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注意? 如果f(x)能展開成x的冪級數? 那么這個冪級數就是f(x)的麥克勞林級數? 但是? 反過來如果f(x)的麥克勞林級數在點x0?0的某鄰域內收斂? 它卻不一定收斂于f(x)? 因此? 如果f(x)在點x0?0處具有各階導數? 則f(x)的麥克勞林級數雖然能作出來? 但這個級數是否在某個區間內收斂? 以及是否收斂于f(x)卻需要進一步考察?

二、函數展開成冪級數

展開步驟?

第一步

求出f(x)的各階導數? f ?(x)? f ??(x)? ? ? ? ? f(n)(x)? ? ? ? ?

第二步

求函數及其各階導數在x?0 處的值?

f(0)? f ?(0)? f ??(0)? ? ? ? ? f(0)? ? ? ? ?

第三步

寫出冪級數

f(0)?f?(0)x?并求出收斂半徑R?

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組(n)f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ? ? 高等數學教案第十二章無窮級數

第四步

考察在區間(?R? R)內時是否Rn(x)?0(n??)?

limRn(x)?limn??f(n?1)(?)n??(n?1)!xn?

1是否為零? 如果Rn(x)?0(n??)? 則f(x)在(?R? R)內有展開式

f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ?(?R?x?R)?

例1 將函數f(x)?ex展開成x的冪級數?

解所給函數的各階導數為f(x)?e(n?1? 2? ? ? ?)? 因此f

1?x?1x2? ? ? ? 1xn? ? ? ??

2!n!(n)

(n)

(0)?1(n?1? 2? ? ? ?)? 于是得級數

它的收斂半徑R????

對于任何有限的數x、?(?介于0與x之間)? 有

n?1e?n?1|x||x|x| ?e?

|Rn(x)| ?|?

(n?1)!(n?1)!|x|n?1?0? 所以 lim|Rn(x)|?0? 從而有展開式而 limn??(n?1)!n??

ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!

例2 將函數f(x)?sin x 展開成x的冪級數?

解因為f(n)(n)(x)?sin(x?n? ?)(n?1? 2?

? ? ?)?

2所以f(0)順序循環地取0? 1? 0? ?1? ? ? ?((n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)? 于是得級數

2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ??

x?3!5!(2n?1)!它的收斂半徑為R????

對于任何有限的數x、?(?介于0與x之間)? 有

sin[??(n?1)?2(n?1)!]xn?1 |Rn(x)| ?||x|n?1| ??0(n ??)?

(n?1)!因此得展開式

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

sinx?x?x3x5x2n?1?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?(???x???)?

3!5!(2n?1)!2!n!

ex?1?x?1x2? ? ? ? 1xn? ? ? ?(???x???)?

例3 將函數f(x)?(1? x)展開成x的冪級數? 其中m為任意常數?

解? f(x)的各階導數為

f ?(x)?m(1?x)m?1?

f ??(x)?m(m?1)(1?x)

? ? ? ? ? ? ? ? ??

f(n)(x)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)(1?x)m?n?

? ? ? ? ? ? ? ? ??

所以

f(0)?1? f ?(0)?m? f ??(0)?m(m?1)? ? ? ?? f(n)(0)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)? ? ? ? 于是得冪級數

1?mx?可以證明

(1?x)m?1?mx?

間接展開法?

例4 將函數f(x)?cos x展開成x的冪級數?

解

已知

2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

sinx?x?3!5!(2n?1)!m?2m?

m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ? ?

m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?

對上式兩邊求導得

2nx2x4nx?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

cosx?1?2!4!(2n)!

例5 將函數f(x)?

解因為1展開成x的冪級數?

21?x1?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)?

1?x2把x換成?x? 得

1?1?x2?x4? ? ? ? ?(?1)nx2n? ? ? ?(?1?x?1)? 21?x青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

注? 收斂半徑的確定? 由?1??x?1得?1?x?1?

例6 將函數f(x)?ln(1?x)展開成x的冪級數?

分析因為f?(x)?1?

1?x2而1是收斂的等比級數?(?1)nxn(?1?x?1)的和函數?

1?xn?0

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?(?1)nxn? ? ? ? ?

1?x?所以將上式從0到x逐項積分? 得

n?1x2x3x4nx

ln1(?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)?

234n?

1解?

f(x)?ln(1?x)??[ln(1?x)]?dx??0xx01dx 1?xxn?1

??[?(?1)x]dx??(?1)(?1?x?1)?

0n?1n?0n?0xnnn??

上述展開式對x?1也成立? 這是因為上式右端的冪級數當x?1時收斂? 而ln(1?x)在x?1處有定義且連續?

例7 將函數f(x)?sin x展開成(x?

解

因為

sinx?sin[并且有

cosx(?

sinx(??4?(x??4)的冪級數?

?4)]?2??[cos(x?)?sin(x?)]?

244?44)?1?1?1?(x?)2?(x?)4? ? ? ?(???x???)?

2!44!4?)?(x??4)?1?1?(x?)3?(x?)5? ? ? ?(???x???)?

3!45!4所以

sinx?

例8 將函數f(x)?

解因為 2?1?1?[1?(x?)?(x?)2?(x?)3? ? ? ?](???x???)?

