第一篇：數字信號處理習題解答1

第一章

3.判斷下面的序列是否周期的(1).x(n)?Acos(3?n??),A是常數78j(1n??)(2).x(n)?e85.試判斷系統是否為線性時不變的（5）y(n)=x2(n)(7)y(n)=x(n)sin(?n)6.試判斷系統是否為因果穩定系統（4）y(n)=x(n-n)0x(n)(5)y(n)?e第二章

1.求下列序列的傅里葉變換（7）x(2n)DTFT[x(2n)]=?x(2n)e-j?nn=-??令m=2n，于是DTFT[x(2n)]==1212m=-?，m為偶數??x(m)e-j?m/2mm=-???[x(m)?(?1)-j?m/2m=-??x(m)]e-j?m/2?[?x(m)e?12[X(ej1?2?m=-?j(1???)2?e?)]?jmx(m)e-j?m/2])?X(e14.求出下列序列的z變換及收斂域(1)2-nu(n)X(z)???n??????2z?n?nu(n)z?n

n????2???n1?1,|(2z)|?1?11?(2z)z?,|z|?121z?2-3z-117.已知X(z)=,分別求：-1-22-5z+2z（1）收斂域0.5< | z | < 2對應的原序列x(n)(2)收斂域 | z | > 2對應的原序列x(n)解：X(z)=11--11-11-2z-12z

收斂域0.5< | z | < 2時：nx(n)=2nu(-n-1)+(1)u(n)2收斂域 | z | > 2時：nnx(n)=(1)u(n)-2u(n)221.已知線性因果網絡用下面差分方程表示： y(n)=0.9y(n-1)+x(n)+0.9x(n-1)(1)求網絡的系統函數及單位脈沖響應h(n)(2)寫出網絡頻率響應函數H(ej?)的表達式，并定性畫出其幅頻特性曲線解：1+0.9z-1(1)H(z)=,|z|>0.9-11-0.9z-1n-11+0.9z令F(z)=H(z)z=zn-1-11-0.9z當n?1時，有極點z=0.9h(n)=Res[F(z),0.9]1+0.9z-1n-1=z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-1=2?0.9n因為系統是因果系統，所以有h(n)=0,n<0當n=0時，有極點z1=0,z2=0.9h(n)=Res[F(z),0]+Res[F(z),0.9]1+0.9z-1-11+0.9z-1-1=zz|z=0+z(z-0.9)|z=0.91-0.9z-11-0.9z-1=-1+2=1?h(n)=2?0.9nu(n-1)+?(n)ej?+0.9(2)H(e)=j?e-0.9(3)y(n)=h(n)*x(n)j?=?h(m)x(n-m)m=0?0n-m）=?h(m)ej?（?m=0?

=?h(m)ej?0ne-j?0mm=0=ej?0nH(ej?0)=ej?0nej?0+0.9ej?0-0.9

第三章

6.設下列x(n)長度為N，求下列x(n)的DFT(1)x(n)??(n)(2)x(n)??(n?n0)0?n0?N?

1(3)x(n)?an(5)x(6)(4)x(n)?ej?0nRN?n?

?n??cos??0n??RN?n?

x?n??sin??0n??RN?n?(7)x?n??n?RN?n?

?1?00?k?N?1

其他0?k?N?1

其他解：(1)X(k)???kn0??j2N?e

(2)X(k)????0?kn0?N?1?j2N1?aN???e2??jk

(3)X(k)??n?0N1?ae?0?0?k?N?1其他2?knNj(?0?2?k)nN

(4)X(k)??x(n)Wn?0N?1nkN??en?0N?1j?0ne?j?e

(5)x(n)?cos(?0n)?RN(n)?1j?0n(e?e?j?0n)RN(n)21?1?ej?0N1?e?j?0N?X(k)???j?0kk?2?1?eWN1?e?j?0WN?

kk??1?e?j?0N1?ej?0WN1?1?ej?0N1?e?j?0WN??? j?0?j?0kk2?1?eWN1?eWN?k1?cos?0N??cos?0?N?1??cos?0?WN?k2k1?2cos?0WN?WN????????????

(6)

1x(n)?sin(?0n)?RN(n)?(ej?0n?e?j?0n)RN(n)

21?1?ej?0N1?e?j?0N?X(k)???j?0kk?2j?1?eWN1?e?j?0WN?j?N?j?kk??1?e?j?0N1?ej?0WN1?1?e01?e0WN?

?? kk2j?1?ej?0WN1?e?j?0WN??sin?0?N?1??sin?0?WNk?sin?0N?k2k1?2co?s0WN?WN????????????1?z?N

(7)設x1(n)?RN(n)，則X1(z)?

1?z?1d?1?z?N?

x(n)?n?x1(n)，則X(z)??z?1dz?1?z???? ?

X(z)??zNz?N?11?z?1?z?21?z?NX(k)?X(z)z?W?kN?1?z?NW?1?W??W???1?W??12kNNkN???kNk2N???Nz?1?z??z?1?z?

?1?z??1?W??N

?N?1?1?N?12kNNkWN?1kNkN

因為WN?1，WN?1?0

N?1n?0X(k)k?0??n?1?2?3???(N?1)?N(N?1)221.(1)模擬數據以10.24KHz速率取樣，若已知1024個取樣的離散傅立葉變換。求頻譜取樣之間的頻率間隔。

(2)以上數字數據經處理以后又進行了離散傅立葉反變換，求離散傅立葉反變換后抽樣點的間隔為多少？整個1024點的時寬為多少？

10240Hz?10Hz

10241?s?97.66?s（2）抽樣點的間隔

?T?10.24?103整個1024點的時寬

T?97.66?1024ms?100ms 解：（1）頻率間隔

?F?第四章

1.如果一臺通用計算機的速度為平均每次復數乘法需要50us，每次復數加法需要5us。用它來計算N=512點DFT，問直接計算需要多少時間，用FFT計算需要多少時間？照這樣計算，用FFT進行快速卷積對信號進行處理時，估算可實現實時處理的信號最高頻率。解：

(1)512點直接DFT計算的時間： 復數乘法：N=512x512x50us=13.1072s 復數加法：N（N-1）=512x511x5us=1.308s 512點直接DFT計算的時間=13.1072s+1.308s=14.4152s(2)用FFT計算的時間：

復數乘法：N0.5x512x9x50us=0.1152s 2log2N=復數加法：Nlog2N=512x9x5us =0.023s 用FFT計算的時間=0.1152s+0.023s=0.1382s(3)用FFT進行快速卷積對信號處理時間： 假設IFFT也用FFT程序計算，則在實時計算中使用的時間是兩次FFT時間（h(n)的FFT計算按照事先計算好存儲備用），外加一次512點的復數乘法：

