第一篇：分離變量法習(xí)題

第十章習(xí)題解答 求解混合問題

?utt?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?0??

?u(0,t)?0,u(l,t)?0，其中?(x)??v0?0?u(x,0)?0,u(x,0)??(x)?t?0?x?c??c???x?c?? c???x?l解：用分離變量法：設(shè)混合問題的非零解函數(shù)為u(x,t)?X(x)T(t)，則，utt(x,t)?X(x)T??(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)

代入混合問題中的微分方程可得：

X(x)T??(t)?aX??(x)T(t)?0?2X??(x)X(x)?aT??(t)T(t)2???

由初始條件可得：u(0,t)?X(0)T(t)?u(l,t)?X(l)T(t)?0?X(0)?X(l)?0由此可得，X(x)為如下常微分方程邊值問題的非零解：

?X??(x)??X(x)?0?X(0)?0,X(l)?0(0?x?l)

?

若λ<0，則此定解問題的微分方程的通解為 X(x)?c1exp(?x)?c2exp(??x)，代入邊值條件后可得c1?c2?0?X(x)?0，不符合要求。若λ=0，則此定解問題的微分方程的通解為

X(x)?c1?c2x，代入邊值條件后仍可得c1?c2?0?X(x)?0，不符合要求。若λ>0，則此定解問題的微分方程的通解為 X(x)?c1cos代入邊界條件后可得： X(0)?c1cos?0?c2sin?0?c1?0?X(x)?c2sin?x，2?x?c2sin?x，X(l)?c2sin?l?0,X(x)?0?sinn?xl?n???l?0,???n???，?l?所以可取 X(x)?Xn(x)?sin

(n?1,2,?)由T(t)所滿足的方程可得：

T??(t)?a2?2T(t)?0?T(t)?Tn(t)?ancosn?atln?atl?bnsinn?atl，所以，原混合問題的微分方程的滿足邊界條件的分離變量形式解為 u(x,t)?un(x,t)?Xn(x)Tn(t)?(ancos???bnsinn?atl)sinn?xl，設(shè)原混合問題的解函數(shù)為 u(x,t)??n?1(ancosn?atl?bnsinn?atl)sinn?xl，??則由初始條件可得：0?u(x,0)??n?1ansinn?xl?an?0(n?1,2,?)

?? ut(x,t)??n?1n?albncosn?atlsinn?xln?xl，?? ?(x)?ut(x,0)??n?1n?atlbnsin?bn??n?a2l0?(x)sinn?xldx，bn??n?a2c??c??v0sinn?xldx?2v0ln?a??22(cosn?(c??)ln?xl?cosn?(c??)l)（*）所以，原混合問題的解為 u(x,t)?2 求解混合問題

?bn?1nsinn?atlsin，其中的bn由（*）給出。

?utt?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?

?u(0,t)?E,u(l,t)?0

?u(x,0)?0,u(x,0)?0(E為常數(shù)）t?解：由于邊界條件非齊次，需作函數(shù)變換如下：設(shè)

v(x,t)?u(x,t)?El(l?x)?u(x,t)?v(x,t)?El(l?x)，則

vxx(x,t)?uxx(x,t),vt(x,t)?ut(x,t),vtt(x,t)?utt(x,t)，2vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?auxx(x,t)?0，v(0,t)?u(0,t)?

v(x,0)?u(x,0)?ElEl(l?0)?u(0,t)?E?0,v(l,t)?u(l,t)?0?0，(l?x)??El(l?x),vt(x,0)?ut(x,0)?0，所以，u(x,t)是原混合問題的解的充要條件是：v(x,t)是如下混合問題的解：

?2?vtt(x,t)?avxx(x,t)?0(0?x?l,?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?Ev(x,0)??(l?x),vt(x,t)?0?l?t?0)

（*）

用分離變量法求解此定解問題，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：

??

v(x,t)??n?1(Ancosn?atl?Bnsinn?atl)sinn?xl，代入初始條件可得：，Bn?0，An???2l?lEl0(l?x)sinn?xldx?2En?(n?1,2,?)

