第一篇：蘇教版小學五年級數學 知識點歸納總結

蘇教版小學五年級數學上冊復習教學知識點歸納總結

第一單元小數乘法

1、小數乘整數（P2、3）：意義——求幾個相同加數的和的簡便運算。如：1.5×3表示1.5的3倍是多少或3個1.5的和的簡便運算。計算方法：先把小數擴大成整數；按整數乘法的法則算出積；再看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。

2、小數乘小數（P4、5）：意義——就是求這個數的幾分之幾是多少。如：1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少。1.5×1.8就是求1.5的1.8倍是多少。

計算方法：先把小數擴大成整數；按整數乘法的法則算出積；再看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。

注意：計算結果中，小數部分末尾的0要去掉，把小數化簡；小數部分位數不夠時，要用0占位。

3、規律（1）（P9）：一個數（0除外）乘大于1的數，積比原來的數大； 一個數（0除外）乘小于1的數，積比原來的數小。

4、求近似數的方法一般有三種：（P10）⑴四舍五入法；⑵進一法；⑶去尾法

5、計算錢數，保留兩位小數，表示計算到分。保留一位小數，表示計算到角。

6、（P11）小數四則運算順序跟整數是一樣的。

7、運算定律和性質：

加法：加法交換律：a+b=b+a 加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法：減法性質：a-b-c=a-(b+c)a-(b-c)=a-b+c 乘法：乘法交換律：a×b=b×a 乘法結合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c【(a-b)×c=a×c-b×c】 除法：除法性質：a÷b÷c=a÷(b×c)第二單元小數除法

8、小數除法的意義：已知兩個因數的積與其中的一個因數，求另一個因數的運算。

如：0.6÷0.3表示已知兩個因數的積0.6與其中的一個因數0.3，求另一個因數的運算。

9、小數除以整數的計算方法（P16）：小數除以整數，按整數除法的方法去除。，商的小數點要和被除數的小數點對齊。整數部分不夠除，商0，點上小數點。如果有余數，要添0再除。

10、（P21）除數是小數的除法的計算方法：先將除數和被除數擴大相同的倍數，使除數變成整數，再按“除數是整數的小數除法”的法則進行計算。

注意：如果被除數的位數不夠，在被除數的末尾用0補足。

11、(P23)在實際應用中，小數除法所得的商也可以根據需要用“四舍五入”法保留一定的小數位數，求出商的近似數。

12、(P24、25)除法中的變化規律：①商不變性質：被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數（0除外），商不變。②除數不變，被除數擴大，商隨著擴大。③被除數不變，除數縮小，商擴大。

13、(P28)循環小數：一個數的小數部分，從某一位起，一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這樣的小數叫做循環小數。循環節：一個循環小數的小數部分，依次不斷重復出現的數字。如6.3232??的循環節是32.14、小數部分的位數是有限的小數，叫做有限小數。小數部分的位數是無限的小數，叫做無限小數。

第三單元觀察物體

15、從不同的角度觀察物體，看到的形狀可能是不同的；觀察長方體或正方體時，從固定位置最多能看到三個面。

第四單元簡易方程

16、（P45）在含有字母的式子里，字母中間的乘號可以記作“·”，也可以省略不寫。

加號、減號除號以及數與數之間的乘號不能省略。

17、a×a可以寫作a·a或a，a 讀作a的平方。2a表示a+a

18、方程：含有未知數的等式稱為方程。

使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。

19、解方程原理：天平平衡。

等式左右兩邊同時加、減、乘、除相同的數（0除外），等式依然成立。20、10個數量關系式：加法：和=加數+加數 一個加數=和-兩一個加數 減法：差=被減數-減數 被減數=差+減數 減數=被減數-差 乘法：積=因數×因數 一個因數=積÷另一個因數

除法：商=被除數÷除數 被除數=商×除數 除數=被除數÷商

21、所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。

22、方程的檢驗過程：方程左邊=??

23、方程的解是一個數；

解方程式一個計算過程。=方程右邊 所以，X=?是方程的解。第五單元多邊形的面積

23、公式：長方形：周長=(長+寬)×2——【長=周長÷2-寬；寬=周長÷2-長】 字母公式：C=(a+b)×2 面積=長×寬 字母公式：S=ab 正方形：周長=邊長×4 字母公式：C=4a 面積=邊長×邊長 字母公式：S=a 3平行四邊形的面積=底×高 字母公式： S=ah 三角形的面積=底×高÷2 ——【底=面積×2÷高；高=面積×2÷底】 字母公式： S=ah÷2 梯形的面積=（上底+下底）×高÷2 字母公式： S=（a+b）h÷2 【上底=面積×2÷高－下底，下底=面積×2÷高-上底； 高=面積×2÷（上底+下底）】

24、平行四邊形面積公式推導：剪拼、平移

25、三角形面積公式推導：旋轉

平行四邊形可以轉化成一個長方形； 兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，長方形的長相當于平行四邊形的底；平行四邊形的底相當于三角形的底；

長方形的寬相當于平行四邊形的高；

平行四邊形的高相當于三角形的高；

長方形的面積等于平行四邊形的面積，平行四邊形的面積等于三角形面積的2倍，因為長方形面積=長×寬，所以平行四邊形面積=底×高。因為平行四邊形面積=底×高，所以三角形面積=底×高÷2

26、梯形面積公式推導：旋轉

27、三角形、梯形的第二種推導方法老師已講，自己看書

兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形，知道就行。

平行四邊形的底相當于梯形的上下底之和；平行四邊形的高相當于梯形的高；平行四邊形面積等于梯形面積的2倍，因為平行四邊形面積=底×高，所以梯形面積=(上底+下底)×高÷2

