8.4

三元一次方程組的解法

基礎訓練

知識點1

三元一次方程(組)的有關概念

1.下列方程是三元一次方程的是_________.(填序號)

①x+y-z=1;

②4xy+3z=7;

③+y-7z=0;

④6x+4y-3=0.2.①

②

③

④

⑤其中是三元一次方程組的是__________.(填序號)

3.若(a-1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一個關于x,y,z的三元一次方程,那么a=__________,b=__________.知識點2

三元一次方程組的解法

4.解三元一次方程組先消去_________,化為關于_________、_________的二元一次方程組較簡便.5.解方程組若要使運算簡便,消元的方法應選()

A.消去x

B.消去y

C.消去z

D.以上說法都不對

6.已知三元一次方程組經過步驟①-③和③×4+②消去未知數z后,得到的二元一次方程組是()

A.B.C.D.知識點3

三元一次方程組的應用

7.已知單項式-8a3x+y-zb12cx+y+z與2a2b2x-yc6是同類項,則x=　　　　,y=　　　　,z=.8.已知式子ax2+bx+c,當x=1時,其值為-4;當x=2時,其值為3;當x=4時,其值為35.當x=3時,其值為.9.桌面上有甲、乙、丙三個杯子,三杯內原本均裝有一些水,先將甲杯的水全部倒入丙杯,此時丙杯的水量為原本甲杯內水量的2倍多40毫升;再將乙杯的水全部倒入丙杯,此時丙杯的水量為原本乙杯內水量的3倍少180毫升.若過程中水沒有溢出,則原本甲、乙兩杯內的水量相差多少毫升?()

A.80

B.110

C.140

D.220

10.解方程組

提升訓練

11.解方程組

12.解方程組

13.解方程組:

14.用兩種消元法解方程組:

探究培優

15.如圖是一個有三條邊的算法圖,每個“”里有一個數,這個數等于它所在邊的兩個“”里的數之和,請你通過計算確定三個“”里的數之和,并且確定三個“”里應填入的數.16.已知甲、乙二人解關于x,y的方程組甲正確地解得而乙把c抄錯了,解得求a,b,c的值.解三元一次方程組的消元技巧:

(1)先消去某個方程缺少的未知數;(2)先消去系數最簡單的未知數;(3)先消去系數成整倍數關系的未知數.另外,在“消元”的過程中必須保證每個方程至少用一次.參考答案

1.【答案】①　2.【答案】①②　3.【答案】-1;0　4.【答案】z;x;y

5.【答案】B

解：因為y的系數的絕對值都是1,所以消去y較簡便.6.【答案】A　7.【答案】4;-4;6　8.【答案】16

9.【答案】B

解：設甲杯中原有水a毫升,乙杯中原有水b毫升,丙杯中原有水c毫升.根據題意得

②-①,得b-a=110.故選B.10.解:由②+①×2,得4x+3x+6z+2z=2+2,即7x+8z=4.④

由③+②×2,得6x-4x+4z-z=4-1,即2x+3z=3.⑤

由④⑤組成方程組,得解得

把代入①,得y=-2.所以原方程組的解為

分析：解三元一次方程組時,通常需在某些方程兩邊同乘以某常數,以便于消去同一未知數;在變形過程中,易漏乘常數項而出現方程①變形為4x+2y+6z=1的錯誤.11.解:設=a,=b,=c,則原方程組可化為

①+②,得2a+2c=1,④

②+③,得2a+4c=4.⑤

④與⑤組成方程組,得

解這個方程組,得

把代入①,得b=6.因此,x=-1,y=,z=.即原方程組的解為

分析：本題運用了換元法,將，分別用a,b,c表示,將原方程組化為關于a,b,c的三元一次方程組,求出a,b,c的值后,進一步再求x,y,z的值,這種方法可使解題過程變簡便.12.解:設x=k,y=2k,z=3k,代入②,得

2k+2k-9k=15.解得k=-3.所以原方程組的解為

分析：像這種已知未知數之間數量比的問題,通常采用設參數的方法,將“多元”化為“一元”,使解題過程變簡便.13.解:①+②+③,得2x+2y+2z=12,所以x+y+z=6.④

④-①,得z=3.④-②,得x=1.④-③,得y=2.所以原方程組的解為

分析：本題沒有采用常規的消元方法求解,而是利用整體加減的方法求出未知數的值,給解題過程帶來了簡便.14.解:方法一:用代入法解方程組.把②變形為2y=3x-4z-8,④

將④代入①,得2x+2(3x-4z-8)-3z=9,整理,得

8x-11z=25.⑤

將④代入③,得5x-3(3x-4z-8)-5z=7,整理,得

4x-7z=17.⑥

由⑤⑥組成方程組,得解得

將代入④,得y=.所以原方程組的解為

方法二:用加減法解方程組.①+②×2,得8x-11z=25.④

①×3+③×2,得16x-19z=41.⑤

由④⑤,得解得

將代入①,得y=.所以原方程組的解為

15.解:如圖,如果把三個“”里的數分別記作x,y,z,則

①+②+③,得2(x+y+z)=142,即x+y+z=71.④

④-①,得z=-12.④-②,得x=50.④-③,得y=33.所以三元一次方程組的解為

所以三個“”里的數之和為71,三個“”里應填入的數按先上后下,先左后右的順序依次為50,33,-12.16.解:甲正確地解得故可把代入原方程組.乙僅抄錯了題中的c,解得故可把代入第一個方程.由題意得解得