所以，v(x,t)???n?12En?cosn?atlElsinn?xl，??原混合問題的解函數(shù)為u(x,t)?3 求解下列阻尼波動(dòng)問題的解：

(l?x)??n?12En?cosn?atlsinn?xl

?utt?2hut?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0

?u(x,0)??(x),u(x,0)??(x)t?其中，h為正常數(shù)，且h?a?2l。

解：使用分離變量法，設(shè)原定解問題的微分方程有如下分離變量形式非零解函數(shù)滿足邊界條件：

u(x,t)?X(x)T(t)

則容易算得：uxx(x,t)?X??(x)T(t),ut(x,t)?X(x)T?(t),utt(x,t)?X(x)T??(t)，代入方程后化簡可得：

T??(t)?2hT?(t)aT(t)2?X??(x)X(x)???

0?u(0,t)?X(0)T(t)?X(0)?0，0?ux(l,t)?X?(l)T(t)?X?(l)?0，T??(t)?2hT?(t)??aT(t)?0

?X??(x)??X(x)?0

?，?X(0)?0,X(l)?0?2由X(x)的非零性可得??0，此時(shí)，X(x)?c1cos?x?c2sin?x，X(0)?c1cos0?c2sin0?c1?0?X(x)?c2sin?x，取c2?1得：X(x)?sin?2n?1??l?0????n????

?2l?22?x,X?(l)??cos?2n?1?將?代入T(t)所滿足的方程可得：T??(t)?2hT?(t)???a?T(t)?0

?l?

?2?2n?1??2h????a??0????n??h??2l?2?(2n?1)?a?h???

2l??222

h??a2l?(2n?1)?a2l??n??h??(2n?1)?a?2???hi2l??(n?1,2,?)

從而有：

T(t)?Tn(t)?e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)，??2n?1??a???2l22其中

?n???h?(n?1,2,?)，（1）

設(shè)原混合問題的解函數(shù)為：

??

u(x,t)??n?1e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)sin(2n?1)?2lx，??

?(x)?u(x,0)?l?n?1Ansinl(2n?1)?2lx，(2n?1)?xl(1?cosdx?，?0?022l2l22l(2n?1)?xdx(n?1,2,?)

（2）所以

An???(x)sin0l2l而

sin2(2n?1)?xdx?1??ut(x,t)??n?1e?ht((?hAn??nBn)cos?nt?(hBn??nAn)sin?nt))sin(2n?1)?x2l

??

?(x)?ut(x,0)?1?n?1(?hAn??nBn)sin(2n?1)?x2l，Bn??n(hAn?2l?l0?(x)sin(2n?1)?x2ldx)。

（3）

??所以，原混合問題的解是u(x,t)??n?1e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)sin(2n?1)?2lx，其中的 ?n,An,Bn分別由（1）式、（2）式、（3）式給出。

4 求解混合問題

??uxx?LCutt?(LG?RC)ut?GRu?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?GEu(x,0)?E,u(x,0)??t?C?(0?x?l,t?0)

其中L、C、G、R為常數(shù)，且LG=RC。（提示：作函數(shù)變換u(x,t)?exp(?Rt/L)v(x,t)）

解：記a2?1LC,b?GC?RL，混合問題的微分方程兩邊同除LC，方程可化為

a2uxx(x,t)?utt(x,t)?2but(x,t)?b2u(x,t)，a?22?x(u(x,t)exp(bt))???t22(u(x,t)exp(bt))，設(shè)v(x,t)?u(x,t)exp(bt)，則有

a2vxx(x,t)?vtt(x,t)，而且，vx(x,t)?ux(x,t)exp(bt),()?0,所以

v(0,t)?u(0,t)expbtvt(x,t)?ut(x,t)exp(bt)?bu(x,t)exp(bt)，vx(l,t)?ux(l,t)expbt()?0，vt(x,0)?ut(x,0)?bu(x,0)?0，(?0)?u(x,0)?E, v(x,0)?u(x,0)expb所以，若u(x,t)是原混合問題的解函數(shù)，則v(x,t)是如下混合問題的解函數(shù)：

