第一篇：曲線軌跡方程的求法教案

曲線的軌跡方程的求法

高二年級數(shù)學(xué)組 王莉

一、教學(xué)目標(biāo)

（1）使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方法。（2）通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面知識的能力。

（3）通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法。

2、難點(diǎn)：各種方法的靈活運(yùn)用。

三、教學(xué)工具

（1）教師自制的多媒體課件、三角板，圓規(guī)（2）上課環(huán)境為多媒體大屏幕環(huán)境

四、教學(xué)方法

數(shù)形結(jié)合、合作探究

五、教學(xué)過程

1、高考導(dǎo)向。求的軌跡方程是解析幾何的的基本問題，是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)和重點(diǎn)，近幾年高考試題中以綜合問題出現(xiàn)較多。

2、診測補(bǔ)償

（1）解析幾何要要解決的兩個(gè)基本問題是什么?（2）什么是動(dòng)點(diǎn)的軌跡?（3）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法 有哪些?

3、求曲線方程的步驟：

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P={M︱p（M）}；（3）用坐標(biāo)表示條件p（M）,列出方程f（x,y）=0；（4）化方程f（x,y）=0為最簡形式；（5）說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。

4、求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法（待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法。

題型一 直接法求曲線方程

1、如圖已知F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q，且 解：設(shè)

學(xué)后反思 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系或這些幾何條件簡單明了易于表達(dá)時(shí)，只要將這種關(guān)系“翻譯”成含x、y的等式就能得到曲線的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱之為直接法。題型二 利用定義或待定系數(shù)法求曲線方程

2、已知圓

，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

C1?x?3?: C1及圓

2?y?12 和圓

C2?x?3?：

2?y2?9

動(dòng)圓M同時(shí)與圓

C2相外切.求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。

分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，解: 設(shè)動(dòng)圓M與圓 C1及圓

C2 ,半徑為R，則 由兩圓相切的定義知，這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)

C1、C2的距離的差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M到到

C2 的距離大，C1的距離小），2b?8 其中a=1,c=3,則

y2x??18則其軌跡方程為(x≤-1).2學(xué)后反思

若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以直接根據(jù)定義求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程: 首先要結(jié)合圓錐曲線的定義，分析出曲線的類型，再按定義寫出標(biāo)準(zhǔn)方程。

（例1）題型三 相關(guān)點(diǎn)法求曲線方程

（例2）

3、以原點(diǎn)為圓心，以r=2為半徑的圓，過圓上任意一點(diǎn)p作x軸的垂線，求中點(diǎn)M的軌跡方程。

解：過圓上任意一點(diǎn)p向x軸作垂線，垂足為Q

即 學(xué)后反思

對涉及較多點(diǎn)之間的關(guān)系問題，可先設(shè)出它們各自的坐標(biāo)，并充分利用題設(shè)建立它們之間的相關(guān)關(guān)系；再對它們進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化簡，最后求出所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程.這種根據(jù)已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡方程，求另外一點(diǎn)的軌跡方程的方法稱為代入法或相關(guān)點(diǎn)法.題型四 用參數(shù)法求軌跡方程

2y?4x的頂點(diǎn)O引兩條互相垂直的直線分別與拋物線相交于A、4、過拋物線B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.解： 由題意知，兩直線的斜率都存在.設(shè)直線OA的斜率為k，則OA:y=kx,OB: y??1xk

?y?kx?2y?4x由 ?得1?y??x?k??y2?4x同理由? 得??12?x?2?2?k????k???y?2?1?k????k?? ?設(shè)P(x,y),則

22y?2x??8y?2x?8 由②^2-2×①，得 即2y?2x?8 故線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為學(xué)后反思

本題運(yùn)用了參數(shù)法求軌跡.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t,并用t表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y，從而得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程

??x?f?t???y?g?t? 消去參數(shù)t，便可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.其中應(yīng)

?注意方程的等價(jià)性和參數(shù)t與動(dòng)點(diǎn)P(x,y)關(guān)系的密切性.（練習(xí)1）

（例4）

5、課堂練習(xí)

ABCD?A1B1C1D1中, 是側(cè)面 BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若P到直線 BC1、如圖,正方體

C1D1的距離相等,則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡所在的曲線是()與直線

A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線

2、等腰三角形ABC中，若一腰的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(4,2)、B(－2,0)，A為頂點(diǎn)，求另一腰的一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程。

3、已知一條直線 L和它上方的一點(diǎn)F ,點(diǎn)F到L的距離是2,一條曲線也在L的上方,它上面的每一個(gè)點(diǎn)到 F的距離減去到L的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系,求這條曲線的方程。

6、小結(jié)

求曲線的方程常用的幾種方法

（1）直接法（2）定義法(待定系數(shù)法)（3）相關(guān)點(diǎn)法（4）參數(shù)法

六、作業(yè)

習(xí)題3-4 A 1、2、4 B、2

第二篇：高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)歸納22 軌跡方程的求法教案

高考網(wǎng)

http://www.tmdps.cn

難點(diǎn)22 軌跡方程的求法

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).●難點(diǎn)磁場

(★★★★)已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.●案例探究

［例1］如圖所示，已知P(4，0)是圓x+y=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級題目.知識依托：利用平面幾何的基本知識和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.錯(cuò)解分析：欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題.技巧與方法：對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=(x?4)2?y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0 因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=代入方程x+y－4x－10=0,得