242!43!41展開成(x?1)的冪級數?

x2?4x?3青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

f(x)?111111

?????x2?4x?3(x?1)(x?3)2(1?x)2(3?x)4(1?x?1)8(1?x?1)24 nn1?1?n(x?1)n(x?1)

??(?1)??(?1)4n?08n?02n4n

?n?0?(?1)n(?12n?2?2n)(x?1)(?1?x?3)?

2n?31提示?

1?x?2?(x?1)?2(1?x?1)?3?x?4?(x?1)?4(1?x?1)?

24n?1x?1n(x?1)

??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0221?2n?1x?1n(x?1)

??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0441?4收斂域? 由?1?

x?1x?1?1和?1??1得?1?x?3?

24小結：常用的展開式

1?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)? 1?xex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!2n?1x3x5n?1xsinx?x??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)? 3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)? 2!4!(2n)!n?1x2x3x4nxln(1?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)? 234n?1(1?x)m?1?mx?m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

§12? 5 函數的冪級數展開式的應用

一、近似計算

例1 計算5240的近似值? 要求誤差不超過0?0001?

解

因為5240?5243?3?3(1?14)1/5?

3所以在二項展開式中取m?1? x??14? 即得

5111?411?4?91240?3(1??4?2?8?3?12? ? ? ?)?

535?2!35?3!3這個級數收斂很快? 取前兩項的和作為5240的近似值? 其誤差(也叫做截斷誤差)為

|r2|?3（?3?

?1?411?4?911?4?9?141?????? ? ? ?)52?2!3853?3!31254?4!3161?41112?[1??()? ? ? ? ] 2881815?2!361111?8????

125325?27?40200001?8111)?

534?4于是取近似式為5240?3(1??為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截斷誤差之和不超過10? 計算時應取五位小數? 然后四舍五入? 因此最后得：

5240?2.9926?

例2 計算ln 2的近似值? 要求誤差不超過0?0001?

解

在上節例5中? 令 x?1可得

ln2?1?111?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?.23n

如果取這級數前n項和作為ln2的近似值? 其誤差為

|rn|?1.n?1為了保證誤差不超過10?4? 就需要取級數的前10000項進行計算.這樣做計算量太大了? 我們必需用收斂較快的級數來代替它.青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

把展開式

ln1(?x)?x?中的x換成?x ? 得

x2x3x ln(1?x)??x???? ? ? ?(1?x?1)?

234x2x3x4xn?1??? ? ? ? ?(?1)n? ? ? ?(?1?x?1)234n?1兩式相減? 得到不含有偶次冪的展開式?

ln1?x?ln1(?x)?ln1(?x)?2(x?x3?x5? ? ? ?)(?1?x?1)?

1?x35令1?x?2? 解出x?1? 以x?1代入最后一個展開式? 得

1?x33

ln2?2(??13111111????? ? ? ?)? 333535737如果取前四項作為ln2的近似值? 則誤差為

|r4|?2(?

?111111????? ? ? ?)9391***12[1??()? ? ? ? ]

99311

?2111???.11970000031?14?3913111111????)? 333535737于是取 ln2?2(??同樣地? 考慮到舍入誤差? 計算時應取五位小數?

1111111? ?3?0.01235? ?5?0.00082? ?7?0.00007? ?0.333333335373因此得

ln 2?0?6931?

例3 利用sinx?x?13 x求sin9?的近似值? 并估計誤差?

3!解

首先把角度化成弧度?

9??從而

?180??9(弧度)???203(弧度)?

1?sin??20203!20?? ?

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

其次? 估計這個近似值的精確度? 在sin x 的冪級數展開式中令x??? 得

201??1???1??????

sin????????? ? ? ? ? 20203!?20?5!?20?7!?20???357等式右端是一個收斂的交錯級數? 且各項的絕對值單調減少? 取它的前兩項之和作為sin?的20近似值? 起誤差為

1??11

|r2|??? ?(0.2)5????5!?20?120300000????0.003876 因此取 ?0.157080? ??20?20?5?3于是得

sin9??0?15643? 這時誤差不超過10?5? 例4 計算定積分

2??120e?xdx 的近似值? 要求誤差不超過0?0001（取x

2??0.56419）?

解：將e的冪級數展開式中的x換成?x? 得到被積函數的冪級數展開式

e?x2?1??(?x2)1!n?(?x2)22!?(?x2)33!? ? ? ?

x2n

??(?1)(???x???).n!n?0于是? 根據冪級數在收斂區間內逐項可積? 得

2?1??122e?xdx0?2???1?2[(?1)n0n?0x2n2]dx?n!?(?1)n22n?n!?0xdx n?0?1

?(1?111?4?6? ? ? ?).2?32?5?2!2?7?3!2前四項的和作為近似值? 其誤差為

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

|r4|?所以

2111??

?28?9?4!90000??122e?xdx0?1?(1?111??)?0.5295?

22?324?5?2!26?7?3!

例5 計算積分

?01sinxxdx 的近似值? 要求誤差不超過0?0001?

解由于limsinx?1? 因此所給積分不是反常積分? 如果定義被積函數在x?0處的值為1?

x?0x則它在積分區間[0? 1]上連續，展開被積函數? 有

sinxx2x4x6

?1???? ? ? ?(???x???)?

x3!5!7!在區間[0? 1]上逐項積分? 得

?01sinx111dx?1???? ? ? ? ?

x3?3!5?5!7?7!因為第四項

11?

