第一篇：數學總結4

2012-2013學年下學期四年級

數 學 教 學 總 結

鳴鷲鎮中心學校樊保芬

匆匆的一學期結束了，本學期，我從各方面嚴格要求自己，結合本校的實際條件和學生的實際情況，勤勤懇懇，兢兢業業，有計劃、有組織地開展教學工作。為使今后的工作取得更大的進步，現對本學期教學工作做出總結，以促進教學工作更上一層樓。

（一）加強理論學習，提高思想認識

新課標的出臺對每一位老師都提出了新的要求和挑戰，本學期我認真學習新《數學課程標準》，鉆研業務，探索教育教學規律，改進教育教學方法，提高教育教學水平，及時主動的更新教育觀念，轉變教師角色，樹立以學生為本的基本理念，建立民主、平等、和諧的師生關系，采用互動的課堂教學模式，激發學生的創造動機，啟迪學生的創新精神，促進學生基本技能、數學知識、情感態度、學習策略等素養的整體發展。

（二）注重學生思維靈活性和獨創性的培養

新課程下的小學數學教學，要求教師必須具備新的教學理念。能善于沿著不同角度，順著不同方向，選擇不同方法，對同一問題從多方位、多層次、多側面進行認識。在教學中能自始到終、持之以恒地培養學生多角度、全方位的解題思路，突破單一的思維模式，誘導他們轉換角度，靈活思維，探索多種解題方法，形成基本技能和技巧。

思維的獨創性指敢于突破傳統習慣的束縛，擺脫原有范圍的羈絆和思維定勢，把頭腦中已有的知識信息重新組合，產生具有進步意義的新設想、新發現。在解題過程中我著力引導學生敢于突破陳規，提出大膽、獨特的見解，鼓勵他們標新立異、另辟蹊徑，探尋到具有創新意識的簡捷妙法，達到培養獨創性思維之目的。

在教學中，我按照知識本身的結構規律，結合學生的實際不斷更新教法。通過類比遷移，把所學的知識由點變線，由線變成面，逐步擴展成網絡，完善學生的認識結構。這樣，學生才能正確運用已有的知識和經驗解決新問題，使思維品質得到更好地培養和提高。深入課題研究，優化課堂教學

（三）讓情境“活化”數學

1、讓學生在合作情境中交流互動。

新課改倡導學生在合作、交流中學會學習，懂得合作。對于中年級學生，伙伴之間通過傾聽、分享、交流、互助與反思，使每個人都可以從同伴那里獲得信息和啟示，進而豐富個體的情感 和認識，促進學生順利地自我構建知識和創造知識。

2、讓學生在生活情境中親近數學。

只有從生活中來的數學才是有意義的數學。數學課程內容的呈現應該是貼近學生的生活現實，使學生體會到數學與現實的聯系，認識數學的價值，增進數學的理解和應用數學的信心，激起學生親近數學的熱情，讓課堂真正成為生活化的課程。

3、情境教學在數學新課程教學中已顯出了旺盛的生命力。我在課堂教學中積極為學生創設各種情境，使課堂成為生活性、趣味性、活動性的課堂，讓學生產生濃厚的學習興趣，積極去發現、去創造，真正實現知識、能力、情感、態度、價值觀的全面發展。

（四）改變教學評價，注重評價實效

改變以往的單一的教學評價，采用多形式、多渠道的評價方法，建立開放、寬松的評價氛圍。注重學生在評價中的主體地位，讓家長、學生、教師共同參與評價。引導學生在學習中反思，在反思中學習，有效地增進他們的自我評價意識，使學生在學習過程中不斷體驗進步與成功，認識自我，建立自信。同時強調以形成性評價為主，以學生平時參與各種教學活動的表現和合作能力為主權依據，堅持主人的正面鼓勵和激勵作用，注重評價的實際效果，以利于學生的終身學習和發展。

