第一篇：點集拓撲學學習心得

這學期選修了點集拓撲學，在上課之前我根本不知道這是一門什么樣的學科，也不知道什么是拓撲。剛開始學習的時候，我有點不在意，因為第一章前面部分的知識感覺和實變函數前面的知識大同小異。但是學到后面，就覺得并不一樣，越來越抽象了。通過查閱資料，以及在后來的學習中，才對點集拓撲學有了進一步的了解。

點集拓撲學是由分析、幾何、和代數等許多學科的一些基本概念和問題抽象而成的一個數學分支，是理工科相關專業的一門基礎課。它的許多概念、理論、方法廣泛的應用與泛函分析、微分幾何和微分方程等領域中。通過這門課程的學習可以加強我們對學習了的數學分析、實變函數、常微分方程等課程的理解。因此我們有必要努力學好這一門課程。

在學習中我有幾點深刻的體會。第一、這門課程確實很抽象。它不同于我們學習的其他數學課程，如數學分析、高等代數、常微分方程、實變函數等，點擊拓撲幾乎沒有計算的內容，邏輯性強。在學習概念后就是一連串的定理、推論，例子也比較少，且多為證明。所以學習起來就比較枯燥。一開始學習的掉以輕心讓我后悔不已。

第二、抽象的概念也是有它形成的基礎。點集拓撲學是一門建立在集合論的基礎上的一門學科，因此第一章的集合論初步是學習的預備知識。尤其是映射的像和原像的性質，這些性質對刻畫拓撲空間中映射的連續性有重要作用。而第二章是全書的理論基礎，尤其重要。并且概念和概念之間也是相互聯系的。比如度量給出以后，度量空間的相應概念由此產生。開集、鄰域的概念形成后，導集、閉集、閉包、內部、邊界及其性質大都是借助它們來說明的。因此學習的時候每一個概念都要弄懂。

第三、點集拓撲學中涉及到很多我們已經在其他學科中學習到的知識，因此我們要注意對比分析。序列的極限、函數的連續性是數學分析的基礎，其中涉及兩個實數的距離。數學分析中絕大多數問題都離不開距離。而點集拓撲學中建立了以距離為出發點的距離空間。數學分析中我們熟知的歐式空間和歐式空間之間的連續函數的概念，經由度量空間和度量空間的連續映射，抽象到拓撲空間和拓撲空間之間的連續映射。數學分析中數列涉及斂散性、連續性、以及極限存在的條件等，而點集拓撲學中序列也涉及到這些內容，但是它們之間存在著異同之處。在拓撲空間中一般不能用點列的收斂來刻畫聚點，進而拓撲空間之間的連續映射不能用極限來刻畫。作為初學者，我們應該尤其注意這些概念上本質性的問題。

另外，在學習過程中也有些疑問。這學期我們正在學習實變函數論，其中涉及到許多和點集拓撲學相似的結論，以至于我有些混淆。實變函數論老師說在點集拓撲學中成立的有些結論在實變函數論中一定成立，但是在實變函數論中成立的結論在點集拓撲學中不一定成立，我不知道這具體是為什么。感覺這兩門課程都比較難，還需要花大量時間去學習。

我們在這一學期其實只學習到這門課程的的一部分內容，我有種接觸了這門課程但是完全學得不透徹的感覺。平時的例子很少，也不清楚這門課程的具體應用。大三下期，同學們要不是準備考研，要不

就是準備師范技能，因此對這門課程的重視度不高。因此，如果可以調整課程的開設時間也許學習效果會好一些。

第二篇：拓撲學心得

拓撲學心得體會

姓名：賈文琳 學號：201102024016 班級2011級數師一班

摘要：拓撲學是一門抽象的學科，是一門研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質的學科，也是一門在現代數學、自然科學以及社會科學等眾多領域中應用極為廣泛的數學學科。它源于對周圍世界的直觀觀察。它是幾何學的一個分支，但又與通常的歐式幾何是不同的幾何學分支，通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質，而拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都沒有關系。因此，它以一種獨特的視角去將世界數學化。

關鍵詞：幾何學分支 數學化 抽象

初識拓撲學，是在數學建模培訓的時候，當時是老師介紹歐拉在1736 年解決的哥尼斯堡的七橋問題：哥尼斯堡的普雷格爾河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閑暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。而后的“四色問題”等拓撲學經典問題都向我們展現了拓撲學的廣泛應用以及它獨特的思考方式。為我們用學好數學以及更深刻的理解數學提供了一種思路。

