第一篇：極限解法以及收斂性的判斷小結
極限解法以及收斂性的判斷小結
摘要:極限作為分析學的基礎，再數學中具有重要的地位。本文簡述了一些極限的解法，和其斂散性判斷的方法以及其中包含的一些概念。
關鍵詞：分析；極限；斂散性；解法
A summarize of the solutions of the limit and the judgments
of convergent
HAO Sanqiang
(China University of GeosciencesCollege of EngineeringExperimental Class of Geo engineeringWu Han 430074)
Abstract: As the basement of the analysis, limit is very important in mathematics.This paper lists some solutions of the limit and some concepts of limit included.Some judgments of convergent is also included.Keyword: Analysis;Limit;Convergent;Solutions
1極限的解法
1.1定義：對與簡單的函數，先假設極限值再通過利用定義的證明得出極限值。
1.1.1數列極限：limxn?a????0,?N?0:?n?N有xn?a??n??1n?limsin 例：求n??n4111n?n? 解：通過觀察可假設其值為零，要使令 ???0,??sin?nn4 1n?1n??1?limsin?0。N???，則當n>N時，就有sin??即n??n4n4?n?
1.1.2.函數極限：limf(x)?a????0,?X?0:?x?X有 f(x)?a??x??limf(x)?a????0,?X?0:?x?Xf(x)?a??x???有 limf(x)?a????0,?X?0:?x??X有f(x)?a??x???limf(x)?A????0,???0:?x:0?x?a??f(x)?a??x?a有
limf(x)?A????0,???0:?x:0?x?a??有 f(x)?a??x??a
limf(x)?A????0,???0:?x:???x?a?0有 f(x)?a??
x??a
例：設a是正常數，求limx?a
x??1??a?a???0要使解：通過觀察可假設其值為零，x??即x???x??a∴取
1?a?a?，則當時這說明limx?0x?Xx?0??x??X??a
1.1.3特殊的極限：無窮大與無窮?。O限值為零）有f(x)??limf(x)?0????0,?X?0:?x?X
x??
有 f(x)??
limf(x)?0????0,?X?0:?x?Xx???
limf(x)?0????0,?X?0:?x??X有 f(x)??x???
limf(x)?0????0,???0:?x:0?x?a??f(x)??x?a有
limf(x)?0????0,???0:?x:0?x?a??有f(x)??x??a
limf(x)?0????0,???0:?x:???x?a?0有 f(x)??
x??a
1.2.兩邊夾定理：對數列（或函數）進行放縮（使兩邊極限值相等），分別對放縮的兩邊求極限，最后得值。定義1）：設limyn?limzn?a，且當n充分大時?xn?收斂，yn?xn?zn，則數列
n??n??
且.limxn?a
n??
定義2）：若在點a的某個去心鄰域內limg?x??limh?x??Ag?x??f?x??h?x?，且
x?ax?a，則 limf?x??A
x?a
lim4n?5n5?5n?lim4n?5n?5n?5n?52由兩邊夾定理 例：求解：n??n??
4n?5n?5可知 limn??
1.3區間套準則：對于滿足閉區間套條件的兩數列，可用區間套定理得到極限值。定義1）：稱滿足下列兩個條件的閉區間列an,bn為閉區間套，簡稱區間套：（1）a1,b1??a2,b2?????an,bn???（稱an,bn是漸縮的）
（2）lim?bn?an??0
n??
定義2）：設an,bn為實數軸上的閉區間套，則存在唯一的實數ξ，對任意正整數n，都有liman?limbn????an,bn且.n??n??
1.4復合函數的極限運算法則：將函數中復雜部分替代為簡單的部分，使函數形式簡化得值。定義：設lim??x??a，但在點τ的某去心鄰域內limf?x??A，則復 ??t??a，又
t??x?a
t??時極限也存在，且 limf???t???limf?x??A合函數f???t??當
t??x?a
t1
1?lime?0x?0t???∴原式變為 t??2當例：求解：設t???limex
xx?0
1.5兩個重要極限：利用重要極限進行函數形式的變化，計算極限值。x
sinx1?? lim?1lim?1???ex?0x??x?x?
