第一篇：2013白蒲中學高一數學教案：直線和圓的方程：09(蘇教版)

圓的標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握圓的標準方程的特點，能根據所給有關圓心、半徑的具體條件準確地寫出圓的標準方程，能運用圓的標準方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實際問題，并會推導圓的標準方程．

(二)能力訓練點

通過圓的標準方程的推導，培養學生利用求曲線的方程的一般步驟解決一些實際問題的能力．

(三)學科滲透點

圓基于初中的知識，同時又是初中的知識的加深，使學生懂得知識的連續性；通過圓的標準方程，可解決一些如圓拱橋的實際問題，說明理論既來源于實踐，又服務于實踐，可以適時進行辯證唯物主義思想教育．

二、教材分析

1．重點：(1)圓的標準方程的推導步驟；(2)根據具體條件正確寫出圓的標準方程．

(解決辦法：(1)通過設問，消除難點，并詳細講解；(2)多多練習、講解．)2．難點：運用圓的標準方程解決一些簡單的實際問題．

(解決辦法：使學生掌握分析這類問題的方法是先弄清題意，再建立適當的直角坐標系，使圓的標準方程形式簡單，最后解決實際問題．)

三、活動設計

問答、講授、設問、演板、重點講解、歸納小結、閱讀．

四、教學過程(一)復習提問

前面，大家學習了圓的概念，哪一位同學來回答？ 問題1：具有什么性質的點的軌跡稱為圓？

平面內與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓(教師在黑板上畫一個圓)． 問題2：圖2-9中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？

圓心C是定點，圓周上的點M是動點，它們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小．

問題3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ 求曲線方程的一般步驟為：

(1)建立適當的直角坐標系，用(x，y)表示曲線上任意點M的坐標，簡稱建系設點；圖2-9(2)寫出適合條件P的點M的集合P={M|P(M)|}，簡稱寫點集；(3)用坐標表示條件P(M)，列出方程f(x，y)=0，簡稱列方程；(4)化方程f(x，y)=0為最簡形式，簡稱化簡方程；(5)證明化簡后的方程就是所求曲線的方程，簡稱證明． 其中步驟(1)(3)(4)必不可少．

下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標準方程．

(二)建立圓的標準方程 1．建系設點

由學生在黑板上畫出直角坐標系，并問有無不同建立坐標系的方法．教師指出：這兩種建立坐標系的方法都對，原點在圓心這是特殊情況，現在僅就一般情況推導．因為C是定點，可設C(a，b)、半徑r，且設圓上任一點M坐標為(x，y)．

2．寫點集

根據定義，圓就是集合P={M||MC|=r}． 3．列方程

由兩點間的距離公式得：

4．化簡方程 將上式兩邊平方得：

(x-a)2+(y-b)2=r2．

(1)

方程(1)就是圓心是C(a，b)、半徑是r的圓的方程．我們把它叫做圓的標準方程．

這時，請大家思考下面一個問題．

問題5：圓的方程形式有什么特點？當圓心在原點時，圓的方程是什么？ 這是二元二次方程，展開后沒有xy項，括號內變數x，y的系數都是1．點(a，b)、r分別表示圓心的坐標和圓的半徑．當圓心在原點即C(0，0)時，方程為 x2+y2=r2．

教師指出：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r三個量確定了且r＞0，圓的方程就給定了．這就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件．注意，確定a、b、r，可以根據條件，利用待定系數法來解決．

(三)圓的標準方程的應用

例

1寫出下列各圓的方程：(請四位同學演板)

(1)圓心在原點，半徑是3；

(3)經過點P(5，1)，圓心在點C(8，-3)；

(4)圓心在點C(1，3)，并且和直線3x-4y-7=0相切．

教師糾錯，分別給出正確答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；

指出：要求能夠用圓心坐標、半徑長熟練地寫出圓的標準方程． 例

2說出下列圓的圓心和半徑：(學生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4 教師指出：已知圓的標準方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑．

例3(1)已知兩點P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2為直徑的圓的方程；(2)試判斷點M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圓上，在圓內，還是在圓外？

解(1)： 分析一：

從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數解決． 解法一：(學生口答)設圓心C(a，b)、半徑r，則由C為P1P2的中點得：

又由兩點間的距離公式得：

∴所求圓的方程為：(x-5)2+(y-6)2=10 分析二：

從圖形上動點P性質考慮，用求曲線方程的一般方法解決． 解法二：(給出板書)∵直徑上的四周角是直角，∴對于圓上任一點P(x，y)，有PP1⊥PP2．

化簡得：

x2+y2-10x-12y+51=0．

即(x-5)2+(y-6)2=10為所求圓的方程． 解(2)：(學生閱讀課本)分別計算點到圓心的距離：

因此，點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內． 這時，教師小結本題： 1．求圓的方程的方法