下面我將談談我在本學期對本書前三章的學習心得體會。

首先，在《集合論與邏輯》一章中，我們利用高中所學知識就可以很容易的理解集合與函數的相關概念，比如集合中的每一個事物都叫做“元素”，也可以叫做“成員”、“點”，集合根據元素個數可以分為有限集合和無限集合。同樣，我們又學習了集合與元素、集合與集合之間的表示以及集合間的運算等。而這其中我們首次接觸到集合的族的概念，即以集合作為元素的集合我們稱之為“族”。同時也給出了有限集和無限集的定義，這與我們在《近世代數》中所學的定義是不一樣的，但它也給我們新的思考方式。

開集的概念直接傳承于開區間，但卻是抽取了開區間這個概念的本質內容所形成的。開集最終是一個適合范圍很廣的概念，也在某些性質上與開區間概念有所不同。設某非空集合X，它的冪集為2^X。若某集族T是該冪集的子集，同時還滿足下述三個公理：1)、T中的任何元素（元素是集合）之并還是屬于T；2)、T中的任何有限個元素之交還是屬于T；3)、X本身以及空集是T的元素。上述三個公理稱作“開集公理”。所以一個拓撲指的就是滿足開集公理的一個開集族。一個集合的冪集的任意一個子集，只要其中的元素（集合）滿足開集公理，那么這個子集就是這個集合的一個拓撲。由此可見，一個集合的拓撲可以有很多個，配上不同的拓撲，就形成了這個集合的不同的結構。一個開集族決定了集合中元素與元素之間的“連續性”屬性，元素與元素之間的連續性決定了這個集合的幾何結構。比如在這個拓撲下，元素1和元素2是連續的，或者稱為是相鄰的；而在另一個拓撲下，這倆元素完全可以是分隔開的，不連續的。

其次，在《拓撲空間與連續函數》一章中，給出了拓撲空間的定義：設X是一個集合，T是X的一子集族，如果T滿足：（1）?，X?T，（2）有限交封閉，（3）任意并封閉。則稱T 為X的一拓撲空間。以及拓撲的基的滿足：（1）對于每一個x?X，至少存在一個包含x的基元素B，（2）如果B1,B2?B,x?B1?B2的交，那么存在B3?B，使得x?B3?B1?B2。而我認為，集合的閉包與內部的定義性質以及相互的關系也是本章節的重點。即：拓撲空間X的一個子集A的內部定義為包含于A的所有開集的并，而A的閉包定義為包含著A的所有閉集的交。

而在學習連續函數這一小節時，我們除了聯系數學分析中所學知識去學習本節的相應知識點，還要理解到，（1）對應法則、定義域空間拓撲，至于空間拓撲共同決定該函數的連續性；（2）連續函數的本質是開集的原像是開集，基的原像是開集，子基的原像是開集；（3）拓撲的性質是同胚把開集映射成開集，兩拓撲空間同胚、開集一樣，從而拓撲性質一樣。

在學習箱拓撲和積拓撲的定義之后，對兩者進行比較可以發現對于有限積?Xa，兩種拓撲是一樣的，而一般來說箱拓撲更細于積拓撲。

在度量拓撲的學習中，我印象最深的是老師給我們拓展的四種空間，即拓撲空間、度量空間、賦范空間、內積空間的定義，并給出一致拓撲細于積拓撲，又粗于箱拓撲的定理，為我們理解這些拓撲，把握其中的區別也給出了很多很好的例子解釋。

而《連通性與緊致性》一章中，我學習了連通性與緊致性的定義，即設X是一個拓撲空間，所謂的X的一個分割，是指X的一對無交的非空開集U和V，它們的并等于X，而如果X的分割不存在，則稱空間X是連通的。而連通性的定義其實在數學分析中也有提到，這對我加深對其定義的理解起到了很好的效果，使我不易畏懼對該定義的學習。而我在學習中也發現證明X是連通空間，常常采用了反證法來進行。連通性也可以定義為：空間X是連通的當且僅當X中既開又閉的子集只有空集和X本身。對于連通性，有四個性質值得我們仔細學習，即：含一個公共點的X的連通子空間族的并是連通的；設A是X的一個連通子空間，若A?B?A,則B也是連通的；連通空間在連續映射下的像是連通的；有限多個連通空間的笛卡爾積是連通的。而緊致性的定義為：若X的任何一個開覆蓋A，包含著一個覆蓋X的有限自族，則稱空間X是緊致的。而緊致空間中最核心的一點是任意開覆蓋有有限子覆蓋。