（五）注重對學生自主學習習慣的培養

除了在課堂上加強對學生自主學習能力的培養，我還注重對學生課前預習能力和家里學習作業能力的培養。教給他們自學的方法，引導他們怎樣進行課前預習，把遇到的疑難問題記錄下來，以便在課堂上與老師和同學一起探討，提高學習效率。并通過“手機短信”常與家長聯系，及時交換信息，共同關注孩子的成長。使他們的學習自信心和學習興趣有了一定的提高。在備好學生、備好教材、備好練習，上好課的基礎上，精編習題。習題設計（或選編習題）緊扣重點、難點、疑點和熱點，面向大多數學生，符合學生的認知規律，有利于鞏固“雙基”，有利于啟發學生思維；習題講評注意增加信息程度，圍繞重點，增加強度，引到學生高度注意，有利于學生學會解答；解答習題注意多角度，一題多解，一題多變，多題一解，擴展思路，培養學生思維的靈活性，培養學生思維的廣闊性和變通性；解題訓練注意“精”，精選構思巧妙，新穎靈活的典型題，有代表性和針對性的題，練不在數量而在質量，訓練多樣化。因此各種不同程度的學生都能獲得不同的發展。本學期，培優補差初見成效，比如王美珍、周建斌、王黃佳等學生的成績比以前有進步。

（六）積極開展教研活動，不斷反思提高

我平時積極參加學校組織的教研活動，嚴格執行互聽互評課制度，在上課、聽課、評課活動中，取長補短，不斷提高自己的業務水平。

總之，“金無足赤，人無完人”，在教學工作中難免有缺陷，例如，課堂上有些同學沒能及時掌握，課后沒能做好后進生的轉 化工作。在今后的教育教學工作中，我將更嚴格要求自己，努力工作，發揚優點，改正缺點，開拓前進，為美好的明天奉獻自己的力量。

2013-6-29

第二篇：初中數學教學工作個人總結4

初中數學教學工作個人總結

潭口中學鄧義琪

一學期的工作又將結束了，可以說緊張忙碌而收獲多多。回顧這學期的工作，工作中有收獲和快樂，也有不盡如人意的地方，為了更好地總結經驗，吸取教訓，使以后的工作能夠有效、有序地進行，現工作總結如下：

一、熱愛教師工作，思想進步，團結同志，每天早來晚走，無私奉獻，能全面貫徹黨的教育方針，以黨員的要求嚴格要求自己，認真完成學校交給的任務和工作，嚴格遵守學校的各項規章制度，做到不遲到，不早退，不請病、事假，腳踏實地地執行學校的各項要求。

二、積極參加各類學習培訓，努力提高自己的教育教學水平

本我們每位教師都要參加縣里教師業務能力考試，結合自身特點制定了業務學習計劃，本學期我嚴格按照學習計劃，有序有效地進行了學習，我覺得自己的業務水平又上了一個新的臺階，特別是我又認真學習了幾本教育教學叢書，我覺得自己有了很大的提升。在平時我閱讀了《蔡林深與洋思教育》等書，領悟其中的教學藝術，努力提高自己的教育教學水平，并能在日常教學工作中很好的應用。

三、教學工作和科研工作

在教學工作方面，在備課過程中認真鉆研教材，深刻理解教材，靈活運用教材，根據教材的特點及學生的實際情況設計教案，認真地上好每一節課。備課深入細致。平時認真研究教材，多方參閱各種資料，力求深入理解教材，準確把握難重點。在制定教學目的時，非常注意學生的實際情況。教案編寫認真，并不斷歸納總結經驗教訓。教學中，我重視學生的思維能力、自學能力的培養，一面自覺學習先進教育思想方法、優秀教學方法等，一面繼續進行“課堂教學”的分層教學研究，著力點放在激發興趣---教給方法---養成習慣---培養能力---形成品格上，改革教學方法、手段，增大課堂容量，提高學習興趣，實現“后進生轉化，中等生優化，優秀生提高，各類學生都得到應有發展”的目標。對于班級的學困生，給予特殊的關照，課堂上多提問，多巡視，多輔導，在課堂上對他們的點滴進步給予適當的表揚，課后多找他們談心，使他們樹立起他們的信心和激發他們學習數學的興趣，并發動班上的優等生做學困生們的輔導老師，組成“一幫二”小組，根據各自的情況給學困生定出目標，讓他們雙方都朝著那個目標前進。常思考，常研究，常總結，促進學生全面發展，打好基礎，培養學生創新能力”，以“自主——創新”課堂教學模式的研究與運用為重點，努力實現教學高質量，課堂高效率。

