第一章因式分解單元測試

一.單選題（共10題；共30分）

1.4x2-12x+m2是一個完全平方式，則m的值應為（）

A.3?????????????????????????????????????????B.-3?????????????????????????????????????????C.3或-3?????????????????????????????????????????D.9

2.下列多項式，能用完全平方公式分解因式的是（）

A.x2+xy+y2????????????????????????????B.x2-2x-1????????????????????????????C.-x2-2x-1????????????????????????????D.x2+4y2

3.已知多項式分解因式為，則的值為（）

A.B.C.D.4.下列分解因式正確的是（）

A.B.C.D.5.若m＞-1，則多項式m3-m2-m+1的值為（）

A.正數??????????????????????????????????B.負數??????????????????????????????????C.非負數??????????????????????????????????D.非正數

6.下列從左到右的變形，是因式分解的是（）

A.（a+3）（a﹣3）=a2﹣9??????????????????????????????????B.x2+x﹣5=x（x+1）﹣5

C.x2+4x+4=（x+2）2??????????????????????????????????????????D.x2﹣4=（x﹣2）2

7.如果多項式x2﹣mx+6分解因式的結果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分別是（）

A.m=﹣2，n=5????????????????????B.m=2，n=5??????????????????C.m=5，n=﹣2??????????????????D.m=﹣5，n=2

8.﹣（3x﹣1）（x+2y）是下列哪個多項式的分解結果（）

A.3x2+6xy﹣x﹣2y???????????B.3x2﹣6xy+x﹣2y???????????C.x+2y+3x2+6xy???????????D.x+2y﹣3x2﹣6xy

9.不論a，b為何有理數，a2+b2﹣2a﹣4b+c的值總是非負數，則c的最小值是（）

A.4???????????????????????????????????????B.5???????????????????????????????????????C.6???????????????????????????????????????D.無法確定

10.下列各式從左到右的變形為分解因式的是（）

A.m2﹣m﹣6=（m+2）（m﹣3）B.（m+2）（m﹣3）=m2﹣m﹣6

C.x2+8x﹣9=（x+3）（x﹣3）+8x??????????????????????D.x2+1=x（x+）

二.填空題（共8題；共24分）

11.因式分解：a2﹣2a=?________

.12.因式分解：x2﹣1=?________.13.分解因式：9a﹣a3=________?．

14.分解因式：4x3﹣2x=________

15.分解因式：4ax2﹣ay2=________．

16.分解因式：a3﹣a=________．

17.已知a+b=3，ab=2，則a2b+ab2=________．

18.分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2=________．

三.解答題（共6題；共42分）

19.已知關于x的多項式2x3+5x2﹣x+b有一個因式為x+2，求b的值．

20.分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．

21.已知：a﹣b=﹣2015，ab=﹣，求a2b﹣ab2的值．

22.我們對多項式x2+x﹣6進行因式分解時，可以用特定系數法求解．例如，我們可以先設x2+x﹣6=（x+a）（x+b），顯然這是一個恒等式．根據多項式乘法將等式右邊展開有：x2+x﹣6=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab

所以，根據等式兩邊對應項的系數相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得a=3，b=﹣2或者a=﹣2，b=3．所以x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．當然這也說明多項式x2+x﹣6含有因式：x+3和x﹣2．

像上面這種通過利用恒等式的性質來求未知數的方法叫特定系數法．利用上述材料及示例解決以下問題．

（1）已知關于x的多項式x2+mx﹣15有一個因式為x﹣1，求m的值；

（2）已知關于x的多項式2x3+5x2﹣x+b有一個因式為x+2，求b的值．

24.（1）計算：（﹣a2）3b2+2a4b

（2）因式分解：3x﹣12x3

．

答案解析

一.單選題

1.【答案】C

【考點】因式分解-運用公式法

【解析】【分析】根據完全平方式的構成即可得到結果。

【解答】∵4x2-12x+m2=(2x)2-2×2x×3+m2，∴m2=32=9，解得m=

故選C.【點評】解答本題的關鍵是熟練掌握完全平方公式。

2.【答案】C

【考點】因式分解-運用公式法

【解析】【解答】x2+2xy+y2=（x+y)2，x2-2x+1=（x-1)2；-x2-2x-1=-（x+1)2；x2+4xy+y2=（x+2y)2，故選C．

【分析】由于x2+2xy+y2=（x+y)2，x2-2x+1=（x-1)2，-x2-2x-1=-（x+1)2，x2+4xy+y2=（x+2y)2，則說明只有-x2-2x-1能用完全平方公式分解因式．本題考查了運用完全平方公式分解因式：a2±2ab+b2=（a±b)2

