唐·張若虛）60.黃鶴樓（唐·崔顥）61.旅夜書懷（唐·杜甫）62.贈花卿（唐·杜甫）63.江村（唐·杜甫）64.望岳（唐·杜甫）65.春望（唐·杜甫）66.春夜喜雨（唐·杜甫）67.絕句二首〔其二〕（唐·杜甫）68.絕句四首〔其三〕（唐·杜甫）69.前出塞（唐·杜甫）70.登高（唐·杜甫）

71.茅屋為秋風所破歌（唐·杜甫）72.江南逢李龜年（唐·杜甫）

73.走馬川行奉送封大夫出師西征（唐·岑參）74.白雪歌送武判官歸京（唐·岑參）75.漁歌子〔西塞山前白鷺飛〕（唐·張志和）76.寄李儋元錫（唐·韋應物）77.滁州西澗（唐·韋應物）78.游子吟（唐·孟郊）79.楓橋夜泊（唐·張繼）80.十五夜望月（唐·王建）

81.早春呈水部張十八員外（唐·韓愈）82.月夜（唐·劉方平）

83.西塞山懷古（唐·劉禹錫）

84.烏衣巷（唐·劉禹錫）85.竹枝詞二首〔其一〕（唐·劉禹錫）

86.酬樂天揚州初逢席上見贈（唐·劉禹錫）87.大林寺桃花（唐·白居易）88.琵琶行（唐·白居易）

89.賦得古原草送別（唐·白居易）90.長相思（唐·白居易）91.江雪（唐·柳宗元）

92.登柳州城樓寄漳汀封連四州刺史（唐·柳宗元）93.菊花（唐·元稹）

94.尋隱者不遇（唐·賈島）95.雁門太守行（唐·李賀）96.咸陽城東樓（唐·許渾）97.題都城南莊（唐·崔護）98.山行（唐·杜牧）

99.江南春絕句（唐·杜牧）100.泊秦淮（唐·杜牧）101.清明（唐·杜牧）

102.望江南（唐·溫庭筠）103.樂游原（唐·李商隱）104.晚晴（唐·李商隱）105.無題〔相見時難別亦難〕（唐·李商隱）106.夜雨寄北（唐·李商隱）107.雨晴（唐·王駕）

108.溪上遇雨（唐·崔道融）109.虞美人〔春花秋月何時了〕（五代·李煜）110.浪淘沙〔簾外雨潺潺〕（五代·李煜）111.山園小梅（宋·林逋）112.雨霖鈴〔寒蟬凄切〕（宋·柳永）113.望海潮〔東南形勝〕（宋·柳永）114.漁家傲〔塞下秋來風景異〕（宋·范仲淹）115.蘇幕遮〔碧云天〕（宋·范仲淹）116.浣溪沙〔一曲新詞酒一杯〕（宋·晏殊）117.蝶戀花〔檻菊愁煙蘭泣露〕（宋·晏殊）118.踏莎行〔候館梅殘〕（宋·歐陽修）119.淮中晚泊犢頭（宋·蘇舜欽）120.客中初夏（宋·司馬光）121.梅花（宋·王安石）122.泊船瓜洲（宋·王安石）123.書湖陰先生壁（宋·王安石）124.元日（宋·王安石）

125.卜算子〔送鮑浩然之浙東〕（宋·王觀）126.蝶戀花〔花褪殘紅青杏小〕（宋·蘇軾）127.題西林壁（宋·蘇軾）

128.飲湖上初晴后雨（宋·蘇軾）129.水調歌頭〔明月幾時有〕（宋·蘇軾）

130.惠崇春江晚景（宋·蘇軾）131.念奴嬌〔赤壁懷古〕（宋·蘇軾）132.江城子〔密州出獵〕（宋·蘇軾）133.定**〔莫聽穿林打葉聲〕（宋·蘇軾）134.水龍吟〔似花還似非花〕（宋·蘇軾）135.江城子〔乙卯正月二十日夜記夢〕（宋·蘇軾）136.臨江仙〔夢后樓臺高鎖〕（宋·晏幾道）137.卜算子〔我住長江頭〕（宋·李之儀）138.清平樂〔晚春〕（宋·黃庭堅）139.鵲橋仙〔纖云弄巧〕（宋·秦觀）140.青玉案〔凌波不過橫塘路〕（宋·賀鑄）141.秦淮夜泊（宋·賀鑄）142.和端午（宋·張耒）143.蘇幕遮〔燎沉香〕（宋·周邦彥）144.病牛（宋·李綱）145.絕句（宋·李清照）

