第一篇：九年級數學暑期班第五講四邊形證明初步測試題(含答案)

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答案：8 解題思路：因為四邊形ABCD為平行四邊形，AE⊥BC，AF⊥CD，所以∠EAD＝∠AFD＝90°，又因為∠EAF＝45°，所以∠FAD＝45°，∠ADF＝45°，則∠ABE＝45°，因此AE＝BE，AF＝FD，根據勾股定理可知，AB＝AE，AD＝

AF，而四邊形ABCD的周長為C＝2（AB＋AD）＝

2×2

＝8.（AE＋AF），又因為AE＋AF＝2，所以平行四邊形ABCD的周長C＝2易錯點：不能很好的利用平行四邊形的性質及特殊直角三角形的性質.試題難度：五顆星

知識點：平行四邊形的性質

2.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=

4，∠B=45°，直角三角板含45°角的頂點E在邊 BC上移動，一直角邊始終經過點A，斜邊與CD交于點F，若△ABE為等腰三角形，則CF的長為______.答案：當BE＝AE時，CF＝；當BE＝BA時，CF＝4－3；當AB＝AE時，CF＝2.解題思路： 因為∠B＝∠AEF＝45°，而∠AEF＋∠FEC＝∠B＋∠BAE，所以∠FEC＝∠BAE，又根據等腰梯形的性質，可以知道，△ABE∽△ECF.并且根據等腰梯形已知邊的長度，易計算邊AB＝3.如圖，當BE＝AE時，因為∠B＝45°，根據等腰三角形的性質易知，∠BEA＝90°，即△ABE為等腰直角三角形，易計算BE＝，因此EC＝4

－BE＝，根據三角形的相似性可以知道，△ECF也為等腰直角三角形，故易知CF＝.眾享熱線：0371-66519991 網 址：ese.xxt.cn

如圖，當BE＝BA時，則BE＝BA＝3，且△ABE為等腰三角形，故EC＝4三角形的性質可以知道，CF＝EC＝4

－3.－3，再根據相似

如圖，當AB＝AE時，則△ABE為等腰直角三角形，且∠BAE＝90°，因此BE＝3－3＝，CE＝4，根據三角形的相似性，可以知道△ECD也為等腰直角三角形，且∠FEC＝90°，根據勾股定理可以知道，CF＝2.易錯點：對題中存在的各種情況考慮不全，不能將答案填完整.試題難度：五顆星

知識點：直角三角形的性質及其判定

3.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，設AD=a，BC=b，則四邊形AEFD的周長是（）

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答案：3a＋b 解題思路：

如圖，過點A作DB的平行線交CB的延長線于點G，則四邊形AGBD為平行四邊形，所以GB＝AD＝a，GC＝GB＋BC＝a＋b，因為AC⊥BD，所以AC⊥AG，又因為四邊形ABCD為等腰梯形，則易證△ABD≌△DCA，所以AC＝DB，故AC＝AG，即△AGC為等腰直角三角形，而AE⊥BC，所以AE為直角三角形AGC斜邊GC的中線，因此AE＝

＝

.由題中的已知條件易判斷四邊形AEFD為長方形，所以四邊形AEFD的周長C＝2AE＋2AD＝（a＋b）＋2a＝3a＋b.故答案為3a＋b.易錯點：不能借助合適的輔助線進行有效的解題 試題難度：五顆星

