第一篇：矩陣解題總結

矩陣解題總結

迄今，我們都做了不少的矩陣習題，我們常常以刷題來滿足自己的做題欲望，并以此方法來讓自己對矩陣這個新概念有更好的了解，那么，在我們無限刷題時，是否想過，出題，都是萬變不離其宗，如果我們嘗試去整理一些題型的做法，那么不久可以做到了舉一反三的功效了嗎？也讓自己騰出了更多的時間去從事其他事物，如此事半功倍，豈不妙哉？因此，解題總結很有必要。

以下，我們來介紹一些常用而較為普遍的經驗方法： ① 對稱矩陣：A=A’，這個概念我們見過此類題型——當A為非零實對稱矩陣時，有A’=A*，求證lAl≠0。這種題，我們通法就是先設出A，再寫出A’，然后矩陣乘法，得到的矩陣中對角線處元素為Σαij2，并且再用已知條件可得到前面的累和式子都等于lAl。因為A為非零實對稱矩陣，因此存在一元素不為零，從而證得lAl≠0。② 題干中給出某等式，求某個問題。如：設A,B均為n階方陣且AB=A+B，則證明AB=BA。此題思路就是從條件出發，一般都是移項、提公因式，所以得到（A-E）B-A=0，記住，一旦看到等號右邊有零，我們常常會加E，變成（A-E）B-A+E=E，然后再次提公因式，得到（A-E）（B-E）=E，所以（A-E）（B-E）=（B-E）（A-E），然后展開即可。總結：移項→提公因式→整理。

關于②留一道練習題——設n階方陣A和B滿足A+B=AB，證明A-E可逆。

③ 正交陣概念：滿足AA’=A’A=E

反對稱矩陣概念：A=-A’ ④ l(A*)l=lAl^n-1，（A*）^-1=A/lAl，⑤ A為n階方陣，若R(A)=n,則R(A*)=n；若R(A)=n-1，則R(A*)=1；若R(A)＜n-1，則R(A*)=0 ⑥ A、B均為n階方陣，則有tr（AB）=tr（BA），其中tr為對角線元素因此AB-BA的對角線元素為零，即tr（AB-BA）=零。⑦ 結論：任何一個n階方陣均可表為一個對稱陣與一個反對稱陣之和。證明：A=1/2A+1/2A-1/2A*+1/2A*=1/2（A+A’）+1/2（A-A’）=B+C。B’=（1/2（A+A’））’=1/2(A’+A)=B,C’=(1/2(A-A’))’=1/2(A’-A)=-C’，證明完畢。⑧ 秩的一種常見題型：A,B為n階方陣，AB=0，B為非零方陣，求lAl。思路：因為AB=0，所以R(A)+R(B)≤n，又因為B≠0，所以R（B）≥1，因此R（A）≤n-1，因此A不滿秩，故行列式為零。⑨ 對于AB=AC時，如何才可以有B=C？一種情況就是A為滿秩。接下來，我們進行計算證明——由原式可得到：A(B-C)=0。運用一個結論：AX=0，A滿秩時，解唯一，即X=0，所以得到B-C=0，因此B=C 證明完畢。特殊的，如果A可逆（因此顯然A是方陣），顯然證得B=C。⑩ A為n階方陣，則R(A)≤1的充要條件是存在兩個nx1矩陣U,V使A=UV’。證明過程可見考研P45。

