第一篇：模型解釋與應用的敘述方式使枯燥乏味的數學

新世紀小學數學實驗教材（北師大版）為我國新一輪基礎教育教學改革提供了良好的課程環境：它大大加強了數學與現實生活的緊密聯系，使數學成為兒童的經驗、常識的提煉與升華；它采取“問題情境——數學模型——解釋與應用”的敘述方式，使枯燥乏味的數學變得既有趣又有用；它以實現兒童的發展為宗旨，為他們提供大量的觀察、猜想、思考、操作、驗證、自主探索與合作交流的機會，去收獲自信，感受自尊。我們高興地看到，學生喜歡學這樣的數學，教師也喜歡教它。

為了改變學生的學習方式，實驗老師們正在努力探索新的教學策略。先進的教育理念要轉化為教學實踐，不能沒有相應的教學策略為中介。一種教學策略的優劣，要看它是否考慮到學生的個別差異，是否確能使每個學生都得到充分的發展。教學研究的真諦，就在于尋找這樣的教學策略。課堂也確實在發生著可喜的變化：一言堂變成了群言堂，多了動感、生氣和活力，還時有孩子的真知灼見，語驚四座，讓人欣喜不已。但是，問題依然尖銳地擺在我們的面前：學生的個別差異該怎樣得到關注？教學的個別化該如何得以加強？弱勢學生群體的獨立性、自主性的培養和發展，需要什么樣的教育環境？如何才能實現“不同的人學習不同的數學”的課程目標？這些深層的、棘手的課題，我們還沒有多少破解的良策。于是在課堂觀察與反思中，不斷生發出以下的追問。

是“說數學”重要，還是“做數學”重要？

一位初中老師告訴我：他教初一時，有個一直為學不好數學而苦惱的女孩問他什么叫自然數。他沒有說教，只寫了一些數讓這孩子從中把自然數找出來，看她全找對了，就肯定她——已經懂得自然數了。這女孩既高興又驚異地問他：“老師，難道不用背自然數的定義嗎？”老師又肯定地回答：“不用”。接著，這女孩要求老師給她補習一下分數的加減法，直到學會了才罷休。后來，這女孩判若二人，仿佛治好了心病似的，對數學的恐懼感消失了，不到一年，她的數學成績從不及格直升到優生行列。我想，這位老師對學生最重要的價值引導，就是“會做數學”比“會說數學”更重要。

從數學課堂的大量觀察中，發現一種普遍的現象：讓學生說數學比做數學的機會多得多。這是否本末倒置？存在這種現象的主要原因，是不是我們的數學教學過于迷戀集體作業的方式了？呈現一個問題情境后，經?？吹降氖抢蠋熀芸炀驼垖W生起來應答，這幾個學生把問題解決了，似乎就相信全班學生都會了。這就是所謂集體作業的教學方式。老師們之所以喜歡這種教學方式，也許是它既能活躍課堂又便于控制教學節奏和進程?？墒?，蘇霍姆林基斯曾經指出：這種方式容易造成“表面的積極性”和“一切順利”的假象。在這樣的方式下，那

些中等學生和思維遲鈍的學生是否也有獨立思考、獨立解決問題的體驗，我們仍不得而知，我們有理由為他們感到不安。為此，蘇霍姆林斯基的重要建議是：“要把學生的獨立的、個別的作業做為學習數學的基礎?！雹?/p>

有一節小學一年級數學課，難以忘懷。課題是：在學過二位數減一位數不退位減法的基礎上，進一步學習二位數減一位數的退位減法。這位老師設計了一個人人都能做數學的情境，開始了師生共同探索的歷程。課前，老師為每張課桌都準備了5張卡片，上面分別寫著2、3、7、—和=等五個數字或運算符號。上課伊始，教師就請同桌的兩位小朋友分工合作：一位用這五張卡片擺出所有可能的二位數減一位數的算式，另一位動筆記下所擺的算式，準備匯報。孩子們都動起來了，而且興致勃勃，熱烈地討論著，緊張地擺著、寫著。爾后，老師才根據學生的匯報和補充，在黑板是寫下所有可能的六道算式：

27—3=

37—2=

73—2= 23—7=

32—7=

72—3= 老師由衷地贊賞學生的探索成果，接著又提出挑戰：我們班是不是每個同學都能獨立地心算出這幾道算式的結果？請大家把這些算式都抄在自己的本子上，并寫出心算的結果；能夠算出所有算式的，還要想想該怎樣用口頭語言表述你的算法步驟；遇到障礙的要找出難點，力爭自己克服，或者翻閱課本尋求幫助。顯然，老師在激勵孩子發揮自己的學習潛能，并讓有差異的孩子去意識、去發現自己的學習目標，使每個學生都有事做。幾分鐘過去了，老師巡堂了解全班學生獨立學習的情況后，回到講臺，拿起粉筆在黑板上醒目地寫下以下兩個算式：

32—7=35

32—7=25 “同一個算式，在我們同學中為什么會得出這樣兩個不同的結果？它們都對？都錯？還是一個對一個錯呢？”老師把全班學生的目光吸引到黑板上，以一連串的追問激化他們的認知沖突，“今天的挑戰是二位數減一位數，如果遇到個位數字不夠減時該怎么算。”老師挑明了探索的重點之后，要求小組展開討論：辨別上述兩種計算結果的正誤，對的要說出算理，錯的要找出錯因。課堂頓時又活躍起來。

到了小組匯報時，孩子踴躍而自信。老師把學生關于32—7=25的多種算法，一一展示在黑板上；并針對32—7=35的錯誤，請用豎式算法計算這道題的同學說一說：豎式算法要注

意哪些問題。

老師對課題作了簡要的小結后，就讓學生用自己喜歡或擅長的算法進行當堂練習??

這節課始終以“做數學”為主旋律貫通始終，老師少教學生反而多學，讓人感到踏實、放心。老師不斷創設有意義的問題情境或數學活動，激勵學生自己去做數學，從做中學。在做數學中，人人都必須獨立思考，都能夠自主探究；在做數學中，人人都可能發現問題，產生合作交流的愿望。在這里，“做數學”真正成為師生互動的基礎和紐帶，成為課堂發展的原動力。從這里，我們還能體驗到：改變“重教輕學”、“重說輕做”的傾向，采取“先學后教”、“先做后說”的教學策略是必要的、有效的。

數學課本，讓不讓學生自己先學？

有位在小學、初中數學成績蠻好的孩子，到了高中學習困難，成績掉了，來找我指點迷津。我發現他對數學課本十分陌生，果然數學課本他從來就沒有讀過。他說：“學數學就靠聽課、筆記、做習題?！?他的問題所在就是沒有學會獨立學習，沒有擺脫對老師的依賴。蘇霍姆林斯基說過：學會學習首先要學會閱讀，“一個閱讀能力不好的學生，就是一個潛在的差生。如果在小學里沒有教會他迅速地閱讀，他日后學習中就會遇到無法克服的困難?！雹?/p>

我們的小學沒有解決好這個問題，初中也沒有。在一堂初中的數學課上，老師講授了30分鐘新課后，留10分鐘給學生做練習。老師看到一個學生還在看書，沒做練習，就上前催他動筆?！皠偛艣]聽懂，想把書看懂了再做?！崩蠋焻s撂下一句：“聽都聽不懂，還想看懂？那簡直是奇跡。”可見，在傳統觀念的禁錮下，老師還有意無意地在強化著學生對教師的依賴。課本是學生認識世界的窗口和工具。可是，數學老師總是有意無意地擋住這個窗口，甚至整節課也沒讓學生翻過書，沒有意識到必須讓學生主動去接觸、使用這個工具。學會學習又從何談起？

現代心理學研究表明：任何學習都是學習者自主建構的過程。在這個過程中，離不開學習主體與文本之間的交互作用。有意義的接受學習是自主建構，有意義的發現學習也是自主建構。前者的認識機制是同化，它引起認知結構的量變；后者的認識機制是順應，它引起認知結構的質變。在學習過程中，既沒有絕對的接受學習，也沒有絕對的發現學習，總是兩者相互交替、有機結合的。在這個過程中，建構主義強調學習者主動接觸外界的信息（包括課本），并用自己已有的知識與經驗去解釋這些信息，從而賦予認識對象以心理意義。因此，課本必須成為學生自己賴以學會學習的讀本；一個好的數學老師不是在教數學，而是激勵學生

自己去學數學。

許多老師都有這樣的疑問：課本讓學生先讀了，還有什么可探究的？其實，建構與探究是學習過程中相輔相成的、內外不同的兩個向度，對外部世界是探究，在精神世界則是建構。探究性學習并不排斥對文本有意義的接受學習，相反，它很需要應用這種學習方式來擴充認知的背景，提高探究的起點。否則，像“四邊形”名稱之類的知識也要學生去猜想、發現，不僅浪費時間，而且毫無意義。在讀書的過程中，要找出疑問進行質疑，對例題進行變式，還要解題、問題解決，尋找新的算法，思考知識與知識之間、書本知識與現實生活之間的聯系等等，無一不是探究性、創造性的學習，也無一不是源于課本又高于課本的建構活動。

讓學生先學課本，旨在把獨立學習引進教學過程，同時也意味著教師必須把“教”建立在學生“學”的基礎之上，不能再充當面面俱到、照本宣科的講授者的角色。在學生先學之后，教師能不能有針對性地創設問題情景或數學活動，引導學生在質疑、操作、實驗、探索中消除“假知”，獲得真知，豐富體驗，求得發展？關鍵還是教師自身的教育底蘊與專業素養。例如，小學數學（人教版第六冊）“長方形與正方形的面積的計算”一課，學生先學之后，雖然知道“長方形的面積 = 長×寬”，但他們還難以理解：長方形的面積與它的長、寬為什么有這樣的關系？學生由此產生問題意識和解決這個問題的心向，渴望老師指導。有位老師就處理得很好，他讓每個學生都參與到如下的活動中去：由同桌兩位同學合作，從課前準備的12個小正方形（每個都表示1平方厘米面積單位）中，任意取出幾個，把它們拼成一個長方形后，記下它的面積、長、寬等一組數據。要求每桌至少拼出5個大小或形狀不同的長方形，記下相應的每一組數據；然后集中觀察這幾組數據，看能否從中發現什么規律；向小組或全班匯報、交流所得到的結論。經歷這樣的數學“再創造”和交流活動，不但抽象的長方形的面積公式，已經具體地根植在兒童的經驗之中，無須死記硬背，而且兒童對發現真理的歸納方法也多了幾分體驗。

又如，小學五年級“長方體的初步認識”一課，不能滿足于學生對課本知識的直觀、膚淺的把握，有必要引導學生探究一個長方體的面、棱、頂點的個數之間的內在聯系，思考從長方體面的個數與形狀特征出發，如何算出長方體的棱（或頂點）的個數。尋找這個算法，既有挑戰，又有意義，更是學生經過努力或小組合作能夠解決的。只有在探索事物內部規律性的活動中，學生的抽象思維能力才能得到培養和發展；只有抽象思維能力發展了，學生才能探究更復雜的規律性，解決更復雜的實際問題。

