第一篇：2010屆高考數學總結精華版第十五章復數

高中數學第十五章 復數

考試內容：

復數的概念．

復數的加法和減法．

復數的乘法和除法．

數系的擴充．

考試要求：

（1）了解復數的有關概念及復數的代數表示和幾何意義．

（2）掌握復數代數形式的運算法則，能進行復數代數形式的加法、減法、乘法、除法運算．

（3）了解從自然數系到復數系的關系及擴充的基本思想．

§15.復 數知識要點

1.⑴復數的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.⑵復數及其相關概念：

① 復數—形如a + bi的數（其中a，b?R）；

② 實數—當b = 0時的復數a + bi，即a；

③ 虛數—當b?0時的復數a + bi；

④ 純虛數—當a = 0且b?0時的復數a + bi，即bi.⑤ 復數a + bi的實部與虛部—a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）⑥ 復數集C—全體復數的集合，一般用字母C表示.⑶兩個復數相等的定義：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.注：①若z1,z2為復數，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復數，而不是實數] 2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）

②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分條件.（當(a?b)2?i2，(b?c)2?1,(c?a)2?0時，上式成立）

2.⑴復平面內的兩點間距離公式：d?z1?z2.其中z1，z2是復平面內的兩點z1和z2所對應的復數，d表示z1和z2間的距離.由上可得：復平面內以z0為圓心，r為半徑的圓的復數方程：z?z0?r（r?0）.⑵曲線方程的復數形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程.②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程

（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）.④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.⑶絕對值不等式：

設z1，z2是不等于零的復數，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.②z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.3.共軛復數的性質：

z?zz1?z2?z1?z2

z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）z?z?|z|2?|z|2

z1?z2?z1?z2z1?z2?z1?z2

?z1??z2??z1??（z2?0）zn?(z)n ?z2?

n???z??z??z?...z(n?N)?

n注：兩個共軛復數之差是純虛數.（×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的] 4 ⑴①復數的乘方：z

②對任何z，z1,z2?C及m,n?N?有

③nzm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn?z12

42(i)?12注：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如i2??1,i4?1若由i?2?1就會得到?1?1的錯誤結論.②在實數集成立的|x|?x2.當x為虛數時，|x|?x2，所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.⑵常用的結論：

i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1

in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)

(1?i)2??2i,若

31?i1?i?i,??i 1?i1?i11?2是的2立n方n?1虛n?2數根，即????123i2，,?,1?????0,??????0(n?Z)則?? 1 ,??? ?.5.⑴復數z是實數及純虛數的充要條件：

①z?R?z?z.②若z?0，z是純虛數?z?z?0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同

一復數.特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：|z|?|z|.6.⑴復數的三角形式：z?r(cos??isin?).輻角主值：?適合于0≤?＜2?的值，記作argz.注：①z為零時，argz可取[0,2?)內任意值.②輻角是多值的，都相差2?的整數倍.③設a?R?,則arga?0,arg(?a)??,argai?

⑵復數的代數形式與三角形式的互化：

a?bi?r(cos??isin?)，r?a2?b2，cos???3,arg(?ai)??.22ab,sin??.rr

⑶幾類三角式的標準形式：

r(cos??isin?)?r[cos(??)?isin(??)]

?r(cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(?cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(sin??icos?)?r??)?isin(??)] 22

7.復數集中解一元二次方程：

在復數集內解關于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)時，應注意下述問題： ①當a,b,c?R時，若?＞0，則有二不等實數根x1,2?

根x1,2???b?；若?=0，則有二相等實數2a???b??|ib；若?＜0，則有二相等復數根x1,2?（x1,2為共軛復數）.2a2a

②當a,b,c不全為實數時，不能用?方程根的情況.③不論a,b,c為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.8.復數的三角形式運算：

r1(cos?1?isin?2)?r2(cos?2?isin?2)?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r1(cos?1?isin?2)r1?[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r2(cos?2?isin?2)r2

棣莫弗定理：[r(cos?

?isin?)]n?rn(cosn??isinn?)

第二篇：XX屆高考數學復數知識導航復習教案

XX屆高考數學復數知識導航復習教案

本資料為woRD文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址第十五章 復 數高考導航考試要求重難點擊命題展望

1.理解復數的基本概念、復數相等的充要條件.2.了解復數的代數表示法及其幾何意義.3.會進行復數代數形式的四則運算.了解復數的代數形式的加、減運算及其運算的幾何意義.4.了解從自然數系到復數系的關系及擴充的基本思想，體會理性思維在數系擴充中的作用.本章重點：1.復數的有關概念；2.復數代數形式的四則運算.本章難點：運用復數的有關概念解題.近幾年高考對復數的考查無論是試題的難度，還是試題在試卷中所占比例都是呈下降趨勢，常以選擇題、填空題形式出現，多為容易題.在復習過程中，應將復數的概念及運算放在首位.知識網絡15.1 復數的概念及其運算

典例精析

題型一 復數的概念【例1】如果復數是實數，則實數m＝

；在復平面內，復數對應的點位于第 象限；復數z＝3i＋1的共軛復數為＝

.【解析】＝m2－m＋i是實數?1＋m3＝0?m＝－1.因為＝＝1－i，所以在復平面內對應的點為，位于第四象限.因為z＝1＋3i，所以＝1－3i.【點撥】運算此類題目需注意復數的代數形式z＝a＋bi，并注意復數分為實數、虛數、純虛數，復數的幾何意義，共軛復數等概念.【變式訓練1】如果z＝為純虛數，則實數a等于A.0

B.－1

c.1

D.－1或1在復平面內，復數z＝對應的點位于A.第一象限

B.第二象限

c.第三象限

D.第四象限【解析】設z＝xi，x≠0，則xi＝?1＋ax－i＝0??或故選D.z＝＝＝－1－i，該復數對應的點位于第三象限.故選c.題型二 復數的相等【例2】已知復數z0＝3＋2i，復數z滿足z·z0＝3z＋z0，則復數z＝