?7?7!30000所以取前三項的和作為積分的近似值?

?01sinxxdx?1?11??0.9461?

3?3!5?5!

二、歐拉公式

復數項級數? 設有復數項級數

(u1?iv1)?(u2?iv2)? ? ? ??(un?ivn)? ? ? ?

其中un ? vn(n?1? 2? 3? ? ? ?)為實常數或實函數? 如果實部所成的級數

u1?u2 ? ? ? ? ?un? ? ? ?

收斂于和u? 并且虛部所成的級數?

v1?v2? ? ? ? ?vn? ? ? ?

收斂于和v? 就說復數項級數收斂且和為u?iv?

絕對收斂?

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

2如果級?(un?ivn)的各項的模所構成的級數?un收斂?

?vnn?1n?1??則稱級數?(un?ivn)絕對收斂?

n?1?復變量指數函數? 考察復數項級數

1?z?1z2? ? ? ? ?1zn? ? ? ? ?

2!n!可以證明此級數在復平面上是絕對收斂的? 在x軸上它表示指數函數e? 在復平面上我們用它來定義復變量指數函數? 記為ez ? 即

ez?1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ?

2!n!x

歐拉公式? 當x?0時? z?iy ? 于是

eiy?1?iy?

?1?iy?

?(1?11(iy)2? ? ? ? ?(iy)n? ? ? ? 2!n!12111y?iy3?y4?iy5? ? ? ? 2!3!4!5!121411y?y? ? ? ?)?i(y?y3?y5? ? ? ?)2!4!3!5!

?cos y?isin y?

把y定成x得

eix?cos x?i sin x?

這就是歐拉公式?

復數的指數形式? 復數z可以表示為

z?r(cos? ?isin?)?re??

其中r?|z|是z的模? ? ?arg z是z的輻角?

三角函數與復變量指數函數之間的聯系?

因為eix?cos x?i sin x? e?ix?cos x?i sin x? 所以

e+e?2cos x?

e?e?2isin x?

cosx?11ix(e?e?ix)? sinx?(eix?e?ix)?

22i青島科技大學數理學院高等數學課程建設組 ix?ixx?ixi

這兩個式子也叫做歐拉公式? 高等數學教案第十二章無窮級數

復變量指數函數的性質?

ez1?z2?ez1?ez2?

特殊地? 有ex?iy ?ex ei y ?ex(cos y? isin y)?

也就是說，復變量指數函數ez在z?x?yi處的值的模為ex，輻角為y的復數。

§12.7 傅里葉級數一、三角級數

三角函數系的正交性

三角級數? 級數 a0??(ancosnx?bnsinnx)

2n?1?稱為三角級數? 其中a0? an? bn(n ? 1? 2? ? ? ?)都是常數?

三角函數系?

1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x? ? ? ?? cos nx? sin nx? ? ? ?

三角函數系的正交性? 三角函數系中任何兩個不同的函數的乘積在區間[??? ?]上的積分等于零? 即

???cosnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?

???sinnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?

???sinkxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?)?

???sinkxsinnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)?

???coskxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)? ?????三角函數系中任何兩個相同的函數的乘積在區間[????]上的積分不等于零? 即

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

?????12dx?2??

2???cosnxdx??(n ?1? 2? ? ? ?)?

???sinnxdx???2(n ?1? 2? ? ? ?)?

二、函數展開成傅里葉級數

問題? 設f(x)是周期為2?的周期函數? 且能展開成三角級數?

f(x)?a02??(akcoskx?bksinkx)?

k?1?那么系數a0? a1? b1? ? ? ? 與函數f(x)之間存在著怎樣的關系? 假定三角級數可逐項積分? 則

????f(x)cosnxdx????a02??cosnxdx??[ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxcosnxdx]?

k?1???????類似地???f(x)sinnxdx?bn??

傅里葉系數?

a0?

an?

bn?1?1???????????f(x)dx?

??1?(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx?(n ?1? 2? ? ? ?)?

?系數a0? a1? b1? ? ? ? 叫做函數f(x)的傅里葉系數?

傅里葉級數? 三角級數

a02??(ancosnx?bnsinnx)

n?1?稱為傅里葉級數? 其中a0? a1? b1? ? ? ?是傅里葉系數?

問題? 一個定義在(??? ??)上周期為2?的函數f(x)? 如果它在一個周期上可積? 則一定可以作出f(x)的傅里葉級數? 然而? 函數f(x)的傅里葉級數是否一定收斂? 如果它收斂? 它是否一定收斂于函數f(x)? 一般來說? 這兩個問題的答案都不是肯定的?

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

定理(收斂定理? 狄利克雷充分條件)設f(x)是周期為2?的周期函數? 如果它滿足? 在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點? 在一個周期內至多只有有限個極值點? 則f(x)的傅里葉級數收斂? 并且

當x是f(x)的連續點時? 級數收斂于f(x)?

當x是f(x)的間斷點時? 級數收斂于1[f(x?0)?f(x?0)]?

