第一篇：福州藝術生文化培訓全封閉特訓2014屆高考數學第十三章 算法初步、推理與證明、復數13.3 直接證明與間接證明

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13.3 直接證明與間接證明

一、選擇題

1.“所有9的倍數都是3的倍數，某奇數是9的倍數，故該奇數是3的倍數.”上述推理()

A 小前提錯B 結論錯

C 正確D 大前提錯

解析 大前提，小前提都正確，推理正確，故選C.答案 C

2．在用反證法證明命題“已知a、b、c∈(0,2)，求證a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”時，反證時假設正確的是()

A．假設a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于

1B．假設a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于

1C．假設a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于

1D．以上都不對

解析 “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故選B.答案 B

3．下列命題中的假命題是()．

A．三角形中至少有一個內角不小于60°

B．四面體的三組對棱都是異面直線

C．閉區間[a，b]上的單調函數f(x)至多有一個零點

D．設a，b∈Z，若a＋b是奇數，則a，b中至少有一個為奇數

解析 a＋b為奇數?a，b中有一個為奇數，另一個為偶數，故D錯誤． 答案 D

4．命題“如果數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，那么數列{an}一定是等差數列”是否成立()．

A．不成立B．成立C．不能斷定D．能斷定 解析 ∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1時，a1＝S1＝－1符合上式)．

又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差數列．

答案 B

1115．設a、b、c均為正實數，則三個數a＋b＋c＋)． bca

A．都大于2B．都小于

2C．至少有一個不大于2D．至少有一個不小于2 解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，1??1??1??1??1??a＋b＋c＋a＋b＋＋?＋?＝?＋?＋ ∴?b??c??a??a??b??

1??c＋?≥6，c??

當且僅當a＝b＝c＝1時，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一個不小于2.答案 D

6．設a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關系為()

A．a＞b

C．a＝bB．a＜bD．a≤b

解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案 A

7．定義一種運算“*”：對于自然數n滿足以下運算性質：(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝()．

A．nB．n＋1C．n－1D．n2

解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝?＝n.答案 A

二、填空題

8.用反證法證明命題“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個能被3整除”時，假設應為.解析 由反證法的定義可知，否定結論，即“a，b中至少有一個能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”.答案 a、b都不能被3整除

9．要證明“3＋7＜25”可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是________(填序號)．

①反證法，②分析法，③綜合法．

答案 ②

10．設a，b是兩個實數，給出下列條件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是______．(填序號)

12解析 若a＝b＝a＋b>1，2

3但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；

對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1，反證法：假設a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設不成立，故a，b中至少有一個大于1.答案 ③

11．如果aa＋bb＞b＋a，則a、b應滿足的條件是________． 解析 首先a≥0，b≥0且a與b不同為0.要使aa＋bb＞b＋a，只需(aa＋bb)2＞(ab＋ba)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b應滿足a≥0，b≥0且a≠b.答案 a≥0，b≥0且a≠b

12．若a，b，c是不全相等的正數，給出下列判斷：

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a>b與a

③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．

其中判斷正確的是_______．

解析①②正確；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同時成立，如a＝1，b＝2，c＝3.選C.答案 ①②

三、解答題

13．在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，113a＋bb＋ca＋b＋c試問A，B，C是否成等差數列，若不成等差數列，請說明理由．若成等差數列，請給出證明．

解析 A、B、C成等差數列．

證明如下：

∵

∴

∴113＋＝，a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c＋＝3.a＋bb＋cc

a＋bb＋c＋a＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cosB＝ 2ac2ac

2∵0°

|a|＋|b|14．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：2.|a＋b|證明 a⊥b?a·b＝0，|a|＋|b|要證2.|a＋b|只需證|a|＋|b2|a＋b|，只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式顯然成立，故原不等式得證．

15．若a、b、c是不全相等的正數，求證：

lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.證明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b2ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2ab＞0.又上述三個不等式中等號不能同時成立．

∴a＋bb＋cc＋a2·2·2＞abc成立．

上式兩邊同時取常用對數，?a＋bb＋cc＋a?＞lg(abc)，得lg?222??

∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.16．(12分)已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且0＜x＜c時，f(x)＞0.1(1)證明：是f(x)＝0的一個根； a

a1(2)試比較與c的大小；

(3)證明：－2＜b＜－1.解析(1)證明 ∵f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點，∴f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，c1?1?又x1x2＝x2＝?≠c?，aa?a?

