第一篇：等腰三角形重難點教學設計

等腰三角形

本周重點、難點分析：

一、等腰三角形的分類討論

等腰三角形是一種特殊而又重要的三角形。它的邊、角的特殊性在處理許多幾何問題中起著關鍵作用，因為等腰三角形的特殊性。我們在處理問題時很多時候需要分類討論。（1）由于題目條件的不確定性導致結果的不唯一

1．已知等腰三角形的一個角為75度，則其頂角為_____________。

分析：等腰三角形的一個角是750這個角可能是頂角，也可能是底角。因此需要分類討論

當等腰三角形的底角是750時，則頂角為300

當等腰三角形的頂角是750 時，也符合題意。

評點 對于等腰三角形，若條件中沒有確定頂角或底角時,應注意分情況討論,再用三角形內角和定理求解。

2．已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長等于_____________。

分析：等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，沒有指明哪個是腰長，哪個是底邊的長，因此要分類討論

當5是等腰三角形的腰長時 那么底邊長就是6 則它的周長等于16

當 6是等腰三角形的腰長時 那么底邊長就是5 則它的周長等于17

這個等腰三角形的周長等于16 或17.評點 對于底和腰不等的等腰三角形 若條件中沒有明確底和腰時應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論

3．若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm 和12cm 兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。

分析：如圖，由于中線分周長為兩部分 并沒有指明哪一部分是9cm

哪一部分是12cm 因此應有兩種情形

設這個等腰三角形的腰長為x cm底邊長為y cm

當腰長是6cm時 底邊長是9cm

當腰長是8cm時 底邊長是5cm

評點 求出來的長不一定能構成三角形 三條邊應滿足三角形三邊關系定理

（2）由于題目條件的畫出圖形的不確定性導致結果的不唯一

4．等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45o,求頂角?

分析：依題意可畫出如圖所示的兩種情形.顯然,易求得左圖中頂角為45o和右圖中的頂角為135o

評點：三角形的高是由三角形的形狀所決定。對于等腰三角形： 當頂角是銳角時，腰上的高在三角形內部。當頂角是鈍角時，腰上的高在三角形外部。

5．在△ABC 中,AB=AC,AB 的中垂線與 AC所在直線相交所得的銳角為50O,則底角為___________。

分析：按照題意我們可以畫出示意圖。可以求得底角是70度或者20度。

評點 右圖，最容易漏掉，求解時一定要認真分析題意，畫出可能的所有圖形，才能正確解題。

（二）等腰三角形是幾何的一塊基石,同學們掌握有關等腰三角形證明中添加輔助線的常用方法.是重要的也是必要的

1、作底邊上的高(或底邊中線或頂角平分線).等腰三角形的性質和判定定理就是通過作這樣的輔助線得證的.1．如圖 1,在 △ABC中, AB = AC, BD⊥AC于 D,求證: ∠BAC = 2∠DBC.分析：要證 ∠BAC = 2∠DBC.可把∠BAC的一半作出來,故可作 ∠BAC的平分線,或作底邊 BC的高，中線都可.給出其中一種證明過程.證明：作 AE ⊥BC,則 ∠2 +∠C = 90° , 2

∵AB = AC，∴∠1 = ∠2 =.∵BD ⊥AC，∴∠DBC + ∠C = 90°.∴∠DBC = ∠2，∴∠BAC = 2∠DBC.結論:等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半.記住這個結論,對于解答填空題、選擇題或判斷題非常有幫助.2、作底邊上的中線

2．如圖 2, △ABC是等腰直角三角形,AB = AC, D是斜邊 BC的中點, E、F分別是AB、AC邊上的點,且 DE⊥DF,若 B E = 12, CF= 5,求 EF的長.分析：B E = 12, CF = 5,想到 AE、AF應該好求,它們剛好又與 EF構成直角三角形

于是由圖的啟發進一步探索AE與 CF的關系連結 AD,不難證得 AE = CF.證明：連結 AD.∵AB = AC, ∠A = 90° , D是斜邊 BC的中點.∴∠1 = ∠C = 45° , AD = CD, AD ⊥CD

∴∠2 + ∠4 = 90°.∵DE ⊥DF，∴∠2 + ∠3 = 90°.∴∠3 = ∠4.∴△DEA ≌△DFC.∴AE = CF = 5，∴AF = B E = 12.∠A = 90°

∴EF = 13.3、平移一腰

3．如圖 3,在 △ABC中, AB = AC,點 F在 AB上,點 E在 AC延長線上, B F = CE,連接EF交 BC于 D,求證:D為 EF中點.分析：要證 D為 EF中點,可證 DF =DE,那么,考慮把 DF、DE放在可能全等的兩個三角形中，故過 F點作 FG∥AC交 BC于 G,或過 E作 AB的平行線交 BC的延長

線于一點都可.現給出其中一種證明.證明：作 FG ∥AC,則

∠1 = ∠2, ∠3 = ∠E, ∠4 = ∠5.∵AB = AC, ∴∠B = ∠2.∴∠B = ∠1, ∴B F = GF.∵B F = CE, ∴GF = CE.∴△GFD ≌△CED.∴FD = ED,即 D為 EF中點.3

4、一般三角形中有二倍角時,構造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的外角或平分二倍角

4．如圖 4,已知在 △ABC中, ∠B =2∠C, AD是 ∠A的平分線,求證:AB + BD =AC.分析:有二倍角,可延長 AB到 E,使 B E= BD,連結 DE,只需證 AE = AC即可.證明：延長 AB到 E使 B E = BD.連結

DE,則 ∠E = ∠3.∴∠4 = 2∠E.∵∠4 = 2∠C, ∴∠E = ∠C.∵AD是 ∠A的平分線，∴∠1 = ∠2,又 AD = AD，∴△AED ≌△ACD，∴AE = AC.∴AB + BD = AB +B E = AC.5、將等腰三角形轉化成等邊三角形

5．如圖 5, △DBE是等邊三角形,點 A在 B E延長線上,點 C在BD延長線上,且AD =AC,求證:DE +DC = AE.分析：要證 AE = DE +DC,由于 DE =BD故要證 AE = BC.題中現有條件無法證明

這個結論,若延長 BC至 F,使 CF = B E,連接AF,則出現△ACF ≌△ADB.故 AF = AB,又 ∠B = 60° ,從而 △AB F為等邊三角形，故 AB = B F,又 AB = AE + B E，B F = BC +CF, B E = CF,故 AE = BC,命題得證.證明：延長 BC至 F,使 CF = B E.連接 AF.∵AC = AD，∴∠ACD = ∠ADC，∴∠ADB = ∠ACF.∵△BDE為等邊三角形，∴∠B = 60° , BD = B E = DE = CF.又 ∵AD = AC，∴△ABD≌△AFC, ∴AF = AB.又 ∵∠B = 60° ，∴△AB F為等邊三角形，∴AB = B F.由等量代替得:

