第一篇：概率統計第五章教案

第五章：大數定律和中心極限定理

1、引言：在剛開始我們提到事件發生的頻率具有穩定性，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率逐漸穩定于某個常數，在實踐中，人們還認識到測量值的算術平均值也具有穩定性，這種穩定性就是本章所要討論的大數定律的客觀背景；中心極限定理則從理論上證明了在客觀世界上所遇到的許多隨機變量的和是服從正態分布或近似服從正態分布的.§5.1大 數 定 律

5.1.1切比雪夫不等式

2、切比雪夫不等式：對于任何具有有限方差的隨機變量X，都有PX?E?X??????D?X??2，其中?為任一正數.不等式

D?X?也可寫成：P?X?E?X?????1??2.證明：設隨機變量X為離散型隨機變量，其概率分布律為P?X?x??p，k?1,2,?，則

kkPX?E?X???????????xk?E?X????1??22??按概率的定義X?E?X????P?X?xk?

???????第一次放大?X?E?X??????xk?E?X???pk22? ???????求和范圍放大按概率的定義xk?E?X??pk??? ?X?E?X???21?2??????1?2???xk?1?k?E?X???pk2

按方差的定義??????D?X??2.若隨機變量X為連續型隨機變量，且概率密度函數為f?x?，則：

PX?E?X???????????x?E?X????1??22??按概率的定義x?E?X???2?f?x?dx

???????第一次放大積分范圍放大?x?E?X??????x?E?X???fxdx??2?

x?E?X??f?x?dx ?????按方差的定義D?X?????????????2??1??2?2

3、結論：切比雪夫不等式具體地用隨機變量X的數學期望E?X?和方差D?X?來估算隨機變量X的概率分布，具體地用方差估算了隨機變量X取值時以

的數學期望E?X?為中心的分散程度.4、例如：若X~N??，??，則 XP?X?E?X?????1?

D?X??2?2，即P?X??????1??2.?28PX???3??1???0.8889； ?當??3?時有?2?3??9?215當??4?時有P?X???4???1??4??2?16?0.9375； ?224PX???5??1???0.9600.?當??5?時有?2?5??25而實際計算得：P?X???3???0.9974，這與用切比雪夫不等式估算的結果不矛盾.5、例1：已知正常男性成人的血液中，每一毫升的白細胞數平均是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計每毫升含白細胞數在5200~9400之間的概率.解：設隨機變量X表示正常男性成人的血液中每一毫升 的白細胞數，則E?X??7300，D?X??700

2P?5200?X?9400??P?X?7300?2100?

?PX?E?X??2100

?1?D?X????270028?1???0.8889.221009

6、例

12：在每次試驗中事件A以概率2發生，是否可以用大于等于0.975的概率確信，在1000 次試驗中，事件A出現的次數在400與600范圍內？ 解：設在1000 次試驗中，事件A出現的次數為X，則

7、例

X~B???1000,1?2??，E?X??np?1000?12?500，D?X??npq?1000?1?1?2???1?2???250；

P?400?X?600??P?X?500?100??P?X?E?X??100?

?1?2501002?1?25010000?1?0.025?0.975.所以可以用大于等于0.975的概率確信，在1000 次試驗中，事件A出現的次數在400與600范圍內

3：設電站供電網有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7，假設燈的開、關是相互獨立的，估計夜晚同時開著的燈數在6800到7200盞之間的概率（見課本P124的例1）.7 解：設隨機變量X表示夜晚同時開著的燈的數量，由于每盞燈只有兩個可能結果，而且燈的開、關是相互獨立的，?X~B?10000,0.7?，若用貝努里公式計算應為

P?6800?X?7200??7199k?6801?kC100000.7k?1?0.7?10000?k，計算量很大，不易計算.下面用切比雪夫不等式來估算：

E?X??np?10000?0.7?7000，D?X??npq?10000?0.7??1?0.7??2100；

P?6800?X?7200??P?X?7000?200?

?PX?E?X??200??21002100?1??1?220040000

?1?0.0525?0.9475.此題說明：雖然10000盞燈，但是只要供應7200盞燈的電力就能以不低于94.75%的概率保證夠用.5.1.2伯努利大數定律：

8、定理1（伯努利大數定律）：設?是n重伯努利試驗中事件A出現的次數，而p是事件A在每次試驗中出現的n??n?limP?p????1 概率，則對于任意??0，都有?證明：設隨機變量

n???n?X???1,第i次試驗中事件A出現i?0,第i次試驗中事件A不出現，?i?1,2,?,n?

Xi服從參數為p的兩點?0?1?分布，E?Xi??p，D?Xi??pq，其中?q?1?p?，?i?1,2,?,n?，nX1,X2,?,Xn相互獨立，且?n??Xii?1，?n?從而E??n???Xi????E?i?1?1?n?n???n??E??X?1?n?i????E?Xi????n?i?1?n?i?1? ?1?n?n???p?1i?1???n?np??p，?n??X?iD???n???D?i?1??1?n?n???n???X?1?n??2Di??2??D?X??n??i?i?1?ni?1?? ??1?n?pqn??pq????12??2?npq??i?1nn，???P???Dn?n??n?E???n???n??n???????1??2 pqP???n??n?p?????1?n?2?1?pqn?2 則 由切比雪夫不等式得：即： 9

??n?pq??limP?p???lim1??1 ?n???兩邊取極限得：n???n2??n????

9、注意：

1?伯努利大數定律的實際意義：

?nn表示n次試驗中事件A

出現的頻率，當次數n很大時，事件A出現的頻率與事件A出現的概率p的偏差小于任意正數?的可能性很大，概率幾乎達到1?100%.2?從伯努利大數定律可知：若事件A的概率很小，事件A出現的頻率也很小，或者說事件A很少發生.從而得出小概率事件的實際不可能性原理“概率很小的隨機事件在個別（或一次）試驗中是不可能發生的”.3?確定事件概率的方法：頻率

?nn與概率p的偏差任意小的概率接近1?100%，那么我們就可以通過做試驗來確定事件的頻率，并把它作為隨機事件發生的概率的估計，這種方法稱為參數估計，它是數理統計主要的研究課題之一.10、序列Y,Y,?,Y,?依概率收斂于a（定義）：設Y,Y,?,Y,?是一個相互獨立的隨機變量序列，a是一個常數，若對12n12n于任意正數?，有limP?Yn??n?a????1，則稱隨機變量序列Y1,Y2,?,Yn,?依概率收斂于a.11、重新敘述伯努利大數定律：設?是n次伯努利試驗中事件A出現的次數，而p是事件A在每次試驗中出現

n的概率，則頻率

?nn依概率收斂于概率p.5.1.3切比雪夫大數定律：

11、引言：人們在實踐中還發現，除了頻率具有穩定性以外，大量觀察值的平均值也具有穩定性，這就是切比雪夫大數定律.12、定理2（切比雪夫大數定律）： 設隨機變量X,X,?,X,?相互獨立，每一隨機變量分別有數學期望E?X?,E?X?,?,E?X?,?和有限方差D?X?,D?X?,?,D?X?,?，且有公共上界c，即D?X??c,D?X??c,?,D?X??c,?則對于任意??0，有12n12n12n12n?1n?1nlimP??Xi??E?Xi?????1 n??ni?1?ni?1? ?1n?1?n?1nXi???E?Xi???E?Xi?； 證明：E?n??i?1?n?i?1?ni?1?1n?1?n??X1,X2,?,Xn1D??Xi??2?D?Xi????????2?ni?1?n?i?1?相互獨立n1?2nnccc?2?； ?nni?1n?D?X?

ii?1n由切比雪夫不等式得：

?1n?DX?n?i?nn??11????1?P??Xi?E??Xi?????1??i? 2nn??i?1????i?1? 11

?1n1nXi??E?Xi?即：P?n?ni?1?i?1?1n?cD??Xi??ni?1?c?n????1??1?2?1?22??n??

作為事件的概率都應有0?p?1，?1n?c1n?1?2?P??Xi??E?Xi?????1 n?nni?1i?1??取極限得：

?1n?c?1n?lim?1?2??limP??Xi??E?Xi?????lim1n??ni?1?n??n???ni?1?n??

?1n?1n1?limPX?EX???1??????ii即：n?? nni?1i?1???1n?1nP??Xi??E?Xi?????1.所以：limn??ni?1?ni?1?