1∴是f(x)＝0的一個根． a

11(2)假設＜c，又＞0，aa

由0＜x＜c時，f(x)＞0，1?1??1?知f?＞0與f??＝0矛盾，∴c，a?a??a?

11又∵≠c，∴＞c.aa

(3)證明 由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.二次函數f(x)的圖象的對稱軸方程為

bx1＋x2x2＋x21x＝－＝＜＝x2＝ 2a22a

b1即－＜.又a＞0，2aa

∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.文章來源：福州五佳教育網 http:///yikao/(五佳教育藝考文化課集訓，承諾保過本科線，打造福建省性價比最高的文化課集訓)

第二篇：2014屆高考數學(山東專用理科)一輪復習教學案第十二章算法初步、推理與證明、復數12.4直接證明與間接證明

12.4 直接證明與間接證明 考綱要求

1．了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點．

2．了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點．

1．直接證明中最基本的兩種證明方法是______和______．

2．綜合法是利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立．綜合法又叫________．

3．分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)．分析法又叫________．

4．反證法：假設原命題______(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明________，從而證明了__________，這樣的證明方法叫反證法． 應用反證法證明數學命題，一般有下面幾個步驟：

第一步，分清命題“p→q”的__________；

第二步，作出與命題結論q相矛盾的假設____；

第三步，由p與?q出發，應用正確的推理方法，推出矛盾結果；

第四步，斷定產生矛盾結果的原因在于開始所作的假設?q不真，于是原結論q成立，從而間接地證明了命題p→q為真．

1．分析法是從要證明的結論出發，逐步尋找使結論成立的()．

A．充分條件B．必要條件

C．充要條件D．等價條件

2．用反證法證明命題“三角形的三個內角至少有一個不大于60°”時，應假設()．

A．三個內角都不大于60°

B．三個內角都大于60°

C．三個內角至多有一個大于60°

D．三個內角至多有兩個大于60°

23．設t＝a＋2b，s＝a＋b＋1，則下列關于t和s的大小關系中正確的是()．

A．t＞sB．t≥s

C．t＜sD．t≤s

4．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的證明：cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ過程應用了()．

A．分析法

B．綜合法

C．綜合法、分析法綜合應用

D．間接證明法

5．因為某種產品的兩種原料相繼提價，所以生產者決定對產品分兩次提價，現在有三種提價方案：

方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；

方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；

p＋qp＋q方案丙：第一次提價，第二次提價%，2

2其中p＞q＞0.比較上述三種方案，提價最多的是()．

A．甲B．乙

C．丙D．一樣多

一、綜合法

【例1】如圖，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB＝AB＝2MA．求證：

(1)平面AMD∥平面BPC；(2)平面PMD⊥平面PBD． 方法提煉

1．綜合法是“由因導果”，它是從已知條件出發，順著推證，經過一系列的中間推理，最后導出所證結論的真實性．用綜合法證明題的邏輯關系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數學定義、定理、公理，B為要證結論)，它的常見書面表達是“∵，∴”或“?”．

2．利用綜合法證不等式時，是以基本不等式為基礎，以不等式的性質為依據，進行推理論證的．因此，關鍵是找到與要證結論相匹配的基本不等式及其不等式的性質．

3．綜合法是一種由因導果的證明方法，其邏輯依據是三段論式的演繹推理方法，這就是保證前提正確，推理合乎規律，才能保證結論的正確性．

請做演練鞏固提升

1二、分析法

【例2】已知△ABC三邊a，b，c的倒數成等差數列，證明：B為銳角． 方法提煉

1．分析法是“執果索因”，它是從要證的結論出發，倒著分析，逐漸地靠近已知． 2．用分析法證“若P，則Q”這個命題的模式是：

為了證明命題Q為真，這只需證明命題P1為真，從而有?? 這只需證明命題P2為真，從而有?? ??