146.醉花陰〔薄霧濃云愁永晝〕（宋·李清照）147.聲聲慢〔尋尋覓覓〕（宋·李清照）148.臨江仙〔庭院深深深幾許〕（宋·李清照）149.如夢令〔常記溪亭日暮〕（宋·李清照）150.如夢令〔昨夜雨疏風驟〕（宋·李清照）151.漁家傲〔記夢〕（宋·李清照）152.滿江紅〔怒發沖冠〕（宋·岳飛）153.示兒（宋·陸游）154.書憤〔其一〕（宋·陸游）155.卜算子〔詠梅〕（宋·陸游）156.游山西村（宋·陸游）

157.十一月四日風雨大作（宋·陸游）158.四時田園雜興（宋·范成大）159.村居即事（宋·范成大）160.小池（宋·楊萬里）161.觀書有感（宋·朱熹）162.春日（宋·朱熹）

163.游園不值（宋·葉紹翁）164.摸魚兒〔暮春〕（宋·辛棄疾）165.破陣子〔為陳同甫賦壯詞以寄之〕（宋·辛棄疾）166.菩薩蠻〔書江西造口壁〕（宋·辛棄疾）167.丑奴兒〔書博山道中壁〕（宋·辛棄疾）168.西江月〔夜行黃沙道中〕（宋·辛棄疾）169.永遇樂〔京口北固亭懷古〕（宋·辛棄疾）170.青玉案〔元夕〕（宋·辛棄疾）171.水龍吟〔登建康賞心亭〕（宋·辛棄疾）172.暗香（宋·姜夔）

173.題臨安邸（宋·林升）174.唐多令〔何處合成愁〕（宋·吳文英）175.野步（宋·周密）

176.過零丁洋（宋·文天祥）177.念奴嬌〔驛中言別友人〕（宋·文天祥）178.正氣歌（宋·文天祥）179.金陵驛（宋·文天祥）180.村晚（宋·雷震）

181.虞美人〔少年聽雨歌樓上〕（宋·蔣捷）182.一剪梅〔舟過吳江〕（宋·蔣捷）183.絕句（宋·僧志南）184.天凈沙〔秋思〕（元·馬致遠）185.瀟湘夜雨〔元·馬致遠〕 186.山坡羊〔潼關懷古〕（元·張養浩）187.雙調〔蟾宮曲〕（元·鄭光祖）188.墨梅（元·王冕）189.百字令〔登石頭城〕（元·薩都剌）190.殿前歡〔觀音山眠松〕（元·徐再思）191.石灰吟（明·于謙）192.明日歌（明·錢鶴灘）193.臨江仙〔滾滾長江東逝水〕（明·楊慎）194.秦淮雜詩（清·王士禎）195.長相思（清·納蘭性德）196.竹石（清·鄭燮）197.竹（清·鄭燮）

198.赴戍登程口占示家人（清·林則徐）199.己亥雜詩〔選二〕（清·龔自珍）200.慈仁寺荷花池（清·何紹基）201.出都留別諸公（清·康有為）202.獄中題壁（清·譚嗣同）203.滿江紅〔小住京華〕（清·秋瑾）

二 古典文賦（35篇）

1.一年之計在于春（春秋·管仲）2.道德經（節選）3.論語（節選）4.大學（節選）5.中庸（節選）6.學記（節選）7.孟子（節選）8.墨子（節選）9.伯牙鼓琴（《列子·湯問》）10.莊子〔逍遙游〕（節選）（戰國·莊周）11.荀子〔勸學〕（節選）（戰國·荀況）12.荀子〔天論〕（節選）（戰國·荀況）13.報任安書（節選）（漢·司馬遷）14.誡子書（三國·諸葛亮）15.前出師表（三國·諸葛亮）16.鑿壁借光（《西京雜記》）

第五篇：初中書法校本教材七年級

書法進課堂校本教材

（一）寫字姿勢與執筆方法

一、寫字姿勢

書寫的姿勢對于練習寫字非常重要。正確的寫字姿勢不僅能保證書寫自如，減輕疲勞，提高書寫水平，而且還能促進少年兒童身體的正常發育，預防近視、斜視、脊椎彎曲等多種疾病的發生。因此，必須引起重視。

正確的寫字姿勢是：上身坐正，兩肩齊平；頭正，稍向前傾；背直，胸挺起，胸口離桌沿一拳左右；兩腳平放在地上與肩同寬左右兩臂平放在桌面上，左手按紙，右手執筆。眼睛與紙面的距離應保持在一尺左右。如(圖一)所示。

