第一篇：二分圖匹配算法總結
二分圖匹配算法總結(by phoenixinter, Aug 2006)
最近下決心要把二分圖匹配部分的算法都搞搞清楚，努力了幾天之后基本上搞定了，下面做一個這個專題的總結。一、二分圖最大匹配
二分圖最大匹配的經典匈牙利算法是由Edmonds在1965年提出的，算法的核心就是根據一個初始匹配不停的找增廣路，直到沒有增廣路為止。
匈牙利算法的本質實際上和基于增廣路特性的最大流算法還是相似的，只需要注意兩點：
（一）每個X節點都最多做一次增廣路的起點；
（二）如果一個Y節點已經匹配了，那么增廣路到這兒的時候唯一的路徑是走到Y節點的匹配點（可以回憶最大流算法中的后向邊，這個時候后向邊是可以增流的）。
找增廣路的時候既可以采用dfs也可以采用bfs，兩者都可以保證O(nm)的復雜度，因為每找一條增廣路的復雜度是O(m)，而最多增廣n次，dfs在實際實現中更加簡短。
二、Hopcroft-Karp算法
SRbGa很早就介紹過這個算法，它可以做到O(sqrt(n)*e)的時間復雜度，并且在實際使用中效果不錯而且算法本身并不復雜。
Hopcroft-Karp算法是Hopcroft和Karp在1972年提出的，該算法的主要思想是在每次增廣的時候不是找一條增廣路而是同時找幾條點不相交的最短增廣路，形成極大增廣路集，隨后可以沿著這幾條增廣路同時進行增廣。
可以證明在尋找增廣路集的每一個階段所尋找到的最短增廣路都具有相等的長度，并且隨著算法的進行最短增廣路的長度是越來越長的，更進一步的分析可以證明最多只需要增廣ceil(sqrt(n))次就可以得到最大匹配（證明在這里略去）。
因此現在的主要難度就是在O(e)的時間復雜度內找到極大最短增廣路集，思路并不復雜，首先從所有X的未蓋點進行BFS，BFS之后對每個X節點和Y節點維護距離標號，如果Y節點是未蓋點那么就找到了一條最短增廣路，BFS完之后就找到了最短增廣路集，隨后可以直接用DFS對所有允許弧(dist[y]=dist[x]+1，可以參見高流推進HLPP的實現)進行類似于匈牙利中尋找增廣路的操作，這樣就可以做到O(m)的復雜度。
實現起來也并不復雜，對于兩邊各50000個點，200000條邊的二分圖最大匹配可以在1s內出解，效果很好：）三、二分圖最優匹配
二分圖最優匹配的經典算法是由Kuhn和Munkres獨立提出的KM算法，值得一提的是最初的KM算法是在1955年和1957年提出的，因此當時的KM算法是以矩陣為基礎的，隨著匈牙利算法被Edmonds提出之后，現有的KM算法利用匈牙利樹可以得到更漂亮的實現。
KM算法中的基本概念是可行頂標(feasible vertex labeling)，它是節點的實函數并且對于任意弧(x,y)滿足l(x)+l(y)≥w(x,y)，此外一個概念是相等子圖，它是G的一個生成子圖，但是只包含滿足l(xi)+l(yj)=w(xi,yj)的所有弧(xi,yj)。
有定理：如果相等子圖有完美匹配，那么該匹配是最大權匹配，證明非常直觀也非常簡單，反設其他匹配是最優匹配，它的權必然比相等子圖的完美匹配的權要小。
KM算法主要就是控制了怎樣修改可行頂標的策略使得最終可以達到一個完美匹配，首先任意設置可行頂標（如每個X節點的可行頂標設為它出發的所有弧的最大權，Y節點的可行頂標設為0），然后在相等子圖中尋找增廣路，找到增廣路就沿著增廣路增廣。
而如果沒有找到增廣路呢，那么就考慮所有現在在匈牙利樹中的X節點（記為S集合），所有現在在匈牙利樹中的Y節點（記為T集合），考察所有一段在S集合，一段在not T集合中的弧，取 delta = min {l(xi)+l(yj)-w(xi,yj),xi ∈ S, yj ∈ not T} 明顯的，當我們把所有S集合中的l(xi)減少delta之后，一定會有至少一條屬于(S,not T)的邊進入相等子圖，進而可以繼續擴展匈牙利樹，為了保證原來屬于(S,T)的邊不退出相等子圖，把所有在T集合中的點的可行頂標增加delta。
隨后匈牙利樹繼續擴展，如果新加入匈牙利樹的Y節點是未蓋點，那么找到增廣路，否則把該節點的對應的X匹配點加入匈牙利樹繼續嘗試增廣。
復雜度分析：由于在不擴大匹配的情況下每次匈牙利樹做如上調整之后至少增加一個元素，因此最多執行n次就可以找到一條增廣路，最多需要找n條增廣路，故最多執行n^2次修改頂標的操作，而每次修改頂標需要掃描所有弧，這樣修改頂標的復雜度就是O(n^2)的，總的復雜度是O(n^4)的。
事實上我現在看到的幾個版本的實現都是這樣實現的，但是實際效果還不錯，因為這個界通常很難達到。
對于not T的每個元素yj，定義松弛變量slack(yj)= min{l(xi)+l(yj)-w(xi,yj),xi ∈ S}，很明顯的每次的delta=min{slack(yj),yj∈ not T}，每次增廣之后用O(n^2)的時間計算所有點的初始slack，由于生長匈牙利樹的時候每條弧的頂標增量相同，因此修改每個slack需要常數時間（注意在修改頂標后和把已蓋Y節點對應的X節點加入匈牙利樹的時候是需要修改slack的）。這樣修改所有slack值時間是O(n)的，每次增廣后最多修改n次頂標，那么修改頂標的總時間降為O(n^2)，n次增廣的總時間復雜度降為O(n^3)。事實上我這樣實現之后對于大部分的數據可以比O(n^4)的算法快一倍左右。四、二分圖的相關性質
本部分內容主要來自于SRbGa的黑書，因為比較簡單，僅作提示性敘述。
(1)二分圖的最大匹配數等于最小覆蓋數，即求最少的點使得每條邊都至少和其中的一個點相關聯，很顯然直接取最大匹配的一段節點即可。
(2)二分圖的獨立數等于頂點數減去最大匹配數，很顯然的把最大匹配兩端的點都從頂點集中去掉這個時候剩余的點是獨立集，這是|V|-2*|M|，同時必然可以從每條匹配邊的兩端取一個點加入獨立集并且保持其獨立集性質。
(3)DAG的最小路徑覆蓋，將每個點拆點后作最大匹配，結果為n-m，求具體路徑的時候順著匹配邊走就可以，匹配邊i→j',j→k',k→l'....構成一條有向路徑。
五、穩定婚姻問題