這只需證明命題P為真．

而已知P為真，故Q必為真．

提醒：用分析法證題時，一定要嚴格按格式書寫，否則極易出錯．

3．在解決問題時，我們經常把綜合法和分析法結合起來使用，根據條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P，若由P可以推出Q成立，就可以證明結論成立．一般情況下，用分析法尋找思路，用綜合法完成證明．

請做演練鞏固提升

4三、反證法

【例3】設{an}是公比為q的等比數列，Sn是它的前n項和．(1)求證：數列{Sn}不是等比數列；(2)數列{Sn}是等差數列嗎？為什么？ 方法提煉

反證法是間接證明問題的一種常用方法，它不是從已知條件去直接證明結論，而是先否定結論，在否定結論的基礎上進行演繹推理，導出矛盾，從而肯定結論的真實性．用反證法證明要把握三點：(1)反設：必須先否定結論，即肯定結論的反面；(2)歸謬：必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須依據這一條件進行推證．推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實矛盾等，但推導出的矛盾必須是明顯的；(3)結論：因為推理正確，所以產生矛盾的原因在于“反設”的謬誤，既然結

論的反面不成立，從而肯定了結論成立．

請做演練鞏固提升

證明類問題中的新情景問題

【典例】設f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意實數函數，如下定義兩個函數(f°g)(x)和(f·g)(x)：對任意x∈R，(f°g)(x)＝f(g(x))，(f·g)(x)＝f(x)g(x)．則下列等式恒成立的是()．

A．((f°g)·h)(x)＝((f·h)°(g·h))(x)B．((f·g)°h)(x)＝((f°h)·(g°h))(x)C．((f°g)°h)(x)＝((f°h)°(g°h))(x)D．((f·g)·h)(x)＝((f·h)·(g·h))(x)

解析：((f·g)°h)(x)＝(f·g)(h(x))＝f(h(x))g(h(x))

＝(f°h)(x)(g°h)(x)＝((f°h)·(g°h))(x)． 答案：B

答題指導：對于此類新情景下的新定義問題需要做好以下幾點： 1．充分理解題意，理解定義是解題的關鍵．

2．若是選擇、填空題建議以特例理解新定義，可以化難為易、化繁為簡．

3．“按規則要求辦事”，即新定義如何要求就如何去做，此法雖然可能會繁瑣，但只要理解透徹，運算得當也能解決問題．

1．(2012浙江紹興模擬)設a＝lg 2＋lg 5，b＝e(x＜0)，則a與b的大小關系為()． A．a＞bB．a＜b C．a＝bD．a≤b

2．(2012山師大附中模擬)用反證法證明某命題時，對結論：“自然數a，b，c中恰有一個偶數”正確的反設為()．

A．a，b，c中至少有兩個偶數

B．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數 C．a，b，c都是奇數 D．a，b，c都是偶數

3．若函數F(x)＝f(x)＋f(－x)與G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定義域為R，且f(x)不恒為零，則()．

A．F(x)、G(x)均為偶函數

B．F(x)為奇函數，G(x)為偶函數 C．F(x)與G(x)均為奇函數

D．F(x)為偶函數，G(x)為奇函數

x

4．已知a，b∈(0，＋∞)，求證：(a3+b)<(a2?b)

133

122

.參考答案

基礎梳理自測 知識梳理

1．綜合法 分析法

2．順推證法或由因導果法 3．遞推證法或執果索因法

4．不成立 假設錯誤 原命題成立 條件和結論 ?q 基礎自測 1．A 2．B

3．D 解析：∵s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝(b－1)2≥0，∴s≥t.4．B 解析：因為證明過程是“從左往右”，即由條件?結論． 5．C 解析：設產品的原價為a，則按方案甲可得提價后的價格為A＝a(1＋p%)·(1＋q%)；按方案乙可得提價后的價格為B＝a(1＋q%)(1＋p%)＝A；按方案丙可得提價后的價格為

p＋q??p＋q?

C＝a?1＋1＋

22????p＋q?2

＝a?1＋%，2??

p＋q?2a

則C－B＝a?1＋－a(1＋p%)(1＋q%)＝(p%－q%)2＞0，故應選C.42??

考點探究突破

【例1】證明：(1)因為PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB∥MA.因為PB?平面BPC，MA?平面BPC，所以MA∥平面BPC.同理，DA∥平面BPC.又MA?平面AMD，AD?平面AMD，MA∩AD＝A，所以平面AMD∥平面BPC.(2)連接AC，設AC∩BD＝E，取PD的中點F，連接EF，MF

.因為四邊形ABCD為正方形，所以E為BD的中點． 因為F為PD的中點，所以EFPB.21

又AM∥PB，所以四邊形AEFM為平行四邊形． 所以MF∥AE.因為PB⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PB⊥AE.所以MF⊥PB.因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD.所以MF⊥BD.所以MF⊥平面PBD.又MF?平面PMD，所以平面PMD⊥平面PBD.【例2】證明：要證明B為銳角，根據余弦定理，a2＋c2－b2