(x?42)?(22

2x?42,y1?y?02, 22y2)?4?2x?42－10=0 整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.［例2］設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000年北京、安徽春招)命題意圖：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級題目.知識依托：直線與拋物線的位置關(guān)系.錯(cuò)解分析：當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)時(shí)，注意對“x1=x2”的討論.技巧與方法：將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系.解法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依題意，有

京翰教育http://www.tmdps.cn/

高考網(wǎng)

http://www.tmdps.cn

???2?y1?4px1?2y?4px2?2?y1y2???1 ?xx2?1?yy?y12??1???xx1?x2?y?yy?y112??x?x1?x1?x2① ② ③ ④ ⑤

①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)若x1≠x2,則有2y1?y2x1?x2

2?2

4py1?y2

⑥

①3②,得y12y2=16px1x2

③代入上式有y1y2=－16p2

⑥代入④，得4py1?y24py1?y2

⑦ ⑧

??xy

⑥代入⑤，得?y?y1x?x1?y?y1x?y12

4p所以4py1?y2?4p(y?y1)4px?y12

即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2

⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)當(dāng)x1=x2時(shí)，AB⊥x軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法二：設(shè)M(x,y)，直線AB的方程為y=kx+b

由OM⊥AB，得k=－

xy

由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0 所以x1x2=bk22,消x,得ky2－4py+4pb=0

京翰教育http://www.tmdps.cn/

高考網(wǎng)

http://www.tmdps.cn 所以y1y2=4pkk4pbk，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2

22所以=－bk,b=－4kp

xy2故y=kx+b=k(x－4p),用k=－

2代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x+y－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).［例3］某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？

命題意圖：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，屬★★★★★級題目.知識依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點(diǎn).錯(cuò)解分析：正確理解題意及正確地將此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是順利解答此題的關(guān)鍵.技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到動(dòng)圓圓心的軌跡方程.解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切.建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5 ∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長軸長2.5的橢圓上，其方程為

16(x?2514)2?2y32=1

①

同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，其方程為(x－12)2+43y2=1

②

3912912,),Q(,?)，∴r=?14141414267由①、②可解得P((914)?(21214)2?37

故所求圓柱的直徑為●錦囊妙計(jì)

cm.求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.(1)直接法

直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.(2)定義法

若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.(3)相關(guān)點(diǎn)法

根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(4)參數(shù)法

若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.京翰教育http://www.tmdps.cn/

高考網(wǎng)

http://www.tmdps.cn 求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（）A.圓

C.雙曲線的一支

x2B.橢圓 D.拋物線

9?y

2.(★★★★)設(shè)A1、A2是橢圓

4=1的長軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為（）A.C.xx292??yy242?1 ?1

B.D.yy292??xx242?1 ?1

949

4二、填空題

3.(★★★★)△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(－－sinB=12a2,0),C（a2,0)，且滿足條件sinCsinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_________.4.(★★★★)高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_________.三、解答題

5.(★★★★)已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線l于點(diǎn)A，又過B、C作⊙O′異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.6.(★★★★)雙曲線

xa22?yb22=1的實(shí)軸為A1A2，點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程.7.(★★★★★)已知雙曲線

xm22?yn22=1(m＞0,n＞0)的頂點(diǎn)為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q.(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)當(dāng)m≠n時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.京翰教育http://www.tmdps.cn/

高考網(wǎng)

http://www.tmdps.cn 8.(★★★★★)已知橢圓

xa22?yb22=1(a＞b＞0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，∠F1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+2a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值.參考答案

難點(diǎn)磁場

解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0).設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn).則由題設(shè)，得|MA||MB|=λ,坐標(biāo)代入，得

(x?a)?y(x?a)?y2222=λ,化簡得

(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸).(2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x+y+22

22a(1??)1??22x+a2=0.點(diǎn)M的軌跡是以

(－a(1??)1??2，0）為圓心，2a?|1??|2為半徑的圓.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a,∴動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓.答案：A 2.解析：設(shè)交點(diǎn)P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共線，∴

y?y0x?x0y?y0x?x0?yx?3yx?3

∵A2、P2、P共線，∴

?

京翰教育http://www.tmdps.cn/

高考網(wǎng)

http://www.tmdps.cn

22解得x0=,y0?x93yx,代入得x09?y04?1,即x29?y24?1

答案：C

二、3.解析：由sinC－sinB=

12sinA,得c－b=

a212a，2∴應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長為,故方程為

16xa2?16y3a22?1(x?a4).答案：16xa22?16y3a22?1(x?a4)

4.解析：設(shè)P(x,y），依題意有4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0

5(x?5)?y22?3(x?5)?y22,化簡得P點(diǎn)軌跡方程為

三、5.解：設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x281?y272=1(y≠0)6.解：設(shè)P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).??x?由條件????x?x0??x(x0??a)?ax0?a?22 得?x?ay0yy??0???1y??ax0?ay?y0??1而點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b(－x)－a(222x?ay22)2=a2b2