穩定婚姻問題是一個很有意思的匹配問題，有n位男士和n位女士，每一個人都對每個異性有一個喜好度的排序，代表對他的喜愛程度，現在希望給每個男士找一個女士作配偶，使得每人恰好有一個異性配偶。如果男士u和女士v不是配偶但喜歡對方的程度都大于喜歡各自當前配偶的程度，則稱他們為一個不穩定對。穩定婚姻問題就是希望找出一個不包含不穩定對的方案。
算法非常簡單，稱為求婚－拒絕算法，每位男士按照自己喜歡程度從高到低依次給每位女士主動求婚直到有一個女士接受他，對于每個女士，如果當前向她求婚的配偶比她現有的配偶好則拋棄當前配偶，否則不予理睬，循環往復直到所有人都有配偶。有趣的是，看起來是女士更有選擇權，但是實際上最后的結果是男士最優的(man-optimal)。
首先說明最后匹配的穩定性，隨著算法的執行，每位女士的配偶越來越好，而每位男士的配偶越來越差。因此假設男士u和女士v形成不穩定對，u一定曾經向v求過婚，但被拒絕。這說明v當時的配偶比u更好，因此算法結束后的配偶一定仍比u好，和不穩定對的定義矛盾，類似的，方式我們考慮最后一個被拋棄的男士和拋棄這位男士的女士，不難得出這個算法一定終止的結論。
如果存在一個穩定匹配使得男士i和女士j配對，則稱(i,j)是穩定對。對于每個男士i，設所有穩定對(i,j)中i 最喜歡的女士為best(i)，則可以證明這里給出的算法對讓每位男士i與best(i)配對。對于所有男士來說，不會有比這更好的結果了，而對于女士則恰恰相反，對于她們來說不會有比這更糟的結果了，因此這個算法是男士最優的。
算法一定得到穩定匹配，并且復雜度顯然是O(n^2)，因為每個男士最多考慮每個女士一次，考慮的時間復雜度是O(1)，當然了，需要作一定的預處理得到這個復雜度。
第二篇：算法總結
算法分析與設計總結報告
71110415 錢玉明
在計算機軟件專業中，算法分析與設計是一門非常重要的課程，很多人為它如癡如醉。很多問題的解決，程序的編寫都要依賴它，在軟件還是面向過程的階段，就有程序=算法+數據結構這個公式。算法的學習對于培養一個人的邏輯思維能力是有極大幫助的，它可以培養我們養成思考分析問題，解決問題的能力。作為IT行業學生，學習算法無疑會增強自己的競爭力，修煉自己的“內功”。
下面我將談談我對這門課程的心得與體會。
一、數學是算法的基礎
經過這門課的學習，我深刻的領悟到數學是一切算法分析與設計的基礎。這門課的很多時間多花在了數學公式定理的引入和證明上。雖然很枯燥，但是有必不可少。我們可以清晰的看到好多算法思路是從這些公式定理中得出來的，尤其是算法性能的分析更是與數學息息相關。其中有幾個定理令我印象深刻。
①主定理
本門課中它主要應用在分治法性能分析上。例如：T(n)=a*T(n/b)+f(n)，它可以看作一個大問題分解為a個子問題，其中子問題的規模為b。而f(n)可看作這些子問題的組合時的消耗。這些可以利用主定理的相關結論進行分析處理。當f(n)量級高于nlogba時，我們可以設法降低子問題組合時的消耗來提高性能。反之我們可以降低nlogba的消耗，即可以擴大問題的規模或者減小子問題的個數。因此主定理可以幫助我們清晰的分析出算法的性能以及如何進行有效的改進。
②隨機算法中的許多定理的運用
在這門課中，我學到了以前從未遇見過的隨機算法，它給予我很大的啟示。隨機算法不隨機，它可通過多次的嘗試來降低它的錯誤率以至于可以忽略不計。這些都不是空穴來風，它是建立在嚴格的定理的證明上。如素數判定定理是個很明顯的例子。它運用了包括費馬小定理在內的各種定理。將這些定理進行有效的組合利用，才得出行之有效的素數判定的定理。尤其是對尋找證據數算法的改進的依據，也是建立在3個定理上。還有檢查字符串是否匹配也是運用了許多定理：指紋的運用，理論出錯率的計算，算法性能的評價也都是建立在數學定理的運用上。
這些算法都給予了我很大啟發，要想學好算法，學好數學是必不可少的。沒有深厚的數學功力作為地基，即使再漂亮的算法框架，代碼實現也只能是根底淺的墻上蘆葦。
二、算法的核心是思想
我們學習這門課不是僅僅掌握那幾個經典算法例子，更重要的是為了學習蘊含在其中的思想方法。為什么呢？舉個例子。有同學曾問我這樣一個問題：1000只瓶子裝滿水，但有一瓶有毒，且毒發期為1個星期。現在用10只老鼠在一個星期內判斷那只瓶子有毒，每只老鼠可以喝多個瓶子的水，每個瓶子可以只喝一點。問如何解決？其實一開始我也一頭霧水，但是他提醒我跟計算機領域相關，我就立馬有了思路，運用二進制。因為計算機的最基本思想就是二進制。所以說，我們不僅要學習算法，更得學習思想方法。
①算法最基本的設計方法包括分治法，動態規劃法，貪心法，周游法，回溯法，分支定界法。我們可利用分治法做快速排序，降低找n個元素中最大元和最小元的量級，降低n位二進制x和y相乘的量級，做Strassen矩陣乘法等等。它的思想就是規模很大的問題分解為規模較小的獨立的子問題，關鍵是子問題要與原問題同類，可以采取平衡法來提高性能。
動態規劃法是把大問題分解為子問題，但是子問題是重復的，后面的問題可以利用前面解決過的問題的結果。如構造最優二叉查找樹，解決矩陣連乘時最小計算次數問題，尋找最長公共子序列等等。
貪心法就是局部最優法，先使局部最優，再依次構造出更大的局部直至整體。如Kruscal最小生成樹算法，求哈夫曼編碼問題。
周游法就是簡單理解就是采取一定的策略遍歷圖中所有的點，典型的應用就是圖中的深度優先搜索(DFS)和廣度優先搜索(BFS)。
回溯法就是就是在滿足一定的條件后就往前走，當走到某步時，發現不滿足條件就退回一步重新選擇新的路線。典型的應用就是8皇后問題，平面點集的凸包問題和0-1背包問題。
分支定界法：它是解決整數規劃問題一種最常用的方法。典型應用就是解決整數規劃問題。
②評價算法性能的方法如平攤分析中的聚集法，會計法和勢能法。聚集法就是把指令分為幾類，計算每一類的消耗，再全部疊加起來。會計法就是計算某個指令時提前將另一個指令的消耗也算進去，以后計算另一個指令時就不必再算了。勢能法計算每一步的勢的變化以及執行這步指令的消耗，再將每一步消耗全部累計。
這幾種方法都是平攤分析法，平攤分析的實質就是總體考慮指令的消耗時間，盡管某些指令的消耗時間很大也可以忽略不計。上述三種方法難易程度差不多，每種方法都有屬于它的難點。如聚集法中如何將指令有效分類，會計法中用什么指令提前計算什么指令的消耗，勢能法中如何選取勢能。因此掌握這些方法原理還不夠，還要學會去應用，在具體的問題中去判斷分析。