2例1 設f(x)是周期為2?的周期函數? 它在[??? ?)上的表達式為

f(x)????1 ???x?0

0 ?x???將f(x)展開成傅里葉級數?

解所給函數滿足收斂定理的條件? 它在點x?k?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)處不連續? 在其它點處連續? 從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數收斂? 并且當x?k?時收斂于

11[f(x?0)?f(x?0)]?(?1?1)?0?

22當x?k?時級數收斂于f(x)?

傅里葉系數計算如下?

an?1?1????????f(x)cosnxdx?f(x)sinnxdx?1?1???00(?1)cosnxdx?1?1?01?cosnxdx?0(n ?0? 1? 2? ? ? ?)?

bn?

??????(?1)sinnxdx???01?sinnxdx

1cosnx01cosnx?1[]???[?]0?[1?cosn??cosn??1] ?n?nn?4?? n?1, 3, 5, ? ? ?2n

?[1?(?1)]??n?

n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?于是f(x)的傅里葉級數展開式為

f(x)?4?[sinx?11sin3x? ? ? ? ?sin2(k?1)x? ? ? ? ]

32k?

1(???x???? x ?0? ??? ?2?? ? ? ?)?

例2 設f(x)是周期為2?的周期函數? 它在[????)上的表達式為

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

f(x)???x ???x?0

0 0?x???將f(x)展開成傅里葉級數.解所給函數滿足收斂定理的條件? 它在點x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)處不連續? 因此? f(x)的傅里葉級數在x?(2k?1)?處收斂于

1[f(x?0)?f(x?0)]?1(0??)????

222在連續點x(x?(2k?1)?)處級數收斂于f(x)?

傅里葉系數計算如下?

a0?an?1?1????????f(x)dx?1????0xdx??1 ?? 21xsinnxcosnx01[?]?(1?cosn?)???nn2n2??f(x)cosnxdx?????0xcosnxdx??2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?

??n2?

??0 n?2, 4, 6, ? ? ?

bn?

?1????n?f(x)sinnxdx?1????xsinnxdx0?1?[?xcosnxsinnx0cosn? ?]????nnn2(?1)n?1(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)的傅里葉級數展開式為

f(x)??

??4?(2?cosx?sinx)?121sin2x?(2cos3x?sin3x)233?121sin4x?(2cos5x?sin5x)? ? ? ?(???x??? ? x ???? ?3?? ? ? ?)? 455?

周期延拓? 設f(x)只在[????]上有定義? 我們可以在[??? ?)或(??? ?]外補充函數f(x)的定義?

使它拓廣成周期為2?的周期函數F(x)? 在(??? ?)內? F(x)?f(x).例3 將函數

f(x)????x ? ??x?0

x 0 ? x???展開成傅里葉級數?

解所給函數在區間[??? ?]上滿足收斂定理的條件? 并且拓廣為周期函數時? 它在每一點x處青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

都連續? 因此拓廣的周期函數的傅里葉級數在[??? ?]上收斂于f(x)?

傅里葉系數為?

a0?

an?1?1????????f(x)dx?1????(?x)dx???01001?xdx???

1??2f(x)cosnxdx?????(?x)cosnxdx???0

xcosnxdx??4 n?1, 3, 5, ? ? ??

?2(cosn??1)??n2?

n??0 n?2, 4, 6, ? ? ??

bn?1?????f(x)sinnxdx?1????0(?x)sinnxdx?1??0?xsinnxdx?0(n ?1? 2? ? ? ?)?

于是f(x)的傅里葉級數展開式為

f(x)? ?411?(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(???x??)?

2?3

5三、正弦級數和余弦級數

當f(x)為奇函數時? f(x)cos nx是奇函數? f(x)sin nx是偶函數? 故傅里葉系數為

an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

bn?2??0?f(x)sinnxdx(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

因此奇數函數的傅里葉級數是只含有正弦項的正弦級數

?bnsinnx?

n?1?

當f(x)為偶函數時? f(x)cos nx是偶函數? f(x)sin nx是奇函數? 故傅里葉系數為

an?2??0?f(x)cosnxdx(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?0(n?1? 2? ? ? ?)?

因此偶數函數的傅里葉級數是只含有余弦項的余弦級數

a02??ancosnx?

n?1?

例4 設f(x)是周期為2?的周期函數? 它在[??? ?)上的表達式為f(x)?x? 將f(x)展開成

傅里葉級數?

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

解首先? 所給函數滿足收斂定理的條件? 它在點x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)不連續?

因此f(x)的傅里葉級數在函數的連續點x?(2k?1)?收斂于f(x)? 在點 x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)收斂于

1[f(??0)?f(???0)]?1[??(??)]?0?

2其次? 若不計x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 則f(x)是周期為2?的奇函數? 于是

an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)? 而

bn?2??0?f(x)sinnxdx?2??0?xsinnxdx

nx?22

?2[?xcosnx?sin]0??cosnx?(?1)n?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

2nn?nnf(x)的傅里葉級數展開式為

f(x)?2(sinx?111sin2x?sin3x? ? ? ? ?(?1)n?1sinnx? ? ? ? 23n

(???x??? ? x???? ?3? ? ? ? ?)?

例5 將周期函數u(t)?E|sin1t|展開成傅里葉級數? 其中E是正的常數?