二、執筆方法

執筆方法正確與否，關系到筆的控制能力，運筆的靈活性，書寫的速度，直接影響書寫的效果。良好的執筆方法必須從小培養，否則，一旦形成習慣，糾正起來很難。

正確的執筆方法，應采用三指執筆法。具體要求是：右手執筆，大拇指、食指、中指分別從三個方向捏住離筆尖3厘米左右的筆桿下端。食指稍前，大拇指稍后，中指在內側抵住筆桿，無名指和小指依次自然地放在中指的下方并向手心彎曲。筆桿上端斜靠在食指的最高骨處，筆桿和紙面呈50。左右。執筆要做到“指實掌虛”，就是手指握筆要實，掌心要空，這樣書寫起來才能靈活運筆。如(圖二)所示。

鋼筆書法及其基本知識

書法，就是寫字的技法。“書”有寫字的意思；“法”就是方法、技法、法則，也就是漢字的書寫藝術。它是我們中華民族特有的高級藝術形式。

鋼筆書法，就是用鋼筆表現漢字的線條書寫和造型藝術。其“線條書寫”即用鋼筆表現漢字的各種筆畫的方法，其“造型”即漢字的結構和章法。因此。鋼筆書法跟毛筆書法一樣。由三個最基本最關鍵的因素組成，即：線條(筆畫)、結構、章法，稱為書法的三要素。

所謂線條（筆畫），指漢字的第一筆畫留在紙上的痕跡。同一筆畫，不同水平的書寫者寫出來的面貌形象是大不相同的。

所謂結構，是指正確、巧妙地組織筆畫，使每個漢字的所有筆畫按規律布局合理，達到美觀的要求。

所謂章法，是指篇章布局的方法，也就是使一幅書法作品整體美的技能和方法。它著重字與字、行與行之間的協調、呼應、連貫、疏密與輝映，利用黑白的分布、字形的大小、字距的遠近、字態的正奇等于段，使千姿百態的單字在合理而巧妙地布局下，形成一篇既和諧美觀又輝映成趣的藝術作品。它能引發人們的美感。

寫得一手正確、清楚、流暢、美觀的好字。不但對工作和學習很有益處，而且也是一種文化素養的體現，也是一種美的享受。

書寫工具

鋼筆字書寫工具的優劣直接影響著書寫時的效果，因此必須重視書寫工具的選擇與使用。書寫鋼筆字的工具有鋼筆、墨水和紙張。

1、鋼筆。鋼筆的種類和型號很多，其區別主要在于筆尖的用料上。根據鋼筆筆尖制作材料的不同，可分為金筆、銥金筆和普通鋼筆三種。

挑選鋼筆時，要看筆尖兩片是否粗細均勻對稱，頂端是否圓滑，書寫是否流暢。試筆時，可書寫“永”和“8”字多次。如筆尖不刮紙，出水均勻，書寫圓滑流暢，那么筆尖就合乎使用要求。至于筆桿筆套是次要的。

鋼筆的筆尖有粗細之分，練字適用筆尖稍粗一些的鋼筆。

2、墨水。練字宜用藍黑墨水和碳素墨水，尤以碳素墨水最佳。它有濃度，有光澤，寫在紙上黑白分明，十分醒目。一支鋼筆要使用同一顏色、同一牌號的墨水，不能混用。否則，會引起化學變化，產生沉淀而影響書寫流暢。若要換一種墨水使用，應先將筆尖、筆膽洗凈、晾干，再吸入新的墨水。墨水用后應及時旋緊瓶蓋，以防塵、防潑、防揮等。

3、紙張。練習鋼筆字用紙一般以不洇不滑，略有澀感、吸墨性較強的60克至80克的書寫紙、有光紙、復印紙為好。練習楷書字體時，最好在印有方格的紙上書寫，以便安排字的大小、結構，增強練字的效果。

怎樣寫好字

一、正確的學書之路

1．臨帖

臨帖是學習書法的最根本的方法。古往今來，沒有一個書法家是不經臨習而成功的，沒有一個字寫得好的人是不經過臨帖的。只有臨帖，取法唐楷、晉行、漢隸、秦篆等傳統的東西，才會有所獲。

2．專一

學書首先應師承一家，建立根據地，然后再發展。這就有一個選帖的問題，選帖的標準：①好帖；②喜歡。選定帖后專心致志，認真臨習，堅持不懈，直至形同神似。這個時期檢驗你學習得怎樣，首先看臨得像不像，再看筆法筆意。