化簡得Q點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).7.解：(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0), 則A1P的方程為：y=

y1x1?my1x1?m22(x?m)

①

A2Q的方程為：y=－(x?m)

②

①3②得：y=－

2y12x1?m(x?m)

③

京翰教育http://www.tmdps.cn/

高考網(wǎng)

http://www.tmdps.cn 又因點(diǎn)P在雙曲線上，故

x1m22?y1n22?1,即y1?2nm22(x1?m).22代入③并整理得xm22?yn22=1.此即為M的軌跡方程.(2)當(dāng)m≠n時(shí)，M的軌跡方程是橢圓.(ⅰ)當(dāng)m＞n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±m(xù)?n,0)，準(zhǔn)線方程為x=±

m22m22?n2,離心率e=m?nm22；

22(ⅱ)當(dāng)m＜n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±m(xù)?n),準(zhǔn)線方程為y=±

22n2,離心率

n?me=n?mn22.8.解：(1)∵點(diǎn)F2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q，連接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2| 又因?yàn)閘為∠F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.x1?c?x?0??2又?

y?y?10?2?得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的軌跡方程為：x+y=a(y≠0)(2)如右圖，∵S△AOB=

122

|OA|2|OB|2sinAOB=

12a22sinAOB

當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，S△AOB最大值為|2ak|1?k2a.2此時(shí)弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，?|OC||OA|?|2ak|2?cos45??22,?k??33.a1?k

京翰教育http://www.tmdps.cn/

第三篇：求軌跡方程教案

求軌跡的方程

婁底一中 劉瑞華

教學(xué)目標(biāo)：

1、掌握和熟練運(yùn)用求軌跡方程的常用方法.2、培養(yǎng)思維的靈活性和嚴(yán)密性.3、進(jìn)一步滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：落實(shí)軌跡方程的幾種常規(guī)求法。

難點(diǎn)：教會學(xué)生如何審題，選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ筌壽E的方程。教學(xué)方法：

討論法、類比法． 教具準(zhǔn)備： 多媒體投影． 教學(xué)設(shè)計(jì)：

求曲線的軌跡方程是解析幾何最基本、最重要的課題之一，是用代數(shù)方法研究幾何問題的基礎(chǔ)。這類題目把基本知識、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融于一體，因而也是歷屆高考考查的重要內(nèi)容之一。

一、知識回顧

求曲線軌跡方程的基本步驟

在求曲線的軌跡方程時(shí)，要經(jīng)歷審題、尋找和確定求解途徑、分清解答步驟、逐步推演、綜合陳述、完整作答或給出恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)論等多個(gè)不可缺少的環(huán)節(jié)，其基本步驟是：

（1）建系設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)M(x,y)；

（2）列式：寫出適合條件的點(diǎn)的集合P?MP(M)，關(guān)鍵是根據(jù)條件列出適合條件的等式；

（3）代換：用坐標(biāo)代換幾何等式，列出方程f(x,y)?0；（4）化簡：把方程f(x,y)?0化成最簡形式；

（5）證明：以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。

二、基礎(chǔ)訓(xùn)練

??

1、已知向量OP與OQ是關(guān)于y軸對稱，且2OPOQ?1則點(diǎn)P?x,y?的軌跡方程是____________

2.△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(－則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_________.aa1,0),C(,0)，且滿足條件sinC－sinB=sinA,222x2y2??1上的動(dòng)點(diǎn)，則F1F2P重心的軌跡方程為

3、點(diǎn)P是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓

259___________________.4、已知點(diǎn)P?x,?y滿足x?y?4，則點(diǎn)Q?x,y?x22?的y軌跡方程為_____________________ 解答與分析：

1、y?x?221 方法為：直譯法即是如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量2關(guān)系,則只需直接把這些關(guān)系“翻譯”成x，y的等式，由此得到曲線的方程．

x2y2??1 方法為：定義法就是若動(dòng)點(diǎn)的軌跡的條件符合某一基本軌跡（如：圓，橢2、43圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可以根據(jù)定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

9x2?y2?1?y?0?方法為：代入法就是若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于已知方程的曲線上另一個(gè)動(dòng)3、25點(diǎn)C（x0，y0）運(yùn)動(dòng)時(shí)，找出點(diǎn)P與點(diǎn)C之間的坐標(biāo)關(guān)系式，用（x，y）表示（x0，y0）再將x0，y0代入已知曲線方程，即可得到點(diǎn)P的軌跡方程。

4、y2?2x?4??2?x?2?方法為：所謂參數(shù)法就是在求曲線方程時(shí)，如果動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y關(guān)系不易表達(dá)，可根據(jù)具體題設(shè)條件引進(jìn)一個(gè)（或多個(gè)）中間變量來分別表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y，間接地把x，y的關(guān)系找出來，然后消去參數(shù)即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

小結(jié)：

一、由以上幾個(gè)題目可以看出求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程常用的方法有： 1.直譯法;2.定義法