；已知＝1－ni，其中m，n是實數，i是虛數單位，則m＋ni＝

；已知關于x的方程x2＋x＋2＋ki＝0有實根，則這個實根為

，實數k的值為

.【解析】設z＝x＋yi，又z0＝3＋2i，代入z·z0＝3z＋z0得＝3＋3＋2i，整理得＋i＝0，則由復數相等的條件得解得所以z＝1－.由已知得m＝＝＋i.則由復數相等的條件得所以m＋ni＝2＋i.設x＝x0是方程的實根，代入方程并整理得由復數相等的充要條件得解得或所以方程的實根為x＝或x＝－，相應的k值為k＝－2或k＝2.【點撥】復數相等須先化為z＝a＋bi的形式，再由相等得實部與實部相等、虛部與虛部相等.【變式訓練2】設i是虛數單位，若＝a＋bi，則a＋b的值是A.－

B.－2

c.2

D.若i＝b＋i，其中a，b∈R，i為虛數單位，則a＋b＝

.【解析】c.＝＝，于是a＋b＝＋＝2.3.2＋ai＝b＋i?a＝1，b＝2.題型三 復數的運算【例3】若復數z＝－＋i，則1＋z＋z2＋z3＋…＋zXX＝

；設復數z滿足z＋|z|＝2＋i，那么z＝

.【解析】由已知得z2＝－－i，z3＝1，z4＝－＋i＝z.所以zn具有周期性，在一個周期內的和為0，且周期為3.所以1＋z＋z2＋z3＋…＋zXX＝1＋z＋＋…＋＝1＋z＝＋i.設z＝x＋yi，則x＋yi＋＝2＋i，所以解得所以z＝＋i.【點撥】解時要注意x3＝1?＝0的三個根為1，ω，其中ω＝－＋i，＝－－i，則1＋ω＋ω2＝0，1＋＋2＝0，ω3＝1，3＝1，ω·＝1，ω2＝，2＝ω.解時要注意|z|∈R，所以須令z＝x＋yi.【變式訓練3】復數＋等于A.B.c.－

D.已知復數z＝＋XX，則復數z等于A.0

B.2

c.－2i

D.2i【解析】D.計算容易有＋＝.A.總結提高復數的代數運算是重點，是每年必考內容之一，復數代數形式的運算：①加減法按合并同類項法則進行；②乘法展開、除法須分母實數化.因此，一些復數問題只需設z＝a＋bi代入原式后，就可以將復數問題化歸為實數問題來解決.第十六章 幾何證明選講高考導航考試要求重難點擊命題展望

1.了解平行線截割定理.2.會證明并應用直角三角形射影定理.3.會證明并應用圓周角定理，圓的切線的判定定理及性質定理，并會運用它們進行計算與證明.4.會證明并應用相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理，并會運用它們進行幾何計算與證明.5.了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關系了解平行投影；會證明平面與圓柱面的截線是橢圓.6.了解下面的定理.定理：在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于點o，其夾角為α，l′圍繞l旋轉得到以o為頂點，l′為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l的交角為β，則：①β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓；②β＝α，平面π與圓錐的交線為拋物線；③β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線.7.會利用丹迪林雙球證明上述定理①的情形：當β＞α時，平面π與圓錐的交線為橢圓.8.會證明以下結果：①在7.中，一個丹迪林球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行.記這個圓所在的平面為π′.②如果平面π與平面π′的交線為m，在6.①中橢圓上任取點A，該丹迪林球與平面π的切點為F，則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是小于1的常數e.9.了解定理6.③中的證明，了解當β無限接近α時，平面π的極限結果.本章重點：相似三角形的判定與性質，與圓有關的若干定理及其運用，并將其運用到立體幾何中.本章難點：對平面截圓柱、圓錐所得的曲線為圓、橢圓、雙曲線、拋物線的證明途徑與方法，它是解立體幾何、平面幾何知識的綜合運用，應較好地把握.本專題強調利用演繹推理證明結論，通過推理證明進一步發展學生的邏輯推理能力，進一步提高空間想象能力、幾何直觀能力和綜合運用幾何方法解決問題的能力.第一講與第二講是傳統內容，高考中主要考查平行線截割定理、直角三角形射影定理以及與圓有關的性質和判定，考查邏輯推理能力.第三講內容是新增內容，在新課程高考下，要求很低，只作了解.知識網絡

6.1 相似三角形的判定及有關性質 典例精析題型一 相似三角形的判定與性質【例1】如圖，已知在△ABc中，D是Bc邊的中點，且AD＝Ac，DE⊥Bc，DE與AB相交于點E，Ec與AD相交于點F.求證：△ABc∽△FcD；若S△FcD＝5，Bc＝10，求DE的長.【解析】因為DE⊥Bc，D是Bc的中點，所以EB＝Ec，所以∠B＝∠1.又因為AD＝Ac，所以∠2＝∠AcB.所以△ABc∽△FcD.過點A作Am⊥Bc，垂足為點m.因為△ABc∽△FcD，Bc＝2cD，所以＝2＝4，又因為S△FcD＝5，所以S△ABc＝20.因為S△ABc＝Bc·Am，Bc＝10，所以20＝×10×Am，所以Am＝4.又因為DE∥Am，所以＝，因為Dm＝Dc＝，Bm＝BD＋Dm，BD＝Bc＝5，所以＝，所以DE＝.【變式訓練1】如右圖，在△ABc中，AB＝14cm，＝，DE∥Bc，cD⊥AB，cD＝12cm.求△ADE的面積和周長.【解析】由AB＝14cm，cD＝12cm，cD⊥AB，得S△ABc＝84cm2.再由DE∥Bc可得△ABc∽△ADE.由＝2可求得S△ADE＝cm2.利用勾股定理求出Bc，Ac，再由相似三角形性質可得△ADE的周長為15cm.題型二 探求幾何結論【例2】如圖，在梯形ABcD中，點E，F分別在AB，cD上，EF∥AD，假設EF做上下平行移動.若＝，求證：3EF＝Bc＋2AD；若＝，試判斷EF與Bc，AD之間的關系，并說明理由；請你探究一般結論，即若＝，那么你可以得到什么結論？【解析】過點A作AH∥cD分別交EF，Bc于點G、H.因為＝，所以＝，又EG∥BH，所以＝＝，即3EG＝BH，又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，從而EF＝＋AD，所以EF＝Bc＋AD，即3EF＝Bc＋2AD.EF與Bc，AD的關系式為5EF＝2Bc＋3AD，理由和類似.因為＝，所以＝，又EG∥BH，所以＝，即EG＝BH.EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝＋AD，所以EF＝Bc＋AD，即EF＝mBc＋nAD.【點撥】在相似三角形中，平行輔助線是常作的輔助線之一；探求幾何結論可按特殊到一般的思路去獲取，但結論證明應從特殊情況得到啟迪.【變式訓練2】如右圖，正方形ABcD的邊長為1，P是cD邊上中點，點Q在線段Bc上，設BQ＝k，是否存在這樣的實數k，使得以Q，c，P為頂點的三角形與△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.【解析】設存在滿足條件的實數k，則在正方形ABcD中，∠D＝∠c＝90°，由Rt△ADP∽Rt△QcP或Rt△ADP∽Rt△PcQ得＝或＝，由此解得cQ＝1或cQ＝.從而k＝0或k＝.題型三 解決線的位置或數量關系【例3】如圖，在四邊形ABcD中，△ABc△BAD，求證：AB∥cD.【證明】由△ABc≌△BAD得∠AcB＝∠BDA，所以A、B、c、D四點共圓，所以∠cAB＝∠cDB.再由△ABc≌△BAD得∠cAB＝∠DBA，所以∠DBA＝∠cDB，即AB∥cD.【變式訓練3】如圖，AA1與BB1相交于點o，AB∥A1B1且AB＝A1B1，△AoB的外接圓的直徑為1，則△A1oB1的外接圓的直徑為