3．博采眾長

當對一本帖或一家書體臨習達到形同神似之后，就要廣涉其他好帖，取其營養加以吸收消化，融會貫通。

4．字外功夫

練字的同時經常要多讀書，多掌握方方面面的知識，加強自身修養。總之一句話，加強字外功夫的訓練。

在此基礎上，逐步形成自己的風格，便自成一家。綜上所述，我們可以把正確的學書之路概括為：

二、科學的學書方法 明確了正確的學書之路之后，我們還要掌握科學的學習方法，有了科學的學習方法，就可得到較好的學習效果。

1．臨帖和摹帖

這既是正確學書之路的開端，又是正確學書方法中的根本點，必須堅信不疑，堅定不移。摹帖和臨帖各有優點，效果各異。姜夔《續書譜》中說：“臨書易失占人位置，而多得古人筆意，摹書易得古人位置，而多失古人筆意，臨書易進，摹書易忘。”其中的“筆意”即指筆法、筆勢及線條意趣。“臨”的方法就是看著字帖，照著寫。只要仔細地臨，便容易掌握筆法筆意．從而把范本的精髓學到手。“摹”的方法，就是用薄紙蒙在帖上，直接地描畫。所以字形基本上不會走樣，多摹幾遍，有利于把握結構。但摹書看不清筆法，“易失筆意”，雖然間架不錯．但沒有筆法，字就僵化。所以，初學者可以臨摹并用，相互補充。

2．每天定量

事實證明，任何事情都有一個由量變到質變的過程，練字也一樣，寫得太少，練習量跟不上，就談不上進步；當然盲目機械地多寫，疲倦了效果也不好。一定的量才能達到的一定的效果，較佳的量才能達到較佳的效果。

3．循序漸進

學習書法，在勤學苦練的基礎上，還應該懂得它是一個循序漸進的過程：

第一，先正楷，后行草。蘇軾說：“真生行，行生草。真如立，行如行，草如走。”就是說楷、行、草書三者如同人的立、走、跑，如果人連站都不能站，怎么能走和跑呢？如果沒有楷書基礎，直接寫行書、草書，就會疏于法度，流于輕滑飄浮。行書、草書是楷書的流、便、疏、散，學好楷書之后，加強用筆的流動呼應，行草就容易上手。等到楷法熟練，再寫行草時．便可悟到兩者相通之處，可相輔相成，互相促進，相得益彰。

第二，先點畫，后結構，再章法。書法是線條的藝術，也就是以基本點畫為基礎的藝術。基本點畫不好，整字或整篇的藝術性就無從談起。由于鋼筆尖性硬，在線條變化上相對簡單得多，故鋼筆書法學習在結構上花的時間多，而在用筆、點畫上相對較少。但這并不是說點畫用筆不重要，相反，它是鋼筆書法的基本功，只有在點畫書寫的基本功扎實之后，才可能去把握結構。在結構上有了一定的基礎后，整幅字的章法就容易把握了。

鋼筆楷書的特點

楷書是漢字的主要書體。楷，是楷模，就是標準字體。鋼筆楷書具有以下幾個特點：

一、講究用筆

鋼筆楷書的筆畫有提頓、藏露、方圓、快慢等用筆方法。不同的用筆方法產生不同的形態、質感的線條，不同的線條需要不同的用筆方法去體現。鋼筆楷書字形較小，線條粗細變化不大，如果書寫時用筆稍不注意，筆畫就達不到要求，筆畫就會出現軟弱無力、僵硬死板等毛病。因此，必須經過嚴格訓練才能掌握用筆方法。

二、筆畫分明

鋼筆楷書的每一個筆畫的起筆和收筆都要交待清楚，工整規范，干凈利落，不能潦草、粘連。但是筆畫與筆畫之間又要有內在的呼應關系，使筆畫達到：既起收有序、筆筆分明、堅實有力，又停而不斷、直而不僵、彎而不弱、流暢自然。

三、結構方整

鋼筆楷書在結構上強調筆畫和部首均衡分布、重心平穩、比例適當、字形端正、合乎規范。字與字排列在一起時要大小勻稱、行款整齊。雖然也有形態上的參差變化，但從總體上看仍是整齊工整的。

正是由于以上原因，歷代許多書家都主張把楷書作為學習書法的第一步。現行的九年義務教育小學語文教學大綱要求，學生在小學階段主要是學好寫鋼筆楷書，打好基礎，為上中學寫行楷書創造條件。實踐證明，只有經過系統的楷書練習，才能了解漢字筆畫和結構的特點和要求，才能掌握漢字的組合規律，為學寫行楷書奠定書寫基礎，從而練就一手合乎法度、流暢自然的行書和草書。

