第一篇：關于勾股定理的研究性論文（共）

勾股定理的內容是aZ+bZ=eZ(a、b、e是直角三角形的三條邊)。我們以三角形的三條邊組成三個正方形,通過割補移位,使兩個正方形面積之和等于第三個正方形面積的形式,制作一幅投影片,用來配合勾股定理的推導,對教學十分有益。

一、片型

抽拉旋轉片

二、制作方法

1、底片。畫一個直角三角形,標出三條邊a、b、“。以“、b、“為稗長畫三個正方形,其中“邊組成的正方形用實線畫出,均勻地涂上藍色。其他兩個正方形用虛線畫出,不涂色彩。見圖1。

圖12、抽片(一)。取一條長膠片,長約等于底片長的一倍半,寬等于底片寬的一半。以b為邊長,用實線畫一個正方形,均勻涂上紅色,見圖2。

圖23、抽片(二)。取一條長膠片,長等于底片長的2倍,寬等于底片的寬。以c為邊長,用實線畫一個正方形,在正方形內留出兩個直角三角形的空白,三角形的大小與圖l中的直角三角形相同,其余部分均勻涂上黃色,見圖3。

圖34、轉片(一)。用膠片剪一個直角三角形,大小與圖1中的直角三角形相同,涂上黃色,以斜邊和長直角邊的交點為軸心打孔,準備裝旋轉鉚釘,見圖4。

圖45、轉片(二)。同4所述,剪一個直角三角形,涂上黃色,以斜邊和短直角邊的交點為軸心打孔,準備裝鉚釘,見圖5。

圖56、將圖4、圖5所示的兩個三角形,放在圖3所示的正方形內,用鉚釘分別將兩個三角形固定在正方形的兩個頂角上,使之能轉動。注意兩個三角形的黃色與正方形內黃色一致,看上去是一個完整的正方形,見圖6。

圖67、將圖2所示的抽片(一)水平插入圖1所示的片框內,使圖2中的正方形與圖l中的b邊組成的虛線正方形重合,能向右抽動,見圖7下部。

圖7

將圖6所示的抽片(二)按與底片直角三角形的斜邊c垂直的方向,插人圖1所示的片框內,使圖6中的正方形與底片。邊組成的正方形重合,并能向右下方抽動,見圖7。

三、使用方法

1.如圖7所示,講直龍三角形的三條邊分別是a、b、“,以氛b、c、為邊一長的藍色、紅色、黃色三個正方形分別代表aZ、bZ、eZ。

2.向右拉動紅色的正方形,向右下方拉動黃色的正方形,至圖8所示的位置。說明紅、黃兩個正方形的位置變了,但面積大小沒有變。指出黃色正方形與藍色正方形及紅色正方形有一部分已經重合,如果其他部分也完全重合,就證明面積相等了。

圖8

3.將圖4所示的三角形逆時針旋轉9。,將圖5所示的三角形順時視旋轉90。,如圖9所示,會出現以。

邊組成的黃色正方形,通過移位、分解、旋轉后,與a邊組成藍色正方形,和與b邊組成的紅色正方形完全重合,從而直觀的表示:a+b=c。

圖9

摘 要：勾股定理又名商高定理，也名畢達哥拉斯定理。從兩千多年前至今都有人在研究，其證明方法多達500種，并且在實際生活中有廣泛應用。在中學階段，勾股定理是幾何部分最重要的定理之一，不僅是教學的重點、難點、考點，而且也是幾何學習的基礎，除此之外，還可以激發學生學習興趣，開拓學生知識面，提升學生思維水平。

關鍵詞：勾股定理 中學生 心理特征 證明方法 解題思路。

一、勾股定理介紹

在古代中國，數學著作《周髀算經》開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”商高答曰：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日”這是中國古代對勾股定理的最早記錄。在《九章算術》中，“勾股術曰：勾股各自乘，并而開方除之，即弦．又股自乘，以減弦自乘，其余開方除之，即勾．又勾自乘，以減弦自乘，其余開方除之，即股”。畢達哥拉斯參加一次餐會，餐廳鋪著正方形大理石地磚，他凝視這些排列規則、美麗的方形磁磚，但畢達哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和“數”之間的關系，于是拿了畫筆并且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線 為邊畫一個正方形，他發現這個正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和。這是西方對畢達哥拉斯定理最早的描述。

