第一篇：2011’中國電機工程學會杯全國大學生電工數學建模競賽總結

2011’中國電機工程學會杯

全國大學生電工數學建模競賽總結

“2011’中國電機工程學會杯全國大學生電工數學建模競賽” 在全國眾多高校、國內數學建模專家以及參賽學生們的大力支持、參與下，現已落下帷幕。在此，競賽組委會向所有關心、支持競賽的兄弟院校、專家、教師及參賽學生們表示衷心的感謝！

本屆競賽全國共有178所高校參賽，收到有效答卷2376份。經過論文評閱、復查、成績公示、復核異議等環節，競賽成績現已確定，詳細信息見附件1—3（只公布一、二、三等獎名單）。

組委會將對獲得一、二、三等獎的學生頒發獲獎證書，證書按照附件1中的地址郵寄。

證書制作環節咨詢方式：

聯系電話：0432－64806324

電子郵件： zhanglei@mail.nedu.edu.cn

聯 系 人： 張老師

全國大學生電工數學建模競賽組委會2012年2月22日

附件1：2011全國大學生電工數學建模競賽一、二、三等獎成績匯總表

附件2：2011全國大學生電工數學建模競賽參賽學校及獲獎情況統計表

附件3：2011全國大學生電工數學建模競賽A、B題情況統計表

第二篇：全國大學生電工數學建模競賽章程

一．總則

全國大學生電工數學建模競賽（以下簡稱競賽）是中國電機工程學會電工數學專委會主辦的面向全國大學生的科技活動，目的是提高學生的綜合素質、增強創新意識、培養學生應用數學知識解決實際工程問題的能力，激發學生學習數學的積極性，同時也將推動高校的教學改革與教育創新的進程。

二．競賽內容

競賽題目一般來源于電工、近代數學及經濟管理等方面，經過適當的簡化、加工的實際問題，主要包括：

1．信息處理問題；

2．控制理論及應用問題；

3．運籌與決策問題；

4．電路與電磁場理論相關問題。

參賽學生應學過普通高校的工科數學課程及相關專業的專業基礎知識，不要求參賽者預先掌握深入的專門知識。競賽題目比較靈活，能夠使參賽學生充分發揮其創造能力。參賽者要根據題目要求，完成一篇包括模型的假設、建立和求解、算法的設計和計算機實現、結果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文（即答卷）。答卷的評定以假設的合理性、建模的創造性、結果的可行性和文字ss的清晰度為主要標準。

三．競賽形式、規則和紀律

1．全國統一競賽題目，采取網上競賽方式，以學校為單位進行。

2．競賽一般在每年11月末的三天內舉行。

3．本科生以隊為單位參賽，每隊3人，專業不限。每隊可設一名指導教師（或教師組），對參賽學生進行賽前的輔導及賽前準備工作。競賽期間指導教師要回避參賽隊員，禁止進行指導或參與討論。

4．競賽期間參賽學生可以使用各種圖書資料、計算機和軟件以及在網上瀏覽，不能與隊外任何人討論。

5．競賽題目將按照規定時間準時在指定的網站公布，參賽隊員在規定的時間內完成答卷，并準時在網上交卷。

6．各參賽院校應責成有關職能部門負責競賽的組織和紀律監督工作，保證競賽的規范性和公正性。

四．組織形式

競賽由電工數學專委會主辦，負責每年報名、擬定賽題、組織答卷的評定、評獎、印制獲獎證書、舉辦頒獎儀式等。

五．獎勵辦法

1．電工數學專委會聘請專家組成評閱委員會，評選一、二、三等獎，獲獎比例一般不超過參賽隊數的二分之一，其余凡完成答卷的參賽隊獲得成功參賽獎。

2．一、二、三等獎均頒發獲獎證書。

第三篇：2014全國大學生數學建模競賽

嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略

摘要

隨著月球探測任務的發展,未來月球探測考察目標將主要是 復雜地形特性的高科學價值區域。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區域內完成高精度軟著陸，這就要求導航和控制系統具有較強的自主性和實時性。本文針對最終著陸段安全、精確的需求，對月球軟著陸導航與控制方法進行較深入研究，主要內容包括：

首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測方法。該方法根據著陸區內障礙成像的特點，通過匹配相應的陰影區與光照區完成對巖石、彈坑的檢測，利用圖像灰度方差對粗糙區域進行提取：在檢測出故障信息的基礎上，選取安全著陸點以保證軟著陸任務的成功。

其次，給出一種基于矢量觀測信息的自主光學導航方法。該方法利用光學相機和激光測距儀測量值構建著陸點相對著陸器的矢量信息，結合著陸器的姿態信息確定著陸器的位置。為了消除測量噪聲帶來的干擾，利用擴展Kalman濾波理論設計了導航濾波器。

再次，提出一種李雅普諾夫函數障礙規避制導方法。該方法通過對狀態函數、危險地形勢函數的設計，以滿足平移過程中減低障礙威脅與精確定點著陸器，設計PWPF（調頻調寬）調節器實現定推理等效變推力控制效果。

最后，針對采用變推力主發動機的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。該方法采用標稱控制與閉環控制相結合的方式，規劃標稱軌跡以保證著陸器到達著陸點時其下降速度、加速度亦為零，設計閉環控制器產生附加控制量消除初始偏差、著陸器質量變化的干擾，以保證著陸器沿標稱軌跡到達著陸點。

本文分別對所提出的最終著陸段導航與控制方法進行數學仿真以驗證個方法的可行性。仿真結果表明，本文多給出導航方法能夠達到較高的性能指標，滿足在危險區域實現高精度軟著陸的需要。

關鍵詞： 月球軟著陸；自主導航與控制；障礙檢測；規避制導；適量測量

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發射，12月6日抵達月球軌道。根據計劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實施軟著陸。嫦娥三號如何實現軟著陸以及能否成功成為外界關注焦點。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質量為2.4t，其安裝在下部的主減速發動機是目前中國航天器上最大推力的發動機，能夠產生1500N到7500N的可調節推力，進而對嫦娥三號實現精準控制。其比沖（即單位質量的推進劑產生的推力）為2940m/s，可以滿足調整速度的控制要求。在四周安裝有姿態調整發動機，在給定主減速發動機的推力方向后，能夠自動通過多個發動機的脈沖組合實現各種姿態的調整控制。嫦娥三號的預定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號將在近月點15公里處以拋物線下降，相對速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個過程大概需要十幾分鐘的時間。在距月面100米處時，嫦娥三號要進行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點。之后，嫦娥三號在反推火箭的作用下繼續慢慢下降，直到離月面4米高時再度懸停。此時，關掉反沖發動機，探測器自由下落。

嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區域內實現軟著陸，關鍵問題是著陸軌道與控制策略的設計。其著陸軌道設計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段，分別為著陸準備軌道、主減速段、快速調整段、粗避障段、精避障段、緩速下降階段，要求滿足每個階段在關鍵點所處的狀態；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據上述的基本要求，請你們建立數學模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優控制策略。