13、切比雪夫大數定律的實際意義：相互獨立的隨機變量的算術平均值

1nX??Xini?1與數學期望的算術平均值1nE?Xi?的差在n充分大時是一個無窮小量，這也意?ni?1味著在n充分大時，經算術平均后得到的隨機變量1nX??Xi的值將比較緊密地聚集在EXni?1??的附近.14、推論（由切比雪夫大數定律可得）：設隨機變量X,X,?,X,?服從同一分布，并且有（相同的）數學期望a及方差?，則對于任意正數??0，有12n2?1nliPm??Xi?n???ni?1??a????.112

15、推論（切比雪夫大數定律的）的實際意義：假如我們要測量某一物理量a，在不變的條件下重復進行n次，得n個測量值X,X,?,X，顯然它們可以看成是n個相互獨立的隨機變量，具有相同的分布，并且有數學期望a，由推論可知，當n充分大時，n次測量結果

12nX1?X2???Xn的平均值可作為a的近似值：a?n，由此發生的誤差可以任意小；這就是關于算術平均值的法則的理論依據.13 §5.2中 心 極 限 定 理

1、引言：正態分布在隨機變量的一切可能的分布中占有特別重要的地位，實踐中我們遇到的大量的隨機變量都是服從正態分布的；在某些條件下，即使原來并不服從正態分布的一些獨立的隨機變量，它們的和的分布，當隨機變量的個數無限增加時，也是趨于正態分布的.假如所研究的隨機變量是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的，而其中每一個別因素在總的影響中所起的作用都是微小的，這種隨機變量往往近似服從正態分布，在概率論中有關論證隨機變量的和的極限的分布是正態分布的一類定理稱為中心極限定理.5.2.1獨立同分布的中心極限定理

2、定理1（獨立同分布中心極限定理）：設隨機變量X,X,?,X,?相互獨立，服從同一分布，且具有有限的數學期望和方差E?X???，D?X????0?i?1,2,??，則隨機變量12ni2i?n?X?EX?i??i??i?1??Yn?i?1?n?D??Xi??i?1?n?Xi?1ni?n?n?（這是隨機變量?X經標

ii?1n準化后得到的隨機變量）的分布函數F?x?對任意的x????,???，都有

n

?n?Xi?n?????i?1?limFn?x??limP??x?n??n??n???

?????n??Xi????x1?t2???i?1??limP??x???e2dt??n??.n?2???????證明略

3、說明：

1?假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和的作用都很微小，則可以認為這個隨機變量總和實際上是服從正態分布的；實際上只要n足夠大，便可認為隨機變量總和是服從正態分布的.?n?Xi?E??Xi??i?1i?1???Yn?n??2?D??Xi??i?1?n?Xi?1ni?n?n?n，當n很大時，近似服從標準正態分布N?0,1?，從而有

2X~Nn?,n???i?i?1

5.2.2棣?音同弟?莫弗-拉普拉斯?DeMoiver?Laplace?中心極限定理：

4、定理2：設隨機變量??n?1,2,??服從參數為n,p?0?p?1?的二項分布，則對于任意區間?a,b?，恒有

n??limP?a?n????t2?b?n?np1?2??b???edt.a2?np?1?p???證明：由于服從二項分布的隨機變量?可視為n個相互獨立、服從同一參數p?0?p?1?的?0?1?分布的隨機變量X,X,?,X之和，n12n即?n??Xi，其中E?Xi??p，Di?1n?Xi??pq，?i?1,2,?,n?，?q?1?p?，故由獨立同分布中心極限定理可得：

?n?Xi?n?t2?????x1?2?i?1???n?np?limP??x??limP??x???edt??n??n??，n?2??????npq?????即?n~N?n?,npq?，于是對于任意?a,b?有

??limP?a?n????t2?b?n?np1?2??b???edta.2?np?1?p???

5、說明：棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理表明：正態分布是二項分布的極限分布，當n充分大時，服從二項分布的隨機變量?的概率計算可以轉化為正態隨機變量的概率計算.n????a?np?n?npb?np???b?np???a?np??P?a??n?b??P????????????

??npqnpqnpq????npq????npq??

6、例1：設電站供電網有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7，假設燈的開、關是相互獨立的，估計夜晚同時開著的燈數在6800到7200盞之間的概率（此題在本章講稿的第三頁已用切比雪夫不等式估算過）.解：?n~B?n,p??B?10000,0.7?，E??n??np?10000?0.7?7000，D??n??npq?10000?0.7?0.3?2100，D??n??2100?45.8258，P?6800??n?7200??P??n?7000?200?

???7000?n?P????D??n???? D??n???200??n?7000?200?P???4.3644?45.8258?45.8258?

???4.3644?????4.3644?

???4.3644????1???4.3644???

?2??4.3644??1?2?0.999995?1?0.99999.即亮燈數介于6800~7200之間的概率為0.99999.7、例２：某計算器進行加法計算時，把每個加數取為最接近于它的整數來計算，設所有取整誤差是相互獨立的隨機變量，并且都在??0.5,0.5?上服從均勻分布.求：（1）1200個數相加時，誤差總和的絕對值小于10的概率.（2）多少個數相加可使誤差總和的絕對值小于10的概率大于0.9？ ii解：設X表示第i個數相加時的誤差，則X服從區間??0.5,0.5?上的均勻分布，即X~U??0.5,0.5?，i其密度函數為：

1??0.5??0.5,?0.5?x?0.5?1,?0.5?x?0.5??f?x?????其它?0,?0,其它?2，0.5???0.5????0.5?0.5???1EX??0DX???從而有i，?i?； 212121200?1200?1200E??Xi???E?Xi???0?0

i?1?i?1?i?1120011?1200?1200D??Xi???D?Xi?????1200?100；

12i?112?i?1?i?1（1）由于大量隨機變量的和的分布是近似服從正態

分布的，?1200?Xi?0???1200標準化??10?i?1??P??Xi?10????P???1?100100?i?1??? ????查標準正態分布表???????1?????1????1????1???1????2??1??1

?2?0.8413?1?0.6826.（2）設需n個數相加可使誤差總和的絕對值小于10的概

率大于0.9.則

?n?Xi?n?0??n標準化??10203??i?1?P??Xi?10????P????nn? ?i?1??nD?Xi???12???203??203??203????????2??1?0.9??????n????n? n???????203?1?0.9?????0.95??n?，2??

查標準正態分布表得：??1.645??0.9

5?203?203從而有n?1.645?n???1.645???443.4289.???n?443

2（即不要多于443個數相加可使誤差總和的絕對值小于10的概率大于0.9）.8、例3：每發炮彈命中目標的概率為0.01，求500發炮彈至少命中5發的概率.解：用隨機變量X表示500發炮彈命中目標的炮彈數，則X~B?500,0.01?，E?X??np?500?0.01?5，D?X??npq?500?0.01?0.99?4.95

?D?X??4.95?2.223；

方法一：用二項分布來計算

kP?X?5???C5000.01k?1?0.01?k?54500500?k

k?1??C5000.01k0.99500?kk?0012?C5000.99500?C5000.01?0.99499?C5000.012?0.99498??1??3???C0.013?0.99497?C40.0140.99496?500?500??0.56039.方法二：當n很大，p很小時的二項分布，可近似用泊松分布來計算X~P???np?.4?ke??P?X?5??1?P?X?4??1?? k!k?0?1??k?04?500?0.01?k!ke?500?0.01

5ke?5?1???0.5595.k!k?04方法三：用中心極限定理計算.23 ?1，第i發炮彈擊中目標設Xi??0，第i發炮彈未擊中目標

?Xi近似服從正態分布 則X??i?1500??X?E?X?5?E?X????P?X?5????P???

D?X????D?X??標準化?5?500?0.01??X?E?X???P???

500?0.01?0.99???D?X??????X?EX??X?EX??????1?P??0??P??0?? DXDX?????????????1???0??1?0.5?0.5.