二、中學生心理特征

中學階段的學生正處于發育的第二高峰期，在生理和心理上都有很大的變化，在心理上的普遍特征：1.有意注意發展顯著，注意的范圍擴大，穩定性和集中性增強；2.記憶力隨著年齡的增長而增加，對圖片、音頻等感性的記憶較好，對公式、定理等純理論的記憶較差，尤其是數學學科，基礎的理論公式很多，學生很容易記混淆；3.抽象思維的能力有提升，處于形式運算階段，但對事物的思考基本還停留在事物表面，沒有完全形成自主有意識的抽象思維傾向；4.自制力有所提升，他們開始喜歡崇拜有意志力、自控力的人，但是自身的自制力比較薄弱。雖然我并不贊成把學生分為優等生、中等生和差等生，但是在實際的教育中，是存在這樣的分化，并且學生都存在上述的四個普遍特征，也存在一些差異：學習能力、思維方式、自制力等不同。優等生在各個方面普遍比中等生好，而中等生又普遍比差等生好，我們應該從這些差異點著手，因材施教，激發學習興趣，提升學習能力，引導自主學習，減少學生之間的差異，使學生健康成長，實現自我價值。

三、勾股定理的典型證明方法

勾股定理是全人類文明的一個象征，也是平面幾何學的一顆明珠，在實際生活中也有廣泛應用。兩千年以來，人們從來沒有停止對勾股定理的研究。據不完全統計，勾股定理的證明方法多達500種，每一種方法都有優點，每一種方法都包含全人類的智慧。但在中學教學中，我們不可能做到面面俱到，只能教給學生一些典型、基礎的證明方法，通過教學引導學生自主學習，自主探索。

說明：第一種證明方法有兩個要點：1.幾何圖形的變化；2.確定等量關系。初中生可以理解這兩個要點，因此，我們可以以探究的形式讓學生自己做，一來可以提高學生自主學習的興趣，二來也符合當下的教育理念——探究學習。對于基礎較薄弱的學生而言，在掌握基本知識點的同時，可以增加他們學習數學的興趣，減少對數學的畏懼情緒，對于基礎較好的學生而言，他們可以通過這種證明方法，自學勾股定理的基本知識。第二、三種方法分別結合了相似三角形和圓的基礎知識點，在教授相似三角形和圓的相關定理時，提出他們在勾股定理證明中的運用。把前后知識點串聯起來，差等生可以回顧勾股定理，加深理解，激發他們學習的興趣，中等生和優等生可以構建不同知識點之間的聯系，形成知識體系，提升他們的抽象思維能力，對后繼學習有很大幫助。

四、勾股定理的典型解題思路

本題先通過不變量尋找等量關系，再利用勾股定理求解問題。引導基礎較差的學生通過折疊尋找圖形中的不變量，建立等量關系，提升其處理數學問題的信心，學會一些數學的基本方法和思維方式；引導基礎較好的學生復習對稱圖形的性質，適當提煉解題思路，構建知識體系。

說明：題目本身很簡單，由題目容易想到勾股數3、4、5，而忽略分類討論。我們應引導學生突破慣性思維，不能過于片面、主觀，應認真仔細省題。初中生對問題有思考，但思考的深度不夠。通過這道題可以告訴學生：突破慣性思維，全面思考問題，不懼怕數學題，使他們愿意主動思考數學題。本題運用到分類討論思想，這個思想在數學上的運用十分廣泛。

五、結語

勾股定理是中學階段最重要的定理之一，本文從中學生的心理特征，以及不同層次的學生的不同學習特點、心理特點出發，立足縮小學生間的層次差異、實現學生自我價值的觀點，討論勾股定理在實際教學中的不同證明方法的教法，和一些典型題型的解題思路，以及如何在教課過程中引導不同層次的學生學習，產生數學學習興趣，構建數學知識體系。

參考文獻：

[1]《周髀算經》[M].文物出版社1980年3月.據宋代嘉靖六年本影印.[2]《九章算術》[M].重慶大學出版社.2006年10月.