（3）對于你們設計的著陸軌道和控制策略做相應的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

對于問題一：

嫦娥三號從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過程中不考慮月球表面太陽風的影響，忽略月球的自轉速度引起的科氏力的影響，由于下降時間比較短也不考慮太陽、地球對嫦娥三號的攝動影響，嫦娥三號水平速度要從1.692km/s降為0m/s由于3000m處時嫦娥三號已經基本位于著陸點上方，所以此時假設在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因為降落減速時間比較短只有垂直于月面的方向運動才能實現，所以在確定著陸點位置和著陸軌跡時應當考慮燃料最優情況下推力最大，方向自由的方法即取F?7500N建立主減速段動力學模型。

三、符號說明

四、模型假設

對于問題一：

忽略月球的自傳和太陽、地球對嫦娥三號衛星的引力攝動 月球近似為一個質量均勻的標準球體 將嫦娥三號是為一個質點

主減速忽略動作調整所產生的燃料消耗段不考慮太陽風的影響

五、模型建立與求解

5.1問題一的建模與求解 解法一： 假設嫦娥三號在t時刻在遠月點開始緩慢下降，在n時刻到達近月點，整個過程遵循開普勒第三定律，即

v0?0

在t時刻有：v1?2??R1????? ??R0?R0?R1?r0 R0?r1?r2 其中v1：遠月點速度

v2：近月點速度

R0：遠月點月心距

R1：近月點月心距（已知月球的半徑為1738千米）

R0?1738?100?1838km

R1?1738?15?1753km 在t1時刻處v2? k?2??R1??? ?R0?R0?R1??R0?0.512k?0.488 R0?R1利用能量平衡式求得近地點速度為

2?0.512?49012（）?1.692km/s（沿切線方向）v2?，比當地的環境速度17531.672km/s大?vk?0.0196km/s，徑向速度vk?0。

1同理解得v1?1.6139km/s（沿切線方向）

vri?0

解得主減速段動力學模型的建立：

根據題意，在橫向飛行的水平距離遠遠小于月球半徑的平均值，所以可以將整個減速段過程簡化為水平和豎直方向運動方程，根據牛頓第二定律、速度計算公式有：

ax?Tx may?tTymTxt?a

?1.692km/s ?m?0?Qdt0??Ty???a?dt?57m/s t?0??m??Qdt?0??t?T22x?Ty2??7500N

v2?2at?S

運用matlab編程解得S?451810.4m； 其中 ax：水平方向加速度

ay：豎直方面加速度

a：月球表面重力加速度a? Tx：推力的水平方向分力

Ty：推力的豎直方向分力

t:主減速段時間

S:嫦娥三號主減速段水平位移

Q:嫦娥三號發動機燃料秒消耗率

根據已知資料得到嫦娥三號著陸過程中緯度改變，經度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個分度,又因為月球極區半徑為1735.843km，所以每一個緯度的豎直高度差為19.2871

4g 6千米。即近月點位置坐標為?19.0464W,28.9989N?海拔15km,遠月點位置坐標為?160.9536E,28.9989S?海拔100km。

解法2:軌跡方程法。

眾所周知,太陽系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽進行公轉,太陽位于橢圓的一個焦點上,行星的運動遵循開普勒三定律,筆者發現,在各類物理競賽中,常會涉及到天體運動速度的計算,本文擬從能量和行星運動的軌跡方程兩個不同的角度來探索行星在近日點和遠日點的速度。

該解法的指導思想是對橢圓的軌跡方程求導,并結合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點和遠日點的曲率半徑表達式,然后利用萬有引力提供向心力列方程求解。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為

x2y2?2?1 ?5? 2ba將?5?式變形為

a2x2?b2y2?a2b2 ?6?

根據隱函數的求導法則將?6?式對x求導有

2a2x?2b2yy??0 ?7? 即

a2xy???2 ?8?

by將?7?式再次對x求導得

2a2?2b2(y?y??yy??)?0 ?9? 將?8?、?9?兩式聯立得

a2b2y2?a4x2 ?10? y???-43by根據曲率半徑公式有 r?(1?y?)?11? ??y122 將?8?、?10?、?11?式聯立并將A點坐標A(0，a)代入可得A點的曲率半徑為

b2RA? ?12?

a根據橢圓的對稱性,遠日點B的曲率半徑為

b2RB?RA? ?13?

a 由于在A、B兩點行星運行速度方向與萬有引力方向垂直,萬有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據萬有引力提供向心力得

GMmmvA ?14? ?(a?c)2RAGMmmvB ?15? ?2(a?c)RB將?13?至?15?式聯立可得 22vA?bGMbGM，vB? ??a?caa?ca

5.2問題二的建模與求解 模型一：動力學模型

典型的月球軟著陸任務中,探測器一般首先發射到100km的環月停泊軌道,然后根據所選定的著陸位置,在合適的時間給著陸器一個有限脈沖,使得著陸器轉入近月點(在著落位置附近)為15km,遠月點為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱為霍曼轉移段。當著陸器運行到近月點時,制動發動機開始工作,其主要任務是抵消著陸器的初始動能和勢能,使著陸器接觸地面時,相對月面速度為零,即實現所謂的軟著陸,這一階段稱為動力下降段。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優化主要是針對動力下降段這一階段。由于月球表面附近沒有大氣,所以在飛行器的動力學模型中沒有大氣阻力項。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時間比較短,一般在幾百秒的范圍內,所以諸如月球引力非球項、日月引力攝動等影響因素均可忽略不計,所以這一過程可以在二體模型下描述。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質心,x軸方向為由月心指向著陸器的初始位置,y軸方向為初始位置著陸器速度方向。

圖 1 月球軟著陸極坐標系

其動力學方程如下: r??v ????

v??(F/m)sin???/r?r

2?2 ????((F/m)cos??2v?)/r

m???F/ISP

在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,?為著陸器極角,?為著陸器極角角速度,?為月球引力常數,F著陸器制動發動機推力,m為著陸器質量,?為制動發動機推力方向角,其定義為F與當地水平方向夾角,ISP為制動發動機比沖。根據動力下降段的起點位置可以確定動力學方程初始條件,由于起點處于霍曼轉移軌道的近地點,故其初始條件為: r0?rp

?0?0

v0?0 ?0?1rp?rp(2ra)ra?rp其中rp和ra分別為霍曼轉移段的近地點半徑和遠地點半徑。

終端條件為實現軟著陸, 即

rf?R

vf?0

?f?0

其中R為月球半徑,終端條件中對終端極角?f及終端時間tf無約束。

優化變量為制動發動機推力方向角?(t)。

優化的性能指標為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過程中燃料消耗最少,即

J??m(t)dt

t0f設計主減速段制導控制律 2動力下降段燃料最優精確著陸問題描述 2.1 燃料最優精確著陸問題

著陸器運動方程：考慮采用變推力發動機情況，有

r?v

.v?g?a

(1)

a?Tmm??aT..其中r?[rhrxry]T，v?[vhvxvy]T分別表示著陸器相對期望著陸點的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對應控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認為是常值；m為著陸器質量，對應推力器質量排除系數?。指標函數：考慮燃料消耗

min(m0?mf)???min?0fTdt

(2)邊界條件：即初始條件和終端條件

r(0)?r0,v(0)?v0,m(0)?m0,r(tf)?v(tf)?[000]

(3)控制約束：考慮發動機一旦啟動不能關閉，存在最大和最小推力約束

0?T1?T?T

2(4)狀態約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個下降段位于火星地平面以上，即

rh?0

（5）進一步地，若著陸區域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點為頂點的圓錐體內

2.2 等效后燃料最優精確著陸問題 定義等效變換變量

Ttrx2?ry2rh?tan?alt

（6）

u?a?T

?m

（7）

??Tmz?lnm??等效著陸器運動方程： ?.??r??0I3.?.??

y??v??00??.??00?z????其中p?[u?T0??r??0?v???I0?????30??z????0?7*7?0??u?g??0????Acy?Bc(p?g4)

（8）????????],g4?[gTT?0]T

t指標函數：

min?0f?(t)dt

（9）

邊界條件：同式(3)。

控制約束：由文獻[10]可知，控制約束(4)可等效表示為

u??1T1e?z0[1?(z?z0)?(z?z0)2]???T2e?z0[1?(z?z0)]

（10）（11）

2狀態約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為

T

Sy?cy?0

（12）

其中

?0100000?S???

