2004年高考試題全國(guó)卷2
理科數(shù)學(xué)（必修＋選修Ⅱ）
(四川、吉林、黑龍江、云南等地區(qū))
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
（1）已知集合M＝{x|x2＜4，N＝{x|x2－2x－3＜0，則集合M∩N＝
（A）{x|x＜－2
（B）{x|x＞3}
（C）{x|－1＜x＜2
（D）{x|2＜x＜3
（2）＝
（A）
（B）1
（C）
（D）
（3）設(shè)復(fù)數(shù)ω＝－＋i，則1＋ω＝
（A）–ω
（B）ω2
（C）
（D）
（4）已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線(xiàn)y＝－x對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為
（A）(x＋1)2＋y2＝1
（B）x2＋y2＝1
（C）x2＋(y＋1)2＝1
（D）x2＋(y－1)2＝1
（5）已知函數(shù)y＝tan(2x＋φ)的圖象過(guò)點(diǎn)(,0)，則φ可以是
（A）－（B）（C）－
（D）
（6）函數(shù)y＝－ex的圖象
（A）與y＝ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（B）與y＝ex的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
（C）與y＝e－x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（D）與y＝e－x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
（7）已知球O的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每?jī)牲c(diǎn)間的球面距離為，則球心O到平面ABC的距離為
（A）（B）
（C）
（D）
（8）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A(1，2)距離為1，且與點(diǎn)B(3，1)距離為2的直線(xiàn)共有
（A）1條
（B）2條（C）3條（D）4條
（9）已知平面上直線(xiàn)的方向向量，點(diǎn)O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分別是O1和A1，則＝，其中＝
（A）（B）－（C）2（D）－2
（10）函數(shù)y＝xcosx－sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)
（A）(，)（B）(，2)
（C）(，)
（D）(2，3)
（11）函數(shù)y＝sin4x＋cos2x的最小正周期為
（A）（B）（C）（D）2
（12）在由數(shù)字1，2，3，4，5組成的所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有
（A）56個(gè)（B）57個(gè)（C）58個(gè)（D）60個(gè)
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線(xiàn)上．
（13）從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有ξ個(gè)紅球，則隨機(jī)變量ξ的概率分布為
ξ
0
P
（14）設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件
則z＝3x＋2y的最大值是
．
（15）設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)2x2－2y2＝1有公共的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是
．
（16）下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：
①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
②若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱
④若四棱柱的四條對(duì)角線(xiàn)兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱
其中，真命題的編號(hào)是
(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))．
三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
（17）
(本小題滿(mǎn)分12分)
已知銳角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝．
(Ⅰ)求證：tanA＝2tanB；
(Ⅱ)設(shè)AB＝3，求AB邊上的高．
（18）(本小題滿(mǎn)分12分)
已知8個(gè)球隊(duì)中有3個(gè)弱隊(duì)，以抽簽方式將這8個(gè)球隊(duì)分為A、B兩組，每組4個(gè)．求
(Ⅰ)A、B兩組中有一組恰有兩個(gè)弱隊(duì)的概率；
(Ⅱ)A組中至少有兩個(gè)弱隊(duì)的概率．
（19）(本小題滿(mǎn)分12分)
數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n＝1，2，3，…）．證明：
(Ⅰ)數(shù)列{}是等比數(shù)列；
(Ⅱ)Sn＋1＝4an．
（20）(本小題滿(mǎn)分12分)
．
如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝，側(cè)棱AA1＝1，側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為D，B1C1的中點(diǎn)為M．
(Ⅰ)求證：CD⊥平面BDM；
(Ⅱ)求面B1BD與面CBD所成二面角的大小．
（21）(本小題滿(mǎn)分12分)
給定拋物線(xiàn)C：y2＝4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn)．
(Ⅰ)設(shè)l的斜率為1，求與夾角的大小；
(Ⅱ)設(shè)＝，若∈[4，9]，求l在y軸上截距的變化范圍．
(22)(本小題滿(mǎn)分14分)