數學的讀寫能力作為數學的一種基本能力，已經成為現代社會要求每個公民必須具備的基本素養；沒有這種素養，便不可能自由地分享公共媒體與網絡世界的豐富資源，也不可能進行有效的交流。讓每個學生先對課本進行獨立閱讀、思考、作業，進而對課本進行質疑、重組、超越，必須成為數學教學不可或缺的有機組成部分。實踐證明：這么做了，不但能滿足學生想成為探索者、研究者、發現者的強烈需要，而且正如一個學生說的“自從看懂了數學書，才發現自己并不差，所以又重新鼓起了學習的希望”那樣，學生發現自己的學習潛能，找回自信與自尊，開啟學習的內驅力，也有了更多機會和可能。

不同的學生怎樣才能學習不同的數學？

學生的差異是顯著的。一位農村初中教師曾做過一次嘗試：為了檢驗一個學期培養學生自主學習的實驗成果，進一步了解學生的學習潛力，他布置初一寒假作業，就是要求學生在家超前自學初中代數第二冊的第一章——二元一次方程組（包括完成課本中的習題）。短短3周假期結束了，結果令他喜出望外：所教兩個班有百余人，90%左右的學生都完成了；有50%左右的學生超額完成，自學了兩章；有10%左右的學生已經學完了整本書；也有10%左右的學生自學還很困難，沒有完成任務。這個結果表明：學生中蘊藏著極大的學習潛能，也存在著巨大的個體差異?？上攵瑢W生對課堂教學的需要與期待也不會一樣，甚至很不相同。

在一所農村中學初二的數學課堂上，我遇到十幾位落伍得無可救藥的，因而教師干脆對他們放棄不管的學生。他們呆坐在教室的最后兩排，顯得一臉無奈和冷漠。我問其中一位學生：“聽得懂嗎？”“書能看懂嗎？”他都搖頭。我的心情很沉重，因為對于他們的困境，我無能為力，愛莫能助。教育是成全每一個完整的人生的，可他們卻只能在課堂上虛度時光，浪費生命。這一次經歷，使我對數學課堂更關注學生中弱勢群體的學習狀態。我注意到，即使在小學一年級的數學課堂里，學生參與學習的程度差異也是很明顯的：一部分學生爭先恐后地應答，表現得很出眾，很活躍，但更多的孩子或缺乏勇氣，或不善言辭，抑或沒有機會，而淪為聽眾或觀眾。一次，我悄悄地鼓勵就坐在身旁的一個小女孩舉手爭取發言，沒想到鄰座的男孩搶先說道：“她說她一舉手，心臟就跳得厲害?！焙髞?，這女孩終于舉起了手，可惜沒被老師瞧到。我突然悟到，這女孩此刻最需要的也許不是知識，而是一次戰勝膽怯、超越自己的機會。

讓不同的學生學習不同的數學，首先，要為每一個學生創造平等的參與學習的機會。我們之所以認為“先學后教”“先做后說”很重要，也是因為這些教學策略的實施，更可能為

所有學生提供平等和有效的學習機會。其次，要創造人人都有自尊，都有安全感的課堂教學氛圍。重要的是教師必須學會寬容和善待“差生”。為師者要懂得，就在這些數學的“差生”中，很難保證不會產生出未來的牛頓、愛因斯坦、普希金、吳晗、錢鐘書??在有安全感的課堂里，所有的學生才能敞開心扉，發揮潛能，顯露個性和才華。一位年輕的實驗教師來信，高興地告訴我：他任教的班，數學成績仍然遙遙領先；在期末問卷調查中，有75%的學生認為數學學習是快樂的，其中還有一個數學才考30多分的學生。我也特別為這位學生感到高興和慶幸，因為保護了一顆健康、好學、進取的心靈比什么都重要。

我們深感憂慮的，是基礎教育學業失敗現象的嚴峻性。美國教育家布魯姆早就尖銳地揭露過，造成學業失敗現象的深層原因，就在于以成績的正態曲線為工具，對學生反復進行分等的教學制度本身。在這種分等的制度下，總有大約三分之一的學生因年復一年屢遭學業的挫折、失敗，而厭學、逃學或輟學；他們不但心靈被扭曲，還會被逼到社會化的邊緣，導致嚴重的社會問題。③ 這決不是危言聳聽。學校的考試如果賦有改善教學過程，實現教學目標以外的其他價值，也會成為教育的災難。某地為了改變教育的落后面貌，曾出臺“末位下崗”的奇招：期末統考凡合格率不達標的教師一律被亮黃牌，被亮過兩次黃牌的教師就得下崗。結果弄得人心惶惶，舞弊成風，適得其反。其實，因單純追求合格率而衍生出了弄虛作假現象，在前蘇聯早有前車之鑒，它曾是前蘇聯1984年規模巨大的教育改革，要克服而沒有克服的問題之一。④ 要實現“不同的人學習不同的數學”這一“數學為大眾”的目標，必須同步進行考試改革，取消國家選拔和水平考試以外的一切統考及其評比，把考試權還給學校；要加強平時教學過程中，對不同學生的學習情感、態度、價值觀，與學習方式、策略、水平的個性化的考察與評價；對知識、技能、能力的考試，可以設目標水平不同的幾種試卷，供學生自主選擇，變考試成為學生的自我挑戰、主動競取的機會。

“教學和教育的技巧和藝術就在于，要使每一個兒童的力量和可能性發揮出來，使他享受到腦力勞動中的成功的樂趣。這就是說，在學習中，無論就腦力勞動的內容（作業的性質），還是就所需的時間來說，都應當采取個別對待的態度。”⑤ 蘇霍姆林斯基在數學課堂上觀察到，有如下五種不同的學生：第一種是無需任何幫助就能很容易地解答任何應用題，教師剛剛讀完條件就舉手要求回答的學生。教師還要挑選一些“超綱”的習題，給這些學生的智慧以力所能及的、但并不輕松的、要求緊張地動腦的工作；有時候，需要給學生布置這樣的習題，使他不能獨立地解答出來，但是教師給予的幫助是以稍加指點和提示為限。第二種能很好地完成作業，他們是靠付出勞動和用功學習而取勝的學生。第三種能在沒有幫助的情況下完成中等難度的習題，但是對復雜的習題有時解不出來。第四種學生對應用題的理解很慢，解答也很慢。他們在一節課上所能完成的作業，要比第二種、第三種學生所做的少一半到三分之二，但是教師無論如何不要催促他們。第五種學生完全沒有能力應付中等難度的習題。教師要為他們專門另選一些題目，始終只能指望他們在一節課上有所進步，哪怕一點點進步也好?！叭绻處熒朴诎褜W生引進一種力所能及的、向他們預示著并且使他們得到成功的腦力勞動中去，就連那些調皮搗蛋的學生也能多么勤奮地、專心致志地學習啊！這些學生在緊張的勞動中顯示他們那積極活動的精神，他們變得跟以前完全兩樣了，因為他們的全部注意力都集中在如何更好地完成作業上?！雹?凡是給人以成功的樂趣的腦力勞動，總會收到發展學生能力的結果的；每一個學生都在盡量靠自己的努力去達到目的，不同的學生才能真正學到不同的數學。

看我們實驗數學的課堂教學，正在認真實踐“算法多樣化”的教學思想，把算法最優化與思維的個性化結合起來。但是，對不同的學生所需不同的學習時間，還很缺乏個別對待的共識和態度。教師預設的教案仍像幽靈一樣操縱著教學同步劃一的進程，尤其是肩負著一個地區、一所學校榮辱的觀摩課，更容易異化為教案劇的表演；在平時課堂練習的時候，少見教師為不同的學生提供不同的習題，更多的是教師對每一道習題一般化的評點、反饋，把學生獨立練習時間搞得支離破碎，最缺少的是教師沉下去對需要幫助的學生進行針對性的個別指導。

有位實驗教師很有創意地把學習者分為四種角色，即追趕者、跟隨者、奔跑者和飛翔者，請學生自己給自己定位。開始全班都是追趕者或跟隨者，一年后就誕生20位的奔跑者和飛翔者了。在民主、開放的教育環境中，學生所煥發的潛能和展現的差異，令人吃驚。無論潛能還是差異，我們深切地體會到，它們都是急待開發利用的教育資源；越是班模大、人數多的班級，越需要小組合作學習。請飛翔者或奔跑者擔任小組的領頭雁與援助者；讓每一個學生都有歸屬感，不再無助；小組學習既拓展了課堂教學的時空，又加強了教學的個別化；因小組的精誠合作，課堂才不會再有被冷落或遺忘的角落?！霸谶@種情況下，教師和學生的相互關心與相互信任相結合。學生就不會把教師單純地看成嚴厲的監督者，也不會把評分當成一種棍棒。他可以坦率地對教師說：某某地方我沒有做好，某某地方我不會做。他的良心是純潔的，他不可能去抄襲別人的作業或者考試時搞夾帶。他想樹立起自己的尊嚴?！雹?/p>

待到不同的學生真正能夠學習不同的數學的時候，也許才能說：數學學習的主動權才真正屬于學生。到那時候，也許不會再有令人揪心的學業失敗現象，把教師弄得心情焦躁、精疲力竭；而是更多的成就感，更深切地體驗到自己在跟學生一起進步，一起發展。

注：

①蘇霍姆林斯基：《給教師的建議》 教育科學出版社 1980年版 第300頁 ②蘇霍姆林斯基：《給教師的建議》 教育科學出版社 1980年版 第304頁

③布魯姆：《掌握學習論文集》 福建教育出版社 1986年版 第66—67頁 ④吳文侃主編：《當代國外教學論流派》 福建教育出版社 1990年版 第118—119頁

⑤蘇霍姆林斯基：《給教師的建議》 教育科學出版社 1980年版 第2頁 ⑥蘇霍姆林斯基：《給教師的建議》 教育科學出版社 1980年版 第5頁 ⑦蘇霍姆林斯基：《給教師的建議》 教育科學出版社 1980年版 第2—3頁