28、等底等高的平行四邊形面積相等；等底等高的三角形面積相等； 等底等高的平行四邊形面積是三角形面積的2倍。

29、長方形框架拉成平行四邊形，周長不變，面積變小。30、組合圖形：轉化成已學的簡單圖形，通過加、減進行計算。第六單元統計與可能性

31、平均數=總數量÷總份數

32、中位數的優點是不受偏大或偏小數據的影響，用它代表全體數據的一般水平更合適。

第七單元數學廣角

33、數不僅可以用來表示數量和順序，還可以用來編碼。

34、郵政編碼：由6位組成，前2位表示省（直轄市、自治區）0 5 4 0 0 1 前3位表示郵區 前4位表示縣（市）

最后2位表示投遞局

35、身份證碼： 18位 1 3 0 5 2 1 1 9 7 8 0 3 0 1 0 0 1 9 河北省 邢臺市 邢臺縣 出生日期 順序碼 校驗碼 倒數第二位的數字用來表示性別，單數表示男，雙數表示女。

第二篇：蘇教五年級數學考試題

一、解方程

10x = 5.5 x-= x 1.2 = 6

二、填空

1.5和10的最大公因數是，8和9的最小公倍數是。

2.在橫線上填最簡分數。

4厘米 = 米 750克 = 千克 25秒 = 分

3.一個鐘面被分成兩部分(如右圖)，較小部分占整個鐘面的，較大部分占整個鐘面的。

4.一根彩帶被剪成兩段，第一段長7分米，第二段長9分米。第一段的長度占這根彩帶的，第二段的長度是第一段的。

5.1215 = = =

6.根據數量關系列出方程。(不用求解)

(1)上衣單價x元，買8件這樣的上衣一共用去420元。

(2)一班和二班共有100名學生，一班有x名，二班有48名。

(3)樹上原來有x個桃，摘下26個，還剩34個。

7.a是大于1的整數，以a為分母的分數中，最大的真分數是，最小的假分數是。

8.把5米長的繩子平均剪成6段，每段長 米，占全長的。

9.把半徑8厘米的圓平均分成32份，拼成的圖形近似于長方形(如圖)。這個長方形的長 厘米，寬 厘米。

10.把、、分別填入右圖的方框里。

三、選擇合適的答案，在□里畫

1.如果a是一個偶數，下面哪個數和a是相鄰的偶數?

a-1 □ a+2 □ 2a □

2.一張正方形紙連續對折四次后，得到的圖形面積是原來的幾分之幾?

□ □ □

3.一張城市平面圖上，公園位置用數對(4，3)表示，如果少年宮的位置用(3，4)表示，它在公園的什么方向?

北面□西面□

西北面□ 東北面□

4.一道減法算式中的被減數、減數與差相加的和是120，被減數是多少?

120□ 60□ 40□

5.一本書已經看了一半多一些，下面哪個分數適合表示沒有看的占這本書的幾分之幾?

□ □ □

6.兩張正方形硬紙板，一張剪去1個圓，一張剪去4個圓(如圖)。哪一張剩下的廢料多一些?

剪1個圓剩下的多□ 剪4個圓剩下的多□ 剩下的一樣多□

四、畫圖并填空

1.每個方格的邊長表示1厘米，以點(4，9)為圓心畫一個半徑2厘米的圓。

2.如果把這個圓先向右平移7格再向下平移5格，平移后圓心的位置用數對表示是(，)。

五、解決實際問題

1.列方程解答。

(1)水果店五一期間賣出西瓜920千克，比賣出的桃多660千克。賣出桃多少千克?

(2)一個長方形花圃的長15米，面積是120平方米，這個花圃寬多少米?

2.一個超市今年四月份上、中、下旬的營業收入如下表。這個月營業收入超過全月計劃的幾分之幾?

時間上旬中旬下旬完成全月計劃的幾分之幾

3.張蕓自制科技作品，在一張長方形紙上剪下一個半圓形(如)。剪下的半圓形面積是多少平方厘米?

4.一棵樹的樹干直徑是40厘米，一根繩子繞樹10圈后還多出44厘米。這根繩子長多少厘米?

5.學校氣象小組把某星期各天的最高氣溫和最低氣溫制成下面的統計圖。

(1)這個星期的最高氣溫從星期 到星期 保持不變。

(2)星期 的最高氣溫與最低氣溫相差最大，星期 的最高氣溫與最低氣溫相差最小。

(3)這個星期的日平均最低氣溫是多少攝氏度?(得數保留一位小數)

第三篇：魯教版小學五年級數學知識點歸納

小學五年級數學知識點歸納

五年級上冊

知識點概念總結

1.小數乘整數的意義：求幾個相同加數和的簡便運算；一個數乘純小數的意義是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。2.小數乘法法則

先按照整數乘法的計算法則算出積，再看因數中共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點；如果位數不夠，就用“0”補足。3.小數除法

小數除法的意義與整數除法的意義相同，就是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。

4.除數是整數的小數除法計算法則

先按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾仍有余數，就在余數后面添“0”，再繼續除。5.除數是小數的除法計算法則

先移動除數的小數點，使它變成整數，除數的小數點也向右移動幾位（位數不夠的補“0”），然后按照除數是整數的除法法則進行計算。6.積的近似數：

四舍五入是一種精確度的計數保留法，與其他方法本質相同。但特殊之處在于，采用四舍五入，能使被保留部分的與實際值差值不超過最后一位數量級的二分之一：假如0～9等概率出現的話，對大量的被保留數據，這種保留法的誤差總和是最小的。7.數的互化（1）小數化成分數

原來有幾位小數，就在1的后面寫幾個零作分母，把原來的小數去掉小數點作分子，能約分的要約分。

（2）分數化成小數

用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數，有的不能除盡，不能化成有限小數的，一般保留三位小數。

（3）化有限小數

一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，這個分數就能化成有限小數；如果分母中含有2和5 以外的質因數，這個分數就不能化成有限小數。

（4）小數化成百分數

只要把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。

（5）百分數化成小數

把百分數化成小數，只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。

（6）分數化成百分數

通常先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數)，再把小數化成百分數。

（7）百分數化成小數

先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。8.小數的分類

（1）有限小數：小數部分的數位是有限的小數，叫做有限小數。例如： 41.7、25.3、0.23 都是有限小數。

（2）無限小數：小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。例如： 4.33 ?? 3.1415926 ??