也就是證明cos B＝0，2ac

即需證a2＋c2－b2＞0.由于a2＋c2－b2≥2ac－b2，要證a2＋c2－b2＞0.只需證2ac－b＞0.∵a，b，c的倒數成等差數列，112

∴，即2ac＝b(a＋c)． acb

∴要證2ac－b2＞0，只需證b(a＋c)－b2＞0，即證b(a＋c－b)＞0.上述不等式顯然成立． ∴B必為銳角．

【例3】(1)證明：若{Sn}是等比數列，則S22＝S1·S3，即a12(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，這與q≠0相矛盾，故數列{Sn}不是等比數列．

(2)解：當q＝1時，{Sn}是等差數列．

當q≠1時，{Sn}不是等差數列．假設q≠1時，S1，S2，S3成等差數列，即2S2＝S1＋S3，2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q)．

由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，這與q≠0相矛盾．

綜上可知，當q＝1時，{Sn}是等差數列；當q≠1時，{Sn}不是等差數列． 演練鞏固提升

1．A 解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.2．B 解析：“恰有一個偶數”的對立面是“沒有偶數或至少有兩個偶數”．

3．D 解析：由F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)知F(x)＝F(－x)，G(－x)＋G(x)＝0.4．證明：因為a，b∈(0，＋∞)，要證原不等式成立，只需證[(a?b)]<[(a?b)]即證(a3＋b3)2＜(a2＋b2)3，即證a6＋2a3b3＋b6＜a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，只需證2a3b3＜3a4b2＋3a2b4.因為a，b∈(0，＋∞)，所以即證2ab＜3(a2＋b2)．

而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab＞2ab成立，所以(a?b)<(a?b).133

122

1336

1226，

第三篇：2014年高考數學重點知識點： 直接證明與間接證明（本站推薦）

一、選擇題

1．(2012·張家口模擬)分析法又稱執果索因法，若用分析法證明：“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證b－ac<3a”索的因應是()

A．a－b>0

C．(a－b)(a－c)>0B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0 b－ac<3a?b2－ac<3a

2?(a＋c)2－ac<3a2

?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

?－2a2＋ac＋c2<0

?2a2－ac－c2>0

?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.答案：C

2．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()

A．2ab－1－ab≤0

?a＋b?2C.－1－a2b2≤0222a4＋b4B．a＋b－1－≤0 222D．(a2－1)(b2－1)≥0

解析：因為a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D

3．用反證法證明：若整系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數根，那么a、b、c中至少有一個是偶數．用反證法證明時，下列假設正確的是()

A．假設a、b、c都是偶數

B．假設a、b、c都不是偶數

C．假設a、b、c至多有一個偶數

D．假設a、b、c至多有兩個偶數

解析：“至少有一個”的否定“都不是”．

答案：B

4．設a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關系為()

A．a＞b

C．a＝bB．a＜b D．a≤b

解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案：A

5．已知函數y＝f(x)的定義域為D，若對于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有

x＋xf?x?＋f?x?f()<，則稱y＝f(x)為D上的凹函數．由此可得下列函數中的凹函數為()2

2A．y＝log2x

C．y＝x2B．y＝x D．y＝x

3解析：可以根據圖象直觀觀察；對于C證明如下：

x1＋x2f?x1?＋f?x2?欲證f 22

x1＋x2?2x1＋x22即證?<即證(x1＋x2)2<2x21＋2x2.2?2?

即證(x1－x2)2>0.顯然成立．故原不等式得證．

答案：C

二、填空題

6．(2012·肇慶模擬)已知點An(n，an)為函數y＝x＋1圖象上的點，Bn(n，bn)為函數y＝x圖象上的點，其中n∈N*，設cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關系為________．

解析：由條件得cn＝an－bnn＋1－n＝

∴cn隨n的增大而減小．

∴cn＋1

7．(2012·邯鄲模擬)設a，b是兩個實數，給出下列條件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是______．(填序號)

12解析：若a＝，ba＋b>1，2

3但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；

對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1，反證法：假設a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設不成立，故a，b中至少有一個大于1.答案：③

