如何整體把握重點突破淺談二次函數的教學

摘要:二次函數是描述現實世界變量之間關系的重要的數學模型,初中階段主要研究二次函數的概念、圖像和性質,用二次函數的觀點審視一元二次方程,用二次函數的相關知識分析和解決簡單的實際問題。其圖像因為是曲線,關系式變化形式多,應用比較復雜,學習難度較大。教學中,應抓住重點組織教學,立足整體設計教法,幫助學生系統把握二次函數的圖像和性質,明晰二次函數應用的方法。

關鍵詞:二次函數重點整體難點

二次函數是初中階段繼一次函數、反比例函數之后,學生要學習的最后一類重要的代數函數,它也是描述現實世界變量之間關系的重要的數學模型。初中階段主要研究二次函數的概念、圖像和性質,用二次函數的觀點審視一元二次方程,用二次函數的相關知識分析和解決簡單的實際問題。二次函數和一次函數、反比例函數一樣,都是高中階段要學習的一般函數和非代數函數的基礎。二次函數的圖像因為是曲線,關系式變化形式多,應用比較復雜。我在二次函數的教學中,整體把握,重點突破,收到了較好的教學效果。

一、抓住重點組織教學

(一)通過對實際問題情境的分析確定二次函數的關系式,并體會二次函數的意義

這里體現了數學與生活的關系。教學中,應從教材中的“水滴激起波紋”、“圈養小兔”等實際問題入手,引導學生列出函數關系式。然后,讓學生觀察、思考:所列的函數關系式有什么共同點?它們與一次函數、反比例函數有什么不同?從而引導出二次函數的概念,讓學生認識二次函數的各部分名稱。如此,學生能夠體會到二次函數來自生活,感受到二次函數也是描述一類現實問題中變量關系的數學模型,激發學習的積極性。

(二)采用“描點法”畫出二次函數的圖像,從圖像上認識二次函數的性質

這是二次函數的教學重點。一方面,學生要學會畫出二次函數的圖像;另一方面,要能從圖像上認識二次函數的性質。教學中,教師要扎實地讓學生畫出二次函數的圖像(不能一帶而過,就讓學生去解決與圖像有關的復雜題),即運用探索函數圖像的方法——“描點法”,一步一步地列表、描點、連線,加深對二次函數圖像形狀的認識。然后,引導學生從二次函數圖像的形狀、開口方向、對稱性、頂點坐標、增減性等方面去理解二次函數的性質(學生一邊看圖像,一邊說性質,很直觀)。要提醒的是,不僅要讓學生畫出二次函數的準確圖像,還要會畫二次函數的示意圖像。

(三)利用公式確定二次函數的頂點、開口方向和對稱軸,解決簡單的實際問題

這里包括兩點:一是從二次函數關系式上認識二次函數的性質,這是學生對二次函數性質的進一步認識;二是列二次函數的關系式解決問題,這是學生學習二次函數的落腳點所在。從直觀的圖像到關系式認識二次函數的性質,是一個提升;從實際問題中提煉出二次函數,通過研究,再回到實際問題中去,這是一個跨越.教學中,為了突破這一難點,可以從二次函數的圖像入手,將二次函數的關系式與其圖像比照著進行教學,由圖像認識關系式,由關系式認識圖像。這種“捆綁式”教學,可以促進學生對借助公式確定對二次函數的頂點、開口方向的理解和掌握。而在運用二次函數解決簡單的實際問題時,應將知識塊分類后進行教學,這樣效果較好。

(四)運用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解

這是二次函數的內部應用。即從函數的角度審視一元二次方程與二次函數的關系,并根據直觀圖形,借助計算器探索函數值為0的自變量的值,進而得出用二次函數圖像求一元二次方程的近似解的方法。在這個過程中,應通過直觀圖像,研究函數值與自變量的變化,滲透無限逼近和區間套的數學思想方法,為學生高中階段的函數學習做好鋪墊。

二、立足整體設計教法

二次函數的整體性,體現在其圖像、性質以及應用上。教材從學生熟悉的簡單實際問題出發,建立二次函數的概念,立足運動、變換的觀點,由特殊到一般,分別探討各種形式的二次函數的圖像和性質,最后以3個探究性問題為例,探討二次函數在實際中的應用。學生學習二次函數的圖像和性質的障礙主要體現在解析式、圖像、性質的對應上,應用的主要障礙則是建立二次函數解析式,并利用解析式解決問題。

