第一篇：教案-6.3不等式的證明2

6．3 不等式的證明（第二課時）

教學目標

1.進一步熟練掌握比較法證明不等式； 2.了解作商比較法證明不等式； 3.提高學生解題時應變能力.教學重點

比較法的應用 教學難點

常見解題技巧 教學方法

啟發引導式 教學活動

（一）導入新課

（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評．

（學生活動）思考問題，回答．

［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

2．比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？

3．用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？

[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形．在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用．（板書課題）

設計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評．

（學生活動）嘗試解決問題．

[問題]

1．化簡a?b?ab?ab.2．比較35322311與（a?b?0）的大小． a?ba

（學生解答問題）

［點評］

①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化．

②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小．

設計意圖：啟發學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系．

【例題示范，學會應用】

（教師活動）教師打出字幕（例題），引導、啟發學生研究問題，井點評解題過程．

（學生活動）分析，研究問題．

—第1頁●共5頁—

［字幕］例題3 已知a，b是正數，且a?b，求證

a5?b5?a3b2?a2b3.［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形．

證明：（見課本）

［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范．

a2?b2a?b

[字幕]例4試問：2與（a,b?0）的大小關系．并說明理由． 2a?ba?b

［分析］作差通分，對分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號．

a2?b2a?b(a2?b2)(a?b)?(a?b)(a2?b2)2ab(a?b)解：2 ???22222a?ba?b(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)

因為a,b?0，所以2ab?0,a?b?0,a2?b2?0，(a2?b2)(a?b)?0.若a?b?0，則a?b?0,2ab(a?b)?0

所以

2ab?0． 22(a?b)(a?b)a2?b2a?b?.即2a?b2a?b若b?a?0，則a?b?0,2ab(a?b)?0 所以

2ab(a?b)?0． 22(a?b)(a?b)a2?b2a?b?即2

a?b2a?b若a?b?0，則a?b?0,2ab(a?b)?0 所以

2ab(a?b)?0． 22(a?b)(a?b)a2?b2a?b?即2

a?b2a?ba2?b2a?b?.綜上所述：

a?b?0時，22a?ba?b

—第2頁●共5頁—

a2?b2a?b?

b?a?0時，2 2a?ba?ba2?b2a?b?

a?b?0時，2

a?b2a?b

［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時要不重不漏．

［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點．甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m?n，問甲、乙兩人誰先到達指定地點．

[分析]設從出發地點至指定地點的路程為s，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為t1，t2，要回答題目中的問題，只要比較t1、t2的大小就可以了．

解：（見課本）

［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題．要培養自己學數學，用數學的良好品質．

設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法．培養學生應用知識解決實際問題的能力．

【課堂練習】

（教師活動）教師打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題．

（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．

44223

3［字幕］練習：1．設a?b，比較(a?b)(a?b)與(a?b)的大小．

?

2．已知a,b?0，n?N，求證(a?b)(a?b)?2(annn?1?bn?1).設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號．反饋信息，調節課堂教學．

【分析歸納、小結解法】

（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟．

（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上．

1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法．

2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

—第3頁●共5頁—

3．會用分類討論的方法確定差式的符號．

4．利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟．②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答．

設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系．

（三）小結

（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學思想與方法．

（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．

本節課學習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題．

通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的能力．

設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學思想方法．

（四）布置作業

1．課本作業：P17 7、8。

2，思考題：已知a,b?0，求證ab?ab.3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）

設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學生理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的能力．

（五）課后點評

1．教學評價、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動．

2．教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用．例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用．

作業答案

abbaaabbaa?bb?a?()a?b.思考題：證明：ba?a?babbaaa?baabb?1，故ba?1.因為a,b?0，所以當a?b?0時，?1,a?b?0()bbab

—第4頁●共5頁—

又因為ab?0，所以ab?ab.baabbaaaa?baabb?1，即ba?1，所以aabb?abba.當b?a?0時，0??1,a?b?0，故()bbabaaa?baabb?1，即ba?1，所以aabb?abba.當a?b?0時，?1,a?b?0.故()bbab