第二篇：概率統計教案2

第三章 多維隨機變量及其分布

一、教材說明

本章內容包括：多維隨機變量的聯合分布和邊際分布、多維隨機變量函數的分布、多維隨機變量的特征數，隨機變量的獨立性概念，條件分布與條件期望。本章仿照一維隨機變量的研究思路和方法。

1、教學目的與教學要求 本章的教學目的是：

（1）使學生掌握多維隨機變量的概念及其聯合分布，理解并掌握邊際分布和隨機變量 的獨立性概念；

（2）使學生掌握多維隨機變量函數的分布，理解并掌握多維隨機變量的特征數；（3）使學生理解和掌握條件分布與條件期望。本章的教學要求是：（1）深刻理解多維隨機變量及其聯合分布的概念，會熟練地求多維離散隨機變量的聯合分布列和多維連續隨機變量的聯合密度函數，并熟練掌握幾種常見的多維分布；

（2）深刻理解并掌握邊際分布的概念，能熟練求解邊際分布列和邊際密度函數；理解隨機變量的獨立性定義，掌握隨機變量的獨立性的判定方法；（3）熟練掌握多維隨機變量的幾種函數的分布的求法，會用變量變換法求解、證明題目；（4）理解并掌握多維隨機變量的數學期望和方差的概念及性質，掌握隨機變量不相關與獨立性的關系；（5）深刻理解條件分布與條件期望，能熟練求解條件分布與條件期望并會用條件分布與條件期望的性質求解、證明題目。

2、本章的重點與難點

本章的重點是多維隨機變量的聯合分布和邊際分布、多維隨機變量函數的分布及條件分布、多維隨機變量的特征數，難點是多維隨機變量函數的分布及條件分布的求法。

二、教學內容

本章共分多維隨機變量及其聯合分布、邊際分布與隨機變量的獨立性、多維隨機變量函數的分布、多維隨機變量的特征數、條件分布與條件期望等5節來講述本章的基本內容。

3.1 多維隨機變量及其聯合分布

一、多維隨機變量

定義3.1.1 如果X1(?),X2(?),???,Xn(?)是定義在同一個樣本空間??{?}上的n個隨機變量，則稱X(?)?(X1(?),...,Xn(?))為n維隨機變量或隨機向量。

二、聯合分布函數

1、定義3.1.2 對任意n個實數x1,x2,???,xn，則n個事件{X1?x1},{X2?x2},???,{Xn?xn}同時發生的概率 F(x1,x2,???,xn)?P{X1?x1,X2?x2,???,Xn?xn}

稱為n維隨機變量(X1,X2,???,Xn)的聯合分布函數。

n!n2p1n1p2???prnr，n1!n2!???nr!這個聯合分布列稱為r項分布，又稱為多項分布，記為M(n,p1,p2,???,pr).例3.1.4 一批產品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件。從這批產品中有放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產品中一等品、二等品的件數，求二維隨機變量(X,Y)的聯合分布列。

分析 略。

解 略。

2、多維超幾何分布

多維超幾何分布的描述：袋中有N只球，其中有Ni只i號球，i?1,2,???,r。記N?N1?N2?????Nr，從中任意取出n只，若記Xi為取出的n只球中i號球的個數，i?1,2,???,r，則

?N1??N2??Nr??????????nnnP(X1?n1,X2?n2,???Xr?nr)??1??2??r?.?N????n?其中n1?n2?????nr?n。

例3.1.5 將例3.1.4改成不放回抽樣，即從這批產品中不放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產品中一等品、二等品的件數，求二維隨機變量(X,Y)的聯合分布列。

解

略。

3、多維均勻分布

設D為R中的一個有界區域，其度量為SD，如果多維隨機變量(X1,X2,???,Xn)的聯合密度函數為 n?1?,(x1,x2,???,xn)?D, p(x1,x2,???,xn)??SD?0,其他?則稱(X1,X2,???,Xn)服從D上的多維均勻分布，記為(X1,X2,???,Xn)~U（D).例3.1.6 設D為平面上以原點為圓心以r為半徑的圓，(X,Y)服從D上的二維均勻分布，其密度函數為

?1222?2,x?y?r, p(x,y)???r222??0,x?y?r.試求概率P(X?).解 略。

4、二元正態分布

如果二維隨機變量(X,Y)的聯合密度函數為

12??1?2(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)21exp{?[?2??]},???x,y???22(1??2)?12?1?2?21??2r2p(x,y)?2則稱(X,Y)服從二維正態分布，記為(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).其中五個參數的取值范圍分別是：????1,?2???;?1,?2?0;?1???1.以后將指出：?1,?2分別是X與Y的均值，?12,?22分別是X與Y的方差，?是X與Y的相關系數。

2例3.1.7 設二維隨機變量(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).求(X,Y)落在區域D?{(x,y):(x??1)2?21?2?(x??1)(y??2)?1?2?(y??2)2?22??2}內的概率。

解 略。

注 凡是與正態分布有關的計算一般需要作變換簡化計算。

3.2 邊際分布與隨機變量的獨立性

一、邊際分布函數

1、二維隨機變量(X,Y)中

X的邊際分布

FX(x)?P(X?x)?P(X?Y的邊際分布

FY(y)?F(??,y)x,Y???)?limF(x,y?)y???F(x,? ?

2、在三維隨機變量(X,Y,Z)的聯合分布函數F(x,y,z)中，用類似的方法可得到更多的邊際分布函數。

例3.2.1設二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數為

?1?e?x?e?y?e?x?y??xy,x?0,y?0, F(x,y)??0,其他?這個分布被稱為二維指數分布，求其邊際分布。

解 略。

注 X與Y的邊際分布都是一維指數分布，且與參數??0無關。不同的??0對應不

p(x1,x2,???,xn)??pi(xi)

i?1n則稱X1,X2,???,Xn相互獨立。

例3.2.7設二維隨機變量(X,Y)的聯合密度函數為

?8xy,0?x?y?1, p(x,y)??0,其他.?問X與Y是否相互獨立？

分析 為判斷X與Y是否相互獨立，只需看邊際密度函數之積是否等于聯合密度函數。解 略。

3.3 多維隨機變量函數的分布

一、多維離散隨機變量函數的分布

以二維為例討論，設二維隨機變量(X,Y)的取值為(xi,yj),Z?f(X,Y), 隨機變量

Z的取值為zk.令Ck?{(xi,yj):f(xi,yj)?zk}，則

P(Z?zk)?P(f(xi,yj)?zk)?P((xi,yj)?Ck)?(xi,yj)?Ck?pij.例3.3.2（泊松分布的可加性）設X~P(?1),Y~P(?2), 且X與Y相互獨立。證明

Z?X?Y~P(?1??2).證明：略。

注 證明過程用到離散場合下的卷積公式，這里卷積指“尋求兩個獨立隨機變量和的分布運算”，對有限個獨立泊松變量有

P(?1)?P(?2)?????P(?n)?P(?1??2??????n).例3.3.3（二項分布的可加性）設X~b(n,p),Y~b(m,p),且X與Y相互獨立。證明Z?X?Y~b(m?n,p).證明 略。

注（1）該性質可以推廣到有限個場合

b(n1,p)?b(n2,p)?????b(nk,p)?b(n1?n2?????nk,p)

（2）特別當n1?n2?????nk?1時，b(1,p)?b(1,p)?????b(1,p)?b(n,p)這表明，服從二項分布b(n,p)的隨機變量可以分解成n個相互獨立的0-1分布的隨機

變量之和。

二、最大值與最小值的分布

例3.3.4（最大值分布）設X1,X2,???,Xn是相互獨立的n個隨機變量，若

Y?max(X1,X2,???Xn).設在以下情況下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi為連續隨機變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數為p(x),i?1,2,???,n;

（4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.解 略。

注 這道題的解法體現了求最大值分布的一般思路。

例3.3.5（最小值分布）設X1,X2,???,Xn是相互獨立的n個隨機變量；若Y?min(X1,X2,???Xn)，試在以下情況下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi為連續隨機變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數為p(x),i?1,2,???,n;

（4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.解 略。

注 這道例題的解法體現了求最小值分布的一般思路。

三、連續場合的卷積公式

定理3.3.1設X與Y是兩個相互獨立的連續隨機變量，其密度函數分別為pX(x)、pY(y)，則其和Z?X?Y的密度函數為

pZ(z)??????pX(z?y)pY(y)dy.證明 略。

本定理的結果就是連續場合下的卷積公式。

例3.3.6（正態分布的可加性）設X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),且X與Y相互獨立。證明Z?X?Y~N(?1??2,?1??2).證明 略