0010000??c???tan?alt

T000000?

3.燃料最優精確著陸問題的離散化及變換 3.1 等效燃料最優精確著陸問題的離散化

首先將整個飛行時間均分成 n 段（對應 n +1 個點），每段步長為?t，離散化后的著陸器運動方程為：yk?1?Ayk?B(pk?g4)

其中A?R7?7,B?R7?4分別為離散系統的系統矩陣和輸入矩陣

12A?e?tAc?I3??tAc??tAc??

2?t?t112B??e??t?s?AcBcds??esAcds?Bc??tBc??tBc??t2Bc??

0026其中I3為三階單位陣。

有系統性質可知，整個控制時域內系統狀態滿足 y3?Ay2?B?p2?g4??A3y0?A2B?p0?g4??AB?p1?g4??B?p2?g4??yn?Ayn?1?B?pn?1?g4??Any0?An?1B?p0?g4????AB?pn?2?g4??B?pn?1?g4?y1?Ay0?B?p0?g4?y2?Ay1?B?p1?g4??A2y0?AB?p0?g4??B?pn?2?g4??B?p1?g4?

為表達方便，令

?y0??p0???0??A0??y??p?????1??1??1??1??A? ,p??p2?，????2???A2? Y??y2?????????????????????n?????yn??7?n?1??1?pn??4?n?1??1??n????A?7?n?1??7??0??0????B?1??????AB???2???2??3??AB????????n?1?A??n????則(15)可等價于

0???0??0?????B?0?1???????2??AB?B?B000???????2? ?ABB00???3??A?AB?B??????????0????n?1???A???AB?B?A2BABB????n????7?n?1??4?n?1???000000Y??y0??p??g4

分別定義如下常值矩陣：

最終可得離散化后的燃料最優化問題如下： 指標函數：式(9)可表示為

邊界條件：式(3)可表示為

控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為

狀態約束：式(5)和式(12)分別可表示為

含有 p個線性約束和 q個二階錐約束的最優化問題的標準形式為 指標函數

min(?Tx)滿足約束

DTx?f?0Ax?ci?b?dinTiTi

（k=1,?，n）

n*pp其中x?R為待優化向量，??R，線性約束參數D?R,f?R，二階錐約束參數維數n(Ai,bi,ci,di)由相應約束確定

則式(17)～式(23)可最終轉換為如下最優化問題： 指標函數：min(vpp)滿足：

初值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4?r0末值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4控制約束:Murkp?v?rkp 控制上限:?(vzΨk?TT?TTv0?T?0

?0

T1vr)p?1?vTz(Φky0?Akg4)?z0,z?0 ?z0?kT2e 控制下限：

4數值仿真結果與分析本節以某火星著陸器為例，計算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優精確著陸軌跡。其中探測器各參數分別取為：m0?2000kg,g?[?3.711400]ms2,c?2kms,T1?1.3kN,T2?13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,-600, 800] m，初始速度矢量v0= [-30, 10, 40]m/s，傾角?alt=86°。二階錐優化問題可以通過大量免費的優化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進行計算，通過執行線性搜索確定燃料最優下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應的最優著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質量變化曲線。

由優化結果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現“最大-最小-最大”的最優控制形式，不過為了保持發動機始終處于點火狀態，在中間段對應最小推力約束，這與文獻中的分析結論一致。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業最優控制軟件進行復核計算，也驗證了此計算結果的燃料最優性能。

*

圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優計算結果

需要注意到，此燃料最優軌跡的獲取對著陸器的實時在線計算性能提出了較高的要求，經測試，無論使用何種優化工具，計算給定飛行任務時間的最優軌跡均需數秒，而全局最優則需要數十秒甚至更長，這在實際任務中是不允許的。因此，可行的方案是通過在地面計算大量的燃料最優軌跡，并尋找規律，選取關鍵路徑點狀態存儲到著陸器計算機中，通過在線查表或者在利用對計算量要求較小的反饋制導律完成安全著陸任務。

因此，為了研究探測器燃料最優軌跡特性，選取相同的探測器參數，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從-8000m 到 8000m 內取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。

圖 2 各種不同初始速度對應的火星著陸器動力下降段燃料最優軌跡簇

1)對任意探測器初始位置，特定初始速度對應的燃料最優著陸軌跡在末端必然收斂到一個固定的近似圓錐體內。

2)取決于探測器初始位置和速度的關系，燃料最優軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應于期望著陸點位置水平距離較大情況。3)當探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優軌線關于該軸線中心對稱。4)初始速度的大小也直接影響到任務的可靠性，因此需要在超聲速進入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內。

上述結論對上注探測器關鍵點的選取有著較強的指導意義，比如基于最優軌線的斜率對路徑點合并、基于最優軌線簇的對稱性對上注軌線進行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉折點作為路徑點等，這樣可以大大降低探測器自主存儲與計算需求，進而有效提升任務的可靠性。重力轉彎軟著陸過程

對于最終著陸點，假設探測器的下降軌跡在一平面內，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿-Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。重力轉彎軟著陸過程中探測器質心動力學方程可表示為

上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m>0為探測器質量；k>0為制動發動機比沖；u表示制動發動機的秒耗量

可通過一定的機構加以調節，故作為軟著陸問題的控制變量。假定制動發動機的最大推力與初始質量比大于月面引力加速度，并且制動推進系統能夠在一定的初始條件下將探測器停止月面上。

重力轉彎過程中，探測器的高度、速度和姿態角度可由雷達高度表、多普勒雷達及慣性儀表測得。令軟著陸初始條件探測器到達月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優問題的描述 對于最終著陸段，可假設

為一小角度。由此可將系統方程（1）化簡為

要設計制導律實現軟著陸，就是使

著陸時間

對于月球軟著陸的燃耗最優控制問題，其性能指標可表示為

對于系統（2）的軟著陸過程，燃耗最優問題等價于著陸時間最優問題，性能指標為

在月球重力轉彎軟著陸過程中，如果存在一個推力控制程序將探測器從初始條件轉移到終端條件，并使性能指標（3）或（4）式最大，則稱這個推力程序為軟著陸燃耗最優或時間最優制導律。根據pontryagin極大值原理，系統的哈密頓函數及其對u的偏導數為

使哈密頓函數（5）式達到極大地控制輸入u就是最優控制，科表示為。

如果存在一個有限區間

則最優控制u（t）取值不能由哈密頓函數確定。此時如果最優解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。