第二篇：解題總結

解題總結

一、圓：

1、圓中的直角三角形：垂徑定理、直徑、切線、2、圓中的角：弧，非圓周角、圓心角：利用三角形內角和轉換成圓周角、圓心角，再利用弧。

3、圓中含弦的問題往往不止一個答案。

4、在圓出現困惑時，最有可能的突破口是：半徑、弧

二、求線段長

1、相似

2、解直角三角形

3、全等

三、動點：先畫圖，再找方法，后求值

1、等腰三角形：中垂線、勾股定理

2、相似三角形：

⑴已知一組角相等時，用比例線段，注意分子不變，分母互換，或反之。⑵已知兩組角相等時：用直角三角形中的勾股定理；平行直線的解析式特點

3、平行四邊形：兩種情況：已知邊為邊，已知邊為對角線。方法：平行直線的解析式特點，求交點；勾股定理

4、面積：先表示，后思考 表示方法：

⑴分割：每一圖形必須有一邊在坐標軸上或與坐標軸平行 ⑵補全：

①作最遠邊所在的直線。

②過最遠點作坐標軸的垂線，構建矩形或直角梯形。附：

⑴多邊形中面積的解決方法：相似比，等底等高。⑵反比例函數中面積與反比例函數解析式系數的關系。

5、比值：利用相似轉換，在直角三角形中用三角函數，或相似與直角三角形兼有。

四、相似

1、兩組角

2、找不到第二組角時，必是比例線段

3、無角時，必是三組邊成比例

4、已知兩邊，求第三邊：如果不能構建在同一直角三角形時，必定是相似，且其中一邊為公共邊或有一組相等邊。

5、圖形中含兩個或兩個以上的具等邊圖形（如：等邊三角形、正方形、等腰三角形）時，必與全等、相似有關。并且證全等的方法是;邊角邊、邊邊邊；證相似的方法是：兩組邊成比例，夾角相等。

五、解直角三角形

1、單一直角三角形

2、雙直角三角形中，含完全已知的直角三角形：有完全已知直角三角形求出不完全直角三角形的已知元素。

3、雙直角三角形中，無完全已知的直角三角形：利用方程組；尋找等腰三角形進行已知元素重組，使其中一個三角形具備完全已知元素。

4、無直角三角形；構建直角三角形。構建方法： 圓（見前面）

三角形與四邊形：作高；注意點：盡量不要把已知元素分割；易忘點：鈍角三角形有兩高在三角形外。

六、實數運算：

負指數，零指數、絕對值、三角函數值、根式化簡

七．分式計算：通分，關注分母的方法是分母與除數的取值不為0.分式方程：去分母。關注分母的方法是檢驗。

八、自變量取值范圍：分母、除數、被開放數、實際問題、注意是否有等于號。

九、找規律：數字規律、過程規律、十、求函數解析式

1、二次函數：三種方法

關鍵點：辨別已知點的特征。如：頂點、與坐標軸的交點。非常規題：已知不完全點。

2、一次函數與反比例函數

十一、點的坐標 方法：方程思想

非常規題：已知不完全點和解析式。此情形是方程思想的逆向應用，常用代入法。輔助線方法：過所求點作坐標軸的垂線。

十二、圖象

1、三種函數的圖象

⑴圖象位置與系數關系。難點：二次函數中一次項系數的符號判別。⑵2a?b，a?b?c，b2?4ac

⑶不等式判別

2、應用型

方法：先定函數名稱，再定圖象形狀，或從坐標軸的含義作判斷。注意：只需要第一象限部分。

十三、拋物線平移

看頂點，有正反兩種方式。

十四、直線垂直、平行時，直線解析式中一次項系數的關系

十五、最大利潤

1、頂點在取值范圍內的二次函數：求頂點坐標

2、一次函數與頂點不在取值范圍內的二次函數：利用函數的增減性，在自變量取值范圍中尋找。

十六、應用題

列表型、增長率型、量價問題、幾何型（面積、相似）

第三篇：矩陣心得體會

《矩陣論》學習心得體會

2011-2012第一學期，我在李勝坤老師的引領下，逐步學習了科學出版社出版、徐仲和張凱院等編著的《矩陣論簡明教程》第二版。該書是大學本科期間所學習的《線性代數》的矩陣部分內容的深化，從數域擴展到矩陣，要想充分理解“矩陣論”的精髓，就得先好好的將《線性代數》復習——掌握其基本概念及重要定理、結論。

該書有8個章節，第一章是矩陣的相似變換，第二章講的是范數理論，第三章介紹的是矩陣分析，第四章詳細介紹的是矩陣分解，第五章羅列的是特征值的估計與表示，第六章介紹的是廣義逆矩陣，第七章介紹的是矩陣的直積，最后一章介紹的是線性空間與線性變換。下面分章節談論。

第一章中的特征值與特征向量、矩陣的相似對角化、向量內積是本科期間《線性代數》中的內容，我想作者的目的是借助以前大家都熟悉的知識，將我們引領到另一個嶄新的知識領域，起到承上啟下的作用，讓我們對《矩陣論》感到不陌生。該章中的Jordan標準形、Hamilton-Cayley定理、酉相似的標準形是本科期間不曾深入學習的知識，這些知識為后續學習《矩陣論》吹響了號角。總之，第一章就是高等數學中的知識與“矩陣論”的銜接章節，同時也是后續章節學習的非常重要基礎章節。我們要學好《矩陣論》就得學好該章，理解記憶其中的概念、結論。