第二篇：勾股定理論文

勾股定理論文

在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理．這是由于，他們認為最早發現直角三角形具有“勾2+股2=弦2”這一性質并且最先給出嚴格證明的是古希臘的數學家畢達哥拉斯

實際上，在更早期的人類活動中，人們就已經認識到這一定理的某些特例．中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明,在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位.尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法,更具有科學創新的重大意義.事實上,“形數統一”的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件.正如當代中國數學家吳文俊所說:"在中國的傳統數學中,數量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發展著的......除我國在公元前1000多年前發現勾股定理外，據說古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法則來確定直角．但是，這一傳說引起過許多數學史家的懷疑．比如，美國的數學史家M·克萊因教授曾經指出：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理．我們知道他們有拉繩人（測量員），但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實．”不過，考古學家們發現了幾塊大約完成于公元前2000年左右的古巴比倫的泥版書，據專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”這是一個三邊為3:4:5三角形的特殊例子；專家們還發現，在另一塊版板上面刻著一個奇特的數表，表中共刻有四列十五行數字，這是一個勾股數表：最右邊一列為從1到15的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數值，一共記載著15組勾股數．這說明，勾股定理實際上早已進入了人類知識的寶庫．

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。如此等等。

805班

李政東

第三篇：勾股定理的論文

勾股定理的論文

關于勾股定理

勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。

在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。

中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：

周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？”

商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。”

從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古

代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重

要懂得數學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定

理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖所示，我們

圖1 直角三角形

用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可得：

勾2+股2=弦

2亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。其實，我國古代得到人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例（32+42=52）。所以現在數學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當的。

在稍后一點的《九章算術一書》中，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。

書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為：

弦=（勾2+股2）(1/2)

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）

2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化簡后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）

(1/2)

圖2勾股圓方圖

勾股定理趣事

學過幾何的人都知道勾股定理．它是幾何中一個比較重要的定理，應用十分廣泛．迄今為止，關于勾股定理的證明方法已有400多種．其中，美國第二十任總統伽菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話．

總統為什么會想到去證明勾股定理呢？難道他是數學家或數學愛好者？答案是否定的．事情的經過是這樣的；

勾股的發現

在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德．他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討．由于好奇心驅使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么．只見一個小

男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形．于是伽菲爾德便問他們在干什么？

只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。

于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的這一證法。

1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統。后來，勾股的證明

人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統”證法。

勾股定理同時也是數學中應用最廣泛的定理之一。例如從勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率。據稱金字塔底座的四個直角就是應用這一關系來確定的．至今在建筑工地上，還在用它來放線，進行“歸方”，即放“成直角”的線。

正因為這樣，人們對這個定理的備加推崇便不足為奇了。1955年希臘發行了一張郵票，圖案是由三個棋盤排列而成。這張郵票是紀念二千五百年前希臘的一個學派和宗教團體 ── 畢達哥拉斯學派，它的成立以及在文化上的貢獻。郵票上的圖案是對勾股定理的說明。希臘郵票上所示的證明方法，最初記載在歐幾里得的《幾何原本》里。

尼加拉瓜在1971年發行了一套十枚的紀念郵票，主題是世界上“十個最重要的數學公式”，其中之一便是勾股定理。

2002年的世界數學家大會在中國北京舉行，這是21世紀數學家的第一次大聚會，這次大會的會標就選定了驗證勾股定理的“弦圖”作為中央圖案，可以說是充分表現了我國古代數學的成就，也充分弘揚了我國古代的數學文化，另外，我國經過努力終于獲得了2002年數學家大會的主辦權，這也是國際數學界對我國數學發展的充分肯定。

今天，世界上幾乎沒有人不知道七巧板和七巧圖，它在國外被稱為“唐圖”（Tangram），意思是中國圖（不是唐代發明的圖）。七巧板的歷史也許應該追溯到我國先秦的古籍《周髀算經》，其中有正方形切割術，并由之證明了勾股定理。而當時是將大正方形切割成四個同樣的三角形和一個小正方形，即弦圖，還不是七巧板。現在的七巧板是經過一段歷史演變過程的。

勾股趣事

甚至還有人提出過這樣的建議：在地球上建造一個大型裝置，以便向可能會來訪的“天外來客”表明地球上存在有智慧的生命，最適當的裝置就是一個象征勾股定理的巨大圖形，可以設在撒哈拉大沙漠、蘇聯的西伯利亞或其他廣闊的荒原上，因為一切有知識的生物都必定知道這個非凡的定理，所以用它來做標志最容易被外來者所識別！?