.【解析】因為AB∥A1B1且AB＝A1B1，所以△AoB∽△A1oB1因為兩三角形外接圓的直徑之比等于相似比.所以△A1oB1的外接圓直徑為2.總結提高1.相似三角形的判定與性質這一內容是平面幾何知識的重要組成部分，是解題的工具，同時它的內容滲透了等價轉化、從一般到特殊、分類討論等重要的數學思想與方法，在學習時應以它們為指導.相似三角形的證法有：定義法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.相似三角形的性質主要有對應線的比值相等，對應角相等，面積的比等于相似比的平方.2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行輔助線是常作的輔助線之一，遇到困難時應常考慮此類輔助線.16.2 直線與圓的位置關系和圓錐曲線的性質典例精析題型一 切線的判定和性質的運用【例1】如圖，AB是⊙o的直徑，Ac是弦，∠BAc的平分線AD交⊙o于點D，DE⊥Ac，交Ac的延長線于點E，oE交AD于點F.求證：DE是⊙o的切線；若＝，求的值.【解析】證明：連接oD，可得∠oDA＝∠oAD＝∠DAc，所以oD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥oD，又oD為半徑，所以DE是⊙o的切線.過D作DH⊥AB于H，則有∠DoH＝∠cAB，＝cos∠DoH＝cos∠cAB＝＝，設oD＝5x，則AB＝10x，oH＝2x，所以AH＝7x.由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x，又由△AEF∽△DoF可得AF∶DF＝AE∶oD＝，所以＝.【變式訓練1】已知在直角三角形ABc中，∠AcB＝90°，以Bc為直徑的⊙o交AB于點D，連接Do并延長交Ac的延長線于點E，⊙o的切線DF交Ac于點F.求證：AF＝cF；若ED＝4，sin∠E＝，求cE的長.【解析】方法一：設線段FD延長線上一點G，則∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDo＝，所以∠ADF＋∠BDo＝，又因為在⊙o中oD＝oB，∠BDo＝∠oBD，所以∠ADF＋∠oBD＝.在Rt△ABc中，∠A＋∠cBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD.又在Rt△ABc中，直角邊Bc為⊙o的直徑，所以Ac為⊙o的切線，又FD為⊙o的切線，所以FD＝cF.所以AF＝cF.方法二：在直角三角形ABc中，直角邊Bc為⊙o的直徑，所以Ac為⊙o的切線，又FD為⊙o的切線，所以FD＝cF，且∠FDc＝∠FcD.又由Bc為⊙o的直徑可知，∠ADF＋∠FDc＝，∠A＋∠FcD＝，所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF.所以AF＝cF.因為在直角三角形FED中，ED＝4，sin∠E＝，所以cos∠E＝，所以FE＝5.又FD＝3＝Fc，所以cE＝2.題型二 圓中有關定理的綜合應用【例2】如圖所示，已知⊙o1與⊙o2相交于A、B兩點，過點A作⊙o1的切線交⊙o2于點c，過點B作兩圓的割線，分別交⊙o1、⊙o2于點D、E，DE與Ac相交于點P.求證：AD∥Ec；若AD是⊙o2的切線，且PA＝6，Pc＝2，BD＝9，求AD的長.【解析】連接AB，因為Ac是⊙o1的切線，所以∠BAc＝∠D，又因為∠BAc＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥Ec.方法一：因為PA是⊙o1的切線，PD是⊙o1的割線，所以PA2＝PB·PD，所以62＝PB·，所以PB＝3.在⊙o2中，由相交弦定理得PA·Pc＝BP·PE，所以PE＝4.因為AD是⊙o2的切線，DE是⊙o2的割線，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.方法二：設BP＝x，PE＝y.因為PA＝6，Pc＝2，所以由相交弦定理得PA·Pc＝BP·PE，即xy＝12.①因為AD∥Ec，所以＝，所以＝.②由①②可得或，所以DE＝9＋x＋y＝16.因為AD是⊙o2的切線，DE是⊙o2的割線，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.【變式訓練2】如圖，⊙o的直徑AB的延長線與弦cD的延長線相交于點P，E為⊙o上一點，DE交AB于點F，且AB＝2BP＝4.求PF的長度；若圓F與圓o內切，直線PT與圓F切于點T，求線段PT的長度.【解析】連接oc，oD，oE，由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關系，結合題中已知條件可得∠cDE＝∠Aoc.又∠cDE＝∠P＋∠PFD，∠Aoc＝∠P＋∠ocP，從而∠PFD＝∠ocP，故△PFD∽△Pco，所以＝.由割線定理知Pc·PD＝PA·PB＝12，故PF＝＝＝3.若圓F與圓o內切，設圓F的半徑為r，因為oF＝2－r＝1，即r＝1，所以oB是圓F的直徑，且過點P的圓F的切線為PT，則PT2＝PB·Po＝2×4＝8，即PT＝2.題型三 四點共圓問題【例3】如圖，圓o與圓P相交于A、B兩點，圓心P在圓o上，圓o的弦Bc切圓P于點B，cP及其延長線交圓P于D，E兩點，過點E作EF⊥cE，交cB的延長線于點F.求證：B、P、E、F四點共圓；若cD＝2，cB＝2，求出由B、P、E、F四點所確定的圓的直徑.【解析】證明：連接PB.因為Bc切圓P于點B，所以PB⊥Bc.又因為EF⊥cE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，所以B，P，E，F四點共圓.因為B，P，E，F四點共圓，且EF⊥cE，PB⊥Bc，所以此圓的直徑就是PF.因為Bc切圓P于點B，且cD＝2，cB＝2，所以由切割線定理cB2＝cD·cE，得cE＝4，DE＝2，BP＝1.又因為Rt△cBP∽Rt△cEF，所以EF∶PB＝cE∶cB，得EF＝.在Rt△FEP中，PF＝＝，即由B，P，E，F四點確定的圓的直徑為.【變式訓練3】如圖，△ABc是直角三角形，∠ABc＝90°.以AB為直徑的圓o交Ac于點E，點D是Bc邊的中點.連接oD交圓o于點m.求證：o，B，D，E四點共圓；2DE2＝Dm·Ac＋Dm·AB.【證明】連接BE，則BE⊥Ec.又D是Bc的中點，所以DE＝BD.又oE＝oB，oD＝oD，所以△oDE≌△oDB，所以∠oBD＝∠oED＝90°，所以D，E，o，B四點共圓.延長Do交圓o于點H.因為DE2＝Dm·DH＝Dm·＝Dm·Do＋Dm·oH＝Dm·＋Dm·，所以2DE2＝Dm·Ac＋Dm·AB.總結提高1.直線與圓的位置關系是一種重要的幾何關系.本章在初中平面幾何的基礎上加以深化，使平面幾何知識趨于完善，同時為解析幾何、立體幾何提供了多個理論依據.2.圓中的角如圓周角、圓心角、弦切角及其性質為證明相關的比例線段提供了理論基礎，為解決綜合問題提供了方便，使學生對幾何概念和幾何方法有較透徹的理解.第十七章 坐標系與參數方程高考導航 考試要求重難點擊命題展望