第三篇：數學工作總結4

小學數學四年級上冊教學工作總結

本學期，我擔任四年級數學教學工作，在一學期的實際教學中，我按照教學大綱的要求，結合本班學生的實際情況，勤勤懇懇、兢兢業業，使教學工作有計劃、有組織、有步驟地開展。全面實施素質教育，圓滿地完成了教學任務。同時努力提高自身的業務水平和教學能力。為了發揚優點，克服不足，總結經驗，使今后的工作更上一層樓，現對本學期教學工作做出如下總結：

一、深入細致的備好每一節課。

備好課是上好課的有力保證。我充分利用數學組活動這一平臺，和同級數學老師相互交流，集聚教師集體的智慧，優化課堂教學設計，彌補了新課程標準下我的獨立思維。個性化補充中我又結合教材的內容和學生的實際情況，精心設計每一堂課的教學過程，設計教學時，敢于突破教材，不但要考慮知識的相互聯系，而且擬定采用的教學方法，以及各教學環節的自然銜接；既要突出本節課的難點，又要突破本節課的重點。真正做到每一課都“有備而來”，每堂課都在課前做好充分的準備，課后及時對課堂做出總結。

二、認真上好每一節課。

課堂是學生學習的主陣地。上課時注重學生主動性的發揮，發散學生的思維，提高教學質量。在課堂上特別注意調動學生的積極性，加強師生交流，強化他們探究合作意識，充分體現學生學得容易，學得輕松，學得愉快，培養學生多動口、動手、動腦的能力。對于每一節課新知識的學習，我通過聯系現實生活，讓學生們在生活中感知數學、學習數學、運用數學；通過小組交流活動，讓學生在探究合作中動手操作、掌握方法、體驗成功等。從而，把課堂還給了學生，使學生成了學習的主人。學生通過聯系生活實際，細致觀察身邊的教室，相互交流。聯系生活、貼近生活，從身邊生活中走向學生視野，進入課堂，使之產生親近感，使學生主動地動手、動口、動腦，想辦法來探索知識的形成過程，獲得成功的喜悅感。

三、認真批改作業.作業是課堂教學的延伸，是反饋教學信息的最好見證。對于學生作業的布置，我本著“適中適量”的原則進行，既要使作業有基礎性，針對性，綜合性，又要考慮學生不同的基礎，突出層次性，堅決不做毫無意義的作業。學生的每次作業批改及時、認真，并做到數學書面作業、練習與測試、家庭作業全批全改，考卷一單元一考，個別錯題，當面講解，及時改正，對于大面積錯題，我認真做出分析，并進行集體講評、訂正

四、認真做好后進行轉化工作。

本學期，我除了在課堂上多照顧他們外，課后還為不同層次的學生進行相應的輔導，以滿足不同層次的學生的需求，同時加大了對后進生的輔導的力度，從心理上疏導他們，拉近我們師生之間的距離，讓他們意識到學習的重要性和必要性，使他們對數學學習萌發興趣，建立了自信心。對于他們遺漏的知識，我主動為他們彌補，對于新學內容，我耐心為他們講解，并讓他們每天為自己制定一個目標，同時我還對他們的點滴進步及時給予鼓勵表揚，激發了他們的求知欲和上進心，使他們對數學產生了興趣，也取得了較好的成績。