????
????
????
??
??
例1）：
xn
x?? nn?n?????1????enlim1??lim??例2）： x??
?x?x????x??
??
1.6等價無窮?。豪玫葍r無窮小進行函數形式的變化，計算極限值。常用等價無窮小總結： x?0
x1x2
sinx～xtanx～x1-cosx～～ ??log1?x?x?1a
nlna2
ax?1～xlna(1?x)a?1～ax?x?113lim3?lim?例：（～x/2x?3x～3x）?x?1x?0x?3xx?03x6
1.7 洛必達法則：解決符合不定式形式的極限問題。定義1）：（關于0/0型）若函數f（x）、g（x）在點x0的某個空心鄰域o0(x0)內 有定
limf?x??0,limg?x??0;x?x0x?x0義，且滿足（1）（2）f（x）、g（x）在某個空心鄰域o0(x0)
f??x?
lim?A?x0g?x內有導數，而且（其中A為有限值或為∞），則有g??x??0;（3）x
f?x?f??x?
lim?lim?Ax?xx?x 0gx0g?x定義2）：（關于∞/∞型）與定義1）相似，故省略。
exexexexexex
例：求極限解：limlim?lim3?lim?lim?lim???
x?x??x4x???x4x???4xx???12x2x???24xx???2
41.8泰勒公式：利用泰勒公式將函數合并同類項，求解極限。
f???x0?fn?x0?2
泰勒公式：?x?x0????x?x0?n?o?x?x0?nf? x??f?x0??f??x0??x?x0??
2!n!nf???0?2
馬克勞林公式?x???f?0??x?n?oxnf?x??f?0??f??0??x??
2!n!sinx?xcosx
lim
例：求極限 x?0ln?1?x??x2?sinx
x?x?ox3sinx?x?x3?ox3xcosx?x?x3?ox3??ln1?x?x? 解：；； 3
x?ox3
sinx?xcosx2lim?lim?2x?0x?0x33x??ln1?x??sinx?ox3 1.9定積分求極限：利用定積分求解部分特殊極限。（運用定義與牛頓-萊布尼茲公式）
nbb
f?x?dx?limf??i??xi??F?x??aa??0 p
1?2P??npi?1
例： 求 lim?p?0?p?1n??n
x
sinxnnsinx3lim3?lim?xnxx?0n??3
3n
??
??
??????
???
?
ppPp??1?p?2?p?1?2??n1n?? lim?lim???????????p?1n??n??nn?n??n?? ??n??? p?1
11?x?1
??xpdx????0p?1??0p?1
2．極限斂散性的判斷
2.1定義：通過定義的直接證明極限的斂散性。（數列、函數極限）
例：證明由limf?x?發散 f?x???x?構成的極限
x?n
證：求f（x）在點左右的極限值分別為n-1與n故可知f(x)在n處無極限。故limf?x?發散。
x?n
2.2單調有界定理：通過證明數列既單調又有界可以證明數列極限收斂。（數列極限）2.3柯西收斂準則：通過證明滿足準則可以證明極限收斂。（數列、函數極限）2.4海涅定理：證明函數不滿足海涅定理來證明其發散（函數極限）
參考文獻：
〔1〕趙晶、李宏偉.《工科數學分析》.中國地質大學出版社2010.9
第二篇：一元二次方程的解法小結
一元二次方程的解法小結
【學習目標】
1.會選擇利用適當的方法解一元二次方程；
2.體驗解決問題方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法．
【前置學習】
一、自主學習（自主探究）：
1.獨立思考·解決問題
解下列方程：
（1）；
（2）x2＋2x＝0；
（3）3x（x－2）＝2（x－2）
（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；
（5）x2－x＋1＝0；
（6）（x－2）（x＋3）＝66．
2.合作探究·解決問題
通過對以上方程的解法，你能說出解一元二次方程的基本思路，總結出對于不同特點的一元二次方程選擇什么樣的方法去解了嗎？
知識匯總
（1）.解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為，即
．
（2）.一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據和適用范圍如下表：
方法名稱
理論根據
適用方程的形式
直接開平方法
平方根的定義
配方法
完全平方公式
公式法
配方法
因式分解法
兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個等于0
（3）.一般考慮選擇方法的順序是：
法、法、法或
法
二、疑難摘要：
【學習探究】
一、合作交流，解決困惑：