用FFT進行快速卷積對信號處理時間=2 x 0.1382s +512x50us = 0.302s 實時處理時，信號采樣的最高采樣頻率：210.302512=1695.36Hz 信號的最高頻率=1695.36/2=847.68Hz 7.某運算流圖如圖所示，問：

（1）圖示是按時間還是按頻率抽取的FFT？（2）把圖示中未完成的系數和線條補充完整。解：

（1）分析圖示的流圖結構，發現其中基本的蝶形運算單元是先加減后乘系數的，因此是按頻率抽取的基2FFT x(0)x(2)-1 x(1)

-1 x(3)-1（2）第五章

6.用脈沖響應不變法及雙線性變換法將模擬傳遞函數Ha?s??X(0)X(1)

W04

WW04

X(2)

W14

-1 04

X(3)

3?s?1??s?3?轉變為數字傳遞函數H(z)，采樣周期T?0.5。

解：Ha(s)?3113(?);ha(s)?(e?t?e?3t)u(t)2s?1s?323h(n)?T(e?nT?e?3nT)u(n),代入T?0.523?(e?n2?e?3n2)u(n)43113(1?e?32z?1)?(1?e?12z?1)H(z)?(?)??12?1?32?141?ez4(1?e?12z?1)(1?e?32z?1)1?ez3(e?12?e?32)z?10.2876z?1????12?32?1?2?241?(e?e)z?ez1?0.829z?1?0.135z?2(2)雙線性變換H（z）?Ha(s)?T1?z?121?z?1?s?3s2?4s?3s?41?z?11?z?131?z?121?z?116()?16?3?1?11?z1?z3(1?2z?1?z?2)3?6z?1?3z?2??16?32z?1?16z?2?16?16z?2?3?6z?1?3z?235?26z?1?3z?20.0875?0.1714z?1?0.0857z?2?1?0.7429z?1?0.0857z?2MATLAB程序及運算結果如下：%脈沖不變法、雙線性變換法；b?[003];a?[143];3(1?z?1)2?16(1?z?1)2?16(1?z?1)(1?z?1)?3(1?z?1)2

[bz1az1]?impinvar(b,a,2)%脈沖不變法bz1分子系數az1分母系數；[bz2az2]?bilinear(b,a,2)%s雙線性變換法bz2分子系數az2分母系數；結果：

bz1=0

0.2876

0

az1=1.0000

-0.8297

0.1353

bz2=0.0857

0.1714

0.0857

az2=1.0000

-0.7429

0.0857 7.用脈沖響應不變法及雙線性變換法將模擬傳遞函數Ha?s??3轉變為數字傳遞函數H(z)，采樣周期2s?s?1T?2。

解：（1）脈沖響應不變法Ha(s)??111??s2?s?1(s?12)2?34(s?12)2?(32)2A1s?12?j(32)1s?12?j(32)*s??12?j(32)?A2s?12?j(32)??1j3?1j3T?(12?j(32)T?1A1??j3??j3)將T?2代入A2?A1H(z)?1s?12?j(32)j31?e(T?(12?j(32)Ts??12?j(32)1?ez?2?2e?1sin3z?10.8386z?1????1?2?1?1?2?2?3?1?2ecos3z?ez?1?0.1181z?0..135z其中：sin3?sin3?180.?/??0.987cos3?cos3?180.?/???0.1606(2)雙線性變換H（z）?Ha(s)?11?z?11?z?1z?1??s?1s2?s?1s?1?z?11?z?11?z?121?z?1()??1?1?11?z1?z(1?2z?1?z?2)1?2z?1?z?2???122?121?2z?z?1?z?1?2z?z3?z20.3333?0.6667z?1?0.3333z?2?1?0.3333z2(1?z?1)2?(1?z?1)2?(1?z?1)(1?z?1)?(1?z?1)2

MATLAB程序及運算結果如下：%脈沖不變法、雙線性變換法；b?[001];a?[111];[bz1az1]?impinvar(b,a,0.5)%脈沖不變法bz1分子系數az1分母系數；[bz2az2]?bilinear(b,a,0.5)%s雙線性變換法bz2分子系數az2分母系數；

結果：

bz1=0

0.8386

0

az1=1.0000

0.1181

0.1353

ba2=0.3333

0.6667

0.3333 az2=1.0000

0

0.3333 10.設有一模擬濾波器Ha(s)?

1，采樣周期T?2，用雙線性變換法將其轉換為數字系統函數H(z)。

s2?s?1解

由變化公式

1?z?1

s?c? ?11?z及c?2,T?2,可得 T1?z?1

s?

1?z?1所以

H(z)?Ha(s)1?z?11?z?1

s?

=

11?z?121?z?1()?()?1?1?11?z1?z

(1?z?1)2

=

3?z?218.用雙線性變換法設計巴特沃茲數字高通濾波器，要求通帶邊界頻率為0.8rad，通帶最大衰減為3dB，阻帶邊界頻率為0.5rad，阻帶最小衰減為18dB。

解：已知?p?0.8rad,?s?0.5rad,?p?3dB,?s?18dB

（1）將數字高通濾波器的邊界頻率轉換為相應的模擬高通濾波器Ha(s)的邊界頻率。（令T=2）

?ph?tan?p2?tan?0.80.5?0.006981,?sh?tans?tan?0.004363 222（2）將Ha(s)的指數轉換為模擬低通歸一化原型濾波器G（p）的指標

?p?1,?p?3dB;?s??ph?sh1.6,?s?18dB

設計程序：

% 調用函數buttord,butter,lp2hp和bilinear用雙線性變換法設計巴特沃思數字高通濾波器程序： ex623.m

wp=1;ws=1.6;rp=3;as=18;

[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,as,’s’);[Bap,Aap]=butter(N,wc,’s’);[BHP,AHP]=lp2hp(Bap,Aap,1.6);[Bz,Az]=bilinear(BHP,AHP,0.5);% N,Bz,Az為所設計巴特沃思數字高通濾波器的階數和系統函數； 運行結果：

N=5

Bz=[0.0165-0.0824 0.1648-0.1648 0.0824-0.0165]

Az=[1.0000 1.2604 1.1914 0.5375 0.1505 0.0166]

19.設計巴特沃茲數字帶通濾波器，要求通帶范圍為0.25?rad???0.45?rad，通帶最大衰減為3dB，阻帶范圍為0???0.15?rad和0.55?rad????rad，阻帶最小衰減為15dB。解：(1)確定數字帶通濾波器性能

，?1?0.25?rad，?s2?0.55?rad，?s1?0.15?rad ?u?0.45?rad通帶內最大衰減?p?3dB，阻帶內最小衰減?s?15dB(2)確定模擬濾波器性能。若T＝2s

