第一篇：初二三角形常見輔助線做法總結及相關試題_周末

數學專題——三角形中的常用輔助線

常見輔助線的作法有以下幾種：

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。

解答過程：

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：

證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：

①關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決。

解答過程：

證明：過E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉化的思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

解答過程：

證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求證：CD=AD+BC。

2）解題思路：結論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。

解答過程：

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。小結：三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

第二篇：初二三角形常見輔助線做法總結及相關試題 周末

數學專題——三角形中的常用輔助線

找全等三角形的方法：

（1）可以從結論出發，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：

①延長中線構造全等三角形；②利用翻折，構造全等三角形； ③引平行線構造全等三角形；④作連線構造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

思路分析：

1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應用

2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。

解答過程：

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質的逆命題在添加輔助線中的應用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯系，為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數學思想，它是解決問題的關鍵。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。

2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。

解答過程：

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解題后的思考：題目中如果出現了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）題意分析：本題考查角平分線定理的應用。

2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：

證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：

①關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決。

解答過程：

證明：過E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉化的思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

解答過程：

證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

小結：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移的，體會構造的全等三角形在轉移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等三角形。

（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。

解答過程：

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。

解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：

截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

1）對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。

2）在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明。

小結：三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

第三篇：數學常見輔助線做法與小結

幾何最難的地方就是輔助線的添加了，但是對于添加輔助線，還是有規律可循的，下面可小編給大家整理了一些常見的添加輔助線的方法，掌握了對你一定有幫助！

三角形中常見輔助線的添加

1.與角平分線有關的（1）可向兩邊作垂線。

（2）可作平行線，構造等腰三角形

（3）在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形

2.與線段長度相關的（1）截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可

（2）補短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可

（3）倍長中線：題目中如果出現了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結，便可得到全等三角形。

（4）遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。3.與等腰等邊三角形相關的（1）考慮三線合一

（2）旋轉一定的度數，構造全都三角形，等腰一般旋轉頂角的度數，等邊旋轉60 °

四邊形中常見輔助線的添加

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關的問題時往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。1.和平行四邊形有關的輔助線作法

平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質，為了利用這些性質往往需要添加輔助線構造平行四邊形。（1）利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形

（2）利用兩組對邊平行構造平行四邊形（3）利用對角線互相平分構造平行四邊形

2.與矩形有輔助線作法

（1）計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股定理解決問題（2）證明或探索題，一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題.和矩形有關的試題的輔助線的作法較少.3.和菱形有關的輔助線的作法

和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質定定理解決問題.（1）作菱形的高

（2）連結菱形的對角線

4.與正方形有關輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關正方形的試題較多.解決正 方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線

圓中常見輔助線的添加

1.遇到弦時（解決有關弦的問題時）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結過弦的端點的半徑。

作用： ①

利用垂徑定理

②

利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系

③

利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據勾股定理求有關量 2.遇到有直徑時，常常添加（畫）直徑所對的圓周角