練習楷書，應從筆畫和結構兩方面下功夫。練習筆畫，主要解決用筆方法問題，目的是生產合格的“零件”；練習結構，主要是解決筆畫和部首之間的組合方式問題，目的是學會結構方法，掌握結構規律，從而達到將字寫端正、整齊、美觀的要求

鋼筆楷書筆畫書寫要領

（一）漢字的特點是由筆畫組成的，筆畫是構成漢字的最小結構單位。鋼筆楷書的筆畫是以單線條為其表現形式。由于漢字結構的干變萬化，不同的筆畫表現的線條形態不同，同一種筆畫在不同字的結構中又表現為不同形態的線條。概括起來，主要有以下特點：

直與弧。一般橫、豎為直；撇、捺、鉤為弧。書寫時，做到直如線，弧如弓，直而不僵、弧而不弱。彎與折。一般帶有彎的筆畫，如豎彎、豎彎鉤的彎處為彎；折畫的折處為折。書寫時，彎處要圓轉，用提筆；折處要折中帶圓，用頓筆。做到彎而不軟，折而無死角。

長與短。這是筆畫之間相比較而言的，是由于字的結構需要決定的。如長橫相對短橫為長，短橫相對長橫為短；長豎相對短豎為長，短豎相對長豎為短；長撇與短撇也是同理。等等。粗與紉。這也是筆畫之間相比較而言的，是因筆尖用力大小不同而形成的。如橫、豎下筆和收筆較重，線條粗；行筆較輕，線條較細，帶有尖狀的筆畫，如撇、鉤、捺、提畫的下筆和行筆較重，線條較租；收筆時(捺畫的下筆處)用提筆，線條細、出尖。

斜與正。這是指漢字筆畫形態的可變性。同一種筆畫在不同結構類型的字中形態會發生一些變化，以求得結構的平穩。比如撇畫，在“人”字中寫成斜撇，而在“月”字中就要寫成豎撇；橫畫在“上”字中要平，而在“七”字中就要寫成左低右高的斜橫。這樣“七”字的筆畫才均勻，重心才平穩。

上述筆畫的這些特點，反映了鋼筆楷書線條的豐富性、可變性，從不同的角度體現了漢字筆畫線條的動態美和力度美，為鋼筆書法的藝術創作奠定了基礎。

鋼筆楷書筆畫書寫要領

（二）學習楷書，首先要從練習筆畫開始，筆畫書寫好與壞，直接影響到字的結構效果。筆畫好比零件，結構好比裝配，筆畫寫得筆筆過硬，裝配成字，就容易做到個個合格。鋼筆楷書的筆畫書寫的要求，主要可概括為三個字，這就是“寫、挺、準”。寫，就是書寫每一個筆畫都要有下筆(或重或輕)、行筆(輕一些，線條或直或弧或彎)、收筆(或頓筆或輕提出尖)三個步驟，不能乎拖或平劃。在漢字的基本筆畫中，橫畫比較能代表各種筆畫的運筆過程。其道理在于：千萬條筆畫，生于一點，以點成畫，積畫成字。比如一點延伸到右方就是橫，橫垂直向下就是豎，橫向左下就是撇，向右下就是撩，等等。只要掌握了寫橫的基本要領，即：重下筆——輕行筆——重收筆，其它筆畫也離不開這條運筆路線，只是用力部位和形態不同而已。橫畫運筆路線，見上圖：

書寫筆畫時，是寫，還是平拖平劃，筆畫表現出的效果是不同的。見下圖

挺，就是要將筆畫寫得挺拔、剛勁、有力。體現筆畫“挺”有兩個主要因素：一是帶有橫或豎的筆畫要乎、要直，筆畫不能上下或左右顫抖，做到直如線。二是帶有“弧”或“彎”的筆畫不能出現折彎，應圓轉自如，做到彎如弓。見下圖

準，就是每寫一個筆畫之前要看準下筆的位置，這主要指在臨摹字帖過程中，一要看準字帖上字的筆畫在格子中間的位置；二要看準筆畫的形態，同一種筆畫在不同字的結構當中或在同一個字的不同部位有長、短、橫勢、豎勢、斜勢等不同的表現形態，應看準、寫準；三要看準筆畫的粗細，是重下筆還是輕下筆，收筆是頓筆還是出尖，要看準、寫準。做到位置準確、長短適宜、租細恰當。見下圖