（3）無限不循環小數：一個數的小數部分，數字排列無規律且位數無限，這樣的小數叫做無限不循環小數。

（4）循環小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這個數叫做循環小數。例如： 3.555 ?? 0.0333 ?? 12.109109 ??；一個循環小數的小數部分，依次不斷重復出現的數字叫做這個循環小數的循環節。例如： 3.99 ??的循環節是“ 9 ”，0.5454 ??的循環節是“ 54 ”。

9.循環節：如果無限小數的小數點后，從某一位起向右進行到某一位止的一節數字循環出現，首尾銜接，稱這種小數為循環小數，這一節數字稱為循環節。把循環小數寫成個別項與一個無窮等比數列的和的形式后可以化成一個分數。

10.簡易方程：方程ax±b=c（a,b,c是常數）叫做簡易方程。

11.方程：含有未知數的等式叫做方程。（注意方程是等式，又含有未知數，兩者缺一不可）方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符號和已知數組成，它表示未知數。方程是一個等式，在方程里的未知數可以參加運算，并且只有當未知數為特定的數值時，方程才成立。12.方程的解

使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程。13.方程的同解原理：

（1）方程的兩邊都加或減同一個數或同一個等式所得的方程與原方程是同解方程。（2）方程的兩邊同乘或同除同一個不為０的數所得的方程與原方程是同解方程。14.解方程：解方程，求方程的解的過程叫做解方程。15.列方程解應用題的意義：

用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。16.列方程解答應用題的步驟

（1）弄清題意，確定未知數并用x表示；（2）找出題中的數量之間的相等關系；（3）列方程，解方程；（4）檢查或驗算，寫出答案。17.列方程解應用題的方法（1）綜合法

先把應用題中已知數（量）和所設未知數（量）列成有關的代數式，再找出它們之間的等量關系，進而列出方程。這是從部分到整體的一種 思維過程，其思考方向是從已知到未知。

（2）分析法

先找出等量關系，再根據具體建立等量關系的需要，把應用題中已知數（量）和所設的未知數（量）列成有關的代數式進而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知到已知。

18.列方程解應用題的范圍 ：小學范圍內常用方程解的應用題：（1）一般應用題；

（2）和倍、差倍問題；

（3）幾何形體的周長、面積、體積計算；（4）分數、百分數應用題；（5）比和比例應用題。19.平行四邊形的面積公式：

底×高（推導方法如圖）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四邊形面積，則S平行四邊=ah 20.三角形面積公式：

S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所對應的高）21.梯形面積公式

（1）梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2。

用字母表示：（a+b）×h÷2（2）另一計算公式： 中位線×高

用字母表示：l·h（3）對角線互相垂直的梯形：對角線×對角線÷2

擴展資料

1.小數分類

（1）純小數：整數部分是零的小數，叫做純小數。例如： 0.25、0.368 都是純小數。（2）帶小數：整數部分不是零的小數，叫做帶小數。例如： 3.25、5.26 都是帶小數。（3）純循環小數：循環節從小數部分第一位開始的，叫做純循環小數。例如： 3.111?? 0.5656 ??

（4）混循環小數：循環節不是從小數部分第一位開始的，叫做混循環小數。3.1222?? 0.03333??寫循環小數的時候，為了簡便，小數的循環部分只需寫出一個循環節，并在這個循環節的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環 節只有 一個數字，就只在它的上面點一個點。

2.循環節的表示方法

小數化分數分成兩類。

一類：純循環小數化分數，循環節做分子；連寫幾個九作分母，循環節有幾位寫幾個九。

另一類：混循環小數化分數（問題就是這類的），小數部分減去不循環的數字作分子；連寫幾個9再緊接著連寫幾個0作分母，循環節是幾個數就寫幾個9，不循環（小數部分）的數是幾個就寫幾個0。3.平行四邊形的面積

平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值； 4.三角形的面積

(1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所對應的高）

(2)S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC（三個角為∠A∠B∠C，對邊分別為a,b,c，參見三角函數）

(3)S△=abc/(4R)(R是外接圓半徑)(4)S△=[(a+b+c)r]/2(r是內切圓半徑)(5)S△=csinAsinB/2sin(A+B)

五年級下冊

知識點概括總結 1.軸對稱：

如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩側的圖形能夠互相重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形，這時，我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱。對稱軸:折痕所在的這條直線叫做對稱軸。如下圖所示：

2.軸對稱圖形的性質

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點。軸對稱和軸對稱圖形的特性是相同的，對應點到對稱軸的距離都是相等的。3.軸對稱的性質

經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。這樣我們就得到了以下性質：

（1）如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。

（2）類似地，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。（3）線段的垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等。（4）對稱軸是到線段兩端距離相等的點的集合。4.軸對稱圖形的作用

（1）可以通過對稱軸的一邊從而畫出另一邊；（2）可以通過畫對稱軸得出的兩個圖形全等。5.因數

整數B能整除整數A，A叫作B的倍數，B就叫做A的因數或約數。在自然數的范圍內例：在算式6÷2=3中，2、3就是6的因數。6.自然數的因數（舉例）

6的因數有：1和6，2和3。10的因數有：1和10，2和5。15的因數有：1和15，3和5。25的因數有：1和25，5。7.因數的分類

除法里，如果被除數除以除數，所得的商都是自然數而沒有余數，就說被除數是除數的倍數，除數和商是被除數的因數。

我們將一個合數分成幾個質數相乘的形式，這樣的幾個質數叫做這個合數的質因數。

8.倍數：對于整數m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍數。如15能夠被3或5整除，因此15是3的倍數，也是5的倍數。