綜上所述，ab?ab.研究性題：設兩地距離為s，船在靜水中的速度為u，水流速度為v（u?v?0），則 abbass2s2v2st流?t靜?(?)???0 22u?vu?vuu(u?v)所以船在流水中來回行駛一次的時間比在靜水中來回行駛一次的時間長．

—第5頁●共5頁—

第二篇：不等式的證明2

●教學目標

1.進一步熟練掌握比較法證明不等式； 2.了解作商比較法證明不等式； 3.提高學生解題時應變能力.●教學重點比較法的應用 ●教學難點常見解題技巧 ●教學方法啟發引導式 ●教具準備幻燈片 ●教學過程 Ⅰ復習回顧：

師：上一節，我們一起學習了證明不等式的最基本、最重要的方法：比較法，總結了比較法證明不等式的步驟：作差、變形、判斷符號，這一節，我們進一步學習比較法證明不等式.Ⅱ.講授新課：

例4甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走，；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n,問甲、乙兩人誰先到達指定地點.分析：設從出發地點至指定地點的路程是S，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1，t2，要回答題目中的問題，只要比較t1，t2的大小就可以了.解：設從出發地點至指定地點的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t1，t2，依題意有：

t12m?

t12n?S,S2m

?S2n

?t

22Sm?n

S(m?n)2mn

∴t1?

2Sm?n,t2?

S(m?n)2mn，t1?t2?

?=

S[4mn?(m?n)]

2(m?n)mn

2其中S，m、n都是正數，且m≠n，于是 t1?t2?0，即t1?t

2從而知甲比乙首先到達指定地點.說明：此題體現了比較法證明不等式在實際中的應用，要求學生注意實際問題向數學問題的轉化.例5證明函數f(x)?x?

1x

在x?[1,??]上是增函數.分析：證明函數增減性的基本步驟：假設、作差、變形、判斷，主要應用的就是比較法.證明：設x1?x2≥1，則 f(x1)?f(x2)?x1?

1x1

?(x2?

1x2)?(x1?x2)?

x1?x2x1x2

=(x1?x2)(1?

1x1x2)?(x1?x2)

(x1x2?1)x1x2

∵x1?1?0,x2≥1＞0，x1?x2

∴x1x2?1,x1?x2?0,x1x2?0 ∴(x1?x2)(x1x1?1)x1x2?0

即f(x1)?f(x2)所以f(x)?x?1

x

x在[1??)上是增函數 說明：此例題一方面讓學生熟悉比較法的應用，另一方面讓學生了解利用函數單調性求最值，例如y?x?

y?x?1

x(x≥2），若利用基本不等式求最值，則“=”成立條件不存在；而在x≥2時是增函數，故x=2時，函數有最小值.Ⅲ.課堂練習

(1)課本P14練習4，5

(2)證明函數f(x)?x?

●課堂小結

師：通過本節學習，要求大家進一步掌握比較法證明不等式，并了解比較法證明不等式在證明函數單調性及實際問題中的應用.●課后作業

習題6.33，6

●板書設計

●教學后記

1x,(x?(0,1]為減函數

第三篇：【優秀教案】高中數學第二冊上 第六章 不等式：6.3不等式的證明(二)

第七教時

教材：不等式證明二（綜合法，分析法，反證法，變換法）

目的：加強不等式證明的訓練，以期達到熟練技巧，同時要求學生初步掌握用綜

合法證明不等式。

過程：1綜合法

有時我們可以利用某些已經證明過的不等式(例如均值不等式)和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立,這種方法通常叫做綜合法,也叫做公式法.例1.已知 a, b , c是不全相等的正數,求證:

ab2?c2?bc2?a2?ca2?b2?6abc

證明:

同理 ???

22????b2?c2?2bc,a?0?ab2?c2?2abc22?b?ac?a??c??2abc?b??2abc

因為, c 不全相等,所以三式不能全取等號 a , b

?ab2?c2?bc2?a2?ca2?b2?6abc

??????