AE = ABCF

= BD +DC = DE +DC 4

第二篇：鹿邑教學設計重難點

篇一：河南省鹿邑縣清水河治理工程設計分析

河南省鹿邑縣清水河治理工程設計分析

摘要：清水河屬淮河渦河水系，是周口市東部地區的一條重要排水河道。近年來河道排澇能力逐年降低，河道現有排澇能力不足5年一遇設計流量，防洪能力不足20年一遇設計流量。致使該流域每當遇到較大洪水年份，常造成嚴重的洪澇災害。項目的實施，能保護清水河沿岸4個鄉7個行政村，2.6萬人口、3.63萬畝農田。

關鍵詞： 清水河；治理工程、設計分析 1.工程概況 1.1工程現狀

清水河本次治理段總長18.56km，屬平原河道，河道平均比降1/6000；河槽寬度上至下游寬度不一，由于河道上有2處節制閘，河槽內常年有水，河槽表層為淤泥質土，灘地上大多種植雜草，樹木、耕地；現狀河道兩岸均有連續的堤防，堤頂有土路，堤后為大片耕地；臨河有9處人口較為稠密的村莊，清水河兩岸分布有4個鄉7個行政村。河道在流經村莊處受人類活動影響較大，灘地內有違章建筑及任意堆放建筑、生活垃圾，特別是生產橋上下游，侵占河道現象尤為嚴重；，河道內有13座橋梁，現狀生產橋兩岸伸入河道8m~12m；鹿辛運河上游2條較大排澇溝均無溝口閘涵控制。1.2存在問題

（1）河道防洪、除澇標準低

清水河1958年治理以來一直未再系統治理。由于年久失修，現河道淤積嚴重，河底淤積深度普遍超過1m，河道排澇能力逐年降低，河道現有排澇能力不足5年一遇設計流量，防洪標準不足20年一遇。

（2）沿河支溝缺少溝口涵閘，現有涵閘結構老化、損毀嚴重

清水河本次治理段九龍口處兩條較大的支溝王莊溝、沈宋溝，均無溝口涵閘，汛期洪水倒灌，嚴重威脅著兩岸居民的生產、生活。

（3）橋梁荷載標準低、阻水、損毀嚴重

清水河本次治理段內的生產橋現有荷載標準低，都在汽-10級以下。現存在主要問題是：①阻水嚴重：橋兩岸的橋臺磚墩共深入河道8m~12m，這些橋梁已成為一個個的卡口段，嚴重阻礙河道行洪；②損毀嚴重：這些橋梁均存在橋板斷裂、漏筋、彎曲變形、橋頭八字墻部分坍塌、磚風化剝落嚴重現象；③基礎埋深淺：其中有6座基礎為磚墩，橋下土質基礎為輕粉質壤土，承載力較低。

篇二：(呂鈞偉)一次函數教學設計

《 一次函數》的教學設計

鹿邑縣生鐵冢鄉第二初級中學

呂鈞偉 二0一五年五月 《 一次函數》

一、教學目標 1.教學知識點

掌握一次函數解析式的特點及意義,知道一次函數與正比例函數關系,理解一次函

數圖象特征與解析式的聯系規律,會用簡單方法畫一次函數圖象。2.能力訓練要求

通過類比的方法學習一次函數，體會數學研究方法多樣性,利用數形結合思想，進一步分析一次函數與正比例函數的聯系，從而提高比較鑒別能力．

3、情感態度與價值觀

通過畫函數圖象體驗數與形的內在聯系，感受函數圖象的簡潔美。

二、教學重難點

重點： 一次函數解析式特點，一次函數圖象特征與解析式聯系規律，一次函數圖象的畫法． 難點： 一次函數與正比例函數關系，一次函數圖象特征與解析式的聯系規律．

三、教學方法

用類比的方法降低新知識的難度，促進知識之間的聯系，利用數形結合思想，進一

步分析一次函數與正比例函數的聯系。整個過程就是合作─探究，總結─歸納．

四、學法指導

利用學生描點作圖經歷體驗并發現問題，分析問題和進一步歸納總結，讓學生在探索中體驗知識的生活過程，培養學生獨立思考能力，閱讀能力和自主探究的學習習慣

五、教學工具：多媒體演示．

六、教學過程

ⅰ．提出問題，創設情境

當然，這個函數也可表示為： y=-6x+15（x≥0）

當登山隊員由大本營向上登高0．5km時，他們所在位置氣溫就是x=0．5時函數y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）．

這個函數與我們上節所學的正比例函數有何不同？它的圖象又具備什么特征？我們這節課將學習這些問題． ⅱ．導入新課

我們先來研究下列變量間的對應關系可用怎樣的函數表示？它們又有什么共同特點？ １．有人發現，在20～25℃時蟋蟀每分鐘鳴叫次數c與溫度t（℃）有關，即c?的值約是t的7倍與35的差．

２．一種計算成年人標準體重g（kg）的方法是，以厘米為單位量出身高值h減常數105，所得差是g的值．

３．某城市的市內電話的月收費額y（元）包括：月租費22元，撥打電話x分的計時費（按0．01元／分收取）．

４．把一個長10cm，寬5cm的矩形的長減少xcm，寬不變，矩形面積y（cm2）隨x的值而變化．

這些問題的函數解析式分別為： １．c=7t-35．２．g=h-105． ３．y=0．01x+22．４．y=-5x+50．

它們的形式與y=-6x+15一樣，函數的形式都是自變量x的k倍與一個常數的和． 如果我們用b來表示這個常數的話．?這些函數形式就可以寫成： y=kx+b（k≠0）一般地，形如y=kx+b（k、b是常數，k≠0?）的函數，?叫做一次函數（?linearfunction）．當b=0時，y=kx+b即y=kx．所以說正比例函數是一種特殊的一次函數．例1 下列哪些函數是一次函數，哪些又是正比例函數.?7(1)y??3x?4;(2)y?；

x(3)y?9x；(4)y?4x2?1；(5)m?2x?6.練習：

１．下列函數中哪些是一次函數，哪些又是正比例函數？ ?8（1）y=-8x．（2）y=x．

（3）y=5x2+6．（3）y=-0．5x-1．

２．一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動，其速度每秒增加２米．（1）一個小球速度v隨時間t變化的函數關系．它是一次函數嗎？（2）求第2．5秒時小球的速度．

３．汽車油箱中原有油50升，如果行駛中每小時用油5升，求油箱中的油量y（升）隨行駛時間x（時）變化的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．y是x的一次函數嗎？ 解答： １．（1）（4）是一次函數；（1）又是正比例函數． ２．（1）v=2t，它是一次函數．（2）當t=2．5時，v＝2×2．5=5 所以第2．5秒時小球速度為5米／秒． ３．函數解析式：y=50-5x 自變量取值范圍：0≤x≤10 y是x的一次函數． [活動一] 活動內容設計：