已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．
(1)求函數(shù)f(x)的最大值；
(2)設(shè)0＜a＜b，證明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2．
2004年高考試題全國(guó)卷2
理科數(shù)學(xué)（必修＋選修Ⅱ）
(四川、吉林、黑龍江、云南等地區(qū))
答案：
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
（1）C
（2）A
（3）C
（4）C
（5）A
（6）D
（7）B
（8）B
（9）D
（10）B
（11）B
（12）C
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
（13）0.1，0.6，0.3
（14）5
（15）x2＋y2＝1
（16）②④
17．(I)證明：∵sin(A+B)=,sin(A-B)=
∴，∴.(II)解：∵ 解得,因?yàn)锽為銳角，所以,∴ =2+ 設(shè)AB上的高為CD，則AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+ 故AB邊上的高為2+ 18．(I) 解：有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率 (II)解：A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率 19．（I）證： 由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)，知a2=S1=3a1，,∴ 又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，…),則Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn,(n=1,2,3，…).故數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列 （II）解：由（I）知，于是Sn+1=4(n+1)·=4an(n) 又a2=3S1=3,則S2=a1+a2=4=4a1,因此對(duì)于任意正整數(shù)n≥1都有Sn+1=4an.20．解法一：(I)如圖，連結(jié)CA1、AC1、CM，則CA1=，∵CB=CA1=，∴△CBA1為等腰三角形，又知D為其底邊A1B的中點(diǎn)，∴CD⊥A1B，∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=，又BB1=1，∴A1B=2，∵△A1CB為直角三角形，D為A1B的中點(diǎn)，CD=A1B=1，CD=CC1 又DM=AC1=，DM=C1M，∴△CDN≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM，因?yàn)锳1B、DM為平面BDM內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，所以CD⊥平面BDM (II)設(shè)F、G分別為BC、BD的中點(diǎn)，連結(jié)B1G、FG、B1F，則FG∥CD，F(xiàn)G=CD∴FG=，F(xiàn)G⊥BD.由側(cè)面矩形BB1A1A的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為D,知BD=B1D=A1B=1，所以△BB1D是邊長(zhǎng)為1的正三角形，于是B1G⊥BD，B1G=，∴∠B1GF是所求二面角的平面角 又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=.∴cos∠B1GF= 即所求二面角的大小為π-arccos 解法二：如圖以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系 (I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(，),M(,1,0),(，),(,-1,-1),(0，-),∴CD⊥A1B,CD⊥DM.因?yàn)锳1B、DM為平面BDM內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，所以CD⊥平面BDM (II):設(shè)BD中點(diǎn)為G，連結(jié)B1G，則G(-，)，∴，∴BD⊥B1G，又CD⊥BD，∴與的夾角等于所求二面角的平面角，cos 所以所求二面角的大小為π-arccos 21．解：（I）C的焦點(diǎn)為F(1,0)，直線(xiàn)l的斜率為1，所以l的方程為y=x-1.將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則有x1+x2=6,x1x2=1，=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.cos<>= 所以與夾角的大小為-arccos.解：(II)由題設(shè)知得：(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1)，即 由 (2)得y22=λ2y12,∵y12=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1……………………………………(3) 聯(lián)立(1)(3)解得x2=λ.依題意有λ>0.∴B(λ,2)或B(λ,-2)，又F(1,0),得直線(xiàn)l的方程為(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1) 當(dāng)λ∈[4,9]時(shí)，l在y軸上的截距為或- 由=，可知在[4，9]上是遞減的，∴，-- 直線(xiàn)l在y軸上截距的變化范圍是 22．(I)解：函數(shù)f(x)的定義域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0，解得x=0，當(dāng)-1 (II)證法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.由(I)的結(jié)論知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由題設(shè)0 a 綜上0 g(a)+g(x)-2g(),則當(dāng)0
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