五、數學課題的研究

本學期我積極參與學校的教育教學研討，在研討中我密切聯系學生的生活，努力反映學生身邊的事和感興趣的事，提高學生對數學的興趣，引導學生用數學的眼光觀察生活，發現問題，從而培養學生的問題意識，培養學生處理信息的能力。同時，不斷反思、實踐、探索、總結經驗，撰寫教學論文、教學反思。

六、工作中的不足

1、對于新課標的學習不夠深入，學習興趣培養得不夠好。教學中既要讓學生掌握知識，又要激發學生學習熱情，培養學生學習興趣，但在激發學生學習數學的興趣方面存在缺憾。

2、小組合作學習應用得不夠得體

新課標提得最響的是大力提倡小組合作學習。要真正落實好小組合作學習，把它體現在課堂上，也不是一件很難的事，關鍵是能不能體現得體。在平時的數學課堂教學中，我試圖讓學生小組合作學習，但收效甚微，可能是我組織的不得體，使得自己處于被動局面，是小組學習沒有真正起到應用的價值。

3、學生課堂提問者太少

新課標提倡，課堂教學要以學生為主體，面向全體學生。教學中要調動學生的學習積極性，要問題讓學生提，規律讓學生找，結論讓學生下。我在教學中，發現會提問題的同學很少，雖然我多次鼓勵提問，說錯都沒關系，只要你敢發表自己的見解就是好樣的。但是總有學生表現不夠主動，致使課堂教學中經常會出現“冷場”現象。

總之，一學期的教學工作，既有成功的喜悅，也有失敗的困惑，雖然取得了一定的成績，但也存在不少的缺點。在今后教學中我不斷加強學習，多聽課，從別人的好課中汲取養料，反思自己教學中的課堂評價，調整自己的教學。從別人失敗的課堂教學中，吸取教訓，引以為戒，提高業務素質，增強教學機智，靈活運用教學方法，提高自身素質，為以后的教學工作打下良好的基礎，力爭取得更好的成績。

第四篇：3升4數學

找規律填數

（一）例1： 找出下列各數列的規律，并按其規律在（）里填上合適的數。

① 1，2，4，8，16，（）

② 4，7，10，13，（）

③ 1，4，9，16，（），（）

④ 84，78，72，66，（），（）

⑤ 625，125，25，（），（）

例2：找出下列各數列的規律，并按其規律在（）內填上合適的數。

①1，2，2，3，3，4，（），（）

②4，6，10，16，26，（）

③1，3，3，9，27，（）

④2，5，14，41，122，（），1094

⑤ 15，6，13，7，11，8，（），（）

⑥ 16，18，22，28，36，（），（）

拓展1 找規律，在（）內填上合適的數。

①1，4，7，10，（），16，19

②4，8，16，32，64，（），256

③9，11，15，21，29，（），（）

拓展2 找規律，在()內填上合適的數。

①45，55，66，78，（）

②35，28，22，17，13，（），（）

③ 1，2，5，10，17，26，（），50

拓展3 找規律，在（）內填上合適的數。

①729，243，（），27，9，3

②100，121，144，169，（），（），256

③ 81，64，（），（），25，16，9，4.平均數

（一）例1 一輛貨車從甲城開往乙城，每小時行60千米，12小時到達乙城。又順原路返回甲城，返回時每小時40千米。求這輛貨車往返一次的平均速度。

例2 四年級甲，乙兩班共有100位同學，甲班比乙班多4人。一次語文測驗，兩個班全體同學的平均分為82分，甲班比乙班的平均分高5分，兩個班的平均分各是多少？

拓展1食品商店進了兩種水果糖，甲種水果糖每千克12元，共40千克，乙種水果糖每千克8元，共為60千克，為了便于銷售，將這兩種糖混合成什錦水果糖，每千克價格應該怎樣定？

拓展3 甲數是240，乙數比甲數的3倍少30，丙數比乙數的2倍少180。求：這三個數的平均數是多少？

拓展4四年級A班有學生50人，男，女生各25人。一次數學測驗，全班同學平均分為85分。如果男，女生分開計算，女生比男生的平均分高2分，男，女生得平均分各是多少？

差倍問題

例1 小紅和小明都愛畫畫，兩人各有若干支水彩筆。如果小紅給小明8支，小明的水彩筆是小紅的3倍。如果小明給小紅8支，則兩人的水彩筆一樣多。小紅和小明原來各有多少支水彩筆？