三、算法與應用緊密相關
我認為學習算法不能局限于書本上的理論運算，局限于如何提高性能以降低復雜度，我們要將它與實際生活聯系起來。其實算法問題的產生就來自于生活，設計出高效的算法就是為了更好的應用。如尋找最長公共子序列算法可以應用在生物信息學中通過檢測相似DNA片段的相似成分來檢測生物特性的相似性，也可以用來判斷兩個字符串的相近性，這可應用在數據挖掘中。快速傅立葉變換（FFT）可應用在計算多項式相乘上來降低復雜度，脫線min算法就是利用了Union-Find這種結構。還有圖中相關算法，它對于解決網絡流量分配問題起了很大的幫助，等等。
這些應用給了我很大的啟發：因為單純講一個Union-Find算法，即使了解了它的實現原理，遇到具體的實際問題也不知去如何應用。這就要求我們要將自己學到的算法要和實際問題結合起來，不能停留在思想方法階段，要學以致用，做到具體問題具體分析。
四、對計算模型和NP問題的理解
由于對這部分內容不是很理解，所以就粗淺的談一下我的看法。
首先談到計算模型，就不得不提到圖靈計算，他將基本的計算抽象化，造出一個圖靈機，得出了計算的本質。并提出圖靈機可以計算的問題都是可以計算的，否則就是不可計算的。由此引申出一個著名論題：任何合理的計算模型都是相互等價的。它說明了可計算性本身不依賴于任何具體的模型而客觀存在。
NP問題比較復雜，我認為它是制約算法發展的瓶頸，但這也是算法分析的魅力所在。NP問題一般可分為3類，NP-C問題，NP-hard問題以及頑型問題。NP-C它有個特殊的性質，如果存在一個NP-C問題找到一個多項式時間的解法，則所有的NP-C問題都能找到多項式時間解法。如哈密頓回路問題。NP-hard主要是解決最優化問題。它不一定是NP問題。這些問題在規模較小時可以找出精確解，但是規模大時，就因時間太復雜而找不到最優解。此時一般會采用近似算法的解法。頑型問題就是已經證明不可能有多項式時間的算法，如漢諾塔問題。
最后談談對這門課程的建議
①對于這門算法課，我認為應該加強對算法思想方法的學習。所以我建議老師可不可以先拋出問題而不給出答案，講完一章，再發課件。讓我們先思考一會兒，或者給出個獎勵機制，誰能解決這個問題，平時成績加分。這在一定程度上會將強我們思考分析問題的能力。因為我感覺到，一個問題出來，未經過思考就已經知曉它的答案，就沒什么意思，得不到提高，而且也不能加深對問題的思考和理解。下次遇到類似的問題也就沒有什么印象。而且上課讓我們思考，點名回答問題可以一定程度上有效的防止不認真聽課的現象。
②作業安排的不是很恰當。本門課主要安排了三次作業，個人感覺只有第一次作業比較有意思。后面兩次作業只是實現一下偽代碼，沒有太多的技術含量。而且對于培養我們的解決問題的能力也沒有太多的幫助，因為這間接成為了程序設計題，不是算法設計題。
③本門課的時間安排的不太恰當，因為本學期的課程太多，壓力太大。沒有太多的時間去學習這門課程。因為我相信大家都對它感興趣，比較重視，想花功夫，但苦于沒時間。所以可不可以將課程提前一個學期，那時候離散數學也已經學過，且課程的壓力也不是很大。錯開時間的話，我覺得應該能夠更好提高大家算法分析設計的能力。
第三篇：算法總結
算法分塊總結
為備戰2005年11月4日成都一戰，特將已經做過的題目按算法分塊做一個全面詳細的總結，主要突出算法思路，盡量選取有代表性的題目，盡量做到算法的全面性，不漏任何ACM可能涉及的算法思路。算法設計中，時刻都要牢記要減少冗余，要以簡潔高效為追求目標。另外當遇到陌生的問題時，要想方設法進行模型簡化，轉化，轉化成我們熟悉的東西。
圖論模型的應用
分層圖思想的應用：
用此思想可以建立起更簡潔、嚴謹的數學模型，進而很容易得到有效算法。重要的是，新建立的圖有一些很好的性質： 由于層是由復制得到的，所以所有層都非常相似，以至于我們只要在邏輯上分出層的概念即可，根本不用在程序中進行新層的存儲，甚至幾乎不需要花時間去處理。由于層之間的相似性，很多計算結果都是相同的。所以我們只需對這些計算進行一次，把結果存起來，而不需要反復計算。如此看來，雖然看起來圖變大了，但實際上問題的規模并沒有變大。層之間是拓撲有序的。這也就意味著在層之間可以很容易實現遞推等處理，為發現有效算法打下了良好的基礎。
這些特點說明這個分層圖思想還是很有潛力的，尤其是各層有很多公共計算結果這一點，有可能大大消除冗余計算，進而降低算法時間復雜度。二分圖最大及完備匹配的應用： ZOJ place the robots: 二分圖最優匹配的應用：
最大網絡流算法的應用：典型應用就求圖的最小割。最小費用最大流的應用：
容量有上下界的最大流的應用：
歐拉路以及歐拉回路的應用：主要利用求歐拉路的套圈算法。最小生成樹：
求最小生成樹，比較常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。前者借助Fibonacci堆可以使復雜度降為O(Vlog2V+E)，后者一般應用于稀疏圖，其時間復雜度為O(Elog2V)。最小K度限制生成樹：
抽象成數學模型就是：
設G=(V,E,ω)是連通的無向圖，v0 ∈V是特別指定的一個頂點,k為給定的一個正整數。首先考慮邊界情況。先求出問題有解時k 的最小值：把v0點從圖中刪去后，圖中可能會出 現m 個連通分量，而這m 個連通分量必須通過v0來連接，所以，在圖G 的所有生成樹中 dT(v0)≥m。也就是說，當k 首先，將 v0和與之關聯的邊分別從圖中刪去，此時的圖可能不再連通，對各個連通分量，分別求最小生成樹。接著，對于每個連通分量V’，求一點v1，v1∈V’,且ω(v0,v1)=min{ω(v0,v’)|v’∈V’}，則該連通分量通過邊(v1,v0)與v0相連。于是，我們就得到了一個m度限制生成樹，不難證明，這就是最小m度限制生成樹。這一步的時間復雜度為O(Vlog2V+E)我們所求的樹是無根樹，為了解題的簡便，把該樹轉化成以v0為根的有根樹。 假設已經得到了最小p度限制生成樹，如何求最小p+1 度限制生成樹呢？在原先的樹中加入一條與v0相關聯的邊后，必定形成一個環。若想得到一棵p+1 度限制生成樹，需刪去一條在環上的且與v0無關聯的邊。刪去的邊的權值越大，則所得到的生成樹的權值和就越小。