一個數的倍數有無數個,也就是說一個數的倍數的集合為無限集。注意：不能把一個數單獨叫做倍數，只能說誰是誰的倍數。

9.完全數：完全數又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函數），恰好等于它本身。10.偶數：整數中，能夠被2整除的數，叫做偶數。

11.奇數：整數中，能被2整除的數是偶數，不能被2整除的數是奇數，12.奇數偶數的性質

關于奇數和偶數，有下面的性質：

（1）奇數不會同時是偶數；兩個連續整數中必是一個奇數一個偶數；

（2）奇數跟奇數和是偶數；偶數跟奇數的和是奇數；任意多個偶數的和都是偶數；（3）兩個奇（偶）數的差是偶數；一個偶數與一個奇數的差是奇數；（4）除2外所有的正偶數均為合數；

（5）相鄰偶數最大公約數為2，最小公倍數為它們乘積的一半。（6）奇數的積是奇數；偶數的積是偶數；奇數與偶數的積是偶數；(7)偶數的個位上一定是0、2、4、6、8；奇數的個位上是1、3、5、7、9。13.質數：指在一個大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，沒法被其他自然數整除的數。

14.合數：比1大但不是素數的數稱為合數。1和0既非素數也非合數。合數是由若干個質數相乘而得到的。

質數是合數的基礎，沒有質數就沒有合數。

15.長方體：由六個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫長方體.長方體的任意一個面的對面都與它完全相同。

16.長、寬、高：長方體的每一個矩形都叫做長方體的面，面與面相交的線叫做長方體的棱，三條棱相交的點叫做長方體的頂點，相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。

17.長方體的特征：

(1)長方體有6個面,每個面都是長方形,至少有兩個相對的兩個面完全相同。特殊情況時有兩個面是正方形，其他四個面都是長方形，并且完全相同。

(2)長方體有12條棱，相對的棱長度相等。可分為三組，每一組有4條棱。還可分為四組，每一組有3條棱。

(3)長方體有8個頂點。每個頂點連接三條棱。(4)長方體相鄰的兩條棱互相（相互）垂直。

18.長方體的表面積

因為相對的2個面相等，所以先算上下兩個面，再算前后兩個面，最后算左右兩個面。

設一個長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則它的表面積S： S = 2ab + 2bc+ 2ca = 2(ab + bc + ca)19.長方體的體積

長方體的體積=長×寬×高

設一個長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則它的體積V：

V = abc=Sh 20.長方體的棱長

長方體的棱長之和=（長+寬+高）×4 長方體棱長字母公式C=4(a+b+c)相對的棱長長度相等

長方體棱長分為3組，每組4條棱。每一組的棱長度相等

21.正方體：側面和底面均為正方形的直平行六面體叫正方體，即棱長都相等的六面體，又稱“立方體”、“正六面體”。正方體是特殊的長方體。

22.正方體的特征

（1）有6個面，每個面完全相同。（2）有8個頂點。

（3）有12條棱，每條棱長度相等。（4）相鄰的兩條棱互相（相互）垂直。

23.正方體的表面積：

因為6個面全部相等，所以正方體的表面積＝一個面的面積×6=棱長×棱長×6 設一個正方體的棱長為a，則它的表面積S：

S=6×a×a或等于S=6a2

24.正方體的體積

正方體的體積＝棱長×棱長×棱長；設一個正方體的棱長為a，則它的體積為： V=a×a×a 25.正方體的展開圖

正方體的平面展開圖一共有11種。

26.分數：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫分數。表示這樣的一份的數叫分數單位。

27.分數分類：分數可以分成：真分數，假分數，帶分數，百分數

28.真分數：分子比分母小的分數，叫做真分數。真分數小于一。如：1/2，3/5，8/9等等。真分數一般是在正數的范圍內研究的。

29.假分數：分子大于或者等于分母的分數叫假分數，假分數大于1或等于1.假分數通常可以化為帶分數或整數。如果分子和分母成倍數關系，就可化為整數，如不是倍數關系，則化為帶分數。

30.分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘以或除以一個不為0的數，分數的值不變。

31.約分：把一個分數化成和它相等，但分子、分母都比較小的分數，叫做約分

32.公因數：在兩個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的因數，那么這些因數就叫做它們的公因數。任何兩個自然數都有公因數1.（除零以外）而這些公因數中最大的那個稱為這些正整數的最大公因數。

33.通分：根據分數的基本性質，把幾個異分母分數化成與原來分數相等的且分母相同的分數，叫做通分。

34.通分方法

（1）求出原來幾個分數的分母的最小公倍數

（2）根據分數的基本性質，把原來分數化成以這個最小公倍數為分母的分數 35.公倍數：指在兩個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的倍數，這些倍數就是它們的公倍數。這些公倍數中最小的，稱為這些整數的最小公倍數 36.分數加減法

（1）同分母分數相加減，分母不變，即分數單位不變，分子相加減，最后要化成最簡分數。

（2）異分母分數相加減，先通分，即運用分數的基本性質將異分母分數轉化為同分母分數，改變其分數單位而大小不變，再按同分母分數相加減法去計算，最后要化成最簡分數。

37.統計圖：復式折線統計圖是用一個單位長度表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來，以折線的上升或下降來表示統計數量增減變化。折線統計圖不但可以表示出數量的多少，而且還能夠清楚的表示出數量增減變化的情況。

擴展資料

1.約數與因數區別：

（1）數域不同。約數只能是自然數，而因數可以是任何數。

（2）關系不同。約數是對兩個自然數的整除關系而言，只要兩個數是自然數，就能確定它們之間是否存在約數關系，如：40÷5=8，40能被5整除，5就是40的約數，12÷10=1.2，12不能被10整除，10不是12的約數。因數是兩個或兩個以上的數對它們的乘積關系而言的。如：8×2=16，8和2都是積16的因數，離開乘積算式就沒有因數了。