拓展1 父親今年47歲，徐紅今年11歲。問： 幾年前父親的年齡是徐紅年齡的5倍？

拓展2 學校食堂買來兩桶油，大桶的油有150千克，小桶的油有120千克，兩桶用去同樣多的油后，大桶剩的油剛好是小桶所剩的的油的4倍，兩桶油各剩多少千克？食堂共用去多少油？

拓展3大猴子和小猴子采摘桃子，大猴子比小猴子多采桃26個，后來小猴子弄丟了6個桃子，大猴子又采了7個，這時大猴子的桃子比小猴子的桃子多3倍。問：原來大猴子和小猴子各采了幾個桃子？

拓展4有兩個書架，如果從第一個書架拿出7本書放到第二個書架，兩個書架的書本數相等； 如果從第二個書架拿出12本書放到第一個書架，則第一個書架的書本數是第二個書架的書本數的2倍，每個書架原來各有幾本書？

和差問題

例1 一群松鼠共108只，在一起吃草莓，每只大松鼠分到15個草莓，每只小松鼠分到12個草

莓。草莓剛分完，小松鼠很快就把草莓吃完了，又要求再給每只小松鼠分3個草莓，每只大松鼠只得拿出3個草莓，滿足每只小松鼠再吃3個草莓的要求之后，還剩余24個草莓。這群松鼠一共有多少個草莓？

拓展1王亮期中考試語文和數學的平均分是94分，數學沒考好，語文比數學多8分。問：小明的語文和數學各得了多少分？

拓展2兩筐橘子共180千克，從甲筐中取出30千克放入乙筐，兩筐橘子的重量就相等了。原來兩筐中各有橘子多少千克？

拓展3四個人年齡之和是89歲，最小的是10歲，她與最大的年齡之和比另外兩個年齡之和大9歲，最大的年齡是幾歲？

拓展4某保險公司為獎勵工作成績好的職工，決定將4200元獎金分給三名優秀職工，已知第一名比第二名多的800元，第二名比第三名多得500元，三名優秀職工各得多少元獎金？

歸一問題

例1 四年級甲班六一兒童節去玄武湖劃船，全班分成A, B, C 三組，共租了11只船，租船費由三

個小組平攤。A 組先付了7只船的租金，B 組付了4只船的租金，C 組暫時沒付。第二天老師結算了一下，C 組應交22元。問：C 組交來的錢應該分別還給A，B組各多少？