2解所給函數滿足收斂定理的條件? 它在整個數軸上連續? 因此u(t)的傅里葉級數處處收斂于u(t)?

因為u(t)是周期為2?的偶函數? 所以bn?0(n?1? 2? ? ? ?)? 而

an?2??0?u(t)cosntd?t?2??0?tEsincosntdt

?E??011[sinn(?)t?sinn(?)t]dt

2211cosn(?)tcosn(?)tE2?2]?

?[?011?n?n?22

??4E(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

(4n2?1)?所以u(t)的傅里葉級數展開式為

4E1 u(t)?(??cosnt)(???t???)?

2?2n?14n?1青島科技大學數理學院高等數學課程建設組 ?高等數學教案第十二章無窮級數

奇延拓與偶延拓? 設函數f(x)定義在區間[0? ?]上并且滿足收斂定理的條件? 我們在開區間(??? 0)內補充函數f(x)的定義? 得到定義在(??? ?]上的函數F(x)? 使它在(??? ?)上成為奇函數(偶函數)? 按這種方式拓廣函數定義域的過程稱為奇延拓(偶延拓)? 限制在(0? ?]上? 有F(x)?f(x)?

例6 將函數f(x)?x?1(0?x??)分別展開成正弦級數和余弦級數?

解

先求正弦級數? 為此對函數f(x)進行奇延拓?

bn?2??0?f(x)sinnxdx?2??0?(x?1)sinnxdx?2?[?xcosnxsinnxcosnx???]0 2nnn?2???2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?2n(1??cosn??cosn?)???

2n??? n?2, 4, 6, ? ? ?n?函數的正弦級數展開式為

x?1?2?[(??2)sinx??2sin2x?1?(??2)sin3x?sin4x? ? ? ? ](0?x??)?

34在端點x?0及x??處? 級數的和顯然為零? 它不代表原來函數f(x)的值?

再求余弦級數? 為此對f(x)進行偶延拓?

an?2??0?f(x)cosnxdx?2??0?(x?1)cosnxdx?2?[?xsinnxcosnxsinnx???]0 nnn20 n?2, 4, 6, ? ? ? ??

?2(cosn??1)??4?

?2 n?1, 3, 5, ? ? ? n???n?2

a0?2??0?2x2?(x?1)dx?[?x]0???2

?2函數的余弦級數展開式為

x?1? ?411?1?(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(0?x??)?

2?35§12? 8 周期為2l的周期函數的傅里葉級數

一、周期為2l的周期函數的傅里葉級數

到目前為止，我們討論的周期函數都是以2?為周期的? 但是實際問題中所遇到的周期函數? 它的周期不一定是2?? 怎樣把周期為2l的周期函數f(x)展開成三角級數呢？

問題? 我們希望能把周期為2l的周期函數f(x)展開成三角級數? 為此我們先把周期為2l的周青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

期函數f(x)變換為周期為2?的周期函數?

令x?lt及f(x)?f(lt)?F(t)? 則F(t)是以2?為周期的函數?

??這是因為F(t?2?)?f[l(t?2?)]?f(lt?2l)?f(lt)?F(t)?

???于是當F(t)滿足收斂定理的條件時? F(t)可展開成傅里葉級數?

F(t)?其中

an?a02??(ancosnt?bnsinnt)?

n?1?????1?F(t)cosntdt?(n?0? 1? 2? ? ? ?)? bn?F(t)sinntdt(n?1? 2? ? ? ?)?

????1?從而有如下定理?

定理設周期為2l的周期函數f(x)滿足收斂定理的條件? 則它的傅里葉級數展開式為

f(x)?a0n?xn?x??(ancos?bnsin)?

2n?1ll?其中系數an ? bn 為

an??f(x)cosl?l

bn??f(x)sinl?l

當f(x)為奇函數時?

n?x

f(x)??bnsin?

ln?1?1ln?xdx(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

ln?xdx(n?1? 2? ? ? ?)?

l1l其中bn?2ln?xf(x)sindx(n ? 1? 2? ? ? ?)?

?l0l

當f(x)為偶函數時?

f(x)?其中an?2la0n?x??ancos?

2n?1lf(x)cosn?xdx(n ? 0? 1? 2? ? ? ?)?

l??0l

例1 設f(x)是周期為4的周期函數? 它在[?2? 2)上的表達式為

f(x)???0 ?2?x?0(常數k?0)?

k 0?x?2?青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

將f(x)展開成傅里葉級數?

解

這里l?2?，按公式得

an?1?kcosn?xdx?[ksinn?x]0?0(n?0)?

022n?2

a0?1?0dx?1?kdx?k?

2?220021

bn?22k?? n?1, 3, 5, ? ? ? n?xkn?x2kksindx?[?cos]?(1?cosn?)? ?n?0?02n?2n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?2于是

?x13?x15?x

f(x)?k?2k(sin?sin?sin? ? ? ?)

2?23252(???x???? x?0? ?2? ?4?

? ? ?? 在x?0? ?2? ?4? ? ? ? 收斂于k)?

2?pxl 0?x??2展開成正弦級數?

例2 將函數M(x)??2p(l?x)l? ?x?l22?