?u??2tanu?tan0.22?5?0.854r1ad/s T2

?1??2tan1?tan0.12?5?0.414r2ad/s T2

?s2??2tans2?tan0.27?5?1.170r8ad/s T2

?s1??2tans1?tan0.075??0.2401rad/s T2?u?1?0.5948rad/s，通帶心頻率?0?帶寬B??u??1?0.4399將頻率對B歸一化，得到相應歸一化帶通邊界頻率：

?u??u???1.941，6?1?1?0.9416，?s2?s2?2.6615，BBB?s1?0.5458，?0??u?1?1.3521 B

?s1?(3)由歸一化帶通性能確定相應模擬歸一化低通性能

?s22??02

歸一化阻帶截頻率為?s??1.9746

?s2

歸一化通帶截頻率為?p?1,?p?3dB,?s?18dB(4)設計模擬歸一化低通G(p)

?s10p?1100.3?1

ksp?，???1.9746 ??0.1266sp0.1?s1.8?p10?110?1

N??

取N=3.查表得，G(p)?0.1?lgksplg?sp??lg0.1266?3.04

lg1.97461p3?2p2?2p?1

(5)頻率變換，將G(p)轉換成模擬帶通Ha(s)Ha?s??G(p)p?s2??02?

sBB3s3?s22??0?322?2s2??0sB?2s2??0s2B2?s3B33??2??

?0.08s55432s6?0.879s8?1.448s4?0.707s6?0.512s4?0.110s1?0.0443(6)用雙線性變換公式將Ha(s)轉換成H(z)H(z)?Ha?s?s?2?1?z?1T1?z?1?[0.0181?1.7764?10?15z?1?0.0543z?2?4.4409z?3?0.0543z?4?2.7756?10?15z?5?0.0181z?6]?[1?2.272z?1?3.515z?2?3.2685z?3?2.3129z?4?0.9628z?5?0.278z?6]?1 第七章

7.畫出下面系統函數的直接型結構圖

2.5?2z?1?0.6z?2

H(z)?

1?0.5z?1?0.6z?2?0.5z?3解：

8.用級聯方式畫出下面系統的結構圖

2(z?1)(z2?1.414z?1)

H(z)?

(z?0.3)(z2?0.9z?0.81)21?z?11?1.414z?1?z?2解：H?z??

1?0.3z?11?0.9z?1?0.81z?2????????

6.已知FIR的系統函數為

H(z)?1(1?0.9z?1?2.1z?2?0.3z?3?2.2z?4?0.3z?5?2.1z?6?0.9z?7?z?8)15

畫出該系統的直接型結構。解：

9.已知FIR系統的16個頻率采樣值為：

H(0)?12，H(1)??3?j3，H(2)?1?j，H(3)?H(4)?......?H(13)?0，H(2)?1?j,H(1)??3?j3，試畫出其頻率采樣結構圖，如果取r=0.95,畫出其修正的采用實系數乘法的頻率采樣結構圖。

1?z?N解：H?z??NH?k?,??k?1k?01?WNzN?1N?16

取修正半徑r=0.95，將上式中互為復共軛得并聯支路合并，得

1?r16z?16H?z??16?H?k?1?16?1?0.4401z??k?116k?01?rW16z15?H?0????1?0.95z??1?H?1????1?0.95W?1z?116?

????H?15?H?2?H?14???? ???15?1??2?1?14?1???1?0.95W16z??1?0.95W16z1?0.95W16z??11?0.4401z?16

?16??????12?6?6.5254z?12?2.6870z?1??其結構圖如????1?1?2?1?2???1?1.3435z?0.9025z???1?1.7554z?0.9025z?1?0.95z下圖：

第二篇：數字信號處理習題解答

數字信號處理習題解答

第1-2章：

1.判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。若不是，說明理由（1）f1(t)= sin2t + cos3t

（2）f2(t)= cos2t + sinπt

2、判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。若不是，說明理由

（1）f1(k)= sin(3πk/4)+ cos(0.5πk)

（2）f2(k)= sin(2k)(3)若正弦序列x(n)=cos(3πn /13)是周期的, 則周期是N=

3、判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期;若不是，說明理由

（1）f(k)= sin(πk/4)+ cos(0.5πk)

（2）f2(k)= sin(3πk/4)+ cos(0.5πk)解

1、解 β1 = π/4 rad，β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8 N1 =8，N2 = 4，故f(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數8。

（2）β1 = 3π/4 rad，β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3 N1 =8，N2 = 4，故f1(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數8。

4、畫出下列函數的波形(1).(2).解 f1(t)?tu(t?1)

f2(t)?u(t)?2u(t?1)?u(t?2)

5、畫出下列函數的波形

x(n)=3δ(n+3)+δ(n+1)-3δ(n-1)+2δ(n-2)

6.離散線性時不變系統單位階躍響應g(n)?8

nu(n)，則單位響應h(n)=?

h(n)?g(n)?g(n?1)?8nu(n)?8n?1u(n?1)

7、已知信號為fs?（200)Hz。

?f(t)?5cos(200?t?)，則奈奎斯特取樣頻率

38、在已知信號的最高頻率為100Hz(即譜分析范圍)時，為了避免頻率混疊現象，采樣頻率 最少要200 Hz：

9.若信號f(t)的最高頻率為20KHz，則對該信號取樣，為使頻譜不混疊，最低取樣頻率是40KHz

10、連續信號：xa(t)?5sin(2?*20*t??3)用采樣頻率fs?100Hz 采樣，寫出所得到的信號序列x(n)表達式，求出該序列x(n)的最小周期

解：T??1?0.01，x(n)?xa(nT)?5sin(0.4?n?)

3fs?2? N?0?2??5 0.4?

11、連續信號：xa(t)?Acos(80?t??3)用采樣頻率fs?100Hz 采樣，寫出所得到的信號序列x(n)表達式，求出該序列x(n)的最小周期長度。解：T??1?0.01，x(n)?xa(nT)?Acos(0.8?n?)

3fs?2?5?;?N?5 0.8?2 2??012、設系統的單位取樣響應

h(n)?u(n)，輸入序列為

x(n)??(n?1)，求系統輸出序列y(n)

y(n)?x(n)*h(n)?u(n)*?(n?1)?u(n?1)

n解：

13、設系統的單位取樣響應h(n)?au(n),0?a?1，輸入序列為 x(n)??(n)?2?(n?2)

完成下列各題：

y(n)；(2)分別求出x(n)、h(n)和y(n)的Z變換。

(1)求出系統輸出序列

解：y(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)]=anu(n)+2an?2u(n?2)X(z)?n????[?(n)?2?(n?2)]z??n?1?2z H(z)??2n????au(n)zn??n??anz?n?n?0?1 ?11?az1?2z?Y(z)?H(z)?X(z)?1?az?1

14、設系統的單位取樣響應

h(n)?u(n)，輸入序列為

x(n)??(n?2)，求系統輸出序列y(n)

y(n)?x(n)*h(n)?u(n)*?(n?2)?u(n?2)

解：

15、離散時間單位延遲器的單位響應為?(k?1)

16、線性時不變系統，輸入為 x（n）時，輸出為y（n）； 則輸入為9x（n-23）時，輸出是9y（n-23）

17、求x(n)?c?n的z變換（?1?n?n?c?