?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,vx(x,t)?0?v(x,0)?E,v(x,t)?0t?(0?x?l,t?0)

用分離變量法求解此混合問題，設(shè)方程的分離變量解形式的滿足邊界條件的非零解為 v(x,t)?X(x)T(t)，則

vx(x,t)?X?(x)T(t)，vxx(x,t)?X??(x)T(t),vxx(x,t)?X??(x)T(t), X??(x)X(x)?T??(t)aT(t)2???

由齊次邊界條件可得，X(x)為如下定解問題的解：

?X??(x)??X(x)?0?X(x)?c1cos?x?c2sin?x，??X(0)?0,X(l)?0?

X(0)?0?c1?0，取c2?1得X(x)?sin?x，X?(l)?T??(t)aT(t)2?(2n?1)???cos?l?0????n???2l????n?T(t)?Tn(t)?Ancos(2n?1)?x2l2(n?1,2,?)，(2n?1)?at2l

(2n?1)?at2l?Bnsin，X(x)?Xn(x)?sin??(n?1,2,?)，設(shè)

v(x,t)??n?1(Ancos(2n?1)?at2ll?Bnsin(2n?1)?at2l)sin(2n?1)?x2l

代入初始條件可得：An???2l?0v(x,0)sin(2n?1)?x2ldx?4E(2n?1)?,Bn?0，所以

v(x,t)??(2n?1)?n?1??4Ecos(2n?1)?at2lsin(2n?1)?x2l

所以，原題目所給的混合問題的解函數(shù)為：

u(x,t)?exp(?bt)?n?14E(2n?1)?cos(2n?1)?at2lsin(2n?1)?x2l。用固有函數(shù)法求解

?utt?a2uxx?g(const),?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?0,u(x,0)?0t?(0?x?l,t?0)

解：用分離變量法：設(shè)原混合問題的微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程有如下分離變量形式的非零解函數(shù)：u(x,t)?X(x)T(t)，利用分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可求得： ?(2n?1)??

???n???,2l??2X(x)?Xn(x)?sin(2n?1)?x2l(n?1,2,?)

將f(x,t)?g展開成Xn(x)的廣義Fourier級(jí)數(shù)如下：

fn(t)?2l?l0f(x,t)Xn(x)dx?2l?l0gsin(2n?1)?x2ldx?4g(2n?1)?，?T??(t)?a2?nT(t)?fn(t)16gl(2n?1)?at?T(t)?T(t)?(1?cos)?n3322l(2n?1)?a?T(0)?0,T?(0)?02[注：方程T??(t)?a?T(t)?fn(t)的通解為

Tn(t)?Ancos

(2n?1)?at2l?Bnsin(2n?1)?at2l?16gl(2n?1)?a332，代入初始條件即可得此處的結(jié)果。] 所以，題目所給的混合問題的解函數(shù)為

??u(x,t)??Tn(t)Xn(x)?n?1?(2n?1)16gl3?a32(1?cos(2n?1)?at2lt?0))sin(2n?1)?x2l。

?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0?6．求解混合問題?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?u(const)0?(0?x?l,。

解：用分離變量法：設(shè)混合問題中的微分方程有如下滿足邊界條件的分離變量形式的非零解函數(shù)：u(x,t)?X(x)T(t)，則

ut(x,t)?X(x)T?(t),ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)，代入方程后化簡再由邊界條件可得：

T?(t)aT(t)2?X??(x)X(x)????T?(t)?a?T(t)?0,22X??(x)?aX(x)?0

u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0,ux(l,t)?X?(l)T(t)?0?X?(l)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的非零解函數(shù)：

?X??(x)??X(x)?0?X(0)?0,X?(l)?0

2?(0?x?l)

?(2n?1)??解之得 ???n???,2l??X(x)?Xn(x)?sin(2n?1)?x2l(n?1,2,?)，2?(2n?1)?a?