解

對M(x)進行奇延拓? 則

an?0(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?lllp(l?x)n?x22pxn?xn?xM(x)sindx?[sindx?sindx]?

l?0??ll02l2l2l對上式右邊的第二項? 令t?l?x? 則

l0ptn?(l?t)22pxn?x

bn?[?sindx??lsin(?dt)]

l02l2l2ll22pxn?xn?tn?12ptsindx?(?1)?sindt]?

?[?002l2ll當n?2? 4? 6? ? ? ?時? bn?0? 當n?1? 3? 5? ? ? ?時?

bn?4p2l?l202pln?xn?xsindx?22sin?

l2n?于是得

青島科技大學數理學院高等數學課程建設組高等數學教案第十二章無窮級數

M(x)? 2pl?2(sin?xl?13?x15?xsin?2sin? ? ? ?)(0?x?l)?

2ll35青島科技大學數理學院高等數學課程建設組

第三篇：高等數學復習提綱(4學分)

高等數學復習提綱

第一章函數與極限復習重點：

1、求極限

1）四則運算法則

注意：四則運算法則適用的函數個數是有限個；

四則運算法則的條件是充分條件

有理分式函數求極限公式：

?a0mm?1 xxxam?ba?a???amm?101m?1n?nnn a0x?a1x???am?1x?am?0xxxx?lim??0limnn?1 ?bxn?bxn?1???bx?bx??x?bxxxn01n?1n??b?b???b?01n?1nnnn ?xxxx?2）兩個重要極限

n?mm?nm?nlimsinxsin0?1()x?0x01x101lim(1?x)?lim(1?)x?e((1?0))x?0x??x

3）兩個準則

準則一：若(1)yn?xn?zn?n?N則{xn}有極限,且limxn?an??(2)limyn?limzn?an??n??

準則二：單調有界數列必有極限

單調遞增有上界的數列其極限為最小的上界（上確界）

單調遞減有下界的數列其極限為最大的下界（下確界）4）無窮小量

a.無窮小量的定義，注意其是變量，談及無窮小量時一定要注明自變量的變化趨勢。唯一的例外是0永遠是無窮小量；

b.掌握何為高階無窮小，低階無窮小，同階無窮小，等價無窮??； c.利用無窮小量求極限

無窮小量與有界函數的乘積是無窮小量

等價無窮小量替代求極限

注意：下面給出關系式是在x?0時才成立

等價無窮小量替代求極限只在積、商時成立，加減時不行

1sinx~x 1?cosx~x2 x　arcsinx~x e?1~x

tanx~x ax?1~xlna

xn　ln(1?x)~x 1?x?1~ n2、連續性和間斷點 1）連續定義

?x?0lim?y?0,limf(x)?f(x0)

x?x0要求會用定義討論分段函數分段點的連續性

2）間斷點

第Ⅰ類間斷點：f(x0?0)，f(x0?0)?,即左右極限均存在 01f(x0?0)?f(x0?0)跳躍間斷點 0? 2f(x0?0)?f(x0?0)而f(x0)無定義??可去間斷點0 3limf(x)?f(x0)?x?x0?

第Ⅱ類間斷點：f(x0?0)，f(x0?0)至少有一個不?

間斷點的疑似點：使函數沒有意義的點和分段函數分段點

要求：判斷函數的間斷點，若是第一類的要寫出是跳躍還是可去，第二類只需寫出是第二類間斷點即可。

3、閉區間上連續函數的性質

1）最值定理：閉區間上連續函數的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的條件是充分條件，不滿足結論不一定成立。

2）零點定理：f(x)在[a,b]上連續，f(a)f(b)<0，則至少存在一點x0?(a,b)，使得f(x0)?0。要求：和羅爾中值定理結合在一起判斷根的唯一性。

第二章一元函數微分學復習重點：

1、導數的定義f?(x0)?limf(x)?f(x0)?y ?lim?x?0?xx?x0x?x0要求，會利用導數的定義判斷分段函數分段點處的可導性，以及利用導數定義求極限；

2、導數的幾何意義表示曲線f(x)在x?x0處切線的斜率要求會求切線方程法線方程；

3、微分的定義 dy?f?(x0)?x（一點可微）；dy?f?(x)dx（點點可微）

4、一元微分學中，可導、連續、可微三者之間的關系

可導必可微，可微必可導；可導一定連續，連續不一定可導

5、導數的計算 a.復合函數求導

b.高階導數

常見高階導數公式如下：

y?exy(n)?ex

y?xny(n)?n!,y(n?1)?0

n?y?sinxy(n)?sin(x?)2 n?y?cosxy(n)?cos(x?)2(?1)n?1(n?1)!(n)y?ln(1?x)y?(1?x)nc.隱函數求導