(一)層層遞進,系統把握二次函數的圖像和性質

二次函數的一般形式及其變換形式共有六種:(1)

y=ax2

(a≠0);(2)

y=ax2+k(a≠0);(3)

y=a(x+h)2(a≠0);(4)

y=a(x+h)2

+k(a≠0);(5)

y=ax2+bx+c(a≠0);(6)

y=ax2+bx(a≠0)。要求學生由不同的解析式畫出圖形示意圖并說出對應的性質,有一定的難度。教學時,應層層遞進,通過畫示意圖像來說性質。同時,在學習這六種形式的二次函數的關系式、圖像和性質時,每節課都復習上節課學習的二次函數的關系式、圖像和性質,并板書。這樣,當學到最后一種二次函數的解析式、圖像和性質時,學生已在頭腦中形成了系統、全面的關于二次函數的解析式、圖像、性質的知識網絡。

(二)策略分類,明晰掌握二次函數應用的方法

二次函數是研究單變量最優化問題的常用數學模型。教材從數量關系入手,把實際問題數學化,進而求出最優解,研究了面積最大、利潤最大等問題。然后,從“形”上研究了拋物線形的拱橋、拋物線形的隧道、噴泉、投擲、跳遠、跨欄等與拋物線有關的問題。這樣的分類(一會兒求關系式,一會兒不求;一會兒給應用問題,一會兒給圖像),對正由形象思維向抽象思維過渡的初中生來說挑戰不小,學生的思維容易發生混亂。教學二次函數的應用問題時,根據學生的年齡特點和知識基礎,按解題策略進行分類,有助于學生理清思路,正確解決問題。

第一類:給二次函數的關系式解決問題。比如,教材第33頁第4題的“火箭升空”、第34頁第9題的“對概念接受能力”、第35頁第12題的“噴泉”等問題,只要將二次函數的關系式配方求定點坐標,或令x、y等于0,即可順利解決。

第二類:給應用問題列二次函數的關系式,再用關系式解決問題。比如,教材第25頁的“最大收益”、“最大面積”等問題,只要分析數量關系,列出二次函數的關系式,再由二次函數的關系式即可解決問題。

第三類:給二次函數的圖像列二次函數的關系式解決問題。比如,教材第27頁的問題2“噴泉”問題,只要從圖像上找到一個或兩個點的坐標,代入二次函數的關系式的一般形式,從而求出二次函數的關系式,再由二次函數的關系式,即可解決問題。

第四類:建立直角坐標系,求出二次函數的關系式解決問題。比如,教材第28頁的“拋物線形拱橋”、第30頁的“欄桿”和“拋物線形拱橋”等問題。這樣的問題,要建立適當的直角坐標系,再由圖像求出二次函數關系式,然后由二次函數關系式即可解決問題。

三、著手關鍵化解難點

(一)將二次函數的一般形式化為頂點式

學生對前四個形式的二次函數y=ax2

(a≠0),y=ax2+k(a≠0),y=a(x+h)2(a≠0),y

=a(x+h)2

+k(a≠0)畫圖像、說性質相對比較容易,對后兩個形式的二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),y=ax2+bx(a≠0)畫圖像、說性質,難度就大得多。因為要將它們轉化為y=a(x+h)2

+k(a≠0)的形式,其中涉及配方的問題。而配方又涉及完全平方公式——這在一元二次方程解法的教學時已有所涉獵。因此,教學一元二次方程解法時,就必須注重配方法的教學,到了這個階段再增添求二次三項式的最值問題,學生因為掌握了配方的方法,就容易理解和接受了。

(二)列二次函數關系式和應用二次函數關系式

比如,最大效益問題是一元二次方程的利潤類應用問題的遷移,關鍵是把握關系式“每畝(件、千克)效益(利潤)×畝數(件數、千克數)=總效益(總利潤)”;面積類問題,關鍵是面積公式;給二次函數圖像列二次函數關系式解決問題,關鍵是設二次函數關系式;建立直角坐標系,求出二次函數關系式解決問題,關鍵是建立適當的直角坐標系、設二次函數關系式;應用二次函數關系式,關鍵是理解關系式中的字母的意義,看清問題中要求的是關系式中的哪一個問題,從而確定方法。

參考文獻:

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羅增儒。數學解題學引論[M].西安:陜西師范大學出版社

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李明振。數學方法與解題研究[M].上海:上海科技教育出版社