3.相關(guān)點(diǎn)法（代入法）;4.參數(shù)法

二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程中的注意點(diǎn)：

1.注意方程的純粹性和完備性即不多不少。2.注意平面幾何知識的運(yùn)用。3.注意要求是求軌跡方程還是軌跡

三、例題講解

22例1.已知定點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)Q是圓x＋y＝1的動(dòng)點(diǎn)，∠AOQ的平分線交AQ于M，當(dāng)Q點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。的性質(zhì)，知 分析1：由三角形的內(nèi)角平分線|AM|?2，|MQ||AM||OA|?

|MQ||OQ| 而|OA|?2，|OQ|?1，故 即點(diǎn)M分AQ成比為??2，若設(shè)出M（x，y），則由分點(diǎn)坐標(biāo)公式，可表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，因Q、M為相關(guān)點(diǎn)，（Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)），可采用相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)M的軌跡方程。

解法1：設(shè)M（x，y），由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，得 ∵M(jìn)在AQ上，∴點(diǎn)M分AQ成比為??2，|AM||AO|??2，|MQ||OQ|2?2·x0?x???1?20)若設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，則? 又A(2，0?2·y0?y??1?2?3x?2?x???02 ???y?3y0?2?22而點(diǎn)Q(x0，y0)在圓x2?y2?1上

3x?223y24)?()2?1，化簡，得(x?)2?y2? 22392242 ?點(diǎn)M的軌跡方程為(x?)?y?。

?x0?y0?1，即(性質(zhì)，知 分析2：由三角形的內(nèi)角平分線|AM||AO|??2，|QM||QO| 若過M作MN∥OQ交OA于N，則|AN||AM|??2，|ON||QM|0)，而 從而N(，|MN|? ?23|MN||AM|2??，|OQ|?1，|OQ||AQ|3222|OQ|?為定值，可見動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)N的距離為定值。3332 因此M的軌跡是以N為圓心，半徑為的圓，32242 ?其方程為(x?)?y?，39 而當(dāng)∠AOQ＝180°時(shí)，其角分線為y軸，它與AQ交點(diǎn)為原點(diǎn)O，顯然，該點(diǎn)也滿足上述軌跡方程。

注：此種解法為定義法。例

2、設(shè)過點(diǎn)A?1,0?的直線與拋物線x2?4y交于不同的兩點(diǎn)P,Q，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。

解：法一：設(shè)M?x,y?,P?x1,y1?,Q?x2,y2?，又由已知可設(shè)直線PQ的方程y為：y?k?x?1?，則由

???y?k?x?1?消去??x2?4yy得： x2?4kx?4k?0

?x1?x2?4k,x1x2?4k

x222?y1?x2?x1?x2??2x1x21?y2?4?4?4k2?2k

????x?x1?x2?2k?2消去k得：y?1?x2?x?

?y?y1?y22??2?2k2?2k又直線PQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)

??16k2?16k?0即k?1或k?0

?x?2或x?0?點(diǎn)M的軌跡方程為：y?12?x2?x?,?x?2或x?0?

法二：設(shè)M?x,y?,P?x1,y1?,Q?x2,y2?，由P,Q在拋物線上得

???x21?4y1兩式相減得：??x2?x221?x2??4?y1?y2? 2?4y2變形得x1?x1?y22?4yx?x?4kPQ

12?2x?4kyPQ又kPQ?x?1，消去k12PQ得y?2?x?x?。?又由??y?12?x2?x?得其交點(diǎn)坐標(biāo)為?0,0?,?2,1? ??x2?4yQPoAx因?yàn)橹悬c(diǎn)必須在拋物線內(nèi)，由圖可知x?2或x?0

?點(diǎn)M的軌跡方程為：y?

四、小結(jié)

略。

五、作業(yè)

12x?x?,?x?2或x?0? ?

21、過拋物線x2?4y的焦點(diǎn)的弦PQ的中點(diǎn)的軌跡方程？

2、過點(diǎn)A?1,0?的直線與圓x?y?221交于不同的兩點(diǎn)P,Q則PQ的中點(diǎn)的軌跡方程？ 4

第四篇：高中數(shù)學(xué)曲線和方程教案(改)

各位老師，大家好！

我叫韓楊，今天我說課的課題是《曲線和方程》的第一課時(shí)。下面我將從教材分析、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、教法和學(xué)法、教學(xué)過程和教學(xué)效果等六個(gè)方面加以分析和說明。

一、教材分析

《曲線和方程》是人教版高中數(shù)學(xué)第二冊上冊第七章第五小節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)課的主要內(nèi)容是了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系，學(xué)會求解曲線的方程，因?yàn)閷W(xué)生已有了用方程表示曲線的感性認(rèn)識，特別是二元一次方程表示直線，現(xiàn)在要進(jìn)一步研究平面內(nèi)的曲線和含有兩個(gè)變量的方程之間的關(guān)系，是由直觀表象上升到抽象概念的過程。它既是對前一節(jié)線性規(guī)劃知識的延伸和發(fā)展，也為下一節(jié)圓的方程打下了基礎(chǔ)，起到了承上啟下的作用。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)教學(xué)大綱的要求和高中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以及新課標(biāo)對教育目標(biāo)的定位，我將本節(jié)課的教育目標(biāo)確定為以下三點(diǎn)：