隱函數求導方法兩邊同時對x求導；注意y是關于x的函數；

隱函數求導的結果還是隱函數；

隱函數高階求導時一階求導結果要注意回帶，以簡化運算。d.對數求導法

適用于冪指函數、無理分式函數 e.參數方程求導

注意二階導數

6、求微分

dy?f?(x)dx注意不要缺失dx 第三章中值定理和導數的應用

1、中值定理

1）羅爾定理若f(x)滿足[a,b]連續，(a,b)可導，f(a)=f(b)，則至少存在一點x0?(a,b)，使得f?(x0)?0。

注意：a)羅爾定理的條件是充分的，不滿足條件結論不一定成立；

b)羅爾定理的結論可理解為若f(x)滿足羅爾定理三個條件，則導函數在開區間(a,b)至

少有一根；強調了導函數根的存在性，但沒指出到底有幾個根；

c)從羅爾定理可推出，若f(x)有n個根+連續+可導，則導函數至少有n-1個根；注意反之不成立；

d)若導函數沒有根，則f(x)至多一個根。2）拉格郎日定理

若f(x)滿足[a,b]連續，(a,b)可導，則至少存在一點x0?(a,b)，使得f?(x0)?應用于不等式的證明和證明某個函數是一個常函數。3）柯西定理

若f(x)，F(x)滿足[a,b]連續，(a,b)可導，且x?(a,b),F?(x)?0則至少存在一點x0?(a,b)，使得

f(b)?f(a)。

b?af?(x0)f(b)?f(a)。?F?(x0)F(b)?F(a)應用于等式的證明。

2、羅比達法則

定理?1?若limf?x??0limF?x??0x?ax?a

?2?在a,?f??x?F??x?都存在且F??x??0 f??x?f?x?f??x??3?lim?或???則lim?lim

x?aF??x?x?aF?x?x?aF??x? ??0?,???,0??,00,1?,?0等不定型極限 0?x?sinx1?cosx?lim注意：lim極限不存在，此時羅比達法則不適用。

x??x??x1羅比達法則應用于解決,3、利用導數判斷函數的單調性，凹凸性，極值和拐點，會作圖 1）單調性的判定

設函數y?f（x）在?a,b?連續，在（a,b）可導，?x）a）如果在（a,b）內f（?0，那么f（x）在?a,b?上?

b）如果在（?x）a,b）內f（?0，那么f（x）在?a,b?上? 注： a、該條件為函數嚴格單調的充分條件 b、若函數f(x)在(a,b)內可導，則f在(a,b)內嚴格單增（減）的充要條件為：

對一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)

在(a,b)內,任何使f?(x)?0的點必是孤立點 c、若函數f(x)在(a,b)內可導，則f在(a,b)內單增（減）的充要條件為：對一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)d、單調區間的分界點為：一階導函數為0的點和一階不可導點要求：會利用一階導函數判斷函數的單調區間；

會利用單調性證明不等式；

會利用嚴格單調性證明根的唯一性。2）凹凸性的判定

定理：若f(x)在[a,b]上連續，(a,b)上二階可導，在(a,b)內若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)內若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凸的。

3）拐點：凹凸區間的分界點

拐點的疑似點：二階導函數為0的點和二階不可導點判定定理1：若f(x)在x0處可導，在U(x0)內二階可導，則

當x?x0與x?x0時，f??(x)變號，(x0,f(x0)就是拐點；

當x?x0與x?x0時，f??(x)不變號，(x0,f(x0)就不是拐點；

判定定理2：若f(x)在x0處三階可導，且f??(x0)?0,f???(x0)?0,則(x0,f(x0)是拐點。注意，對于判定定理2，若f??(x0)?0,f???(x0)?0,結論是(x0,f(x0)可能是拐點也可能不是拐點。4）極值

極大值：設f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個極大值，x0為f(x)的一個極大值點。

極小值：設f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個極小值，x0為f(x)的一個極小值點。

0最大值：設f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對任意x?(a,b)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個最大值，x0為f(x)的一個最大值點。

注意：極值反映的函數局部的性質，它只是和極值點附近點的函數值相互比較而言它是大的

還是小的，有可能出現極小值大于極大值的情況；而最值反映的是函數全局的性質，它是和整個區間上所有點的函數值相互比較。一個區間上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值點不唯一；而一個區間上極值是不唯一的，可以有幾個極大值和極小值。

在區間內部，最大值一定是極大值，最小值一定是極小值。極值點的疑似點：

判定定理：駐點和一階不可導點

必要條件：可導的極值點一定是駐點。（使一階導函數為0的點稱之為駐點）第一充分條件：若f(x)在x0處連續，在U(x0)內可導，則

當x?x0與x?x0時，f?(x)變號，x0就是極值點；

當x?x0與x?x0時，f?(x)不變號，x0就不是極值點；

第二充分條件：若f(x)在x0處二階可導，且f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0就是極值點。

0f??(x0)?0,x0是極大值點；f??(x0)?0,x0是極小值點。

注意：在第二充分條件中，若f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0可能是極值點也可能不是。

第四章不定積分與定積分（計算）不定積分

1、換元法（第一種，第二種（去根號））

2、分部積分法

3、倒代換

4、整個根式換元

nb定積分

f(x)dx?limf??i??xi.a??01、定積分的定義

i?1定積分的結果是常數，表示的是曲邊梯形面積的代數和，與積分區間和被積表達式有關，和積分變量無關。

2、可積的兩個充分條件和一個必要條件 f(x)在[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。

f(x)在[a,b]有界且有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。f(x)在[a,b]可積，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定積分的幾何意義