最優制導問題的性質：1）對于自治系統（2）的時間最優控制問題，沿最優軌跡其哈密頓函數滿足

將其對時間求導并將（2c）和（6c）式代入，得

另外，由于自由，根據橫截條件有3）根據（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據極大值原理，系統的狀態變量和共軛變量都是時間的連續可微函數，將切換函數對時間求導，利用（2），（6）式和性質2）得 軟著陸最優控制中奇異條件的分析

對于月球重力轉彎軟著陸問題，最優制導律具有兩個很好的性質。

定理一。月球重力轉彎軟著陸系統（2）的燃耗最優制導或時間最優制導問題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設存在奇異條件，則在某個閉區間設，并由（5）式得

。根據反正假將（10）式兩邊對時間求導，并將（2）和（6）式代入化簡得性質2），并考慮到或者情形1.得

下面證明這兩種情形均與反證假設矛盾。根據式

及性質2）可知，由性質3）必有

根據

是時間t的斜率非零的線性函數，m和情形2.1）若定，根據橫截條件有在區間內為常數。這與反證假設矛盾。

。下面再分三種情況進行分析。

又因為

不與此時由（6b）式有反證假設矛盾。2）若盾。3），與反證假設矛又

因

為

因此有成立，這與

此時（10）式在上根據定理一，重力轉彎軟著陸的最優制導律是一種開關（Bang-Bang）控制，只須控制發動機開關，不需要調節推力的大小。

定理2.對于月球重力轉彎軟著陸過程，其開關控制器的最優推力程序（7）最多進行一次切換。

證明。只要證明最多只在一個時間點成立即可。軟著陸系統（2）在最優推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質3）知，為常數。根據性質4），若嚴格單調，因而在上至多有一個零點，即至多進行一次切換；若，則上為常數。由定理1，5 軟著陸最優開關制導律

不可能在任何區間上成立，故必有既沒有切換點。

對于最優推力控制程序（7），其切換函數中含有共軛變量，它是一個關于狀態變量的穩式表達式。為實現實時制導，需求出關于狀態變量的切換函數來。

根據定理一和定理二，重力轉彎軟著陸最優控制程序沒有奇異值狀態，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關；3）先開有關；4）先關后開。對于方式1）軟著陸起始點即是開機點；方式2），3）不能實現軟著陸；最后一種是通常情況下的最優著陸方式，即探測器先做無制動下降，然后打開發動機軟著陸到月面。設開機時刻為到發動機工作時間為

式，在區間

內積分，并考慮

將（11）式中的對數按泰勒展開，忽略

并令

消掉T得到切換函數為

由切換函數（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動發動機推動的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達月面時實現軟著陸設置為離月面還有幾米時實現軟著陸。另一種方法是考慮制動過程由一個主發動機和一組小推力發動機共同完成，通過調整開啟的小發動機的數量，來實現變推力降落。具體地，令切換函數為

式中各符號的含義如圖2所示

關機點可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實現著陸的最優性，減速度

取為

其中T如（12）式中所示，m0為探測器的初始質量。

圖三為最優著陸過程與其改進方法按圖2降落的次優著陸過程的對比圖。由此圖中可看出，改進方法提高了著陸的安全性，當探測器的初始質量mo=350kg，發動機著陸過程多消耗燃料2.2kg。

時，改進方法比最優

（a）

（b）

問題三 協方差分析方法的基本原理 對于如下非線性函數關系

y?f?x1,x2??xn?（1）

可以使用一階泰勒級數展開對其進行線性化，有

y??y?f??f?f?x1????xn???x1?xn?（2）?x1?xn其中，??x1??xn?為x1??xn的高階項。從而得到線性化方程

?y???f?xi（3）i?1?xin或表示為

?Y?P?X(4)

這里 P 是偏導數矩陣: Pi??f（5）?xi若自變量?x1???xn是隨機變量，則線性化方程的函數?y的協方差矩陣為：

E?Y??YT?EP?X?XTPT?PE?X?XTPT(6)即 ??????Cy?PCXPT(7)式中Cx是自變量的協方差矩陣；Cy是函數?Y的協方差矩陣。

協方差矩陣中對角線元素是方差，非對角線元素為協方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關系。若給定各種源誤差，如發動機安裝誤差、敏感器測量誤差或發動機推力和點火時間等誤差時，便可以分析其對目標軌道誤差的影響以及對控制系統精度的影響，進一步對各系統及元部件提出適當的精度要求。計算向月飛行軌道誤差的協方差迭代方程

考慮到軌道參數的誤差之相對于軌道參數的標稱值是小量，因此可以將軌道運動方程進行線性化，從而得到能夠反映軌道參數偏差量的傳播關系的誤差方程。在應用雙二體模型且在地球影響球范圍內時，對軌道運動產生攝動影響的各項，如月球引力攝動、太陽引力攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動等對誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：

?????v??r???g??（8）??v????r??rT?u???r，其中u?為地球引力常數。式中 g?r????3rr?rx2?ry2?rz2（9）

寫成狀態方程形式：

?????0I???r??r???????????(10)??v??G0???v??????????g式中 G??T

?r??0I???r?令F?????G0??,X????v?（11）

????則式（9）變為

??F?X(12)X下面推導矩陣 F 的表達式：

??g??u??G??T??T??3r??r?r?r?????u???u???r?r?T?3????3??T?r?r??r??r????u????u????u????u???r???3???3???3????3I3??rr?rr?r?y??z?r?????x???r（13）

式中 r x，r y 和 r z 是探測器在地心慣性坐標系里的軌道位置坐標。則G??u?3??T(I?rr)(14)332rr?rx2rxry?rx????T??2rr??ry??rxryrz???ryrxry??r??rzrxrzry?z??rxrz??ryrz?（15）2?rz??

將式（15）、（14）代入（10），得： ?0?0??02?-u?rx(1?32)F??r3r??3u?rxry?r5v??3u?rxrz?r5?

積分式（11），得到： 0003u?rxryr520003u?rxrzr53u?rzryr5210000ry-u?(1?3)32rr3u?rzryr5-u?rz(1?3)0r3r200?10??01??00?（16）

??00??00???

X??t??eF?tX?0?

（17）式中

(F?t)2(F?t)3(F?t)4(F?t)ne?I?F?t??????2!3!4!n!

（18）iN?t??Fi.()i!i?0F?t取前 6 階截斷，即：

eF?t??ti???F??i!??

（19）i?0??6i

得到計算誤差方程的迭代方程：

X?ti??t??eF?tX?ti?