以上是我對本書學習中學的較明白的一些知識的理解和認識。在學習本書中，我也有一點體會：

第一，這門課程真的十分抽象，它完全不同于我們所學的其他數學課程，如數學分析、高等代數、解析幾何、復變函數、常微分方程等，而且本書基本都是證明題，要求了較高的邏輯推理能力和抽象思維能力。而且知識間的聯系是十分緊密的，如集合知識是拓撲學的基礎，也是預備知識，而連續函數一章則是本書的重點。因此，如果其中一個知識點不清楚，那么在學習其后的知識就顯得十分吃力。

第二，本門課程與我們已經學習的其他學科有很大的聯系，如連通性、極限存在的條件、斂散性我們在數學分析中已經接觸，集合、函數、連續性等也是我們在高中就學習過基本的定義，笛卡爾積的定義也在近世代數中學習到。因此，作為初學者，我們應該注意這些概念上本質性的問題與其他學科的聯系，這樣才能避免與其他學科的定義混淆。

第三，由于度量的觀念在我們學生的腦海中根深蒂固，因此在學習本門課時，九五不感到這門學科簡直是一個不可思議的自在之物，而此時，腦海中的度量觀念不但不能成為幫助我們進行思維的一種工具，相反，卻成為我們理解和運用拓撲學的原理及思想方法的主要障礙。因此，我們應該避開以度量的觀念去思考拓撲學問題，這樣才能正確理解到拓撲學這門學科。

連續性與離散性這對矛盾在自然現象與社會現象中普遍存在著，數學也可以粗略地分為連續性的與離散性的兩大門類。拓撲學對于連續性數學自然是帶有根本意義的，對于離散性數學也起著巨大的推進作用。例如，拓撲學的基本內容已經成為現代數學工作者的常識。拓撲學的重要性，體現在它與其他數學分支、其他學科的相互作用。拓撲學在泛函分析、實分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數學分支中都有廣泛的應用。因此學好拓撲學會給我們提供更多研究數學的方向。

參考文獻：

[1]《拓撲學（原書第2版）》美James R.Munkres著，熊金成 呂杰 譚楓譯 [2]《關于點集拓撲學以及它的作用》，楊旭，《松遼學刊·自然科學版》1985年第一期 [3]方嘉琳《點集拓撲學》，遼寧出版社 [4]《古思想方法》第四冊，科學出版社 [5]www.tmdps.cn 百度百科“拓撲學”

第三篇：學習拓撲學的心得體會

學習《拓撲學》的心得體會

摘要：拓撲學是一門綜合性比較強的數學學科，是我們大學生學習必不可少的學科。我們之前學習了的物理學、高等代數、數學分析、初等幾何等多門學科都有關聯，是我們之前學習的延伸，接觸了比之前更高深的問題，同時加深了與其他學科的聯系。在學習集合相關概念時，引發了我對于現實生活中的一些思考，進一步感受到了數學的嚴謹性。在學習拓撲中的基，由此想到了之前在初等數論中學習的鴿巢原理。在學習連續函數的不同定義時，與之前學習的數學分析中的相關類容作出了比較，并進一步理解了函數的連續性。

關鍵詞：數學學科；延伸；聯系；嚴謹性

一、什么是拓撲學？

我們所謂的拓撲學，是在數學學科當中比較抽象的一門學科。它的英文名是Topology，直譯是地質學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關的學科。我國早期有人曾經把它翻譯成為“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名無論對于老師還是學生來說都不大好理解，于是在1956年最終用統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。

拓撲學是數學當中一個重要的、基礎性的學科分支。它最初是幾何學的一個分支，主要研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質，現在已成為研究連續性現象的重要的數學分支。然而，這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何又有所不同。通常的平面幾何或立體幾何所研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質，而拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關。舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果它們能夠完全重合，那么這兩個圖形叫做全等圖形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數，這些就是拓撲學思考問題的出發點。

而在我們大學中主要主要學習兩部分，一部分是一般拓撲學，另一部分是代數拓撲學。一般拓撲學分為了八章，分別是：集合論與邏輯、拓撲空間與連續函數、連通性與緊致性、可數性公理與分離公理、Tychonoff定理、度量化定理與仿緊致性、完備度量空間與函數空間、Baire空間和維數論。代數拓撲學分為了六章，分別是：基本群、平面分割定理、Seifert-van Kampen 定理、曲面分類、復疊空間分類、在群論中的應用。