4、定積分的重要性質

??（1）無論a,b,c三者位置關系如何，?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accbbb（2）不等式性質： ?x?[a,b],f(x)?g(x),?f(x)dx??g(x)dx

aab（3）估值定理：?x?[a,b],m?f(x)?M,m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab（4）積分中值定理：f(x)在[a,b]上連續，則至少存在??[a,b],?f(x)dx?af(?)(b?a)

5、定積分的計算

（1）換元法

與不定積分相比要換積分上下限，最后不用回帶（2）分部積分法

（3）積分區間是對稱區間的要考慮被積函數的奇偶性和非奇非偶性

aa?a?f(x)dx??(f(x)?f(?x))dx

定積分的幾何應用

求面積（1）直角坐標系

無窮限的反常積分

第四篇：高等數學上教案

第一章函數 1.1集合，1.2函數，1.3函數的集中特性，1.4復合函數，1.5參數方程、極坐標與復數

第二章極限與連續 2.1數列的極限，2.2函數的極限，2.3兩個重要的極限，2.4無窮

小量與無窮大量，2.5函數的連續性，2.6閉區間上的連續函數的性質

第三章導數的微分 3.1導數的概念，3.2 導數的運算法則，3.3 初等函數的求導問題，3.4 高階導數，3.5函數的微分，3.6高階微分

第四章微分中值定理及其應用 4.1微分中值定理，4.2 L’Hspital法則，4.3 Taylor公式，4.4函數的單調性和極值，4.5函數的凸性和曲線的拐點、漸近線，4.6平面曲線的曲率

第五章不定積分 5.1不定積分的概念和性質，5.2換元積分法，5.3分部積分法，5.4

幾種特殊類型函數的不定積分

第六章定積分 6.1定積分的概念，6.2定積分的性質與中值定理，6.3微積分基本公式，6.4 定積分的換元法與分部積分法 6.5 定積分的近似計算6.6廣義積分

第七章定積分的應用 7.1微元法的基本思想，7.2定積分在幾何上的應用，7.3 定積分

在物理上的應用

第八章微分方程 8.1 微分方程的基本概念，8.2 幾類簡單的微分方程，8.3一階微分方

程8.4全微分方程與積分因子8.5二階常系數線性微分方程，8.6常系數線性微分方程

第五篇：高等數學基礎作業答案4改（定稿）

（一）單項選擇題

⒈D ⒉D ⒊B ⒋B ⒌B ⒍D

（二）填空題

⒈ 全體原函數

⒉ F(x)?G(x)?c

⒊ exdx

⒋ tanx?c

⒌ ?9cos3x

⒍ 3

⒎ ?1

（三）計算題

2cos

⒈?x21xdx

解：由第一換元積分法

1xdx??cos1(?1)dx

??xx2x21111

???cos()?dx???cosd()

xxxxcos

??cousdu??sinu?c

??sin?c ⒉1?ux?1x?exxdx

x解：由第一換元積分法

2xxx

?2?e(x)?dx?2?ed(x)

?2eudu?2eu?c x?u?exdx?2?ex1dx

?2e⒊

1?xlnxdx

解：由第一換元積分法

111dx??xlnx?lnx?xdx

11(lnx)?dx??d(lnx)

??lnxlnxlnx?u1

??du?lnu?c

?lnlnx?c

⒋xsin2xdx 解：由分部積分法

xsin2xdx???1xd(?cos2x)?2x1cos2x??(?cos2x)dx 22x12x??cos2xdx

??cos22x12x?sin2x?c

??cos24e3?lnxdx ⒌?1x

??解：由定積分第一換元積分法 ?e1e3?lnx1dx??(3?lnx)dx

1xx

⒍

??e1e(3?lnx)(lnx)?dx??(3?lnx)d(lnx)

1e1(3?lnx)d(3?lnx)

u2?3udu?2443?lnx?u??37 2?10xe?2xdx

10解：由定積分分部積分法 ?xe?2x1dx??xd(?e?2x)

021

⒎

1x1??e?2x??(?e?2x)dx

02201?211?2x??e??edx

22011?21?2x??e?e

240111??e?2?e?2?

24413??e?2 441?e1xlnxdx

ee解：由定積分分部積分法 ?1xlnxdx??1x2lnxd()

2e2exx2lnx??d(lnx)

?1221e21e21e21e??xdx???xdx

?122x221ex?

?24⒏22e11e2?? 44?e1lnxdx x2解：由定積分分部積分法 ?e1elnx1dx?lnxd(?)2?1xxe11

??lnx??(?)d(lnx)

1xx1ee1111

????2dx???

1eex1x112

????1?1?

eeee

（四）證明題

⒈證：由定積分的性質

對??a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

?a00a?0?af(x)dx做變量替換，令x??t，則dx?d(?t)??dt

0?a

f(x)dx???f(?t)dt??f(?t)dt

a00a因為f(x)是奇函數，所以

由此得

??0?af(x)dx??f(?t)dt???f(t)dt???f(x)dx

000aaaa?af(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?0

00aa⒉證：由定積分的性質

對??a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

?a00a?0?af(x)dx做變量替換，令x??t，則dx?d(?t)??dt

0?a

f(x)dx???f(?t)dt??f(?t)dt

a00a因為f(x)是偶函數，所以

由此得

?0?af(x)dx??f(?t)dt??f(t)dt??f(x)dx

000aaa?a?af(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?2?f(x)dx

000aaa

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