畫出函數y=x,y=x+2與y=x-2的圖象．并比較兩個函數圖象，探究它們的聯系及解釋原因．

活動設計意圖： 通過活動，加深對一次函數與正比例函數關系的理解，認清一次函數圖象特征與解析式聯系規律． 教師活動：

引導學生從圖象形狀，傾斜程度及與y軸交點坐標上比較兩個圖象，?從而認識兩個圖象的平移關系，進而了解解析式中k、b在圖象中的意義，體會數形結合在實際中的表現． 學生活動：

引導學生從圖象形狀，傾斜程度及與y軸交點坐標上比較兩個圖象，?從而認識兩個圖象的平移關系，進而了解解析式中k、b在圖象中的意義，體會數形結合在實際中的表現． 比較上面兩個函數的圖象的相同點與不同點。

結果：這兩個函數的圖象形狀都是______,并且傾斜程度_______.函數 y=x的圖象經過原點,函數 y=x+2的圖象與 y軸交于點_______,即它可以看作由直線y=x 向_平移__個單位長度而得到.函數 y=x-2的圖象與 y軸交于點_______,即它可以看作由直線y=x 向_平移__個單位長度而得到.比較三個函數解析式,試解釋這是為什么.猜想：一次函數y=kx+b的圖象是什么形狀，它與直線y=kx有什么關系？

結論：一次函數y=kx+b的圖象是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線 y=kx平移b絕對值個單位長度而得到（當b＞0時，向上平移；當b＜ 0時，向下平移）。

你會畫出函數y=2x-1與 y=x+1 的圖象嗎？ y=2x-1的圖象是經過點(0，-1)和點(1，1)的直線，y=x+1 是經過點(0，1)點(1，2)的直線。

注意：圖象與y軸交于(0，b)，b就是與y軸交點的縱坐標，正在原點上、負在原點下。[活動二] 活動內容設計： 畫出函數y=x+

1、y=-x+

1、y=2x+

1、y=-2x+1的圖象．由它們聯想：一次函數解析式y=kx+b（k、b是常數，k≠0）中，k的正負對函數圖象有什么影響？ 活動設計意圖：

通過活動，熟悉一次函數圖象畫法．經歷觀察發現圖象的規律，并根據它歸納總結出關于數值大小的性質．體會數形結合的探究方法在數學中的重要性，進而認識理解一次函數圖象特征與解析式聯系． 目的：

引導學生從函數圖象特征入手，尋求變量數值變化規律與解析式中k?值的聯系． 結論： 圖象：

規律：

當k>0時，直線y=kx+b由左至右上升；當k<0時，直線y=kx+b由左至右下降． 性質：

當k>0時，y隨x增大而增大． 當k<0時，y隨x增大而減小． 隨堂練習

（1)下列函數中，y的值隨x值的增大而增大的函數是________.a.y=-2x b.y=-2x+1 c.y=x-2 d.y=-x-2(2)直線y=3x-2可由直線y=3x向平移單位得到。(3)直線y=x+2可由直線y=x-1向平移單位得到。4）對于函數y=5x+6,y的值隨x的值減小而______。5）函數y=2x－1經過 象限

（6）函數y=2x-4與y軸的交點為（），與x軸交于（）讓學生談收獲

1、怎樣的函數是一次函數？

一般地，形如y=kx+b(k,b是常數，k≠0)的函數，叫做一次函數。當b=0時，y=kx+b就變成了y=kx,所以說正比例函數是一種特殊的一次函數。

2、一次函數的簡單應用。

3、會畫一次函數的圖象

4、一次函數的圖象與性質，常數k，b的意義和作用 作業：

1、課本120頁習題3、5；

2、完成本節課的配套練習篇三：鶴群教案

《鶴群》

單位： 鹿邑縣老君臺中學 姓名： 孫 春 花

時間：2012年4月8日 鶴群

教學目標

1.知識與技能

了解作者的基本情況，讀課文，識記文中的生字、生詞。2.過程與方法

分組討論，理解課文的內容，多角度欣賞鶴群之美。3.情感、態度、價值觀

學習鶴群團結戰斗，友愛互助的團隊精神。教學重點

理解課文內容，多角度欣賞鶴群之美。教學難點 同教學重點 教學方式 1.討論點撥法 2.朗讀法 教具準備

多媒體課件，投影儀 課時安排

一課時 教學過程

一、導入新課

展示課件的第一頁有關一只白色的鶴的圖片，由此引出課題。

二、自學完成學習目標一

1.出示學習目標一：了解作者的基本情況，讀課文，識記文中的生字，生詞。2.學生自學10分鐘。

3.由學習委員組織進行第一搶答環節。

三、討論完成學習目標二

1.出示學習目標二：理解課文內容，多角度欣賞鶴群之美。2.學生圍繞此學習目標，分組討論提出問題，并把所提問題寫在黑板上。

3.老師根據學習目標確定第二搶答環節的問題。4.學生分組討論老師已確定的第二搶答環節的問題。5.老師組織學生進行第二搶答環節，同時完成下列板書： ?? 鶴群翔空

鶴鷹大戰 ? ? 救助傷鶴? ?

四、獨立完成學習目標三

1.出示學習目標三：學習鶴群團結戰斗，友愛互助的團隊精神。2.老師引導學生，回憶本文著重描繪的三個場面，并提出“哪一個場面最讓你感動？為什么？”這一問題，請同學用5分鐘的時間把想說的話寫下來。3.根據同學們的回答完成下列板書： ? ? ? 團結友愛 互幫互助 不畏強敵 ?

五、布置作業 ? 聯系自己的生活實際寫一篇不少于300字的學后反思。

第三篇：《一厘米》重難點教學設計

《一厘米》教學設計

教學目標:

（一）知識與能力：

1、記重點字詞，理解并掌握刻畫人物心理活動的方法。

2、通過分析人物形象把握小說主題。

（二）過程與方法：

1、借助工具書掌握有關字詞。

2、復述課文內容，把握課文內容，把握小說的情節。

3、結合課后第一題展開討論。

（三）情感、態度與價值觀：

1、體會人物平凡中的偉大。

2、學會寬容，努力做一個善良、正直、有責任感的人。

3、學會體諒父母、熱愛父母、理解父母，為父母分憂。

教學重點：

1.通過人物的語言，動作，外貌，心理描寫，神態描寫等，概括人物的性格特征。

2.課文借一件小事來折射人性的光輝，映照平凡中的偉大這一深刻的主題。

教學難點：

1.能說出本劇的主題，學習借一件小事來反映深刻的主題。

2.分析人物的語言，動作，外貌，心理描寫，概括人物的性格特征。

教學形式：常規教學，學生討論為主 教具：尺子，幻燈片

課前準備： 通過互聯網查閱有關作者的一些資料；查字典解決課文中的生字詞。課時安排：兩課時 教學過程：

第一課時

一、情境導入：

教師拿出一把尺子，問：尺子上的一厘米會引發你哪些聯想呢？（學生各抒己見）導語：一厘米只是一段微不足道的長度，但這一厘米卻引發了一場**，今天我們就走進畢淑敏的《一厘米》去探個究竟。（板書課題，作者）