一、坐標系1.了解在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，理解坐標系的作用.2.了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.3.能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化.4.能在極坐標系中給出簡單圖形的方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義.5.了解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間點的位置的方法，并與空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法相比較，體會它們的區別.二、參數方程1.了解參數方程，了解參數的意義.2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質，選擇適當的參數寫出它們的參數方程.3.了解平擺線和漸開線的生成過程，并能寫出它們的參數方程.4.了解其他擺線的生成過程；了解擺線在實際中應用的實例；了解擺線在刻畫行星運動軌道中的作用.本章重點：1.根據問題的幾何特征選擇坐標系；坐標法思想；平面直角坐標系中的伸縮變換；極坐標系；直線和圓的極坐標方程.2.根據問題的條件引進適當的參數，寫出參數方程，體會參數的意義；分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質，選擇適當的參數寫出它們的參數方程.本章難點：1.對伸縮變換中點的對應關系的理解；極坐標的不唯一性；曲線的極坐標方程.2.根據幾何性質選取恰當的參數，建立曲線的參數方程.坐標系是解析幾何的基礎，為便于用代數的方法研究幾何圖形，常需建立不同的坐標系，以便使建立的方程更加簡單，參數方程是曲線在同一坐標系下不同于普通方程的又一種表現形式.某些曲線用參數方程表示比用普通方程表示更加方便.本專題要求通過坐標系與參數方程知識的學習，使學生更全面地理解坐標法思想；能根據曲線的特點，選取適當的曲線方程表示形式，體會解決問題中數學方法的靈活性.高考中，參數方程和極坐標是本專題的重點考查內容.對于柱坐標系、球坐標系，只要求了解即可.知識網絡17.1 坐標系典例精析題型一 極坐標的有關概念【例1】已知△ABc的三個頂點的極坐標分別為A，B，c，試判斷△ABc的形狀，并求出它的面積.【解析】在極坐標系中，設極點為o，由已知得∠AoB＝，∠Boc＝，∠Aoc＝.又|oA|＝|oB|＝5，|oc|＝4，由余弦定理得|Ac|2＝|oA|2＋|oc|2－2|oA|·|oc|·cos∠Aoc＝52＋2－2×5×4·cos＝133，所以|Ac|＝.同理，|Bc|＝.所以|Ac|＝|Bc|，所以△ABc為等腰三角形.又|AB|＝|oA|＝|oB|＝5，所以AB邊上的高h＝＝，所以S△ABc＝××5＝.【點撥】判斷△ABc的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，所以先計算邊長.【變式訓練1】點A在條件：①ρ＞0，θ∈下極坐標為