有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知數）有正整數解以外，其他的三元n次方程xn + yn =zn（n為已知正整數，且n＞2）都不可能有正整數解。這一定理叫做費爾馬大定理（費爾馬是17世紀法國數學家）。

勾股定理的發現

人們對勾股定理的認識經歷了從特殊到一般的過程，這在世界許多地區的數學原始文獻中都有反映．最早發現＂勾三股四弦五＂這一特殊關系的是古埃及人，這一事實可以追溯到公元前25世紀，中國古代數學家也較早獨立發現并證明過勾股定理，而對它的應用更有許

多獨到之處．勾股定理一般情況的發現和證明，那要歸功于古希臘的畢達哥拉斯．

中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地的數據呢？”商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’（即直角）的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。”

勾股的發現

從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要數學原理了。稍懂平面幾何的讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖所示，我們用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形的兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可以得到： 勾2+股2=弦2 亦即：a2+b2=c

2勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。其實，我國古代得到人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例（32+42=52）。所以現在數學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當的。在稍后一點的《九章算術》一書中，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為：弦=（勾2+股2）(1/2)亦即：c=（a2+b2）(1/2)

滿足勾股定理的數組稱為勾股數（或商高數）。在西方，人們把這個定理的發現與證明歸功于古希臘的畢達哥拉斯，因而稱之為畢達哥拉斯定理，滿足定理的數組也就稱為畢達哥拉斯數。但是1945年，人們在對古巴比倫人遺留下的一塊數學泥板的研究中，驚訝地發現上面竟然刻有15組勾股數，其年代遠在商高和畢達哥拉斯之前，大約在公元前1900年到公元前l600年之間。這些勾股數組中有些是很大的數，即使在今天也往往是人們所不熟悉的。這個數表使人們有理由相信，古巴比倫人早已掌握了勾股定

勾股的證明

理并很可能找到了一種求得勾股數的一般方法，只不過人們還不能從其他的泥板中找出更多的證據來證明這一點。

勾股趣事

畢達哥拉斯學派倒是明確地給出了勾股數的一組公式：一組勾股數的正整數解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特點是斜邊與其中一股的差為1。

后來，另一個古希臘學者柏拉圖（Plato,約前427－前347）也給了另一組公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1，此時斜邊與其中一股之差為2。

被譽為“代數學鼻祖”的古希臘數學家丟番圖（Diophantus,約330－246）也在研究二次不定方程的時候，對勾股數作了一番探討。他發現不論是畢達哥拉斯還是柏拉圖的式子，都沒能給出全部勾股數組，于是他找到了一個新方法：全部解的公式是a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2其中m，n（m>n）是互質且一奇一偶的任意正整數。

丟番圖究竟是如何得到這組式子的，人們今天已經無從知曉。重要的是，這組式子包含了全部的勾股數組！

值得一提的是，在早于丟氏三、四百年的我國古代數學巨著《九章算術》中，也提出了一組求勾股數的式子，這組式子相當于：任意給定兩個正整數m，n(m＞n)，那么這三個正

整數就是一個整勾股數組。用代數方法很容易證明這一結論。公元3世紀，我國著名數學家劉徽從幾何上也證明了這一結論。

不難證明，如果上述m，n(m＞n)，是互質的奇數，那么用《九章算術》中的法則可以求出所有兩兩互質的整勾股數組。這也是我們中國古代數學家的一項杰出成就。

無論是古埃及人、古巴比倫人還是我們中國人誰最先發現了勾股定理，我們的先人在不同的時期、不同的地點發現的這同一性質，顯然不僅僅是哪一個民族的私有財產而是我們全人類的共同財富.勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”。為什么一個定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“?故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”什么是“勾、股”呢？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的內容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫作“商高定理”。畢達哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年。希臘另一位數學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，所以他就把這個定理稱為“畢達哥拉斯定理”，以后就流傳開了。