2分析法

證明不等式時,有時可以從求證的不等式出發,分析使這個不等式成立的充分條件,把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題,如果能夠肯定這些充分條件都已具備,那么就可以斷定原不等式成立,這種證明方法通常叫做分析法.例2求證?7?2

52都是正數,所以為了證明 證明:因為3?和

只需證明

展開得 3?7?253?7???2?2210?221?20

221?10

21?5

21?25

21?25成立,所以3因為? 7 ? 2 成立

證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難,例如這道題,我們很難想到從21<25下手,因此,我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數學問題的一種重要方法

例3證明:當周長相等時,圓的面積比正方形的面積大

?L??L??????證明:設周長為,正方形面積為L依題意,圓的面積為4???2??22

所以本題只需證明 ?L??L????????2???4?

?L2L2

為了證明上式成立,只需證明2?4?16411兩邊同時乘以正數得?2L?

4因此只需證明: 4??

L??L?上式是成立的,所以: ????????2???4?

2222這就證明了,如果周長相等,那么圓的面積比正方形的面積大.3反證法 反證法是一種間接證明方法,我們如果欲證明“若A則B”,可以通過否定B來達到肯定B的效果,步驟一般分為三步:1.反設結論不成立;2.歸謬,由假設作為條件推出矛盾;3.結論,肯定欲證結論的正確

a,b,c都是小于1的正數,求證: 已知

?1?a?b,?1?b?c,?1?c?

41a中至少有一個不大于444111??????證明:假設 1?ab?,1?bc?,1?ca?

?a,b,c都是小于1的正數

111?1?ab?,1?bc?,1?ca?222

3?1?ab?1?bc?1?ca?2

但是 1?ab?1?bc?1?ca

?1?a??b??1?b??c??1?c??a?222?

3所以，矛盾！

4變換法 變換法就是利用拆項或者插項,換元(三角換元,增量換元,等價轉化)等變換達到證明不等式的目的,其中,最為常用的就是三角換元法,把多個變量換成同一個角的三角函數值,再用三角公式進行證明.?222a,b,c?Ra?b?c求證: 已知:,且

an?bn?cn(n?N,n?2)

:由已知,可設 a?cos?,b?sin?

?0?sin??1,0?cos??

1?0?sinn??sin2?,0?cosn??cos2?

?an?bn?cnsinn??cosn??cnsin2??cos2??cn

????

三、小結：各種證明方法

四、作業： P15—16練習1，2P18習題6.31，2，3

第四篇：不等式的證明教案

不等式的證明

教學目標：

（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

（2）掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡單的不等式；

（3）能根據實際題目靈活地選擇適當地證明方法；

（4）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力.教學建議：

1．知識結構:（不等式證明三種方法的理解）==〉（簡單應用）==〉（綜合應用）

2．重點、難點分析

重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；

難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

②綜合性問題證明方法的選擇．

（1）不等式證明的意義

不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數

值去驗證式子是否成立．

（2）比較法證明不等式的分析

①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

由于a>b<==>a-b>0，因此，證明a>b，可轉化為證明與之等價的a-b>0．這種證法就是求差比較法．由于當b>0時,a>b<==>(a／b)>1，因此，證明a>b(b>0),可以轉化為證明與之等價的(a／b)>1(b>0)．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明一定要注意(b>0)這一前提條件．

③求差比較法的基本步驟是：“作差?變形?斷號”．

其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的．

變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，變成能夠判斷出差的符號是正或負的數(或式子)即可.④作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側的式子同號的不等式．

（3）綜合法證明不等式的分析

①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列已知條件推導變換，推導出求證的不等式．

③綜合法證明不等式的邏輯關系是：

（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要條件）==〉（結論）

（4）分析法證明不等式的分析

①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據．

②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統一的兩種方法．

③用分析法證明不等式的邏輯關系是：

（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要條件）<==（結論）

④分析法是證明不等式時一種常用的基本方法．當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更實用.（5）關于分析法與綜合法關系