（3）大小關系不同.當數a是數b的約數時，a不能大于b，當a是b的因數時，a可以大于b，也可以小于b。一般情況下，約數等于因數。2.公因數

兩個或多個非零自然數公有的因數叫做它們的公因數。

兩個數共有的因數里最大的那一個叫做它們的最大公因數。（零除外)其它：1是所有非零自然數的公因數。

兩個成倍數關系的自然數之間，小的那一個數就是這兩個數的最大公因數。3.完全數的由來：

公元前6世紀的畢達哥拉斯是最早研究完全數的人，他已經知道6和28是完全數。畢達哥拉斯曾說：“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身。”不過，或許印度人和希伯來人早就知道它們的存在了。有些《圣經》注釋家認為6和28是上帝創造世界時所用的基本數字，他們指出，創造世界花了六天，二十八天則是月亮繞地球一周的日數。圣·奧古斯丁說：6這個數本身就是完全的，并不因為上帝造物用了六天；事實恰恰相反，因為這個數是一個完全數，所以上帝在六天之內把一切事物都造好了。

4.完全數的性質

（1）它們都能寫成連續自然數之和

例如： 6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7 496=1+2+3+??+30+31（2）每個都是調和數

它們的全部因數的倒數之和都是2，因此每個完全數都是調和數。例如： 1/1+1/2+1/3+1/6=2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2（3）可以表示成連續奇立方數之和

除6以外的完全數，還可以表示成連續奇立方數之和。例如： 28=1+3 496=1+3+5+7 333333

8128=1+3+5+??+15

33550336=1+3+5+??+125+127（4）都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和

5.完全數都是以6或8結尾：如果以8結尾，那么就肯定是以28結尾。3

333

3333

36.各位數字相加直到變成個位數則一定是1 除6以外的完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那么這個個位數一定是1。（亦即：除6以外的完全數，被9除都余1）

7.與質數有關的猜想

（1）哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想大致可以分為兩個猜想（前者稱“強”或“二重哥德巴赫猜想”后者稱“弱”或“三重哥德巴赫猜想”)：

1、每個不小于6的偶數都可以表示為兩個奇素數之和；

2、每個不小于9的奇數都可以表示為三個奇素數之和。（2）黎曼猜想

黎曼猜想是一個困擾數學界多年的難題，最早由德國數學家波恩哈德·黎曼提出，迄今為止仍未有人給出一個令人完全信服的合理證明。即如何證明“關于素數的方程的所有意義的解都在一條直線上”。

此條質數之規律內的質數月經過整形，“關于素數的方程的所有意義的解都在一條直線上”化為球體素數分布。（3）孿生素數猜想

1849年，波林那克提出孿生素數猜想，即猜測存在無窮多對孿生素數。猜想中的“孿生素數”是指一對素數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孿生素數。

10016957和10016959是發生在第333899位序號質數月的中旬[18±1]的孿生素數。8.分數由來

分數在我們中國很早就有了，最初分數的表現形式跟現在不一樣。后來，印度出現了和我國相似的分數表示法。再往后，阿拉伯人發明了分數線，分數的表示法就成為現在這樣了。[1]

200多年前，瑞士數學家歐拉，在《通用算術》一書中說，要想把7米長的一根繩子分成三等份是不可能的，因為找不到一個合適的數來表示它．如果我們把它分成三等份，每份是7/3米．像7/3就是一種新的數，我們把它叫做分數。9.分數乘除法

（1）分數乘整數，分母不變，分子乘整數，最后要化成最簡分數。

（2）分數乘分數，用分子乘分子，用分母乘分母，最后要化成最簡分數。（3）分數除以整數，分母不變，如果分子是整數的倍數，則用分子除以整數，最后要化成最簡分數。

（4）分數除以整數，分母不變，如果分子不是整數的倍數，則用這個分數乘這個整數的倒數，最后要化成最簡分數。

（5）分數除以分數，等于被除數乘除數的倒數，最后不是最簡分數要化成最簡分數。

第四篇：冀教版五年級上冊數學知識點總結

冀教版五年級數學上冊期末重點

第一部分

方向與路線

一、判斷物體方向口訣：

1.找準觀測點。例子：A在B是什么方向，以B為觀測點。

2.判斷方向，一般從南或北說起。3.找角度，角的一條邊在南或北。

二、描述路線要注意：方向和距離。

第二部分 小數乘除法

一、小數點位置的移動引起小數大小的變化

小數點向右移動一位，兩位，三位，原來的數就擴大10倍；100倍；1000倍。

小數點向左移動一位，兩位，三位原來的數就縮小到原來的1/10；1/100；1/1000。小數點向左或者向右移動，位數不夠時，要用“0”補足位。

二、小數乘法

1小數乘法的計算方法：先按照整數乘法的法則算出積，再看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。

2積與因數的關系：

一個數（0除外）乘大于1的數，積比原來的數大。

一個數（0除外）乘小于1的數，積比原來的數小。

三、小數除法

1.除數是整數的小數除法，按照整數除法的法則去除，商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除到被除數的末尾仍有余數，就在余數后面添0再繼續除。

2.一個數除以小數：除數是小數的除法，先移動除數的小數點，使它變成整數，除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也向右移動幾位，（位數不夠的，在被除數末尾用0補足）然后按照除數是整數的小數除法進行計算。3.求商的近似值：