例2 甲，乙兩地相距600千米，一列客車和一列貨車同時由甲地開往乙地，客車比貨車早到4個

小時，客車到達乙地時貨車行了400千米，客車的速度比貨車的速度快多少？

拓展1丁亞東在超市買6本練習本，共付12元，現在要買8本練習本應付多少元？若有26元錢，可以買幾本這樣的練習本？

拓展27只雞8天要喂飼料8400克，照這樣計算，有飼料720千克，可供應多少只雞吃12天？

拓展3某廠計劃做5120個零件，16個工人工作8小時完成了任務的一半，余下的任務要求在4小時內完成，至少要增加幾個工人？

拓展48個人每天工作8小時，4天內鋪修了長64米，寬20米的道路。問： 30人每天工作6小時，經過幾天才能普修一條長900米，寬20米的道路？

歸總問題

例1 學校食堂管理員去農貿市場買雞蛋，原計劃每千克6元的雞蛋買70千克，結果雞蛋價格下

調，用這筆錢多買了5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調后每千克是多少元？

例2 18人參加搬一堆磚的勞動，計劃8小時可以辦完，實際勞動2小時后，有6人被調走，余

下的磚還需要多少小時才能搬完？

拓展1電視機廠裝一批電視機，每天裝80臺，15天可完成任務，如果要提前3天完成，每天要多裝多少臺？

拓展2某廠每天節約煤76千克，如每6千克煤可發電13度，照這樣計算，該廠9月份節約的煤可發電多少度？

拓展3某車間計劃20人每天工作8小時，8天完成一批定貨，后來要提前交貨，改由32人工作，限4天內完成，每天需工作幾小時？

拓展4學?？倓仗帍埨蠋熑ド痰瓴少弻W生用練習本，練習本定價每本4元8角，帶去買1200本的錢。由于買的多，可以優惠，每本便宜了3角錢，張老師一共買回多少本練習本？

20植樹問題

例在一條拓寬新建的長240米的馬路兩旁各栽一行樹，起點和終點都栽一棵，一共栽了122棵樹，每相鄰兩棵樹之間距離相等。求：相鄰兩棵樹之間相隔多少米？

拓展1在一個正方形花圃四周放花盆，四個頂點都放一盆，每邊放了6盆，這個花圃共放了多少盆花？

拓展2一座樓房，每上一層要走18級臺階，王老師回家要走90級臺階，她家住幾樓？

拓展3 有36根粗木料，打算把每根鋸成5段，每鋸開一處，需要10分鐘。鋸木工人一天工作6小時，需要干幾天？

拓展4植樹節，同學們參加路邊種樹，每6棵樹間的距離是15米，照這樣計算，種15棵樹的距離是多少米？如果在原栽15棵樹的這段距離上，改成每隔2米栽一棵樹，可以栽多少棵樹？加減法的錯中求解

例1老師讓小林和小禾同算一道兩數相加的算術題，小林的732，計算正確，小禾的507，計算錯誤。小禾急忙檢查，發現算錯的原因是把其中一個加數的末尾的0漏掉了。你知道這兩個加數各是多少嗎？

例2小禾做減法算術題時，又由于粗心大意，把被減數個位上的1寫成7，把十位上得6寫成9，又把減數末尾的0寫成8，這樣算的差是247，正確的差應該是多少？

拓展1 小亞同學在做加法算術題時，把一個加數的個位與十位寫顛倒了，寫成了93，又把另一個加數的末尾0寫成8，這樣得到的和是141。這道題的正確答案應該是多少？

拓展2小磊同學在計算一道減法題時，把被減數末尾的8錯寫成6，把減數2558錯寫成2585，這樣得到的差是5321。正確的差應是多少？

拓展3小敏同學在計算試題（2400 – O）÷ 25 + 632 時,沒有注意算式里的括號,先用O里的數除以25,然后按加,減運算順序計算, 得數是3000, 他認為這個整千數的答案一定沒錯,就沒仔細檢查,結果這題扣了10分。這道題應該得多少呢？

拓展4小敏和小磊同做一道減法題，小敏的計算結果是9044，小磊的計算結果是1556.經驗算小敏的答案是對的，小磊由于把減數的末尾多寫了一個“0”，所以出錯。這道題中得被減數，減數各是多少？乘除法的錯中求解

例1小馬虎在計算除法算題時，把除數37寫成了73，結果得到商是10，還余47。請你幫忙算一算，正確的商應該是多少？

例2小馬虎在計算三位數乘三位數的試題時，又犯了粗心的毛病，把其中的一個乘數的個位數8錯當作3，乘得的結果是26010，實際的積應是26860。問：這兩個三位數各是多少？

拓展1一個數乘以5，小馬虎在抄題目時把乘號誤寫成加號，得到的結果是127，正確的積應該是多少？

拓展2小馬虎在計算除法時，把余數760末尾的 “0”漏寫了，結果得到的商80，正確的商應該是多少？

拓展3 在計算一道除數是三位數的除法算題時，由于漏寫除數十位數上的“0”，除數變成48，結果得到商是272。這道題正確的商應該是多少？

拓展4 東東在做兩位數乘兩位數的乘法題時，把一個乘數的個位數7看做9，乘得結果是2842，實際應為2646，這兩個乘數各是多少？

①

②

③

④

⑤

⑥

第五篇：金融數學4

價格向上變動的次數i為服從二項分布的隨機變量；價格向下變動的次數n?i也服從同樣的分布。因此我們說，價格過程服從二叉樹。對于n期二叉樹所有狀況的集合?，在每一個時段上漲或者下跌共有2個元素。例如，兩時段股票價格二叉樹如圖3?3所示；三時段二叉樹如圖3?4所示。