(1)待定系數法，確定a，b，r；(2)軌跡法，求曲線方程的一般方法．

2．點與圓的位置關系

設點到圓心的距離為d，圓半徑為r：(1)點在圓上(2)點在圓外(3)點在圓內 d=r； d＞r； d＜r．

3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(證明留作作業)例

4圖2-10是某圓拱橋的—孔圓拱的示意圖．該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度(精確到0.01m)．

此例由學生閱讀課本，教師巡視并做如下提示：

(1)先要建立適當直角坐標系，使圓的標準方程形式簡單，便于計算；(2)用待定系數法求圓的標準方程；

(3)要注意P2的橫坐標x=-2＜0，縱坐標y＞0，所以A2P2的長度只有一解．(四)本課小結

1．圓的方程的推導步驟；

2．圓的方程的特點：點(a，b)、r分別表示圓心坐標和圓的半徑； 3．求圓的方程的兩種方法：(1)待定系數法；(2)軌跡法．

五、布置作業

1．求下列條件所決定的圓的方程：

(1)圓心為 C(3，-5)，并且與直線x-7y+2=0相切；

(2)過點A(3，2)，圓心在直線y=2x上，且與直線y=2x+5相切． 2．已知：一個圓的直徑端點是A(x1，y1)、B(x2，y2)． 證明：圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．

3．一個等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點的坐標是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圓的方程．

4．趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m，求這座圓拱橋的拱圓的方程． 作業答案：

1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 32

2．因為直徑的端點為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則圓心和半徑分別為

所以圓的方程為

化簡得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0 即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

4．如圖2-11建立坐標系，得拱圓的方程： x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)

六、板書設計

第二篇：2013白蒲中學高一數學教案：函數：10

第十教時

教材：函數的奇偶性

目的：要求學生掌握函數奇偶性的定義，并掌握判斷函數奇偶性的基本方法。

過程：

一、復習函數單調性的定義、單調區間及判斷函數單調性的方法。

二、提出課題：函數的第二個性質――奇偶性

1．依然觀察 y=x2與 y=x3 的圖象――從對稱的角度 ．觀察結果：

y=x2的圖象關于軸對稱 y=x3的圖象關于原點對稱

3．繼而，更深入分析這兩種對稱的特點： ①當自變量取一對相反數時，y取同一值． f(x)=y=x2 f(?1)=f(1)=1 f(?即 f(?x)=f(x)再抽象出來：如果點(x,y)在函數y=x2的圖象上，則該點關于y軸的對稱點(?x,y)也在函數y=x2的圖象上． ②當自變量取一對相反數時，y亦取相反數． f(x)=y=x3 f(?1)=?f(1)=?1 f(?即 f(?x)=f(x)再抽象出來：如果點(x,y)在函數y=x3的圖象上，則該點關于原點的對稱點(?x,?y)也在函數y=x3的圖象上．

111)?f()?224

111)??f()??228

4．得出奇（偶）函數的定義（見P61 略）注意強調：①定義本身蘊涵著：

函數的定義域必須是關于原點的對稱區間――這是奇（偶）函數的必要條件――前提 ②＂定義域內任一個＂：

意味著不存在＂某個區間上的＂的奇（偶）函數――不研究 ③判斷函數奇偶性最基本的方法：

先看定義域，再用定義――f(?x)=f(x)(或f(?x)=?f(x))

三、例題：例

一、（見P61－62 例四）

例

二、（見P62 例五）

此題系函數奇偶性與單調性綜合例題，比例典型．

小結：一般函數的奇偶性有四種：奇函數、偶函數、即奇且偶函數、非奇非偶函數

例：y?1x

y=2x

（奇函數）

y=?3x2+1

y=2x4+3x

2（偶函數）

y=0

（即奇且偶函數）y=2x+（非奇非偶函數）

例

三、判斷下列函數的奇偶性：

1．f(x)?(x?1)1?x1?x

1?x?0??