，②ρ＜0，θ∈下極坐標為

；點P與曲線c：ρ＝cos的位置關系是

.【解析】；.點P在曲線c上.題型二 直角坐標與極坐標的互化【例2】⊙o1和⊙o2的極坐標方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.把⊙o1和⊙o2的極坐標方程化為直角坐標方程；求經過⊙o1和⊙o2交點的直線的直角坐標方程.【解析】以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標系，且兩坐標系取相同單位長.因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0為⊙o1的直角坐標方程.同理，x2＋y2＋4y＝0為⊙o2的直角坐標方程.由解得或即⊙o1，⊙o2的交點為和兩點，故過交點的直線的直角坐標方程為x＋y＝0.【點撥】互化的前提條件：原點對應著極點，x軸正向對應著極軸.將互化公式代入，整理可以得到.【變式訓練2】在極坐標系中，設圓ρ＝3上的點到直線ρ＝2的距離為d，求d的最大值.【解析】將極坐標方程ρ＝3化為普通方程x2＋y2＝9，ρ＝2可化為x＋y＝2.在x2＋y2＝9上任取一點A，則點A到直線的距離為d＝＝，它的最大值為4.題型三 極坐標的應用【例3】過原點的一動直線交圓x2＋2＝1于點Q，在直線oQ上取一點P，使P到直線y＝2的距離等于|PQ|，用極坐標法求動直線繞原點一周時點P的軌跡方程.【解析】以o為極點，ox為極軸，建立極坐標系，如右圖所示，過P作PR垂直于直線y＝2，則有|PQ|＝|PR|.設P，Q，則有ρ0＝2sinθ.因為|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsinθ|＝|ρ－2sinθ|，所以ρ＝±2或sinθ＝±1，即為點P的軌跡的極坐標方程，化為直角坐標方程為x2＋y2＝4或x＝0.【點撥】用極坐標法可使幾何中的一些問題得到很直接、簡單的解法，但在解題時關鍵是極坐標要選取適當，這樣可以簡化運算過程，轉化為直角坐標時也容易一些.【變式訓練3】如圖，點A在直線x＝5上移動，等腰△oPA的頂角∠oPA為120°，求點P的軌跡方程.【解析】取o為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標系，則直線x＝5的極坐標方程為ρcosθ＝5.設A，P，因為點A在直線ρcosθ＝5上，所以ρ0cosθ0＝5.①因為△oPA為等腰三角形，且∠oPA＝120°，而|oP|＝ρ，|oA|＝ρ0以及∠PoA＝30°，所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得點P的軌跡的極坐標方程為ρcos＝5.題型四平面直角坐標系中坐標的伸縮變換【例4】定義變換T：可把平面直角坐標系上的點P變換成點P′.特別地，若曲線m上一點P經變換公式T變換后得到的點P′與點P重合，則稱點P是曲線m在變換T下的不動點.若橢圓c的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且焦距為2，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2.求橢圓c的標準方程，并求出當tanθ＝時，其兩個焦點F1、F2經變換公式T變換后得到的點F1′和F2′的坐標；當tanθ＝時，求中的橢圓c在變換T下的所有不動點的坐標.【解析】設橢圓c的標準方程為＋＝1，由橢圓定義知焦距2c＝2?c＝，即a2－b2＝2.①又由已知得a2＋b2＝4，②故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.即橢圓c的標準方程為＋y2＝1，且橢圓c兩個焦點的坐標分別為F1和F2.對于變換T：當tanθ=時，可得設F1′和F2′分別是由F1和F2的坐標經變換公式T變換得到.于是即F1′的坐標為；又即F2′的坐標為.設P是橢圓c在變換T下的不動點，則當tanθ＝時，有?x＝3y，由點P∈c，即P∈c，得＋y2＝1?因而橢圓c的不動點共有兩個，分別為和.【變式訓練4】在直角坐標系中，直線x－2y＝2經過伸縮變換

后變成直線2x′－y′＝4.【解析】總結提高1.平面內一個點的極坐標有無數種表示方法.如果規定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標表示；反之也成立.2.熟練掌握幾種常用的極坐標方程，特別是直線和圓的極坐標方程.17.2 參數方程典例精析題型一 參數方程與普通方程互化【例1】把下列參數方程化成普通方程：

；

.【解析】所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.由題意可得所以①2－②2得－＝4，所以－＝1，其中x＞0.【變式訓練1】把下列參數方程化為普通方程，并指出曲線所表示的圖形.【解析】x2＝2，－≤x≤，圖形為一段拋物線弧.x＝1，y≤－2或y≥2，圖形為兩條射線.x2＋y2－3y＝0，圖形是一個圓，但是除去點.－＝1，圖形是雙曲線.題型二 根據直線的參數方程求弦長【例2】已知直線l的參數方程為，曲線c的極坐標方程為ρ2cos2θ＝1.求曲線c的普通方程；求直線l被曲線c截得的弦長.【解析】由曲線c：ρ2cos2θ＝ρ2＝1，化成普通方程為x2－y2＝1.①方法一：把直線參數方程化為標準參數方程.②把②代入①得2－2＝1，整理得t2－4t－6＝0.設其兩根為t1，t2，則t1＋t2＝4，t1t2＝－6.從而弦長為|t1－t2|＝＝＝＝2.方法二：把直線的參數方程化為普通方程為y＝，代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.設l與c交于A，B，則x1＋x2＝6，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝2.【變式訓練2】在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為，若以o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線c的極坐標方程為ρ＝cos，求直線l被曲線c所截的弦長.【解析】將方程化為普通方程為3x＋4y＋1＝0.將方程ρ＝cos化為普通方程為x2＋y2－x＋y＝0.表示圓心為，半徑為r＝的圓，則圓心到直線的距離d＝，弦長＝2＝2＝.題型三 參數方程綜合運用【例3】已知曲線c1：

，c2：

.化c1，c2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；若c1上的點P對應的參數為t＝，Q為c2上的動點，求PQ中點m到直線c3：距離的最小值.【解析】c1：2＋2＝1，c2：＋＝1.c1是以為圓心，1為半徑的圓；c2是以坐標原點為中心，焦點在x軸，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓.當t＝時，P，Q，故m.c3為直線x－2y－7＝0，m到c3的距離d＝|4cosθ－3sinθ－13|，從而cosθ＝，sinθ＝－時，d取最小值.【變式訓練3】在平面直角坐標系xoy中，曲線c1的參數方程為，以坐標原點o為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，得曲線c2的極坐標方程為ρ＝2cosθ－4sinθ.化曲線c1、c2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；設曲線c1與x軸的一個交點的坐標為P，經過點P作曲線c2的切線l，求切線l的方程.【解析】曲線c1：＋＝1；曲線c2：2＋2＝5.曲線c1為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是4，短半軸長是2的橢圓；曲線c2為圓心為，半徑為的圓.曲線c1：＋＝1與x軸的交點坐標為和，因為m＞0，所以點P的坐標為.顯然切線l的斜率存在，設為k，則切線l的方程為y＝k.由曲線c2為圓心為，半徑為的圓得＝，解得k＝，所以切線l的方程為y＝.總結提高1.在參數方程與普通方程互化的過程中，要保持化簡過程的同解變形，避免改變變量x，y的取值范圍而造成錯誤.2.消除參數的常用方法有：①代入消參法；②三角消參法；③根據參數方程的特征，采用特殊的消參手段.3.參數的方法在求曲線的方程等方面有著廣泛的應用，要注意合理選參、巧妙消參.