動態規劃就有了用武之地。設Best(v)為路徑v0—v上與v0無關聯且權值最大的邊。定義father(v)為v的父結點，動態轉移方程：Best(v)=max(Best(father(v)),(father(v),v))，邊界條件為Best[v0]=-∞，Best[v’]=-∞|(v0,v’)∈E(T)。 狀態共|V|個，狀態轉移的時間復雜度O(1)，所以總的時間復雜度為O(V)。故由最小p度限制生成樹得到最小p+1度限制生成樹的時間復雜度為O(V)。1 先求出最小m度限制生成樹； 2由最小m度限制生成樹得到最小m+1度限制生成樹;3 當dT(v0)=k時停止。 加邊和去邊過程，利用動態規劃優化特別值得注意。 次小生成樹： 加邊和去邊很值得注意。 每加入一條不在樹上的邊，總能形成一個環，只有刪去環上的一條邊，才能保證交換后仍然是生成樹，而刪去邊的權值越大，新得到的生成樹的權值和越小。具體做法： 首先做一步預處理，求出樹上每兩個結點之間的路徑上的權值最大的邊，然后，枚舉圖中不在樹上的邊，有了剛才的預處理，我們就可以用O(1)的時間得到形成的環上的權值最大的邊。如何預處理呢？因為這是一棵樹，所以并不需要什么高深的算法，只要簡單的BFS 即可。 最短路徑的應用： Dijkstra 算法應用： Folyed 算法應用： Bellman-Ford 算法的應用： 差分約束系統的應用： 搜索算法 搜索對象和搜索順序的選取最為重要。一些麻煩題，要注意利用數據有序化，要找一個較優的搜索出發點，凡是能用高效算法的地方盡量爭取用高效算法。基本的遞歸回溯深搜，記憶化搜索，注意剪枝： 廣搜（BFS）的應用： 枚舉思想的應用： ZOJ 1252 island of logic A*算法的應用： IDA*算法的應用，以及跳躍式搜索探索： 限深搜索，限次： 迭代加深搜索： 部分搜索+高效算法（比如二分匹配，動態規劃）： ZOJ milk bottle data: 剪枝優化探索： 可行性剪枝，最優性剪枝，調整搜索順序是常用的優化手段。 動態規劃 動態規劃最重要的就是狀態的選取，以及狀態轉移方程，另外還要考慮高效的預處理（以便更好更快的實現狀態轉移）。最常用的思想就是用枚舉最后一次操作。 狀態壓縮DP，又叫帶集合的動態規劃：題目特點是有一維的維數特別小。類似TSP問題的DP： 狀態劃分比較困難的題目： 樹形DP： 四邊形不等式的應用探索：四邊形不等式通常應用是把O(n^3)復雜度O(n^2) 高檔數據結構的應用 并查集的應用： 巧用并查集中的路徑壓縮思想： 堆的利用： 線段樹的應用： 總結用線段樹解題的方法 根據題目要求將一個區間建成線段樹，一般的題目都需要對坐標離散。建樹時，不要拘泥于線段樹這個名字而只將線段建樹，只要是表示區間，而且區間是由單位元素(可以是一個點、線段、或數組中一個值)組成的，都可以建線段樹；不要拘泥于一維，根據題目要求可以建立面積樹、體積樹等等 樹的每個節點根據題目所需，設置變量記錄要求的值 用樹形結構來維護這些變量：如果是求總數，則是左右兒子總數之和加上本節點的總數，如果要求最值，則是左右兒子的最大值再聯系本區間。利用每次插入、刪除時，都只對O(logL)個節點修改這個特點，在O(logL)的時間內維護修改后相關節點的變量。 在非規則刪除操作和大規模修改數據操作中，要靈活的運用子樹的收縮與葉子節點的釋放，避免重復操作。 Trie的應用：； Trie圖的應用探索： 后綴數組的應用研究： 在字符串處理當中，后綴樹和后綴數組都是非常有力的工具，其中后綴樹了解得比較多，關于后綴數組則很少見于國內的資料。其實后綴數組是后綴樹的一個非常精巧的替代品，它比后綴樹容易編程實現，能夠實現后綴樹的很多功能而時間復雜度也不太遜色，并且，它比后綴樹所占用的空間小很多。 樹狀數組的應用探索：； 計算幾何 掌握基本算法的實現。凸包的應用：； 半平面交算法的應用：； 幾何+模擬類題目：幾何設計好算法，模擬控制好精度。掃描法：； 轉化法：ZOJ 1606 將求所圍的格子數，巧妙的轉化為求多邊形的面積。離散法思想的應用：； 經典算法：找平面上的最近點對。 貪心 矩形切割 二分思想應用 活用經典算法 利用歸并排序算法思想求數列的逆序對數： 利用快速排序算法思想，查詢N個數中的第K小數： 博弈問題 博弈類題目通常用三類解法：第一類推結論； 第二類遞推，找N位置，P位置； 第三類SG函數的應用。第四類極大極小法，甚至配合上αβ剪枝。最難掌握的就是第四類極大極小法。 第一類：推結論。典型題目： 第二類：遞推。典型題目： 比如有向無環圖類型的博弈。在一個有向圖中，我們把選手I有必勝策略的初始位置稱為N位置(Next player winning)，其余的位置被稱為P位置(Previous player winning)。很顯然，P位置和N位置應該具有如下性質： 1． 所有的結束位置都是P位置。 2． 對于每一個N位置，至少存在一種移動可以將棋子移動到一個P位置。3． 對于每一個P位置，它的每一種移動都會將棋子移到一個N位置。 這樣，獲勝的策略就是每次都把棋子移動到一個P位置，因為在一個P位置，你的對手只能將棋子移動到一個N位置，然后你總有一種方法再把棋子移動到一個P位置。一直這樣移動，最后你一定會將棋子移動到一個結束位置（結束位置是P位置），這時你的對手將無法在移動棋子，你便贏得了勝利。 與此同時，得到了這些性質，我們便很容易通過倒退的方法求出哪些位置是P位置，哪些位置是N位置，具體的算法為： 1． 將所有的結束位置標為P位置。 2． 將所有能一步到達P位置的點標為N位置。 3． 找出所有只能到達N位置的點，將它們標為P位置。 4． 如果在第三步中沒有找到新的被標為P位置的點，則算法結束，否則轉到步驟2。這樣我們便確定了所有位置，對于題目給出的任一初始位置，我們都能夠很快確定出是選手I獲勝還是選手II獲勝了。第三類：SG函數的應用。 關于SG函數的基本知識：對于一個有向圖(X, F)來說，SG函數g是一個在X上的函數，并且它返回一個非負整數值，具體定義為 g(x)?min{n?0,n?g(y)對于所有y?F(x)} 1． 對于所有的結束位置x，g(x)= 0。 2． 對于每一個g(x)≠ 0的位置x，在它可以一步到達的位置中至少存在一個位置y使得g(y)= 0。 