① 用四舍五入法，保留整數，除到第一位小數；保留一位小數，除到第二位小數；保留兩位小數，除到第三位小數……

② 根據具體情況用去尾法或進一法取近似值。

4、循環小數的表示方法有兩種：例4.3232……或4.32 6.商的變化規律：

如果除數是小于1的小數，那么商大于被除數；

如果除數是大于1的小數，那么商小于被除數。

如果被除數比除數小，商就小于1。

四、解決問題

1.商不變的規律：被除數和除數同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。2.小數的性質：在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。3.運算定律

（1）加法交換律： a+b=b+a 加法結合律：（a+b)+c=a+(b+c)（2）乘法交換律： a×b=b×a 乘法結合律：(a×b)×c=a×(b×c)（3）乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c

（4）減法的性質： a-b-c=a-(b+c)除法的性質： a÷b÷c=a÷(b×c)

第四部分 可能性

判斷事情發生的三種情況：可能、一定、不可能。某件事發生的可能性大，并不代表該事件一定發生。

第五部分 混合運算

1.一個算式里，如果只含有同一級運算，要從左到右依次計算。

2.一個算式里，如果含有兩級運算，要先做第二級運算，后做第一級運算。(即先乘、除，后加減)

3.有括號的，要先算括號里面的，再算括號外面的；既有小括號又有中括號的，要先算小括號里面的，再算中括號里面的。

4.會將3-4個分步算式列成綜合算式。（從后往前）

第六部分 多邊形面積

平行四邊形：S=ah

a=S÷h h= S÷a 三角形：Ｓ＝ah÷2

a=2S÷h h= 2S÷a 梯形：S=(a+b)h÷2

a+b=2S÷h h= 2S÷(a+b)等底等高的三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

用四根木條訂成一個長方形，拉伸變成平行四邊，周長不變，高變小，面積變小。

第七部分 土地面積

1、常用的土地面積單位：平方米、公頃。較大的土地面積單位：平方千米。

1平方米 =100平方分米

1平方分米=100平方厘米

邊長100米的正方形，面積是1公頃。邊長1000米的正方形，面積是1平方千米。1公頃=10000平方米

1平方千米=100公頃 1平方千米=1000000平方米 高級單位化低級單位乘進率，低級單位化高級單位除以進率。

2、種植問題。一棵果樹的占地面積=株距×行距

種植棵數=種植面積÷每棵樹的占地面積 種植面積=種植棵數×每棵樹的占地面積

3、常見填空題 我國的國土面積是960萬平方千米。一間教室的面積大概是50平方米。一個足球場（操場）面積大約是1公頃。一個村莊的面積大概是100公頃。一個縣城的面積大概是100平方千米。

第八部分 方程

1.表示相等關系的式子叫做等式。

含有未知數的等式是方程。

2.方程一定是等式；等式不一定是方程。等式>方程

3.等式兩邊同時加上或減去同一個數，等式仍然成立。

等式兩邊同時乘或除以同一個數（除數不能為0），等式仍然成立。

4.解方程要寫解字，會檢驗過程。列方程解應用題要注意寫解設。

第五篇：冀教版五年級下數學知識點總結

冀教版五年級下數學知識點總結

一 圖形的變換

一、軸對稱: ①將圖形沿著一條直線對折，如果直線兩側的部分能完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做它的對稱軸。②找對稱軸方法：用對折的方法找對稱軸。③正方形4條對稱軸，等邊三角形3條對稱軸，等腰三角形1條對稱軸，等腰梯形1條對稱軸，長方形2條對稱軸，圓無數條對稱軸，線段1條對稱軸，角1條對稱軸。④畫軸對稱圖形另一半的方法：

1、找出所給圖形的關鍵點，如圖形的頂點、相交的點、端點等。

2、數出或量出圖形的關鍵點到對稱軸的距離。

3、在對稱軸的另一側找出關鍵點的對稱點。

4、按所給圖形的形狀連接各對稱點，畫出圖形另一半。⑤軸對稱圖形上每對對稱點到對稱軸的距離相等。

二、平移：①平移就是將一個物體或圖形按一定的方向一動一定的距離。②平移后它們的形狀、大小、方向都不改變。③平移2要素：移動的方向和移動的距離。④平移了幾格不是看兩個圖形之間空了幾個方格，而是看對應點或對應線段平移了幾個方格。④畫平移圖形方法：一找：找出圖形關鍵點（或關鍵線段）二數：以關鍵點（關鍵線段）為參照點（參照線段），數出平移的格數。三描：按指定方向和格數把參照點（參照線段）平移到新位置，描出各對應點（或畫出對應線段）。四連：把各對應點按照原圖形順次連接，就得到平移后的圖形。

三、旋轉：①物體繞著某一點運動叫做旋轉。②旋轉的方向：與表針的轉動方向一致的叫做順時針方向，與表針轉動方向相反的叫做逆時針方向。③旋轉三要素：旋轉點：物體旋轉時所繞的點(軸)叫做旋轉點。旋轉方向：順時針和逆時針。旋轉角度：物體旋轉前后，物體對應點與旋轉中心連線的夾角就是旋轉角度。④旋轉的性質：圖形旋轉后，圖形的對應點、對應線段都旋轉相應的角度，對應點到旋轉點的距離相等。⑤旋轉的特征：圖形旋轉后，形狀、大小都沒有變化，只是位置和方向變了。⑥在方格紙上畫簡單圖形旋轉90度后圖形步驟：1.確定旋轉角度的大小和旋轉方向2.確定每對對應點與旋轉中心構成的旋轉角3.確定旋轉后圖形的其他對應點4.順次連接上述各對應點

二、異分母分數加減法

真分數與假分數：

①分數與除法的關系：分數的分子相當于除法里的被除數，分母相當于除法里的除數，分數線相當于除法里的除號，分數的大小（分數的值）相當于除法里的商。區別：分數是一種數，除法是一種