1.小組交流：（在小組內說說通過自主學習，你學會了什么？你的疑難與困惑是什么？請同伴幫你解決.）
2.班級展示與教師點撥：
展示1：用直接開方法解方程：（1）；
（2）．
展示2：用因式分解法解方程：（1）；
（2）．
展示3：用配方法解方程：（1）；
（2）．
展示4：用公式法解方程：（1）；
（2）．
二、反思與總結：本節課你學會了什么？你有哪些收獲與體會？
【自我檢測】
選擇適當的方法解下列方程:
1.x2－3x＝0；
2.x2＋2x－8＝0；
3.3x2＝4x－1；
4.（x－2）（x－3）＝6；
5.（2x－1）2＝4x－2；
6.（3x－1）2＝（x＋5）2；
7.x2-7x＝0；
8.x2＋12x＝27；
9.x（x－2）－x＋2＝0；
10.；
11.．
12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)
第三篇：求極限的方法小結
求極限的方法小結 要了解極限首先看看的定義哦 A.某點處的極限與該點處有無定義和連續無關，但在該點周圍(數列除外）的必 某點處的極限與該點處有無定義和連續無關，某點處的極限與該點處有無定義和連續無關 但在該點周圍(數列除外）須連續 B.了解左右極限的定義 了解左右極限的定義 C.極限的四則和乘方運算 D.區別數列極限與函數極限的不同之處 D.區別數列極限與函數極限的不同之處 E.注意自變量在趨近值的微小范圍內 注意自變量在趨近值的微小范圍內，E.注意自變量在趨近值的微小范圍內，可以利用它同 B 一起去絕對值
1、代入法——在極限點處利用函數的連續性求極限 ——在極限點處利用函數的連續性求極限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.約分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)約分法—— ——分解因式 這只是最簡單的約分法，同時還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）（這只是最簡單的約分法，同時還有分母，分子有理化。通分后在用約分法）3.利用圖象——反比例函數、指數、對數、三角函數。。。利用圖象——反比例函數、指數、對數、三角函數。。。——反比例函數 Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1
4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因為（因為（a n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求
5、極限與導數 —— 利用導數的定義 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用導數的定義、極限與導數——（）6.有界函數與無窮小的積仍為無窮小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等價無窮小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用無窮小時注意它不是充分必要的即應用無窮小轉化后若極限不存 不能得到原極限不存在）在，不能得到原極限不存在）8.利用重要極限 利用重要極限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要極限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解釋 sin2x/x2)=e(中間的配湊略 中間的配湊略)解釋 中間的配湊略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是無窮小 都是無窮小)都是無窮小 ∞(1 是很重要的一個極限，它可以用取對數法，還有就是上面的 取對數法是冪指 是很重要的一個極限，它可以用取對數法，還有就是上面的.取對數法是冪指 函數的通法，時上述方法就顯得更簡單了恩）函數的通法，當看見 1∞時上述方法就顯得更簡單了恩）9.利用洛比達法則 可轉化
為 0/0, ∞/∞型)利用洛比達法則(可轉化為 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比達法則 型 洛比達法則哈只需稍微的轉化哈。（對于未定式都可用 洛比達法則哈只需稍微的轉化哈。同時它同 7 一樣都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在極限中很少用，但可以解決一些特殊的高數上有哈）在極限中很少用，在極限中很少用 但可以解決一些特殊的高數上有哈）11.極限與積分 ___就是利用積分的定義 極限與積分 就是利用積分的定義 _______
解:
=