知識點：平行四邊形的性質

4.已知平行四邊形ABCD中，過點B的直線順次與AC，AD及CD的延長線相交于E、F、G．若BE=5，EF=2，則FG的長為______.答案： 解題思路：

因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC，可易證△AEF∽△CEB，所以

＝，根據眾享熱線：0371-66519991 網 址：ese.xxt.cn

條件可知，＝，若設BC長為5份，則AF長為2份，因此FD的長占3份，所以

＝

＝，而GB＝GF＋FB，FB＝EF＋BE＝2＋5＝，根據條件易證△GFD∽△GBC，因此＝7，所以＝，解得，FG＝

易錯點：不能將FG與題中已知的條件聯系起來.試題難度：五顆星

知識點：平行四邊形的性質

三、解答題(共2道，每道10分)1.如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

（1）探究：線段OE與OF的數量關系并加以證明；

（2）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明；若不是，請說明理由；

（3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？

答案：（1）OE＝OF.∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，又∵CE為∠BCO的角平分線，∴∠ECB＝∠ECO，∴∠OEC＝∠ECO，∴△OEC為等腰三角形，∴OE＝OC，同理可證OC＝OF，故OE＝OF.（2）不會是菱形.假設在邊AC上存在一點O，使四邊形BCFE為菱形，則CF＝FE，但∵CE為∠BCO的角平分線，CF為∠OCD的角平分線，∴∠OCE＋∠OCF＝90°，即△ECF為直角三角形，且∠ECF＝90°，∴斜邊EF＞FC，與EF＝FC矛盾，因此四邊形BCFE不會是菱形.（3）要使四邊形AECF為正方形，只需對角線AC與EF互相垂直平分，由（1）可知，O已經是EF的中點，只需滿足O為AC的中點即可保證對角線AC與EF互相平分，又∵EF是水平方向的線段，要保證AC與EF垂直，只需AC為豎直方向的線段即可，即三角形ABC為直角三角形，且∠C＝90°.因此，當O運動到AC的中點，△ABC為直角三角形時，四邊形AECF是正方形.解題思路：（1）可判斷OE＝OF.由已知的條件MN∥BC，知∠OEC＝∠ECB，又因為CE為∠BCO的角平分線，可以知道∠ECB＝∠ECO，∠OEC＝∠ECO，所以△OEC為等腰三角形，則OE＝OC，同理可以證明OC＝OF，因此OE＝OF.（2）不會是菱形.我們可以假設在邊AC上存在一點O，使四邊形BCFE為菱形，則CF＝FE，但因為CE為∠BCO的角平分線，CF為∠OCD的角平分線，所以∠OCE＋∠OCF＝90°，即△ECF為直角三角形，且∠ECF＝90°，所以斜邊EF＞FC，這就與EF＝FC矛盾，因此四邊形BCFE不會是菱形.（3）要使四邊形AECF為正方形，根據正方形的判定定理可以知道，只需對角線AC與EF互相垂直平分，由（1）可知，O已經是EF的中點，只需滿足O為AC的中點即可保證對角線AC與EF互相平分，又∵EF是水平方向的線段，要保證AC與EF垂直，只需AC為豎直方向的線段即可，這樣三角形ABC就為直角三角形，且∠C＝90°.因此，當O運動到AC的中點，△ABC為直角三角形時，四邊形AECF眾享熱線：0371-66519991 網 址：ese.xxt.cn

是正方形.易錯點：對菱形的性質及正方形的判定定理不了解 試題難度：五顆星

知識點：平行四邊形的性質

2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分別以△ABC三邊為邊作等邊三角形（如圖所示），求四邊形DCEF的面積．

答案：∵BC＝BE＝3，BA＝BF＝5，且∠ABC＋∠CBF＝60°，∠CBF＋∠FBE＝60°，∴∠ABC＝∠FBE，∴△ABC≌△FBE（SAS），∴∠BEF＝90°，EF＝4，同理可證△AFD≌△ABC，∴DF＝3，∵∠FDA＝90°，∠CDA＝60°，∴∠FDC＝30°，由兩次三角形的全等可以知道，△AFD≌△FBE，∴∠DFA＋∠EFB＝90°，∴∠DFE＝150°，∴∠DFE與∠FDC是互補的，∴四邊形DCEF為平行四邊形，又∵DF＝3，∠FDC＝30°，∴四邊形DCEF的邊DC上的高為，∴四邊形DCEF的面積S＝4×＝6.解題思路：思路1：由已知條件可知，BC＝BE＝3，BA＝BF＝5，又因為∠ABC＋∠CBF＝60°，∠CBF＋∠FBE＝60°，所以∠ABC＝∠FBE，因此可證△ABC≌△FBE，所以∠BEF＝90°，所以EF＝4，同理可證△AFD≌△ABC，因此DF＝3，由∠FDA＝90°，∠CDA＝60°，可以知道∠FDC＝30°，由兩次三角形的全等可以知道，△AFD≌△FBE，因此∠DFA＋∠EFB＝90°，故∠DFE＝150°，所以∠DFE與∠FDC是互補的，因此四邊形DCEF為平行四邊形，由各邊的長及∠FDC＝30°，可容易計算出來四邊形DCEF的邊DC上的高為，所以四邊形DCEF的面積S＝4×＝6.思路2：最后再求面積的時候，可以根據分割的思想進行求解，即四邊形DCEF的面積＝△AFD的面積＋△ABF的面積＋△FBE的面積－（△ACD的面積＋△ABC的面積＋△BCE的面積），其中要求的三角形都是特殊的三角形，易計算，答案為：6.易錯點：不能很好的利用全等三角形的性質及直角三角形的性質進行解題.試題難度：五顆星