關于勾股定理的發現，《周髀算經》上說：“故禹之所以治天下者，此數之所由生也。”“此數”指的是“勾三股四弦五”，這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關系是在大禹治水時發現的。

勾股定理的應用非常廣泛。我國戰國時期另一部古籍《路史后記十二注》中就有這樣的記載：“禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也。”這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果。

勾股定理的歷史

勾股定理是“人類最偉大的十個科學發現之一”，是初等幾何中的一個基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢？我可以告訴大家，有：畢達哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。所謂勾股定理，就是指“在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先發現的。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。著名的希臘數學家歐幾里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個很好的證明。

中國古代對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？” 商高回答說：“ 數的產生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩'得到的一條直角邊‘勾'等于3，另一條直角邊’股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。” 如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例。所以現在數學界把它稱為“勾股定理”是非常恰當的。

在稍后一點的《九章算術》一書中（約在公元50至100年間）（上圖），勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦”。中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明（右圖）。趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數學家大多繼承了這一風格并且有發展，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。例如稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。

第四篇：勾股定理的證明方法研究性學習

“勾股定理的證明方法研究性學習”學習小組評

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作者姓名 主題單元名稱

尹勇 勾股定理

學科

數學

年級

八年級

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“勾股定理的證明方法研究性學習”學習小組評價量規

第五篇：研究性學習論文

研究性學習：探究污水的處理

一。污水處理的必要性

隨著人們對生態環境的重視程度的日益加深，關于水污染的話題不斷被提起，特別是地下水污染問題。民眾環保意識的覺醒，對水污染的關切程度達到了空前。

全世界每天約有200噸垃圾倒進河流、湖泊和小溪，每升污水會污染8升淡水；所有流經亞洲城市的河流均被污染；美國40%的水資源流域被加工食品廢料、金屬、肥料和殺蟲劑污染；歐洲55條河流中僅有5條水質差強人意。20世紀，世界人口增加了兩倍，而人類用水增加了5倍。世界上許多國家正面臨水資源危機：12億人用水短缺，30億人缺乏用水衛生設施。

中國水資源人均占有量少，空間分布不平衡。隨著中國城市化、工業化的加速，水資源的需求缺口也日益增大。在這樣的背景下，污水處理行業成為新興產業，目前與自來水生產、供水、排水、中水回用行業處于同等重要地位。

二。污水處理的現狀

截至2005年底，全國661個設市城市中，已有383個城市建成污水處理廠792座，污水處理率由2000年的34%提高到52%，并形成了適合國情的污水處理技術路線和管理機制。其中，有135個城市的污水處理率已達到或接近70%，單廠處理規模達到每天100萬立方米。

2007年，中國水污染治理投資達到3387.6億元，比上年增加32%，占當年GDP的1.36%。

中國水環境質量總體保持穩定。2007年，共取締一級水源保護區內排污口942個，停建二級水源保護區內可能造成污染的建設項目1294個，限期治理931個。

截至2010年9月底，全國設市城市、縣及部分重點建制鎮（以下簡稱“城鎮”）累計建成污水處理廠2631座，污水處理能力達到1.22億立方米/日；全國正在建設的城鎮污水處理項目達1849個，總設計能力約4660萬立方米/日。在全國設市城市中，已有593個城市建有污水處理廠，占設市城市總數的90.7%；累計建成污水處理廠1623座，形成污水處理能力1.04億立方米/日；其中36個大中城市（直轄市、省會城市和計劃單列市）建有污水處理廠376座，處理能力達4368萬立方米/日。在縣城及鄉、鎮中，全國已有933個縣（含新疆生產建設兵團團級單位）建有污水處理廠，約占縣城總數的52.1%；縣城及鄉、鎮建有污水處理廠1008座，處理能力達1826萬立方米/日。

雖然由于國家和各級政府對環境保護重視程度的不斷提高，中國污水處理行業正在快速增長，污水處理總量逐年增加，城鎮污水處理率不斷提高。但目前中國污水處理行業仍處于發展的初級階段。