T?(t)??na2T(t)?0?T(t)?Tn(t)?Anexp?(??t)。

2l????設(shè)原問題的解函數(shù)為

u(x,t)??n?1(2n?1)?x?(2n?1)?a?，Anexp?(??t)sin2l2l????2由初始條件可得：

u0?u(x,0)??An?1nsin(2n?1)?x2l4u0，由此可得：

An?2l?l0u0sin(2n?1)?x2ldx?(2n?1)?2(n?1,2,?)，??所以，u(x,t)??n?1(2n?1)?x?(2n?1)?a? exp?(?t)sin?(2n?1)?2l2l??4u0 7 ?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0(0?x?l,?7．求解混合問題?u(0,t)?0,ux(l,t)??u(l,t)?0?u(x,0)??(x)?t?0)

解：用分離變量法：設(shè)混合問題中的微分方程有如下滿足邊界條件的分離變量形式的非零解函數(shù)：u(x,t)?X(x)T(t)，則

ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t),ut(x,t)?X(x)T?(t)，代入方程后化簡，并由邊界條件可得：

T?(t)??a2T(t)?0,X??(x)??X(x)?0，u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0，ux(l,t)??u(l,t)?(X?(l)??X(l))T(t)?0?X?(l)??X(l)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的解函數(shù)：

?X??(x)??X(x)?0(0?x?l)

?

?X(0)?0,X(l)??X(l)?0?由u(x,t)是非零解可得：??0?X(x)?c1cos

X(0)?0?c1?0?X(x)?sin?x?x?c2sin?x

(letc2?1)，X?(l)??X(l)?設(shè)

tan?l?????cos?l??sin?l?0?tan?l??(n?1,2,?)，則???n??n

2??

????n?0所以，X(x)?Xn(x)?sin?nx，22((a?n)t)

T?(t)?(a?n)T(t)?0?T(t)?Tn(t)?Anexp?(n?1,2,?)，??設(shè)原混合問題的解函數(shù)為

u(x,t)??An?1nexp(?(a?n)t)sin?nx，2利用?Xn(x)?的正交性可求得 An???(x)sin?0lnxdx(n?1,2,?)。

?[注]：可以證明：?Xn(x)?具有正交性。

l0sin?nxdx2 8 ?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0?8．求解混合問題?u(0,t)??,u(l,t)???u(x,0)?u0?(0?x?l,t?0)，其中，?,?,u0為常數(shù)。

解：作函數(shù)變換 v(x,t)?u(x,t)?(??則

ut(x,t)?vt(x,t),???lx)?u(x,t)?v(x,t)?(?????l x)，uxx(x,t)?vxx(x,t)，u(0,t)??,u(l,t)???v(0,t)?0,v(l,t)?0，u(x,0)?u0?v(x,0)?u0?(?????lx)

所以，u(x,t)是原混合問題的解的充要條件是v(x,t)是如下混合問題的解： ?2?vt(x,t)?avxx(x,t)?0(0?x?l,?（*）

?v(0,t)?0,v(l,t)?0????v(x,0)?u?(??x)0?l?t?0)

用分離變量法求解（*），由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：

X(x)?Xn(x)?sin??n?xl,?n?a?T(t)?Tn(t)?Anexp?(??t)，?l???2

v(x,t)??Tn?1n(t)Xn(x)??n?1n?x?n?a?，Anexp?(??t)sinl?l???2代入初始條件可得：u0?(?????l2lx)?v(x,0)?l?n?1Ansinn?xln?xl

由?Xn(x)?的正交性可得：An?