二、學習拓撲學的意義

拓撲學本身是一門饒有興味的學科，很多本科大學把它作為了大學生學習的必修課程，這樣有利于培養學生的抽象思維能力，提高解決問題和分析問題的能力，為了讓學生在學習中進一步掌握和奠定近世數學的一些知識基礎。因此，它是大學生學習不可缺少的一門專業。

拓撲學是一門綜合性的學科，它的作用非常廣泛，廣泛運用于微分幾何學、分析學、抽象代數、物理、經濟學、哲學等其他多門學科有著不可分開的關系，對他們都有著極大地推動作用。在微分幾何中，H.M.莫爾斯在20世紀20年代為了研究流體問題，利用拓撲學的相關思想把流體上的光滑函數的臨界點指數與流體本身的貝蒂數聯系在一起，使之發展成了大范圍的變分法。隨后，莫爾斯、陳省身等在這上面的成就，對微分幾何和拓撲都有著十分重要的意義。在分析學中，微分拓撲學的進步，在很大程度上促進了分析學向流形上的分析學的發展。后來在托姆的影響下，將微分映射的結構穩定性理論和奇點理論發展成了當中重要的分支學科。后來，著名的阿蒂亞-辛格指標定理把算子的解析指標與流體結合起來，很好的將分析學與拓撲學結合在一起了。同時，對現代泛函分析和復變函數的多個方面都有著重要的意義。在抽象代數中，拓撲學很好地促進了抽象代數的發展，在代數數論以及代數群的基礎上都有巨大的進步。后來形成的范疇論又深入了數學基礎、代數幾何等，還有托普斯的的觀念拓廣了經典的拓撲空間觀念。在經濟學中，很多地方都有著重要的作用，如均衡的存在性、性質、計算等根本問題。同時，在系統理論、對策論、規劃論、網絡論中也都有著十分重要的作用。

學習拓撲學，不僅僅讓學生體會到拓撲學與其他學科緊密聯系，還可用來解決很多實際問題，如：扭結問題、維數概念、向量場問題、不動點問題。此外，還能讓學生了解當中的研究方法，拓寬了學生的思維，讓學生在看問題以及解決問題的時候，能從多方面思考問題，并將其他學科緊緊聯系在一起。

三、學習拓撲學中某一內容的感想

學習拓撲學之前，我們認定由一些對象構成的集合這個概念是直觀自明的。而我們在學習第一章《集合論與邏輯》中，我們不僅知道了什么是集合，而且還介紹了集合論的思想，并建立了基本術語和記號，還知道了拓撲學與哲學的聯系，集合可以既開又閉，而一扇門不能既開又閉。通過這些，就很好的吸引了我們的興趣，引發了我們很多的思考。對于集合，我們通常用字母A,B…表示集合，用小寫字母a,b,…表示屬于集合的成員或元素。集合有時簡稱為集，元素有時簡稱為元或點。如果成員a屬于集合A，就記作a?A。如果a不屬于A，就記作a?A。若集合A與B是同一個集合的兩個符號，也就是說A與B含有完全相同的元素，記為A=B。反之，則記為A?B。若A的每一個元素都是B的元素，就說A是B的子集，記作A?B。之后學習了集合的“并”與“或”的含義，即給定兩個集合A和B，由A中所有元素及B中所有元素可以組成一個集合，這個集合就稱為A與B的并或并集，記作A?B。也就是說A?B={x

x?A或x?B}。在日常生活中，“或”這個詞是含糊的，有時“P或Q”這句話意味著“P或Q，或者既P又Q”，有時又意味著“P或Q，但不是既P又Q”，很多時候都要通過文章的上下文才能知道究竟指的是哪一種。而在數學當中，是不容許這種含糊的，無論何時都只承認它的一種含義，否則就要引起混亂。因此，數學家們在這種情況下，若要表示“P或Q，但不是既P又Q”，就必須明確的加上短語“但不是既P又Q”。照這樣下去，定義A?B的式子就很清楚了，它表明A?B是由所有屬于A，或者屬于B，或者既屬于A又屬于B的元素x組成的集合。通過集合這個簡單概念的學習，讓我明白了數學的嚴謹性。很多東西在日常生活中是含糊的，但是在數學當中是非常嚴謹的。學習了拓撲學，讓我們的思維變得嚴謹了，做事考慮得更周到，通過它的學習還是受益匪淺的。