二、檢查預習：

1.說說你所了解的畢淑敏。（學生把課前從互聯網上查閱的有關作者的資料在班級內交流。）

2.師用幻燈片的形式展示：（并配有作者相關圖片）3.檢查生字詞：幻燈片展示。（以開火車的形式認讀生字，解釋詞語）

三、整體感知課文

1.學生以自己喜歡的方式讀課文，（可以自由讀，默讀，幾個人一組分角色朗讀等。）熟悉課文基本故事情節。

2.說說文中讓你印象最深刻的情節。（生各抒己見，暢所欲言，師作充分的肯定和評價。）

3.根據前幾位同學的回答，請以課文故事情節所發生的先后為順序，用自己的話給 大家講講課文所發生的故事。（復述時應適當地突出人物的外貌，心理，細節等描 寫）

4.師把學生的回答歸納總結文章結構。5.對文章結構的理解

【明確】

（1）段落分析：

點拔：這篇小說圍繞“一厘米”，通過主人公陶影要努力成為一個“完美而無可挑剔的母親”的執著追求，塑造了一個平凡而偉大的母親形象，肯定了主人公對完美的執著和全力以赴的追求，也表達對不完美的理解寬容，對正直善良與責任感的褒揚。

課文可分成三個部分，其中二、三部分為課文的重點。

第一部分（從開頭到“烘制螺旋形沾滿芝麻的小火燒”）：交待主人公的做事原則和身分，為人物的出場做鋪墊。

第二部分（從“她領著兒子小也上汽車”到“她覺得生活多了幾分追求”）：圍繞“一厘米”集中寫了主人公陶影與兒子乘車的一次經歷。

第三部分(從“今天她領小也到一座巨大的寺廟參觀”到結尾)：圍繞“一厘米”，集中記敘了主人公與兒子一次參觀寺廟的經歷。

四、課堂小結：

這節課我們熟悉了課文的故事情節，課后請大家認真閱讀文章，想想陶影在你心目中是個怎樣的母親形象。

第二課時

一、導入：

孟郊的《游子吟》：“慈母手中線，游子身上衣。臨行密密縫，意恐遲遲歸。誰言寸草心，報得三春暉。”母親總是給予子女最無私最博大的愛。課文中的陶影，也全力以赴地給孩子以正面教育，今天就讓我們走進這位偉大的母親，去感受她心中對兒子那份摯熱的愛情。

二、學生快速瀏覽課文，從文中找出描寫陶影的部分，陶影具有怎樣的性格或品質？從文中找出相關的語句來印證。

（1）含辛茹苦、任勞任怨（2）執著、認真

（3）竭力維護人格尊嚴，立場堅定

小結：陶影是一位普通而偉大的母親，真實、善良、任勞任怨、自尊自強、寬宏大度，具有強烈正義感和責任感的母親！

練筆：放飛你的思緒，寫一段文字，表達你對母親的愛。

（50字以上）（選讀、評價）

三、再讀課文，合作探究

1.為什么陶影和兒子小也都這么重視小也是否達到1.1厘米高的問題?有人認為買冰棍的老太太稱量小也身高的情節是多余的,你認為呢？

2.陶影歷經周折,澄清了事實。當公園主任要作經濟賠償時,陶影拒絕了,說“世上有的東西能賠，有的東西不能賠”。你能站在陶影的立場上對這句話作出闡述嗎？

3.通過陶影這個人物形象，你認為小說要表現一個怎樣的主題？ 4.教師小結：

小說通過寫一位母親給兒子買票的故事，塑造了一個普通而有強烈正義感和責任感，善良、大度、自尊的母親形象，警示為人父母們在子女面前要誠實守信。

5.寫法分析：以小見大

這是一篇很典型的以小見大的作品。本篇小說選取了一位賣小火燒的普通的母親為寫作對象，截取了她日常生活中的幾個橫斷面，來反映“母愛”這樣一個偉大的主題,從而引起人們對不完美的理解和寬容，對正直、善良與責任感的褒揚與思考。

四、拓展訓練

談一談你對“可憐天下父母心”這句話的新的體驗和認識。

五、鏈接生活——母愛偉大

板書設計

公共汽車——

少也買票 ——

責任感公園門口——

多也不買 —— 正義感陶影家里——

給也不要 ——

價值觀

在孩子面前做完美無可挑剔的母親

一厘米

第四篇：等腰三角形教學設計教學設計

等腰三角形

一、目標認知 學習目標：

通過觀察發現等腰三角形的性質；掌握等腰三角形的識別方法，會用等腰三角形的性質進行簡單的計算和證明；理解等腰三角形與等邊三角形的相互關系；能夠利用等腰三角形的識別方法判斷等腰三角形；掌握等邊三角形的特征和識別方法；掌握一般文字命題的解題方法

重點：

等腰三角形的性質與判定。

難點：

比較復雜圖形、題目的推理證明。

二、知識要點梳理

知識點一：等腰三角形、腰、底邊

有兩邊相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角

如圖所示，在△ABC中，AB=AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角．

知識點二：等腰三角形的性質

1、性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．

性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．

2、這兩個性質證明如下：

在△ABC中，AB=AC，如圖所示．

作底邊BC的高AD，則有

∴ Rt△ABD≌Rt△ACD．

∴ ∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．

于是性質

1、性質2均得證．

3、說明：

（1）①等腰三角形的性質1用符號表示為：∵AB=AC，∴∠B=∠C；

②性質1是等腰三角形的一條重要（主要）性質，也是今后我們證明角相等的又一個重要依據．

（2）①性質2實質包含三條性質，符號表示為：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；

或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC．

②性質2的用途更為廣泛，可以用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．

（3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上高（頂角平分線或底邊中線）所在直線是它的對稱軸，通常情

況只有一條對稱軸．

知識點三：等腰三角形的判定定理

1、定理內容及證明

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”），如圖所示．

證明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．則

所以△ABD≌△ACD（AAS）．

所以，AB=AC．

2、注意：

①本定理的符號表示為：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．

②本定理可以判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據．

另外，等腰三角形的性質和判定條件和結論正好相反，要注意區分，不要混淆． 知識點四：等邊三角形

1、等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形

如圖所示．

2、注意：

①由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．

②等邊三角形具有等腰三角形的一切性質．

知識點五：等邊三角形的性質

1、等邊三角形的性質：等邊三角形三個內角都相等，并且每一個內角都等于60°

2、理由如下：如上圖所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同樣可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C．