12.利用柯西準則來求！12.利用柯西準則來求！利用柯西準則來求 柯西準則： 要使{xn} {xn}有極限的充要條件使任給 ε>0,存在自然數 柯西準則 ： 要使 {xn} 有極限的充要條件使任給 ε>0, 存在自然數 N，使 得當 n>N 時，對于 |xn任意的自然數 m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用單調有界必有極限來求 14.利用單調有界必有極限來求 證明： x1＝。。。）存在極限 存在極限，證明：數列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在極限，并求出極限值 x1=√2＜2,設 xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由歸納法 x1=√2＜2,設 xn＜2,則 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有極限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 兩邊取極限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夾逼準則求極限 15.利用夾逼準則求極限 16.求數列極限時 可以先算出其極限值，然后再證明。求數列極限時，16.求數列極限時，可以先算出其極限值，然后再證明。17.利用級數收斂的必要條件求極限 17.利用級數收斂的必要條件求極限 18.利用冪級數的和函數求極限 18.利用冪級數的和函數求極限
第四篇：1-1求極限方法小結
求極限方法小結
求極限方法大概歸結為：一 利用單調有界數列有極限先證明極限的存在性，再利用題中條件求出極限。二 轉化為已知極限。這里通常利用如下手段進行轉化。
（一）夾逼定理
（二）初等變形，如分解因式、有理化、換元等。其依據為極限的運算法則（四則運算法則、復合法則、有界乘無窮小、連續函數極限值等于函數值、將求數列極限有的可轉化為求函數極限、泰勒公式）
（三）an?a,等價無窮小替換
（四）洛必達法則及中值定理
（五）公式：limn??
則limn??a1?a2??
?an?a；?a
（六）轉化為級數。三 轉化nn
為定積分。另外對分段函數在分段點的極限可能要考察左右極限。記
an?0住以下極限是有好處的。limn??
nx?a?
1?；n?1?a?
0?；
?1nsinx01??1??lim?11；lim?，（型）；（型）1??elim1??e????x?0n??x??x0nx????
一 利用單調有界數列定理求極限
例 1 x1?
3，xn?1?limxn n??
練習x1，xn?1?limxn n??
2x1?11，xn?1??1?xn?，求limxn n??22
n?? 例 2 已知0?x1??，xn?1?sinxn，求limxn
練習limsinsin?sinn n??
n??例3已知方程xn?xn?1???x?1(n?2)在?0,1?內有唯一正根記為xn，證明limxn
存在并求limxn。n??
二 轉化為已知極限
（一）夾逼定理
例1 lim
n!，n??nn
??
例lim???n??
11??1
練習1 lim?2?2???2? n??n?1n?2n?n??
：n3
：
nx?1?lim(1?2例3(1)lim(2)x?x???x?0?
?x??
?3).x
（二）初等變形
?2n?1?)13
例1（1）lim(3?3???3n??
nnn
?)(1?)(1?練習1：lim(1
n??x3?3x?2
（2）lim x?1x4?4x?3
3161112)2：lim(1?2)(1?2)(1?2)n??23nn(n?1)
x?x2?x3???xn?n3??1
lim練習1：lim?，2： 3
： ?3?x?1x?11?xx?x?11?x??
（3）lim
x??
2x?1
x2
2ex?e?x2ex?e?xln(1?2x)
練習1：xlim，2：xlim 3:lim ???ex?2e?x???ex?2e?xx???ln(1?3x)例2
（有理化）n??
練習1
：x?1
：x?0?x)tanx 例3（換元）lim(1
x?1
?
2sinx
例4（有界乘無窮?。﹍im x??x
arctanx lim練習1：lim 2：x??x?01?cosxln(1?x)x
sinx?x2sin
1?1 例5（將求數列極限轉化為求函數極限）lim
n??1?nsin
n
ntan
1?11???cos練習1：lim2：limcos?? ???n??n??n?nn???
n2
n
例6（兩個重要極限的應用）
nsin（1）lim
n??
xn
練習1：lim
x?0
sinxn
?sinx?
x
m
2：lim
x?a
sinx?sina
x?a
x?2?
（2）lim??? x??x?1??
?1?
練習1：lim?1??2：lim?cosx? x?0x??