第二篇：解釋與模型 教學設計（精選）

第五單元 解釋與模型

1．解 釋

教學目標：

1、過程與方法：

用多種方法，對事物進行觀察，并對觀察到的事實進行思考、分析。

2、知識與技能：

知道什么是解釋，理解事實與解釋之間的關系，知道解釋與假設一樣，也是科學探究中的一個重要環節，并且，一個正確的解釋，需要人們經過長期的驗證。

3、情感、態度與價值觀：

激發學生運用解釋的方法進行科學研究的興趣。

教學重點：

知道什么是解釋，理解解釋是科學探究中的一個重要環節，并能對某些現象進行解釋。教師準備：濾紙、水、盛水的塑料瓶、水性筆、教科書。

教學過程：

第一課時

一、直接進行新課：

1．指導學生知道解釋是怎么回事。

（1）講述：觀察書上56頁的圖，你看到了什么？又想到了什么？（板書：看

想）（2）學生回答。（教師不作判斷）（3）提問：雪地上留下了很多腳印，看過之后，你是怎樣想的？（4）學生回答。（教師同樣不作判斷）

（5）提問：這是幾位同學的身高曲線圖，你能從中發現什么有什么想法？

（6）講述：看到這三幅圖之后，我想，每個同學都會有自己的想法。以前科學課我們曾經學習過，比如用眼睛看、用耳朵聽、用鼻子聞等，通過這些方法得到的信息呢我們可以稱之為觀察到的現象，也可以叫做觀察到的事實，通過觀察我們可以得到許多事實，我們的大腦就會思考這些事實，并會在這些事實之間建立起一定的聯系，剛才同學們的回答和你們還沒來得及說的想法，其實就是對這些事實所做出的??解釋（板書：解釋）

2．指導學生認識事實與解釋之間的關系。

（1）提問：解釋與事實之間是怎樣的關系呢？（出示腐爛蘋果）

（2）談話：這是一個腐爛的蘋果，這兒有五句話，在這些語言中哪些是事實？哪些是解釋？

（3）學生匯報。（教師板書： 看

想

事實

解釋）（4）講述：蘋果變壞只是因為溫度太高嗎？（學生反應）

由此來看，對某一現象的解釋，不一定就是事實，它可能正確，也可能不正確。為了做出正確合理的解釋，你認為還應該怎樣做？（5）學生匯報。

（6）教師小結：我們應該獲得充分的證據，利用已有的知識，進行合理的思考。

3．指導學生做“毛細現象”的實驗。

（1）談話：（教師介紹實驗用具）濾紙、水性筆，用水性筆在濾紙上畫一朵小花，然后用筆的另一端蘸點水，滴在花的中心，你有什么發現？（2）學生實驗。

（3）提問：對于剛才你們觀察到的現象，你怎樣來解釋呢？（4）學生回答。

（5）教師小結：看來，我們要對剛才這些現象做出正確、合理的解釋，還需要這方面的資料。老師建議同學們回家后查找一下關于紙遇到水會怎樣的這方面的資料，有了資料、有了證據以后，你才能做出合理的解釋，得到一個正確的結論。

教學反思 ：

第二課時

1．指導學生認識一個正確的解釋是要經過不斷的修改完善的。

（1）談話：許多科學結論就是令人信服的解釋，這些結論的得出經歷了怎樣的過程呢？一個正常人的眼睛能看到很多東西，人眼睛是怎樣看到東西的呢？你是怎樣解釋的？ “通過反射光看到東西”這一結論現在已經被我們接受了，那么在這個結論得出之前，人們對“人眼是怎樣看到東西”是怎樣進行解釋的呢？

（教師指導學生理解書上58頁的各種解釋。）

（2）提問：看了這個資料，你認為一個正確結論的得出，經歷了怎樣的過程？（3）學生回答。

（4）提問：你知道日心說、板塊說的結論是怎樣得出來的嗎？（5）學生匯報自己查找的資料。

（6）講述：隨著社會的發展，尤其是科學技術的進步，對某些現象的結論，是科學家們經過長期的觀察、調查、實驗、分析、思考，不斷修改完善的結果。

2．指導學生了解為什么要把自己的解釋分布于眾。

（1）談話：怎么知道我們對某一現象的解釋是合理的呢？（2）學生匯報。

（3）提問：怎樣讓別人接受你的解釋呢？為什么要把自己的解釋公布于眾呢？（4）學生討論、匯報。

（5）講述：看來，我們要讓別人接受你的解釋，你需要做很多事情。但是，我們對某些現象進行解釋的時候，應該注意什么呢？

3．組織學生活動。

（1）教師提出要求：做一架小飛機，詳細寫下制作的步驟，然后與別人交換記錄，再按照他人的步驟進行制作，你會有什么感受？（2）學生按照教師的布置進行活動。（3）成果展示。（4）學生談感受。

（5）教師小結：看來，讓別人接受你的解釋，你還需要表達清楚，而如何進行表達，也有一定的技巧，老師希望同學們在今后的科學學習中，能用清楚的表達，告訴別人你更多的科學發現。教學反思：

2．用模型解釋

教學目標：

過程與方法

1、能夠在實際操作中，利用模型進行解釋；

2、學生會通過各種途徑了解模型解釋的方法、作用。知識與技能

1、知道利用模型解釋也是科學探究的一種形式；

2、了解簡單模型可以向別人介紹自己的解釋。情感、態度與價值觀

1、體會做成模型后的樂趣；

2、意識到利用模型進行解釋對科學研究的重要作用。

教學過程：

第一課時

一、黑匣子探秘

1．談話：同學們，上節課我們一起學習了解釋，這節課首先就請同學們來解釋這只黑匣子。這是一個密封的盒子，盒子里有一個滾珠和一些用厚紙板做的障礙物。厚紙板粘在盒子的某個部位，不許打開盒子，想辦法知道障礙物的位置和形狀，并做出解釋?，F在考慮一下怎樣才能知道障礙物的位置和形狀以及怎樣做出解釋。

2．學生匯報。（板書學生提供的方法）

3．談話：同學們已經知道怎樣找障礙物的方法，而我們今天就采用畫圖的方法進行“解釋”。

4．提供給學生同樣的，包括里面障礙物的位置和形狀，正面四角標有A、B、C、D的黑匣子。并提供標有A、B、C、D的圖紙。

5．學生分組搜集有關盒子的事實。

6．組與組之間進行交流。7．全班交流。（學生將各組研究結果粘貼在黑板上）

二、用模型解釋

1．談話：同學們是不是非常想知道盒子內的障礙物究竟是什么樣的？可惜的是我們并不能夠打開這個盒子，因為在我們的生活中，還有很多這樣類似與“黑匣子”的事物，我們人類并不能直接觀察它而獲得結果，只能依靠這樣那樣的方法去推測。你們能舉出這樣的例子嗎？科學家又是如何解釋的？

2．教師出示DNA模型（圖）、三球儀（模型）、自然界水的循環（課件）。讓學生說說對這些模型的認識以及作用，還可以說一說根據這些模型懂得了什么。3．小結：同學們，這節課我們用畫圖的方法解釋了“黑匣子”，又知道用圖可以解釋DNA的樣子，用模型可以解釋太陽、地球、月亮之間的關系，用動畫可以演示自然界水的循環，這些都是科學研究中很重要的方法——“用模型解釋”（板書）。

4．思考并交流：用模型解釋事物或現象要經歷怎樣的過程？

5．談話：同學們現在是不是還想知道盒子內的障礙物究竟是什么樣的？能否根據本課所學，采用畫圖以外的方法解釋盒內的障礙物？ 我們下節課將繼續進行“黑匣子探秘”。教學反思：

第二課時

一、“黑匣子探秘”

1．提問：想到采用畫圖以外的方法解釋盒內的障礙物的方法了嗎？

2．談話：這節課我們用一個盒子和厚紙板，通過收集到的有關“黑匣子”的信息，再造一個“黑匣子”，用這樣的模型去解釋盒內的障礙物。（這一環節最好引導學生自行討論得出）

3．學生依據圖畫制作模型。

4．學生依據自制模型對“黑匣子”做出解釋。

5．依據各組的研究結果，推測盒內的障礙物最有可能是什么樣的和在什么位置。

二、作業：做一個肘關節模型，并解釋肘部。

教學反思：

第三篇：數學與應用數學

數學與應用數學

學科：理學

門類：數學類

專業名稱：數學與應用數學

業務培養目標：本專業培養掌握數學科學的基本理論與基本方法，具備運用數學知識、使用計算機解決實際問題的能力，受到科學研究的初步訓練，能在科技、教育和經濟部門從事研究、教學工作或在生產經營及管理部門從事實際應用、開發研究和管理工作的高級專門人才。

業務培養要求：本專業學生主要學習數學和應用數學的基礎理論、基本方法，受到數學模型、計算機和數學軟件方面的基本訓練，具有較好的科學素養，初步具備科學研究、教學、解決實際問題及開發軟件等方面的基本能力。

畢業生應獲得以下幾方面的知識和能力：

1．具有扎實的數學基礎，受到比較嚴格的科學思維訓練，初步掌握數學科學的思想方法；

2．具有應用數學知識去解決實際問題，特別是建立數學模型的初步能力，了解某應用領域的基本知識；

3．能熟練使用計算機(包括常用語言、工具及一些數學軟件)，具有編寫簡單應用程序的能力；

4．了解國家科學技術等有關政策和法規；

5．了解數學科學的某些新發展和應用前景；

6．有較強的語言表達能力，掌握資料查詢、文獻檢索及運用現代信息技術獲取相關信息的基本方法，只有一定的科學研究和教學能力。

主干學科：數學

主要課程：分析學、代數學、兒何學、概率論、物理學、數學模型、數學實驗、計算機基礎、數值法、數學史等，以及根據應用方向選擇的基本課程。

主要實踐性教學環節：包括計算機實習、生產實習、科研訓練或畢業論文等，一般安排10-20周。

修業年限：四年

授予學位：理學學士

開設院校

全部高校>> 北京大學 云南大學 武漢大學 北京航空航天大學 北京師范大學 內蒙古大學 長安大學 北京林業大學 北京郵電大學 河北科技大學 大連海事大學 西北大學 湖南大學 遼寧大學 河北經貿大學 哈爾濱工業大學 河北工業大學 中國人民大學 西南交通大學 西安電子科技大學

第四篇：招標投標法中招標方式解釋與總結

《招標投標法》中規定了幾種招標方式？各有何特點？

法定招標方式

1、招標方式：公開招標，邀請招標

2、公開招標：招標人在指定的報刊、電子網絡或其他媒體上發布招標公告，吸引眾多的企業單位參加投標競爭，招標人從中擇優選擇中標單位。

3、邀請招標：也稱選擇性招標，由招標人根據供應商、承包資信和業績，選擇一定數目的法人或其他組織（一般不能少于3家），向其發出投標邀請書，邀請他們參加投標競爭。公開招標和邀請招標的區別

1、發布信息的方式不同。公開招標采用公告的形式發布，邀請招標采用投標邀請書的形式發布。

2、選擇的范圍不同。公開招標針對一切潛在的對招標項目感興趣的法人或其他組織，招標人事先不知道投標人的數量；邀請招標針對已經了解的法人或其他組織，而且事先已經知道投標人的數量。

3、競爭的范圍不同。公開招標競爭的范圍較廣，容易獲得最佳招標效果；邀請招標中投標人的數目有限，競爭的范圍有限，也有可能將某些在技術上或報價上更有競爭力的供應商或承包商遺漏。

4、公開的程度不同。公開招標中，所有的活動都必須嚴格按照預先指定并為大家所的民程序標準公開進行，大大減少了作弊的可能；邀請招標的公開程度遜色一些，產生不法行為的機會也就多一些。

5、時間和費用不同。邀請招標不發公告，招標文件只送幾家，使整個招投標的時間大大縮短，招標費用也相應減少。公開招標的程序比較，從發布公告，投標人作出反應，評標，到簽訂合同，有許多時間上的要求，要準備許多文件，因而耗時較長，費用也比較高。投標基本原則

1、沒有中標秘笈：以誠相待，以質取勝，突出亮點，揚長避短；

2、正確看待落選：失敗乃成功之母，借機提高企業素質和知名度；

3、提高設計水平：弱電工程統疇招標，應有綜合設計水平；

4、合理的性價比：并非總是價低者得；

5、時間觀念精確：事事留有充分余地；

6、吃透招標文件：對每項內容的實質性要求和條件作出響應；

7、了解業主情況：指導思想、經濟狀況、投資意向、設計思路等；

8、熟悉標準規范：背景音樂、消防報警、綜合布線??