（20）

eF?t相當于式（4）中的 P 陣，由于誤差方程是時變方程，因此每一步迭代都需要重新計算 P 陣，計算 P 陣需要利用標稱軌道參數數據。

進一步根據式（7），得到協方差矩陣的迭代方程：

T

Ci?1?PCPiii

（21）向月飛行軌道誤差的協方差分析

引起軌道誤差的誤差源主要是導航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。其 中 ： 位 置 誤 差 ：?r??rx,?ry,?rz,?rx,?ry,?rz分別為在地心慣性坐標系中 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。速度誤差：?v??vx,?vy,?vz,?vx,?vy,?vz分別是在地心慣性坐標系 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由運載火箭的發射入軌精度決定，若探測器在飛行途中進行軌道修正，則經過軌道修正以后的軌道位置誤差將由導航誤差決定，速度誤差將由姿態誤差和制導誤差決定。

上述誤差決定了軌道誤差協方差分析的計算初始條件，表 1 給出了在不進行中途軌道修正情況????下，在地心慣性坐標系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對軌道終點的位置和速度誤差的影響。圖 1 和圖 2 給出了在算例三中探測器從近地軌道入軌點開始至進入月球軌道為止軌道位置的相應的軌道位置和速度總誤差（3σ）的時間歷程。

表 1 初始軌道位置和速度誤差

對軌道終點誤差的影響

圖 1 軌道位置總誤差時間歷程（3σ）

圖 2 速度總誤差時間歷程（3σ）基于敏感系數矩陣的制導誤差分析

在月球軟著陸主制動段，影響制導精度的誤差源主要有偏離標準飛行軌跡的初始條件誤差和導航與控制傳感器誤差。初始條件誤差由主制動段以前的任務決定，傳感器誤差則由導航系統和傳感器本身決定。此外，影響制導精度的因素還包括月球自轉、月球不規則攝動等誤差，對它們的研究可單獨進行，這里暫不做介紹。2.1 誤差模型建立

2.1.1 初始狀態誤差模型

記著陸器的實際初始狀態為Xi，標準初始狀態為Xn,則定義初始狀態偏差xi為

xi?Xi?Xn

(7)對于主制動段這一特定的飛行過程，這些偏差都是確定的；而針對整個月球探測任務，這些偏差就變得具有隨機性。在本文中，假定xi 的所有元素均服從零均值高斯分布，相互不獨立，其相關性取決于前一階段任務的特性。2.1.2 傳感器誤差模型

由于只研究誤差對制導律的影響，所以這里假設需要測量的量均可由導航系統直接測得，誤差大小

???????均考慮為典型誤差值。由上一目設計的制導律可以看出，需要由導航與控制傳感器測量的量主要為著陸器相對于著陸場坐標系的位置、速度和加速度。定義待測量量Q為

?Q??X其估計值記為Q，則傳感器誤差定義為 ???YZUVWA?

T

q?Q?Q

(8)那么，單個測量量的估計誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個元素qj 來表示。由參考文獻[5]可知，第 j個觀測量的總估計誤差qj 由以下四部分組成

~?~???-?~qjbsqjn?st???????qt?q?Qt?qt?Qj?t?

(9)jjbcjnc

j100100~~~~~針對主制動這一特定操作階段，上述四部分誤差具有如下特性：

qjbc—第 j 個觀測量的測量誤差，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjbs—第 j 個觀測量的刻度因素誤差系數，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjnc—第 j 個觀測量的隨機誤差，其為一高斯白噪聲；

qjns

—第 j 個觀測量的刻度因素隨機誤差系數，其為一高斯白噪聲。

2.2 制導誤差分析

由于采用閉環制導，制導控制系統對隨機誤差具有一定魯棒性，所以本文將著重對初始偏差和類似于qjbc和qjbs這樣的傳感器常值誤差進行仿真研究，分析它們對制導精度的影響。2.2.1 誤差分析系統建立

誤差分析系統框圖如圖 1 所示，下面將對其結構進行分析。~~~~~~

圖 1 誤差分析系統結構圖

圖中所示初始狀態偏差實際上是加在相應積分器中。

由前面的分析可知，觀測量的實際輸出值受到初始狀態偏差、傳感器測量誤差以及傳感器刻度因素誤差的影響，故誤差分析系統模擬程序的實際輸入應包含以下幾部分(以 X通道為例)：

X?X?xi?xbc???~xbsX

(10)100~~

其中，X為觀測量的實際輸出值，X 為標準值，xi 為初始狀態偏差(只在初始時刻存在)，xbc 為傳感器測量偏差，xbs為傳感器刻度因素誤差系數。由圖 1 可以看出，為了更準確地表示傳感器誤差模型，這里考慮了傳感器的動態性能，其傳遞函數設為一階慣性環節1?1?Ts?，其中，T 為傳感器時間常數，因傳感器的不同而取不同值。

由誤差分析系統結構框圖可以看出，其輸入量主要包括：標準初始狀態向量、初始狀態偏差、傳感器測量誤差、傳感器刻度因素誤差系數、傳感器時間常數、期望終端狀態；輸出量為加入誤差前后的仿真終端狀態向量。2.2.2 誤差敏感系數矩陣求取

在有形如(7)式誤差輸入的情況下，首先根據圖 1 生成一個模擬整個閉環制導控制系統的數字仿真程序，然后運行該程序，對比程序輸出即可得到誤差敏感系數矩陣。具體運行過程如下：

第一步：將傳感器誤差設置為零，初始狀態設置為標準值，運行模擬程序。這一步稱為標準運行。第二步： 將其中一個傳感器誤差設置為非零輸入或者設置一個非標準初始狀態，然后進行一系列運行。

第三步： 將第二步運行的系統輸出和標準運行的系統輸出進行比較即可確定各誤差源的影響。如X 通道標準初始偏差為xi，輸入該誤差前后，X 通道終端狀態分別為X0 和X1，則 X 通道對標準初始偏差xi的敏感性可用(X1?X0)/xi來反映。

通過這種方法，可得到一組反映月球軟著陸主制動段終端總誤差向量pf和兩個傳感器誤差向量~??~~qbc、qbs以及初始狀態偏差向量pi之間關系的誤差敏感系數矩陣。由參考文獻[6]可知，其相互關系可表示為

??~~pf?S1pi?S2qbc?S3qbs（11）

其中，S1、S2和S3分別表示相對于pi、qbc和qbs的誤差敏感系數矩陣。

終端誤差向量能用這種形式表示的假設條件是動力學的線性化必須在標準軌跡區域內。驗證該假設條件的方法有兩種： 擴大輸入誤差仿真法和復合仿真法，這里略去其驗證過程。2.2.3 誤差分析