第二章介紹向量范數與矩陣范數及其應用。介紹了向量范數的三公理、酉不變性、1范、2范、無窮范、p范、加權范數（也叫橢圓范數）以及很重要的一個不等式——Cauchy-Schwarz不等式、向量的收斂、發散性；矩陣范數的定義、m1范、m無窮范、F范及其酉不變性，矩陣范數與向量范數的相容性等。范數與矩陣的譜半徑緊緊相連，有了范數作為研究矩陣的數學工具，我們將會更易更深入的理解、研究矩陣，并用矩陣指導實際生產實踐。

第三章矩陣分析和第四章矩陣分解各是矩陣論的最重要章節之一。通過對矩陣的收斂性、矩陣級數、矩陣函數、矩陣微分、矩陣積分、矩陣四種分解等系統性學習研究，讓我明白了矩陣理論在實際生活中的巨大作用——矩陣論將大大減少工程運算量及提高計算速度、精度。有了矩陣理論作指導，現實生活中很多不能解決或者很難解決的數學問題等都能夠得到很好的解決。比如，提高計算機的計算速度、優化數字信號處理算法等。

第五章介紹了矩陣的非常重要的參數——特征值的估計及其表示，介紹了特征值界定估計、特征值包含區域等，讓我們對特征值有了更進一步的了解，用書中的方法可以很高效的確定特征值的范圍、估計特征值的個數。是研究矩陣的有效方法，為計算特征值指明了方向，解決了以前計算特征值的困擾。

第六章介紹的是廣義逆矩陣，是逆矩陣的推廣。廣義逆矩陣是將可逆的方陣推廣到不可逆矩陣、長方矩陣。介紹了廣義逆矩陣的概念、逆矩陣的應用、Moor-Penrose逆A+的計算、性質以及在解線性方程組中的應用。我想該章更大的應用應該在解線性方程組中，解決生活中的計算問題，提供了又一高效辦法。

第七章矩陣的直積是很易懂的知識，是以前向量直積在矩陣中的推廣。對矩陣直積的研究對信號處理與系統理論中的隨機靜態分析與隨機向量過程分析等有重要的指導作用，同時也是重要的數學工具，是研究信號處理人員必備的數學工具。

第八章線性空間與線性變換，其中線性空間是幾何空間與n維向量空間概念的推廣與抽象，線性變換則反映了線性空間元素之間的一種最基本的聯系。該章的學習需要我們充分發揮我們的空間想象能力，同時該章也將會大大的啟迪我們思維的靈活性、喚醒沉睡已久的新思維。

通過《矩陣論簡明教程》的學習，開闊了我的數學視野，給我思考問題、解決實際問題提供了新的思維方法。我將努力借助《矩陣論》，使自己在信號處理領域走的更遠。

第四篇：矩陣分析

第一章：

了解線性空間（不考證明），維數，基

9頁：線性變換，定理1.3

13頁：定理1.10，線性空間的內積，正交

要求：線性子空間（3條）非零，加法，數乘

35頁，2491011

本章出兩道題

第二章：

約旦標準型

相似變換矩陣例2.8（51頁）出3階的例2.6（46頁）出3階的三角分解例2.9（55頁）（待定系數法）（方陣）

行滿秩/列滿秩（最大秩分解）

奇異值分解

本章出兩道題

第三章：

例3.1（75頁）定理3.2要會證明例3.3必須知道（證明不需要知道）定義3.3 例3.4證明要知道定理3.5掌握定理3.7要掌握

習題24

本章出（一道計算，一道證明）或者（一道大題（一半計算，一半證明））

第四章：

矩陣級數的收斂性判定要會，一般會讓你證明它的收斂

比較法，數字級數

對數量微分不考，考對向量微分（向量函數對向量求導）

本章最多兩道，最少 一道，也能是出兩道題選一道

第六章：

用廣義逆矩陣法求例6.4（154頁）

能求最小范數（158頁）如果無解就是LNLS解

定理6.1了解定理6.2 求廣義逆的方法（不證明）

定理6.3（會證明）定理6.4（會證明）（去年考了）定理6.9（會證明）推論要記

住定理6.10（會證明）

出一道證明一道計算

第五篇：總結求逆矩陣方法

總結求逆矩陣方法

直接算會死人的。根據矩陣特點用不用的分解，寫成幾個例程，每次實驗之前進行嘗試，根據嘗試結果在算法里決定里決定用哪個。

irst 我想問：

1.全階矩陣A的求逆運算inv(A)和稀疏矩陣B（階數和a一樣）的求逆運算inv(B)是不是采取一樣的方法啊？也就是說他們的計算量是不是一樣的啊？不會因為是稀疏矩陣就采取特殊的方法來處理求逆吧？