知識點：全等三角形的性質及其判定

四、證明題(共3道，每道20分)

1.四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE，CG．（1）求證：AE=CG（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關系，并證明你的猜想

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答案：（1）∵四邊形ABCD、四邊形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，且∠GDE＝∠ADC＝90°，則∠ADG＋∠GDE＝∠ADG＋∠ADC，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG.（2）AE⊥CG.設AE與CG的交點為Q，由（1）中的三角形全等，可以知道∠DEA＝∠DGC，∴∠DEA＋∠AEF＋∠FGD＝180°＝∠DGC＋∠AEF＋∠FGD＝180°，在四邊形GQEF中，由四邊形的內角和性質可知，∠GQE＝360°－180°－90°＝90°，∴AE⊥CG.解題思路：（1）有題中已知的條件，四邊形ABCD、四邊形DEFG都是正方形知，AD＝CD，DE＝DG，且∠GDE＝∠ADC＝90°，所以∠ADG＋∠GDE＝∠ADG＋∠ADC，因此∠ADE＝∠CDG，所以△ADE≌△CDG，所以AE＝CG，結論得證.（2）AE⊥CG.設AE與CG的交點為Q，由（1）中的三角形全等，可以知道∠DEA＝∠DGC，所以∠DEA＋∠AEF＋∠FGD＝180°＝∠DGC＋∠AEF＋∠FGD＝180°，在四邊形GQEF中，由四邊形的內角和性質可知，∠GQE＝360°－180°－90°＝90°，因此AE⊥CG.易錯點：不能很好的利用四邊形內角的性質

試題難度：四顆星

知識點：多邊形的內角和與外角和

2.已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AB=BC，E是AB上的一點，且∠DEC=60°，求證：AD+AE=AB.答案：連結A、C兩點，過點E作EF∥AC，∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC、△EBF均為等邊三角形，則∠EFC＝120°，BE＝BF，∴AE＝CF，又∵AD∥BC，所以∠EAD＝120°，又∵∠DEC＝60°，∴∠FEC＋∠AED＝60°，又∵∠AED＋∠ADE＝60°，∴∠FEC＝∠ADE，∴△AED≌△FCE（AAS），AD＝EF，又∵EF＝BE，則AD＝BE，由AE＋BE＝AB知，AE＋AD＝AB.眾享熱線：0371-66519991 網 址：ese.xxt.cn

解題思路：作輔助線，連結A、C兩點，過點E作EF∥AC，由于∠B＝60°，AB＝BC，所以可以知道△ABC、△EBF均為等邊三角形，只需證明AD＝EF則結論即可證明，由等邊三角形的性質，可知∠EFC＝120°，BE＝BF，所以AE＝CF，又因為AD∥BC，所以∠EAD＝120°，又因為∠DEC＝60°，所以∠FEC＋∠AED＝60°，又因為∠AED＋∠ADE＝60°，所以∠FEC＝∠ADE，所以△AED≌△FCE（AAS），AD＝EF，又因為EF＝BE，則AD＝BE，由AE＋BE＝AB知，AE＋AD＝AB.易錯點：不能找到一條合適的輔助線進行有效的解題 試題難度：四顆星