1)解 X(z)?n????x(n)z??n?n???n?ncz?c??z

n?0 X1(z)??cnz?n?n?011?cz?1cz1?czz?c

z?1

c X2(z)?n????c?1?nz?n?c?1，s?k????|h(k)|??|a|k?0??k則存在公共的收斂區域X(z)?1cz1

?,c?z??11?cz1?czc的線性時不變系統 18、分析單位脈沖響應為h(k)?aku(k),的因果性和穩定性。

解：1）因為 k?0時，h（k）=0，因此系統是因果的

2）如果 |a|<1, 則 s?1 故系統是穩定的1?|a|

如果 |a|≥1 , 則s → ∞，級數發散。故系統僅在|a|<1時才是穩定的

19、分析單位脈沖響應為h(k)?0.5ku(k),的線性時不變系統 的因果性和穩定性。

解：1）因為 k?0時，h（k）=0，因此系統是因果的 2）s?kh(k)?0.5???k?0??k???1?2,1?0.故系統是穩定的nx(n)?au(n),0?a?1 的DTFT求序列解

X(e)??aej?n?0?n?j?n??(aen?0??j?n1)?1?ae?j?)=|H(e)|e

jω

jθ(ω)

21、如果信號的自變量和函數值都取 __ ____值，則稱為數字信號。離散 22.數字濾波器的頻率響應函數可表示為H(e

jω

。式中，|H(ejω)|稱為 函數，θ(ω)稱為 函數。幅頻特性，相頻特性

23、因果穩定（可實現）系統的系統函數H(z)收斂域一定包含∞點，即∞點不是極點，極點分布在某個圓()，收斂域在某個圓()。

24、已知線性因果網絡用下面差分方程描述：

y(n)?0.9y(n?1)?x(n)?0.9x(n?1)

(1)求系統函數H(z)；(2)寫出H(ej?)

解：（1）y(n)?0.9y(n?1)?x(n)?0.9x(n?1)

對方程兩邊進行z變換，得Y(z)?0.9Y(z)z?1?X(z)?0.9X(z)z?1

H(z)?

第3--5章： Y(z)1?0.9z（2）?X(z)1?0.9z?1?11?0.9ej?H(e)?H(z)|z?ej??

1?0.9ej?j?1.求序列 x(n)??(n),0?n?N?1的DFT

nkX(k)?DFT[x(n)]??x(n)WNN?1n?0解

nk???(n)WN?1,1?k?N?1n?0N?1

2.求序列x(n)?an(0?n?N?1)的DFT

N?1n?0nkX(k)?DFT[x(n)]??x(n)WN解nk??anWNn?0N?1kN1?(aWN)1?aN??1,1?k?N?1kk1?aWN1?aWN

3.求有限長序列x(n)=cos(nπ解：由DFT的定義

/6)(0?n?11)的N點DFT

?nk??j2?e12??n?n??jn?nk111?j6X(k)??cosW12???e?e6?6n?0n?02?111???e??2?n?0112??jn(k?1)12??en?0112??jn(k?1)12????

利用復正弦序列的正交特性, 再考慮到k的取值區間，??6k?1,11可得X(k)??

??0 elsek,k?[0,11].按基-2 FFT算法 , N=16的時間抽取法的 FFT運算 流圖中，從x(n)到X(k)需（4）級蝶形運算過程。5.按基-2 FFT算法 , N=64的時間抽取法的 FFT運算 流圖中，從x(n)到X(k)需（6）級蝶形運算過程。

6.序列x1（n）的長度為8，序列x2（n）的長度為16，則它們線性卷積的長度是（23），要使圓周卷積等于線性卷積而不產生混疊的必要條件為圓周卷積的長度（≥ 23）7.設有限長(N=4)序列為:x(n)=2δ(n)-δ(n-1)+3δ(n-2)+δ(n-3)，X(k)=DFT[x(n)]N, 試計算(1)X(k)k-0(2)X（N22)(3)?X(k)(4)?|X(k)|。

k?0N?1N?1k?0解：(1)X(0)??x(n)WN0??x(n)?5

n?0n?0N?1N?1N?1N?1NnN/2(2)X()??x(n)WN??x(n)(?1)n?5

2n?0n?0

N?11N?11N?10(3)x(0)??X(k)WN??X(k)，故?X(k)?Nx(0)?8

Nk?0Nk?0k?0

(4)由離散帕塞瓦爾定理，得 ?X(k)2?N?x(n)2?60

k?0n?0N?1N?

18、數字濾波器從實現的網絡結構或者從單位脈沖響應長度分類，可以分成(無限長單位脈沖響應(IIR))濾波器和(有限長單位脈沖響應(FIR))濾波器。

9.無限長單位脈沖響應(IIR)數字濾波器的兩種常用設計方法是沖激響應不變法和雙線性 變換法.沖激響應不變法的優點是頻率變換關系是線性的，即ω=ΩT;沖激響應不變法的最大缺點會產生不同程度的 頻率混疊失真。

10.采用按時間抽取的基-2 FFT算法計算N=1024點DFT，需要計算()次復數加法，需要()次復數乘法。1024*10，512*10 11.設模擬濾波器的系統函數為

H?(s)?211??s2?6s?8s?2s?T=2s

試利用雙線性變換法，設計IIR數字濾波器H(z)。

解：利用雙線性變換法

C=2/T=1

1?z?1H(z)?H?(c)?11?z11??1?z?11?z?1 2?4??11?z1?z?11?z?11?z?1???13?z5?3z?112、有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點數必須是2的整數冪。假定沒有采用任何特殊的數據處理措施，已給條件為：（1）頻率分辨力≤10Hz（2）信號的最高頻率≤4kHz試確定以下參量：（1）最小記錄長度Tp；（2）抽樣點的最大時間間隔T；（3）在一個記錄中的最少點數N。

解：（1）由分辨力的要求確定最小記錄長度Tp.Tp=1/F=1/10=0.1(s)故最小記錄長度為0.1秒。

（2）從信號的最高頻率確定最大的抽樣時間間隔T.fs≥2fh, T=1/fs ≤1/2fh=0.125*10-3(s)(3)最小記錄點數N，它應滿足N≥2fh /F=800