2222

注 任意n個相互獨立的正態變量的非零線性組合仍是正態變量。

四、變量變換法

1、變量變換法

設(X,Y)的聯合密度函數為p(x,y)，函數??u?g1(x,y),有連續偏導數，且存在唯一

v?g(x,y).?2?x?x(u,v),的反函數?，其變換的雅可比行列式

y?y(u,v)??x?(x,y)?uJ???(u,v)?x?v若??y?u?y?v??1???(u,v)?????????(x,y)????u?x?v?x?u?y?v?y????0.????1?U?g1(X,Y)則(U,V)的聯合密度函數為

?V?g2(X,Y),p(u,v)?p(x(u,v),y(u,v))J.這個方法實際上就是二重積分的變量變換法，其證明可參閱數學分析教科書。例3.3.9設X與Y獨立同分布，都服從正態分布N(?,?2)，記?試求(U,V)的聯合密度函數。U與V是否相互獨立？

解 略。

2、增補變量法

增補變量法實質上是變換法的一種應用：為了求出二維連續隨機變量(X,Y)的函數

?U?X?Y，?V?X?Y.U?g(X,Y)的密度函數，增補一個新的隨機變量V?h(X,Y)，一般令V?X或V?Y。先用變換法求出(U,V)的聯合密度函數p(u,v)，再對p(u,v)關于v積分，從而得出關于U的邊際密度函數。

例3.3.10（積的公式）設X與Y相互獨立，其密度函數分別為 pX(x)和pY(y).則U?XY的密度函數為pU(u)??證 略。

????pX(uv)pY(v)1dv.v例3.3.11（商的公式）設X與Y相互獨立，其密度函數分別為pX(x)和pY(y)，則U?XY的密度函數為pU(u)??

????pX(uv)pY(v)vdv.10111213

例3.5.5設(X,Y)服從G?{(x,y):x2?y2?1}上的均勻分布，試求給定Y?y條件下X的條件密度函數p(x|y)。

解 略。

3、連續場合的全概率公式和貝葉斯公式 全概率公式的密度函數形式

pY(y)??????pX(x)p(y|x)dx,pX(x)??????pY(y)p(x|y)dy.pY(y)p(x|y)貝葉斯公式的密度函數形式

p(x|y)?pX(x)p(y|x)?????pX(x)p(y|x)dx,p(y|x)??????pY(y)p(x|y)dy.注 由邊際分布和條件分布就可以得到聯合分布。

二、條件數學期望

1、定義3.5.4 條件分布的數學期望（若存在）稱為條件數學期望，其定義如下：

??xiP(X?xi|Y?y),(X,Y)為二維離散隨機變量；?E(X|Y?y)??i??

?(X,Y)為二維連續隨機變量。???xp(x|y)dx，???yjP(Y?yj|X?x),(X,Y)為二維離散隨機變量；?jE(Y|X?x)??

???(X,Y)為二維連續隨機變量。???yp(y|x)dy，?注(1)條件數學期望具有數學期望的一切性質。

(2)條件數學期望E(X|Y)可以看成是隨機變量Y的函數，其本身也是一個隨機變量。

2、定理3.5.1（重期望公式）設(X,Y)是二維隨機變量，且E(X)存在，則

E(X)?E(E(X|Y))。

證明 略。

注 重期望公式的具體使用如下

（1）如果Y是一個離散隨機變量，E(X)?（2）如果Y是一個連續隨機變量，E(X)??E(X|y?y)P(Y?y);

jjj?????E(X|Y?y)pY(y)dy.例3.5.10（隨機個隨機變量和的數學期望）設X1,X2,???,Xn是一列獨立同分布的隨機變量，隨機變量N只取正整數值，且與{Xn}獨立。證明

E(?Xi)?E(X1)E(N).i?1N

第四章 大數定律與中心極限定理

一、教材說明

本章內容包括特征函數及其性質，常用的幾個大數定律，隨機變量序列的兩種收斂性的定義及其有關性質，中心極限定理。大數定律涉及的是一種依概率收斂，中心極限定理涉及按分布收斂。這些極限定理不僅是概率論研究的中心議題，而且在數理統計中有廣泛的應用。

1、教學目的與教學要求 本章的教學目的是：

（1）使學生掌握特征函數的定義和常用分布的特征函數；

（2）使學生深刻理解和掌握大數定律及與之相關的兩種收斂性概念，會熟練運用幾個大數定律證明題目；

（3）使學生理解并熟練掌握獨立同分布下的中心極限定理。本章的教學要求是：

（1）理解并會求常用分布的特征函數；

（2）深刻理解并掌握大數定律，能熟練應用大數定律證明題目；

（3）理解并掌握依概率收斂和按分布收斂的定義，并會用其性質證明相應的題目；（4）深刻理解與掌握中心極限定理，并要對之熟練應用。

2、重點與難點

本章的重點是大數定律與中心極限定理，難點是用特征函數的性質證明題目，大數定律和中心極限定理的應用。

二、教學內容

本章共分特征函數、大數定律、隨機變量序列的兩種收斂性，中心極限定理等4節來講述本章的基本內容。

4.1特征函數

一、特征函數的定義

1.定義4.1.1 設X是一個隨機變量，稱?(t)=E(e)，-∞ < t < + ∞，為X的特征函數。

itXitX注 因為e?1，所以E(e)總是存在的，即任一隨機變量的特征函數總是存在的。

itX

2.特征函數的求法

（1）當離散隨機變量X的分布列為Pk= P（X= xk)，k = 1，2，…，則X的特征函數為

φ(t)=?ek?1??itxkPk，-∞ < t < + ∞。

（2）當連續隨機變量X的密度函數為p(x)，則X的特征函數為

φ(t)=?????eitxP(x)dx，-∞ < t < + ∞。

例4.1.1 常用分布的特征函數

(1)單點分布：P(X= a)= 1，其特征函數為φ(t)= eita。(2)0 –1分布：P(X= x)=px(1

證明 略。

定理4.1.1（一致連續性）隨機變量X的特征函數φ(t)在(-∞，+ ∞)上一致連續。定理4.1.2（非負定性）隨機變量X的特征函數φ(t)是非負定的。定理4.1.4（唯一性定理）隨機變量的分布函數由其特征函數唯一決定。例4.1.3 試利用特征函數的方法求伽瑪分布Ga(α，λ)的數學期望和方差。解 因為Ga(α，λ)的特征函數φ(t)= φ(t)= ‘

‘?i?i?i(1?)???1；φ(0)= ???(1?it??)?，?’‘’1)i2it；φ(t)= ?(??(1?)???2；φ(0)= 2?(??1)?2??，所以由性質4.1.5得

E(X)??'(0)i???;Var(X)???''(0)?(?'(0))2?2.??4.2大數定律

一、何謂大數定律（大數定律的一般提法）

定義4.2.1設{Xn}為隨機變量序列，若對任意的??0,有

?1n?1nlimP??Xi??E(Xi)????1.(4.2.5)n???ni?1?ni?1?則稱{Xn}服從大數定律。

二、切比雪夫大數定律

定理4.2.2（切比雪夫大數定律）設{Xn}為一列兩兩不相關的隨機變量序列，若每個Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)?c,i?1,2,???,則{Xn}服從大數定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。

利用切比雪夫不等式就可證明。此處略。

推論（定理4.2.1：伯努利大數定律）設?n為n重伯努利試驗中事件A發生的次數，P為每次試驗中A出現的概率，則對任意的??0，有

???limP?n?p????1.n????n?分析 ?n服從二項分布，因此可以把?n表示成n個相互獨立同分布、都服從0–1分布的隨機變量的和。

三、馬爾可夫大數定律

定理4.2.3（馬爾可夫大數定律）對隨機變量序列{Xn}，若馬爾可夫條件n1Var(?Xi)?0成立，則{Xn}服從大數定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。n2i?1證明 利用切比雪夫不等式就可證得。

例4.2.3 設{Xn}為一同分布、方差存在的隨機變量序列，且Xn僅與Xn?1和Xn?1相關，而與其他的Xi不相關，試問該隨機變量序列{Xn}是否服從大數定律？

解 可證對{Xn}，馬爾可夫條件成立，故由馬爾可夫大數定律可得{Xn}服從大數定律。

四、辛欽大數定律

定理4.2.4（辛欽大數定律）設{Xn}為一獨立同分布的隨機變量序列，若Xn的數學期望存在，則{Xn}服從大數定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。

4.3隨機變量序列的兩種收斂性

一、依概率收斂

1.定義4.3.1（依概率收斂）設{Xn}為一隨機變量序列，Y為一隨機變量。如果對于任意的??0，有

n???limP?Yn?Y????1.P則稱{Xn}依概率收斂于Y，記做Yn???Y。

1n1nP注 隨機變量序列{Xn}服從大數定律??Xi??E(Xi)???0。

ni?1ni?12.依概率收斂的四則運算

定理4.3.1 設{Xn}，{Yn}是兩個隨機變量序列，a，b是兩個常數。如果

PP{Xn}???a，{Yn}???b，則有(1)Xn?Yn???a?b;(3)Xn?Yn???a?b(b?0).?a?b;(2)Xn?Yn??