三、解答題

8．在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若113，a＋bb＋ca＋b＋c1 n＋1＋n2

2試問A，B，C是否成等差數列，若不成等差數列，請說明理由．若成等差數列，請給出證明．

解：A、B、C成等差數列．

證明如下：

∵

∴

∴113＋ a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c＝3.a＋bb＋cca＋1，a＋bb＋c

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cosB＝＝，2ac2ac

2∵0°

9．已知{an}是正數組成的數列，a1＝1，且點an，an＋1)(n∈N*)在函數y＝x2＋1的圖象上．

(1)求數列{an}的通項公式；

2(2)若數列{bn}滿足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求證：bn·bn＋2

故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知，an＝n，從而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋?＋(b2－b1)＋b1

＝2n－1＋2n－21－2n

＋?＋2＋1＝＝2n－1.1－2

＋＋nn2因為bn·bn＋2－b2－1)－(2n1－1)2 n＋1＝(2－1)(2

＝(22n2－2n2－2n＋1)－(22n2－2·2n1＋1)＋＋＋＋

＝－2n<0，所以bn·bn＋2

解：f(a)＋f(c)>2f(b)．

證明如下：因為a，b，c是不相等的正數，所以a＋cac.因為b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b.即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4.從而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.因為f(x)＝log2x是增函數，所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2.即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)． 故f(a)＋f(c)>2f(b)．

第四篇：福州藝術生文化培訓全封閉特訓2014屆高考數學第一章 集合與常用邏輯用語 1.1 集合的概念與運算

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1.1 集合的概念與運算

一、選擇題

1．已知集合A＝{(x，y)|x，y是實數，且x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x，y是實數，且y＝x}，則A∩B的元素個數為()．

A．0B．1C．2D．

3解析 集合A表示圓x＋y＝1上的點構成的集合，集合B表示直線y＝x上的點構成的集合，可判定直線和圓相交，故A∩B的元素個數為2.答案 C

2．集合M＝{a，b}，N＝{a＋1,3}，a，b為實數，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()

A．{0,1,2}B．{0,1,3}

C．{0,2,3}D．{1,2,3} 222

2解析：∵M∩N＝2，∴2∈M,2∈N.∴a＋1＝2，即a＝1.又∵M＝{a，b}，∴b＝2.∴A∪B＝{1,2,3}．

答案：D

3．設集合M＝{1,2}，N＝{a}，則“a＝1”是“N?M”的()．

A．充分不必要條件

C．充分必要條件

222B．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件 解析 若N?M，則需滿足a＝1或a＝2，解得a＝±1或a2.故“a＝1”是“N?M”的充分不必要條件．

答案 A

4．圖中的陰影表示的集合是（）

A．(?UA)∩B

C．?U(A∩B)B．(?UB)∩A D．?U(A∪B)

解析：陰影部分在集合B中而不在集合A中，故陰影部分可表示為(?UA)∩B.答案：A

5．設集合M＝{(x，y)|x＋y＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x－y＝0，x∈R}，y∈R，則集合M∩N中元素的個數為()．

A．1B．2C．3D．

4解析(數形結合法)x＋y＝1表示單位圓，y＝x表示開口方向向上的拋物線，畫出二者的222222

圖形，可以看出有2個交點，故選

B.答案 B

【點評】 本題畫出方程的曲線，立即得到正確的答案，避免了計算求解，提高了解題速度.6．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x－ax＋1＝0，a∈A}，則A∩B＝B時a的值是()

A．2

B．2或3 D．1或2

22C．1或3解析：由題意得，當a＝1時，方程x－ax＋1＝0無解，集合B＝?，滿足題意；當a＝2時，方程x－ax＋1＝0有兩個相等的實根1，集合B＝{1}，滿足題意；當a＝3時，方程x－ax＋1＝0有兩個不相等的實根3＋53－5353－5，B＝{}，不滿足題意．所222222

以滿足A∩B＝B的a的值為1或2.答案：D

7．已知集合A＝{x|x＝a＋(a－1)i}(a∈R，i是虛數單位)，若A?R，則a＝()．

A．1B．－1C．±1D．0

解析 ∵A?R，∴A中的元素為實數，所以a－1＝0，即a＝±1.答案 C

二、填空題

8．已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，則A∩B＝________.解析 A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}．

答案 {－1,2}

9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A∩B＝________.解析 A、B都表示點集，A∩B即是由A中在直線x＋y－1＝0上的所有點組成的集合，代入驗證即可．