13、對實信號進行譜分析，要求譜分辨率F ≤10 Hz，信號最高頻率fc=2.5 kHz，試確定:

(1)最小記錄時間Tpmin;(2)最大的采樣間隔Tmax;(3)最少的采樣點數Nmin。

14、頻率分辨率與信號實際長度成 比，信號越長，其分辨率越。反，高。

15.由RC組成的模擬濾波器系統函數為Ha(s)?1 s?1(1)采樣間隔T=2s，試用雙線性不變法將該模擬濾波器Ha(s)轉換成數字濾波器H(z);

(2)求出H(z)對應的序列h(n);

(3)判斷系統H(z)的穩定性與類型（IIR、FIR）

解：（1）H(z)?Ha(s)s?c1?z?1?1?z?11?10.5?0.5z

1s?1s?c1?z??11?z（2）h(0)=0.5, h(1)=0.5

（3）FIR，穩定

16、如果序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)的實部和虛部（包括j）的DFT分別為X(k)的共軛_____對稱___分量和共軛____反對稱____分量。

第三篇：《數字信號處理(第四版)》部分課后習題解答

Chapter 9 9.1 Develop a lowpass IIR digital filter using Butterworth Approximation with the following specifications: passband egde frequency at Fp = 100 Hz, stopband edge frequency at Fs = 600 Hz, passband ripple ap = 1 dB, minimum stopband attenuation as = 32 dB, and sampling frequency FT = 2 kHz.9.2 Develop a highpass IIR digital filter using Butterworth Approximation with the following specifications: passband egde frequency at Fp = 600 Hz, stopband edge frequency at Fs = 100 Hz, passband ripple ap =1 dB, minimum stopband attenuation as = 32 dB, and sampling frequency FT = 2 kHz.

第四篇：數字信號處理習題與答案

3.已知

單位抽樣響應為

，通過直接計算卷積和的辦法，試確定的線性移不變系統的階躍響應。

9．列出下圖系統的差分方程,并按初始條件

求輸入為

時的輸出序列,并畫圖表示。

解：系統的等效信號流圖為：

解：根據奈奎斯特定理可知：

6.有一信號,它與另兩個信號

和的

關系是:

其中

，已知，解：根據題目所給條件可得：

而

所以

8.若是因果穩定序列，求證：

證明:

∴

9．求的傅里葉變換。

解：根據傅里葉變換的概念可得：

13.研究一個輸入為

和輸出為的時域線性離散移不變系

統，已知它滿足

并已知系統是穩定的。試求其單位抽樣響應。解：

對給定的差分方程兩邊作Z變換，得：，為了使它是穩定的，收斂區域必須包括

即可求得

16.下圖是一個因果穩定系統的結構，試列出系統差分方程，求系統函數。當

時，求系統單位沖激響應 , 畫出系統零極點圖和頻率響應曲線。

由方框圖可看出：差分方程應該是一階的

則有

因為此系統是一個因果穩定系統;所以其收斂

17．設是一離散時間信號，其z變換為

求它們的z變換：，對下列信

號利用(a)

，這里△記作一次差分算子，定義為：

(b)(c)解：(a){

(b)，(c)

由此可設

1.序列x(n)是周期為6的周期性序列，試求其傅立葉級數的系數。

~解: X(k)?n?0?5~x(n)W6nk?n?0?5?j2?nk~x(n)e6 ?j2?k?14?12e6?j2?2k?10e6?j2?3k?8e6?j2?4k?6e6?j2?5k?10e6

計算求得:

~2.設x(n)?R4(n),x(n)?x((n))6.~~ 試求X(k)并作圖表示~x(n),X(k)。~~~X(0)?60;X(1)?9?j33;X(2)?3?j3;~~~X(3)?0;X(4)?3?j3;X(5)?9?j33。

~解: X(k)?n?0x(n)W6nk??~5n?0?j~x(n)e?52?nk6

~~~計算求得：X(0)?4;X(1)??j3;X(2)?1;~~~ X(3)?0;X(4)?1;X(5)?j3。?j?k?1?e3?j2?k?e3?e?j?k

?n?1,0?n?43.設x(n)??,h(n)?R4(n?2),0，其它n?~令~x(n)?x((n))6,h(n)?h((n))4,~試求~x(n)與h(n)的周期卷積并作圖。解：在一個周期內的計算

~~~y(n)?~x(n)*h(n)?h(n?m)~~~y(n)?~x(n)*h(n)?h(n?m)7?x(n), 0?n?5設有兩序列 x(n)???0, 其他n?y(n), 0?n?14 y(n)???0, 其他n各作15點的DFT,然后將兩個DFT相乘,再求乘積的IDFT,設所得結果為f(n),問f(n)的哪些點對應于x(n)?y(n)應該得到的點。

解：序列x(n)的點數為N1?6,y(n)的點數為N2?15故又x(n)*y(n)的點數應為：N?N1?N2?1?20f(n)為x(n)與y(n)的15點的圓周卷積，即L?15所以，混疊點數為N?L?20?15?5。用線性卷積結果 以15 為周期而延拓形成圓周卷積序列 f(n)時，一個周期 內在n?0到n?4(?N?L?1)這5點處發生混疊，即f(n)中只有n?5到n?14的點對應于x(n)*y(n)應該得到的點。

8.已知x(n)是N點有限長序列,X(k)?DFT[x(n)]。現將長度變成rN點的有限長序列y(n)?x(n), 0?n?N-1y(n)???0, N?n?rN-1試求DFT[y(n)](rN點DFT)與X(k)的關系。解: X(k)?DFT?x?n??? Y(k)?DFT?y(n)?? ?

?x(n)n?0rN?1N?1?j2?nkeNN?1n?00?k?N?1?n?0nky(n)WrN??x(n)WnkrN?n?0N?1?j2πnkx(n)eNrk?X()rk?lr(l?0,1,???N?1)?在一個周期內,Y(k)的抽樣點數是X(k)的r倍(Y(k)的周期為Nr),相當于在X(k)的每兩個值之間插入(r?1)個其他的數值k(不一定為零），而當k為r的整數l倍時，Y(k)與X()相等。r 9已知x(n)是長為N點的有限長序列,X(k)?DFT[x(n)]現將x(n)的每兩點之間補進r?1個零值點,得到一個長為rN點的有限長度?x(n/r), n?ir, 0?i?N序列y(n), y(n)???0, 其他n試求rN點DFT[y(n)]與X(k)的關系。解: X(k)?DFT?x?n??? Y(k)?DFT?y(n)?? ?