3．對于每一個g(x)＝ 0的位置x，所有可以由它一步到達的位置y都有g(y)≠ 0。 定理 如果g(xi)是第i個有向圖的SG函數值，i = 1,…,n，那么在由這n個有向圖組成的狀態的SG函數值g(x1,…xn)= g(x1)xor g(x2)xor … xor g(xn) 第四類：極大極小法。 典型題目：ZOJ 1155：Triangle War ZOJ 1993：A Number Game 矩陣妙用 矩陣最基本的妙用就是利用快速乘法O（logn）來求解遞推關系（最基本的就是求Fibonacci數列的某項）和各種圖形變換，以及利用高斯消元法變成階梯矩陣。典型題目： 數學模型舉例 向量思想的應用： UVA 10089：注意降維和向量的規范化 ； 利用復數思想進行向量旋轉。 UVA 10253： 遞推 數代集合 數代集合的思想： ACM ICPC 2002-2003, Northeastern European Region, Northern Subregion 中有一題：Intuitionistic Logic 用枚舉+數代集合思想優化，注意到題中有一句話：“You may assume that the number H = |H| of elements of H?doesn't exceed 100”，這句話告訴我們H的元素個數不會超過100，因此可以考慮用一個數代替一個集合，首先把所有的運算結果都用預處理算出來，到計算的時候只要用O(1)的復雜度就可以完成一次運算。 組合數學 Polya定理則是解決同構染色計數問題的有力工具。 補集轉化思想 ZOJ 單色三角形： 字符串相關 擴展的KMP算法應用：；最長回文串； 最長公共子串； 最長公共前綴； 填充問題 高精度運算 三維空間問題專題 無論什么問題，一旦擴展到三難空間，就變得很有難度了。三維空間的問題，很考代碼實現能力。 其它問題的心得 解決一些判斷同構問題的方法：同構的關鍵在于一一對應，而如果枚舉一一對應的關系，時間復雜度相當的高，利用最小表示，就能把一個事物的本質表示出來。求最小表示時，我們一定要仔細分析，將一切能區分兩個元素的條件都在最小表示中體現，而且又不能主觀的加上其他條件。得到最小表示后，我們往往還要尋求適當的、高效的匹配算法（例如KMP字符匹配之類的），來比較最小表示是否相同，這里常常要將我們熟悉的高效算法進行推廣 源程序代碼： } 一、自然數拆分（遞歸） } #include 二、快速排序（遞歸）int a[100];void spilt(int t)#include spilt(j+1);} } int partitions(int a[],int from,int to)void main(){ { int n,i; int value=a[from];printf(“please enter the number:”); while(from a[from]=a[to]; while(from ++from; a[to]=a[from]; } a[from]=value; return from; } void qsort(int a[],int from,int to){ int pivottag;if(from {pivottag=partitions(a,from,to);qsort(a,from,pivottag-1);qsort(a,pivottag+1,to); } scanf(“%d”,&n); for(i=1;i<=n/2;i++){ a[1]=i;a[2]=n-i;spilt(2); 三、刪數字（貪心） #include int a[11]={3,0,0,0,9,8,1,4,7,5,1}; int k=0,i=0,j; int m; while(i<11) { printf(“%d ”,a[i]); i++;} printf(“n please input delete number:”); 四、全排列（遞歸）#include int i;char temp;if(k==n) for(i=0;i<=3;i++) {printf(“%c ”,a[i]);} else { for(i=k;i<=n;i++) { temp=a[i]; a[i]=a[k]; a[k]=temp; A(a,k+1,n); } } } main(){ int n; char a[4]={'a','b','c','d'},temp; A(a,0,3); getch(); return 0;} 五、多段圖（動態規劃）#include “stdio.h” #define n 12 //圖的頂點數 { while(from scanf(“%d”,&m);for(k=0;k { for(i=0;i<=11-k;i++) { if(a[i]>a[i+1]) { for(j=i;j<10;j++) {a[j]=a[j+1];} break;//滿足條件就跳轉 } } } int quicksort(int a[],int n){ qsort(a,0,n);} } printf(“the change numbers:”); for(i=0;i<11-m;i++) { if(a[i]!=0) { printf(“%d ”,a[i]);} } } #define k 4 //圖的段數 #define MAX 23767 int cost[n][n];//成本值數組 int path[k];//存儲最短路徑的數組 void creatgraph()//創建圖的(成本)鄰接矩陣 { int i,j; for(i=0;i for(j=0;j scanf(“%d”,&cost[i][j]);//獲取成本矩陣數據 } void printgraph()//輸出圖的成本矩陣 { int i,j; printf(“成本矩陣:n”); for(i=0;i { for(j=0;j printf(“%d ”,cost[i][j]); printf(“n”); } } //使用向前遞推算法求多段圖的最短路徑 void FrontPath(){ int i,j,length,temp,v[n],d[n]; for(i=0;i