n

為簡單起見，假設在這兩個圖中，S(0)?1。

練習3.13 如果S(1)的可能值為87美元和76美元，S(2)的最大可能值為92美元，計算u和d。

練習3.14 假設在連續復合之下，無風險收益率為14%，時段?為1個月，S(0)?22美元，d??0.01，計算與條件3.2一致的S(2)的中間值的范圍。

練習3.15 假設28美元、32美元和x美元是S(2)可能值，計算x。假設股票價格服從二叉樹，你能畫出這棵樹嗎？畫法是否唯一？

練習3.16 假設股票價格服從二叉樹模型，S(2)的可能值是121美元、110美元和100美元。當S(0)?100美元時，計算u和d；當S(0)?104美元時，計算u和d。

3.2.1 風險中性概率

在二叉樹模型中，即使不知道股票未來的確切價值，也可以計算出股票的期望價格。然后可將這些期望價格與無風險投資進行比較。我們可以將這個簡單的思想應用于衍生證券（例如期權、遠期、期貨）中，這些應用是廣泛且令人驚奇的，我們將在以后各章研究這個問題。

首先，我們研究股票價格期望E(S(n))的動態變化。當n?1時，有

E(S(1))?pS(0)(1?u)?(1?p)S(0)(1?d)

?S(0)(1?E(K(1)))式中，E(K(1))?pu?(1?p)d

是單收益的期望，下面我們將其擴展到任意的n的情形。命題3.4 當n?0,1,2,?時，股票價格的期望為

nE(S(n))?S(0)(1?E(K(1)))

證明

因為單期收益K(1),K(2),?是不相關的，于是隨機變量1?K(1),1?K(2),?也是不相關的，由此得出

E(S(n))?E(S(0)(1?(K(1))(1?K(2))?(1?K(n)))

?S(0)E(1?K(1))E(1?K(2))?E(1?K(n))

?S(0)(1?E(K(1)))(1?E(K(2)))?(1?E(K(n)))

因為K(n)是同分布的，其期望相同，即

E(K(1))?E(K(2))???E(K(n))

于是我們就證明了E(S(n))的公式。

如果將S(0)的金額在時間0投資于無風險資產，n個時段以后，它將增長為S(0)(1?r)。顯然，要比較E(S(n))和S(0)(1?r)，我們只須比較E(K(1))和r 即可。

股票投資存在風險，因為價格S(n)預先是未知的。一個典型的風險厭惡的投資者要求E(K(1))?r，因為他認為應該有更高的回報作為對風險的補償。反之，當E(K(1))?r時，如

nn果收益高的非零概率很小，收益低的非零概率很大（典型的例子是彩票，其收益為負），對某些投資者而言仍然有吸引力，我們稱這樣的投資者是風險偏好者。我們將在第5章討論此問題，并給出風險的準確定義。市場的邊緣情況，此時E(K(1))?r，被認為是風險中性的。為方便起見，我們對風險中性引入特殊的概率符號p*以及相應的取數學期望的符號E*，滿足條件

E*(K(1))?p*u?(1?p*)d?r

（3.4）

由式（3.4）即可推導出 p*?r?du?d

我們稱p*為風險中性概率；E*為風險中性期望。弄清楚p* 是一個抽象的數學概念，它可以不等于市場的實際概率p很重要，即僅在風險中性的市場上有p?p*。風險中性概率p*甚至于可以與真實概率p沒有任何關系；當出于衍生證券估值目的時，我們假設合適的不是p而是p*。這是風險中性概率的重要應用，我們將在第8章中詳細討論。