運算。它的關系用字母表示為：

②分子比分母小的分數叫真分數，真分數小于1；分子比分母大（或相等）的分數叫假分數，假分數大于或等于1。

③分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

④最簡分數：分子和分母只有公因數1的分數叫最簡分數。分數化簡包括兩步：一是約分；二是把假分數化成整數或帶分數。

⑤同分數加減法的計算法則：分母不變，把分子相加減。

⑥異分母加減法的計算法則：先通分，再按照同分母加減法的計算法則進行計算。⑦由一個整數（0除外）和一個真分數合成的數叫做帶分數。帶分數大于1。⑧帶分數讀法：“整數部分”又“分數部分”如一又四分之三。

⑨帶分數寫法：先寫整數部分在寫分數部分，分數線與整數中間對齊。

⑩假分數化成帶分數方法：用假分數的分母作帶分數的分母，假分數分子除以分母，商是帶分數的整數部分，余數是分數部分的分子；帶分數化成假分數方法：用帶分數分數部分的分母作假分數的分母，用分母和整數部分的乘積再加上原來的分子作分子。整數化成假分數方法：整數（0除外）都可以化成分母是任意自然數（0除外）的假分數。用指定的分母作假分數分母，用分母和整數的乘積作假分數的分子。分數大小的比較：

①把異分母的分數化成和原來分數相等的同分母的分數，叫做通分

②通分時用兩個分數的分母的最小公倍數作同分母進行通分，計算比較簡便。③當兩個數是倍數關系時，較大的一個數就是這組數的最小公倍數如12和24的最小公倍數是24；當兩個數互為質數或相鄰的自然數時，這組數的最小公倍數是它們的乘積.如7和5的最小公倍數是35；5和6的最小公倍數是30.互質：兩個數的公因數只有1，這兩個數叫做互質。互質的規律：（1）相鄰的自然數互質；（2）相鄰的奇數都是互質數；（3）1和任何數互質；（4）兩個不同的質數互質（5）2和任何奇數互質。④求兩個數的最大公因數和最小公倍數的異同：都是用短除法分解質因數；都是用這兩個數的公有的質因數連續去除（一般是從最小的開始），一直到所得的商互質為止。不同點是：求最大公因數只把所有除數相乘；求最小公倍數把所有的除數和最后的上連乘起來。

分數和小數的互化：

①分數化成小數：分子除以分母，除不盡的一般保留兩位小數。假分數化成小數：分子除以分母，除不盡的一般保留兩位小數；帶分數化成小數：先把帶分數的分數部分化成小數，再加上整數部分；

②小數化成分數：先把一位兩位三位??小數化成分別分母是10，100，1000，??的分數，在約分成最簡分數。整數部分不為0的小數化成分數時，整數部分不為0的小數化成分數時，整數部分不變，只化小數部分，整數部分與小數部分化成的分數合起來即可。③一個最簡分數，如果分母除了2和5之外，還含有其他質因數為因數，這個分數就不能化成有限小數。④常用的分數與小數間的互化。

異分母分數加減法：①異分母分數加減法計算“三字決”----通算約：通：先通分，把異分母分數化成同分母分數；算：按照同分母分數加減方法計算：分母不變，分子相加減；約：結果能約分的要約成最簡分數②分數和小數混合運算：如果分數能化成有限小數，把分數化成有限小數再計算比較簡單；如果分數不能化成有限小數，就必須把小數化成分數再計算。③分子都是

1、分母是兩個相鄰自然數（0除外）的兩個分數相加，這兩個分數的和也是一個分數，和的分母是兩個分母的積，分子是兩個分母的和。分子都是

1、分母是兩個相鄰自然數（0除外）的兩個分數相減，這兩個分數的和也是一個分數，和的分母是兩個分母的積，分子是兩個分母的差。④帶分數加減法: 帶分數相加減，整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的結果合并起來。

分數加減混合運算：①異分母分數連加計算方法：可以按從左到右順序一次相加，也可將所有分數一次性通分，再相加，計算結果要化成最簡分數。②分數加減混合運算：沒有括號的，按從左到右順序依次計算；有括號先算括號里的。簡便計算部分

加法結合律：（a+b）+c=a+(b+c)加法交換律：a+b=b+a減法的性質：從一個數里連續減去兩個數,我們可以減去兩個減數的和,或者交換兩個減數的位置。去括號: 括號前是加號的,去掉括號后,括號內的符號不變號;括號前是減號的,去掉括號后,括號內的符號要變號。a+(b-c)=a+b-c a-(b-c)=a-b+c

三、長方體和正方體

①長方體棱長之和：（長+寬+高）×4 正方體棱長之和：棱長×12 ②長方體表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2 正方體表面積=棱長×棱長×6 ③并不是所有物體都有6個面：

（1）6個面：長方體或正方體：油箱、罐頭盒、紙箱等（2）5個面：長方體或正方體：水池、魚缸等（3）4個面：長方體或正方體：通風管等

④物體截成幾段，增加一個截口就增加2個截面（增加面的個數=截口數×2）

四、分數乘法

一、分數乘整數①分數的意義：求幾個相同加數和的簡便運算。②分數乘整數：分母不變，分子于整數相乘的積作分子。（能約分的要先約分再計算，可使計算簡便。乘得的積要化成最簡分數）③“求一個數的幾分之幾是多少”：（1）：找準單位“1”（2）想出數量關系式：單位“1”x分率=分率對應量（3）根據數量關系列式解答 分數乘分數：①分數乘分數的意義就是求一個數的幾分之幾是多少。②分數乘分數計算方法：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母③先約分再計算，計算結果化成最簡分數。④判斷大小：1）一個數（0除外）乘大于1的數，積大于這個數。2）一個數（0除外）乘小于1的數（0除外），積小于這個數。（3）一個數（0除外）乘1，積等于這個數。混合運算：