9、選好發言人：參加釋標、詢標和答辯；

10、提高文件質量：字句嚴謹、精煉，圖文并茂，標題突出，裝幀美觀。投標的主要環節

1、收集信息

2、篩選項目

3、投標決策

4、成立項目小組，并適當分工

5、透徹理解招標書

6、資格預審

7、確定技術方案

8、確定報價方案

9、編制投標文件

10、按時投遞投標文件

11、述標

12、開標 投標書的主要內容

1、投標書（投標公司致業主）

授權公司內某人作項目經理 投標總造價（分項再合計）注明本標有效期

本次投標函電、地址、郵編、電話、聯系人 授權代表簽名，加蓋公司公章

2、授權書

公司法人代表（姓名，身份證號）授權本次投標負責人（姓名，身份證號）全權代表公司參加本次工程（注明工程項目及名稱）招標的投標工作。

授權人、被授權人簽名，簽發日期，加蓋公章。

3、資格證明文件

公司情況總匯 ： ①公司成立日期，資質證號，業務范圍。②工程技術人員一覽表 ③公司組織架構 ④上級管理部門須發的資格文件、證件（復印件）、證書、名稱、頒發期、有效期、頒發單位 ⑤企業法人營業執照（復印件）⑥近年來實有資金，年營業總值和總凈利，會計報表復印件，資產負債表，損益表，商品流通費用表

4、工程業績表

5、投標價格匯總表

系統分項表 設備費、材料費、安裝調試費，設備名細表

6、設計方案說明（分項目說明：燈光、音響、視頻、集控，等）

7、技術設計圖紙

系統圖、平面布局圖、布線圖（也可簽合同后再出）

8、主要設備的技術文件

9、工程項目組織管理架構

管理架構表，工程負責人曾參加過的工程項目陳述，施工方案，工程進度計劃（表格）

10、售后服務承諾書

11、合理化建議：

除標書要求外，提出自己的合理化建議。

12、優惠政策

技術方案設計應遵循的原則

1、先進性：先進的設備、服務和管理。

2、便利性：服務用戶，良好的操控性，方便使用。

3、經濟合理性：盡量減少投資，取得最高的性能價格比。

4、標準化：標準化為維護和修理整個系統提供便利。

5、開放性：適應未來發展方向，通信、硬件、軟件都具備開放性。

6、可擴展性：考慮將來擴大或變化，布線規劃應留有20％儲備。投標書制作要點

1、容易閱讀：用明顯的標志，區分每個部分； 裝訂精致：避免差錯 ； 語言嚴密：特別是關鍵細節處 ； 真實有效：表格、證件等一定要真實有效 展示優勢：突出展示優于競爭對手的特點；

展示實力：自身業績、其他中標項目、有關良好評價、產品樣本； 簽字蓋章：否則廢標； 報價完整：不能缺項；

數量符合：正本與付本數量符合要求； 制造廠授權正規：要原件，簽字、蓋章； 修改的地方要簽字； 打印，裝訂成冊，密封；

《開標一覽表》與《投標保函》單獨封存； 提前送交投標文件； 評標、決標參考點

投標總價：未必最低，但求合理 價格分項和單價； 計劃施工總工期； 在建及竣工工程考察情況； 設計的合理性、適用性和先進性； 施工組織設計方案和技術措施。招標投標串通行為識別 投標者之間串通

投標者約定，一致抬高或者壓低投標報價； 投標者約定，在投標中輪流以高價或者以低價中標； 投標者先內部競價，內定中標人，然后再參加投標； 投標者之間其它串通投標行為。投標者與招標者串通

泄露標底：即招標人有意向某一特定投標人透露其標底行為；

更改標書：招標者在公開開標前，開啟標書，并將投標情況告知其他投標者，或者協助投標者撤換標書，更改報價；

標外補償：投標者與招標者商定，在招標投標時壓低或者抬高標價，中標后再給投標者或者招標者額外補償；

內定中標：預先內定中標者，在確定中標者時以此決定取舍； 故意引導：作澄清事實時，做引導性提問，促成該投標人中標了； 差別對待：審查、評選標書時，對標書或投標者實施差別對待； 故意幫助：允許不符合投標資格的投標者參加投標，并讓其中標； 投標報價注意事項 計算出準確的價格； 仔細閱讀標書，確認工程量； 確認評標原則和方法； 應把握好確定投標報價的時機；

有經驗的投標人都會在遞交投標文件的前夕，根據競爭對手和投標現場的情況，最終確定投標報價或折扣率，現場填寫有關方面的文件。慎重確定投標保證金的金額； 分析研究競爭對手的報價，知己知彼。

這是一項難度較大但很有實際意義的工作，如果能把對手的報價分析透，既可使自家的報價優于對手，又可避免為了中標而過多壓低報價、從而在中標后獲得更好的經濟效益。亨是在有些情況吃不準時，最終報價以偏低不偏高為原則。

按法律規定，投標價不能低于成本價。如有特殊情況，在投標文件中應加以說明。投標報價應一步到位。

投標人要考慮到投標報價是一次性的，開標后不能更改。有些企業曾經受過一些不規范招標的影響，認為開標后還能壓價，因而報價時戴了高帽子，結果吃了抬高報價的虧，與中標無緣。

在同一工程項目投多個標段時，各標段的最終報價不要在一個標準水平上，要有一定的階梯度。

也就是說以正常預算為基本點而增降的最終報價，各標段增降幅度要有一定的階梯差，這樣可保證其中一個標段的報價接近最優報價，不會出現整體“飛標”的現象。這就是前面所講盡可能多投標段的原因。評標辦法

最低報價中標法——價低者得

優點 ：①降低造價，節約投資；②優勝劣汰；③減少腐敗行為。

缺點 ： ①不計成本，盲目壓價，中標后追加造價； ②貨不對板，偷工減料。

報價技巧：①最大限度降低報價爭取中標；②投標時采用不平衡報價，創造索賠機會并爭取最大限度的索賠金額，切忌盲目壓價自釀苦果。A標法 概念：業主自主確定標底價格并以此作為評標標底。在標底＋n％和標底―m％間為有效報價，并對有效區間＋n％～－m％的不同區段分別賦分，獲得最高分者中標。缺點：保密性不高，或估價不準造成標底過高或過低。

報價技巧：掌握預算經驗、方法，揣摩業主標底編制人員的心理，站在業主的角度去編制預算和報價，盡可能地讓投標預算和業主標底相吻合，使最終報價在最佳賦分范圍，爭取中標。B標法

概念：招標人根據批準的預算情況，取合格投標者的報價的平均值為評標標底，規定在標底＋n％～－m％的報價為有效報價，評審時對有效區間＋n％～－m％的不同區段分別賦分，獲得最高分者中標。

優點：標底和中標單位的報價反應了市場供求關系。

缺點：較少體現業主的愿望，容易讓投標人鉆空子，導致標底失真，不利于競爭，通常適用于施工工藝較簡單的工程。

報價技巧：掌握市場行情，讓報價盡可能接近當期平均生產力水平。競爭對手彼此已較為熟悉，研究競爭對手以往的報價和恰當地預測競爭對手在本項目可能采用的報價。評標辦法-4

“A＋B”值評標法

概念：招標人編制一個標底A，有效平均報價B＝(B1＋B2＋?Bn）/n，復合標底 D＝A×K1＋B×K2（K1-標底A占復合標底權重系數，一般為0.4～0.7；K2-報價B占復合標底大權重系數，一般為0.6～0.3；）。

中標價：在復合標底D的＋n％～－m％范圍內的報價為第二輪有效報價可進入評標階段。評標時對＋n％～－m％區間的不同區段賦分。如：以復合標底的X％為滿分60分，報價每高于此值1％扣2分，每低于此值1％扣1分，得分高報價為最優報價。

優點：兼顧業主的期望和市場實際生產力水平，便于理解和操作；不怕萬一業主泄露標底，一定程度上杜絕了暗箱操作。

缺點：保護了當前平均先進的生產水平，采用新技術、新方法大幅度降低成本、報價，反而有可能被淘汰，不利于技術進步。

報價技巧：基本原則：保證報價C在業主標底A的＋n％和－m％間，保證C最接近最優報價Cw＝D×X％。經驗公式：Cw＝[A×K1＋（0.91±2％）×A×K2] ×X％。

第五篇：數學思維方式與創新

集合的劃分

（一）已完成 1 數學的整數集合用什么字母表示？ A、N B、M C、Z D、W 我的答案：C 2 時間長河中的所有日記組成的集合與數學整數集合中的數字是什么對應關系？ A、交叉對應 B、一一對應 C、二一對應 D、一二對應 我的答案：B 3 分析數學中的微積分是誰創立的？ A、柏拉圖 B、康托 C、笛卡爾

D、牛頓-萊布尼茨 我的答案：D 4 黎曼幾何屬于費歐幾里德幾何，并且認為過直線外一點有多少條直線與已知直線平行？ A、沒有直線 B、一條 C、至少2條 D、無數條 我的答案：A 5 最先將微積分發表出來的人是 A、牛頓 B、費馬 C、笛卡爾 D、萊布尼茨 我的答案：D 6 最先得出微積分結論的人是 A、牛頓 B、費馬 C、笛卡爾 D、萊布尼茨 我的答案：A 7 第一個被提出的非歐幾何學是 A、歐氏幾何 B、羅氏幾何 C、黎曼幾何 D、解析幾何 我的答案：B 8 代數中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。我的答案：3 9 數學思維方式的五個重要環節:觀察－抽象－探索－猜測－論證。我的答案：√ 10 在今天，牛頓和萊布尼茨被譽為發明微積分的兩個獨立作者。我的答案：√