我電腦內存256M，做4096*4096的矩陣求逆還可以，上萬階的就跑不動了

稀疏存儲方式會減少不必要的計算，雖然原理還是一樣，不過

計算量大大減少了。

2.如果一個矩陣C非零元素都集中在主對角線的周圍，那么對C求逆最好 應該采用什么樣的方法最好呢？

一般還是用LU分解＋前后迭代的方法，如果矩陣對角占優就更好辦了。

只不過還是需要稀疏存儲。

稀疏矩陣的逆一般不會是稀疏矩陣，所以對高階的稀疏矩陣求逆，是不可行的，對1萬階的全矩陣需要的內存差不多已經達到了pc的極限，我想最好的辦法就是迭代，既然是稀疏，乘法的次數就有限，效率還是很高的。

不過求逆運算基本上就是解方程，對稀疏矩陣，特別是他那種基本上非零元素都在對角線附近的矩陣來說，LU分解不會產生很多的注入元，所以用LU分解解方程方法的方法是可行的。

如果用迭代法，好像也就是共軛梯度法了。

C的資源網絡上有很多 google一下

或者到www.tmdps.cn上找找

或者用IMSL for C 或者用Lapack

或者用Matlab+C混合編程

有現成代碼，但要你自己找了 也可以使用程序庫

second

30,000*30,000的稀疏矩陣求逆如何實現？

試試基于krylov子空間方法的算法吧。

如arnoldi和GMRES方法。

matlab中有函數可以直接調用。

直接help gmres就可以了。

如果效果還不好。

就用用預處理技術。

比如不完全lu預處理方法。等等。

各種各樣的預處理+GMRES是現在解決大規模稀疏矩陣的主力方法。

維數再多還是用不完全LU分解預處理+CG or Gmres 我一個同學這么求過200W階的矩陣

求逆一般是不可取的，無需多說。但稀疏矩陣的直接解法還是不少的。基本上都是對矩陣進行重新排序以期減少填充或運算量。

在matlab里面，有許多算法可以利用：

colamd, colmmd, colperm, spparms, symamd, symmmd, symrcm.根據是否對稱，采用LU分解或者chol分解。

這些算法在internet上搜一下，很多都有相應的C或fortran版本。

稀疏矩陣的存儲最常見的是壓縮列（行）存儲，最近發現一種利用hash表來存儲的，其存取復雜度是O（1）,很是不錯。有幸趣的可以看看下面網頁咯，作者提供了源程序。

事實上Hash表存儲的效率也跟Hash算法有關，弄不好的話，不見得比直接按行或者列

順序檢索快。而且規模越大，效率肯定越來越低。

http://www.informatik.hs-bremen.de/~brey/

對稱正定的稀疏矩陣很好辦啊，用LU分解就可以了。

如果維數實在太大，比如超過10^4量級，那就只能用

共軛梯度法之類的迭代法求解了。好多文獻中用Cholesky分解處理的，好像結果還可以

你覺得LL’分解不會破壞矩陣的稀疏性么——如果矩陣不是帶狀的話？

而且數值穩定性也有問題。

對于一些注入元不是很多的矩陣這應該是個好辦法。

但是對于有些矩陣，LU分解后可能就把整個矩陣充滿了。~ 這是比較郁悶的事情。

third

帶狀矩陣的逆有快速算法嗎？

我覺得這個說法不對，至少在Matlab里面，使用稀疏矩陣求逆對于效率的提高還是很顯著的。利用稀疏特性，很多對于零元素的操作就省掉了。如果原矩陣還是對稱的，可以考慮三角分解，把單位陣的列向量作為右端項，求解得到的是對應的逆陣的列向量。

但是，按照前輩的說法，“絕大部分情況下，求逆陣肯定不是必需的”，這一說法我現在還是挺贊同的。至少，一般我們不會在有限元求解或者普通的線性方程組求解的時候，是先對系數矩陣求逆的吧。所以，我認為，逆陣在數學上很漂亮，對于公式推導有所幫助，但是在數值計算中是應該盡量避免直接計算它的，而且，更重要的是，在絕大部分情況下，是可以避免的。