二、按分布收斂、弱收斂 PPP

1.定義4.3.2 設{Fn(x)}是隨機變量序列{Xn}的分布函數列，F(x)為X的分布函數。若對F(x)的任一連續點x，都有limFn(X)=F(x)，則稱{Fn(x)}弱收斂于F(x)，記做

n????Fn(X)???F(x)。也稱{Xn}按分布收斂于X，記做Xn???lX。

2.依概率收斂與按分布收斂間的關系

P(1)定理4.3.2 Xn???X?Xn?l??X。

P(2)定理4.3.3 若c為常數，則Xn???c?Xn?l??c

兩個定理的證明均略。

三、判斷弱收斂的方法

定理4.3.4 分布函數序列{Fn(x)}弱收斂于分布函數F(X)的充要條件是{Fn(x)}的特征函數序列{φn(t)}收斂于F(x)的特征函數φ(t)。

這個定理的證明只涉及數學分析的一些結果，參閱教材后文獻[1]。例4.3.3 若X?~P(?)，證明

1?X???limP???x??????2????解 用定理4.3.4。此處略。

?x??edt.?t224.4中心極限定理

一、中心極限定理概述

研究獨立隨機變量和的極限分布為正態分布的命題。

二、獨立同分布下的中心極限定理

定理4.4.1（林德貝格-勒維中心極限定理）設{Xn}是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)??,Var(Xi)???0.記

2Yn*?則對任意實數y，有

X1?X2?????Xn?n??n.1*? limP?Y?y??(y)??n?n???2?

?y??edt.?t22-2021-

第三篇：概率統計教案1

第一章

概率論的基本概念

1.確定性現象: 在一定條件下必然發生的現象.2.統計規律性: 在個別試驗或觀察中可以出現這樣的結果，也可以出現那樣的結果，但在大量重復試驗或觀察中所呈現出的固有規律性.3.隨機現象: 在個別試驗中其結果呈現

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第1頁

共51頁-----出不確定性，在大量重復試驗中其結果又具有統計規律性的現象.§1.1 隨機試驗 1.隨機試驗: ①可以在相同條件下重復進行；

②每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果；

③進行一次試驗之前不能確定哪一個結

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第2頁

共51頁-----果會出現.§1.2 樣本空間、隨機事件

1.隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S.2.隨機試驗E的每個結果稱為樣本點.例1.寫出下列隨機試驗的樣本空間.①考察某一儲蓄所一天內的儲款戶數.S??0 , 1 , 2 , ??.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第3頁

共51頁-----②10件產品中有3件是次品，每次從中任取一件(取后不放回)，直到將3件次品都取出，記錄抽取的次數.S??3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10?.③在②中取后放回，記錄抽取的次數.S??3 , 4 , 5 , ??.④一口袋中有5個紅球、4個白球、3個藍球，從中任取4個，觀察它們具有哪

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第4頁

共51頁-----幾種顏色.S={(紅)，(白)，(紅、白)，(紅、藍)，(白、藍)，(紅、白、藍)}.3.樣本空間S的子集稱為隨機事件，簡稱事件.4.對于事件A，每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時稱事件A發生.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第5頁

共51頁-----5.由一個樣本點組成集合稱為基本事件.6.在每次試驗中總是發生的事件稱為必然事件，即樣本空間S.7.在每次試驗中都不發生的事件稱為不可能事件，即空集?.例2.拋擲兩枚骰子，考察它們所出的點數.寫出這一隨機試驗的樣本空間及下列

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第6頁

共51頁-----隨機事件.①“兩枚骰子點數之和為5”.②“兩枚骰子點數之和為2”.③“兩枚骰子點數之和為1”.④“兩枚骰子點數之和不超過12”.解: 對兩枚骰子編號為1、2.用(I , J)表示第1枚骰子出I點，第2枚骰子出J點.S={(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第7頁

共51頁-----(1, 6)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)，(4, 4)，(4, 5)，(4, 6)，(5, 1)，(5, 2)(5, 4)，(5, 5)，(5, 6)，(6, 1)，3)，(6, 4)，(6, 5)，(6, 6)}.① {(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，②{(1, 1)}.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第8頁

共51頁-----，(6, 2)(5, 3)，(6,(4, 1)}.③?.④S.8.事件間的關系與運算: ①事件A發生必導致事件B發生，稱事件B包含事件A，記為A?B.②事件A?B?{xx?A或x?B}稱為事件A與事件B的和事件.當且僅當A與B至少有一個發生時，事件A?B發生.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第9頁

共51頁-----k?1??Ak為n個事件A 1，A2，…，An的和事件.?Ak為可列個事件A 1，A2，…的和事件.nk?1③事件A?B?{xx?A且x?B}稱為事件A與事件B的積事件.當且僅當A與B同時發生時，事件A?B發生.A?B也記作AB.k?1?Ak為n個事件A 1，A2，…，An的積事件.n

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第10頁

共51頁-----k?1?Ak為可列個事件A 1，A2，… 的積事件.A?B?{xx?A且x?B} ?④事件

稱為事件A與事件B的差事件.當且僅當A發生、B不發生時，事件A?B發生.⑤若A?B??，則稱事件A與事件B是互不相容的，或互斥的.即事件A與事件B不

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第11頁

共51頁-----能同時發生.⑥若A?B?S且A?B??，則稱事件A與事件B互為逆事件，或互為對立事件.即對每次試驗，事件A與事件B中必有一個發生，且僅有一個發生.A的對立事件記為A，即A?S?A.9.事件的運算定律: ①交換律:

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第12頁

共51頁-----A?B?B?A，A?B?B?A.②結合律: A?(B?C)?(A?B)?C，A?(B?C)?(A?B)?C.③分配律: A?(B?C)?(A?B)?(A?C)，A?(B?C)?(A?B)?(A?C).④德?摩根律:

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第13頁

共51頁-----A?B?B A，AB?B?A.§1.3 頻率與概率 1.在相同條件下，進行了n次試驗，事件A發生的次數nA稱為事件A發生的頻數.nA比值稱為事件A發生的頻率，記為fn(A).n2.頻率的基本性質: ①0?fn(A)?1.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第14頁

共51頁-----②fn(S)?1.③若A 1，A2，…，Ak是兩兩互不相容的事件，則

.fn(A???A)?f(A)???f(A)1kn1nk3.當重復試驗的次數n逐漸增大時，頻率fn(A)呈現出穩定性，逐漸穩定于某個常數，這種統計規律性稱為頻率穩定性.4.設E是隨機試驗，S是它的樣本空間.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第15頁

共51頁-----對于E的每一事件A賦于一個實數，記為p(A)，稱為事件A的概率，且關系p滿足下列條件:

①非負性: p(A)?0.②規范性: p(S)?1.③可列可加性: 設A 1，A2，…是兩兩互不相容的事件，則

P(A1?A2??)?P(A1)?P(A2)??.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第16頁

共51頁-----5.概率的性質: ①p(?)?0.②(有限可加性)設A 1，A2，…An是兩兩互不相容的事件，則 P(A???An)?P(A)???P(An).1

1③若A?B，則

P(B?A)?P(B)?P(A)，P(B)?P(A).④p(A)?1?p(A).-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第17頁

共51頁-----

⑤p(A)?1.⑥(加法公式)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC).§1.4 等可能概型(古典概型)1.具有以下兩個特點的試驗稱為古典概型.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第18頁

共51頁-----①試驗的樣本空間只包含有限個元素.②試驗中每個基本事件發生的可能性相同.2.古典概型中事件概率的計算公式: 樣本空間S?{e1 , e2 , ? , en}，事件A?{ei , ei , ? , ei}，12kk