集合的劃分

（二）已完成 1 星期日用數學集合的方法表示是什么？ A、{6R|R∈Z} B、{7R|R∈N} C、{5R|R∈Z} D、{7R|R∈Z} 我的答案：D 2 將日期集合里星期一到星期日的七個集合求并集能到什么集合？ A、自然數集 B、小數集 C、整數集 D、無理數集 我的答案：C 3 在星期集合的例子中，a,b屬于同一個子集的充要條件是什么？ A、a與b被6除以后余數相同 B、a與b被7除以后余數相同 C、a與b被7乘以后積相同 D、a與b被整數乘以后積相同 我的答案：B 4 集合的性質不包括 A、確定性 B、互異性 C、無序性 D、封閉性 我的答案：D 5 A={1，2}，B={3,4},A∩B= A、Φ B、A C、B D、{1,2,3,4} 我的答案：A 6 A={1，2}，B={3,4}，C={1,2,3,4}則A，B，C的關系 A、C=A∪B B、C=A∩B C、A=B=C D、A=B∪C 我的答案：A 7 星期二和星期三集合的交集是空集。我的答案：√ 8 空集屬于任何集合。我的答案：3 9 “很小的數”可以構成一個集合。我的答案：3

集合的劃分

（三）已完成 1 S是一個非空集合，A，B都是它的子集，它們之間的關系有幾種？ A、2.0 B、3.0 C、4.03 D、5.0 我的答案： 2 如果～是集合S上的一個等價關系則應該具有下列哪些性質？ A、反身性 B、對稱性 C、傳遞性 D、以上都有 我的答案：D 3 如果S、M分別是兩個集合，SХM{（a,b)|a∈S,b∈M}稱為S與M的什么？ A、笛卡爾積 B、牛頓積 C、康拓積

D、萊布尼茨積 我的答案：A 4 A={1,2}，B={2,3}，A∪B= A、Φ B、{1,2,3} C、A D、B 我的答案：B 5 A={1,2}，B={2,3}，A∩B= A、Φ B、{2} C、A D、B 我的答案：B 6 發明直角坐標系的人是 A、牛頓 B、柯西 C、笛卡爾 D、伽羅瓦 我的答案：C 7 集合中的元素具有確定性，要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合。我的答案：√ 8 任何集合都是它本身的子集。我的答案：√ 9 空集是任何集合的子集。我的答案：√

集合的劃分

（四）已完成 1 設S上建立了一個等價關系～，則什么組成的集合是S的一個劃分？ A、所有的元素 B、所有的子集 C、所有的等價類 D、所有的元素積 我的答案：C 2 設～是集合S上的一個等價關系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，稱為a確定的什么？ A、等價類 B、等價轉換 C、等價積 D、等價集 我的答案：A 3 如果x∈a的等價類，則x～a,從而能夠得到什么關系？ A、x=a B、x∈a C、x的笛卡爾積=a的笛卡爾積 D、x的等價類=a的等價類 我的答案：D 4 0與{0}的關系是 A、二元關系 B、等價關系 C、包含關系 D、屬于關系 我的答案：D 5 元素與集合間的關系是 A、二元關系 B、等價關系 C、包含關系 D、屬于關系 我的答案：D 6 如果X的等價類和Y的等價類不相等則有X～Y成立。我的答案：3 7 A∩Φ=A 我的答案：3 8 A∪Φ=Φ 我的答案：3

等價關系

（一）已完成 1 星期一到星期日可以被統稱為什么？ A、模0剩余類 B、模7剩余類 C、模1剩余類 D、模3剩余類 我的答案：B 2 星期三和星期六所代表的集合的交集是什么？ A、空集 B、整數集 C、日期集 D、自然數集 我的答案：A 3 x∈a的等價類的充分必要條件是什么？ A、x>a B、x與a不相交 C、x～a D、x=a 我的答案：C 4 設R和S是集合A上的等價關系，則R∪S的對稱性 A、一定滿足 B、一定不滿足 C、不一定滿足 D、不可能滿足 我的答案： 5 集合A上的一個劃分，確定A上的一個關系為 A、非等價關系 B、等價關系 C、對稱的關系 D、傳遞的關系 我的答案：B 6 等價關系具有的性質不包括 A、反身性 B、對稱性 C、傳遞性 D、反對稱性 我的答案：D 7 如果兩個等價類不相等那么它們的交集就是空集。我的答案：√ 8 整數的同余關系及其性質是初等數論的基礎。我的答案：√ 9 所有的二元關系都是等價關系。我的答案：3

等價關系

（二）已完成 1 a與b被m除后余數相同的等價關系式是什么？ A、a+b是m的整數倍 B、a*b是m的整數倍 C、a-b是m的整數倍 D、a是b的m倍 我的答案：C 2 設～是集合S的一個等價關系，則所有的等價類的集合是S的一個什么？ A、笛卡爾積 B、元素 C、子集 D、劃分

我的答案：D 3 如果a與b模m同余，c與d模m同余，那么可以得到什么結論？ A、a+c與b+d模m同余 B、a*c與b*d模m同余 C、a/c與b/d模m同余 D、a+c與b-d模m同余 我的答案： 4 設A為3元集合，B為4元集合，則A到B的二元關系有幾個 A、12.0 B、13.0 C、14.0 D、15.0 我的答案：A 5 對任何a屬于A，A上的等價關系R的等價類[a]R為 A、空集 B、非空集 C、{x|x∈A} D、不確定 我的答案： 6 在4個元素的集合上可定義的等價關系有幾個 A、12.0 B、13.0 C、14.0 D、15.0 我的答案： 7 整數集合Z有且只有一個劃分，即模7的剩余類。我的答案：3 8 三角形的相似關系是等價關系。我的答案：√ 9 設R和S是集合A上的等價關系，則R∪S一定是等價關系。我的答案：3

模m同余關系

（一）已完成 1 在Zm中規定如果a與c等價類相等，b與d等價類相等，則可以推出什么相等？ A、a+c與d+d等價類相等 B、a+d與c-b等價類相等 C、a+b與c+d等價類相等 D、a*b與c*d等價類相等 我的答案：C 2 如果今天是星期五，過了370天是星期幾？ A、一 B、二 C、三 D、四

我的答案：D 3 在Z7中，4的等價類和6的等價類的和幾的等價類相等？ A、10的等價類 B、3的等價類 C、5的等價類 D、2的等價類 我的答案：B 4 同余理論的創立者是 A、柯西 B、牛頓 C、高斯 D、笛卡爾 我的答案：C 5 如果今天是星期五，過了370天，是星期幾 A、星期二 B、星期三 C、星期四 D、星期五 我的答案：C 6 整數的四則運算不保“模m同余”的是 A、加法 B、減法 C、乘法 D、除法

我的答案：D 7 整數的除法運算是?！澳同余”。我的答案：3 8 同余理論是初等數學的核心。我的答案：√

模m同余關系

（二）已完成 1 Zm的結構實質是什么？ A、一個集合 B、m個元素 C、模m剩余環 D、整數環 我的答案：C 2 集合S上的一個什么運算是S*S到S的一個映射？ A、對數運算 B、二次冪運算 C、一元代數運算 D、二元代數運算 我的答案：D 3 對任意a∈R,b∈R,有a+b=b+a=0,則b稱為a的什么？ A、正元 B、負元 C、零元 D、整元 我的答案：B 4 偶數集合的表示方法是什么？ A、{2k|k∈Z} B、{3k|k∈Z} C、{4k|k∈Z} D、{5k|k∈Z} 我的答案：A 5 矩陣的乘法不滿足哪一規律？ A、結合律 B、分配律 C、交換律 D、都不滿足 我的答案：C 6 Z的模m剩余類具有的性質不包括 A、結合律 B、分配律 C、封閉律 D、有零元 我的答案：C 7 模5的最小非負完全剩余系是 A、{0,6,7,13,24} B、{0,1,2,3,4} C、{6.7.13.24} D、{1,2,3,4} 我的答案：B 8 同余關系具有的性質不包括 A、反身性 B、對稱性 C、傳遞性 D、封閉性 我的答案：D 9 在Zm中a和b的等價類的乘積不等于a,b乘積的等價類。我的答案：3 10 如果一個非空集合R滿足了四條加法運算，而且滿足兩條乘法運算可以稱它為一個環。我的答案：√ 11 如果環有一個元素e，跟任何元素左乘右都等于自己，那稱這個e是R的單位元。（）我的答案：√ 12 中國剩余定理又稱孫子定理。我的答案：√

模m剩余類環Zm

（一）已完成 1 Z的模m剩余類環的單位元是 A、0.0 B、1.0 C、2.0 D、3.0 我的答案：B 2 集合的劃分，就是要把集合分成一些（）。A、子集 B、空集 C、補集 D、并交集 我的答案： 3 設R是一個環，a∈R，則02a= A、0 B、a C、1.0 D、2.0 我的答案：A 4 如果一個非空集合R有滿足其中任意一個元素和一個元素加和都是R中元素本身，則這個元素稱為什么？ A、零環 B、零數 C、零集 D、零元

我的答案：D 5 若環R滿足交換律則稱為什么？ A、交換環 B、單位環 C、結合環 D、分配環 我的答案：A 6 環R中的運算應該滿足幾條加法法則和幾條乘法法則？ A、3、3 B、2、2 C、4、2 D、2、4 我的答案：C 7 矩陣乘法不滿交換律也不滿足結合律。我的答案：3 8 環R中零元乘以任意元素都等于零元。我的答案：√ 9 整數的加法是奇數集的運算。我的答案：3 10 設R是非空集合，R和R的笛卡爾積到R的一個映射就是運算。我的答案：√

模m剩余類環Zm

（二）已完成 1 在Zm環中一定是零因子的是什么？ A、m-1等價類 B、0等價類 C、1等價類 D、m+1等價類 我的答案：B 2 環R中，對于a、c∈R,且c不為0，如果ac=0，則稱a是什么？ A、零元 B、零集 C、左零因子 D、歸零因子 我的答案：C 3 環R中滿足a、b∈R，如果ab=ba=e(單位元）則稱a是什么？ A、交換元 B、等價元 C、可變元 D、可逆元 我的答案：D 4 設R是一個環，a，b∈R，則(-a)2（-b）= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：C 5 設R是一個環，a，b∈R，則(-a)2b= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：D 6 設R是一個環，a，b∈R，則a2（-b）= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：D 7 環R中滿足a、b∈R，如果ab=ba=e(單位元），那么其中的b是唯一的。我的答案：√ 8 Z的模m剩余類環是有單位元的交換環。我的答案：√ 9 一個環有單位元，其子環一定有單位元。我的答案：3