解：定義域：?1?x?0??1?x?1 關于原點非對稱區間

??1?x

∴此函數為非奇非偶函數

2．f(x)?x?11?x 2

?x2?1?0?x?1或x??1解：定義域：? ??2??1?x?1?1?x?0∴定義域為 x =±1

f(?x)?x?11?x22?f(x)且 f(±1)= 0 ∴此函數為即奇且偶函數

?x2?x3．f(x)??2x?x?(x?0)(x?0)

解：顯然定義域關于原點對稱

當 x>0時, ?x<0 f(?x)= x2?x = ?(x?x2)

當 x<0時, ?x>0 f(?x)= ?x?x2 = ?(x2+x)

??(x2?x)

即：f(?x)??2??(x?x)(x?0)(x?0)??f(x)

∴此函數為奇函數

四、奇函數?圖象關于原點對稱

偶函數?圖象關于軸對稱

例

四、（見P63 例六）略

五、小結：1．定義

2．圖象特征

3．判定方法

六、作業：P63 練習

P65 習題2.3 7、8、9

第三篇：2013白蒲中學高二數學教案：圓錐曲線方程：13(蘇教版)

求曲線的軌跡方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法．(二)能力訓練點

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養學生綜合運用各方面知識的能力．

(三)學科滲透點

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學生掌握常用動點的軌跡，為學習物理等學科打下扎實的基礎．

二、教材分析

1．重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法．

(解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學生掌握這種方法．)2．難點：作相關點法求動點的軌跡方法．

(解決辦法：先使學生了解相關點法的思路，再用例題進行講解．)

三、活動設計

提問、講解方法、演板、小測驗．

四、教學過程(一)復習引入

大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：(1)根據已知條件，求出表示平面曲線的方程；(2)通過方程，研究平面曲線的性質．

我們已經對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上面已經研究的基礎上來對根據已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統分析．

1(二)幾種常見求軌跡方程的方法 1．直接法

由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．

例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程；(2)過點A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡．

對(1)分析：

動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：設動點P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0． 對(2)分析：

題設中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質而得出，即圓心與弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負倒數．由學生演板完成，解答為：

設弦的中點為M(x，y)，連結OM，則OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以OA為直徑的圓在圓O內的一段弧(不含端點)． 2．定義法

利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．

直平分線l交半徑OQ于點P(見圖2－45)，當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程．

分析：

∵點P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|． 又P在半徑OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義 寫出P點的軌跡方程．

解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半徑OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由橢圓定義可知：P點軌跡是以O、A為焦點的橢圓．

3．相關點法

若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程．這種方法稱為相關點法(或代換法)．

例3 已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程．

分析：

P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關點，應先找出點P與點B的聯系．

解：設點P(x，y)，且設點B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內分點．

4．待定系數法

求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數法求．

例4 已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲

曲線方程． 分析：

因為雙曲線以坐標軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設雙曲線方

ax2-4b2x+a2b2=0 ∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應有等根．

∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由學生完成)

由弦長公式得：

即a2b2=4b2-a2．

(三)鞏固練習

用十多分鐘時間作一個小測驗，檢查一下教學效果．練習題用一小黑板給出． 1．△ABC一邊的兩個端點是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的

2．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

3．求拋物線y2=2px(p＞0)上各點與焦點連線的中點的軌跡方程． 答案：

義法)

由中點坐標公式得：

(四)小結

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關點法、待定系數法，還有參數法、復數法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數方程、復數以后再作介紹．

五、布置作業

1．兩定點的距離為6，點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程．

2．動點P到點F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點的軌跡． 3．已知圓x2+y2=4上有定點A(2，0)，過定點A作弦AB，并延長到點P，使3|AB|=2|AB|，求動點P的軌跡方程．作業答案：

1．以兩定點A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，得點M的軌跡方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P點只能在x軸上且x＜1，軌跡是一條射線

六、板書設計

第四篇：2013白蒲中學高一數學教案：直線、平面、簡單幾何體：21(蘇教版)

兩個平面垂直的判定和性質(一)