知識點：三角形全等的證明

3.如圖，在矩形ABCD中，延長BC到E，使BE=BD，F為DE的中點，連接AF、CF，求證AF⊥CF．

答案：如圖，連接BF，∵BE＝BD，F為DE的中點，∴BF⊥DE，∴∠BFA＋∠AFD＝90°，又∵CF為直角三角形DCE斜邊的中線，∴CF＝DF，則∠FDC＝∠DCF，∴∠ADF＝∠BCF，又∵AD＝BC，∴△ADF≌△BCF，∴∠AFD＝∠BFC，∴∠BFA＋∠BFC＝∠AFC＝90°，∴AF⊥CF.解題思路：有題中的已知條件可知，如果連接BF，則BF⊥DE，所以應該連接BF，因為BE＝BD，F為DE的中點，所以BF⊥DE，所以∠BFA＋∠AFD＝90°，如果能證明∠AFD＝∠BFC，則結論即可得證.由已知條件，CF為直角三角形DCE斜邊的中線，則CF＝DF，∠FDC＝∠DCF，所以∠ADF＝∠BCF，又因為AD＝BC，所以△ADF≌△BCF，所以∠AFD＝∠BFC，所以∠BFA＋∠BFC＝∠AFC＝90°，所以AF⊥CF.易錯點：不能連接合適的輔助線進行有效的解題 試題難度：四顆星

知識點：矩形

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第二篇：數學選講四邊形證明經典題

數學選講四邊形證明經典題.1.在□ ABCD中，AC、BD交于點O，過點O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點，連結EG、GF、FH、HE.（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；

（2）如圖②，當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是；

（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是；

（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由.B

（1）求證：BE = DF；

（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM = OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF

是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

D

3.如圖，?ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點（不與點B重合），連結AD，作BE?AD，垂足為E，連結CE，過點E作EF?CE，交BD于F．

（1）求證：BF?FD；

（2）?A在什么范圍內變化時，四邊形ACFE是梯形，并說明理由；（3）?A在什么范圍內變化時，線段DE上存在點G，滿足條件DG?由．

4DA，并說明理

A

F圖①

C

B

F圖②

（第1題圖）C

A

B

圖③

G C

B

F

圖④

2.已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE = AF．

B

B

F

D M

4.如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是線段AD上的一個動點(E與A、D不重合)，G、F、H分別是BE、BC、CE的中點．

(1)試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由．

(2)當點E運動到什么位置時，四邊形EGFH是菱形?并加以證明．

(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形，請探索線段EF與線段BC的關系，并證明你的結論．

5.如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD，等邊△ACE、等邊△BCF．

(1)求證：四邊形DAEF是平行四邊形；

(2)探究下列問題：(只填滿足的條件，不需證明)

①當△ABC滿足_________________________條件時，四邊形DAEF是矩形； ②當△ABC滿足_________________________條件時，四邊形DAEF是菱形；

③當△ABC滿足_________________________條件時，以D、A、E、F為頂點的四邊形不

存在．

DE

BC

(第29題圖)

6.如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過A作AG⊥EB于G，AG交BD于點F，則OE＝OF，對上述命題，若點E在AC的延長線上，AG

⊥EB，交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明理由。

A

D

G

B

C問題一圖

17、在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，且

GCDG

AEBE

＝

FCBF

＝

＝

AHHD

＝k（k＞0），閱讀下列材料，然后回答下面的問題：

AEBE

如上圖，連結BD∵＝

AHHD，FCBF

＝

GCDG

∴EH∥BD，FG∥BD

①連結AC，則EF與GH是否一定平行，答：；

②當k值為時，四邊形EFGH是平行四邊形；

③在②的情形下，對角線AC和BD只需滿足條件時，EFGH為矩形； ④在②的情形下，對角線AC和BD只需滿足條件時，EFGH為菱形；

A

H

D

E

G

BFC

第2題圖

8.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且EF∥AC，在DA的延長線上取一點G，使AG＝AD，EG與DF相交于點H。求證：AH＝AD。

B

C

例1圖

9、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC、BD相交于點O，∠ACD＝60，點S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點。