作用：利用圓周角的性質得到直角或直角三角形

3.遇到90度的圓周角時，常常連結兩條弦沒有公共點的另一端點 作用：利用圓周角的性質，可得到直徑

4.遇到弦時，常常連結圓心和弦的兩個端點，構成等腰三角形，還可連結圓周上一點和弦的兩個端點

作用： ①可得等腰三角形

②據圓周角的性質可得相等的圓周角

5.遇到有切線時，常常添加過切點的半徑（連結圓心和切點）

作用：利用切線的性質定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加連結圓上一點和切點

作用：可構成弦切角，從而利用弦切角定理。

6.遇到證明某一直線是圓的切線時

（1）若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。

作用：若OA=r，則l為切線

（2）若直線過圓上的某一點，則連結這點和圓心（即作半徑）作用：只需證OA⊥l，則l為切線

（3）有遇到圓上或圓外一點作圓的切線 7.遇到兩相交切線時（切線長）

常常連結切點和圓心、連結圓心和圓外的一點、連結兩切點

作用：據切線長及其它性質，可得到

①

角、線段的等量關系

②

垂直關系

③

全等、相似三角形

8.遇到三角形的內切圓時

連結內心到各三角形頂點，或過內心作三角形各邊的垂線段

作用：利用內心的性質，可得

① 內心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線 ② 內心到三角形三條邊的距離相等

9.遇到三角形的外接圓時，連結外心和各頂點

作用：外心到三角形各頂點的距離相等

10.遇到兩圓外離時（解決有關兩圓的外、內公切線的問題）

常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線

作用： ①利用切線的性質；

②利用解直角三角形的有關知識

11.遇到兩圓相交時

常常作公共弦、兩圓連心線、連結交點和圓心等

作用： ①

利用連心線的性質、解直角三角形有關知識

②

利用圓內接四邊形的性質

③

利用兩圓公共的圓周的性質

④ 垂徑定理

12．遇到兩圓相切時 常常作連心線、公切線

作用： ①

利用連心線性質

②

切線性質等

13.遇到三個圓兩兩外切時

常常作每兩個圓的連心線

作用：可利用連心線性質

14.遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時

常常添加輔助圓

作用：以便利用圓的性質

第四篇：初二證明題中輔助線的做法

過三角形中點的輔助線的一類做法

1.在△ABC中，D是BC邊上的一點，CD=AB且∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：

AC=2AE

2.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線，且AD=2，求BC的長

3.在△ABC中，∠C=2∠B，AD為角平分線，求證：

AB=AC+CD

4.在△ABC中，AD為中線，交AC與E，且AF=FD求證：AE=AC 31

5.AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：

BF=AC

6.BD，CE是△ABC的高，G F是BC和DE中點，求證：FG⊥

DE

7.邊長為6的菱形ABCD中∠DAB=600，E為AB的中點，F是AC上一動點，則EF+BF的最小值為

如圖已知AC⊥BC,AD//BC,E是BD中點,當BC=3,AC=4,AD=6,求CE的長

在正方形ABCD中,E是AB的中點,F是AD上的一點，且AF=1

4AD,求證:CE平分∠FAB

8.已知一個凸四邊形的四條邊長順次分別是a b c d且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0那么這個四邊形是

1.已知對角線互相垂直的四邊形其對角線分別為6和8，那么順次連接這個四邊形的各邊中點所得到的四邊形的面積為（）

A 12B 13C 15D 10

2.如圖在梯形ABCD中，AD//BC，現分別以A,B,C,D為圓心，1cm長為半徑畫圖，則圖中陰影部分面積是（）Ａ．πcm231Ｂ．πcm2 21Ｃ．πcm2Ｄ．2πcm2 3.已知x為正數，求x2?1?(4?x)2?4的最小值是（）

A 4B 5C 6D 7

4.已知：a，b是整數，且a+b=2，則a2?1?b2?4的最小值是（）ABCD

5.已知正方形ABCD的邊長為8，點E，F在AB 和AC邊上。AE=1，AF=3，P是對角線上的動點，則PE+PF的最小值是

6.已知正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值是

7.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且AC=6cm，BD?6cm，則此梯形的高為cm．

8.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?CD?AD?1，?B?60?，直線MN為梯形的對稱軸，P為MN上一點，那么PC?PD的最小

值為． ABCD

B

C

9.菱形ABCD中，EF分別是BC，CD上的點，若∠B=∠EAF=600，∠BAE=200求∠CEF的度數

010.已知六邊形ABCDEF的6個內角都是120，CD=20，BC=8，AB=8AF=5，求這個六邊形的周長

9.從等邊三角形內一點向三邊做垂線，已知這三條垂線段的長分別為1，3，5求這個三角形的面積。

10.在矩形ABCD中AE⊥D B，已知AB=2，AD=22，連接EC求，求EC的長

如圖在正方形ABCD中，GE⊥CB，GF⊥DC，求證：AE=EF

在梯形ABCD中E，F分別是兩底的中點，求證:EF=1

2(AB-CD)

第五篇：三角形中的常用輔助線方法總結

數學：三角形中的常用輔助線

典型例題

人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。

全等三角形輔助線 找全等三角形的方法：

（1）可以從結論出發，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法： ①延長中線構造全等三角形； ②利用翻折，構造全等三角形； ③引平行線構造全等三角形； ④作連線構造等腰三角形。