N?1n?0?n?0nkx(n)WN,0?k?N?1rN?1?nky(n)WrNN?1i?0?x(ir/i?0N?1irkr)WrN??x(i)WikN,0?k?rN?1?Y(k)?X((k))NRrN(k)?Y(k)是將X(k)(周期為N)延拓r次形成的，即Y(k)周期為rN。

10.頻譜分析的模擬信號以8kHz被抽樣,計算了512個抽樣的DFT,試確定頻譜抽樣之間的頻率間隔,并證明你的回答。

證明 :??? ?s2?f??s?sF0?0fs?F0??02?其中?s是以角頻率為變量 的 頻譜的周期,?0是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。fs?s???NF0?0?F0?對于本題:fsNfs?8KHzN?512 8000?F0??15.625Hz51211.設有一譜分析用的信號處理器,抽樣點數必須為2的整數冪,假定沒有采用任何殊數據處理措施,要求頻率分辨力?10Hz,如果采用的抽樣時間間隔為0.1ms,試確定(1)最小記錄長度;(2)所允許處理的信號的最高頻率;(3)在一個記錄中的最少點數。11解:(1)TP?而F?10Hz ?TP?sF10 ?最小紀錄長度為 0.1s??? 11??103?10KHzT0.11 fs?2fh ?fh?fs?5KHz2 ?允許處理的信號的最高頻率為5KHz(2)fs???? TP0.1??103?1000,又因N必須為2的整數冪T0.1 ?一個紀錄中的最少點數為:N?210?1024(3)N?

用直接I型及典范型結構實現以下系統函數

3?4.2z?1?0.8z?2H(z)?2?0.6z?1?0.4z?2

?1?21.5?2.1z?1?0.4z?2?1.5?2.1z?0.4zH(z)??1?2?1?21?(?0.3z?0.2z)1?0.3z?0.2z解：H(z)?

∵1??anz?nn?1m?0N?bznM?m?Y(z)X(z)

∴a1??0.3，a2?0.24(z?1)(z2?1.4z?1)H(z)?(z?0.5)(z2?0.9z?0.8)

2.用級聯型結構實現以下系統函數b0?1.5，b1?2.1，b2?0.4

試問一共能構成幾種級聯型網絡。1??1kz?1??2kz?2H(z)?A??1?21??z??zk1k2k解：

4(1?z?1)(1?1.4z?1?z?2)??1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.8z)

∴ A?4

?11?1, ?11?0.5 , ?21?0 , ?12??1.4 ,?21?0 , ?12??0.9 ,?22?1 ?22??0.8

由此可得：采用二階節實現，還考慮分子分母組合成二階（一階）基本節的方式，則有四種實現形式。

3.給出以下系統函數的并聯型實現。

5.2?1.58z?1?1.41z?2?1.6z?3H(z)??1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.8z)

解：對此系統函數進行因式分解并展成部分分式得：

5.2?1.58z?1?1.41z?2?1.6z?3H(z)??1?1?2(1?0.5z)(1?0.9z?0.8z)

0.21?0.3z?1?4???11?0.5z1?0.9z?1?0.8z?2 ?G0? ?11?0.5 , ?21?0，?12??0.9 ,?22??0.8

?01?0.2 , ?11?0

，?02?1 , ?12?0.3

4．用橫截型結構實現以下系統函數：

?1??1?H(z)??1?z?1??1?6z?1??1?2z?1??1?z?1??1?z?1?26????

解：

11H(z)?(1?z?1)(1?6z?1)(1?2z?1)(1?z?1)(1?z?1)26

11?1?1?2?2??(1?z?1?2z?1?z?)(1z?6z?z)(1?z)26

1537?(1?z?1?z?2)(?1z?1?z?26

2??)(z11)8205?22058?1?z?1?z?z?3?z?4?z?531212 5．已知FIR濾波器的單位沖擊響應為

?0.?3n?（h(n)??(n)N?1n?0?1)?0.n7?2(?2?)n0.?11?(?3n)?0

試畫出其級聯型結構實現。

H(z)?根據?h(n)z?n得：

22?0.?z7?0.z31?1?4?

1H(z)?1?0.z3?z0.12)?1z?23

?(1?0.z2?0.?)(1z?10.?1z?2 0.4而FIR級聯型結構的模型公式為：

H(z)??(?0k??1kz?1??2kz?2)k?1?N???2??

對照上式可得此題的參數為：

?01?1 , ?02?1, ?11?0.2 , ?12?0.1?21?0.3 , ?22?0.4

6．用頻率抽樣結構實現以下系統函數：

5?2z?3?3z?6H(z)?1?z?1

抽樣點數N = 6，修正半徑r?0.9。解；

因為N=6，所以根據公式可得：

H(z)?21?6?6?(1?rz)?H0(z)?H3(z)??Hk(z)?6k?1??(5?3z?3)(1?z?3)H(z)?1?z?1 ?(5?3z?3)(1?z?1?z?2)故 H(k)?H(Z)Z?2?k/N ?(5?3e?j?k)(1?e因而 H(0)?24,H(1)?2?23j,H(2)?0 H(3)?2,H(4)?0,H(5)?2?23j

?j?3k?e?j2?k3)則 H0(z)?H(0)24?1?rz?11?0.9z?1H(3)2 H3(z)??1?rz?11?0.9z?1

?01??11z?1?2???1求 ： Hk(z)k?1 時 ：H1(z)?2?21?2zrcos???rz?N?

?01?2Re?H(1)??2Re[2?23j]?4?11?(?2)?(0.9)?ReH(1)W61?3.64?3.6z?1H1(z)?1?0.9z?1?0.81z?2k?2 時 ：?02??12?0，H2(z)?0?? 7．設某FIR數字濾波器的系統函數為：

1H(z)?(1?3z?1?5z?2?3z?3?z?4)5

試畫出此濾波器的線性相位結構。解：由題中所給條件可知：

1331h(n)??(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)??(n?4)5555

則 h(0)?h(4)?1?0.253 h(1)?h(3)??0.65 h(2)?1N?1?2 2即h(n)偶對稱，對稱中心在 n?處，N 為奇數(N?5)。8．設濾波器差分方程為：

y(n)?x(n)?x(n?1)?11y(n?1)?y(n?2)34

⑴試用直接I型、典范型及一階節的級聯型、一階節的并聯型結構實現此差分方程。

⑵求系統的頻率響應（幅度及相位）。

⑶設抽樣頻率為10kHz，輸入正弦波幅度為5，頻率為1kHz，試求穩態輸出。解：

(1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：

根據 y(n)??ak?1Nky(n?k)??bx(n?k)可得：kk?0M

11a1? , a2?34；

b0?1 , b1?1

一階節級聯型：

1?z?1H(z)?111?z?1?z?2341?z?1 ?1?10?11?10?1(1?z)(1?z)66

1?z?1??1?1

(1?0.7z)(1?0.36z)

一階節并聯型：

H(z)?1?z?1(1?1?10?11?10?1z)(1?z)66

1717?10?10220220??1?10?11?10?11?z1?z66

?1.60.6?1?0.7z?11?0.36z?1

1?z?1（2）由題意可知 H(z)?111?z?1?z?234 1?e?j??H(e)??1?j?1?2j?1?e?e34 j?(1?co?s)?jsin?111?1?1?co?s?co2s??j?sin??sin2??344?3?