環的概念已完成 1 在Zm剩余類環中沒有哪一種元？ A、單位元 B、可逆元

C、不可逆元，非零因子 D、零因子 我的答案：C 2 在整數環中只有哪幾個是可逆元？ A、1、-1 B、除了0之外 C、0.0 D、正數都是 我的答案：A 3 在模5環中可逆元有幾個？ A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案： 4 Z的模4剩余類環不可逆元的有（）個。A、4 B、3 C、2 D、1 我的答案： 5 Z的模2剩余類環的可逆元是 A、0.0 B、1.0 C、2.0 D、4.0 我的答案：B 6 設R是有單位元e的環，a∈R，有（-e）2a= A、e B、-e C、a D、-a 我的答案：D 7 在有單位元e（不為零）的環R中零因子一定是不可逆元。我的答案：√ 8 一個環沒有單位元，其子環不可能有單位元。我的答案：3 9 環的零因子是一個零元。我的答案：3

域的概念已完成 1 當m是什么數的時候，Zm就一定是域？ A、復數 B、整數 C、合數 D、素數

我的答案：D 2 素數m的正因數都有什么？ A、只有1 B、只有m C、1和m D、1到m之間的所有數 我的答案：C 3 最小的數域是什么？ A、有理數域 B、實數域 C、整數域 D、復數域 我的答案：A 4 設F是一個有單位元（不為0）的交換環，如果F的每個非零元都是可逆元，那么稱F是一個什么？ A、積 B、域 C、函數 D、元

我的答案：B 5 屬于域的是（）。A、（Z,+,2）B、（Z[i],+,2）C、（Q,+,2）D、（I,+,2）我的答案： 6 Z的模p剩余類環是一個有限域，則p是 A、整數 B、實數 C、復數 D、素數

我的答案：D 7 不屬于域的是（）。A、（Q,+,2）B、（R,+,2）C、（C,+,2）D、（Z,+,2）我的答案： 8 有理數集，實數集，整數集，復數集都是域。我的答案：3 9 域必定是整環。我的答案：√ 10 整環一定是域。我的答案：3

整數環的結構

（一）已完成 1 對于a,b∈Z，如果有c∈Z,使得a=cb，稱b整除a,記作什么？ A、b^a B、b/a C、b|a D、b&a 我的答案：C 2 整數環的帶余除法中滿足a=qb+r時r應該滿足什么條件？ A、0<=r<|b| B、1 C、0<=r D、r<0 我的答案：A 3 在整數環中沒有哪種運算？ A、加法 B、除法 C、減法 D、乘法 我的答案： 4 最先對Z[i]進行研究的人是 A、牛頓 B、柯西 C、高斯 D、伽羅瓦 我的答案：C 5 不屬于無零因子環的是 A、整數環 B、偶數環 C、高斯整環 D、Z6 我的答案： 6 不屬于整環的是 A、Z B、Z[i] C、Z2 D、Z6 我的答案： 7 整數環是具有單位元的交換環。我的答案：√ 8 整環是無零因子環。我的答案：√ 9 右零因子一定是左零因子。我的答案：3

整數環的結構

（二）已完成 1 在整數環中若c|a,c|b，則c稱為a和b的什么？ A、素數 B、合數 C、整除數 D、公因數 我的答案：D 2 整除沒有哪種性質？ A、對稱性 B、傳遞性 C、反身性 D、都不具有 我的答案： 3 a與0 的一個最大公因數是什么？ A、0.0 B、1.0 C、a D、2a 我的答案：C 4 不能被5整除的數是 A、115.0 B、220.0 C、323.0 D、425.0 我的答案：C 5 能被3整除的數是 A、92.0 B、102.0 C、112.0 D、122.0 我的答案：B 6 整環具有的性質不包括 A、有單位元 B、無零因子 C、有零因子 D、交換環 我的答案：C 7 在整數環的整數中，0是不能作為被除數，不能夠被整除的。我的答案：3 8 整除關系是等價關系。我的答案：3 9 若n是奇數，則8|（n^2-1）。我的答案：√

整數環的結構

（三）已完成 1 0與0的最大公因數是什么？ A、0.0 B、1.0 C、任意整數 D、不存在 我的答案： 2 探索里最重要的第一步是什么？ A、實驗 B、直覺判斷 C、理論推理 D、確定方法 我的答案： 3 對于a,b∈Z，如果有a=qb+r，d滿足什么條件時候是a與b的一個最大公因數？ A、d是a與r的一個最大公因數 B、d是q與r的一個最大公因數 C、d是b與q的一個最大公因數 D、d是b與r的一個最大公因數 我的答案：D 4 gac(234,567)= A、3.0 B、6.0 C、9.0 D、12.0 我的答案：C 5 若a=bq+r,則gac(a,b)= A、gac(a,r)B、gac(a,q)C、gac(b,r)D、gac(b,q)我的答案： 6 gac(126,27)= A、3.0 B、6.0 C、9.0 D、12.0 我的答案：C 7 對于整數環，任意兩個非0整數a,b一定具有最大公因數。我的答案：√ 8 a是a與0的一個最大公因數。我的答案：√ 9 0是0與0的一個最大公因數。我的答案：√

整數環的結構

（四）已完成 1 如果d是被除數和除數的一個最大公因數也是哪兩個數的一個最大公因數？ A、被除數和余數 B、余數和1 C、除數和余數 D、除數和0 我的答案：C 2 對于整數環，任意兩個非0整數a,b一定具有最大公因數可以用什么方法求？ A、分解法 B、輾轉相除法 C、十字相乘法 D、列項相消法 我的答案：B 3 對于a與b的最大公因數d存在u,v滿足什么等式？ A、d=ua+vb B、d=uavb C、d=ua/vb D、d=uav-b 我的答案： 4 gcd(13,8)= A、1.0 B、2.0 C、8.0 D、13.0 我的答案：A 5 gcd(56,24)= A、1.0 B、2.0 C、4.0 D、8.0 我的答案：D 6 gac(13,39)= A、1.0 B、3.0 C、13.0 D、39.0 我的答案：C 7 用帶余除法對被除數進行替換時候可以無限進行下去。我的答案：3 8 歐幾里得算法又稱輾轉相除法。我的答案：√ 9 計算兩個數的最大公因子最有效的方法是帶余除法。我的答案：3

整數環的結構

（五）已完成 1 若a,b∈Z，且不全為0，那么他們的最大公因數有幾個？ A、5.0 B、4.0 C、3.0 D、2.0 我的答案：D 2 若a,b∈Z，它們的最大公因數在中國表示為什么？ A、[a,b] B、{a,b} C、(a,b)D、gcd(a,b)3 我的答案： 3 如果a,b互素，則存在u,v與a,b構成什么等式？ A、1=uavb B、1=ua+vb C、1=ua/vb3 D、1=uav-b 我的答案： 4 在Z中，若a|bc,且(a,b)=1則可以得到什么結論？ A、a|c B、(a，c）=13 C、ac=1 D、a|c=1 我的答案： 5 若（a,b）=1,則a與b的關系是 A、相等 B、大于 C、小于 D、互素

我的答案：D 6 由b|ac及gac(a,b)=1有 A、a|b B、a|c C、b|c D、b|a3 我的答案： 7 若a與b互素，有 A、（a,b）=0 B、(a,b)=1 C、(a,b)=a D、(a,b)=b 我的答案：B 8 在整數環中若（a,b）=1，則稱a,b互素。我的答案：√ 9 在Z中，若a|c,b|c,且(a,b)=1則可以a|bc.我的答案：3 10 0與0的最大公因數只有一個是0。我的答案：√ 11 任意兩個非0的數不一定存在最大公因數。我的答案：3

整數環的結構

（六）已完成 1 在Z中若(a,c)=1,(b,c)=1,則可以得出哪兩個數是素數？ A、(abc,a)=1 B、(ac,bc)=1 C、(abc,b)=1 D、(ab,c)=1 我的答案：D 2 在所有大于0的整數中共因素最少的數是什么？ A、所有奇數 B、所有偶數 C、1.0 D、所有素數3 我的答案： 3 對于任意a，b∈Z，若p為素數，那么p|ab可以推出什么？ A、p|a B、p|b C、p|ab D、以上都可以 我的答案：D 4 對于任意a∈Z，若p為素數，那么（p,a）等于多少？ A、1.03 B、1或p C、p D、1，a，pa 我的答案： 5 p是素數，若p|ab，(p,a)=1可以推出 A、p|a B、p|b C、(p,b)=13 D、(p,ab)=1 我的答案： 6 正因數最少的數是 A、整數 B、實數 C、復數 D、素數

我的答案：D 7 若（a,c）=1,(b,c)=1則（ab,c）= A、1.0 B、a C、b D、c 我的答案：A 8 所有大于1的素數所具有的公因數的個數都是相等的。我的答案：√ 9 任意數a與素數p的只有一種關系即p|a。我的答案：3 10 a與b互素的充要條件是存在u,v∈Z使得au+bv=1。我的答案：√

整數環的結構

（七）已完成 1 素數的特性總共有幾條？ A、6.0 B、5.03 C、4.0 D、3.0 我的答案： 2 任一個大于1的整數都可以唯一地分解成什么的乘積？ A、有限個素數的乘積 B、無限個素數的乘積 C、有限個合數的乘積 D、無限個合數的乘積 我的答案：A 3 素數的特性之間的相互關系是什么樣的？ A、單獨關系 B、不可逆

C、不能單獨運用 D、等價關系 我的答案：D 4 p與任意數a有（p,a）=1或p|a的關系，則p是 A、整數 B、實數 C、復數 D、素數

我的答案：D 5 p不能分解成比p小的正整數的乘積，則p是 A、整數 B、實數 C、復數 D、素數

我的答案：D 6 1是 A、素數 B、合數 C、有理數 D、無理數 我的答案：C 7 素數P能夠分解成比P小的正整數的乘積。我的答案：3 8 合數都能分解成有限個素數的乘積。我的答案：√ 9 p是素數則p的正因子只有P。我的答案：3

Zm的可逆元

（一）已完成 1 在Zm中，等價類a與m滿足什么條件時可逆？ A、互合 B、相反數 C、互素 D、不互素 我的答案：C 2 Z8中的零因子都有哪些？ A、1、3、5、73 B、2、4、6、0 C、1、2、3、4 D、5、6、7、8 我的答案： 3 模m剩余環中可逆元的判定法則是什么？ A、m是否為素數 B、a是否為素數 C、a與m是否互合 D、a與m是否互素 我的答案：D 4 Z5的零因子是 A、0.0 B、1.03 C、2.0 D、3.0 我的答案： 5 不屬于Z8的可逆元的是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、5.0 我的答案：B 6 Z6的可逆元是 A、0.0 B、1.0 C、2.03 D、3.0 我的答案： 7 在Zm中等價類a與m不互素時等價環a是零因子。我的答案：√ 8 p是素數，則Zp一定是域。我的答案：√ 9 Zm的每個元素是可逆元或者是零因子。我的答案：√