一方面，中國目前的污水處理能力尚跟不上用水規模的迅速擴張，管網、污泥處理等配套設施建設嚴重滯后。另一方面，中國的污水處理率與發達國家相比，還存在著明顯的差距，且處理設施的負荷率低。

三。污水處理的方法與過程

（一）污水處理的基本方法

污水處理基本方法是用物理、化學或生物方法，或幾種方法配合使用以去除污水中的有

害物質，按照水質狀況及處理后出水的去向確定其處理程度，污水處理一般可分為一級、二級和三級處理。

（1）一級處理采用物理處理方法，即用格柵、篩網、沉沙池、沉淀池、隔油池等構筑物，去除污水中的固體懸浮物、浮油，初步調整pH值，減輕污水的腐化程度。污水經一級處理后，一般達不到排放標準（BOD去除率僅25－40%）。故通常為預處理階段，以減輕后續處理工序的負荷和提高處理效果。

（2）二級處理是采用生物處理方法及某些化學方法來去除污水中的可降解有機物和部分膠體污染物。經過二級處理后，污水中BOD的去除率可達80-90％，即BOD合量可低于30mg/L。經過二級處理后的水，一般可達到農灌標準和污水排放標準，故二級處理是污水處理的主體。但經過二級處理的水中還存留一定量的懸浮物、生物不能分解的溶解性有機物、溶解性無機物和氮磷等藻類增值營養物，并含有病毒和細菌。因而不能滿足要求較高的排放標準，如處理后排入流量較小、稀釋能力較差的河流就可能引起污染，也不能直接用作自來水、工業用水和地下水的補給水源。

（3）三級處理是進一步去除二級處理未能去除的污染物，如磷、氮及生物難以降解的有機污染物、無機污染物、病原體等。污水的三級處理是在二級處理的基礎上，進一步采用化學法（化學氧化、化學沉淀等）、物理化學法（吸附、離子交換、膜分離技術等）以除去某些特定污染物的一種“深度處理”方法。顯然，污水的三級處理耗資巨大，但能充分利用水資源。

污水處理相當復雜，處理方法的選擇，必須根據污水的水質和數量，排放到的接納水體或水的用途來考慮。同時還要考慮污水處理過程中產生的污泥、殘渣的處理利用和可能產生的二次污染問題，以及絮凝劑的回收利用等。

（二）污水處理的工藝流程

1、活性污泥工藝

活性污泥工藝是國內外城市污水處理工藝的主流，由于其較高的處理效率，運行穩定可靠，而被大中型污水處理廠廣泛采用。成為典型的污水二級處理工藝，其主要工藝流程為：

主要設備：排污泵、格柵、吸砂機、刮吸呢機、曝氣機、潛水攪拌機、潷水機、回流泵、壓榨機等。

2、氧化溝工藝

從本質上講，氧化溝工藝是傳統活性污泥法的一種變形和發展，最突出的優點是在保證穩定高效的處理效果前提下，占地面積小，運行管理簡單，降低了總投資和運行費用，同時除氮，除磷的效果優于傳統活性污泥法。氧化溝工藝也有許多類型，按池型，運行方式、曝氣設備的差別，目前較流行的有兩種：

主要設備：排污泵、格柵、轉刷曝氣機、潛水推流器、污泥回流泵、刮吸泥機、壓榨機等。

廢水處理基本方法 3.A-O法及A-B法

A-O法及A-B法均為活性污泥的變形，A-O法即厭氧好氧生物除磷工藝，A-B法即吸附生物降解工藝。

厭氧段不曝氣，又不能使污泥沉降，所以在厭氧池中要配置機械攪拌設備。

A-B法由A段和B段組成，兩段串聯。A-B工藝沒有一沉池，污水經預處理后，直接進A段曝氣池，A曝排出的混合液在中沉池進行泥水分離，中沉池出水進入B段曝氣，B曝排出的混合液進入二沉池進行泥分離。