練習3.17 令u?210和r?110，研究作為d的函數的p*的性質。

練習3.18時

證明當且僅當0?p*?1，d?r?u。條件（3.4）意味著

p*(u?r)?(1?p*)(d?r)?0

在幾何意義上，這意味著把二元組(p*,1?p*)看做是平面R中的向量，它垂直于坐

2標為(u?r,d?r)的向量。向量(u?r,d?r)表示如果投資者可能的收益或損失，如圖3——5所示。連接點（1，0）和（0，1）線上的所有點的坐標為(p,1?p)，其中0?p?1。這些點中的一個點對應于市場的真實概率，另一個點對應于風險中性概率。

風險中性概率的條件（3.4）的另一個含義如圖3——6所示。如果把質量p*和1?p*放在實軸上坐標為u和d的點上，那么質心在r。

3.2.2 鞅性質

由命題3.4可知，S(n)對于風險中性概率p*的期望為

E*(S(n))?S(0)(1?r)

（3.5）

因為r?E*(K(1))。例 3.6 考慮一個兩時段二叉樹模型，S(0)?1000美元，u?0.2，d??0.1，r?0.1。那么，p*?為風險中性概率，兩個時段之后，股票價格的數學期望為

E*(S(2))?S(0)(1?r)?1211（美元）2n23一個時段以后，股票價格上升和下降已知，我們要重新計算S(2)的期望。假設一個時段以后，股票價格上升到120美元，在這樣的情況下，可能狀況集合會簡化為S(1)?120美元的那些狀況，股票價格樹會簡化為3—7中的子樹。給定S(1)?1200美元，S(2)的風險中性2313期望將是 ?144??108?132 美元，等于120(1?r)。形式上，可以寫成給定S(1)?120美元，S(2)的條件期望【1】

E*(S(2)|S(1)?120)?120(1?r)

類似地，如果股票價格一個時段之后下降到90美元，則可能狀況集合就會簡化為S(1)?90 美元的那些狀況，股票價格樹會簡化為圖3—8所示的子樹。給定S(1)?90美

2313元，則S(2)的風險中性期望為?108??81?99，等于90(1?r)，這可以寫為

E*(S(2)|S(1)?90)?90(1?r)

根據上面的兩個公式，條件期望可以寫成一個公式，非常容易理解，即

E*(S(2)|S(1))?S(1)(1?r)

這個分析可擴展到二叉樹模型的任何階段。假設n時段已經過去，股票價格變為S(n)，則下一個時段以后，價格S(n?1)的風險中性期望是什么？

命題3.5 假設股票在時間n的價格S(n)是已知的，S(n?1)的風險中性條件期望是

E*(S(n?1)|S(n))?S(n)(1?r)證明

假設n時段之后S(n)?x，于是有

E*(S(n?1)|S(n)?x)?p*x(1?u)?(1?p*)x(1?d)

因為S(n?1)取值x(1?u)的概率為p*，取值x(1?d)的概率為1?p*，且由式（3.4）可知p*(1?u)?(1?p*)(1?d)?(1?r)，于是有

E*(S(n?1)|S(n)?x)?x(1?r)對S(n)的任意可能值x成立，證畢。

將命題3.5的等式的兩邊除以(1?r)~?nS(n)?S(n)(1?r)的重要結論。

n?1，我們就可以得到下面關于股票折現價格

推論 3.6（鞅性質）對任意的n?0, 1, 2?，有

E*(S(n?1)|S(n)?x)?S(n)

則股票的折現價格S(n)在風險中性概率之下會形成一個鞅，風險中性概率p*被認為是鞅概率。

練習3.19 假設r?0.2，在給定S(2)?110美元，計算S(3)的風險中性條件期望。~~~3.3 其他模型

在第一次閱讀時，本節可以跳過，因為本節的主要思想與本章中論述的模型無關。

3.3.1 三叉樹模型

二叉樹模型的一個自然推廣是將單時段收益K(n)的可能值的范圍