v[i]=0;for(i=n-2;i>=0;i--){ for(length=MAX,j=i+1;j<=n-1;j++) if(cost[i][j]>0 &&(cost[i][j])+v[j] {length=cost[i][j]+v[j];temp=j;} v[i]=length; d[i]=temp; } path[0]=0;//起點 path[k-1]=n-1;//最后的目標 for(i=1;i<=k-2;i++)(path[i])=d[path[i-1]];//將最短路徑存入數組中 } //使用向后遞推算法求多段圖的最短路徑 void BackPath(){ int i,j,length,temp,v[n],d[n]; for(i=0;i for(i=1;i<=n-1;i++) { for(length=MAX,j=i-1;j>=0;j--) if(cost[j][i]>0 &&(cost[j][i])+v[j] {length=cost[j][i]+v[j];temp=j;} v[i]=length; d[i]=temp; } path[0]=0; path[k-1]=n-1; for(i=k-2;i>=1;i--)(path[i])=d[path[i+1]];} //輸出最短路徑序列 void printpath(){ int i; for(i=0;i printf(“%d ”,path[i]);} main(){ freopen(“E:1input.txt”,“r”,stdin); creatgraph(); printgraph(); FrontPath(); printf(“輸出使用向前遞推算法所得的最短路徑:n”); printpath(); printf(“n輸出使用向后遞推算法所得的最短路徑:n”); BackPath(); printpath();printf(“n”);} 六、背包問題（遞歸）int knap(int m, int n){ int x; x=m-mn; if x>0 sign=1; else if x==0 sign=0; else sign=-1; switch(sign){ case 0: knap=1;break; case 1: if(n>1) if knap(m-mn,n-1) knap=1; else knap= knap(m,n-1); else knap=0; case-1: if(n>1) knap= knap(m,n-1); else knap=0; } } 七、8皇后（回溯）#include int i; i=1; while(i if((X[i]==X[k])||(abs(X[i]-X[k])==abs(i-k))) return 0; i++; } return 1;} void Nqueens(int X[N+1]){ int k, i; X[1]=0;k=1; while(k>0){ X[k]=X[k]+1; while((X[k]<=N)&&(!place(k,X))) X[k]=X[k]+1; if(X[k]<=N) if(k==N){ for(i=1;i<=N;i++) printf(“%3d”,X[i]);printf(“n”); } else{ k=k+1; X[k]=0; } else k=k-1; } } void main(){ int n, i; int X[N+1]={0}; clrscr(); Nqueens(X); printf(“The end!”);} 八、圖著色（回溯）#include int j,t; while(1){ nextValue(k); if(X[k]==0) return 0; if(k==(N-1)){ for(t=0;t printf(“%3d”,X[t]); printf(“n”); count++; } else mcoloring(k+1); } } int nextValue(int k){ int j; while(1){ X[k]=(X[k]+1)%(M+1); if(X[k]==0) return 0; for(j=0;j if((GRAPH[k][j]==1)&&(X[k]==X[j])) break; } if(j==N){ return 0; } } } void main(){ int k; clrscr(); k=0; mcoloring(k); printf(“ncount=%dn”,count);} 矩陣鏈乘法（動態規劃）? 符號S[i, j]的意義： 符號S(i, j)表示，使得下列公式右邊取最小值的那個k值 public static void matrixChain(int [ ] p, int [ ][ ] m, int [ ][ ] s) { int n=p.length-1; for(int i = 1;i <= n;i++)m[i][i] = 0; for(int r = 2;r <= n;r++) for(int i = 1;i <= n-r+1;i++){ int j=i+r-1; m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j] = i; for(int k = i+1;k < j;k++){ int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if(t < m[i][j]){ m[i][j] = t; s[i][j] = k;} } } } O的定義： 如果存在兩個正常數c和n0，對于所有的n≥n0時，有： |f(n)|≤c|g(n)|，稱函數f(n)當n充分大時的階比g(n)低，記為 f(n)=O(g(n))。計算時間f(n)的一個上界函數 Ω的定義： 如果存在正常數c和n0，對于所有n≥n0時，有： |f(n)|≥c|g(n)|，則稱函數f(n)當n充分大時下有界，且g(n)是它的一個下界，即f(n)的階不低于g(n)的階。記為： f(n)=Ω(g(n))。Θ的定義： 如果存在正常數c1，c2和n0，對于所有的n>n0，有： c1|g(n)|≤f(n)≤c2|g(n)|，則記f(n)=Θ(g(n))意味著該算法在最好和最壞的情況下計算時間就一個常因子范圍內而言是相同的。