而∠A+∠B+∠C=180°．則有∠A=∠B=∠C=60°．

注意：這條性質只有等邊三角形具有．

知識點六：等邊三角形的判定

1、等邊三角形的判定：

（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．

2、證明如下：

(1)如下圖所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC．

于是判定（1）成立．

(2)如上圖所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，則有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C．

由判定（1）得△ABC是等邊三角形；

若∠B=60°，則∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C．

由判定（1）得△ABC是等邊三角形。所以判定（2）成立．

知識點七：直角三角形性質定理

1、定理內容：在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

2、證明：如圖所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延長BC至垂直平分

使，則有AC，故，．又可得∠B=60°．于是△是等邊三角形，故

所以．即定理成立．

三、規律方法指導

1．等腰（邊）三角形是一個特殊的三角形，具有較多的特殊性質，有時幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據已知條件和圖形特征，適當添加輔助線，使之構成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關性質，快捷地證出結論。

2．常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關中線的問題。

經典例題透析

類型一：探究型題目

1．如圖1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，請你設計三種不同的分法，把△ABC分割成兩個三角形，且要求其中有一個是等腰三角形。（在等腰三角形的兩個底角處標明度數）

思路點撥: 在三角形中，“等邊對等角”與“等角對等邊”，本題應從角度入手進行考慮。下面提供四種分割方法供大家參考。

解析：

總結升華：對圖形進行分割是近年來新出現的一類新題型，主要考查對基礎知識的掌握情況以及動手實踐能力，本類題目的答案有時不唯一。

舉一反三：

【變式1】如圖3，D是△ABC中BC邊上的一點，E是AD上的一點，EB=EC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC。

請你先閱讀下面的證明過程。

證明：在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC（第一步），所以AB=AC，∠3=∠4（第二步），所以AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”）。

上面的證明過程是否正確？如果正確，請寫出每一步的推理依據；如果不正確，請指出關鍵錯在哪一步，寫出你認為正確的證明過程。

【答案】第一步錯誤。因為在△ABE和△AEC中有兩邊和其中一邊的對角對應相等，不能判定它們全等。

正確的證明過程是：

因為EB=EC，所以∠EBD=∠ECD，所以∠EBD＋∠1=∠ECD＋∠2，即：∠ABC=∠ACB，所以AB=AC。

在△AEB和△AEC中，所以△ABE≌△AEC，所以∠3=∠4，所以AD⊥BC（等腰三角形的“三線合一”）。

【變式2】已知△ABC為等邊三角形，在圖4中，點M是線段BC上任意一點，點N是線段CA上任意一點，且BM=CN，直線BN與AM相交于Q點。

（1）請猜一猜：圖4中∠BQM等于多少度？

（2）若M、N兩點分別在線段BC、CA的延長線上，其它條件下不變，如圖5所示，（1）中的結論是否仍

然成立？如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由。

【答案】（1）題通常猜想、測量或證明等方法不難發現∠BQM=60°，而且這一結論在圖形發生變化后仍然成立。（2）題的證明過程如下：

因為△ABC為等邊三角形，所以AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，所以∠ACM=∠BAN。

在△ACM和△BAN中，所以ΔACM≌ΔBAN，所以∠M=∠N，所以∠BQM=∠N＋∠QAN=∠M＋∠CAM=∠ACB=60°。

類型二：與度數有關的計算

2．如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度數。

思路點撥: 解該題的關鍵是要找到∠2和∠1之間的關系，顯然∠2=∠1+∠C，只要再找出∠C與∠2的關系問題就好解決了，而∠C=∠B，所以把問題轉化為欲找出∠2與∠B之間有什么關系，變成△ABD的角之間的關系，問題就容易的多了。

解析：∵AB=AC

∴∠B =∠C

∵AB=BD

∴∠2=∠3

∵∠2=∠1+∠C

∴ ∠2=∠1+∠B

∵∠2+∠3+∠B=180°

∴∠B=180°－2∠2

∴∠2=∠1+180°－2∠2

∴3∠2=∠1+180°

∵∠1=30°

∴∠2=70°

總結升華：關于角度問題可以通過建立方程進行解決。

舉一反三：

【變式1】如圖，D、E在△ABC的邊BC上，且BE=BA，CD=CA，若∠BAC=122°，求∠DAE的度數。

【答案】∵BE=BA

∴∠2=∠BAE

∵CD=CA

∴∠1=∠CAD

∵∠1+∠CAD+∠C=180°

∴∠1=

∵∠2+∠BAE+∠B=180°

∴∠2=

∴∠1+∠2=∵∠B+∠C=180°－∠BAC

∴∠1+∠2=

∵∠DAE=180°－（∠1+∠2）

∴∠DAE=90°－=90°－61°=29°。

【變式2】在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，∠BAD=30°，求∠EDC的度數。

【答案】∵ AB=AC，AD=AE

∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED

∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD

∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD

∵∠AED=∠C+∠EDC

∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD

∴∠EDC=∠BAD=15°。

類型三：等腰三角形中的分類討論

3．當腰長或底邊長不能確定時，必須進行分類討論

（1）已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。

（2）等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，求周長。

思路點撥: 由等腰三角形的性質可知我們在解此題前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構成三角形的前提，因此必須進行分類討論。

解析：（1）因為8+8＞10，10+10＞8，則在這兩種情況下都能構成三角形；

當腰長為8時，周長為8+8+10=26；

當腰長為10時，周長為10+10+8=28；

故這個三角形的周長為26cm或28cm。

（2）當腰長為3時，因為3+3＜7，所以此時不能構成三角形；

當腰長為7時，因為7+7＞3，所以此時能構成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；

故這個三角形的周長為17cm。

總結升華：對于此類題目在進行分類討論時，必須運用三角形的三邊關系來驗證是否能構成三角形

舉一反三：

【變式1】當頂角或底角不能確定時，必須進行分類討論

等腰三角形的一個角是另一個角的4倍，求它的各個內角的度數

【答案】（1）當底角是頂角的4倍時，設頂角為x，則底角為4x，∴ 4x+4x+x=180°，∴ x=20°，∴ 4x=80°，于是三角形的各個內角的度數為：20°，80°，80°。

（2）當頂角是底角的4倍時，設底角為x，則頂角為4x，∴ x+x+4x=180°，∴ x=30°，∴ 4x=120°，于是三角形的各個內角的度數為：30°，30°，120°。

故三角形各個內角的度數為20°，80°，80°或30°，30°，120°。

【變式2】當高的位置關系不確定時，必須分類討論

等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個三角形的各個內角的度數。

【答案】設AB=AC，BD⊥AC；

（1）高與底邊的夾角為25°時，高一定在△ABC的內部，如右圖，∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，∴ ∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。

圖1

（2）當高與另一腰的夾角為250時，①如圖2，高在△ABC內部時，當∠ABD=25°時，∠A=90°-∠ABD=65°，∴ ∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；