?知識與技能目標(biāo)：初步領(lǐng)會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；學(xué)會根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時(shí)強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。?過程與方法目標(biāo)

（1）通過直線方程的復(fù)習(xí)引入，加強(qiáng)學(xué)生對方程的解和曲線上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系的直觀認(rèn)識；

（2）在形成曲線和方程概念的過程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察，分析，討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，探索出結(jié)論并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)；

（3）能用所學(xué)知識理解新的概念，并能運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，從中體會轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，提高思維品質(zhì)，發(fā)展應(yīng)用意識。

?情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)；課堂中，通過對問題的自主探究，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立意識和獨(dú)立思考能力；在問題逐步深入的研究中喚起學(xué)生追求真理，樂于創(chuàng)新的情感需求，引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲。

三、教學(xué)的重難點(diǎn)

根據(jù)數(shù)學(xué)新課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，我確定本節(jié)課的重點(diǎn)是“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念。為強(qiáng)化其認(rèn)識，決定用集合相等的概念來解釋曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系，并以此為工具來分析實(shí)例，這將有助于學(xué)生的理解，有助于學(xué)生通其法、知其理。

教學(xué)難點(diǎn)是怎樣利用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程。因?yàn)閷W(xué)生在作 業(yè)中容易犯想當(dāng)然的錯(cuò)誤，通常在已知曲線建立方程的時(shí)候，不驗(yàn)證方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上，就斷然得出所求的是曲線的方程。為了突破難點(diǎn)，本節(jié)課將通過例題讓學(xué)生體會“二者”缺一不可的性質(zhì)。四：教法和學(xué)法分析

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科。因此，在教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要“知其所以然”，這也是我小學(xué)數(shù)學(xué)老師經(jīng)常給我們說的一句話。新課標(biāo)指出，學(xué)生是教學(xué)的主體，教師的教應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，以學(xué)生活動(dòng)為主線，在原有知識的基礎(chǔ)上，構(gòu)建新的知識體系。學(xué)是中心，會學(xué)是目的。本節(jié)課主要板書的形式，教給學(xué)生“動(dòng)手畫、動(dòng)腦想、善分析、善總結(jié)”的研討式學(xué)習(xí)方法，教給學(xué)生主動(dòng)思考問題、主動(dòng)解決問題的方法，這樣才能使學(xué)生產(chǎn)生一種成就感，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。五：教學(xué)過程

對于45分鐘的課堂，我做了以下時(shí)間安排: 課題引入約5分鐘，講授新課約20分鐘，練習(xí)鞏固約13分鐘，課堂小結(jié)約5分鐘，作業(yè)布置約2分鐘。

因?yàn)檫€沒有正式的成為老師，沒有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對課堂的時(shí)間把握不是很準(zhǔn)確，所以擬定了時(shí)間安排，希望對教學(xué)過程有所幫助，做到合理安排時(shí)間，下面我從六個(gè)方面介紹一下我的教學(xué)過程。

1、設(shè)置情境——提出課題

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系。所以這節(jié)課首先讓學(xué)生先畫出方程x?y?0表示的直線，借助圖形讓學(xué)生再一次從直觀上深刻體會方程的解與直線上的點(diǎn)一一對應(yīng)關(guān)系。在鞏固已有知識的前提下再提出：對任意曲線和二元方程是否都能建立這種等價(jià)關(guān)系呢？從而引出本節(jié)課的內(nèi)容：曲線和方程。通過提問的方式有助于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)他們強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，給學(xué)生搭建起一個(gè)探究和實(shí)踐的平臺． 2.講授新課

通過前面已經(jīng)學(xué)過的圓、拋物線、再推廣到任意曲線，借助圖形讓學(xué)生體會到對任意曲線的解和方程的解都能建立一一對應(yīng)關(guān)系，從而得出“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義。

問題2：如果概念中的兩點(diǎn)少一點(diǎn)，是否也滿足曲線上的點(diǎn)與方程的解的一一對應(yīng)關(guān)系呢？

通過提問，引導(dǎo)學(xué)生對得到的結(jié)論要給予更多的思考，幫助他們提高認(rèn)識，這也是概念 教學(xué)中學(xué)生理解概念的要點(diǎn)，給學(xué)生較多的時(shí)間互相探究問題和討論解決問題。

找一下不同時(shí)滿足兩個(gè)條件的反例，通過反例的講解，讓學(xué)生自己總結(jié)得出: 要想滿足曲線上的點(diǎn)與方程的解的一一對應(yīng)關(guān)系，概念中的兩點(diǎn)缺一不可。在概念教學(xué)中，通過反例的反襯，常常起著幫助學(xué)生理解概念的作用。

3、練習(xí)鞏固

找一些典型例題讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，做題過程中，要求學(xué)生獨(dú)立思考，抽點(diǎn)幾位學(xué)生到黑板上寫出自己的答題過程，其他學(xué)生也獨(dú)立完成，完成后，再抽點(diǎn)幾個(gè)同學(xué)上臺進(jìn)行檢查，錯(cuò)誤的地方加以修改。這樣既能讓學(xué)生積極參與，增強(qiáng)學(xué)生的注意力，也能對解答中容易出錯(cuò)的地方加深印象。