Zm的可逆元

（二）已完成 1 Z10的可逆元是 A、2.0 B、5.0 C、7.0 D、10.0 我的答案：C 2 Z9的可逆元是 A、3.0 B、6.0 C、7.0 D、9.0 我的答案：C 3 在Z91中等價類元素83的可逆元是哪個等價類？ A、91.0 B、38.0 C、34.0 D、19.03 我的答案： 4 當p為素數時候，Zp一定是什么？ A、域 B、等價環 C、非交換環 D、不可逆環3 我的答案： 5 不屬于Z7的可逆元是 A、1.0 B、3.03 C、5.0 D、7.0 我的答案： 6 p是素數，在Zp中單位元的多少倍等于零元 A、1.0 B、p+13 C、p-1 D、p 我的答案： 7 Z91中等價類34是零因子。我的答案：3 8 Z81中，9是可逆元。我的答案：3 9 Z91中，34是可逆元。我的答案：√

模P剩余類域已完成 1 在域F中，e是單位元，對任意n，n為正整數都有ne不為0，則F的特征是什么？ A、0.0 B、f C、p D、任意整數 我的答案：A 2 在R中,n為正整數，當n為多少時n1可以為零元？ A、1.0 B、100.0 C、n>1000 D、無論n為多少都不為零元 我的答案：D 3 在域F中，e是單位元，存在n，n為正整數使得ne=0成立的正整數n是什么？ A、合數 B、素數 C、奇數 D、偶數 我的答案：B 4 任一數域的特征為 A、0.0 B、1.0 C、e D、無窮 我的答案：A 5 設域F的單位元e，存在素數p使得pe=0，而0＜l＜p,le不為0時，則F的特征為 A、0.0 B、p C、e D、無窮 我的答案：B 6 設域F的單位元e，對任意的n∈N都有ne不等于0時，則F的特征為 A、0.0 B、1.0 C、e D、無窮 我的答案：A 7 任一數域的特征都為0，Zp的特征都為素數p。我的答案：√ 8 設域F的單位元e，對任意的n∈N有ne不等于0。我的答案：√ 9 設域F的單位元e，存在素數p使得pe=0。我的答案：√

域的特征

（一）已完成 1 Cpk=p(p-1)?(p-k-1)/k!，其中1<=k< p,則(K！，p)等于多少？ A、0.0 B、1.0 C、kp3 D、p 我的答案： 2 域F的特征為p，對于任一a∈F，pa等于多少？ A、1.0 B、p C、0.0 D、a 我的答案：C 3 在域F中，設其特征為2，對于任意a,b∈F，則（a+b）2 等于多少 A、2（a+b）B、a2 C、b2 D、a2+b2 我的答案：D 4 設域F的特征為素數p，對任意a∈F，有pa= A、p B、a C、0.0 D、無窮 我的答案：C 5 設域F的特征為2，對任意的a，b∈F，有（a+b）^2= A、a+b B、a C、b D、a^2+b^2 我的答案：D 6 特征為2的域是 A、Z B、Z2 C、Z3 D、Z5 我的答案：B 7 在域F中，設其特征為p，對于任意a,b∈F，則（a+b）P 等于ap+bp 我的答案：√ 8 設域F的特征為素數p，對任意的a，b∈F，有（a+b）^p=a^p+b^p。我的答案：√ 9 設域F的特征為3，對任意的a，b∈F，有（a+b）^2=a^2+b^2。我的答案：3

域的特征

（二）已完成 1 設p是素數，對于任一a∈Z，ap模多少和a同余？ A、a B、所有合數 C、P D、所有素數3 我的答案： 2 用數學歸納法：域F的特征為素數P，則可以得到(a1+?as)p等于什么？ A、asp B、ap C、ps D、a1P+?asP 我的答案：D 3 6813模13和哪個數同余？ A、68.0 B、13.03 C、136.0 D、55.0 我的答案： 4 68^13≡？（mod13）A、66.0 B、67.0 C、68.0 D、69.0 我的答案：C 5 設p是素數，則（p-1）!≡？（modp）A、-1.0 B、0.0 C、1.0 D、p 我的答案：A 6 費馬小定理中規定的a是任意整數，包括正整數和負整數。我的答案：3 7 設p是素數，則對于任意的整數a，有a^p≡a（modp）。我的答案：√ 8 9877是素數。我的答案：3

中國剩余定理

（一）已完成 1 首先證明了一次同余數方程組的解法的是我國哪個朝代的數學家？ A、漢朝 B、三國3 C、唐朝 D、南宋 我的答案： 2 一般的中國軍隊的一個連隊有多少人？ A、30多個 B、50多個 C、100多個 D、300多個 我的答案：C 3 關于軍隊人數統計，丘老師列出的方程叫做什么？ A、一次同余方程組 B、三元一次方程組 C、一元三次方程組 D、三次同余方程組 我的答案：A 4 中國古代求解一次同余式組的方法是 A、韋達定理 B、儒歇定理 C、孫子定理 D、中值定理 我的答案：C 5 孫子問題最先出現在哪部著作中 A、《海島算經》 B、《五經算術》 C、《孫子算經》 D、《九章算術》 我的答案：C 6 剩余定理是哪個國家發明的 A、古希臘 B、古羅馬 C、古埃及 D、中國

我的答案：D 7 一次同余方程組在Z中是沒有解的。我的答案：3 8 “韓信點兵”就是初等數論中的解同余式。我的答案：√ 9 同余式組中，當各模兩兩互素時一定有解。我的答案：√

中國剩余定理

（二）已完成 1 一次同余方程組最早的描述是在哪本著作里？ A、九章算術 B、孫子算經 C、解析幾何 D、微分方程 我的答案：B 2 最早給出一次同余方程組抽象算法的是誰？ A、祖沖之 B、孫武 C、牛頓 D、秦九識 我的答案：D 3 一次同余方程組（模分別是m1,m2,m3)的全部解是什么？ A、km1m2m3 B、Cm1m2m3 C、C+km1m2m3 D、Ckm1m2m3 我的答案：C 4 n被3，4，7除的余數分別是1,3,5且n小于200，則n= A、170.0 B、177.0 C、180.0 D、187.0 我的答案：D 5 n被3，5，7除的余數分別是1,2,3且n小于200，則n= A、155.0 B、156.0 C、157.0 D、158.0 我的答案：C 6 n被3，5，11除的余數分別是1,3,3且n小于100，則n= A、54.0 B、56.0 C、58.0 D、60.0 我的答案：C 7 歐拉在1743年，高斯在1801年分別也給出了同余方程組的解法。我的答案：√ 8 某數如果加上5就能被6整除，減去5就能被7整除，這個數最小是20。我的答案：3 9 一個數除以5余3，除以3余2，除以4余1.求該數的最小值53。我的答案：√

歐拉函數

（一）已完成 1 Zp是一個域那么可以得到φ(p)等于多少？ A、0.03 B、1.0 C、p D、p-1 我的答案： 2 φ(m)等于什么？ A、集合{1,2?m-1}中與m互為合數的整數的個數 B、集合{1,2?m-1}中奇數的整數的個數

C、集合{1,2?m-1}中與m互素的整數的個數 D、集合{1,2?m-1}中偶數的整數的個數 我的答案：C 3 Zm中所有的可逆元組成的集合記作什么？ A、Zm* B、Zm C、ZM D、Z* 我的答案：A 4 Z5的可逆元個數是 A、1.0 B、2.0 C、3.03 D、4.0 我的答案： 5 Z7的可逆元個數是 A、2.03 B、4.0 C、6.0 D、7.0 我的答案： 6 Z3的可逆元個數是 A、0.0 B、1.03 C、2.0 D、3.0 我的答案： 7 求取可逆元個數的函數φ(m)是高斯函數。我的答案：3 8 在Zm中，a是可逆元的充要條件是a與m互素。我的答案：√ 9 Zm中可逆元個數記為φ(m)，把φ(m)稱為歐拉函數。我的答案：√

歐拉函數

（二）已完成 1 當m為合數時，令m=24，那么φ(24)等于多少？ A、2.0 B、7.0 C、8.0 D、10.0 我的答案：C 2 設p為素數，r為正整數，Ω={1，2,3,?pr}中與pr不互為素數的整數個數有多少個？ A、pr-1 B、p C、r D、pr 我的答案：A 3 φ(24)等于哪兩個素數歐拉方程的乘積？ A、φ(2)*φ(12)B、φ(2)*φ(4)C、φ(4)*φ(6)D、φ(3)*φ(8)我的答案：D 4 φ(9)= A、1.0 B、3.03 C、6.0 D、9.0 我的答案： 5 φ(4)= A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：B 6 φ(8)= A、2.0 B、4.0 C、6.0 D、8.0 我的答案：B 7 φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)我的答案：3 8 設p是素數，r是正整數，則φ(p^r)=(p-1)p^(r-1)。我的答案：√ 9 設p是素數，則φ(p)=p。我的答案：3

歐拉函數

（三）已完成 1 歐拉方程φ(m2)φ(m1)之積等于哪個環中可逆元的個數？ A、Zm1 Zm2 B、Zm1 C、Zm2 D、Zm1*m2 我的答案：A 2 Zm1*Zm2的笛卡爾積被稱作是Zm1和Zm2的什么？ A、算術積 B、集合 C、直和 D、平方積 我的答案： 3 設m=m1m2,且(m1,m2)=1,則φ(m)等于什么？ A、φ(m1)B、φ(m2)φ(m1)C、φ(m1)*φ(m1)D、φ(m2)*φ(m2)我的答案：B 4 φ(24)= A、2.03 B、4.0 C、8.0 D、12.0 我的答案： 5 φ(10)= A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 6 φ(12)= A、1.0 B、2.0 C、3.03 D、4.0 我的答案： 7 設m1，m2為素數,則Zm1*Zm2是一個具有單位元的交換環。我的答案：√ 8 設m=m1m2，且（m1,m2）=1則φ(m)=φ(m1)φ(m2)。我的答案：√ 9 φ(24)=φ(4)φ(6)我的答案：3

歐拉函數

（四）已完成 1 有序元素對相等的映射是一個什么映射？ A、不完全映射 B、不對等映射 C、單射 D、散射 我的答案：C 2 若有Zm*到Zm1 Zm2的一個什么，則|Zm*|=|Zm1 Zm2*|成立 A、不對應關系 B、互補 C、互素 D、雙射

我的答案：D 3 Φ(7）= A、Φ(1)Φ(6)B、Φ(2)Φ(5)3 C、Φ(2)Φ(9)D、Φ(3)Φ(4)我的答案： 4 Φ(6）= A、Φ(1)Φ(5)B、Φ(3)Φ(3)C、Φ(2)Φ(3)D、Φ(3)Φ(4)我的答案：C 5 Φ(3)Φ(4)= A、Φ(3)B、Φ(4)C、Φ(12)D、Φ(24)我的答案：C 6 如果m=m1m2,且（m1,m2）=1，有m|x-y,則m1|x-y,m2|x-y.我的答案：√ 7 Φ(N)是歐拉函數，若N＞2，則Φ(N)必定是偶數。我的答案：√ 8 Φ(4)=Φ(2)Φ(2)我的答案：3