②如圖3，高在△ABC外部時，∠ABD=25°，圖2

∴ ∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，∴ ∠BAC=180°-65°=115°，∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5°

故三角形各內角為：65°，65°，50°或

65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°。

圖3

【變式3】由腰的垂直平分線所引起的分類討論

在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40°，求底角B的度數。

分析：題目中AB邊上的垂直平分線與直線AC

相交有兩種情形；

解：（1）如圖，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D，∠ADE=40°，則∠A=900-∠ADE=50°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。

（2）如圖，AB邊的垂直平分線與直線AC的反向

延長線交于點D，∠ADE=40°，則∠DAE=50°

∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°，故∠B的大小為65°或25°。【變式4】由腰上的中線引起的分類討論

等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，求腰長。

【答案】如圖，∵BD為AC邊上的中線，∴AD=CD，（1）當（AB+AD）-（BC+CD）=3時，則AB-BC=3，∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；

（2）當（BC+CD）-（AB+AD）=3時，則BC-AB=3，∵BC=5 ∴AB=BC-3=2；

但是當AB=2時，三邊長為2，2，5；

而2+2＜5，不合題意，舍去；

故腰長為8。

類型四：證明題

4．已知：如圖，∠ABC，∠ACB的平分線交于F，過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。

求證：BD＋EC＝DE。

思路點撥: 因為DE＝DF＋FE，即結論為BD＋EC＝DF＋FE，分別證明BD＝DF，CE＝FE即可，于是運用“在同一三角形中，等角對等邊”易證結論成立。

解析：∵DE∥BC，∴∠3＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）

又∵BF平分∠ABC

∴∠1＝∠2

∴∠1＝∠3

∴DB＝DF（等角對等邊）

同理：EF＝CE，∴BD＋EC＝DF＋EF

即BD＋EC＝DE。

總結升華：在三角形中，利用“等角對等邊”證明線段相等，是一種常用的方法。

舉一反三：

【變式1】如圖，C是線段AB上的一點，△ACD和△BCE是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。

求證：（1）∠AOB＝120°；

（2）CM＝CN；

（3）MN∥AB。【答案】（1）∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE

∠BCD＝∠BCE＋∠DCE

且∠ACD＝∠BCE＝60°

∴∠ACE＝∠BCD

在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴∠3＝∠2

∵∠1＋∠3＝60°，∴∠1＋∠2＝60°

∴∠AOB＝∠1＋∠ADC＋∠2＝60°＋60°＝120°（2）∵∠ACD＝∠BCE＝60°

∴∠MCN＝60°

在△CMA和△CND中

∴△CMA≌△CND（ASA）

∴CM＝CN

（3）∵CM＝CN且∠MCN＝60°

∴△CMN是等邊三角形

∴∠NMC＝60°

又∵∠DCA＝60°

∴∠NMC＝∠DCA

∴MN∥AB

【變式2】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如圖所示）。

求證：（1）AB＝2BC；

（2）CE＝AE＝EB。【答案】（1）∵CE、CD三等分∠ACB

∴∠1＝∠2＝∠3＝30°

又∵CD⊥AB，∴∠B＝60°，∠A＝30°

在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC

（2）∵∠A＝∠1＝30°

∴CE＝EA

又∵∠B＝∠BCE＝60°

∴△BCE是等邊三角形，∴EC＝EB

∴CE＝EA＝EB 學習成果測評 基礎達標：

一、填空：

1、等腰三角形的的兩邊長為2cm和5cm，則該等腰三角形的周長為______cm。

2、等腰三角形的的兩邊長為3cm和5cm，則該等腰三角形的周長為______cm。

3、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則頂角為_____。

4、在△ABC中，AC＝BC，且∠B＝∠C，則△ABC是____________三角形。

5、若直角三角形斜邊上的中線垂直于斜邊，則它的兩個銳角的度數是____________。

6、等腰三角形的一個角是80°，則其他兩個角的度數是____________。

二、選擇題

1.若一個三角形的三個外角度數比為2：3：3，則這個三角形是（）

A.等腰三角形

B.等邊三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

2.將兩個全等的有一個角為30°的直角三角形拼成如圖1所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則

圖中等腰三角形的個數是（）

圖1

A.4個

B.3個

C.2個

D.1個

3.在以①30°，120°；②25°，75°；③38°，52°；④55°，70°；⑤42°，96°；⑥28°，62°；⑦56°，68°；⑧45°，45°；⑨60°，60°為兩內角可以構成的三角形中，有等腰三角

形（）

A.3個

B.4個

C.5個

D.6個

4.具有下列條件的兩個等腰三角形，不能判斷它們全等的是（）

A.頂角、一腰對應相等

B.底邊、一腰對應相等

C.兩腰對應相等

D.一底角、底邊對應相等

三、解答題

1、等腰三角形的周長為12，且其各邊長均為整數，求各邊長。

2、（1）等腰三角形的一個角為50°，求另外兩個角的度數。

（2）等腰三角形的一個外角為100°，求該等腰三角形的頂角。

3、等腰三角形一腰上的中線將等腰三角形的周長分成8cm和10cm的兩部分，求該等腰三角形的各邊長。

4、如圖2所示，△ABC和△BDE都是等邊三角形。

圖2

求證：AE＝CD。

5、如圖3所示，D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是點E、F，且BF＝CE。判斷△ABC的形狀并證明。

圖

36、“有兩邊相等的兩個直角三角形全等”這個命題對與否，甲、乙、丙三位同學給出了如下論斷：

甲：正確。因為若兩邊都是直角邊，則用（SAS）全等識別法就可以證它們全等。

乙：正確。因為若其中一邊是直角邊，另一邊是斜邊，則可用（HL）定理證全等。

丙：不正確。若一個三角形較長的直角邊與另一三角形斜邊相等，較短的直角邊與另一三角形較長的直角邊相等，則顯而易見兩個三角形不全等。

請你就這三個同學的見解發表自己的意見。

7、如圖所示，是城市部分街道示意圖，AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE，A、B、C、D、E、F、G為“公共汽車”停靠點，“甲公共汽車”從A站出發，按照A、H、G、D、E、C、F的順序到達F站，“乙公共汽車”從B站出發，沿B、F、H、E、D、C、G的順序到達G站。如果甲、乙分別同時從A、B站出發，在各站耽誤的時間相同，兩車速度也一樣，試問哪一輛公共汽車先到達指定站？為什么？

答案與解析：

一、填空題

1。12（2cm不能為腰長，只能為底邊長（2+2＜5），所以周長為2+5+5=12（cm）。）

2。13或11（3cm既能為腰長，又能為底邊長(5+5＞3、3+3＞5)，∴周長為3+5+5=13（cm）或3+3+5=11（cm）。）

3。50°或130°（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形內，也可能在三角形外，因此要分類討論。）