①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，逐步地推導，最后達到題設的已知條件．即推理方向是：結論已知.綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題．即：已知 結論．

③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件．

綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件．

④一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的．

第一課時不等式的證明（比較法）

教學目標

1．掌握證明不等式的方法——比較法；

2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟．

教學重點:比較法的意義和基本步驟.教學難點:常見的變形技巧.教學方法； 啟發引導法.教學過程：

（－）導入新課

教師提問：根據前一節學過（不等式的性質）的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數與的大小？

找學生回答問題．

（學生回答：，，）

［點評］要比較兩個實數 與的大小，只要考察 與的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現在我們就來學習：用比較法證明不等式．

目的：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入本節課學習的知識．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

教師寫出一道（證明不等式）例題的題目

[問題] 求證

教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明．

學生研究證明不等式，嘗試完成問題．

［本問點評］

①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過．

②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

③理論依據是：

④由，知：要證明

只需證

；需證明

這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

目的：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想．

【例題示范，學會應用】

教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評．

例1． 求證

［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得

關于的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證．，將此式看作證明：∵

＝

＝，∴

［本例點評］ ．

①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號;

②作差后，式子符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定;

③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷;

④例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

例2.已知都是正數，并且，求證：

［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證．

證明：

＝

＝

．

因為

都是正數，且，所以

．

∴

．

即：

[本例點評]

①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號;

②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法;

③例2的結論反映了分式的一個性質（若都是正數

1．當

時，2．當

時，．）

目的：鞏固用比較法證明不等式的知識，學會用比較法證明不等式時，對差式變形的常用方法——配方法、通分法．

【課堂練習】

教師指定練習題，要求學生獨立思考．完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題．

練習：1．求證

2．已知，，d都是正數，且，求證

目的:掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學效果，調節課堂教學．

【分析歸納、小結解法】

學生和老師一起分析歸納例題和練習的解題過程，小結用比較法證明不等式的解題方法，并讓學生記錄筆記．比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法．用比較法證明不等式的步驟（作差、變形、判斷符號）．靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形．

（三）小結（培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識）

學生和老師一起小結本節課所學的知識，并讓學生記錄筆記．

本節課學習的用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的．掌握求差后對差式變形的常用方法（配方法和通分法）．并在下節課繼續學習對差式變形的常用方法．

（四）布置作業

1．課本作業：P14．1，2，3．（供學生鞏固基礎知識）

2．思考題：已知，求證：

（培養其靈活掌握用比較法證明不等式的能力）

3．研究性題：設，都是正數，且

（為培養學生創新意識）

作業答實:

思考題：，求證：，又，從而得證．

研究性題：．所以，

第五篇：均值不等式教案2

課題：§3.2.2均值不等式 課時:第2課時 授課時間: 授課類型：新授課

【教學目標】

1．知識與技能：利用均值定理求極值與證明。

2．過程與方法：培養學生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3．情態與價值：激發學習數學的熱情，培養善于思考、勤于動手的學習品質。【教學重點】利用均值定理求極值與證明。【教學難點】利用均值定理求極值與證明。

【教學過程】

1、復習：

定理：如果a,b是正數，那么

a?b?ab(當且僅當a?b時取“?”號).22、利用均值定理求最值應注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關鍵

3、例子：

1)已知x≠0，當x取什么值時，x2+2）已知x>1,求y=x+

81的值最小，最小值是多少？ 2x1的最小值 x?13）已知x∈R，求y=x2?2x?12的最小值

4）已知x>1,求y=x+116x+2的最小值 xx?15）已知0

8）要建一個底面積為12m2，深為3m的長方體無蓋水池，如果底面造價每平方米600元，側面造價每平方米400元，問怎樣設計使總造價最低，最低總造價是多少元？

9）一段長為Lm的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？ 小結：利用均值定理求極值

課堂練習：第73頁習題3-2B:1,2 課后作業：第72頁習題3-2A:3,4,5 2

板書設計：

教學反思：