P(A)?.n

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第19頁

共51頁-----例1.拋擲兩枚均勻的硬幣，求一個出正面，一個出反面的概率.解: S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.A={(正，反)，(反，正)}.例2.拋擲兩枚均勻的骰子，求點數之和不超過4的概率.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第20頁

共51頁-----

21p(A)??.42解:

S={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，…，(6，6)}.A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)}.61p(A)??.366例3.從一批由45件正品，5件次品組成的產品中任取3件產品.求恰有一件次品的概率.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第21頁

共51頁-----

CC解: p(A)?3?0.253.C50例4.袋中有5個白球3個黑球.從中按

15245下列方式取出3個球，分別求3個球都是白球的概率.①同時取.②不放回，每次取一個.③放回，每次取一個.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第22頁

共51頁-----解: ①p(A)?C3053CC3?0.179.8②p(B)?A35A3?0.179.8③p(A)?5383?0.244.例5.某班有23名同學，求至少有同學生日相同的概率(假定1年為天).-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第23頁

共51頁-----

名

2365?(23)!C493.解: p(A)?23?0.(365)p(A)?1?p(A)?0.507.23365例6.從一副撲克牌(52張)中任取4張牌，求這4張牌花色各不相同的概率.14(C13)解: p(A)?4?0.105.C52例7.甲項目和乙項目將按時完成的概率為0.75和0.90，甲、乙項目至少有一

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第24頁

共51頁-----個項目將按時完成的概率為0.99.求下列事件的概率.①兩項目都按時完成.②只有一個項目按時完成.③兩項目都沒有按時完成.B表解: 設用A表示“甲項目按時完成”、示“乙項目按時完成”，則p(A)?0.75，p(B)?0.90，p(A?B)?0.99.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第25頁

共51頁-----①p(AB)?P(A)?p(B)?p(A?B)

?0.75?0.9?0.99 ?0.66.②

p[(A?B)?(AB)]?p(A?B)?p(AB)

?0.99?0.66 ?0.33.③p(AB)?p(A?B)

?1?p(A?B)

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第26頁

共51頁-----

?1?0.99 ?0.01.例8.將一枚骰子連續擲5次，求下列各事件的概率.①“5次出現的點數都是3”.②“5次出現的點數全不相同”.③“5次出現的點數2次1點，2次3點，1次5點”.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第27頁

共51頁-----④“5次出現的點數最大是3點”.⑤“5次出現的點數既有奇數點，又有偶數點”.§1.5 條件概率

例1.拋擲一枚均勻的骰子.設A表示“出現的點數不大于3”，B表示“出現偶數點”，求: ①“出現偶數點”的概率.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第28頁

共51頁-----②已知“出現的點數不大于3”的條件下，“出現偶數點”的概率.解: S={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，4，6}.31①p(B)??.62②用“BA”表示已知事件A發生的條件下，事件B發生.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第29頁

共51頁-----AB?{2}，1P(AB)16p(BA)???.33P(A)6

1.設A、B是兩個事件，且p(A)?0，稱

P(AB)p(BA)?P(A)為在事件A發生的條件下事件B發生的條件概率.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第30頁

共51頁-----

例2.一批零件100個，其中次品10個，正品90個.從中連續抽取兩次，做非回臵式抽樣.求: ①第一次取到正品的概率.②第一次取到正品的條件下第二次取到正品的概率.解: 設A表示“第一次取到正品”，B表示“第二次取到正品”.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第31頁

共51頁-----

909①p(A)??.10010289C90②p(AB)?2?，C100110P(AB)89?.p(BA)?P(A)992.乘法定理: 設p(A)?0，則

p(AB)?p(BA)p(A).設p(AB)?0，則

p(ABC)?p(CAB)p(BA)p(A).-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第32頁

共51頁-----例3.一批零件100個，次品率為10%.從中接連取零件，每次任取一個，取后不放回.求第三次才取到正品的概率.解: 設用A i表示“第i次取到正品”(i?1 , 2 , 3).由于次品率為10%，所以次品10個，正品90個.P(A 1 A 2A 3)?P(A 1)?P(A 2 A 1)?P(A 3A 1 A 2)

10990??? 1009998

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第33頁

共51頁-----

?0.0083.3.樣本空間的一個劃分: ①

BiBj?? , i?j , i , j?1 , 2 , ? , n.②B1?B2???Bn?S.稱B1 , B2 , ? , Bn為樣本空間的一個劃分(或完備事件組).4.全概率公式: 若B1，B2，…，Bn為樣本

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第34頁

共51頁-----空間的一個劃分，且P(Bi)?0(i?1 , 2 , ? , n)，A為某一事件，則 P(A)?P(A B1)?P(B1)?P(A B2)?P(B2)

???P(A Bn)?P(Bn).5.貝葉斯公式: 若B1，B2，…，Bn為樣本空間的一個劃分，A為某一事件，且P(A)?0，P(Bi)?0(i?1 , 2 , ? , n)，則

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第35頁

共51頁-----，P(BiA)?n?P(ABj)P(Bj)j?1P(ABi)P(Bi)(i?1 , 2 , ? , n).例4.兩臺機床加工同樣的零件.第一臺出現廢品的概率是0.03，第二臺出現廢品的概率是0.02.加工出來的零件堆放在一起.已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍，從中任取一個零件，求:

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第36頁

共51頁-----①這個零件不是廢品的概率.②如果已知取出的這個零件不是廢品，那么，它是第一臺機床生產的概率.解: 設用A表示“此零件不是廢品”，用Bi表示“此零件由第i臺機床加工”(i?1 , 則

P(B21 1)?3，P(B 2)?3，P(A B 1)?0.97，P(A B 2)?0.98.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第37頁

共51頁-----

2)，①

P(A)?P(A B1)?P(B1)?P(A B2)?P(B2)

21?0.97??0.98? 33?0.973.②

P(AB1)P(B1)P(B1A)?P(AB1)P(B1)?P(AB2)P(B2)

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第38頁

共51頁-----

20.97?3 ?210.97??0.98?33?0.664.例5.有5個盒子，分別編號1、2、3、4、5.第1及第2號盒子各有5個球，其中3個白球，2個紅球.第3及第4號盒子也各有5個球，其中1個白球，4個紅

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第39頁

共51頁-----球.第5號盒子有4個白球，1個紅球.現隨機地選一個盒子并從中任取一球，求: ①它是白球的概率.②如果已知取出的是紅球，那么，它是來自第5號盒子的概率.解: 設用A表示“任取一球是白球”，用，用Bi表示“第A表示“任取一球是紅球”i個盒子被選中”(i?1 , 2 , 3 , 4 , 5)，則

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第40頁

共51頁-----

1P(B 1)?P(B2)?P(B3)?P(B4)?P(B5)?，53P(A B 1)?P(A B 2)?，51P(A B 3)?P(A B 4)?，54P(A B 5)?，52P(A B 1)?P(AB 2)?，54P(A B 3)?P(A B 4)?，5-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第41頁

共51頁-----

1P(A B 5)?.5①P(A)?P(A B1)?P(B1)?P(A B2)?P(B2)?P(A B3)?P(B3)?P(A B4)?P(B4)?P(A B5)?P(B5)3131111141?????????? 555555555512?.25

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第42頁

共51頁-----②P(B5A)??P(ABi)P(Bi)i?15P(AB5)P(B5)

1?155 ?1?(2?2?4?4?1)5555551?.136.先驗概率: P(Bi).7.后驗概率: P(BiA).-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第43頁

共51頁-----例6.有一個袋內裝有3個白球，2個黑球.有甲、乙、丙三人依次在袋內各摸一球.求: ①在有放回情況下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.②在不放回情況下，甲、乙、丙各摸到黑球的概率.解: 設用A、B、C分別表示“甲、乙、-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第44頁

共51頁-----丙摸到黑球”，用A、B、C分別表示“甲、乙、丙摸到白球”.2①P(A)?P(B)?P(C)?.52②P(A)?.5P(B)?P(BA)?P(A)?P(BA)?P(A)

1223???? 45452?.5-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第45頁

共51頁-----P(C)?P(CAB)?P(AB)?P(CAB)?P(AB)

?P(CAB)?P(AB)?P(CAB)?P(AB)?P(CAB)?P(BA)?P(A)