四．污水處理目前存在的主要問題

首先，污水處理設施的規劃和建設未能與城鎮化進程相匹配。污水處理設施主要包括污水處理廠、污水收集管網及其他一些配套設施。近十年來，我國污水處理廠的數量飛速增長，污水管網里程數也快速增加。然而，污水處理設施的規劃和建設卻未能完全與城鎮化進程相匹配。部分地區污水處理廠規劃和建設過于超前，建設完成后實際收納污水較少，部分污水

處理設施長期閑置；或者建設的污水處理廠處理能力嚴重落后于地區經濟發展速度，現有污水處理廠超負荷運轉，處理能力之外的污水只能直排外環境。

其次，污水處理設施無法穩定發揮處理效果。近些年，隨著污水處理廠數量的飛速增長，對專業的運行管理人員的需求大幅增加，然而，符合要求的人員卻比較缺乏，導致部分污水處理廠無法得到科學有效的管理，無法全面發揮污水處理廠的處理效果；地方環保部門對污水處理廠的檢查頻次低、監管不到位，在日常的監督檢查中走過場，日常的監督性監測和在線監測系統等監控手段未有效利用，未及時掌握污水處理廠的運行狀況，部分污水處理廠運行管理人員不盡心盡責進行管理；部分工業企業將未處理達標的工業污水或者超出企業承載能力的事故污水直接排入下水管網，對污水處理廠的運行穩定性產生沖擊，個別情況甚至會導致生化系統的崩潰、污水處理廠停運，而含較高濃度重金屬等污染物的工業污水則會導致污泥中的部分指標嚴重超標，只能按照危險廢物進行處置；部分地區制定的污水處理費收取標準偏低，且無法完全收取到位，部分地方政府由于財政比較困難，對污水處理的補貼不足甚至挪用污水處理費，無法將相關費用及時撥付到位。

第三，污水處理產物尚未得到有效處置。雖然我國大部分城鎮污水經過了污水處理設施的處理且達到排放標準，但是未得到有效處置的污泥和大量直排的中水仍然持續污染水體和土壤，城鎮污水處理難題尚未真正化解。環境保護部于2010年下發了《關于加強城鎮污水處理廠污泥污染防治工作的通知》，然而，當前污水處理廠產生的污泥仍未得到有效處置。當前污泥處置以垃圾填埋場填埋為主，但是過高的含水率使得垃圾填埋場產生滑坡、滲濾液大幅增加等問題，部分垃圾填埋場甚至因此拒絕接受污水處理廠的污泥；通過工業窯爐進行焚燒處置則成本較高，且處置能力有限，處置的比例非常低；污泥處置不暢導致污水處理廠減少排泥甚至不排泥，排放的污泥露天堆放，隨意拋棄、傾倒現象成為常態，使得水體和土壤受到了持續的污染。

五．污水處理的前景與要求

中國應完善污水處理的政策法規，建立監管體制，創建合理的污水處理收費體系，扶植國內環保產業發展，推進污水處理行業的產業化和市場化。污水處理行業是一個朝陽產業，發展前景十分廣闊。中國將在“十一五”期間投資3000億元以推進城市污水處理和利用，中國污水處理行業由此迎來高速發展期。

未來污水處理將朝著智慧水務方向發展，在“智慧水務”理念的引導下，水務集團的管理發生了變革，它們采用數據采集、傳輸等傳感設備在線檢測水務系統的運行狀態，并采用可視化的方式有機整合水務管理部門設施，形成“水務物聯網”。集團通過水務數字化管理平臺將海量數據進行及時分析與處理，即在各污水處理廠、泵站安裝數據采集前置機或數據采集DSP模塊，將自控系統中的生產運行數據通過3G網絡實時傳輸到集團總部，進行集中存儲和應用。通過對各類關鍵數據的實時監視和智能分析，再提供分類、分級預警，且利用短信、光、警報聲等通知相關負責人，同時給予相應的處理結果輔助決策建議，以更加精細和動態的方式管理水務運營系統的整個生產、管理和服務流程，使之更加數字化、智能化、規范化，從而達到“智慧”的狀態。六。結語

在生態文明被高度重視的當下，保護環境不應僅僅是一個口號，而應是我們所有人努力的方向。通過這次研究性學習，我們不僅學到了知識，還產生了濃濃的愛國之情。用我們的知識來為國家排憂解難，才是我們當今少年偉大的志向！