假設導航系統采用常規慣性測量單元，表 1 列出了其典型誤差值，其中，位置誤差能保持在10數量級，速度在10數量級，加速度為 10g 數量級。1-52?~~

運用上述方法得到的敏感系數矩陣給出如下：

?5.502?10-3?-4-3.850?10??1.692?10-3S1??-3?8.362?10?-5.860?10-4?-3?-2.575?10?-2.080?10-4-1.050?10-31.418?10-11.401?10-57.301?10-5-1.001?10-26.411?10-53.240?10-4-4.407?10-2-2.570?10-4-1.862?10-3-5.580?10-11.410?10-57.902?10-51.312?10-55.710?10-4-1.157?10-38.100?10-53.936?10-21.732?10-2-2.743?1017.746?10-1-4.024?10-2-8.939?10-2??3.210?10-34.030?10-3?1.239?10-21.833?10-2?-2-1?8.742?101.414?10?-1.196?10-2-9.901?10-3??-2-2-2.690?10-4.577?10??-6.812?10-1-8.695?10-2-5.203?1002.110?10-14.235?10-16.170?10-3-3.281?1008.202?10-2-5.760?10-35.633?10-1-3.489?102??2.443?101?4.401?102??-9.833?102?6.864?101??23.020?10???-9.859?10-1-1.154?10-3?-40?-3.130?10-1.000?10?-1.379?10-33.560?10-4S2??-2-3?-5.402?101.540?10?1.045?10-31.864?10-3?-34.770?10-4??4.598?109.999?10-13.408?100-7.210?10-43.504?1005.000?10-55.643?10-3-1.527?10-19.368?10-1-6.721?10-1-1.306?10-1?-5.6314?100?-28.479?10??3.730?10-1S3??0?-8.924?10?4.619?10-1?0??2.033?10-5.494?10-1-3.533?10-1-2.810?1001.600?10-31.692?10-16.755?10-18.996?10-1-2095?10-12.473?10-21.664?10-1-1.027?1007.165?10-23.344?100-1.112?1008.613?10-17.852?1003.246?100-1.618?1003.540?10-14.982?10-17.670?10-1-1.122?100-2.397?100-2.380?10-1-3.650?100-2.563?100??2.556?10-1-4.291?10-2?3.401?100-1.888?10-1??-5.103?100-3.230?10-1?3.566?10-12.256?10-1??0-1-7.005?109.930?10??A1、A3:?1??2.759?2,3?0.1297?j2.1329 A2:?1?1.552?2,3??0.6761?j1.8978

由于數值仿真的起始點選為(1，0，-1)，靠近平衡點(1.5，0，-1.05)，仿真實驗中混沌系統的基頻w0=2.1329，基周期為為T0?2??0?2.9443S。由前面的數值仿真實驗知要使 Chua’s混沌系統保持其類隨機性，仿真步長選在(0.0001，0.7)較為合適，用基周期來表達即為?129940T015T0? ,15T0?內，綜觀三個連續混沌系統仿真步長的理論計算，我們可以統一選取?15000T0這樣即可以提高仿真運算速度，又可以使混沌吸引子的形狀和類隨機性不發生變化，這個選擇范圍也與通常連續混沌系統數值仿真步長的經驗取值相吻合六、模型結果及分析

七、結果分析

八、模型評價與改進方向

九、參考文獻

第四篇：全國大學生數學建模競賽

全國大學生數學建模競賽

1、數模競賽的起源與歷史

數模競賽是由美國工業與應用數學學會在1985年發起的一項大學生競賽活動，目的在于激勵學生學習數學的積極性，提高學生建立數學模型和運用計算機技術解決實際問題的綜合能力，鼓勵廣大學生踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，培養創精神及合作意識，推動大學數學教學體系、教學內容和方法的改革。我國大學生數學建模競賽是由教育部高教司和中國工業與數學學會主辦、面向全國高等院校的、每年一屆的通訊競賽。其宗旨是：創新意 識、團隊精神、重在參與、公平競爭。1992載在中國創辦，自從創辦以來，得到了教育部高教司和中國工業與應用數學協會的得力支持和關心，呈現出迅速的發展發展勢頭，就2003年來說，報名階段須然受到“非典”影響，但是全國30個省（市、自治區）及香港的637所院校就有5406隊參賽，在職業技術學院增加更快，參賽高校由2002年的1067所上升到了2003年的1410所。可以說：數學建模已經成為全國高校規模最大課外科技活動。

2、什么是數學建模

數學建模（Mathematical Modelling）是一種數學的思考方法，是“對現實的現象通過心智活動構造出能抓住其重要且有

用的特征的表示，常常是形象化的或符號的表示。”從科學，工程，經濟，管理等角度看數學建模就是用數學的語言和方法，通過抽象，簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學工具。顧名思義，modelling一詞在英文中有“塑造藝術”的意思，從而可以理解從不同的側面，角度去考察問題就會有不盡的數學模型，從而數學建模 的創造又帶有一定的藝術的特點。而數學建模最重要的特點是要接受實踐的檢驗，多次修改模型漸趨完善的過程。

3、競賽的內容：

競賽題目一般來源于工程技術和管理科學等方面經過適當簡化加工的實際問題，不要求參賽者預先掌握深入的專門知識，只需要學過普通高校的數學課程。題目有較大的靈活性供參賽者發揮其創造能力。參賽者應根據題目要求，完成一篇包括模型假設、建立和求解、計算方法的設計和計算機實現、結果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文（即答卷）。競賽評獎以假設的合理性、建模的創造性、結果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標準。

4、競賽的步驟

建模是一種十分復雜的創造性勞動，現實世界中的事物形形色色，五花八門，不可能用一些條條框 框規定出各種模型如何具體建立，這里只是大致歸納一下建模的一般步驟和原則：

1）模型準備：首先要了解問題的實際背景，明確題目的要求，收集各種必要的信息．

2）模型假設：為了利用數學方法，通常要對問題做必要的、合理的假設，使問題的主要特征凸現出來，忽略問題的次要方面。

3）模型構成：根據所做的假設以及事物之間的聯系，構造各種量之間的關系,把它問題化

4）模型求解：利用已知的數學方法來求解上一步所得到的數學問題，此時往往還要作出進一步的簡化或假設。注意要盡量采用簡單的數學工具。

5）模型分析：對所得到的解答進行分析，特別要注意當數據變化時所得結果是否穩定。

6）模型檢驗：分析所得結果的實際意義，與實際情況進行比較，看是否符合實際，如果不夠理想，應該修改、補充假設，或重新建模，不斷完善。

7）模型應用：所建立的模型必須在實際應用中才能產生效益，在應用中不斷改進和完善。

5、模型的分類

按模型的應用領域分類： 生物數學模型、醫學數學模型、地質數學模型、數量經濟學模型、數學社會學模型

按是否考慮隨機因素分類 ：確定性模型、隨機性模型按是否考慮模型的變化分類 ：靜態模型、動態模型按應用離散方法或連續方法 ：離散模型、連續模型

按建立模型的數學方法分類 ：幾何模型、微分方程模型、圖

論模型、規劃論模型、馬氏鏈模型 按人們對事物發展過程的了解程度分類 ：

白箱模型： 指那些內部規律比較清楚的模型。如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題。

灰箱模型： 指那些內部規律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學、生態學經濟學等領域的模型。

黑箱模型：

指一些其內部規律還很少為人們所知的現象。如生命科學、社會科學等方面的問題。但由于因素眾多、關系復雜，也可簡化為灰箱模型來研究。

6、數學建模應用

今天，在國民經濟和社會活動的以下諸多方面，數學建模都有著非常具體的應用。

1分析與設計： 例如描述藥物濃度在人體內的變化規律以分析藥物的療效；建立跨音速空氣流和激波的數學模型，用數值模擬設計新的飛機翼型。預報與決策： 生產過程中產品質量指標的預報、氣象預報、人口預報、經濟增長預報等等，都要有預報模型。使經濟效益最大的價格策略、使費用最少的設備維修方案，是決策模型的例子。3 控制與優化： 電力、化工生產過程的最優控制、零件設計中的參數優化，要以數學模型為前提。建立大系統控制與優化的數

學模型，是迫切需要和十分棘手的課題。規劃與管理 生產計劃、資源配置、運輸網絡規劃、水庫優化調度，以及排隊策略、物資管理等，都可以用運籌學模型解決 報名時間：從大賽的通知文稿發出后，就可以報名了，報名截止時間一般在開始比賽的前7到10天。