第三篇：高考數學基礎知識總結：第15章_復數（推薦）

高中數學第十五章 復數

考試內容：

復數的概念．

復數的加法和減法．

復數的乘法和除法．

數系的擴充．

考試要求：

（1）了解復數的有關概念及復數的代數表示和幾何意義．

（2）掌握復數代數形式的運算法則，能進行復數代數形式的加法、減法、乘法、除法運算．

（3）了解從自然數系到復數系的關系及擴充的基本思想．

§15.復 數知識要點

1.⑴復數的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.⑵復數及其相關概念：

① 復數—形如a + bi的數（其中a，b?R）；

② 實數—當b = 0時的復數a + bi，即a；

③ 虛數—當b?0時的復數a + bi；

④ 純虛數—當a = 0且b?0時的復數a + bi，即bi.⑤ 復數a + bi的實部與虛部—a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）⑥ 復數集C—全體復數的集合，一般用字母C表示.⑶兩個復數相等的定義：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.注：①若z1,z2為復數，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復數，而不是實數] 2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）

②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分條件.（當(a?b)2?i2，(b?c)2?1,(c?a)2?0時，上式成立）

2.⑴復平面內的兩點間距離公式：d?z1?z2.其中z1，z2是復平面內的兩點z1和z2所對應的復數，d表示z1和z2間的距離.由上可得：復平面內以z0為圓心，r為半徑的圓的復數方程：z?z0?r（r?0）.⑵曲線方程的復數形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程.②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）.④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.⑶絕對值不等式：

設z1，z2是不等于零的復數，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.②z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.3.共軛復數的性質：

z?zz1?z2?z1?z2

z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）z?z?|z|2?|z|2

z1?z2?z1?z2z1?z2?z1?z2

?z1??z2??z1??（z2?0）zn?(z)n ?z2?

注：兩個共軛復數之差是純虛數.（×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]⑴①復數的乘方：zn??z??z??z?...z(n?N?)?

n

②對任何z，z1,z2?C及m,n?N?有

③nzm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn?z12

注：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如i2??1,i4?1若由i?21142(i)?12?1就會得到?1?1的錯誤結論.②在實數集成立的|x|?x2.當x為虛數時，|x|?x2，所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.⑵常用的結論：

i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1

in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)

(1?i)2??2i,若1?i1?i?i,??i 1?i1?i1

1?是的立方虛數根，即????

則.5.⑴復數z是實數及純虛數的充要條件： ①z?R?z?z.②若z?0，z是純虛數?z?z?0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數.特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：|z|?|z|.6.⑴復數的三角形式：z?r(cos??isin?).輻角主值：?適合于0≤?＜2?的值，記作argz.注：①z為零時，argz可取[0,2?)內任意值.②輻角是多值的，都相差2?的整數倍.③設a?R?,則arga?0,arg(?a)??,argai?

⑵復數的代數形式與三角形式的互化： ?3?1,?2??,??,1????2?0,?n??n?1??n?2?0(n?Z)123i2，?3,arg(?ai)??.22

a?bi?r(cos??isin?)，r?a2?b2，cos??ab,sin??.rr

⑶幾類三角式的標準形式：

r(cos??isin?)?r[cos(??)?isin(??)]

?r(cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(?cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]

r(sin??icos?)?r??)?isin(??)] 22

7.復數集中解一元二次方程：

在復數集內解關于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)時，應注意下述問題： ①當a,b,c?R時，若?＞0，則有二不等實數根x1,2?

x1,2???b??；若?=0，則有二相等實數根2a???b??|ib；若?＜0，則有二相等復數根x1,2?（x1,2為共軛復數）.2a2a

②當a,b,c不全為實數時，不能用?方程根的情況.③不論a,b,c為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.8.復數的三角形式運算：

r1(cos?1?isin?2)?r2(cos?2?isin?2)?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r1(cos?1?isin?2)r1?[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r2(cos?2?isin?2)r2

棣莫弗定理：[r(cos?

?isin?)]n?rn(cosn??isinn?)

第四篇：高考數學回歸課本教案：復數

高考數學回歸課本教案

整理：盧立臻 第十五章 復數

一、基礎知識

21．復數的定義：設i為方程x=-1的根，i稱為虛數單位，由i與實數進行加、減、乘、除等運算。便產生形如a+bi（a,b∈R）的數，稱為復數。所有復數構成的集合稱復數集。通常用C來表示。2．復數的幾種形式。對任意復數z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數形式，它由實部、虛部兩部分構成；若將(a,b)作為坐標平面內點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數集與坐標平面內所有的點構成的集合之間的一一映射。因此復數可以用點來表示，表示復數的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數z又對應唯一一個向量。因此坐標平面內的向量也是復數的一種表示形式，稱為向量形式；另外設z對應復平面內的點Z，見圖15-1，連接OZ，設∠xOZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=a2?b2.如果用e表示cosθ+isinθ，則z=re，iθ

iθ稱為復數的指數形式。

3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則z?a-bi稱為z的共軛復數。模與共軛的性質有：

?z1（1）z1?z2?z1?z2；（2）z1?z2?z1?z2；（3）z?z?|z|；（4）??z?22?z1?；（5）???z2（6）||z1?z2|?|z1|?|z2|；22

22z1|z1|；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|?z2|z2|1。z|z1+z2|+|z1-z2|=2|z1|+2|z2|；（9）若|z|=1，則z?4．復數的運算法則：（1）按代數形式運算加、減、乘、除運算法則與實數范圍內一致，運算結果可以通過乘以共軛復數將分母分為實數；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若z2?0,z1r1[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ?z2r22)]，用指數形式記為z1z2=r1r2e

i(θ1+θ2),z1r1i(?1??2)?e.z2r2n5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ).n6.開方：若w?r(cosθ+isinθ)，則w?nn

r(cos??2k?n?isin??2k?n)，k=0,1,2,?,n-1。

[cos(?2??)?isin(?2??)]n?cosn(?2??)?isin(?2??)?cos(?2?n?)?isin(?2?n?)，所以n=4k+1.又因為0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個。4．二項式定理的應用。

02410013599例5 計算：（1）C100；（2）C100 ?C100?C100???C100?C100?C100???C100[解](1+i)=[(1+i)]=(2i)=-2,=1002505050

由二項式定理(1+i)=)+（***00C100?C100i?C100i???C100i?C100i024100(C100?C100?C100???C***9)i，比較實部和虛部，得C100=-2，?C100?C100???C100C100?C100?C100???C10013599=0。C100?C100?C100???C1005．復數乘法的幾何意義。