（1）求證：△PQS是等邊三角形；（2）若AB＝8，CD＝6，求S?PQS的值。

（3）若S?PQS∶S?AOD＝4∶5，求CD∶AB的值。

DS

P

C

AB

第4題圖

10.將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑行，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q。

探究：設A、P兩點間的距離為x。

（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的關系？試證明你觀察得到的結論；

（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出函數的定義域；

（3）當點P在線段AC上滑行時，△PCQ是否可能成為等腰三角形，如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x值；如果不可能，請說明理由（題目中的圖形形狀大小都相同，供操作用）。

A

D

A

D

A

D

BC

BC

BC11、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．

求證：CE＝CF．

12、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F． 求證：AE＝AF.

第三篇：不等式選講+推理證明測試題含答案（寫寫幫推薦）

不等式選講及推理證明測試題

一、選擇題

1、不等式

2x

??3的解集是（2)

3)?(0,??)

A.(??,?)B.(?

323,0)?(0,??)C.(??,?D.(?

23,0)

2、設P?

Q?

R?P,Q,R的大小順序是（）A．P?Q?RB．P?R?QC．Q?P?RD．Q?R?P

3、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”

?的結論顯然是錯誤的，這是因為（）A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

4、設x?0，y?0，A?

x?y1?x?y，B?

x1?x

?

y1?y，則A、B的大小關系（）

A．A?BB．A?BC．A?BD．不能確定

5、已知不等式(x?y)(?

x

11y

則實數a的最大值為)?a對任意正實數x,y恒成立，（）

A．2B．4C．2D．16

6、不等式3?5?2x?9的解集為（）

A．[?2,1)?[4,7)B．(?2,1]?(4,7] C．(?2,?1]?[4,7)D．(?2,1]?[4,7)

7、已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于時，反設正確的41是（）

A．a(1?b),b(1?a)都大于

14，B．a(1?b),b(1?a)都小于

C．a(1?b),b(1?a)都大于或等于D．a(1?b),b(1?a)都小于或等于

8、如果a?0,且a?1,M?loga(a3?1),N?loga(a2?1),那么（）A．M?NB．M?NC．M?ND．M,N的大小無法確定

9、數列?an?中，a1=1，Sn表示前n項和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數列，通過計算S1，S2，S3，猜想當n≥1時，Sn=（）

A．2k?1B．2(2k?1)C．

2k?1k?

1D．

2k?2k?111、定義f(M)?(m,n,p)，其中M是△ABC內一點，m、n、p分別是△MBC、????????

△MCA、△MAB的面積，已知△ABC中，AB?AC?1

2,x,y)，則

?BAC?30?，f(N)?（1x

?

4y的最小值是（）

A．8B．9C．16D．1812、設x?0,y?0,且x2?y2?4,??x?y?4(x?y)?10,則?的最值情況是（）

A．有最大值2，最小值2(2?2)B．有最大值2，最小值0

C．有最大值10，最小值2(2?2)D．最值不存在二、填空題

13、不等式|2?3x|?7的解集為________________

14、函數y?3x?5?46?x的最大值為

15、若不等式mx2?mx?1?0對一切x?R都成立，則m的取值范圍是

16、如圖1，若射線OM，ON上分別存在點M1，M2與點N1，N2，則

S?OM1N1S?OM2N

2=

OMOM

·

ONON

；如圖2，若不在同一平面內的射線OP，OQ和OR

上分別存在點P1，P2，點Q1，Q2和點R1，R2，則類似的結論是

三、解答題

17、解不等式 |x?3|?|x?5|?

418、已知ad?bc，求證：(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)

219、若x，y都是正實數且x＋y>2，用反證法證明：一個成立．

20、設函數f(x)?|2x?3|?2（1）解不等式f(x)?3?x（2）若關于x的不等式

取值范圍

21、已知等式1?22?2?32???n(n?1)2?

n(n?1)1

2(an?bn?c)

1?xy

?2與

1?yx

?2中至少有

f(x)?1?|x?m

?m?

|的解集為R，求實數m 的求是否存在常數a,b,c使上述等式對一切正整數n都成立？證明你的結論

22、已知函數f(x)?log2(ax2?2x?3a)

（1）當a??1時，求該函數的定義域和值域；

（2）如果f(x)?1在區間[2,3]上恒成立，求實數a的取值范圍。

實驗班答案

13、{x|x?3或x??14、3VO?P1Q1R115、VO?P2Q2R

2?

