阿貝成像原理和空間濾波

【實驗目的】

1．了解阿貝成像原理，懂得透鏡孔徑對成像的影響．

2．了解透鏡的傅里葉變換功能及空間頻譜的概念．

3．了解兩種簡單的空間濾波．

4．掌握在相干光條件下調節多透鏡系統的共軸．

【實驗儀器】

光具座，氦氖激光器，溴鎢燈(12V，50W)及直流電源，薄透鏡若干，可變狹縫光闌，可變圓孔光闌，調制用光闌，光柵(一維、正交及調制各一)，光學物屏，游標卡尺，白屏，平面鏡．

【實驗原理】

阿貝在1873年為德國蔡斯工廠改進顯微鏡時發現，大孔徑的物鏡能導致較高的分辨率，這是因為較大的孔徑可以收集全部衍射光，這些衍射光到達像平面時相干疊加出較細的細節．例如，用一定空間頻率的光柵作為物，并且用單色光加以照明，物后的衍射光到達透鏡時(這里先考慮±1級衍射)，當O級與級衍射光到達像平面時，相干疊加成干涉條紋，就是光柵的像；如果單色光波長較長或者L孔徑小，只接收了零級光而把級光擋去，那么到達像平面上的只有零級光，就沒有條紋出現，我們說像中缺少了這種細節．根據光柵方程，不難算出，物體上細節d能得以在像平面有反映的限制為

(1)

為透鏡半徑對物點所張的角．換句話說，可分辨的空間頻率為

(2)

物平面上細節越細微、即空間頻率越高，其后衍射光的角度就越大，更不可能通過透鏡的有限孔徑到達像平面，當然圖像就沒有這些細節．透鏡就成像光束所攜帶的空間頻率而言，是低通濾波器，其截止頻率就是(2)式所示的，．瑞利在1896年認為物平面每一點都發出球面波，各點發出的波在透鏡孔徑上衍射，到達像面時成為愛里斑，并給出分辨兩個點物所成兩個模糊像——兩個愛里斑的判據．其實阿貝與瑞利兩種方法是等價的．

波特在1906年把一個細網格作物(相當于正交光柵)，但他在透鏡的焦平面上設置一些孔式屏對焦平面上的衍射亮點(即夫瑯和費衍射花樣)進行阻擋或允許通過時，得到了許多不同的圖像．設焦平面上坐標為，那么與空間頻率相應關系為

(3)

(這適用于角度較小時，為焦距，)．焦平面中央亮點對應的是物平面上總的亮度(稱為直流分量)，焦平面上離中央亮點較近(遠)的光強反映物平面上頻率較低(高)的光柵調制度(或可見度)．1934年譯尼克在焦平面中央設置一塊面積很小的相移板，使直流分量產生位相變化，從而使生物標本中的透明物質不須染色變成明暗圖像，因而可研究活的細胞，這種顯微鏡稱為相襯顯微鏡．為此他在1993年獲得諾貝爾獎．在20世紀50年代，通信理論中常用的傅里葉變換被引入光學，60年代激光出現后又提供了相干光源，一種新觀點(傅里葉光學)與新技術(光學信息處理)就此發展起來．

物的內容中如含周期性結構，可以看成是各種頻率的光柵組合而成，用數學語言講就是把物展開成空間的傅里葉級數．如物的內容不是周期性的，在數學上就要作傅里葉變換，在物理上可由透鏡來實現．可以證明，由于透鏡作為位相變換器能把平面波轉換為球面波，當單色平面波照射在透明片上[其振幅透射率為]時，如圖1中光路所示，透鏡后焦平面上光場復振幅分布即為其傅里葉變換

(4)

圖1

式中，實際上這也就是的夫瑯和費衍射．當不在透鏡前焦面上時，后焦面上仍為其傅里葉變換，但要乘上位相彎曲因子．當入射的不是平面波，而是球面波(發散、會聚均可)，則在入射波經透鏡(甚至不經透鏡)后形成的會聚點所在平面上也是傅里葉變換，只是也附加上了位相彎曲因子．傅里葉變換的例子如函數，函數，函數函數及許多性質的標度、卷積定理都可以由此在物理上演示出來．

如圖2所示，在透鏡后再設一透鏡，則在Q面上的復振幅分布又經過一次傅里葉變換，(5)

物函數的倒置也就是的像．前述在平面波照射下在前焦平面上的時，在照明光會聚點有其傅里葉變換，但要加上位相彎曲因子，該位相彎曲相當于會聚球面波照在傅里葉變換上，到達該球面波會聚點所在平面Q時，也是完成第二次傅里葉變換，只是標度有變化，即像是放大或縮小的．因此從波動光學的觀點來看，正是透鏡的傅里葉變換功能造成了其成像的功能．這樣，就用波動光學的觀點敘述了成像過程．這不但說明了幾何光學已經說明的透鏡成像功能，而且還預示了在頻譜平面上設置濾波器可以改變圖像的結構，這后者是無法用幾何光學來解釋的．前述相襯顯微鏡即是空間濾波的一個成功例子．除了下面實驗中的低通濾波、方向濾波及調制等較簡單的濾波特例外，還進行特征識別、圖像合成、模糊圖像復原等較復雜的光學信息處理．因此透鏡的傅里葉變換功能的涵義比其成像功能更深刻、更廣泛．