(1)多項式時間算法： O(1) (2)指數時間算法： O(2n) Move(n,n+1)(2n+1,2n+2)move(2n-1,2n)(n,n+1)call chess(n-1) 貪心方法基本思想： 貪心算法總是作出在當前看來最好的選擇。也就是說貪心算法并不從整體最優考慮，它所作出的選擇只是在某種意義上的局部最優選擇 所求問題的整體最優解可以通過一系列局部最優的選擇，即貪心選擇來達到。這是貪心算法可行的第一個基本要素，也是貪心算法與動態規劃算法的主要區別。 多段圖： COST[j]=c(j,r)+COST[r]; 回溯法： (假定集合Si的大小是mi)不斷地用修改過的規范函數Pi(x1,…,xi)去測試正在構造中的n-元組的部分向量(x1,…,xi)，看其是否可能導致最優解。如果判定(x1,…,xi)不可能導致最優解，那么就將可能要測試的mi+1…mn個向量略去。約束條件： (1)顯式約束：限定每一個xi只能從給定的集合Si上取值。 (2)解 空 間：對于問題的一個實例，解向量滿足顯式 約束條件的所有多元組，構成了該實例 的一個解空間。 (3)隱式約束：規定解空間中實際上滿足規范函數的元 組，描述了xi必須彼此相關的情況。基本做法： 在問題的解空間樹中，按深度優先策略，從根結點出發搜索解空間樹。算法搜索至解空間樹的任意一點時，先判斷該結點是否包含問題的解：如果肯定不包含，則跳過對該結點為根的子樹的搜索，逐層向其祖先結點回溯；否則，進入該子樹，繼續按深度優先策略搜索。 8皇后問題 約束條件 限界函數： 子集和數問題： 約束條件 限界函數： 回溯法－－術語： 活結點：已生成一個結點而它的所有兒子結點還沒有 全部生成的結點稱為活結點。 E-結點：當前正在生成其兒子結點的活結點叫E-結點。 死結點：不再進一步擴展或其兒子結點已全部生成的結點稱為死結點。 使用限界函數的深度優先節點生成的方法成為回溯法；E-結點一直保持到死為止的狀態生成的方法 稱之為分支限界方法 且用限界函數幫助避免生成不包含答案結點子樹的狀態空間的檢索方法。區別： 分支限界法本質上就是含有剪枝的回溯法，根據遞歸的條件不同，是有不同的時間復雜度的。 回溯法深度優先搜索堆棧或節點的所有子節點被遍歷后才被從棧中彈出找出滿足約束條件的所有解 分支限界法廣度優先或最小消耗優先搜索隊列，優先隊列每個結點只有一次成為活結點的機會找出滿足約束條件下的一個解或特定意義下的最優解 一般如果只考慮時間復雜度二者都是指數級別的 可是因為分支限界法存在著各種剪枝，用起來時間還是很快的int M, W[10],X[10];void sumofsub(int s, int k, int r){ int j; X[k]=1; if(s+W[k]==M){ for(j=1;j<=k;j++) printf(“%d ”,X[j]); printf(“n”); } else if((s+W[k]+W[k+1])<=M){ sumofsub(s+W[k],k+1,r-W[k]); } if((s+r-W[k]>=M)&&(s+W[k+1]<=M)){ X[k]=0; sumofsub(s,k+1,r-W[k]); } } void main(){ M=30; W[1]=15; W[2]=9; W[3]=8; W[4]=7; W[5]=6; W[6]=5; W[7]=4; W[8]=3; W[9]=2; W[10]=1; sumofsub(0,1,60);} P是所有可在多項式時間內用確定算法求解的判定問題的集合。NP是所有可在多項式時間內用不確定算法求解的判定問題的集合 如果可滿足星月化為一個問題L，則此問題L是NP-難度的。如果L是NP難度的且L NP，則此問題是NP-完全的 三級項目設計（論文） 圖像匹配算法的實現及分析 摘要 圖像匹配是計算機視覺和圖像處理領域中非常重要的工作，當我們需要在一副圖像中尋找是否存在一個物體或一個小場景，并確定其位置，這時候我們就應當將具有灰度相關的圖像進行匹配，實現圖像匹配算法，通過計算它們之間的相關系數，確定協方差，進而進行圖像匹配，確定其存在與否，并定位。 關鍵詞：灰度相關;圖像匹配;相關系數；協方差 前言 隨著科技的進步，圖像匹配技術已經成為信息處理領域極為重要和基本的技術。在軍事上，它普遍應用于導彈的地圖/地形匹配制導，飛機的導航等；在民用上，它普遍應用于運載工具自動導航儀，儀表導航，環境導航，環境保護，材料檢測，機器人，交通等。 圖像匹配是指通過一定的匹配算法在兩幅或多幅圖像之間識別同名點，如二維圖像匹配中通過比較目標區和搜索區中相同大小的窗口的相關系數，取搜索區中相關系數最大所對應的窗口中心點作為同名點。其實質是在基元相似性的條件下，運用匹配準則的最佳搜索問題。常見方法有：像素灰度相關匹配，圖像特征匹配等等。圖像匹配是數字圖像處理重要的研究課題之一。 正文 一．圖像匹配方法原理與實現步驟 本項目要求，要用一個較小的圖像，即模板與目標圖像進行比較，以確定在目標圖像中是否存在與該模板相同或相似的區域，若該區域存在，還可確定其位置。下面介紹幾種常見的匹配方法 1.基于圖像特征的配準方法 需要對圖像進行預處理，然后提取圖像中保持不變的特征,如邊緣點、閉區域的中心、線特征、2.基于模型的匹配方法 在計算機視覺領域中的應用非常廣泛，它可以分為剛體形狀匹配和變形模板匹配[4]兩大類。Kass提出的Snake主動輪廓模型是比較典型的自由式變形模板模型。3.基于變換域的匹配的方法 有基于傅立葉變換、基于Gabor變換和基于小波變換的匹配，這些匹配方法對噪聲不敏感，檢測結果不受照度變化影響，可以較好的處理圖像之間的旋轉和尺度變化。 綜合看來：選擇變換域的匹配方法可以較好的進行圖像匹配。 根據相關定理，若f(x,y)和g(x,y)為二維時域函數，那么，定義以下相關運算： f(x,y)?g(x,y)???????????f(???)g(x??,y??)d?d? 式中，?符號表示相關運算。 *??F'f(x,y)?g(x,y)?F(u,v)?G(u,v) 式中，F'表示傅里葉變換，F(u,v)是f(x,y)的傅里葉變換；G(u,v)是g(x,y)的傅里葉變換；G*(u,v)是G(u,v)的共軛。 