常見輔助線的作法有以下幾種：

（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。

例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。

思路分析：

1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應用

2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。

解答過程：

證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質的逆命題在添加輔助線中的應用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯系，為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數學思想，它是解決問題的關鍵。

（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。

2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。

解答過程：

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC 又∠BDE=∠CDA ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線 ∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解題后的思考：題目中如果出現了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）題意分析：本題考查角平分線定理的應用。

2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：

證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：

①關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯想到中位線。

（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決。

解答過程：

證明：過E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：

1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。

2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉化的思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證。可過O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。

解答過程：

證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解題后的思考：（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：

①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。

④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。

小結：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移的，體會構造的全等三角形在轉移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了一個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等三角形。

（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。

思路分析：

1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。

解答過程：

證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。

在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。

解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：

截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。

1）對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。

2）在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明。

小結：三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

同步練習

（答題時間：90分鐘）

這幾道題一定要認真思考啊，都是要添加輔助線的，開動腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！

1、已知，如圖1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。求證：∠BAD+∠BCD=180°。

2、已知，如圖2，∠1=∠2，P為BN上一點，且PD⊥BC于點D，AB+BC=2BD。求證：∠BAP+∠BCP=180°。

3、已知，如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB=AC+CD。

試題答案

1、分析：因為平角等于180°，因而應考慮把兩個不在一起的角通過全等轉化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關鍵在于構造直角三角形，可通過“截長法或補短法”來實現。

證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DF⊥BC于點F，如圖1-2

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠DAE=∠DCF。

又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°

2、分析：與1相類似，證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補角，即證明∠BCP=∠EAP，因而此題適用“補短”進行全等三角形的構造。

證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖2-2

∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS)，∴∠PAE=∠PCD

又∵∠BAP+∠PAE=180°。∴∠BAP+∠BCP=180°

3、分析：從結論分析，“截長”或“補短”都可實現問題的轉化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。

證明：方法一（補短法）

延長AC到E，使DC=CE，則∠CDE＝∠CED，如圖3-2

∴△AFD≌△ACD（SAS），∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD。又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB。∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD。

4、證明：（方法一）

將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE； ① 在△BDM中，MB+MD>BD； ② 在△CEN中，CN+NE>CE； ③ 由①+②+③得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC（方法二：圖4-2）

延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF、△GFC和△GDE中有： AB+AF>BD+DG+GF

① GF+FC>GE+CE

② DG+GE>DE

③ 由①+②+③得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC。

5、分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=CA（全等三角形對應邊相等）

∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB+AC>2AD。

6、分析：欲證AC=BF，只需證AC、BF所在兩個三角形全等，顯然圖中沒有含有AC、BF的兩個全等三角形，而根據題目條件去構造兩個含有AC、BF的全等三角形也并不容易。這時我們想到在同一個三角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉移到同一個三角形中，只要說明轉移到同一個三角形以后的這兩條線段，所對的角相等即可。

思路

一、以三角形ADC為基礎三角形，轉移線段AC，使AC、BF在三角形BFH中

方法一：延長AD到H，使得DH=AD，連結BH，證明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。

通過證明∠H=∠BFH，得到BF=BH。

∴ △ADC≌△HDB(SAS)

∴ AC=BH，∠H=∠HAC

∵ EA=EF

∴ ∠HAE=∠AFE

又∵ ∠BFH=∠AFE

∴BH=BF

∴BF=AC

方法二：過B點作BH平行AC，與AD的延長線相交于點H，證明△ADC和△HDB全等即可。

小結：對于含有中點的問題，通過“倍長中線” 可以得到兩個全等三角形。而過一點作已知直線的平行線，可以起到轉移角的作用，也起到了構造全等三角形的作用。

思路

二、以三角形BFD為基礎三角形。轉移線段BF，使AC、BF在兩個全等三角形中

方法三：延長FD至H，使得DH=FD，連接HC。證明△CDH和△BDF全等即可。

∴ △BFD≌△CHD(SAS)∴ ∠H=∠BFH ∵ AE=FE ∴ ∠HAC=∠AFE 又∵ ∠AFE=∠BFH ∴ ∠H=∠HAC ∴ CH=CA ∴ BF=AC 方法四：過C點作CH平行BF，與AD的延長線相交于點H，證明△CDH和△BDF全等即可。