圖2

【實驗內容】

共軸調節．首先，要調激光束平行于光具座（圖3），并位于光具座正上方，把屏Q插在光具座滑塊上，并移近激光架LS，把LS作上下、左右移動，使光束偏離O，調節LS的俯仰及側轉，使光束又穿過小孔；再把Q推至LS邊上，反復調節，直到Q在光具座平移時激光束均穿過O為圓心的孔，以后就不再需要改變LS的位置。

在做以下幾個實驗時，都要用透鏡，在加入透鏡L后，如激光束正好射在L的光心上，則在屏Q上的光斑以0為中心，如果光斑不以O為中心，則需調節L的高低

圖3

及左右，直到經過L的光束不改變方向(即仍打在0上)為止；此時在Ls處再設帶有圓孔P的光屏，從L前后兩個表面反射回去的光束回到此P上，如二個光斑套準并正好以P為中心，則說明L的光軸正好就在P、O連線上．不然就要調整L的取向．如光路中有幾個透鏡，先調離Ls最遠的透鏡，再逐個由遠及近加入其他透鏡，每次都保持兩個反射光斑套準在P上，透射光斑以O為中心，則光路就一直保持共軸．

1．阿貝成像原理

(1)按圖4布置光路．G是空間頻率為每毫米幾十條的光柵，在實驗中作為物．L是焦距為10cm的透鏡，移動L使光柵在3m處白屏上成放大的像(也可以用平面鏡把光束反射到實驗桌上的自屏上，但要用涂金屬的那面，不要用玻璃面去反射，為什么?可以試試．)

(2)用白紙插入G之后的光路中并從G處移到L可看到G后

圖4

衍射光束逐步分開；再從L移到P處，可看到光束又逐步合到一起，形成光柵像．

(3)在L前設可變圓孔光闌P；在逐步減小光闌時在L后用白紙檢查光束被擋去情況，如有三束光通過，則Q上仍有條紋；如僅有一束光通過，Q上就無條紋，也就是不能分辨這個空間頻率的細節了(P不一定緊貼在L之前)．

(4)使P上某一圓孔剛能容納三束光通過，測量G、P距離及圓孔半徑，估算G的空間頻率．并估算能分辨此頻率的最小透鏡孔徑．

2．波特實驗

仍然使用圖4中光路，但改為到L的焦平面F上來改變像的空間頻率結構．

把毛玻璃放在F面處可看到一系列光點，它們相應于物光柵夫瑯和費衍射的0，±1，±2，…級的衍射極大值．用直尺或游標卡尺測出各衍射級離中央亮點的距離，把透鏡焦距、所用激光波長與代入(3)式，算出這些亮點對應的空間頻率，并與通過物像關系算出的光柵空間頻率進行比較(由物距、像距，像上條紋寬度計算)，說明物理意義．利用可變狹縫光闌及小磁塊，擋去某些衍射級，觀察像屏S上圖像的變化情況，并作出解釋(可以從傅里葉光學與光波干涉兩種觀點來解釋)．

3．透鏡的傅里葉變換功能

按圖5(a)布置光路，L1、L2構成擴束準直系統，擴束后光束截面直徑增大(倍數為兩透鏡焦距之比)．輸入至輸出共距四倍焦距，故可稱為系統，是典型的光束信息處理光路，能進行二次傅里葉變換．

用系統直接觀察傅里葉變換，有時感到花樣較小，不易看清，圖5(b)光路中的物屏可放在位置1到2之間，在照明光的會聚點上都可以看到它的夫瑯和費衍射，或者說傅里葉變換．自己選擇一個位置(在2處，物離Q遠，則花樣分布較大，便于觀察)，先后插入圓孔、雙縫、單縫，觀察其傅里葉變換光強分布情況并對傅里葉變換的標度性質、卷積定理作出物理解釋．設此時P、Q距離為z，則Q空間頻率標度為．

圖5

4．空間濾波實驗

(1)低通濾波

前述阿貝--波特實驗中狹縫起的是方向濾波器的作用，可以濾去圖像中某個方向的結構．而圓孔可作低通濾波器，濾去圖像中高頻成分，只讓低頻成分通過．

①按圖6布置好光路，先放人L2，再放入L1，每次都調共軸，經L1擴束后光斑應打在L2中央．放人物屏P后注意P、Q的物像關系，在照明光會聚點設圓孔濾波器F．

圖6

本實驗物屏中央是透光的“光”字與細網格疊加在一起，網格空間頻率約為10條／mm，調P、Q位置，使Q上有清晰的放大像，能看清其網格結構．

②觀察F面上頻譜分布，可以看到排成十字形的點陣．改變F上圓孔，逐步縮小，在圓孔直徑≥lmm時(可以通過多個光點)，仍可看到像中有網格結構，而換到O．5mm直徑圓孔時，只允許中央亮點通過，則在Q面上看到了沒有網格的“光”字．這是因為“光”的空間頻率低，就集中在光軸附近很小范圍內．可見小圓孔起到只通過低頻的作用．

