吉林省實驗中學2019--2020年高三年級下學期
第三次月考數學（文科）試題
第Ⅰ卷
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1.已知集合A.B．
C．
D．
2．已知復數,且，則的值為
A．0
B．±1
C．2
D．±2
3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的值為
A．
B．
C．
D．
4．在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于兩點，若點的坐標分別為和，則的值為（）
A．
B．
C．0
D．
5．下列命題正確的是
A．命題，的否定是：，B．命題中，若，則的否命題是真命題
C．如果為真命題，為假命題，則為真命題，為假命題
D．是函數的最小正周期為的充分不必要條件
6．函數y=2ln(cosx+2)的圖像大致是
A．
B．
C．
D．
7．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為
第8題
A．
B．
C.D．
8.程序框圖如圖（右上），當輸入為2019時，輸出的值為
A．
B．1
C．2
D．4
9．袋子中有四張卡片，分別寫有“瓷、都、文、明”四個字，有放回地從中任取一張卡片，將三次抽取后“瓷”“都”兩個字都取到記為事件，用隨機模擬的方法估計事件發生的概率.利用電腦隨機產生整數0，1，2，3四個隨機數，分別代表“瓷、都、文、明”這四個字，以每三個隨機數為一組，表示取卡片三次的結果，經隨機模擬產生了以下18組隨機數：
232
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
233
由此可以估計事件發生的概率為（）
A．
B．
C．
D．
10.圓心在圓上，與直線相切，且面積最大的圓的方程為
A
.B.C.D.11．已知函數，圖象的一部分如圖所示．若，是此函數的圖象與軸三個相鄰的交點，是圖象上、之間的最高點，點的坐標是，則數量積
A.B．
C．
D．
12．已知函數與的圖像上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍為
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分．）
13．已知變量，滿足，則的最大值為
．
14．部分與整體以某種相似的方式呈現稱為分形.謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數學家謝爾賓斯基1915年提出.具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復上述過程逐次得到各個圖形，如圖.現在上述圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為_________.15．已知三棱錐中，,，則三棱錐的外接球的體積為_______．
16．已知函數
則數列的通項公式為__________．
三、解答題：（本大題共6小題，其中17-21小題為必考題，每小題12分；第22—23題為選考題，考生根據要求做答，每題10分）
17．的內角，所對的邊分別為，，已知，成等差數列．
（1）求角；
（2）若，為中點，求的長．
18．某大型企業為鼓勵員工利用網絡進行營銷，準備為員工辦理手機流量套餐．為了解員工手機流量使用情況，通過抽樣，得到100位員工每人手機月平均使用流量（單位：的數據，其頻率分布直方圖如圖．
（Ⅰ）從該企業的100位員工中隨機抽取1人，求手機月平均使用流量不超過的概率；
（Ⅱ）據了解，某網絡運營商推出兩款流量套餐，詳情如下：
套餐名稱
月套餐費（單位：元）
月套餐流量（單位：
700
1000
流量套餐的規則是：每月1日收取套餐費．如果手機實際使用流量超出套餐流量，則需要購買流量疊加包，每一個疊加包（包含的流量）需要10元，可以多次購買，如果當月流量有剩余，將會被清零．
該企業準備訂購其中一款流量套餐，每月為員工支付套餐費，以及購買流量疊加包所需月費用．若以平均費用為決策依據，該企業訂購哪一款套餐更經濟？