4、課堂小結(jié)

本節(jié)課通過對實(shí)例的研究，掌握了“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，在領(lǐng)會定義時(shí)，要牢記定義中（1）、（2）兩點(diǎn)缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性。小結(jié)時(shí)才提出“必要性”與“充分性”的問題，使學(xué)生的認(rèn)識再上一個(gè)臺階，另一點(diǎn)意在建立“解析幾何”的基本思想，使之逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的思想。5.布置作業(yè)

書本習(xí)題7.5第2題、第3題、第5題、第6題。

作業(yè)要求：允許學(xué)生對不會做的題目可以不做，但要分析出不會做的癥結(jié)所在，這樣做的目的在于既可以避免抄襲現(xiàn)象的產(chǎn)生，也可以讓學(xué)生自己分析出知識的薄弱點(diǎn)，由被動(dòng)學(xué)習(xí)變成主動(dòng)學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。

6、板書設(shè)計(jì)

力求簡明清楚，重點(diǎn)突出，加深學(xué)生對重點(diǎn)知識的理解和掌握，有利于提高教學(xué)效果。

曲線與方程

公式推導(dǎo) 例題 練習(xí)六．教學(xué)效果分析

本節(jié)課在引導(dǎo)學(xué)生探究的過程中，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知心理過程，重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的參與度、自信心以及獨(dú)立思考能力。教學(xué)過程中注重層次性，對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生多給他們創(chuàng)造機(jī)會，力爭每一個(gè)層次的學(xué)生都能有機(jī)會得到積極的評價(jià)，因?yàn)檫@是讓他們保持自信，愛好數(shù)學(xué)的最佳培養(yǎng)時(shí)機(jī)。

以上是我的教學(xué)設(shè)計(jì)，肯定存在很多不足的地方，但是我一定會積極改進(jìn)，請各位老師批評指正！謝謝！

第五篇：曲線和方程 說課教案

曲線和方程

各位評委：大家好。

我叫xx，來自川師成都學(xué)院，今天我說課的題目是《曲線和方程》第一課時(shí)，我將通過教材分析、教學(xué)目標(biāo)分析、教學(xué)重難點(diǎn)、教法與學(xué)法、課堂設(shè)計(jì)五方面來逐一加以分析和說明。

一、教材分析

《曲線和方程》是人教版高中數(shù)學(xué)第二冊（上冊）第七章第六節(jié)的內(nèi)容。這節(jié)教材揭示了幾何中的形與代數(shù)中的數(shù)相統(tǒng)一的關(guān)系，為“作形判數(shù)”與“就數(shù)論形”的相互轉(zhuǎn)化開辟了途徑，這正體現(xiàn)了解析幾何的基本思想，對解析幾何教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響。從知識上說，曲線與方程的概念是對后面所學(xué)的求出曲線的方程的準(zhǔn)確性來說是很關(guān)鍵的，它在下節(jié)課中起到基礎(chǔ)性的作用，不僅是本節(jié)的重點(diǎn)概念，也是高中學(xué)生較難以理解的一個(gè)概念。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生對概念的理解能力，也為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，對培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力有重要作用，是培養(yǎng)高二學(xué)生的觀察分析能力和邏輯思維能力的重要訓(xùn)練內(nèi)容。

二、教學(xué)目標(biāo) ◆知識目標(biāo)：

1、理解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系；

2、初步領(lǐng)會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；

3、學(xué)會根據(jù)已有的資料找規(guī)律，進(jìn)而分析、判斷、歸納結(jié)論；

4、強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。◆能力目標(biāo)：

1、通過直線方程的引入，加強(qiáng)學(xué)生對方程的解和曲線上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識；

2、在形成曲線和方程的概念的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，探索出結(jié)論，并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)；

3、在構(gòu)建曲線和方程概念的過程中，培養(yǎng)學(xué)生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力、知識遷移能力、合情推理能力，同時(shí)強(qiáng)化“形”與“數(shù)”結(jié)合并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。◆情感目標(biāo)：

1、通過概念的引入，讓學(xué)生感受從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律；

2、通過反例辨析和問題解決，培養(yǎng)合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。

三、教學(xué)重難點(diǎn) 本節(jié)重點(diǎn)：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念 本節(jié)難點(diǎn)：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念并利用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程

重難點(diǎn)突破分析：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念是本節(jié)的重點(diǎn)，本節(jié)課是由幾個(gè)特例上升到抽象概念的過程，學(xué)生容易對定義中為什么要規(guī)定兩個(gè)關(guān)系產(chǎn)生困惑，原因是不理解兩者缺一都將擴(kuò)大概念的外延，也就是曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系的理解透徹問題。由于學(xué)生已經(jīng)具備了用方程表示直線、圓、拋物線等實(shí)際模型，積累了感性認(rèn)識的基礎(chǔ)，所以可用舉反例的方法來解決困惑，通過反例揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾，從而又促使學(xué)生對概念表述的嚴(yán)密性進(jìn)行探索，加強(qiáng)認(rèn)識曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生通其法，知其理。