?P(CAB)?P(BA)?P(A)?P(CAB)?P(BA)?P(A)?P(CAB)?P(BA)?P(A)

12132123223?0??????????? 453453453452?.5

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第46頁

共51頁-----§1.6 獨立性

1.設A與B是兩事件，如果 p(AB)?p(A)?p(B)，則稱A與B相互獨立，簡稱A與B獨立.2.設A與B是兩事件，且p(A)?0，如果A與B相互獨立，則

p(BA)?p(B).3.設A與B相互獨立，則下列各對事件也

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第47頁

共51頁-----相互獨立.A與B，A與B，A與B.證: P(A)?P(B)?P(A)?[1?P(B)]

?P(A)?P(A)?P(B)

?P(A)?P(AB)

(A?AB)?P(A?AB)?P(AB)，所以A與B相互獨立.同理可證A與B，A與B相互獨立.-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第48頁

共51頁-----4.設A、B、C是三個事件，如果

p(AB)?p(A)?p(B)，p(AC)?p(A)?p(C)，p(BC)?p(B)?p(C)，p(ABC)?p(A)?p(B)?p(C)，則稱A、B、C相互獨立.例1.用一支步槍射擊一只小鳥，擊中的概率為0.2.問3支步槍同時彼此獨立地

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第49頁

共51頁-----射擊，擊中小鳥的概率.解: 設用A i表示“第i支步槍擊中小鳥”，則(i?1 , 2 , 3)，用B表示“小鳥被擊中”

P(B)?P(A 1?A 2?A 3)

?1?P(A 1?A 2?A 3)?1?P(A 1 A 2 A 3)

?1?P(A 1)?P(A 2)?P(A 3)?1?0.8?0.8?0.8

-----概率論與數理統計教案 第一章 概率論的基本概念 第50頁

共51頁-----

第四篇：概率統計教案5

第五章 大數定律及中心極限定理

§5.1 大數定律

1.設Y1 , Y2 , ? , Yn , ?是一個

a是一個常數.隨機變量序列，若對于任意正數?，有

limP{Y?a??}?1，nn??則稱序列Y1 , Y2 , ? , Yn , ?依概

P 率收斂于a，記為Yn?a.2.契比雪夫大數定理: 設隨機變量X1 , X2 , ? , Xn , ?相互獨立，且

-----概率論與數理統計教案 第五章 大數定律及中心極限定理

第1頁

共6頁-----E(Xk)??，D(Xk)??

2(k?1 , 2 , ?)，n1則序列X??Xk依概率收斂nk?1 P ?于，即Xn??.3.伯努利大數定理: 設nA是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數.p是A在每次試驗中發生的概率，則對于任意正數?，有

nAlimP{?p??}?1.n??n4.辛欽大數定理: 設隨機

-----概率論與數理統計教案 第五章 大數定律及中心極限定理

第2頁

共6頁-----變量X1 , X2 , ? , Xn , ?相互獨立，服從同一分布，且

E(Xk)??(k?1 , 2 , ?)，n1則序列X??Xk依概率收斂nk?1 P 于?，即Xn??.§5.2 中心極限定理 1.獨立同分布的中心極限定理: 設隨機變量

X1 , X2 , ? , Xn , ?

相互獨立，服從同一分布，且

2E(Xk)?? , D(Xk)???0

-----概率論與數理統計教案 第五章 大數定律及中心極限定理

第3頁

共6頁-----

(k?1 , 2 , ?).令?Xk?E(?Xk)?Xk?n?k?1k?1k?1Yn??，Ynnn?D(?Xk)k?1nnn的分布函數為Fn(x)，則對于任意x，有

??X?n???k?1k?limF(x)?limP?x ??nn??n??n?????t? x12????edt

2?2

-----概率論與數理統計教案 第五章 大數定律及中心極限定理

第4頁

共6頁-----

n??(x)，n?Xk?n?近似地k?1或者說

~ N(0 , 1)，n??Xk~ N(n? , n?)k?1近似地X?? N(0 , 1)，~?n2n近似地X~ N(? , ?n)．

2近似地2.棣莫弗—拉普拉斯定理: 設隨機變量?n(n?1 , 2 , ?)服從參數為n，p(0?p?1)的二項分布，則對于任意x，有

-----概率論與數理統計教案 第五章 大數定律及中心極限定理

第5頁

共6頁-----?n?npx??1edt limP??x?????n??2??np(1?p)???(x)，近似地?n?np或者說 ~ N(0 , 1)

np(1?p)2t? 2

-----概率論與數理統計教案 第五章 大數定律及中心極限定理

第6頁

共6頁-----

第五篇：統計與概率教案

第1課時 統計與概率（1）

【教學內容】 統計表。

【教學目標】

使學生進一步認識統計的意義，進一步認識統計表，掌握整理數據、編制統計表的方法，學會進行簡單統計。【重點難點】

讓學生系統掌握統計的基礎知識和基本技能。【教學準備】 多媒體課件。

【情景導入】 1.揭示課題

提問：在小學階段，我們學過哪些統計知識？為什么要做統計工作？ 2.引入課題

在日常生活和生產實踐中，經常需要對一些數據進行分析、比較，這樣就需要進行統計。在進行統計時，又經常要用統

計表、統計圖，并且常常進行平均數的計算。今天我們開始復習簡單的統計，這節課先復習如何設計調查表，并進行調

查統計。

【整理歸納】

收集數據，制作統計表。

教師：我們班要和希望小學六（2）班建立“手拉手”班級，你想向“手拉手”的同學介紹哪些情況？ 學生可能回答：（1）身高、體重（2）姓名、性別（3）興趣愛好

為了清楚記錄你的情況，同學們設計了一個個人情況調查表。課件展示：

為了幫助和分析全班的數據，同學們又設計了一種統計表。六（2）班學生最喜歡的學科統計表

組織學生完善調查表，怎樣調查？怎樣記錄數據?調查中要注意什么問題？ 組織學生議一議，相互交流。指名學生匯報，再集體評議。

組織學生在全班范圍內以小組形式展開調查，先由每個小組整理數據，再由每個小組向全班匯報。填好統計表。【課堂作業】

教材第96頁例3。【課堂小結】

通過本節課的學習，你有什么收獲？ 【課后作業】

完成練習冊中本課時的練習。

第1課時 統計與概率（1）（1）統計表

（2）統計圖：折線統計圖 條形統計圖 扇形統計圖

第2課時 統計與概率（2）

【教學內容】

統計與概率（2）。【教學目標】

1.使學生初步掌握把原始數據分類整理的統計方法 2.滲透統計意識。【重點難點】

能根據統計圖提供的信息，做出正確的判斷或簡單預測。【教學準備】 多媒體課件。

【情景導入】

上節課我們復習了如何設計調查表，今天我們來一起整理一下制作統計圖的相關知識。

【歸納整理】 統計圖

1.你學過幾種統計圖？分別叫什么統計圖？各有什么特征？ 條形統計圖（清楚表示各種數量多少）折線統計圖（清楚表示數量的變化情況）扇形統計圖（清楚表示各種數量的占有率）教師：結合剛才的數據例子，議一議什么類型的數據用什么樣的統計圖表示更合適？

組織學生議一議，相互交流。2.教學例4 課件出示教材第97頁例4。

（1）從統計圖中你能得到哪些信息？ 小組交流。重點匯報。

如：從扇形統計圖可以看出，男、女生占全班人數的百分率； 從條形統計圖可以看出，男、女生分別喜歡的運動項目的人數；

從折線統計圖可以看出，同學們對自己的綜合表現滿意人數的情況變化趨勢。（2）還可以通過什么手段收集數據？ 組織學生議一議，并相互交流。

如：問卷調查，查閱資料，實驗活動等。

（3）做一項調查統計工作的主要步驟是什么？ 組織學生議一議，并相互交流。

指名學生匯報，并集體訂正，使學生明確并板書： a.確定調查的主題及需要調查的數據； b.設計調查表或統計表； c.確定調查的方法； d.進行調查，予以記錄； e.整理和描述數據；

f.根據統計圖表分析數據，作出判斷和決策。【課堂作業】

教材第98頁練習二十一第2、3題。【課堂小結】

通過本節課的學習，你有什么收獲？ 【課后作業】

完成練習冊中本課時的練習。

第2課時 統計與概率（2）

做一項調查統計工作的主要步驟： ①確定調查的主題及需要調查的數據； ②設計調查表或統計表； ③確定調查的方法； ④進行調查，予以記錄； ⑤整理和描述數據；

⑥根據統計圖表分析數據，作出判斷和決策。

第3課時 統計與概率（3）

【教學內容】

平均數、中位數和眾數的整理和復習。【教學目標】

1.使學生加深對平均數、中位數和眾數的認識。體會三個統計量的不同特征和使用范圍。

2.使學生經歷解決問題的過程，發展初步的推理能力和綜合應用意識。3.靈活運用數學知識解決實際問題，激發學生的學習興趣。【重點難點】

進一步認識平均數、中位數和眾數，體會三個統計量的不同特征和使用范圍。【教學準備】 多媒體課件。

【情境導入】

教師：CCTV-3舉行青年歌手大獎賽，一歌手演唱完畢，評委亮出的分數是： 9.87,9.65,9.84,9.78,9.75,9.72,9.90,9.83，要求去掉一個最高分，一個最低分，那么該選手的最后得分是多少？