在第二章的學習當中，學習了拓撲空間與連續函數的相關知識。這個當中，讓我明白了拓撲當中的基必須滿足兩個條件：（1）對于每一個x?X，至少存在一個包含x的基元素B；（2）若x屬于兩個基元素B1和B2的交，則存在包含于x的一個基元素B3，使得B3?B1?B2。通過這個知識的學習，讓我明白了用平面上的兩個圓形域所組成的族也滿足基的定義當中的兩個條件。同時，平面上所有矩形域組成的族，其中矩形的邊平行于兩個坐標軸，這樣的圖形就滿足基的基本定義，由于任何兩個基元素的交就是一個基元素。在這當中，我們抽象出了集合的基，知道了集合中元素的基與鴿巢原理的關系，這樣和我們之前所學習的初等數論又很好的聯系起來了。在初等數論中，我們知道鴿巢原理就是：如果K+1個或更多的物體放入K個盒子，那么至少有一個盒子含2個或更多的物體。推廣之后就是：（1）當盒子僅有N個，而物體的數目大于m×N時，則必有一個盒子有m+1個物體或者大于m+1個；（2）若m個物體放入N個盒子中，那么至少有一個盒子包含了至少[m/N]個物體。

在本章的后半部分，學習了函數的連續性，連續函數的概念是許許多多數學學科的基礎，尤其是數學分析，基本上都是先講直線上的連續函數，然后提到平面和空間上的連續函數。這一章的學習，是前面我們在數學分析中所給出的連續函數的性質的直接推廣。之前，我們在數學分析當中定義的連續函數，是通過極限來定義的，即函數中定義域內任意一點的左右極限存在，且左極限等于右極限為連續函數的定義。而在拓撲學中，則是通過拓撲空間來定義的，設X和Y是兩個拓撲空間，函數f：X?Y稱為連續的，如果對于Y中的每一個開子集V，f-1（V）是X中的一個開子集。在此條件下，與f連續有三個等價的命題，即：（1）對于X的任意一個子集A，有f（A的閉包）包含于f（A）的閉包；（2）對于Y的任意一個閉集B，f-1（B）是X中的一個閉集；（3）對于每一個x?X和f（x）的每一個鄰域V，存在x的一個鄰域U使得f（U）?V。

僅僅從這些簡單的定義來看，拓撲學在定義數學概念中更加嚴密，更深一步，是我們之前學習知識很好的延伸。通過大量的學習，讓我們認識到了學習拓撲學的好處，它是我們大學學習必不可少的。雖然在學習的過程中感覺很艱難困苦，但是整個的收獲還是不錯的。總的來說，讓我們的思維得到了很大的鍛煉，提高了我們思維的高度。

參考文獻：

1.楊旭.《關于點集拓撲學以及它的作用》.松遼學刊自然科學版1985年第一期，2011-11-08 2.James R.Munkres.《拓撲學》原書第2版.機械工業出版社，2012-11第1版第5次印刷 3.鄧一凡.《拓撲學的產生與發展》.2013-12-03 4.xp84.《拓撲學》.2013-09-13 5.亞當斯、沈以淡.《拓撲學基礎及應用》.機械工業出版社.2010年04月

第四篇：拓撲學對建筑學的啟事

當代西方建筑理論作業

題 目：拓撲學對建筑學的啟事

學生姓名：關宇涵 學 號：2015111776 專業班級：建筑學 指導教師：劉洋 張軍

2017年5月4日

拓撲學對建筑學的啟事

摘要

在西方當代建筑中，一股以變形為形態和空間傾向的建筑潮流正在悄然興起。連續的空間和曲線性的建筑形態開始取代斷裂與沖突，成為新的建筑話語。其理論思維和形式源泉來自于當代眾多科學理論新成果的興起與流行。這些科學因素正在逐漸改變人們生活的世界的面貌和人們對世界的認識。

拓撲學是這些科學流行趨勢之一。不少西方當代建筑師都注意到這些現象，在建筑設計中反映出拓撲的影響，也有很多建筑理論家闡述拓撲學對建筑產生的影響，以及建筑化的拓撲概念。拓撲學提供給設計者奇特的幾何實體為靈感來源和空間結構圖示；拓撲學的某些概念，啟發了建筑師思考；拓撲學的分析方法是人們重新認識了空間結構。

研究西方當代建筑形式、理解其中的文化含義和背后的科學背景，可以幫助我們重新審視自己的建筑設計，對我們具有借鑒意義。

關鍵詞：拓撲學 建筑學 西方建筑

拓撲學最初作為幾何學的分支出現，現在已經伸展進入很多其他數學領域。法國數學家龐加萊將拓撲學形容為“一門允許我們知曉超越三維世界之外的空間中存在的幾何形體的性質的科學”。