幅度為：

?H(ej?)?

(1?cos?)2?sin2?1111(1?cos??cos2?)2?(sin??sin2?)23434

相位為：

sin????argH(ej?)??arg)??tg(1?co?s??

??11??sin??sin2???4?tg(3?arg)?11?1?co?s?co2s????34??

（3）輸入正弦波為 ： x(t)?5sin(2?t?103)

3由 ?T?2??10T1?2? 可得：

又抽樣頻率為10kHz，即抽樣周期為

1?3T??0.1?10?0.1ms310?10

∴在x(t)的一個周期內，采樣點數為10個，且在下一周期內的采樣值與(0,2?)間的采樣值完全一樣。所以我們可以將輸入看為 周期為：T1?1?10?3s?1ms1000

? ?5sin?10x(n)?5sin2??103?nT3?2??10?4?n?????1? ?5sin?n??(n?0 ,1 ,?5?

由此看出,9)

?0?0.2?

根據公式可得此穩態輸出為：

y(n)?5H(ej?0)cos?0n?argH(ej?0)?12.13cos0.2?n?51.6?????

4.試用N為組合數時的FFT算法求N?12的結果(采并畫出流圖。??1.如果一臺通用計算機的速度為平均每次復乘需50? s 計算需要多少時間，用FFT運算需要多少時間。

每次復加5? s，用它來計算512點的DFT[x(n)]，問直拉?對于0?n?N,有解：依題意：N?3?4?r1r2，解: ⑴ 直接計算:

復乘所需時間: T?61?5?10?N2 ?5??10?65122 ?1.31072s

復加所需時間: T2?0.5?10?6?N?(N?1)?0.5?10?6?512?(512?1)?0.130816s ?T?T1?T2?1.441536s⑵用FFT計算:

復乘所需時間: T?61?5?10?N2log2N ?5?10?6?5122?log2512 ?0.01152s

復加所需時間: T2?0.5?10?6?N?log2N ?0.5?10?6?512?log2512 ?0.002304s ?T?T1?T2?0.013824s

n?n?1r2?n0,?n1?0,1,2?n0?0,1,2,3 同樣： 令N?r2r1 對于頻率變量k(0?k?N)有k?k?k1?0,1,2,31r1?k0,??k0?0,1,2x(n)?x(n1r2?n0)?x(4n1?n0)?x(n1,n0)X(k)?X(k1r1?k0)?X(3k1?k0)?X(k1,k0)11?X(k)??x(n)Wnk12n?0?3?2 ?x(n(4n1?n0)(3k1?k01,n)0)W12n0?0n1?0

?

第五篇：數字信號處理課后習題Matlab作業

數字信號處理MATLAB

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習題數字信號處理MATLAB習題

M1-1 已知g1(t)?cos(6?t)，g2(t)?cos(14?t)，g3(t)?cos(26?t)，以抽樣頻率fsam?10Hz對上述三個信號進行抽樣。在同一張圖上畫出g1(t)，g2(t)和g3(t)及抽樣點，對所得結果進行討論。

解：

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從以上兩幅圖中均可看出，三個余弦函數的周期雖然不同，但它們抽樣后相應抽樣點所對應的值都相同。那么這樣還原回原先的函數就變成相同的，實際上是不一樣的。這是抽樣頻率太小的原因，我們應該增大抽樣頻率才能真實還原。如下圖：f=50Hz

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程序代碼

f=10;

t=-0.2:0.001:0.2;g1=cos(6.*pi.*t);g2=cos(14.*pi.*t);g3=cos(26.*pi.*t);k=-0.2:1/f:0.2;h1=cos(6.*pi.*k);h2=cos(14.*pi.*k);h3=cos(26.*pi.*k);% subplot(3,1,1);

% plot(k,h1,'r.',t,g1,'r');% xlabel('t');% ylabel('g1(t)');% subplot(3,1,2);

% plot(k,h2,'g.',t,g2,'g');% xlabel('t');% ylabel('g2(t)');% subplot(3,1,3);

% plot(k,h3,'b.',t,g3,'b');% xlabel('t');% ylabel('g3(t)');

plot(t,g1,'r',t,g2,'g',t,g3,'b',k,h1,'r.',k,h2,'g.',k,h3,'b.')

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xlabel('t');ylabel('g(t)');

legend('g1(t)','g2(t)','g3(t)');

M2-1 利用DFT的性質，編寫一MATLAB程序，計算下列序列的循環卷積。

(1)g[k]={1,-3,4,2,0,-2,},h[k]={3,0,1,-1,2,1}；(2)x[k]=cos(?k/2),y[k]=3k,k=0,1,2,3,4,5。解：(1)循環卷積結果

6.0000-3.0000 17.0000-2.0000 7.0000-13.0000

程序代碼

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g=[1-3 4 2 0-2];h=[3 0 1-1 2 1];l=length(g);L=2*l-1;GE=fft(g,L);HE=fft(h,L);y1=ifft(GE.*HE);for n=1:l

if n+l<=L

y2(n)=y1(n)+y1(n+l);else

y2(n)=y1(n);

end end y2

stem(0:l-1,y2)xlabel('k')ylabel('y(k)')title('循環卷積')

(2)循環卷積結果

-71.0000-213.0000 89.0000 267.0000 73.0000 219.0000

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程序代碼

k=0:5;

x=cos(pi.*k./2);y=3.^k;l=length(x);L=2*l-1;GE=fft(x,L);HE=fft(y,L);y1=ifft(GE.*HE);for n=1:l

if n+l<=L

y2(n)=y1(n)+y1(n+l);

else

y2(n)=y1(n);

end end y2

stem(0:l-1,y2)xlabel('k')ylabel('y’(k)')title('循環卷積')

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M2-2 已知序列x[k]???cos(k?/2N),|k|?N

0,其他?(1)計算序列DTFT的表達式X(ej?),并畫出N=10時，X(ej?)的曲線。

(2)編寫一MATLAB程序，利用fft函數，計算N=10時，序列x[k]的DTFT在?m?2?m/N的抽樣值。利用hold函數，將抽樣點畫在X(ej?)的曲線上。