例6 以定長線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點為定點。

[證明] 設|BC|=2a，以BC中點O為原點，BC為x軸，建立直角坐標系，確定復平面，則B，C對應的復數為-a,a,點A，M，N對應的復數為z1,z2,z3,CA?z1?a,BA?z1?a，由復數乘法的幾何意義得：CN?z3?a??i(z1?a)，①BM?z2?a??i(z1?a)，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設MN的中點為P，對應的復數z=

z2?z3?ai,為2定值，所以MN的中點P為定點。

例7 設A，B，C，D為平面上任意四點，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。

[證明] 用A，B，C，D表示它們對應的復數，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因為|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立當且僅當Arg(B?AB?CD?AB?C)?Arg()，即Arg()?Arg()=π，即A，B，C，D共圓D?AC?DB?AD?C時成立。不等式得證。6．復數與軌跡。

例8 ΔABC的頂點A表示的復數為3i，底邊BC在實軸上滑動，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。

[解]設外心M對應的復數為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點對應的復數分別是b,b+2.因為外心M是三邊垂直平分線的交點，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點M對應的復數z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得4x2?6(y?).3所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。7．復數與三角。

例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。[證明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則

[證明] 以P為原點建立復平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對應的復數，由題設及復數乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取Q?三角形；又由C-Q=i(B-Q)得

C?iB，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角1?iDA?Q?i(?Q)，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直ii角三角形且以Q為直角頂點。綜上命題得證。

例14平面上給定ΔA1A2A3及點p0，定義As=As-3,s≥4，構造點列p0,p1,p2,?,使得pk+1為繞0中心Ak+1順時針旋轉120時pk所到達的位置，k=0,1,2,?,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。[證明] 令u=ei?3，由題設，約定用點同時表示它們對應的復數，取給定平面為復平面，則p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, 22①×u+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+uA1)+p0=w+p0,w為與p0無關的常數。同理得

22p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+uA1=0.由u=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說明ΔA1A2A3為正三角形。

三、基礎訓練題

221．滿足(2x+5x+2)+(y-y-2)i=0的有序實數對(x,y)有__________組。2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-

100=__________。z3.復數z滿足|z|=5，且(3+4i)?z是純虛數，則z?__________。4．已知z??21?3i，則1+z+z+?+z

2199

2=__________。

5.設復數z使得z?1?的一個輻角的絕對值為，則z輻角主值的取值范圍是__________。z?266．設z,w,λ∈C,|λ|≠1，則關于z的方程z-Λz=w的解為z=__________。

1?x1?x2?arcsin?__________。7.設0

??29．若a,b,c∈C,則a+b>c是a+b-c>0成立的__________條件。

2210．已知關于x的實系數方程x-2x+2=0和x+2mx+1=0的四個不同的根在復平面上對應的點共圓，則m取值的集合是__________。

211．二次方程ax+x+1=0的兩根的模都小于2，求實數a的取值范圍。12．復平面上定點Z0，動點Z1對應的復數分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，①另一個動點Z對應的復數z滿足z1?z=-1，②求點Z的軌跡，并指出它在復平面上的形狀和位置。

13．N個復數z1,z2,?,zn成等比數列，其中|z1|≠1，公比為q,|q|=1且q≠±1,復數222222

?|z1|?|z2|?|z3|?1,?zz?z13.給定實數a,b,c,已知復數z1,z2,z3滿足?1?2?3?1,求

?z2z3z1|az1+bz2+cz3|的值。

三、聯賽一試水平訓練題 1．已知復數z滿足|2z?1|?1.則z的輻角主值的取值范圍是__________。z2．設復數z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復數z,(1+i)z，2z在復平面上對應的三個點分別是P，Q，R，當P，Q，R不共線時，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個頂點為S，則S到原點距離的最大值為__________。3．設復平面上單位圓內接正20邊形的20個頂點所對應的復數依次為z1,z2,?,z20,則復數1995z1,z1995,?,z1995220所對應的不同點的個數是__________。

4．已知復數z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為__________。5．設w??130z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對應復平面上的點A，B，點O為原點，∠AOB=90，?i，22|AO|=|BO|，則ΔOAB面積是__________。6．設w?cos?5?isinm?5n，則(x-w)(x-w)(x-w)(x-w)的展開式為__________。

3797．已知(3?i)=(1+i)(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。

8．復平面上，非零復數z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z1?z2的實部為零，z1的輻角主值為?，則z2=__________。63?i7)?1]n的值中有實數__________個。29.當n∈N,且1≤n≤100時，[(10．已知復數z1,z2滿足

z2z1??7?，且Argz1?，Argz2?，Argz3??，則

368z1z2Argz1?z2的值是__________。z318

4811．集合A={z|z=1},B={w|w=1},C={zw|z∈A,w∈B}，問：集合C中有多少個不同的元素？ 12．證明：如果復數A的模為1，那么方程(1?ixn)?A的所有根都是不相等的實根（n1?ix∈N+）.13.對于適合|z|≤1的每一個復數z，要使0<|αz+β|<2總能成立，試問：復數α，β應滿足什么條件？

六、聯賽二試水平訓練題

第五篇：近五年高考數學真題分類03 復數

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

三、復數

一、單選題

1．（2021·全國）已知，則（）

A．

B．

C．

D．

2．（2021·浙江）已知，(i為虛數單位)，則（）

A．

B．1

C．

D．3

3．（2021·全國（文））已知，則（）

A．

B．

C．

D．

4．（2021·全國（理））設，則（）

A．

B．

C．

D．

5．（2021·全國（文））設，則（）

A．

B．

C．

D．

6．（2020·海南）=（）

A．

B．

C．

D．

7．（2020·北京）在復平面內，復數對應的點的坐標是，則（）．

A．

B．

C．

D．

8．（2020·浙江）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i為虛數單位)是實數，則a=（）

A．1

B．–1

C．2

D．–2

9．（2020·海南）（）

A．1

B．?1

C．i

D．?i

10．（2020·全國（文））若，則z=（）

A．1–i

B．1+i

C．–i

D．i

11．（2020·全國（文））若，則（）

A．0

B．1

C．

D．2

12．（2020·全國（理））復數的虛部是（）

A．

B．

C．

D．

13．（2020·全國（理））若z=1+i，則|z2–2z|=（）

A．0

B．1

C．

D．2

14．（2020·全國（文））（1–i）4=（）

A．–4

B．4

C．–4i

D．4i

15．（2019·北京（理））已知復數z=2+i，則

A．

B．

C．3

D．5

16．（2019·全國（理））若，則

A．

B．

C．

D．

17．（2019·全國（文））設z=i(2+i)，則=

A．1+2i

B．–1+2i

C．1–2i

D．–1–2i

18．（2019·全國（文））設，則=

A．2

B．

C．

D．1

19．（2019·全國（理））設z=-3+2i，則在復平面內對應的點位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