在更換圓孔時，要特別細心，光軸必須嚴格穿過小圓孔圓心，才能有良好的實際效果，否則可能“光”字不完整．如試驗一段時間未能奏效，可以改用下法：把字屏P移走，把F屏上O．5mm圓孔移在中央，然后細心地用手上下移動圓孔，左右調節滑塊座上微動螺旋及前后推移滑塊位置，同時觀察Q上衍射花樣以決定如何移動小圓孔，直到最后出現大而均勻的光斑，再插入物屏P，像屏Q上必有清晰字樣(不帶網格)．因為此時光束會聚點正好在小圓孔圓心上．

把小圓孔移到中央亮點以外的亮點上，在Q屏上仍能看到不帶網格的“光”字，只是較暗淡一些．這說明當物為“光”與網格的乘積時，其傅里葉譜是“光”的譜與網格的譜的卷積，因此每個亮點周圍都是“光”的譜，再作傅里葉變換就還原成“光”字．這就演示了傅里葉變換的乘積定理．

(2)用調制產生假彩色

①類似于通信技術中把信號與載波相乘以調制振幅與位相，便于發送；光學信息處理中把圖像(信號)與空間載頻(光柵)相乘，也起到調制作用，便于進行處理．

本實驗中所用的物是由方向不同的一維光柵組合而成的(圖7)．用激光束照射不同部位，就可在其后看到不同取向的衍射光線．光柵空間頻率約為100條／mm，三組光柵取向各相差600。

圖7

②按圖8(a)布置光路，S為溴鎢燈，L1起聚光作用，在L1后聚光亮點處設濾波器F，注意使S、L1距離大于L1、F距離，以獲得較小的亮點．物P緊靠在L1后，F后設L2，L2把P的像成在Q屏上，為了得到較亮的像，最好P、L2距離大于或等于L2、Q距離．

③觀察F面頻譜的特點：第一，由于輸入圖像由三個取向不同的光柵構成，每組光柵對應一個衍射方向，衍射光線所在平面垂直于光柵的取向．如把該方向頻譜全部擋去，則輸出面上相應區域光強就轉為零，例如把水平方向的頻譜擋去，可以看到像上天空呈黑暗．其余類推．第二，由于照明光是白光，根據光柵方程，每組頻譜零頻的各色光衍射角均為0，各色光的零級疊加在一起就呈白色；而在其余±1，±2，…級上，波長長的色光衍射角大，因此各級均呈現從紫(在內)到紅(在外)的連續的光譜色．

圖8

④如圖9所示，再次仔細調整共軸，使白光亮點恰好射在濾波器中央F透光處，而六條光譜帶恰好從六條狹長孔中穿過．然后用帶有銅片的小磁塊在屏上移動，使銅片上小孔處在一級譜的某種顏色上，該色光得以通過．使孔1、孔通過黃光，輸出平面上天空部分就呈藍色，同理讓孔2與孔通過紅光，孔3與孔通過綠光，相應就在輸出像中出現紅色的房子與綠色的草地．

圖9

⑤用白紙在F屏后由近到遠移動，觀察各衍射級光點的顏色及光斑形狀的變化情況，再次思考輸入以上光柵取向、頻譜面上變色光分布及所攜帶信息及輸出譜形之間的關系．

⑥重新調整濾波孔位置，改變輸出圖像的色彩，這說明色彩是人為指定的而非天然色．

在實驗過程中還有兩點須注意：

第一，溴鎢燈額定電壓為12V，因此為延長使用壽命在調整光路時電壓只放在6V左右，在上述第3項調整成功后，才把電壓調整到lOV，以觀察輸出彩色效果，觀察后隨即把電壓調低至6V然后再關電源．電壓始終不得超過12V，并不準在12V時關掉電源，否則下次開電源的瞬間，極易燒斷燈絲．

第二，光源S的開孔較大，射出的燈光經過光具座的反射，易在輸出面Q處增添雜散光，干擾對彩色像的觀察，可在P、F各屏的下方用黑紙擋去這些雜光．

【復習思考題】

1．從阿貝成像原理出發，要獲得較高的成像分辨率可以采用什么辦法?如在照明光波長、物鏡孔徑已確定后，增大目鏡的放大率能否提高分辨率?

2．用惠更斯原理解釋低通空間濾波實驗中頻譜上各次極大亮點均帶有“光”字的頻譜．在本實驗中如濾波孔直徑從0.5減小到5，試設想輸出圖像是什么樣的?

3．在調制實驗中，物面上沒有光柵處原是透明的，像面上相應部位卻是暗的，為什么?如果要讓這些部位也是亮的，該怎么辦，此時還能進行假彩色編碼嗎?

4．對透鏡的功能有何新認識?