4。等邊

5。45°；45°

點撥：等腰三角形三線合一。

6。80°，20°或50°，50°

點撥：80°是銳角，即可以是頂角，也可以是底角。

二、選擇題

1.D

點撥：三個外角度數分別為

360°×

＝90°，360°×＝135°，135°，∴三角形為等腰直角三角形。2.B 3.D

點撥：根據三角形內角和定理及等腰三角形性質定理，排除②③⑥。4.C

點撥：本題綜合考查三角形全等識別法和等腰三角形性質定理。

A（SAS），B（SSS），D（ASA）。

三、解答題

1、設其腰長為x，則底邊長為（12－2x），由題意得：

解得3＜x＜6 ∵x為整數

∴x=4或5 ∴該等腰三角形的三邊長分別為：4、4、4或5、5、2。

2、(1)分兩種情況：

①若已知的角為頂角，則另外兩個角均為底角，設其度數為x,則2x+50=180，解得：x=65；

②若已知的角為底角，可設頂角為y，則50×2+y=180, 解得：y=80

綜上所述：另兩個角分別為65°、65°或50°、80°。

注意該題的變式：題中有可能把問題變成要求頂角的度數，也要注意分類討論。

(2)分兩種情況：

①若已知的角為頂角的外角，則頂角=180°－100°=80°；

②若已知的角為底角的外角，則底角=180°－100°=80°，所以頂角=180°－80°×2=20°。

綜上所述：該等腰三角形的頂角=80°或20°。

3、解：設腰長為xcm，底邊長為ycm,則：

或解得或

∵，∴以上兩解均合乎題意。

∴該等腰三角形的各邊長分別為cm、cm、cm或cm、cm、cm。

4.證明：∵△ABC是等邊三角形

∴AB＝BC，∠ABC＝60°

∵△BDE是等邊三角形

∴BE＝BD，∠DBC＝60°

由（SAS）全等識別法可知△ABE≌△CBD，∴AE＝CD（全等三角形對應邊相等）

5．解：△ABC是等腰三角形

證明：∵DF⊥AB，DE⊥AC

∴∠BFD＝∠CED＝90°

∵D是BC邊上的中點，∴BD＝CD

又∵BF＝CE，由（HL）全等識別法可知△BFD≌△CED。

∴∠B＝∠C，即△ABC是等腰三角形。

6.解：甲、乙兩同學的回答都是片面的。他們都想當然地理解成兩邊是對應的。

恰恰原命題中丟掉了“對應”二字，丙同學的論斷是正確的。

所以我們一定要重視全等三角形中的“對應”二字。

點撥：本題恰又是一個易錯題，甲、乙兩同學的錯誤常出現在日常學習中，需引起注意。

7.答：同時到達。理由如下：

∵AB＝BC＝AC，CD＝CE＝DE

∴△ABC和△ECD都是正三角形

∴∠ACB＝∠ECD＝60°

∴∠ACE＝60°

∴∠BCE＝∠ACD＝120°

∴△BCE≌△ACD（SAS）

∴BE＝AD。∠CBE＝∠CAD

在△BCF與△ACG中，∠CBF＝∠CAG

BC＝AC，∠BCA＝∠ACE＝60°

∴△BCF≌△ACG（ASA）

∴CF＝CG

又甲公共汽車的路程和為AD＋DE＋EC＋CF

乙公共汽車的路程和為BE＋ED＋DC＋CG，∴兩車同時到達指定站。

能力提升：

1.已知C、D兩點在線段AB的中垂線上，且∠ACB=50°，∠ADB=80°，求∠CAD的度數。

2.如圖，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB=40°，如果D、E是直線

AB上的兩點，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數。

3.已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為，△ABC的高為h。“若點P在一邊BC上（如圖（1）），此時結論：”。，可得

（1）請直接應用上述信息解決下列問題：

當點P在△ABC內（如圖（2））、點P在△ABC外（如圖（3））這兩種情況時，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出你的猜想，不需證明。

與h之間又有怎樣的關系？ 16

（2）若不用上述信息，你能用其他方法證明猜想結論嗎？

答案與解析：

1．（1）如圖，當C、D兩點在線段AB的同側時，∵C、D兩點在線段AB的垂直平分線上，∴CA=CB，△CAB是等腰三角形，又CE⊥AB，∴CE是∠ACB的角平分線，∴∠ACE=∠BCE，而∠ACB=50°，∴∠ACE=25°，同理可得∠ADE=40°，∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=40°-25°=15°。

（2）如圖，當C、D兩點在線段AB的兩側時，同（1）的方法可得∠ACE=25°，∠ADE=40°，于是∠CAD=180°-（∠ADE+∠ACE）

=180°-（40°+25°）=180°-65°=115°。

故∠CAD的度數為15°或115°。

2.（1）當點D、E在點A的同側，且都在BA的延長線上時，如圖1，圖

1圖2

∵BE=BC，∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，∵AD=AC，∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，∵∠DCE=∠BEC-∠ADC，∴∠DCE=（180°-∠ABC）÷2-∠BAC÷2=（180°-∠ABC-∠BAC）÷2

=∠ACB÷2=40°÷2=20°。

（2）當點D、E在點A的同側，且點D在D’的位置，E在E’的位置時，如圖2，＝∠ACB÷2=20°。

與（1）類似地也可以求得

（3）當點D、E在點A的兩側，且E點在E’的位置時，如圖3，圖圖4

∵BE’=BC，∴

∵AD=AC，∴∠ADC=（180°-∠DAC）÷2=∠BAC÷2，又∵

∴，=180°-（180°-∠ACB）÷2，=90°+∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°。（4）當點D、E在點A的兩側，且點D在D’的位置時，如圖4，∵AD’=AC，∴

∵BE=BC，∴∠BEC=（180°-∠ABC）÷2，∴

=180°-〔（180°-∠ABC）÷2+（180°-∠BAC）÷2〕

=（∠BAC+∠ABC）÷2=（180°-∠ACB）÷2

=（180°-40°）÷2=70°，故∠DCE的度數為20°或110°或70°。，3.（1）如圖（2），當P在△ABC內時，結論

仍成立，過P作NQ∥BC分別交AB、AC、AM于N、Q、K。

依題意，有

∴

當P在△ABC外時，結論

（2）如圖（3），連接PA、PB、PC，易知KM＝PF＝

不成立，它們的關系是

又，由AB＝BC＝AC得，

第五篇： 《等腰三角形》教學設計

《等腰三角形》教學設計

教材分析：

《等腰三角形》是冀教版八年級數學上冊第十七章第一節內容。是在學習了軸對稱之后編排的，是軸對稱知識的延伸和應用。等腰三角形的性質及判定是探究線段相等、角相等、及兩條直線互相垂直的重要工具，在教材中起著承上啟下的作用。