OP1?OQ1?OR1OP2?OQ2?OR217、|x?3|?|x?5|?

4?x?5?3?x?5?x?

3或?或?等價于?

x?3?x?5?4x?3?x?5?4?x?3?x?5?4???

解不等式的?

18、法一：

?x?

5?3?x?5?x?3或?或?

?x?6?2?4?x?

2即{x|x?6或x?2}

(a?b)(c?d)?(ac?bd)

22222

=a2c2?b2c2?b2d2?a2d2?a2c2?b2d2?2acbd

=b2c2?a2d2?2acbd?(bc?ad)2 因為ad?bc所以(bc?ad)2?0 所以(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2 法二：

由柯西不等式知，構造兩組數

ac

bd

ac?bd

所以(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2當即ad?bc時等號成立

因為ad?bc所以取不到等號所以(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)219、假設

1?xy1?y

都不小于2 x

1?yx

?

2即

1?xy

?2且

由于x,y為正實數

所以1?x?2y且1?y?2x把兩式相加2?x?y?2y?2x 即2?y?x這與x＋y>2矛盾所以假設不成立 所以

20、解：|2x?3|?2?3?x

2?

?2x?3?5?x2?x?

??3?{x|?8?x? ?

3?2x?3??5?x?x??8

?

1?xy

?2與

1?yx

?2中至少有一個成立

等價于|2x?3|?5?x

2關于x的不等式即

f(x)?1?|x?m

?m?

|的解集為R

|2x?3|?1?1?|x?m

|?|x?m

?m?|?2

|恒成立

|?|x?m52|?|m

即 |x?而|x?

?m?

恒成立即(|x?

32?x?m

?m?

|)min?2

|?|x?m?m?|?|?x??m?

?m?4|

所以|m2?m?4|?2解得(-?,-2]?[-1,2]?[3,??)

?a?b?c?24?a?3??

21、把n=1,2,3代入得方程組?4a?2b?c?44，解得?b?11，?9a?3b?c?70?c?10??

猜想：等式1?22?2?32???n(n?1)2?立

n(n?1)1

2(3n?11n?10)

對一切n?N?都成下面用數學歸納法證明：（1）當n=1時，由上面的探求可知等式成立

（2）假設n=k時等式成立，即1?22?2?32???k(k?1)2?則

1?2?2?3???k(k?1)?(k?1)(k?2)???

k(k?1)1212

(3k?5)(k?2)?(k?1)(k?2)?

[3(k?1)?11(k?1)?10]

k(k?1)12

(3k?11k?10)

k(k?1)

(k?1)(k?2)

(3k?11k?10)?(k?1)(k?2)[k(3k?5)?12(k?2)]

(k?1)(k?2)

所以當n=k+1時，等式也成立 綜合（1）（2），對n?N?等式都成立

22、（1）當a??1時,f(x)?log2(?x2?2x?3)由?x2?2x?3?0知定義域為{x|?1?x?3}

設f(x)?log而

t

t??x?2x?3

t??x?2x?3??(x?1)?4?4

log2t?log24?2值域為(??,2]

（2）f(x)?1在區間[2,3]上恒成立

即log2(ax2?2x?3a)?1在區間[2,3]上恒成立即ax2?2x?3a?2在區間[2,3]上恒成立 所以a?

2?2x

x?3

2?2x

設g(x)?2

x?3

在區間[2,3]上恒成立在區間[2,3]上a?（?2(x?1)(x?1)

2?2xx?3)max

???2

g(x)?

2?2xx?3

?

?2(x?1)?2

??

(x?1)?

2x?1

所以a??