從中可以看出，拓撲學的重要內容是抽象的概念和邏輯推理。拓撲學可以通過嚴密的邏輯推理，利用三維空間內存在的圖形的性質為基礎，類推得到更高緯度空間內存在的形體的特征。

拓撲學的直觀定義描述如下：圖形的拓撲性質就是圖形那些在彈性運動中保持不變的性質；拓撲學就是研究圖形拓撲性質的科學。相對于歐氏幾何的別稱“剛體幾何學”，拓撲學又被稱為“彈性幾何學”。從直觀描述中可以看出拓撲的幾個基本重點。

作為一門綜合學科，建筑設計善于從包括仿生學、心理學、物理學在內的各個學科汲取靈感；而拓撲學的一般思想很容易滲入社會各個領域，當拓撲理論成為流行趨勢，建筑設計自然會將拓撲作為要素之一納入它的思考范圍。當拓撲學以直接或間接的方式進入了建筑的各個相關領域，建筑便不可能維持不受影響的狀態。在結構工程、力學計算上使用拓撲原理和方法分析計算是其最傳統、最合乎規矩的應用了，拓撲方法計算空間網架節點形式的結果直接體現在建筑形式上；心理學使用拓撲方法進行研究的成果影響了對建筑空間理論的探討；應用拓撲學原理的計算機輔助建筑設計技術使拓撲學通過最直接的工具方式進入了建筑師的視野，而拓撲幾何的研究對象也作為建筑造型的參考對象現身與設計之中。作為一種思維方式，拓撲學通過建筑師潛移默化地影響著建筑設計，并且從建筑的方方面面展示著自己。而建筑中對拓撲學的“再認識”重新塑造了這些數學概念，賦予其新的文化意義。拓撲學知識的普及已經使其參與形成了一定社會文化，人們也開始拓撲的眼光審視作為文化一員的建筑。

建筑設計中復雜曲面元素的使用不是新生事物。歷史上，巴洛克時期的建筑形式及空間就擁有明顯的曲線、復合、動態等等與今天的基于計算機技術的曲線建筑類似的形態特征。

自由的曲面形式存在于不少建筑作品當中，并且正在逐漸成為一種潮流。弗蘭克.蓋里的古根海姆博物館就是典型一例。

“建筑設計必須通過幾何和度量來對建筑進行虛擬的繪圖描述，所以建筑設計受到繪圖工具的限制。”歷史上，類似的例子不勝枚舉：透視方法的發明拓展了建筑設計的手段和建筑師的視野；而如果沒有萊布尼茨在積分方面的貢獻，都靈教堂穹頂也不可能建造出來。在傳統幾何繪圖手段制約下，對材質和空間的描述被限制在以固定、靜止為特征的正交坐標系統之下，而拓撲幾何等動態的描述手段則帶來了完全不同的設計元素、圖形概念和全新的設計空間。在建筑設計實踐中，拓撲曲面獲得了與原始的數學概念不同的新內容。拓撲曲面在建筑中獲得了一種表現的力量，復雜、連續而彼此聯系的控制方式將它們和建筑設計中拼接各種異質元素的造型策略聯系起來。

從表面上看來，拓撲學似乎成為了建筑造型的靈感來源。借助計算機、動畫軟件的幫助，拓撲曲面取代簡單幾何形體成為造型的元素，從而形成了一種建筑的新形式。但是，此處似乎形成了一個悖論。按照基本的概念定義，拓撲學最不重視的就是形態和形式，尤其是歐氏幾何所強調的形態區別。而拓撲曲面的概念已經被改造，其拋卻了具體形態的原始意義已經面目全非。然而，偏偏是這樣“去形式化”的幾何概念成為了建筑形態的生成手法和造型來源，實在是一件不可思議的事情。按照拓撲學的規則，古根海姆博物館的曲面體造型與規規矩矩的立方體無異；然而，恰恰是形式上巨大的差異和奇特使古根海姆博物館如此著名，歐幾里德幾何規則下的形式使建筑獲得了建筑師想要達到的表現效果。

從直觀形態角度理解拓撲曲面和建筑的關系，只能陷入這樣的矛盾而得不到結果。拓撲幾何的曲面并不像人們一直認為的那樣，僅僅是一些圖形和形狀，而且按照圖形方式構建幾何問題與根據表現方式構建幾何問題，這兩者之間也有很大區別。幾何學有一套嚴格的科學理論系統、漫長的發展歷史和自己獨特的邏輯；今天蓬勃發展的新幾何學科也是這樣，它們的含義不僅是一套和過去人們習慣了的有所不同的圖形而已。包括拓撲學在內的各個新幾何學科是一套發展完備的系統理論，它們以更深刻的方式影響著建筑設計。