?x?
kx
ln1?x1
?cosx
x4
xsinx?2(1?cosx)sinx?tanx
lim練習1：lim2： 43x?0x?0xx
（三）等價無窮小替換
例7（泰勒公式）lim
x?0
e
?
x22
x?0時，sinx?x，tanx?x，arcsinx?x，arctanx?x，1?cosx?
12x 2
ln(1?x)?x；ex?1?x；?1?x??1??x 例1 lim
x?0
?
tanx?sinx
sinx
練習1：lim
x?1
1?cos?x
?x?1?
：
x?0
例2 lim
x?0
ln?x?ex?x?x
1x
?3x?5x?1?sinx?cosxlim?lim練習1
： 2： 3: ?x?0x?01?sinpx?cospxx?12??
esinx?1
例3 lim x?0arcsinx2
ecosx?e
練習limx?0tan2x例4
x?0ln1?xe?1
（四）洛必達法則
0?x?sinxlncosax
lim例1（，型）（1）lim（2）x?0x?00x?xcosxlncosbx?
x?0
練習1
：2：
x?1?sinx32
?1
練習1：lim
x?a
lnx
4：xlim
???xn
(1?x)?ea?x1?2sinx
2：lim 3：lim ?x?0x?xx?acos3xxn
?n?0? 5：xlim
???e?x
xa
1x
???0,n為自然數?
例2（???型）lim（11?)x?0x2xtanx
11111?)2：lim(?x)3：lim(x?x2ln(1?))練習1：lim（x?1lnxx?0xx??x?1e?1x
x
x???tan 例3（0??型）lim?x??2arcsinxcotx 2：limlnxln(x?1)練習1：lim
x?0
x?1?
x（2）lim?1?x?例4（?0?1型）（1）limx??
?
1x
cos
?x
x?1
?
x（3）limx?1
11?x
例5（微分中值定理）（1）lim
x?0
tanx?tansinxsectanx?secsinx
lim（2）33x?0sin2x?sinxcostanx?cossinx
??
a?b2???lim練習1：lim? 2：arctanx?a?0,b?0? ???x?0?x???????2???a?a?
??an
?a；?a
（五）公式：liman?a,則lim12
n??n??nn
例
（六）轉化為級數
x
1x1x
x
三 轉化為定積分
1n例 limn??ni?1
1p???np練習1
：limln 2：lim
n??n??np?1n
?p?0?
四 考察左右極限
??x2?esinx? 例 lim?1?x?0?x?x
?e?1???
五 關于含參極限及已知極限確定參數
例1（含參極限）
x2?(a?1)x?a1:limx?ax3?a3
(x?a)(x?1)(x?1)
?lim?lim2x?a(x?a)(x2?ax?a2)x?a(x?ax?a2)?a?1
?2a?0??3a?a?0??
1?
練習limxsin
x?0x
2（已知極限確定參數）（1）x?0
?求出a,b。
（2）lim?x??)?0求
?,?
x???
并求limx?x??)（a?0)
x???
由lim?x??)?
0有0?lim
x???
x???
?x??
x
?x??
?lim?)??
x???x得?
??lim)=lim
x???
x?
求limx?x?
?)
x???
?limx?
x???
?lim
x???
?lim
b2
(c?)x
x???
b2c?
2??