第四篇：2009年九年級數學中考專題復習精粹-四邊形的證明與計算

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熱點14四邊形的證明與計算

（時間：100分鐘總分：100分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）

1．下列命題正確的是（）

A．對角線互相平分的四邊形是菱形；

B．對角線互相平分且相等的四邊形是菱形

C．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形；

D．對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.2．平行四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D四個角的度數比可能是（）

A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：3：3D．1：2：2：

33．如果菱形的邊長是a，一個內角是60°，那么菱形較短的對角線長等于（）

A．

12aB

．2aC．aD

a

4．用形狀、大小完全相同的圖形不能進行密鋪的是（）

A．任意三角形B．任意四邊形C．正五邊形D．正四邊形

5．已知一個等腰梯形的下底與上底之差等于一腰長，?則這個等腰梯形中的較小的角的度數為（）

A．30°B．60°C．45°D．75°

6．已知四邊形ABCD中，在①AB∥CD；②AD=BC；③AB=CD；④∠A=∠C四個條件中，不能推出四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（）．

A．①②B．①③C．①④D．②③

7．如圖1，?ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，如果AC=12，BD=10，則AB的長m?取值范圍是（）

A．1

5

（1）(2)(3)(4)

8．如圖2，兩張寬度相等的紙條交叉重疊，重合部分是（）

9．如圖3，?ABCD中，P是對角線BD上的任意一點，過點P作EF∥BC，HG∥AB，?則下列說法不正確的是（）

A．S?AEPG=S?PHCF A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形B．圖中有3對全等三角形

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C．圖中共有9個平行四邊形D．S?AEFD≠S?GHCD

10．如圖4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，?E為垂足，連結DF，則∠CDF等于（）A．80°B．70°C．65°D．60°

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

11．如圖5，?ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代數式表示EC，則EC=________．

(5)(6)(7)(8)

12．如圖6，平行四邊形ABCD中，E是BC中點，且AE=9，BD=12，AD=10，則該平行四邊形的面積是_________． 13．已知菱形的周長為20cm，兩對角線之和為14cm，則菱形的面積為_____cm2． 14．以邊長為2cm的正方形的對角線為邊的正方形的面積為________cm2．

15．一個多邊形的每個外角都是36°，則這個多邊形的邊數是________．

16．矩形ABCD中，M是BC的中點，且MA⊥MD，若矩形的周長為48cm，則矩形ABCD的面積為_______cm．

17．如圖7，若將四根木條釘成矩形木框，再變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的一個最小內角的度數為_______． 18．如圖8，菱形ABCD的對角線長分別為2和5，P是對角線AC上任一點（點P不與點A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是_______．

三、解答題（本大題共46分，19～23題每題6分，24題、25題每題8分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，?垂足分別為E、F．求證：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形時，四邊形AEDF是正方形．

20．如圖，ABCD中，E、F為對角線AC上兩點，且AE=CF，問：四邊形EBFD是平行四邊形嗎？為什么？

21．如圖，圓A、圓B、圓C、圓D、圓E、圓F相互外離，它們的半徑都是1，順次連結這六個圓心，得到六邊形ABCDEF．

求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數．（2）求圖中陰影部分的面積之和．

22．如圖，?ABCD中，O是對角線AC的中點，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，問四邊形AFCE是菱形嗎？請說明理由．

23．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，積．

24．如圖，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等圖形，則當正方形A?′OB′C′繞正方形ABCD的中心O順時針旋轉的過程中．（1）四邊形OECF的面積如何變化．

（2）若正方形ABCD的面積是4，求四邊形OECF的面積．

25．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，動點P?從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB以3cm/s的速度向點B運動．P、Q同時出發，當其中一點到達頂點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為ts，?問t為何值時．

（1）四邊形PQCD是平行四邊形．（2）當t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形．

答案:

一、選擇題

1．D2．B3．C4．C5．B6．A7．A8．B9．D10．D

二、填空題

11．a-b12．7213．2414．815．1016．12817．30°18．

三、解答題

??

19．證明：（1）DE?AB,DF?AC??BED??CFD?90???

??B??C?

D是BC的中點?BD?CD

△BDE≌△CDF．

（2）由∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC知： 四邊形AEDF是矩形

?