20．（2019·全國（理））設復數z滿足，z在復平面內對應的點為(x，y)，則

A．

B．

C．

D．

21．（2018·北京（理））在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

22．（2018·全國（理））

A．

B．

C．

D．

23．（2018·全國（文））

A．

B．

C．

D．

24．（2018·全國（理））

A．

B．

C．

D．

25．（2018·全國（文））設，則

A．

B．

C．

D．

26．（2018·浙江）若復數，其中i為虛數單位，則

=

A．1+i

B．1?i

C．?1+i

D．?1?i

27．（2017·全國（理））＝（）

A．1＋2i

B．1－2i

C．2＋i

D．2－i

28．（2017·全國（文））下列各式的運算結果為純虛數的是

A．(1+i)2

B．i2(1-i)

C．i(1+i)2

D．i(1+i)

29．（2017·全國（理））復數等于

（）

A．

B．

C．

D．

30．（2017·全國（文））下列各式的運算結果為純虛數的是（）

A．

B．

C．

D．

31．（2017·山東（理））已知，是虛數單位，若，則

A．1或

B．或

C．

D．

32．（2017·山東（理））已知，是虛數單位，若，則

A．1或

B．或

C．

D．

33．（2017·全國（理））(2017高考新課標III，理3)設復數z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣=

A．

B．

C．

D．2

34．（2017·全國（理））設有下面四個命題

：若復數滿足，則；

：若復數滿足，則；

：若復數滿足，則；

：若復數，則.其中的真命題為

A．

B．

C．

D．

35．（2017·全國（文））復平面內表示復數z=i(–2+i)的點位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

36．（2017·山東（文））已知i是虛數單位,若復數z滿足,則=

A．-2i

B．2i

C．-2

D．2

37．（2017·北京（文））若復數（1–i）（a+i）在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是

A．（–∞，1）

B．（–∞，–1）

C．（1，+∞）

D．（–1，+∞）

38．（2017·全國（文））（2017新課標全國卷II文科）

A．

B．

C．

D．

二、填空題

39．（2020·天津）是虛數單位，復數_________．

40．（2020·江蘇）已知是虛數單位，則復數的實部是_____.41．（2020·全國（理））設復數，滿足，則=__________.42．（2019·江蘇）已知復數的實部為0，其中為虛數單位，則實數a的值是_____.43．（2019·天津（文））是虛數單位，則的值為__________.44．（2019·浙江）復數（為虛數單位），則________.45．（2019·上海）設為虛數單位，則的值為__________

46．（2018·上海）已知復數滿足（是虛數單位），則

．

47．（2018·江蘇）若復數滿足，其中i是虛數單位，則的實部為________．

48．（2018·天津（理））i是虛數單位，復數___________.49．（2017·上海）已知復數滿足，則_____________．

50．（2017·天津（文））已知，為虛數單位，若為實數，則的值為__________．

51．（2017·江蘇）已知復數z=（1+i）（1+2i）,其中i是虛數單位，則z的模是__________

三、雙空題

52．（2017·浙江）已知a，b∈R，（i是虛數單位）則

______，ab=________．

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

三、復數（答案解析）

1．C

【解析】因為，故，故

故選：C.2．C

【解析】，利用復數相等的充分必要條件可得：.故選：C.3．B

【解析】，.故選：B.4．C

【解析】設，則，則，所以，解得，因此，.故選：C.5．C

【解析】由題意可得：.故選：C.6．B

【解析】

故選：B

7．B

【解析】由題意得，.故選：B.8．C

【解析】因為為實數，所以，故選：C

9．D

【解析】

故選：D

10．D

【解析】

因為，所以.11．C

【解析】

因為，所以

．

故選：C．

12．D

【解析】

因為，所以復數的虛部為.故選：D.13．D

【解析】

由題意可得：，則.故.故選：D.14．A

【解析】

.故選：A.15．D

【解析】∵

故選D.16．D

【解析】．故選D．

17．D

【解析】，所以，選D．

18．C

【解析】

因為，所以，所以，故選C．

19．C

【解析】由得則對應點（-3，-2）位于第三象限．故選C．

20．C

【解析】則．故選C．

21．D

【解析】的共軛復數為

對應點為，在第四象限，故選D.22．D

【解析】

故選D.23．D

【解析】，故選D.24．D

【解析】選D.25．C

【解析】，則，故選c.26．B

【解析】，選B.27．D

【解析】由題意，故選：D.28．A

【解析】

由題意，對于A中，復數為純虛數，所以正確；

對于B中，復數不是純虛數，所以不正確；

對于C中，復數不是純虛數，所以不正確；

對于D中，復數不是純虛數，所以不正確，故選A.29．D

【解析】＝2－i.故選D.30．C

【解析】，,所以選C.31．A

【解析】

由得，所以，故選A.32．A

【解析】

由得，所以，故選A.33．C

【解析】

由題意可得，由復數求模的法則可得，則故選C.34．B

【解析】

令，則由得，所以，故正確；

當時，因為，而知，故不正確；

當時，滿足，但，故不正確；

對于，因為實數的共軛復數是它本身，也屬于實數，故正確，故選B.35．C

【解析】，則表示復數的點位于第三象限.所以選C.36．A

【解析】

由得,即,所以,故選A.37．B

【解析】

試題分析：設，因為復數對應的點在第二象限，所以，解得：，故選B.38．B

【解析】由題意，故選B.39．

【解析】.故答案為：.40．3

【解析】∵復數∴∴復數的實部為3.41．

【解析】設，，又，所以，.42．2.【解析】，令得.43．

【解析】．

44．【解析】.45．

【解析】

由，得，即，46．5

【解析】由（1+i）z=1﹣7i，得，則|z|=．故答案為5．

47．2

【解析】因為，則，則的實部為.48．4–i

【解析】由復數的運算法則得：.49．

【解析】由，得，設，由得，即，解得，所以，則．

50．-2

【解析】為實數，則.51．

【解析】復數z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i，∴|z|．

故答案為．

52．5,2

【解析】

由題意可得，則，解得，則．