．

3.【答案】C

【考點】因式分解的應用

【解析】【分析】去括號可得。

故

故選擇C。

【點評】本題難度較低，主要考查學生對分解因式整式運算知識點的掌握，去括號整理化簡即可。

4.【答案】D

【考點】因式分解的意義

【解析】【分析】根據提公因式法和公式法分別分解因式，從而可判斷求解．

選項A、，故錯誤；

選項B、，故錯誤；

選項C、，故錯誤；

選項D、，故正確．故選D．

5.【答案】C

【考點】多項式，因式分解的應用，因式分解-分組分解法

【解析】【解答】多項式m3-m2-m+1

=（m3-m2）-（m-1），=m2（m-1）-（m-1），=（m-1）（m2-1）

=（m-1）2（m+1），∵m＞-1，∴（m-1）2≥0，m+1＞0，∴m3-m2-m+1=（m-1）2（m+1）≥0．

選：C．

【分析】解此題時可把多項式m3-m2-m+1分解因式，根據分解的結果即可判斷

6.【答案】C

【考點】因式分解的意義

【解析】【解答】解：A、（a+3）（a﹣3）=a2﹣9是多項式乘法運算，故此選項錯誤；

B、x2+x﹣5=x（x+1）﹣5，不是因式分解，故此選項錯誤；

C、x2+4x+4=（x+2）2，是因式分解，故此選項正確；

D、x2﹣4=（x﹣2）（x+2），故此選項錯誤．

故選：C．

【分析】根據把多項式寫出幾個整式積的形式叫做因式分解對各選項分析判斷后利用排除法求解．

7.【答案】C

【考點】因式分解的應用

【解析】【解答】解：x2﹣mx+6=（x﹣3）（x+n）=x2+（n﹣3）x﹣3n，可得﹣m=n﹣3，﹣3n=6，解得：m=5，n=﹣2．

故選C

【分析】因式分解的結果利用多項式乘以多項式法則計算，利用多項式相等的條件求出m與n的值即可．

8.【答案】D

【考點】因式分解-分組分解法

【解析】【解答】解：3x2+6xy﹣x﹣2y=（3x﹣1）（x+2y），A錯誤；

3x2﹣6xy+x﹣2y=（3x﹣1）（x﹣2y），B錯誤；

x+2y+3x2+6xy=（3x+1）（x+2y），C錯誤；

x+2y﹣3x2﹣6xy=﹣（3x﹣1）（x+2y），D正確．

故選：D．

【分析】根據分組分解法把各個選項中的多項式進行因式分解，選擇正確的答案．

9.【答案】B

【考點】因式分解的應用

【解析】【解答】解：∵a2+b2﹣2a﹣4b+c=（a﹣1）2﹣1+（b﹣2）2﹣4+c=（a﹣1）2+（b﹣2）2+c﹣5≥0，∴c的最小值是5；

故選B．

【分析】先把給出的式子通過完全平方公式化成（a﹣1）2﹣1+（b﹣2）2﹣4+c≥，再根據非負數的性質，即可求出c的最小值．

10.【答案】A

【考點】因式分解的意義，因式分解-十字相乘法

【解析】【解答】解：A、符合因式分解的定義，是因式分解，故正確；

B、是多項式乘法，故不符合；

C、右邊不是積的形式，故不表示因式分解；

D、左邊的多項式不能進行因式分解，故不符合；

故選A.二.填空題

11.【答案】a（a﹣2）

【考點】因式分解-提公因式法

【解析】【解答】a2﹣2a=a（a﹣2）．

故答案為：a（a﹣2）．

【分析】先確定公因式是a，然后提取公因式即可．

12.【答案】（x+1）（x﹣1）

【考點】因式分解-運用公式法

【解析】【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．

故答案為：（x+1）（x﹣1）

【分析】代數式利用平方差公式分解即可．

13.【答案】a（3+a）（3﹣a）

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】

9a﹣a3，=“a”