怎樣利用定義驗(yàn)證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)。通常在由已知曲線建立方程的時(shí)候，不驗(yàn)證方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上，就斷然得出所求的是曲線方程。這種現(xiàn)象在高考中也屢見不鮮。為了突破難點(diǎn)，本節(jié)課通過一個(gè)實(shí)例來展示，由于課標(biāo)只作為了解，在本節(jié)課不要求學(xué)生必須掌握。

四、教法與學(xué)法

教法：探究式教學(xué)是適應(yīng)新課程體系的一種全新教學(xué)模式，因此在我的教學(xué)中，主要采用探究式教學(xué)方法。從實(shí)例、到類比歸納、到推廣的問題探究方式，它對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力都十分有利。啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生得出概念，深化概念，并應(yīng)用它所解決問題去討論、去研究。用舉反例的方法來突破難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生對概念表述的嚴(yán)密性進(jìn)行探索的探究教學(xué)法。在師生互動(dòng)中解決問題，為提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力打下了基礎(chǔ)。同時(shí)結(jié)合多媒體輔助教學(xué)，節(jié)省了板書時(shí)間，增大了信息量，增強(qiáng)了直觀形象性。

學(xué)法：問題探究和啟發(fā)引導(dǎo)式相結(jié)合。本節(jié)屬于概念教學(xué)，可采用以語言傳遞信息、分析概念的講授法。引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，親身實(shí)踐，獨(dú)立思考，合作探究，發(fā)展學(xué)生搜集處理信息的能力，獲取新知識的能力，分析和解決問題的能力，以及交流合作的能力，基于此，本節(jié)課從實(shí)例引入→類比→推廣→得概念→概念挖掘深化→具體應(yīng)用→作業(yè)中的研究性問題的思考，始終讓學(xué)生主動(dòng)參與，親身實(shí)踐，獨(dú)立思考，與合作探究相結(jié)合，在生生合作，師生互動(dòng)中，使學(xué)生真正成為知識的發(fā)現(xiàn)者和知識的研究者。

五、教學(xué)過程

（一）提出課題

師：在本節(jié)課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示，同時(shí)任何一個(gè)二元一次方程也表示著一條直線。讓學(xué)生畫出方程x?y?0表示的直線 ◆思考直線上所有點(diǎn)的集合與方程的解的集合之間的對應(yīng)關(guān)系是怎樣的？（出示幻燈片）

1、直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；

2、以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。

即：直線上所有點(diǎn)的集合與方程的解的集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。

我們就可以說方程x-y=0是表示直線l的方程，直線l是表示方程x-y=0的直線 ◆（引導(dǎo)學(xué)生思考）我們已經(jīng)學(xué)過的還有一些曲線和方程，是否有類似的對應(yīng)關(guān)系？（出示幻燈片，引導(dǎo)學(xué)生類比、推廣并思考相關(guān)問題）類比：（引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生說出曲線上的點(diǎn)與方程的解之間是否也是一一對應(yīng)關(guān)系，注意引導(dǎo)學(xué)生類似上面的表達(dá)方式。）

1、圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；

2、以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上。

即：圓上所有點(diǎn)的集合與方程的解的集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。我們就可以說方程(x?a)2?(y?b)2?r2是表示此圓的方程，圓是表示方程222(x?a)?(y?b)?r的圓。

類似的讓學(xué)生表述出以下的對應(yīng)關(guān)系：

◆推廣：任意的曲線和二元方程是否都能建立這種對應(yīng)關(guān)系呢？ 也即：方程f(x,y)?0的解與曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)具備怎樣的關(guān)系就能用方程f(x,y)?0表示曲線C，同時(shí)曲線C也表示著方程f(x,y)?0？

設(shè)計(jì)目的：運(yùn)用學(xué)生熟知的舊知識引入，再類比和推廣，由特殊到一般地提出了課題，又為形成“曲線和方程”的概念提供了實(shí)際模型。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，所學(xué)的知識只有通過學(xué)生的再創(chuàng)造活動(dòng)，才能納入其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。通過對以前所學(xué)的知識進(jìn)行有意識的引導(dǎo)探究活動(dòng)，得出所要學(xué)的知識，并且學(xué)會類似的表達(dá)，使學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)知識過程和容易接受所要學(xué)的知識，同時(shí)也提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的表達(dá)能力和觀察能力。

（二）通過合情推理，概括形成定義

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面分析曲線上的點(diǎn)與方程的解之間是否是一一對應(yīng)關(guān)系，模仿前面的結(jié)論對“曲線的方程”和“方程的曲線”下這樣的定義：

一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)?0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

⑴曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

⑵以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。

（三）討論歸納給出定義——運(yùn)用反例揭示概念內(nèi)涵

我們在給曲線方程下定義時(shí)，語言表述概念不失概念的嚴(yán)謹(jǐn)性，表述是否正確呢？如果概念中的兩點(diǎn)少一點(diǎn)，是否也滿足曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生對得到的結(jié)論要給予更多的思考，幫助他們提高認(rèn)識，更加深入探索是概念表述的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵是什么。這也是概念教學(xué)中學(xué)生理解概念的要點(diǎn)，突出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，給學(xué)生較多的時(shí)間互相探究問題和討論解決問題，讓學(xué)生對概念的豐富內(nèi)涵有更深的認(rèn)識。