??矩形AEDF是正方形．

?BED??CFE?DE?DF?

20．解：四邊形EBFD是平行四邊形．在?ABCD中，連結BD交AC于點O，則OB=OD，OA=OC．又∵AE=CF，∴OE=OF．∴四邊形EBFD是平行四邊形． 21．解：（1）由多邊形內角和定理知：

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°．（2）S

陰影

=

720360

?r2 =2?．

22．解：四邊形AFCE是菱形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴OA=OC，CE∥AF．

∴∠ECO=∠FAO，∠AFO=∠CEO．∴△EOC≌△FOA，∴CE=AF．

而CE∥AF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．又∵EF是垂直平分線，∴AE=CE．∴四邊形AFCE是菱形．

23．解：在梯形ABCD中由題設易得到：

△ABD是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．過點D作DE⊥BC，則DE=

12，BE=6．

過點A作AF⊥BD于F，則AB=AD=4．故S

梯形ABCD

24．解：（1）四邊形OECF的面積不變．

因為在旋轉過程中，始終有△ODF≌△OCE，故S

四邊形OECF

=S△OEC+S△OFC=S△OCD．

四邊形OECF

（2）由（1）知S=S△OCD=

×4=1．

25．解：（1）∵PD∥CQ，∴當PD=CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形．而PD=24-t，CQ=3t，∴24-t=3t，解得t=6．

當t=6時，四邊形PQCD是平行四邊形．（2）過點D作DE⊥BC，則CE=BC-AD=2cm．當CQ-PD=4時，四邊形PQCD是等腰梯形．即3t-（24-t）=4．∴t=7．

第五篇：初中數學幾何證明步驟規范性初步基礎題(含答案)

初中數學幾何證明步驟規范性初步基礎題

一、單選題(共4道，每道25分)

1.如圖，已知線段AB=18cm，C是線段AB的中點，則AC的長是多少？

解：如圖，∵（）∴（）又∵（）∴（）

即AC的長為9cm.①⑥；②C是線段AB的中點；③AB=18；④；⑦

；⑧

；⑨

⑤；

以上空缺處填寫正確的順序是（）

A.②⑤③④

B.②⑤①⑧

C.③②①④

D.②④⑥⑨

答案：A 試題難度：三顆星

知識點：中點(一個中點)

2.如圖，已知線段AB=14cm，點O是線段AB上任意一點，C、D分別是線段OA、OB的中點，求CD的長.解：∵C、D分別是線段OA、OB的中點 ∴（）

∴又∵AB=14 ∴（）

即CD的長為7cm.①C是線段AB的中點；②AB=14；③；④；

⑤是（）A.③⑥

B.④⑥

；⑥；⑦以上空缺處填寫正確的順序

C.⑤⑥

D.③⑦

答案：A 試題難度：三顆星

知識點：中點(兩個中點)

3.如圖，已知∠AOB=78°，OC平分∠AOB，求∠AOC的度數．

解：∵（）∴（）又∵（）∴（）

①OC平分∠AOB；②∠AOB=2∠AOC；③∠COB=∠AOC；④∠AOC=∠AOB；

⑤∠AOB=78°；⑥；⑧以上空缺處填寫正確的順序是（）A.①④⑤⑥

B.①②⑤⑧

C.①②⑤⑥

D.①③⑤⑥

答案：A 試題難度：三顆星

知識點：角平分線(一個角平分線)

4.已知OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，且∠COD=27°，求∠AOB的度數．

解：∵OD平分∠AOC ∴（）∵∠COD=27° ∴（）又∵OC平分∠AOB ∴（）

∵∠AOC=54° ∴（）

①；②∠AOC=2∠COD；③∠COD=∠AOD；④∠COD=∠AOC；

⑤∠AOB=2∠AOC；⑥∠AOC=∠BOC；⑦∠AOC=上空缺處填寫正確的順序是（）A.②①⑤⑨

B.③⑧⑥⑨

C.④①⑦⑨

D.②⑤⑥⑨

∠AOB；⑧∠AOD=27°；⑨以答案：A 試題難度：三顆星

知識點：角平分線(兩個角平分線)