學生獨立思考，然后組織學生議一議，然后互相交流。指名學生匯報解題思路。由此引出課題：

平均數、中位數、眾數 【復習回顧】 1.復習近平均數

教師：什么是平均數？它有什么用處？ 組織學生議一議，并相互交流。

指名學生匯報，并組織學生集體評議。使學生明確：平均數能直觀、簡明地反映一組數據的一般情況，用它可以進行不

同數據的比較，看出組與組之間的差別。課件展示教材第97頁例5兩個統計表。

①提問：從上面的統計表中你能獲取哪些信息？ 學生思考后回答

②小組合作學習。（課件出示思考的問題）a.在上面兩組數據中，平均數是多少？

b.不用計算，你能發現上面兩組數據的平均數大小嗎？ c.用什么統計量表示上面兩組數據的一般水平比較合適？ ③小組匯報。

第一組數據：平均數是（1.40＋1.43×3＋1.46×5＋1.49×10＋1.52×12＋1.55×6＋1.58×3）÷（1+3+5+10+12+6+3）≈1.50（m）

第二組數據：平均數是（30×2+33×4+36×5+39×12+42×10+45×4+48×3）÷40=39.6（kg）

④用什么統計量表示上面兩組數據的一般水平比較合適？為什么？ 組織學生議一議，相互交流。

學生匯報：上面數據的一般水平用平均數比較合適。因為它與這組數據中的每個數據都有關系。2.復習中位數、眾數

（1）教師：什么是中位數？什么是眾數？它們各有什么特征？ 組織學生議一議，并相互交流。指名學生匯報。

使學生明白:在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的眾數。將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置上 的一個數（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。

（2）課件展示教材第97頁例5的兩個統計表，提問：你能說說這兩組數據的中位數和眾數嗎？

學生認真觀察統計表，思考并回答。指名學生匯報，并進行集體評議。【歸納小結】

1.教師：不用計算，你能發現上面每組數據的平均數、中位數、眾數之間的大小關系嗎？

組織學生議一議，并相互交流。指名學生匯報并進行集體評議。

2.教師：用什么統計量表示兩組數據的一般水平比較合適？ 組織學生議一議，并相互交流。指名學生匯報。師生共同評議。師根據學生的回答進行板書。【課堂作業】

教材第98頁練習二十一第4、5題，學生獨立完成，集體訂正。答案：

第4題：（1）不合理，因為從進貨量和銷售量的差來看，尺碼是35、39、40三種型號的鞋剩貨有些多。

（2）建議下次進貨時適當降低35、39、40三種型號鞋的進貨量，根據銷貨量的排名來看，每種型號的鞋的進貨量的比

例總體上不會有大的變化。第5題：（1）平均數：（9.8+9.7×2＋9.6×4＋9.5＋9.4×2+9.1）÷11≈9.55（分）（2）有道理，因為平均數與一組

數據中的每個數據都有關系，但它易受極端數據的影響，所以為了減小這種影響，在評分時就采取“去掉一個最高分和

一個最低分”，再計算平均數的方法，這樣做是合理的。平均分：（9.7×2+9.6×4+9.5+9.4×2）÷9≈9.57（分）【課堂小結】

通過這節課的學習活動，你有什么收獲？學生談談學到的知識及掌握的方法。

【課后作業】

完成練習冊中本課時的練習。

第3課時 統計與概率（3）

平均數：能較充分的反映一組數據的“平均水平”，但它容易受極端值的影響。

中位數：部分數據的變動對中位數沒有影響

眾數：一組數據的眾數可能不止一個，也可能沒有。

第4課時 統計與概率（4）

【教學內容】

可能性的整理與復習。【教學目標】 1.使學生加深認識事件發生的可能性和游戲規則的公平性，會求簡單事件發生的可能性，并會對事件發生的可能性作出

預測。

2.培養學生依據數據和事件分析并解決問題，作出判斷、預測和決策的能力。3.使學生體驗到用數學知識可以解決生活中的實際問題，激發學生的學習興趣。【重點難點】

認識事件發生的可能性和游戲規則的公平性，會求簡單事件發生的可能性，并會對事件發生的可能性作出預測，掌握用

分數表示可能性大小的方法。【教學準備】 多媒體課件。

【情景導入】

1.教師出示情境圖。表哥：我想看足球比賽。表弟：我想看動畫片。表妹：我想看電視劇。

教師：3個人只有一臺電視，他們都想看自己喜歡的節目，那么如何決定看什么節目呢？必須想出一個每個人都能接受 的公平的辦法來決定看什么節目。

提問：你能想出什么公平的辦法確定誰有權決定看什么節目嗎？ 學生：抽簽、擲骰子。2.揭示課題。

教師：同學們想出的方法都不錯。這節課我們來復習可能性的有關知識。（板書課題）

【復習講授】

1.教師：說一說學過哪些有關可能性的知識。（板書：一定、可能、不可能）

2.教師：在我們的生活中，同樣有些事情是一定會發生的，有些事情是可能發生的，還有些事情是不可能發生的。下面

舉出了幾個生活中的例子，請用“一定”“可能”或“不可能”來判斷這些事例的可能性。課件展示：

（1）我從出生到現在沒吃一點東西。（2）吃飯時，有人用左手拿筷子。（3）世界上每天都有人出生。組織學生獨立思考，并相互交流。指名學生匯報，并進行集體評議。3.解決問題，延伸拓展

（1）教師：用“一定”“不可能”“可能”各說一句話，在小組內討論交流。指名學生匯報并進行集體評議。（2）課件展示買彩票的片段。

組織學生看完這些片段，提問：你有什么想法嗎？

你想對買彩票的爸爸、媽媽、叔叔、阿姨說點什么呢？ 【課堂作業】 1.填空。（1）袋子里放了10個白球、5個黃球和2個紅球，這些球除顏色外其它均一樣，若從袋子里摸出一個球來，則摸到（）色球的可能性最大，摸到（）色球的可能性最小。

（2）一個盒子里裝有數量相同的紅、白兩種顏色的球，每個球除了顏色外都相同，摸到紅球甲勝，摸到白球乙勝，若

摸球前先將盒子里的球搖勻，則甲、乙獲勝的機會（）。2.選擇。

（1）用1、2、3三個數字組成一個三位數，組成偶數的可能性為（）。A.B.C.D.（2）一名運動員連續射靶10次，其中兩次命中十環，兩次命中九環，六次命中八環，針對某次射擊，下列說法正確的

是（）。

A.命中十環的可能性最大 B.命中九環的可能性最大 C.命中八環的可能性最大 D.以上可能性均等

3.有一個均勻的正十二面體的骰子，其中1個面標有“1”，2個面標有“2”，3個面標有“3”，2個面標有“4”，1個

面標有“5”，其余面標有“6”，將這個骰子擲出。（1）“6”朝上的可能性占百分之幾？（2）哪些數字朝上的可能性一樣？ 答案：

1.（1）白 紅（2）相等 2.（1）A（2）D 3.（1）25％（2）標有“1”和“5”，標有“2”與“4”，標有“3”和“6”的可能性一樣。【課堂小結】

通過這節課的學習，你有哪些收獲？學生暢談學到的知識和掌握的方法。【課后作業】

完成練習冊中本課時的練習。

第4課時統計與概率（4）

一定 可能 不可能 必然發生 可能發生 不會發生