競賽時間：每年的9月的第三個星期五上午8時至下一個星期一上午8時。

報名方式：如果有分賽區（每個賽區應至少有6所院校的20個隊參加），就聯系分賽區報名，沒有分賽區，則直接向主委會報名。

大學生以隊為單位參賽，每隊3人（須屬于同一所學校），專業不限。競賽分本科、專科兩組進行，本科生參加本科組競賽，專科生參加專科組競賽（也可參加本科組競賽），研究生不得參加。每隊可設一名指導教師（或教師組）。

第五篇：2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目

2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目

（請先閱讀“全國大學生數學建模競賽論文格式規范”）

A題

城市表層土壤重金屬污染分析

隨著城市經濟的快速發展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環境質量的影響日顯突出。對城市土壤地質環境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數據資料開展城市環境質量評價，研究人類活動影響下城市地質環境的演變模式，日益成為人們關注的焦點。

按照功能劃分，城區一般可分為生活區、工業區、山區、主干道路區及公園綠地區等，分別記為1類區、2類區、??、5類區，不同的區域環境受人類活動影響的程度不同。

現對某城市城區土壤地質環境進行調查。為此，將所考察的城區劃分為間距1公里左右的網格子區域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10 厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數據。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業活動的自然區取樣，將其作為該城區表層土壤中元素的背景值。

附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。

現要求你們通過數學建模來完成以下任務：

(1)給出8種主要重金屬元素在該城區的空間分布，并分析該城區內不同區域重金屬的污染程度。

(2)通過數據分析，說明重金屬污染的主要原因。

(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優缺點，為更好地研究城市地質環境的演變模式，還應收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？

附件1：A區和全市六區交通網絡與平臺設置的示意圖。

B題

交巡警服務平臺的設置與調度

“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執法、治安管理、交通管理、服務群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區的一些交通要道和重要部位設置交巡警服務平臺。每個交巡警服務平臺的職能和警力配備基本相同。由于警務資源是有限的，如何根據城市的實際情況與需求合理地設置交巡警服務平臺、分配各平臺的管轄范圍、調度警務資源是警務部門面臨的一個實際課題。

試就某市設置交巡警服務平臺的相關情況，建立數學模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區A的交通網絡和現有的20個交巡警服務平臺的設置情況示意圖，相關的數據信息見附件2。請為各交巡警服務平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內出現突發事件時，盡量能在3分鐘內有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發地。

對于重大突發事件，需要調度全區20個交巡警服務平臺的警力資源，對進出該區的13條交通要道實現快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區交巡警服務平臺警力合理的調度方案。

根據現有交巡警服務平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區內再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數和位置。

（2）針對全市（主城六區A，B，C，D，E，F）的具體情況，按照設置交巡警服務平臺的原則和任務，分析研究該市現有交巡警服務平臺設置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。

如果該市地點P（第32個節點）處發生了重大刑事案件，在案發3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調度全市交巡警服務平臺警力資源的最佳圍堵方案。

附件2：全市六區交通網絡與平臺設置的相關數據表（共5個工作表）。

全市路口節點標號 路口的橫坐標X

路口的縱坐標Y

路口所屬區

域

發案率(次

數)

說明：

15

413 403 383.5 381 339 335 317 334.5 333 282 247 219 225 280 290

359 343 351 377.5 376 383 362 353.5 342 325 301 316 270 292 335

A A A A A A A A A A A A A A A

1.7 2.1 2.2 1.7

A列：是全市交通網絡中路口節點

B列：路口節點的橫坐標X，是在交D列：路口節點所屬的區

米

坐標的長度單位為毫米

C列：路口節點的縱坐標Y，是在交

2.1 2.5

2.4 2.4 2.1 1.6 2.6 2.4 2.2 2.5 2.1

E列：各路口節點的發案率是每個

地圖距離和實際距離的比例是1:1

337 17 415 18 432 19 418 20 444 21 251 22 234 23 225 24 212 25 227 26 256 27 250.5 28 243 29 246 30 314 31 315 32 326 33 327 34 328 35 336 36 336 37 331 38 371 39 371 40 388.5 41 411 42 419 43 411 44 394 45 342 46 342 47 325 48 315 49 342 50 345 51 348.5 52 351 53 348 54 370 55 371 56 354 57 363 58 357 59 351 328 A 335 A 371 A 374 A 394 A 277 A 271 A 265 A 290 A 300 A 301 A 306 A 328 A 337 A 367 A 351 A 355 A 350 A 342.5 A 339 A 334 A 335 A 330 A 333 A 330.5 A 327.5 A 344 A 343 A 346 A 342 A 348 A 372 A 374 A 372 A 382 A 380.5 A 377 A 369 A 363 A 353 A 374 A 382.5 A 387 A 382 A 2.6

2.5

1.9

1.8

1.9

1.4

1.4

2.4

1.1

1.6

1.2

0.8

1.3

1.4

2.1

1.6

1.5 案發地P點的標號：32 1.4

1.7

1.4

1.1

0.1

1.2

1.4

1.7

1.4

1.4

1.7

1.1

1.4

1.2

1.6

1.4

1.2

1.1

0.8

0.6

1.4

0.9

0.5

0.8

1.1

0.9

369 61 335 62 381 63 391 64 392 65 395 66 398 67 401 68 405 69 410 70 408 71 415 72 418 73 422 74 418.5 75 405.5 76 405 77 409 78 417 79 420 80 424 81 438 82 438.5 83 434 84 438 85 440 86 447 87 448 88 444.5 89 441 90 440.5 91 445 92 444 93 140 94 145 95 160 96 142.5 97 150 98 186 99 158 121 157 158 159 388 A 395 A 381 A 375 A 366 A 361 A 362 A 359 A 360 A 355 A 350 A 351 A 347 A 354 A 356 A 364.5 A 368 A 370 A 364 A 370 A 372 A 368 A 373 A 376 A 385 A 392 A 392 A 381 A 383 A 385 A 381.5 A 380 A 360 A 130 B 118 B 96 B 71 B 70 B 145 B 73.5 B 68 B 145 B 138.5 B 135 B 0.7

0.6

1.2

1.4

0.8

0.7

0.8

0.8

0.9

1.1

0.9

1.1

0.8

0.9

1.1

0.8

1.1

0.8

0.8

0.8

0.8

1.4

1.1

0.9

1.2

1.4

1.1

0.9

1.4

0.9

0.9

0.8

1.6

1.6

1.6

2.1

1.8

1.6

2.6

2.6

1.1

0.9

0.5

105 137.5 106 144 107 139 108 144.5 109 151 110 151.5 111 150 112 158 113 159 114 164 115 163 116 149 117 143 118 137 119 131 120 130 121 127 122 125 123 129 124 130 125 124 126 136 127 136 128 142 129 148 130 142 131 147 132 128 133 136.5 134 142 135 147 136 154 137 148.5 138 140 139 140 140 137.5 141 138 142 143 143 151 144 153 145 143 146 143 147 143 114 B 113 B 112 B 117 B 115 B 113 B 118 B 111 B 118 B 109 B B 105 B 99.5 B 102 B 103 B 103 B 100 B 102 B 98 B 96 B 90 B 90 B 96 B 90 B 96 B 96 B 91 B 91 B 71 B 76 B 79 B 81 B 86 B 74.5 B 70 B 63 B 63 B 59 B 63 B 69 B 63 B 60 B 57 B 51.5 B 0.7