19．如圖所示，三棱錐P-ABC放置在以AC為直徑的半圓面O上，O為圓心，B為圓弧AC上的一點，D為線段PC上的一點，且AB=BC=PA=3，PB=32，PA⊥BC.（Ⅰ）求證：平面BOD⊥平面PAC；
（Ⅱ）當時，求三棱錐C-BOD的體積.20．已知函數，且曲線在點M1,f1處的切線與直線平行.（1）求函數fx的單調區間；
（2）若關于的不等式恒成立，求實數m的取值范圍.21．已知橢圓，點在的長軸上運動，過點且斜率大0的直線與交于兩點，與軸交于點,.當為的右焦點且的傾斜角為時，重合，.（1）求橢圓的方程；
（2）當均不重合時，記若，求證：直線的斜率為定值.請考生在22、23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分.22．（10分）選修4-45：參數方程極坐標選講
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程是（α為參數），把曲線C橫坐標縮短為原來的，縱坐標縮短為原來的一半，得到曲線C1，直線l的普通方程是
3x+y-2=0，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系；
（1）求直線l的極坐標方程和曲線C1的普通方程；
（2）記射線與C1交于點A，與l交于點B，求|AB|的值.23.（10分）選修4-5：不等式選講
（1）求不等式x+2+x-1≥5的解集；
（2）已知兩個正數a、b滿足a+b=2，證明：.吉林省實驗中學2020年高三年級
第三次月考數學（文科）試題答案
1.B
2.D
3.D
4.C
由題意可得：sinα=45,cosα=35，sinβ=35,cosβ=-45，則sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=-725
5.D
解：在中，命題，的否定是：，故錯誤；
在中，命題中，若，則的否命題是假命題，故錯誤；
在中，如果為真命題，為假命題，則與中一個是假命題，另一個是真命
題，故錯誤；在中，函數的最小正周期為，函數的最小正周期為．
是函數的最小正周期為的充分不必要條件，故正確
6.C
因為y=2ln(cosx+2)的定義域為R，又2lncos-x+2=2ln(cosx+2)，故函數y=2ln(cosx+2)為偶函數，關于y軸對稱，排除AB選項；
又當x=π時，y=2lncosπ+2=0，排除D.7.C
根據三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成的，上面是一個圓柱，底面直徑為8，高為4；下面是一個長寬高分別為8，8，4的長方體．
∴該幾何體的體積V=8×8×4+π×42×4=256+64π．
8.A
解：輸入x=2019，得x=2016，第1次判斷為是，得x=2013；第2次判斷為是，得x=2010；……一直循環下去，每次判斷為是，得x都減3，直到x=-3，判斷結果為否，得到輸出值y=2-3=18
9.C
事件A包含“瓷”“都”兩字，即包含數字0和1，隨機產生的18組數中，包含0,1的組有021,001,130,031,103，共5組，故所求概率為P=518，故選C
10.D
過圓心做直線的垂線，垂線與已知圓的交點為A（1,1）,B（-1，-1）,易證當圓心在點B時，圓的半徑最大，圓的面積也最大，圓心為B，半徑為，所以面積最大的圓的方程為。
11.D
解：設，由圖象可知，且，故，．
再根據五點法作圖可得，，、，、，．，，12.C
若函數fx=ex-ex+a與gx=lnx+1x的圖象上存在關于x軸對稱的點，則方程ex-ex+a=-(lnx+1x)在(0,+∞)上有解，即a=ex-ex-lnx-1x在(0,+∞)上有解，令h(x)=ex-ex-lnx-1x，則h＇(x)=e-ex-1x+1x2=e-ex+1-xx2，所以當0
14.916
設圖（3）中最小黑色三角形面積為S，由圖可知圖（3）中最大三角形面積為16S，圖（3）中，陰影部分的面積為9S，根據幾何概型概率公式可得，圖(3)中隨機選取一個點，則此點取自陰影部分的概率為916,故答案為916.15.16．
【解析】由，函數為奇函數，由為奇函數，，∵，①
則，②
①+②得
則數列的通項公式為.17.解：（1），成等差數列，則，由正弦定理得：，，即，，又，．