一、素質教育目標

(一)知識教學點

1．兩個平面垂直的定義、畫法．

2．兩個平面垂直的判定定理．

(二)能力訓練點

1．應用演繹的數學方法理解并掌握兩個平面垂直的定義． 2．掌握兩個平面垂直的判定定理的證明過程，培養學生嚴格的邏輯推理，增強學生分析、解決問題的能力．

3．利用轉化的方法掌握和應用兩個平面垂直的判定定理．(三)德育滲透點

1．理解并掌握兩個平面垂直定義的過程是培養學生從一般到特殊的思維方法的過程．

2．讓學生認識到掌握兩個平面垂直的判定定理是人類生產實踐的需要，并且應用于實踐，進一步培養學生理論與實踐相結合的觀點．

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1．教學重點：掌握兩個平面垂直的判定．

2．教學難點：掌握兩個平面垂直的判定及應用．

三、課時安排

本課題安排2課時．本節課為第一課時：主要講解兩個平面垂直的判定．

四、教與學的過程設計

(一)復習近平面角的有關知識

師：什么是二面角的平面角？

生：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

師：一般地，作二面角的平面角有哪幾種方法？

生：三種．一是利用定義；二是利用三垂線(逆)定理；三是利用棱的垂面． 師：下面我們來做道練習(幻燈顯示)．

已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°． 求：CD與平面β所成的角．

生證明：作CO⊥β交β于點O，連結DO，則∠CDO為DC與β所成的角． 過點O作OE⊥AB于E，連結CE，則CE⊥AB，∴∠CEO為二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°． 即DC與β成30°角．

師點評：本題涉及到直線與平面所成角的范圍[0°，90°]以及利用三垂線定理尋

找二面角的平面角．事實上，利用三垂線定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一種方法．

(二)兩個平面垂直的定義、畫法

師：兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況，日常我們見到的墻面和地面、以及一個長方體中，相鄰的兩個面都是互相垂直的．那么，什么是兩個平面互相垂直呢？

生：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． 師：回答得很好．這個定義與平面幾何里的兩條直線互相垂直的定義相類似，也是用它們所成的角是直角來定義．知道了兩個平面互相垂直的概念．如何畫它們呢？

生：如圖1-128，把直立平面的豎邊畫成和水平平面的橫邊垂直．記作α⊥

β．

練習：(P.45中練習1)

畫互相垂直的兩個平面、兩兩垂直的三個平面． 如圖1-129．

(三)兩個平面垂直的判定

師：判定兩個平面互相垂直，除了定義外，還有下面的判定定理．

兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．

求證：α⊥β．

師提示：要證明兩個平面互相垂直，只有根據兩個平面互相垂直的定義，證明由它們組成的二面角是直二面角，因此必須作出它的一個平面角，并證明這個平面角是直角．如何作平面角呢？根據平面角的定義，可以作BE⊥CD，使∠ABE為二面角α-CD-β的平面

角．

讓學生獨自寫出證明過程． 證明：設a∩β=CD，則B∈CD．

∴AB⊥CD．

在平面β內過點B作直線BE⊥CD，則∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又

AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

師：兩個平面垂直的判定定理，不僅是判定兩個平面互相垂直的依據，而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據．如：建筑工人在砌墻時，常用一端系有鉛錘的線來檢查所砌的墻面是否和水平面垂直(圖見課本P.43中圖1-49)，實際上，就是依據這個

原理．

另外，這個定理說明要證明面面垂直，實質上是轉化為線面垂直來證明．下面我們來做一道練習．

練習：(P.45中練習2)

如圖1-131，檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉動一下，觀察尺邊是否和這個面密合就可以了．為什么？如果不轉動呢？

如果不轉動，只能確定兩條直線OA⊥OB，無法確定OA⊥β，從而無法確定α⊥

β．

(四)練習

例：⊙O在平面α內，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點．

求證：平面PAC⊥平面PBC．

證明：在θO內． ∵AB為θO的直徑，∴BC⊥AC． 又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．

∴平面PAC⊥平面PBC．(五)總結

本節課我們講解了兩個平面垂直的定義、畫法及判定方法．判定方法有兩種，一是利用定義，二是利用判定定理．如何應用兩個平面垂直的判定定理，把面面垂直的問題轉化為線面垂直的問題是本節課學習的關鍵．

五、作業

P．46中習題六．6、7、8、10(1)，

第五篇：2013白蒲中學高一數學教案：函數：13~14

第十三、十四教時

教材：反函數

目的：在掌握反函數概念的基礎上，初步會求非單調函數在各不同單調區間上的反函數；同時掌握互為反函數圖象之間的關系。處理《教學與測試》23課 P53 過程：

一、復習：反函數的概念，求一個反函數的步驟。

二、例一

分別求函數y?x2?6x?2在各單調區間上的反函數。

小結：一般，非單調函數在其定義域內無反函數，但在其各單調區間上是存在反函數的，關鍵是求出其單調區間。

例二

求下列函數的反函數：

1．y?3?2xx?2。y??1x?1x?122

小結：y?f(x)的值域就是它的反函數y?f(x)的定義域。因此，往往求函數的值域就是轉化成求其反函數的定義域。

三、下面研究互為反函數的函數圖象間的關系。

例三

P67 略

例四 P67-68 略

四、