答案 {(0,1)，(－1,2)}

10．已知集合M＝{x|<0}，N＝{y|y＝3x＋1，x∈R}，則M∩N等于________． x－222x

2解析：M＝{x|0

答案：[1,2)

11．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，則?UA＝________.解析 ?UA＝{x|x＜1}．

答案 {x|x＜1}

12．設A，B是非空集合，定義A*B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，則A*B＝____________________.解析 由題意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[1,3]，∴A*B＝[0,1)∪(3，＋∞)．

答案 [0,1)∪(3，＋∞)

三、解答題

13．已知集合A＝{x|(x－2)(x－3a－1)<0}，函數y＝(1)若a＝2，求集合B；(2)若A＝B，求實數a的值．

4－x解：(1)當a＝2時，由>0得4

故集合B＝{x|4

(2)由題意可知，B＝{x|2aA＝{x|2

??2a＝2又因為A＝B，所以?2??a＋1＝3a＋122a－xB.x－a2＋1，無解；

②若2＝3a＋1時，顯然不合題意；

1③若2>3a＋1，即a

??2a＝3a＋1又因為A＝B，所以?2??a＋1＝2，解得a＝－1.綜上所述，a＝－1

2,14．設集合A＝{x2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.解 由9∈A，可得x＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5.當x＝3時，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素重復，故舍去；

當x＝－3時，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}滿足題意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}；

當x＝5時，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此時A∩B＝{－4,9}與A∩B＝{9}矛盾，故舍去．

綜上所述，A∪B＝{－8，－4,4，－7,9}． 2

15．A＝{x|－2＜x＜－1或x＞1}，B＝{x|a≤x＜b}，A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x＜3}，求實數a，b的值．

解 ∵A∩B＝{x|1＜x＜3}，∴b＝3，又A∪B＝{x|x＞－2}，∴－2＜a≤－1，又A∩B＝{x|1＜x＜3}，∴－1≤a＜1，∴a＝－1.16．設集合A＝{x|x＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x＋2(a＋1)x＋a－1＝0，a∈R，x∈R}，若222

B?A，求實數a的取值范圍．

思路分析 本題體現了分類討論思想，應對集合B中所含元素個數分類討論．

解 ∵A＝{0，－4}，∴B?A分以下三種情況：

(1)當B＝A時，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x＋2(a＋1)x＋a－1＝0的兩個根，22Δ＝4a＋1－4a－1＞0，??由根與系數之間的關系，得?－2a＋1＝－4，??a2－1＝0，222 2解得a＝1.(2)當?≠BA時，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)－4(a－1)＝0，解得a＝－1，此

時B＝{0}滿足題意．

(3)當B＝?時，Δ＝4(a＋1)－4(a－1)＜0，解得a＜－1.綜上所述，所求實數a的取值范圍是(－∞，－1]∪{1}．

【點評】 分類討論思想是一種重要的數學思想方法，是歷年來高考考查的重點，其基本思路是將一個復雜的數學問題分解或分割成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現解決原問題的思想策略.文章來源：福州五佳教育網 http:///yikao/(五佳教育藝考文化課集訓，承諾保過本科線，打造福建省性價比最高的文化課集訓)

第五篇：海南省文昌中學高中數學 算法初步,復數,常用邏輯用語,推理與證明測試題

海南省文昌中學高中數學測試題：算法初步,復數,常用邏輯用語,推理與證明

一、選擇題（12×5＝60分）

1、復數1+2=()2i

(A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)

32、設m,n是整數，則“m,n均為偶數”是“m+n是偶數”的()

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

3、設復數z滿足1?z?i，則|1?z|=（）1?z

A.0B.1C.2D.2m?1?ni，其中m，n是實數，i是虛數單位，則m?ni?（）1?i

A．1?2iB． 1?2iC．2?iD．2?i

122x?