解：

(1)X(e)?DTFT{x[k]}?j?k????x[k]e??j?k?k??N?cos(k?/2N)eN?j?k

程序代碼

N=10;k=-N:N;

x=cos(k.*pi./(2*N));W=linspace(-pi,pi,512);

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X=zeros(1,length(W));for k=-N:N

X1=x(k+N+1).*exp(-j.*W.*k);X=X+X1;end

plot(W,abs(X))xlabel('W');ylabel('abs(X)');

(2)

程序代碼

N=10;k=-N:N;

x=cos(k.*pi./(2*N));X_21=fft(x,21);L=-10:10;

W=linspace(-pi,pi,1024);X=zeros(1,length(W));for k=-N:N

X1=x(k+N+1).*exp(-j.*W.*k);X=X+X1;end

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plot(W,abs(X));hold on;

plot(2*pi*L/21,fftshift(abs(X_21)),'o');xlabel('W');ylabel('abs(X)');

M2-3 已知一離散序列為x[k]?Acos?0k?Bcos[(?0???)k]。用長度N=64的Hamming窗對信號截短后近似計算其頻譜。試用不同的A和B的取值，確定用Hamming窗能分辨的最小的譜峰間隔??w?c的值。

解：f1=100Hz f2=120Hz時

2?中cN

f2=140Hz時

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f2=160Hz時

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由以上三幅圖可見

f2=140Hz時，各譜峰可分辨。則?f又

??w?c2?N

?40Hz

且

??w???T?2??fT?2??40?1 800所以c=3.2（近似值）

程序代碼

N=64;L=1024;

f1=100;f2=160;;fs=800;

A=1;B1=1;B2=0.5;B3=0.25;B4=0.05;T=1/fs;ws=2*pi*fs;k=0:N-1;

x1=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B1*cos(2*pi*f2*T*k);x2=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B2*cos(2*pi*f2*T*k);x3=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B3*cos(2*pi*f2*T*k);x4=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B4*cos(2*pi*f2*T*k);hf=(hamming(N))';x1=x1.*hf;x2=x2.*hf;x3=x3.*hf;x4=x4.*hf;

X1=fftshift(fft(x1,L));X2=fftshift(fft(x2,L));X3=fftshift(fft(x3,L));X4=fftshift(fft(x4,L));

W=T*(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);subplot(2,2,1);plot(W,abs(X1));title('A=1,B=1');xlabel('W');ylabel('X1');subplot(2,2,2);

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plot(W,abs(X2));title('A=1,B=0.5');xlabel('W');ylabel('X2');subplot(2,2,3);plot(W,abs(X3));title('A=1,B=0.25');xlabel('W');ylabel('X3');subplot(2,2,4);plot(W,abs(X4));title('A=1,B=0.05');xlabel('W');ylabel('X4');

M2-4 已知一離散序列為x[k]?cos?0k?0.75cos?1k,0?k?63。其中, ?0?2?/15，?1?2.3?/15。

(1)對x[k]做64點FFT, 畫出此時信號的譜。

(2)如果(1)中顯示的譜不能分辨兩個譜峰，是否可對(1)中的64點信號補0而分辨出兩個譜峰。通過編程進行證實，并解釋其原因。

解：(1)

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程序代碼

W0=2*pi/15;W1=2.3*pi/15;N=64;k=0:N-1;

x=cos(W0*k)+0.75*cos(W1*k);X=fft(x);

plot(k/N,abs(X));grid on;

title('64點FFT');

(2)

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由以上三幅圖看出：不能對(1)中的64點信號補零而分辨出兩個譜峰，這樣的方法只能改變屏幕分辨率，但可以通過加hamming窗來實現對譜峰的分辨。程序代碼

W0=2*pi/15;W1=2.3*pi/15;N=64;L=1024;k=0:N-1;

x=cos(W0*k)+0.75*cos(W1*k);X=fft(x,L);

plot((0:L-1)/N,abs(X));grid on;

title('1024點FFT');

M2-5 已知一連續信號為x(t)=exp(-3t)u(t)，試利用DFT近似分析

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其頻譜。若要求頻率分辨率為1Hz，試確定抽樣頻率fsam、抽樣點數N以及持續時間Tp。

解：

本題使用矩形窗，則N?fsamfsam1??fsam，Tp??1 ?f1?f

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由以上三幅圖可以看出當fsam越來越大時，近似值越來越接近

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于實際值。即fsam越大擬合效果越好，造成的混疊也是在可以允許的范圍內。程序代碼

fs=100;ws=2*pi*fs;Ts=1/fs;N=fs;

x=exp(-3*Ts*(0:N-1));y=fft(x,N);l=length(y);

k=linspace(-ws/2,ws/2,l);

plot(k,Ts*fftshift(abs(y)),'b:');hold on;

w=linspace(-ws/2,ws/2,1024);y1=sqrt(1./(9+w.^2));plot(w,y1,'r')

title('fs=100Hz時的頻譜')legend('近似值','實際值);

M2-6 試用DFT近似計算高斯信號g(t)?exp(?dt2)的頻譜抽樣值。

π?2通過和頻譜的理論值G(j?)?exp(?)比較，討論如何根據時域的信

d4d號來恰當地選取截短長度和抽樣頻率使計算誤差能滿足精度要求。

解：

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由以上三幅圖可以看出：

當時域截取長度相同時，抽樣間隔越小時誤差越小，當抽樣間隔一定時，時域截取長度越長，誤差越小。當取抽樣間隔為1S，時域截取長度為2S時，誤差較大，絕對誤差在0.5左右；當抽樣間隔為0,5S，時域截取長度為2S時，誤差比間隔為1S時小，絕對誤差不大于0.2；當抽樣間隔為0.5S時域截取長度為4S時，誤差更小，絕對誤差不大于0.04。因為時域截取長度越長，保留下來的原信號中的信息越多，抽樣間隔越小，頻譜越不容易發生混疊，所以所得頻譜與理論值相比，誤差更小。

程序代碼

Ts=0.5;N=4;N0=64;

k=(-N/2:(N/2))*Ts;

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x=exp(-pi*(k).^2);X=Ts*fftshift(fft(x,N0));

w=-pi/Ts:2*pi/N0/Ts:(pi-2*pi/N0)/Ts;XT=(pi/pi)^0.5*exp(-w.^2/4/pi);subplot(2,1,1)

plot(w/pi,abs(X),'-o',w/pi,XT);xlabel('omega/pi');ylabel('X(jomega)');

legend('試驗值','理論值');

title(['Ts=',num2str(Ts)subplot(2,1,2)plot(w/pi,abs(X)-XT)ylabel('實驗誤差')

xlabel('omega/pi');

'N=',num2str(N)]);第22頁

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