0.4

0.8

0.2

0.8

0.6

0.9

0.8

1.1

0.8

0.4

0.7

1.2

0.8

0.9

0.5

0.6

0.6

0.8

0.9

0.4

0.7

1.1

0.8

0.8

0.7

0.6

0.7

1.2

0.8

1.1

0.8

0.9

1.1

0.6

0.7

0.8

0.4

1.1

0.8

1.1

0.7

0.6

0.8

108.5 148 160 149 162 150 141 151 143 152 151 153 150 154 164 155 171 156 165.5 157 181 158 176 159 170 160 168 161 166 162 176 163 180 164 183 165 202 166 137.5 167 167 168 376 169 210 170 263 171 284 172 278.5 173 295 174 299 175 362 176 410 177 395 178 277 179 235 180 200 181 167 182 225 183 400 184 414 185 424 186 411 187 420 188 403 189 376 190 380 191 377 65 B 59 B 49 B 40 B 44 B 33 B 124 B 125 B 139 B 131 B 141 B 140 B 145 B 150 B 145 B 149 B 145 B 131 B 462 C 399 C 400 C 390 C 445 C 409 C 425 C 382 C 444 C 443 C 408.5 C 520 C 496 C 465 C 466.5 C 462 C 443 C 447 C 422 C 400 C 396 C 401 C 404 C 406 C 404 C 424 C 1.1

0.6

0.4

0.8

0.5

0.1

0.6

0.7

1.1

1.4

1.6

0.8

0.6

0.8

0.6

0.7

1.1

1.1

2.6

2.2

1.4

2.6

2.2

1.9

2.2

2.6

2.2

2.1

2.2

1.7

2.2

1.9

2.4

2.4

1.2

1.4

1.2

1.4

0.8

1.2

0.9

0.8

0.8

192 374 193 370 194 368 195 374 196 365 197 356 198 358 199 354 200 357 201 359 202 347 203 261 204 270 205 313 206 324 207 333 208 334 209 323 210 312 211 317 212 316 213 315.5 214 316 215 318 216 291.5 217 284 218 281 219 299 220 302 221 305 222 281 223 274 224 273.5 225 267 226 270 227 275 228 276 229 270 230 276 231 288 232 293.5 233 296 234 303 235 298.5 424 C 423 C 427.5 C 431 C 448 C 450 C 459 C 495 C 513 C 528 C 553 C 537.5 C 514 C 511.5 C 511 C 511 C 497 C 497 C 498 C 451 C 448 C 444 C 434 C 412 C 415 C 425 C 421 C 434 C 451 C 457 C 458.5 C 448 C 444 C 446 C 440 C 422 C 419 C 415 C 405 C 403 C 392.5 C 387 C 386 C 378 C 0.8

0.4

0.9

1.2

1.4

1.4

1.2

1.1

1.2

0.4

0.5

0.8

1.4

0.4

0.8

0.7

0.8

0.7

1.1

1.1

0.8

0.7

0.9

1.2

1.4

1.4

1.6

1.4

1.4

1.2

1.1

0.8

0.9

1.1

0.9

1.1

1.2

0.8

1.4

1.4

1.4

1.1

1.4

1.6

236 293 237 296 238 276 239 250 240 247 241 262 242 269 243 276 244 282 245 282 246 273 247 276 248 138.5 249 155 250 163 251 173 252 183 253 238 254 213 255 189 256 210 257 201 258 150 259 135 260 143 261 142 262 140 263 121 264 109 265 138.5 266 167 267 168 268 184 269 194 270 200 271 212 272 220 273 246 274 246 275 252 276 257 277 255.5 278 249 279 247 376 C 372 C 352 C 350 C 384 C 399 C 397 C 402 C 398.5 C 386.5 C 389 C 361 C 378 C 396 C 390 C 364 C 370 C 382 C 412 C 413 C 433 C 434 C 400 C 395 C 407 C 414 C 430 C 432 C 441 C 442 C 442 C 435 C 440 C 442 C 442 C 443 C 443 C 444 C 455 C 458 C 460.5 C 466 C 464 C 469 C 1.2

1.7

1.4

1.2

1.4

1.2

1.3

1.2

1.1

1.2

1.1

0.8

1.2

1.5

1.2

1.2

0.7

0.8

1.1

0.9

0.9

1.2

1.2

1.1

0.8

1.1

0.9

0.5

1.2

1.6

1.4

1.2

0.9

1.4

1.6

1.7

2.1

1.4

1.2

1.5

1.2

1.1

0.8

280 254 281 251.5 282 259 283 261 284 255 285 240 286 241 287 236 288 235 289 232 290 235.5 291 245 292 225 293 225 294 219 295 219 296 228.5 297 213 298 211 299 208.5 300 206 301 206 302 200 303 200 304 200 305 200 306 206 307 194 308 184 309 184 310 193.5 311 193 312 184 313 184 314 192.5 315 192 316 192 317 170 318 168 319 167 320 101 321 91 322 70 323 46 472 C 477 C 478 C 470 C 494 C 495 C 514 C 514 C 496 C 487 C 486.5 C 474 C 457.5 C 451 C 451 C 462 C 472 C 481 C 487 C 496 C 507 C 515 C 514 C 507 C 497 C 484 C 466 C 466 C 463.5 C 475 C 475 C 484 C 484 C 496.5 C 496.5 C 507 C 514 C 516.5 C 507 C 495.5 C 343 D 355 D 377 D 371 D 0.7

1.1

0.8

0.4

1.4

1.4

0.8

0.7

0.7

0.8

0.8

1.2

1.4

1.6

1.4

1.2

1.6

1.4

1.2

0.8

1.2

0.7

1.2

1.3

1.4

1.4

1.4

1.5

0.8

0.7

0.9

0.6

0.8

0.7

0.9

0.8

0.6

1.1

1.4

2.4

1.7

2.5

2.4

324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 56 424 20 442 74 326 76 302 15 240 28 161 34.5 164.5 30 181 27 206 42 242 30 246 31 254 39 254 50 289 72 288 60 246 95 299 81 297 80 287 67 314 21 330 36 360 76 344 97 339 103 337 104 341 97 345 89 345 81 344.5 81 350 89 350 92.5 351.5 88 353 81.5 353 87 359 84 361 76 355 58.5 370 34 306 38 418.5 61 425 57 429 60 433 85 369 D 2.1

D 2.2

D 2.6

D 2.1

D 2.6

D 0.4

D 0.1

D 0.6

D 0.2

D 1.4

D 1.6

D 1.1

D 1.2

D 0.7

D 1.1

D 0.7

D 1.4

D 1.6

D 1.4

D 1.7

D 1.1

D 1.2

D 0.8

D 2.4

D 1.2

D 1.1

D 1.6

D 0.8

D 0.8

D 0.4

D 0.7

D 1.1

D 1.4

D 0.9

D 1.1

D 0.9

D 0.8

D 0.6

D 0.1

D 1.4

D 1.4

D 1.6

D 1.4

D 1.9

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