①如果只有加減法或乘除法，按從左到右順序依次計算；既有乘除又有加減，先算乘除后算加減，有括號先算括號里的。

②乘法交換律：a×b=b×a 乘法結合律：（a×b）×c=a×（b×c）乘法分配律：（a+b）×c = a×c + b×c 倒數：①倒數的意義： 乘積是1的兩個數互為倒數。1的倒數是1，0沒有倒數。強調：互為倒數，即倒數是兩個數的關系，它們互相依存，倒數不能單獨存在。②（1）a是非0自然數時，它的倒數是1/a.自然數（0和1除外）的倒數都小于它本身。（2）真分數的倒數都大于1.假分數的倒數都大于或等于1。③分數的倒數：交換分子分母的位置即可。

④帶分數的倒數：先化成假分數再交換分子分母位置。

⑤小數的倒數：先化成真分數會假分數，再交換分子分母位置。真分數的倒數大于1；假分數的倒數小于或等于1；帶分數的倒數小于1。

找單位“1”的方法：

（1）從含有分數的關鍵句中找，注意“的”前“比”后的規則。（2）甲比乙多幾分之幾表示甲比乙多的數占乙的幾分之幾，甲比乙少幾分之幾表示甲比乙少數占乙的幾分之幾。（3）“增加”、“提高”、“增產”等蘊含“多”的意思，“減少”、“下降”、“裁員”等蘊含“少”的意思，“相當于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。

（4）當關鍵句中的單位“1”不明顯時，要把關鍵句補充完整,補充成“誰是誰的幾分之幾”或“甲比乙多幾分之幾”、“甲比乙少幾分之幾”的形式。

（5）分率與量要對應。①多的比較量對多的分率； ②少的比較量對少的分率； ③增加的比較量對增加的分率；④減少的比較量對減少的分率；⑤提高的比較量對提高的分率；⑥降低的比較量對降低的分率；⑦工作總量的比較量對工作總量的分率⑧工作效率的比較量對工作效率的分率；⑨部分的比較量對部分的分率 ⑩總量的比較量對總量的分率；

五、長方體和正方體的體積

1、體積和體積單位：①物體所占空間的大小叫做物體的體積。常用的體積單位立方厘米、立方分米、立方米 長方體和正方體的體積：

長方體的體積=長×寬×高 V=abh 正方體的體積=棱長×棱長×棱長V=a3 長方體（或正方體）的體積=底面積×高 V=Sh（計算時一定要先統一單位長度）體積單位之間的進率：

①物體浸沒在水中時，所排開的水的體積就是物體的體積。②高級單位換成低級單位，用高級單位的數乘進率，低級單位換成高級單位，用低級單位的數除以進率。

容積：①一個容器所能容納的物體的體積叫做這個容器的容積。容積的計算方法與體積計算方法相同，但是要從里面測量數據。不是所有物體都有容積。②計算容積一般就用體積單位，液體的容積常用單位是升和毫升也可以寫成L和ml。1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升③同一容器，體積大于容積。

六、分數除法

1、分數除法的意義：乘法： 因數 × 因數 = 積 除法： 積 ÷ 一個因數 = 另一個因數 分數除法與整數除法的意義相同，表示已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。

2、分數除法的計算法則：除以一個不為0的數，等于乘這個數的倒數。將除法轉化為乘法的要點：（1）被除數不變（2）除號變乘號（3）除數變成它的倒數

3、規律（分數除法比較大小時）：（1）、當除數大于1，商小于被除數；（2）、當除數小于1（不等于0），商大于被除數；（3）、當除數等于1，商等于被除數。

（1）一個數（0除外）除以一個真分數，所得的商大于它本身。

（2）一個數（0除外）除以一個假分數，所得的商小于或等于它本身。（3）一個數（0除外）除以一個帶分數，所得的商小于它本身。

除法性質：從一個數里連續除數兩個數,我們可以除以兩個除數的積,或者交換兩個除數的位置。a÷b÷c = a÷(b×c)

a÷b÷c = a÷c÷b

二、分數除法解決問題

（未知單位“1”的量（用除法）： 已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。）

1、數量關系式和分數乘法解決問題中的關系式相同：（1）分率前是“的”： 單位“1”的量×分率=分率對應量（2）分率前是“多或少”的意思： 單位“1”的量×（1加或減分率）=分率對應量

2、解法：（建議：最好用方程解答）（1）方程： 根據數量關系式設未知量為X，用方程解答。（2）算術（用除法）： 分率對應量÷對應分率 = 單位“1”的量

3、求一個數是另一個數的幾分之幾：就用 一個數 ÷ 另一個數

4、求一個數比另一個數多（少）幾分之幾： 兩個數的相差量÷單位“1”的量 或：① 求多幾分之幾：大數÷小數 – 1 ② 求少幾分之幾： 1-小數÷大數

列方程

解方程原理：天平平衡。等式左右兩邊同時加、減、乘、除相同的數（0除外），等式依然成立。10個數量關系式：

加法：和=加數+加數 一個加數=和-兩一個加數 減法：差=被減數-減數 被減數=差+減數 減數=被減數-差 乘法：積=因數×因數 一個因數=積÷另一個因數

除法：商=被除數÷除數 被除數=商×除數 除數=被除數÷商

七折線統計圖

①折線統計圖：用一個單位長度表示一定的數量，根據數據的大小描出各點，然后把各點用線段順次連接起來，這樣的統計圖叫做折線統計圖。②折線統計圖的特點是不僅可以反映數量的多少，還可以反映數量的增減變化情況。③連接兩點的線段越陡，說明變化幅度越大，線段越平緩，說明變化幅度越小。④繪制折線統計圖步驟：先確定橫軸和縱軸，確定單位長度并畫出方格圖，再描點（標上數據）、連線。⑤復式折線統計圖不僅可以看出數量增減變化情況，而且便于對幾組相關數據進行分析比較。⑥復式折線統計圖要用不同折線表示不同類別，要用圖例說明。