拓撲幾何與正交投影幾何學最重要的區別，就是拓撲幾何的世界由向量構筑而不是由質點。因此，對于建筑師來說理解直角坐標靜止的系統與拓撲空間條件下提供的設計方式的不同至關重要。拓撲曲面依靠連續而相互聯系著的向量控制形態的原理，才是其在建筑中導致形式生成的原因所在，拓撲學借助計算機的設計工具改變了建筑師的設計手法和設計觀念。建筑師將控制拓撲曲面的各種向量換為設計環境中復雜而彼此聯系的“力量因素”，通過計算機動畫軟件生成復雜環境條件下建筑應對的形體。在這種設計中，拓撲學的角色提供了被誤解的自由曲面，其連續的、向量式的形態生成方法卻真正改變了建筑設計的根源。

連續變形是拓撲的重要概念，是拓撲圖形分析的基礎。連續變形的概念為建筑所引用和改造，以求在建筑形式中表達更多元素。從上世紀末開始，拓撲連續變形的概念悄悄在建筑設計中嶄露頭角。變形的過程產生了新的建筑：靈活可變、曲線的、柔順的建筑滿足流動性、粘質和連通等設計表現的要求。連通與黏合的邏輯取代了解構主義建筑師所追求的矛盾與對立的邏輯。前者能夠用流動的方式表現分離的元素，用異質而連續的系統表達差異性，即便是慣常以形式的沖突表現矛盾的解構主義建筑師也開始嘗試用這種方式表現復雜的當代世界。考慮到拓撲學的定義，扭曲、柔軟這類形容實際上并非一定與拓撲概念相聯系；正方形未必比自由的圓線更拓撲。在拓撲學的世界中，二者甚至可能沒有區別。拓撲學在這類設計中表現的僅僅是一個拓撲的過程，即變形的過程體現的拓撲學操作方法。拓撲同胚的概念允許圖形進行夸張的扭曲而仍舊保持原來的拓撲性質，經過這種變形的形體仍舊多少保持著原來的抽象性質，仍然可以被認知。連續變形的動作和過程導致了形式產生的過程，卻與最終產生的具體形態沒有直接的、視覺形態上的關聯。拓撲學連續變形的動作概念是建筑表達動態、連續的空間觀點的需要。

變形基礎仍舊是歐氏幾何形體。在這里，這些形體代表一個起始階段，意味著靜止、穩定、分離和非時間性。線性或者非線性變形的過程則意味著動態、連續以及時間因素的參與。拓撲變形形成的形式序列蘊含時間等第四維元素的表達。

拓撲連續變形為建筑形式的生成提供了一種方法，并且成為了建筑動態形式的過程。連續變形的手法為建筑帶來了動態的特性，同時也使之擁有了與動態性相關的其他元素。

第五篇：2018年安徽師范大學拓撲學本科教學大綱

《數學系（點集拓撲學）》教學大綱

學時：51學時

學分：3 適用專業：數學與應用數學專業

大綱執筆人：李伯權

大綱審定人：孫國正

一、說明

1、課程的性質、地位和任務

拓撲學是基礎性的數學分支，它研究幾何圖形在連續變形(即拓撲變換)下保持不變的性質，即拓撲性質。目前，拓撲學的概念、方法和理論已經廣泛地滲透到現代數學以及鄰近學科的許多領域，并且有了日益重要的應用；又鑒于在今后中學數學的教學改革中有可能滲入某些拓撲知識，因此無論從數學教材的現代化和師范性的要求來看，本課程的設置都是必要的。點集拓撲學又稱一般拓撲學，它是拓撲學的基礎，它主要研究拓撲空間的自身結構與其間的連續映射的學科。

本課程主要介紹點集拓撲學的基本概念和基礎理論，通過本課程的學習可以使學生從較高觀點觀察、分析已學過的數學分析、函數論和幾何的內容，加深對這些內容的認識與理解，并為進一步學習現代數學提供必要的基礎。

2、課程教學的基本要求

（1）通過本課程的學習，學生應掌握點集拓撲的一些基本概念與應用拓撲學解決實際問題的能力。以便為以后進一步學習、研究現代數學打好基礎；另一方面培養學生理論聯系實際和分析問題解決問題的能力。