歐拉函數

（五）已完成 1 a是Zm的可逆元的等價條件是什么？ A、σ（a）是Zm的元素 B、σ（a）是Zm1的元素 C、σ（a）是Zm2的元素

D、σ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元 我的答案：D 2 單射在滿足什么條件時是滿射？ A、兩集合元素個數相等 B、兩集交集為空集3 C、兩集合交集不為空集 D、兩集合元素不相等 我的答案： 3 若映射σ既滿足單射，又滿足滿射，那么它是什么映射？ A、不完全映射 B、雙射 C、集體映射 D、互補映射 我的答案：B 4 屬于單射的是 A、x → x^2 B、x → cosx C、x →x^4 ? x D、x →2x + 1 我的答案：D 5 不屬于單射的是 A、x → ln x B、x → e^x C、x →x^3 ? x D、x →2x + 1 我的答案：C 6 數學上可以分三類函數不包括 A、單射 B、滿射 C、雙射 D、反射

我的答案：D 7 映射σ是滿足乘法運算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。我的答案：√ 8 對任一集合X，X上的恒等函數為單射的。我的答案：√ 9 一個函數不可能既是單射又是滿射。我的答案：3

歐拉函數

（六）已完成 1 根據歐拉方程的算法φ(1800)等于多少？ A、180.0 B、480.0 C、960.0 D、1800.0 我的答案：B 2 歐拉方程φ(m)=φ(P1r1)?φ(Psrs)等于什么？ A、P1r1-1(P1-1)?Psrs-1(Ps-1)B、P1r1-1?Psrs-13 C、(P1-1)?(Ps-1)D、P1(P1-1)?Ps(Ps-1)我的答案： 3 設M=P1r1?Psrs,其中P1，P2?需要滿足的條件是什么？ A、兩兩不等的合數 B、兩兩不等的奇數 C、兩兩不等的素數 D、兩兩不等的偶數 我的答案：C 4 不屬于滿射的是 A、x → x+1 B、x → x-1 C、x → x^2 D、x →2x + 13 我的答案： 5 屬于滿射的是 A、x → x^2 B、x → e^x C、x → cosx3 D、x →2x + 1 我的答案： 6 屬于雙射的是 A、x → x^2 B、x → e^x C、x → cosx3 D、x →2x + 1 我的答案： 7 φ(m)=φ(m1)φ(m2)成立必須滿足(m1,m2)=1.我的答案：√ 8 x → ln x不是單射。我的答案：3 9 既是單射又是滿射的映射稱為雙射。我的答案：√

環的同構

（一）已完成 1 設環R到環R'有一個雙射σ且滿足乘法和加法運算，則稱σ為環R的什么？ A、異構映射3 B、滿射 C、單射

D、同構映射 我的答案：D 2 設p是奇素數，則Zp的非零平方元a,有幾個平方根？ A、2.0 B、3.0 C、4.0 D、和p大小有關3 我的答案： 3 環R與環S同構，若R是整環則S A、可能是整環 B、不可能是整環 C、一定是整環 D、不一定是整環 我的答案：C 4 環R與環S同構，若R是域則S A、可能是域 B、不可能是域 C、一定是域

D、不一定是域3 我的答案： 5 環R與環S同構，若R是除環則S A、可能是除環3 B、不可能是除環 C、一定是除環 D、不一定是除環 我的答案： 6 若存在c∈Zm,有c2=a，那么稱c是a的平方元。我的答案：3 7 同構映射有保加法和除法的運算。我的答案：3 8 環R與環S同構，則R、S在代數性質上完全一致。我的答案：√

環的同構

（二）已完成 1 二次多項式x2-a在Zp中至多有多少個根？ A、無窮多個 B、兩個 C、一個 D、不存在 我的答案：B 2 在Z77中，關于4的平方根所列出的同余方程組有幾個？ A、1個 B、2個 C、3個 D、4個

我的答案：D 3 在Z77中，4的平方根都有哪些？ A、1、2、6、77 B、2、-2 C、2、9、68、75 D、2、-

2、3、-3 我的答案：C 4 Z77中4的平方根有幾個 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 5 Z100中4的平方根有幾個 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 6 Z7中4的平方根有幾個 A、0.0 B、1.03 C、2.0 D、3.0 我的答案：B 7 在Z77中，6是沒有平方根的。我的答案：√ 8 二次多項式在Zp中至少有兩個根。我的答案：3 9 Z7和Z11的直和，與Z77同構。我的答案：√

Z﹡m的結構

（一）已完成 1 非空集合G中定義了乘法運算，如果G是一個群，則它需要滿足幾個條件？ A、6.0 B、5.0 C、4.03 D、3.0 我的答案： 2 當群G滿足什么條件時，稱群是一個交換群？ A、乘法交換律 B、加法交換律 C、除法交換律 D、減法交換律 我的答案：A 3 Z12*只滿足哪種運算？ A、加法 B、乘法 C、減法 D、除法 我的答案：B 4 非空集合G中定義了乘法運算，如有有ea=ae=a對任意a∈G成立，則這樣的e在G中有幾個？

A、無數個 B、2個

C、有且只有1一個 D、無法確定 我的答案：C 5 群具有的性質不包括 A、結合律 B、有單位元 C、有逆元 D、分配律 我的答案：D 6 群有幾種運算 A、一 B、二3 C、三 D、四

我的答案： 7 Z12*= A、{1,2,5,7} B、{1,5,9,11} C、{1,5,7,11} D、{3,5,7,11} 我的答案：C 8 在Z12*所有元素的逆元都是它本身。我的答案：√ 9 Z12*是保加法運算。我的答案：3 10 Z12*只有一種運算。我的答案：√

Z﹡m的結構

（二）已完成 1 Zm*的結構可以描述成什么？ A、階為φ(m)的交換群 B、階為φ(m)的交換環 C、階為φ(m)的交換域 D、階為φ(m)的交換類 我的答案：A 2 若a∈Z9*，且為交換群，那么a的幾次方等于單位元？ A、1.0 B、3.0 C、6.0 D、任意次方 我的答案：C 3 Zm*是交換群，它的階是多少？ A、1.0 B、φ(m)C、2m D、m2 我的答案：B 4 Z9*的階為 A、2.0 B、3.03 C、6.0 D、9.0 我的答案： 5 Z12*的階為 A、2.0 B、4.0 C、6.0 D、8.0 我的答案：B 6 Z24*的階為 A、2.0 B、4.03 C、6.0 D、8.0 我的答案： 7 在群G中，對于一切m,n為正整數，則aman=amn.我的答案：3 8 Z5關于剩余類的乘法構成一個群。我的答案：3 9 Zm*是一個交換群。我的答案：√

Z﹡m的結構

（三）已完成 1 設G是n階交換群，對于任意a∈G，那么an等于多少？ A、na B、a2 C、a D、e 我的答案：D 2 Z9*中滿足7n=e的最小正整數是幾？ A、6.0 B、4.0 C、3.0 D、1.0 我的答案：C 3 群G中，對于任意a∈G，存在n,n為正整數使得an=e成立的最小的正整數稱為a的什么？ A、階 B、冪 C、域 D、根

我的答案：A 4 Z6中4的階是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：C 5 Z5*中2的階是 A、1.0 B、2.03 C、3.0 D、4.0 我的答案： 6 Z5*中3的階是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 7 如果G是n階的非交換群，那么對于任意a∈G，那么an=任意值。我的答案：3 8 設G是n階群，任意的a∈G，有a^n=e。我的答案：√ 9 在整數加群Z中，每個元素都是無限階。我的答案：3

歐拉定理循環群

（一）已完成 1 若整數a與m互素，則aφ(m)模m等于幾？ A、a B、2.0 C、1.0 D、2a 我的答案：C 2 Zm*是循環群，則m應該滿足什么條件？ A、m=2,4,pr,2pr B、m必須為素數 C、m必須為偶數 D、m必須為奇素數 我的答案：A 3 Z9*的生成元是什么？ A、1、7 B、2、5 C、5、7 D、2、8 我的答案：B 4 群G中，如果有一個元素a使得G中每個元素都可以表示成a的什么形式時稱G是循環群？ A、對數和 B、指數積 C、對數冪3 D、整數指數冪 我的答案： 5 Z3*的生成元是 A、0.0 B、2.0 C、3.0 D、6.0 我的答案：B 6 Z2*的生成元是 A、1.0 B、2.03 C、3.0 D、4.0 我的答案： 7 Z4*的生成元是 A、0.0 B、2.0 C、3.0 D、6.0 我的答案：C 8 Z1*，Z2*，Z3*，Z5*，Z8*，Z9*，Z12*都是循環群。我的答案：3 9 Z9*是一個循環群。我的答案：√ 10 Z9*的生成元是3和7。我的答案：3

歐拉定理循環群

（二）已完成 1 Z對于什么的加法運算是一個群？ A、整數 B、小數 C、有理數 D、無理數 我的答案：A 2 Zm*是具有可逆元，可以稱為Zm的什么類型的群？ A、結合群 B、交換群 C、分配群 D、單位群 我的答案：D 3 Z12的生成元不包括 A、1.0 B、5.0 C、7.0 D、9.0 我的答案：D 4 Z16的生成元是 A、2.0 B、8.0 C、11.0 D、14.0 我的答案：C 5 Z15的生成元是 A、5.0 B、10.0 C、12.0 D、13.0 我的答案：D 6 環R對于那種運算可以構成一個群？ A、乘法 B、除法 C、加法 D、減法 我的答案：C 7 對于所有P，p為奇數，那么Zp就是一個域。我的答案：3 8 整數加群Z是有限循環群。我的答案：3 9 Zm*稱為Zm的單位群。我的答案：√

素數的分布

（一）已完成 1 素有總共有多少個？ A、4.0 B、21.0 C、1000.0 D、無數多個 我的答案：D 2 大于10小于100的整數中有多少個素數？ A、21.0 B、27.0 C、31.0 D、50.0 我的答案：A 3 對于a，a為大于10小于100的整數，a的素因素都有哪些？ A、2、3、7、9 B、2、3、5、7 C、1、2、3、5 D、5、7、9 我的答案：B 4 小于10的素數有幾個 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 5 不超過100的素數有幾個 A、24.0 B、25.0 C、26.0 D、27.0 我的答案：B 6 大于10而小于100的素數有幾個 A、20.0 B、21.0 C、22.0 D、23.0 我的答案：B 7 丘老師使用的求素數的方法叫做拆分法。我的答案：3 8 97是素數。我的答案：√ 9 87是素數。我的答案：3