（9﹣a2），=a（3+a）（3﹣a）．

【分析】

本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關鍵，難點在于要進行二次分解因式．

先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解．

14.【答案】2x（2x2﹣1）

【考點】公因式

【解析】【解答】解：4x3﹣2x=2x（2x2﹣1）．

故答案為：2x（2x2﹣1）．

【分析】首直接提取公因式2x，進而分解因式得出答案．

15.【答案】a（2x+y）（2x﹣y）

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）

=a（2x+y）（2x﹣y），故答案為：a（2x+y）（2x﹣y）．

【分析】首先提取公因式a，再利用平方差進行分解即可．

16.【答案】a（a+1）（a﹣1）

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．

故答案為：a（a+1）（a﹣1）．

【分析】先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解．

17.【答案】6

【考點】因式分解-提公因式法

【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=6．

故答案為：6．

【分析】首先將原式提取公因式ab，進而分解因式求出即可．

18.【答案】xy2（y﹣3）2

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】解：原式=xy2（y2﹣6y+9）=xy2（y﹣3）2，故答案為：xy2（y﹣3）2

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

三.解答題

19.【答案】解：∵x的多項式2x3+5x2﹣x+b分解因式后有一個因式是x+2，當x=﹣2時多項式的值為0，即16+20﹣2+b=0，解得：b=﹣34．

即b的值是﹣34．

【考點】因式分解的意義

【解析】【分析】由于x的多項式2x3+5x2﹣x+b分解因式后有一個因式是x+2，所以當x=﹣2時多項式的值為0，由此得到關于b的方程，解方程即可求出b的值．

20.【答案】解：∵分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），∴x=1、x=﹣2肯定是關于x的方程2x4﹣3x2+mx2+7x+n=0的兩個根，∴2-3+m+7+n=032-24+4m-14+n=0，解得：m=-103n=-83

【考點】因式分解的意義

【解析】【分析】由“多項式2x4﹣3x3+mx2+7x+n含有因式（x﹣1）和（x+2）”得到“x=1、x=﹣2肯定是關于x的方程2x4﹣3x3+mx2+7x+n=0的兩個根”，所以將其分別代入該方程列出關于m、n的方程組，通過解方程組來求m、n的值．

21.【答案】解：∵a2b﹣ab2=ab（a﹣b），∴ab（a﹣b）=（﹣2015）×（﹣）=2016．

【考點】代數式求值，因式分解-提公因式法

【解析】【分析】首先把代數式因式分解，再進一步代入求得數值即可．

22.【答案】解：（1）由題設知：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，故m=n﹣1，﹣n=﹣15，解得n=15，m=14．

故m的值是14；

（2）由題設知：2x3+5x2﹣x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2x3+（2k+t+4）x2+（4k+2t+kt）x+2kt，∴2k+t+4=5，4k+2t+kt=﹣1，2kt=b．

解得：k1=32，k2=﹣1．

∴t1=﹣2，t2=3．

∴b1=b2=2kt=﹣6．

【考點】因式分解-運用公式法，因式分解的應用

【解析】【分析】（1）根據多項式乘法將等式右邊展開有：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，所以，根據等式兩邊對應項的系數相等可以求得m的值；

（2）解答思路同（1）．

23.【答案】解：（1）證明：

z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）

=9xy﹣3x2﹣（4x2+9xy﹣9y2）

=9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy+9y2

=﹣7x2+9y2

∵x是3的倍數時，∴z能被9整除．

（2）當y=x+1時，則z=﹣7x2+9（x+1）2

=2x2+18x+9

=2（x+92）2﹣632

∵2（x+98）2≥0

∴z的最小值是﹣632

．

【考點】因式分解-運用公式法，因式分解的應用

【解析】【分析】（1）首先利用整式的乘法計算方法計算，進一步合并求證得出答案即可；

（2）把y=x+1代入（1）中，整理利用二次函數的性質解決問題．

24.【答案】解：（1）原式=﹣a6b2+2a4b；

（2）原式=﹣3x（x2﹣1）=﹣3x（x+1）（x﹣1）．

【考點】整式的混合運算，提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【分析】（1）原式利用冪的乘方與積的乘方運算法則計算即可得到結果；

（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．