（出示幻燈片，引導(dǎo)學(xué)生探究和思考相關(guān)問題）

◆請同學(xué)們探究下列兩個(gè)圖上曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的對應(yīng)問題：

如圖1：（1）直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是否都滿足方程x-y=0解？

（2）以方程x-y=0解為點(diǎn)的坐標(biāo)是都否直線上？

曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間是否滿足一一對應(yīng)關(guān)系？

圖1 讓學(xué)生探究得出結(jié)論是不符合的是關(guān)系（1）

如圖2：（1）射線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是否都滿足方程x-y=0解？

（2）以方程x-y=0解為點(diǎn)的坐標(biāo)是都否射線上？

曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間是否滿足一一對應(yīng)關(guān)系？ 圖讓學(xué)生探究得出結(jié)論是不符合的是關(guān)系（2）

最后總結(jié)：對“曲線的方程”和“方程的曲線”下的定義兩點(diǎn)關(guān)系的理解是： 關(guān)系（1）說的是曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與這個(gè)方程的解都對應(yīng)。

關(guān)系（2）說的是以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都與曲線上的點(diǎn)對應(yīng)。

兩點(diǎn)合來才說明是曲線上的點(diǎn)與方程的解之間是一一對應(yīng)關(guān)系，二者缺一不可。設(shè)計(jì)目的：讓學(xué)生通過探究以上來兩個(gè)反例對“曲線上的點(diǎn)與方程的解之間是否滿足一一對應(yīng)關(guān)系”，從得出曲線上的點(diǎn)與方程的解之間不滿足一一對應(yīng)關(guān)系。使學(xué)生在探究的過程中提高對概念的理解。

（四）通過練習(xí)應(yīng)用和強(qiáng)化概念的理解（出示幻燈片，給學(xué)生足夠時(shí)間練習(xí)）

1.下列各題中，圖所示的的曲線C的方程為所列方程，對嗎？如果不對，是不符合關(guān)系（1）還是關(guān)系（2）？

2.解答下列問題，并說出各依據(jù)了“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的哪一個(gè)關(guān)系？

⑴點(diǎn)A（3，－4）、B（?25，2）是否在方程x2?y2?25的圓上？ ⑵已知方程為x2?y2?25的圓過點(diǎn)C（7，m），求m的值。

設(shè)計(jì)目的：對曲線與方程的概念的準(zhǔn)確理解是對今后求出準(zhǔn)確的曲線方程有重要作用。因此通過練習(xí)加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用和強(qiáng)化概念的理解，同時(shí)也讓學(xué)生主動(dòng)參與課堂教學(xué)，通過師生互動(dòng)得到答案，了解學(xué)生理解概念的情況 用概念證明的例題講解P35

例1：證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k?0)的軌跡方程是xy??k。

設(shè)計(jì)目的：這為下節(jié)課打下基礎(chǔ)，證明對學(xué)生來說是一個(gè)難度較大的，也是個(gè)難點(diǎn)，課標(biāo)不作為必須掌握的，本節(jié)課只是讓學(xué)生初步了解，提高對概念的應(yīng)用能力 分析：引導(dǎo)學(xué)生思考從概念的兩點(diǎn)出發(fā)去找證明思路：（1）證明軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2）證明方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。證明：（1）設(shè)M(x0,y0)是軌跡上的任意一點(diǎn)，則M與x軸的距離是y0，與y軸的距離是而x0，?x0?y0?k 即(x0,y0)是方程xy??k??k的解。

?k（2）設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)(x1,y1)是方程xyx1的解，則x1y1?，即

x1?y1?k，y1分別是點(diǎn)M1與y軸的距離和x軸的距離，所以點(diǎn)M1到這兩坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k，點(diǎn)M1是曲線上的點(diǎn)。由（1）（2）可知，xy??k是與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k?0)的軌跡方程。

（五）小結(jié)歸納

本節(jié)課我們通過對實(shí)例的探究，理解了“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義，探究定義時(shí)，要記住關(guān)系⑴、⑵兩者缺一不可，其實(shí)質(zhì)是曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間是一一對應(yīng)關(guān)系。它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足了“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性。曲線和方程之間一一對應(yīng)關(guān)系的確立，把曲線與方程統(tǒng)一了起來，在此基礎(chǔ)上，我們就可以更多地用代數(shù)的方法研究幾何問題。讓學(xué)生從知識內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法兩個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)，使學(xué)生對本節(jié)課的知識有一個(gè)清晰的認(rèn)識，對所用到的數(shù)學(xué)方法和涉及的數(shù)學(xué)思想也有體會，使學(xué)生能力得到培養(yǎng)。

（六）布置作業(yè)： 作業(yè)P37練習(xí)1,2 習(xí)題2.1 1

（七）板書設(shè)計(jì)

（有的借助多媒體顯示）

2.1曲線與方程

1．曲線與方程的定義： 例1：

證明： 2.對關(guān)系（1）的理解

對關(guān)系（2）的理解