（2）系統掌握點集拓撲的基本知識。其基本內容包括：拓撲空間和連續映射的定義及其基本性質，構造新的拓撲空間的方法，各種拓撲不變性質，如連通性、分離性、緊性、度量空間的完備性等以及這些拓撲不變性之間的相互關聯，這些拓撲不變性的可積、可遺傳等性質，基本群及其應用。掌握點集拓撲中的證明方法。

（3）本課程由于是數學專業大四畢業班的選修課程，課時較少，授課時應靈活選擇教學內容，合理安排。

3、課程教學改革

本課程注重培養學生高度的抽象思維能力、邏輯思維能力以及空間想象能力。在講授此課程時，要注重本課程與相關課程《數學分析》等之間的聯系。

二、大綱內容

第一章 拓撲空間與連續映射（15課時）

[內容要點] 樸素集合論（集合、關系、映射），度量空間的基本概念，拓撲空間與連續映射，領域、導集、閉集、閉包、內部，邊界，拓撲的基和子基，拓撲空間中的序列。[教學要求] 本章要求學生掌握集合的一些基本概念，特別是對集合的運算，要比較熟練的掌握，要求學生掌握拓撲空間的定義、幾中典型的拓撲空間的例子，了解導集、閉集、閉包、基、子基等概念，掌握連續映射的特征。

第二章 子空間，有限積空間，商空間（6課時）

[內容要點] 子空間，有限積空間，商空間 [教學要求] 本章介紹通過已知的拓撲空間構造新的拓撲空間的三種慣用的方法。要求掌握拓撲空間及其子空間的內在聯系與區別，掌握有限積拓撲空間及其空間的內在聯系與區別，了解產生商空間的幾何背景（莫比烏斯帶、環面及克萊因瓶等）。

第三章 連通性（6學時）

[內容要點] 連通空間，連通性的某些簡單應用，連通分支與局部連通空間 道路連通空間 [教學要求] 掌握拓撲空間的幾種拓撲不變性質，包括連通性、局部連通性和道路連通性，并理解它們的某些簡單的應用（介值定理、不動點定理、Boruk-Ulam定理及其高維情形），能夠用來區分一些互不同胚的空間。掌握一些在連續映射下保持不變的性質、商性質、有限可積性質。

第四章 有關可數性公理（3學時）

[內容要點] 第一和第二可數性公理，可分空間，Lindelof 空間 [教學要求] 本章要求學生掌握第一和第二可數性的概念及其拓撲不變性，會判斷具體空間的可數性，了解可分空間及林德勒夫空間。

第五章 分離性公理（6學時）

[內容要點] Hausdorff 空間 正則、正規，T3,T4 空間 完全正規空間，T0,T1，Tychonoff 空間

[教學要求] 本章要求學生掌握T0,T1,T2,T4 正則、正規空間的概念和他們之間的區別和聯系。特別注意其中一些反例的選取，了解Urysohn引理和Tietze擴張定理的內容

第六章 緊致性（9學時）

[內容要點] 緊致空間.緊致性與分離性公理.歐式空間中的緊致子集.幾種緊致性的關系.度量空間中的緊致性.局部緊致空間，仿緊致空間 [教學要求] 掌握緊致子集的定義及判斷一個子集是緊致子集的方法（這些方法哪些是充要條件）.掌握緊致性是否是連續映射可保留的，是否是可遺傳的、有限可積的．掌握緊致空間中各分離性公理的關系.掌握Hausdorff空間中緊致子集的性質.掌握新定義的幾種緊致性的定義及它們之間的關系．掌握度量空間中的緊致空間、可數緊致空間、序列緊致空間、列緊空間之間的關系．度量空間（特別是）中的緊致性性質要掌握．掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義及性質。掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各分離性公理空間之間的關系。掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關系．

第七章 基本群及其應用（6學時）

[內容要點] 道路類及其乘法。基本群及其性質。基本群的計算：圓周的基本群。2維的Bronwer不動點定理。Jordan分割定理。[教學要求] 理解定端同倫與道路類的概念；理解道路類乘法的定義與性質；理解與掌握基本群的定義與性質；理解與掌握由連續映射所誘導的基本群之間的同態的定義與性質。掌握計算（圓周的）基本群的方法。能用圓周的基本群來解決一些實際問題，如證明代數基本定理與2維的Bronwer不動點定理。

三

本課程考核方式、方法: 閉卷筆試 教學參考書目:

熊金城 《點集拓撲講義》高等教育出版社 第三版 2004 尤承業 《基礎拓撲學》 北京大學出版社 2004