(x2?1)2?a?b(x?1)?c(x?1)2
練習lim?0求a,b,c.2x?1(x?1)
第五篇：數學_學年論文_畢業論文_行列式解法小結
行列式的解法小結
摘要：本文列舉了行列式的幾種計算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了這幾種方法的使用條件。
關鍵詞：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循環行列式
行列式的計算是一個很重要的問題，也是一個復雜的問題，階數不超過3的行列式可直接按行列式的定義求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定義求值。對于一般n階行列式，特別是當n較大時，直接用定義計算行列式幾乎是不可能的事。因此，研究一般n階行列式的計算方法是十分必要的。由于不存在計算n階行列式的一般方法，所以，本文只給出八種特殊的計算方法，基本上可解決一般n階行列式的計算問題。升階法
在計算行列式時，我們往往先利用行列式的性質變換給定的行列式，再用展 開定理使之降階，從而使問題得到簡化。有時與此相反，即在原行列式的基礎上 添行加列使其升階構造一個容易計算的新行列式，進而求出原行列式的值。這種 計算行列式的方法稱為升階法。凡可利用升階法計算的行列式具有的特點是：除 主對角線上的元素外，其余的元素都相同，或任兩行（列）對應元素成比例。升 階時，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個位置？這要根據原行列式的特點 作出選擇。
c?a21例1計算n階行列式 Dn?a1a2?ana2ana1an???1a1an?a1c00a2a1?ana1???c?a2?a2an22?c?an，其中c?0
10a1c?a21a2a1?ana1a2a1a2?ana2a2?an0c0???00 c?a1??an解 Dn?0?0c?a2?a2an??a222?c?an????將最后一個行列式的第j列的c?1aj?1倍加到第一列（j?2,3?n?1)，就可以
?1n變為上三角形行列式，其主對角線上的元素為1+c?ai?12i,c,c,?,c
n?1n故
Dn?cn?c
?ai?12i
1x1x21?x1n?2x1n1x2x22?nx2?????1xn2xn例2 計算n階行列式Dn??xnn
n?2n?2x2?xn解
好象范德蒙行列式，但并不是，為了利用范德蒙行列式的結果，令
1x1x121x22x2????1xn2xn1yy2? yn?2yn?1yn
Dn??x1n?2x1n?1x1n??n?2n?2x2?xnn?1n?1x2?xnnx2?nxn
按第n?1列展開，則得到一個關于y的多項式，yn?1的系數為(?1)n?1?nDn??Dn。另一方面Dn?1?1?j?i?n?(xi?xj)*?(y?xi)
i?1n顯然，Dn?1中yn?1的系數為所以Dn??xi*i?1n1?j?i?n?(xi?xj)??(x1?x2???xn)?
1?j?i?n?(xi?xj)
2利用遞推關系法
所謂利用遞推關系法，就是先建立同類型n階與n-1階（或更低階）行列式之間的關系——遞推關系式，再利用遞推關系求出原行列式的值。
abac???bbacc例3計算n階行列式 Dn?????，其中b?c,bc?0
解 將Dn的第一行視為(a?c)?c,0?c,?0?c,據行列式的性質，得
a?c?cbac???bba?a?c0?0bac???bba?cccbac???bba
Dn?0?c?0?c??????????
Dn?(a?c)Dn?1?c(a?b)n?
1(1)
于b與c的對稱性，不難得到Dn?(a?b)Dn?1?b(a?c)n?1
(2)聯立（1），(2）解之，得Dn?(b?c)?1b(a?c)n?c(a?b)n
a?b10?00aba?b1?000ab?00????000?0000?aba?b??例4計算n階行列式 Dn?a?b?
?a?b
10ab?00???00?100? aba?ba?b?解將Dn按第一行展開，得Dn??a?b?Dn?1?ab?00?a?b于是得到一個遞推關系式Dn?(a?b)Dn?1?abDn?2，變形得Dn?bDn?1?a(Dn?1?bDn?1)
易知 Dn?bDn?1?a2(Dn?2?bDn?3)?a3(Dn?3?bDn?4)
???an?2(D2?bD1)?an?2(a?b)2?ab?b(a?b)?an
所以Dn?an?bDn?1，據此關系式在遞推，有
Dn?an?b(an?1?bDn?2)?an?an?1b?b2Dn?2
??
???an?an?1b???a2bn?2?bn?1D1?an?an?1b???abn?1?bn
如果我們將Dn的第一列元素看作a?b,1+0,……0+0,按第一列坼成兩個行 列式的和，那么可直接得到遞推關系式Dn?an?bDn?1，同樣可得Dn的值。化三角形法
此種方法是利用行列式的性質把給定的行列式表為一個非零數與一個三角形行列式之積，所謂三角形行列式是位于對角線一側的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主對角線的三角形行列式等于主對角線上元素之積，涉及次對角線的N階三角形行列式等于次對角線上元素之積且帶符號
abab??????bbabba1??a??n?1?b??00b?0??b0?a?b?bb1bab11例5計算N階行列式Dn?????