學情分析

學生在本節課學習之前，已經知道了全等三角形和軸對稱相關知識，那么等腰三角形又有怎樣性質呢？鑒于八年級學生的年齡、心理特點及認知水平，有進一步探究新知的愿望。本節課采用層層遞進的問題啟發學生的思考，讓學生自主探究、合作交流中獲取知識。

教學目標：

知識目標：掌握等腰三角形的有關概念和相關性質。并能用其解決有關問題。

能力目標：通過對性質的探究活動和例題的分析，提高學生分析問題和解決問題的能力。

情感目標：在探究對等腰三角形性質活動中，讓學生多動手、多思考，培養學生之間的合作精神。

教學重難點：

教學重點：探索等腰三角形“等邊對等角”和“三線合一”的性質。

教學難點：利用等腰三角形的性質解決有關問題。

教學方法：

本課立足于學生的“學”，采用小組合作探究,師生互動,突出“學生是學習的主體”,讓他們在感受知識的過程中,提高他們的知識運用能力。學習中要求學生多動手、多觀察、多思考，激發學生學習數學的興趣，更好的讓學生處在“做中學”“學中做”的良好學習氛圍之中。

教學過程：

課前準備:課前安排學生帶著五個問題預習課本140頁和141頁的教材內容，同時讓學生做一個等腰三角形的紙片，各小組長負責預習等工作。

（一）、導入

先復習“軸對稱圖形”的相關知識，根據本節課的特點，讓學生帶著問觀察圖片，找出圖片里面的軸對稱圖形。

(二)、思考

1、自主學習，獨立思考問題：

（1）什么是等腰三角形？

（2）等腰三角形各邊都叫什么名稱？各角呢？

（3）等腰三角形的性質？

（4）如何證明等腰三角形的性質？

（5）等邊三角形的概念及性質？

2、動手操作、演示探究

——等腰三角形的性質

請同學們把等腰三角形紙片對折,讓兩腰重合!(電腦演示)發現什么現象? 請盡可能多的寫出結論.（從構成要素：邊、角；相關要素：線、對稱性方面考慮）

(三)、議展

1、探討交流、得出結論：

由這些重合的部分，猜想等腰三角形的性質。

構成要素：

邊：等腰三角形的兩邊相等.角：等腰三角形的兩底角相等.簡稱“等邊對等角”

相關要素：

線：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合.簡稱“三線合一”

對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形

2、學生展示

證明“等邊對等角”（學生展示）

三種方法證明等腰三角形性質 “等邊對等角”

已知：在△ABC 中，AB＝AC，求證：∠B＝∠C

方法一：

證明：作底邊BC上的中線AD。

在△ABD與△ACD中：

BD＝DC（作圖）

AD＝AD（公共邊）

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B＝∠C（全等三角形對應角相等）

方法二：

作頂角∠BAC的平分線AD。

∵AD平分∠BAC

∴∠1＝∠2

在△ABD與△ACD中

AB＝AC（已知）

∠1＝∠2（已證）

AD＝AD（公共邊）

∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）

∴ ∠B＝∠C

方法三：

作底邊BC的高AD。

∵AD⊥BC

∴∠ADB ＝∠ADC＝90°

在RT△ABD與RT△ACD中

AB＝AC（已知）

AD＝AD（公共邊）

∴ △ABD ≌ △ACD（HL）

∴ ∠B＝∠C

（四）、點評

找各小組代表分別展示答案之后，其他小組進行評價，查漏補缺。然后通過老師講解，再指出其實這作三種輔助線的位置根本沒有發生改變，從而自然的過度到“三線合一”從中得出結論，達到對知識點的理解和掌握。

等腰三角形性質的幾何語言

∵ AB=AC（已知）

∴ ∠B=∠C（等邊對等角）

（1）等腰三角形的頂角的平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高。

幾何語言：

在△ABC 中，∵AB＝AC , ∠1＝∠2（已知）

∴BD＝DC , AD⊥BC（等腰三角形三線合一）

（2）等腰三角形的底邊上中線，既是底邊上的高，又是頂角平分線。

幾何語言：

在△ABC 中，∵AB＝AC , BD＝DC（已知）

∴AD⊥BC , ∠1＝∠2（等腰三角形三線合一）

（3）等腰三角形的底邊上的高，既是底邊上的中線，又是頂角平分線。

幾何語言：

在△ABC 中，∵AB＝AC , AD⊥BC（已知）

∴BD＝DC , ∠1＝∠2（等腰三角形三線合一）

在學生掌握了等腰三角形的有關概念和性質之后，引出等邊三角形的教學。

等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形

等邊三角形的性質定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每一個角都等于60°.等邊三角形性質的證明：（學生在練習本完成后，再用課件展示證明過程）

例題：

已知：在△ABC中，AB=AC，BD，CE分別為∠ABC，∠ACB的平分線。

求證：BD=CE.（五）、練習

為了檢測學生對本課教學目標的完成情況，進一步加強知識的應用訓練，我設計了三組練習由易到難，由簡單到復雜，滿足不同層次學生需求。

練習1：知識點：（邊：等腰三角形的兩邊相等.）

1、在等腰△ABC中，AB=3，AC=4，則 △ABC的周長=________

2、在等腰△ABC中，AB=3，AC=7，則△ABC的周長=________

練習2：知識點：（角：“等邊對等角”）

1、在等腰△ABC中，AB=AC, ∠B=50°,則∠A=__，∠C =_

2、在等腰△ABC中，∠A =100°, 則∠B=___，∠C=___

練習3：（判斷）知識點：（“三線合一”）

1、等腰三角形的頂角一定是銳角。（）

2、等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以。（）

3、等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊。（）

4、等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角。（）

5、等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合。（）

（六）、總結

師生合作，共同歸納：

1.等腰三角形的兩底角相等（簡寫成“等邊對等角”）

2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）

3.等邊三角形的性質定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每一 個角都等于60°.布置作業

鞏固性作業：143頁習題 1、2、（必做），143頁習題3、4、（選做）

拓展性作業：

1、如圖，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分別為AB,AC邊上的中線，試判斷BD、CE相等嗎？并說明理由。

2、如圖，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分別為AB,AC邊上的高線，試判斷BD、CE相等嗎？并說明理由。

板書設計

17.1等腰三角形

等腰三角形相關概念： 證明 例題

等腰三角形的性質：

“等邊對等角”

“三線合一”

等邊三角形相關知識 布置作業

四、課后反思

這節課從學生的實際認知出發，以“學生為主體，教師為主導”，課堂活動中充分調動學生的學習積極性，在整個教學過程中我以 “啟發學生,挖掘學生潛力,培養學生能力”為主旨而進行!充分地發揮學生的主觀能動性。突出了重點，突破了難點，達到了知識能力情感的三合一，達到了預期的教學效果。不足之處的是，習題練習有限，未設置限時小測等等