（2）在中，，即，或（舍去），故，在中，在中，可得：．
18.解：（1）由題意知．
所以100位員工每人手機月平均使用流量不超過的概率為，（2）若該企業選擇套餐，則100位員工每人所需費用可能為20元，30元，40元，每月使用流量的平均費用為，若該企業選擇套餐，則100位員工每人所需費用可能為30元，40元，每月使用流量的平均費用為，所以該企業選擇套餐更經濟．
19.（Ⅰ）證明：由AB=PA=3，PB=32，∴PA2+AB2=PB2，∴PA⊥AB，又PA⊥BC且AB∩BC=B，∴PA⊥平面ABC.∵BO?平面ABC，∴PA⊥BO，由BA=BC，O為圓心，所以BO⊥AC.因AC∩PA=A，故BO⊥平面PAC，又BO?平面BOD，所以平面BOD⊥平面PAC.（Ⅱ）由PC=2PD，知D為PC的中點，而O為圓心，所以PA//DO，所以DO⊥平面ABC，因為PA=3，所以DO=32，由題意知∠ABC=90°，所以SΔABC=12×3×3=92，由等體積法知VC-BOD=VD-BOC=13×SΔBOC×DO
=13×12×92×32=98
20.（1）函數fx的定義域為x|x>0，f＇x=ax-1x2+2，又曲線y=fx在點1,f1處的切線與直線y=2x平行
所以f＇1=a-1+2=2，即a=1
∴fx=lnx+1x+2x，f＇x=x+12x-1x2x>0
由f＇x<0且x>0，得0 由f＇x>0得x>12，即fx的單調遞增區間是12,+∞.（2）由（1）知不等式fx≥2x+mx恒成立可化為lnx+1x+2x≥2x+mx恒成立 即m≤x?lnx+1恒成立 令gx=x?lnx+1g＇x=lnx+1 當x∈0,1e時，g＇x<0，gx在0,1e上單調遞減.當x∈1e,+∞時，g＇x>0，gx在1e,+∞上單調遞增.所以x=1e時，函數gx有最小值 由m≤x?lnx+1恒成立 得m≤1-1e，即實數m的取值范圍是-∞,1-1e.21.解：（1）因為當M為C的右焦點且l的傾斜角為π6時，N，P重合，|PM|=2，所以a=|PM|=2故bc=tanπ6=33，因為a2=b2+c2，因此c=3，b=1，所以橢圓C的方程為x24+y2=1.（2）設l:x=ty+m(m≠0)，所以M(m,0)，N0,-mt，所以kl=1t.因為斜率大于0，所以t>0，設Px1,y1，Qx2,y2，則NP=x1,y1+mt，NQ=x2,y2+mt，由NP=λNQ得，x1=λx2，① 同理可得y1=μy2，② ①②兩式相乘得，x1y1=λμx2y2，又λμ=1，所以x1y1=x2y2，所以ty1+my1=ty2+my2，即ty12-y22=my2-y1，即y2-y1m+ty1+y2=0由題意kl>0，知y1-y2≠0，所以m+ty1+y2=0.聯立方程組x=ty+mx24+y2=1，得t2+4y2+2tmy+m2-4=0，依題意，y1+y2=-2tmt2+4 所以m-2t2mt2+4=0，又m≠0，所以t2=4，因為t>0，故得t=2，所以kl=1t=12，即直線l的斜率為12.22.（1）將x=ρcosθy=ρsinθ代人直線l的方程3x+y-2=0，得：3ρcosθ+ρsinθ-2=0，化簡得直線l的極坐標方程：ρ=1sin(θ+π3) 由曲線C的參數方程消去參數α得曲線C的普通方程為：，經過伸縮變換x＇=22xy＇=12y得x=2x＇y=2y＇代入 得：，故曲線C1的普通方程為： （2）由（1）將曲線C1的普通方程化為極坐標方程：，將θ=π6(ρ?0)代人得,將θ=π6(ρ?0)代入ρ=1sin(θ+π3)得：ρB=1，故 23.（1）方法一：根據幾何意義“x+2+x-1”表示數軸上x到-2和1的距離之和，所以不等式的解集為x|x≤-3或x≥2.方法二：零點分區間討論如下： ①當x≤-2時，-x-2-x+1≥5，即x≤-3，∴x≤-3.②當-2 ③當x≥1時，x+2+x-1≥5即x≥2，∴x≥2.綜上所述，不等式的解集為x|x≤-3或x≥2.（2）因為a+(b+1)=3，所以1a+1b+1=131a+1b+1a+(b+1) =132+b+1a+ab+1 ≥43，當且僅當b+1a=ab+1a+b=2即a=32b=12時取“=”.
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