5、有四個關于三角函數的命題: p1:?x,y?R;sinx?cos2

2?sinx p2:?x,y?R;sin(x?y)?sinx?siny ；p3:?x?[0,?];

4、已知

2A,p1,p4B,p2,p4C,p1,p3D,p2,p36、在復平面內，復數z?sin2?icos2對應的點位于()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

7、如下面的圖,框圖表示的程序所輸出的結果是（）

（A）3（B）12（C）60（D）3608、下面的程序框圖，如果輸入三個實數a、b、c，要求輸出這三個數中最大的數，那么在空白的判斷框中，應該填入下面四個選項中的（）

A.c > xB.x > cC.c > bD.b > c 1

9、右邊所示的三角形數組是我國古代數學家楊輝發現的，121稱為楊輝三角形，根據圖中的數構成的規律，a所表示 1331的數是（）14a41(A)2(B)4(C)6(D)8 151010

51p4:sinx?cosy?x?y??, 其中是假命題的是()

第(7)題圖

第(8)題圖

3an，那么根據歸納推理可得數列的通項公式()3?an

2332n?1A,B,C,D, 2 n?1n?n?22n?1n?2??

11、平面向量a，b共線的充要條件是（）

10、已知數列{an}中，a1?1,an?1?

A.a，b方向相同

C.???R，???b??a? B.a，b兩向量中至少有一個為零向量

??D.存在不全為零的實數?1，?2，?1a??2b?0???

12、已知平面α⊥平面β，α∩β= l，點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是（）．．．

A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β

二、填空題（4×5＝20分）

13、若復數z1?a?2i, z2?3?4i，且

14、若x?y2z1為純虛數，則實數a的值為。z

2?0，則x?0且y?0的逆否命題_____________________________

15、設z?C，且|z?i|?|z?1|，則復數z在平面直角坐標系中對應的點的軌跡方程為

___________________________________。z?i的最小值為________________。

16、蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數.則 f(4)?__________;f(n)=________________

三、解答題（4×10＝40分）

17、在△ABC中，三個內角A,B,C對應的邊分別為a, b,c.且A,B,C成等差數列，a, b,c成等比數列。求證：△ABC為等邊三角形。

18、已知復數z1?m?(4?m2)i(m?R)，z2?2Cos??(??3Sin?)i

(?,??R)，并且z1?z2，求?的取值范圍。

19、已知{a*

n}是正數組成的數列，a1=

1，且點an?1)(n?N)在函數

y=x2+1的圖象上.(Ⅰ)求數列{an}的通項公式；

(Ⅱ)若列數{ba

2n}滿足b1?1,bn?1?bn?2n，求證：bn?bn?2?bn?1.20、設p：實數x滿足x2?4ax?3a2?0，其中a?0，q：實數x滿足x2?x?6?0

或x2?2x?8?0，且?p是?q的必要不充分條件，求a的取值范圍。

高中數學測試題

（八）答案

一，CACCABDACC DD

二，13，814，若x?0或y?0，則x?y2?0

315，y?

x，16，f(4)=37;f(n)?3n2?3n?1 三，17，證明：有A,B,C成等差數列，有2B＝A+C,①

∵A,B,C為△ABC的內角，∴ A＋B＋C＝?,②∴由①②得，B?

由a, b,c2?3。③ 成等比數列，有b?ac。④由余弦定理以及③式可得，b2?a2?c22?acCo?s2B?2a，再由④式可得，?caca2?c2?ac?ac

即(a?c)2?0，因此a?c，從而有A＝C,⑤由②③⑤可得

A?B?C?

18，由z1?3，所以△ABC為等邊三角形。?z2，可得m?2Cos?，①4?m2???3Sin?，②

2由①②可得：4?4Cos????3Sin? 即化簡??4Sin2??3Sin? 32939即??4(sin??)?∴當Sin??時，?min?? 816816

當sin???1時，?max?7，故??[?9,7]。16

19，（Ⅰ）由已知得an+1=an+

1、即an+1-an=1，又a1=1,所以數列｛an｝是以1為首項，公差為1的等差數列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n從而bn+1-bn=2.n

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1

=2+2+···+2+1n-1n-2

1?2n

＝1?2=2n-1.因為bnn+2n-1

n·bn+2-b2

n?1=(2-1)(2-1)-(2-1)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)

=-5·2n+4·2n

=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b2

n?1,20，設A?{x︱x2?4ax?3a2?0(a?0)}＝{x︱3a?x?a(a?0)}

B?{x︱x2?x?6?0或x2?2x?8?0}

＝{x︱?2?x?3}∪{x︱x??4或x?2}＝{x︱x??4或x??2} ∵?p是?q的必要不充分條件，∴?q??p且?p推不出?q

∴CRB??CRA，∵CRB?{x︱?4?x??2}

CRA＝{x︱x?3a或x?a}

則有a?4且a?0①或3a??2且a?0②

所以a??4或?2

3?a?0。