解 Dn??a??n?1?b?????
?a?b
?a?(n?1)b?(a?b)n?1 利用范德蒙（Vandermonde）行列式法
著名的范德蒙行列式，在線性代數中占有重要地位，研究它的應用引起了一些數學家的興趣，因此在計算行列式時，可直接用其結果。
1x1(x1?1)1x2(x2?1)2x2(x2?1)????1xn(xn?1)2xn(xn?1)
例6 計算n階行列式Dn?x12(x1?1)???n?1n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)
解 將第一行可視為x1?(x1?1),x2?(x2?1),?xn?(xn?1)，再由行列式的性
x1質，得Dn?x2x2(x2?1)????xnxn(xn?1)?
x1(x1?1)?n?1n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)4
x1?1
?x2?1x2(x2?1)xn?1xn(xn?1)n?1xn(xn?1)x1(x1?1)
n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)把第一個行列式從第一行起依次將i行加到i?1行；第二個行列式的第i列提取xi?1(i?1,2,3?n),得
x1Dn?x12?x1nx2??xn????(xi?1)i?1n1x1(x1?1)?1x2(x2?1)????1xn(xn?1)? 22x2?xnnnx2?xnn?1n?1x1n?1(x1?1)x2(x2?1)?xn(xn?1)n?n?=??xi??(xi?1)?*?(xi?xj)
i?1?i?1?1?j?i?n5 利用乘法定理法
在計算行列式時，有時可以用乘法定理，將給定的行列式表為兩個容易計算的或已知的行列式的乘積，從而求出給定行列式的值；有時不直接計算給定的行列式，而是選一個適當的與給定行列式同階的行列式，計算兩行列式的乘積，由此求出給定行列式的值，這樣也可使問題簡單。
1?a1b1例7計算n階行列式Dn?1?a1b2?1b1100?1?a1bn????10 01?a2b11?a2b2?1?a2bn??1?anb11?anb2?1?anbn
1a1a2an000?0?0?0
解 Dn?11b2?bn??????00????所以，當n?2時，Dn?0；
當n?2時，D2?(a2?a1)(b2?b1)當n?1時，D1?1?a1b1 利用拉普拉斯（Laplace）定理法
拉普拉斯定理，在計算行列式時，主要應用k=1的情形，而很少用一般形式，不過當行列式里零元素很多時，運用一般情形的拉普拉斯定理，往往會給行列式的計算帶來方便。
a??ab??ba?ba??ab??ba?ba??ab??ba?ban?1b例8 計算2n階行列式D2n??n?
?ab解 D2n?(?1)1?2n?1?2nabba2??n?1?
?ab
?(?1)1?2(n?1)?1?2(n?1)abba2?n?2?
??? abba*abba?(a2?b2)n 提取公因式法
若行列式滿足下列條件之一，則可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，稱為“a,a,?,a型”；（2）有兩行（列）的對應元素之和或差相等，稱為“鄰和型”；（3）各行（列）元素之和相等，稱為“全和型”。滿足條件（1）的行列式可直接提取公因式a變為“1，1，…，1型”，于是應用按行（列）展開定理，使行列式降一階。滿足（2）和（3）的行列式都可以根據行列式的性質變為滿足條件（1）的行列式，間接使用提取公因式法。
x?a1例9計算N階行列式 Dn?a2?a26
??anan?
a1?a1x?a2??x?an
n解 該行列式各行元素之和都等于 x??ai，屬于“全和型”，所以
i?11Dn?(x??ai)i?1na2x?a2?a2????anan?x?an?(x??ai)i?1n1a20?0x?0?an???0?x1?1
?xn?1(x??ai)
i?1n總結:計算行列式的方法很多,除了以上常見的方法外還有一些特殊的方法,如n階輪換行列式的初等計算方法、極限法、導數法、積分法等。對于一個給定的行列式可以有多種方法求解，這是則要求我們注意方法的靈活性，要在眾多方法中選取一種最簡便的方法。
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