也就是說，由于相關定理表示兩個物體的相關程度，相關程度越高，說明兩個物體越相似。那么我們根據定理，利用傅里葉變換，對兩個圖像做相關，然后觀察出現的峰值，若峰值越高，表明兩個物體越相似，并確定最高峰值的位置，則可以確定模板圖在目標圖中的位置。根據所給的條件，具體實現步驟如下： 1、制作模板圖和目標圖。根據所給的模板，利用畫圖工具重新制作一個模板圖和目標圖，要求目標圖中間與左上角位置有與模板同樣的圖形，其他位置在畫出另外三個圖形。（如下圖1、2、3） 2、將模板圖與目標圖數字化。即將模板圖與目標圖分別讀入Matlab中，并存入相關矩陣，為了減少計算量，可將兩幅圖的數據矩陣轉換為二值圖像數據矩陣。 3、做傅里葉變換。根據相關定理，時域的相關，等于頻域的乘積。所以要將模板圖與目標圖分別做傅里葉變換，變換的頻域中去。（如下圖4、5） 4、相關。模板圖與目標圖經傅里葉變換后，兩圖所得矩陣數乘，其中目標圖的矩陣要先取共軛，然后經過反傅里葉變換到頻域中去，并利用fftshift函數將低頻部分移到中間去，并將圖形旋轉180度，得到正確的坐標軸，然后觀察出現的五個峰值。（如下圖6） 5、定位。求出相應矩陣中的最大值，根據最大值設置一閾值，找出高于此閾值的坐標，即為模板圖在目標圖中的位置。（如下圖7）二.實現過程舉例 根據上面所述實現步驟，具體實現過程如下 第一步所對應圖形： 模板圖 目標圖 第三步所對應圖形： 圖4 模板圖的傅里葉變換頻譜 圖5 目標圖的傅里葉變換頻譜 第四步所對應的圖形： 圖6 模板圖與目標圖相關后的圖形 第五步所對應的圖形： 圖7 模板圖在目標圖中的位置（最高峰值出現的位置） 三.程序實現 具體實現程序如下： function y=imagePosition()%圖像匹配 %在一目標圖像中，檢測特定模板圖像，并確定其位置 templet=imread('mig25_2.tif');%將模板圖中的數據讀入templet矩陣中 level=graythresh(templet);%設置黑白轉換閥值 bw=im2bw(templet,level);%轉換為二值圖像數據 F=fft2(bw);%對模板圖做快速傅里葉變換 figure,mesh(fftshift(abs(F)));%繪制模板圖經過傅里葉變換后的三維圖 title('模板圖的傅里葉變換頻譜');%圖像題目 target=imread('mig25_3.tif');%將目標圖中的數據讀入target矩陣中 level=graythresh(target);BW=im2bw(target,level);F2=fft2(BW);%對目標圖做快速傅里葉變換 %打開新的圖形窗口，并繪制目標圖經過傅里葉變換后的三維圖 figure,mesh(fftshift(abs(F2)));title('目標圖的傅里葉變換頻譜');%在頻域內用F點乘F2的共軛，相當于在時域內模板圖與目標圖做相關運算 %然后在做反傅里葉變換到時域，用fftshift函數將傅里葉變換的零頻率部分移到數組中間 R=fftshift(abs(ifft2(F.*conj(F2))));R=rot90(R,2);%將R矩陣逆時針旋轉180度，得到正確的坐標圖 figure,mesh(R)%打開新的圖形窗口，并繪制相關后的三維圖，觀察五個峰值 title('兩個圖相關后的頻譜');thresh=max(R(:));%求矩陣R中的最大值 %求矩陣中最大值的所在的數組下標，即圖像中最大峰值的位置 [row col]=find(R>thresh-1);figure,imshow(BW);%顯示原始目標圖 hold on %在當前坐標圖形里添加繪制圖形 %以找到的峰值的坐標為圓心，在原圖上畫圓做標記，即在目標圖上標記模板圖 for i=1:1:length(row)angle=0:0.1:2*pi;%采用極坐標法，其中半徑設為10 plot(10*cos(angle)+col(i),10*sin(angle)+row(i),'LineWidth',3);End 四.結果分析 根據結果顯示在目標圖像中，與模板圖像相同的圖形被圈上了藍圓圈，在相似圖像的位置上有傅里葉函數變換頻譜的峰值，進以證明圖像在此相似度高，圖像匹配。同時定位了相似圖像的位置。通過對圖像的像素的灰度值計算，可以充分利用圖像的所有信息來高精度地區分不同對象，但因此處理的信息量很大，計算復雜度很高。同時不能分辨目標圖片旋轉，拉伸或壓縮后的圖像匹配問題。五.擴展解決方案 現如今為解決計算復雜度很高的問題可以通過SSDA算法，它的匹配精度與理論值相同，相位相關法匹配時間介于SSDA算法和ABS算法二者中間，也存在一個像素的誤差； 為解決不能分辨目標圖片旋轉，拉伸或壓縮后的圖像匹配問題可以使用基于圖像特征的匹配算法，應用圖像邊緣特征和頻域相關相結合的圖像處理技術進行圖像匹配，能夠達到較高精確地定位，具有自動匹配的優點。在帶有旋轉誤差的圖像匹配中，具有較好的穩定性，極大的減少了人為因素帶來的誤差，縮短了匹配時間，匹配效果良好。 這些方法都是進一步不錯的解決圖像匹配問題的方法，在這里不做過多的描述。 結論 1.基于傅立葉變換的匹配，這些匹配方法對噪聲不敏感，檢測結果不受照度變化影響，可以較好的處理圖像之間的旋轉和尺度變化。所以采用此變換方式來進行研究。 2.此匹配方法的優點：對噪聲不敏感，檢測結果不受光照變化影響。有成熟的快速算法并且易于硬件實現。缺點：該方法僅符合存在平移量的劇像間的配準，然而在實際中，圖像間不僅存在平移量的不同，而且還有旋轉角度、縮放尺度等的不同。 3.經過此次三級項目的制作與學習，不僅使我們對圖像匹配算法有了更深的了解和認識，還加強了我們組內成員之間的溝通協作能力，讓我們最感興趣的是大家在一起共同探究，集思廣益，各抒己見，這種形式讓大家的觀點來得更直接、更樸素、更真實。在交流中得到啟發，得到快樂。 參考文獻： 1.西安電子科技大學碩士學位論文“圖像匹配算法研究” 2.哈爾濱工程大學計算機科學與技術學院 “特定圖像的檢測與定位”第四篇：算法總結材料
第五篇：三級項目報告圖像匹配算法的實現及分析
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