An????0(u0?(??n???lx))sindx，2n?((u0??)?(?1)(??u0))(n?1,2,?)，2所以，v(x,t)??n?1n?x?n?a?n((u0??)?(?1)(??u0))exp(???t)sinn?l?l?2

u(x,t)?v(x,t)?(?????lx)。

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?9．求解 ?u(x,0)?x(x?a),limu(x,y)?0y?????u(0,y)?0,u(a,y)?0y?0)。

解：用分離變量法：設(shè)給定的定解問題中的微分方程有如下滿足齊次邊界條件的分離變量形式非零解：

u(x,y)?X(x)Y(y)，則

uxx(x,y)?X??(x)Y(y),uyy(x,y)?X(x)Y??(y)，uxx(x,y)?uyy(x,y)?X??(x)Y(y)?X(x)Y??(y)?0，X??(x)X(x)Y??(y)Y(y)????X??(x)??X(x)?0,Y??(y)??Y(y)?0，??

u(0,y)?X(0)Y(y)?0?X(0)?0，u(a,y)?X(a)Y(y)?0?X(a)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的解函數(shù)：

2??X??(x)??X(x)?0?n??????n??

??,X(0)?0,X(a)?0??a??X(x)?Xn(x)?sinn?yan?xa，從而有：Y(y)?Yn(y)?Anexp(又由另一個(gè)邊界條件可得：

n?ya)?Bnexp(?)(n?1,2,?)

（limun(x,y)?limXn(x)Yn(y)?0?An?0?Yn(y)?Bnexp?y???y???n?ya)，????設(shè)原定解問題的解函數(shù)是u(x,y)??n?1un(x,y)??n?1Bnexp(?n?ya)sinn?xa，??則

u(x,0)?x(x?a)?x(x?a)??n?1Bnsinn?xa?

Bn??a2a0x(x?a)sinn?xandx?22aan?n?ya333((?1)?1)n(n?1,2,?)，所以，u(x,y)?10．求解邊值問題：

4a2???3?n?1(?1)?1n3exp(?)sinn?xa。

??uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?

?u(0,y)?0,u(a,y)?0?x?xu(x,0)?0,u(x,b)?sin?aa?0?y?b)。

解： 用分離變量法：設(shè)給定的定解問題中的微分方程有如下分離變量形式的滿足齊次邊界條件的非零解：

u(x,y)?X(x)Y(y)，則有：

uxx(x,y)?X??(x)Y(y), X??(x)X(x)Y??(y)Y(y)uyy(x,y)?X(x)Y??(y)，??0?X??(x)??X(x)?0,Y??(y)??Y(y)?0，u(0,y)?X(0)Y(y)?0?X(0)?0，同理 X(a)?0，所以，X(x)是如下二階常微分方程邊值問題的解函數(shù)：

2??X??(x)??X(x)?0?n??????n??

??,X(0)?0,X(a)?0??a??Xn(x)?sinn?yan?xa，Y??(y)??nY(y)?0?Y(y)?Yn(y)?Ancosh??n?y，?Bnsinha設(shè)原定解問題的解為：u(x,y)??n?1(Ancoshn?ya?Bnsinhn?ya)sinn?xa，??則

0?u(x,0)??n?1Ansinn?xa?An?0(n?1,2,?)，xasin?xa2a???u(x,b)?n?ba?n?1aBnsinhn?basinsinn?xadx，所以，Bn?(sinh)?1?xa0sin?xan?xan?b??2

???sinh?a???1?1?(?1)n1?(?1)n??(n?1)2?(n?1)2?????(n?2,3,?)

axb??x?x?b??

B1?(sinh)?1?sinsindx??2sinh?0aaaaaa??2?1。

??所以，原定解問題的解函數(shù)為u(x,y)??n?1Bnsinhn?yasinn?xa，其中的Bn由以上式子給出。11．求解邊值問題

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?k(0?x?a,?

?u(0,y)?0,u(a,y)?0?u(x,0)?0,u(x,b)?0?0?y?b)，提示：令u(x,y)?v(x,y)?w(x),而w(x)滿足條件w??(x)?k,w(0)?w(a)?0。解：令w(x,y)?k2x(x?a),v(x,y)?u(x,y)?w(x,y)，則

vxx(x,y)?uxx(x,y)?wxx(x,y)?uxx(x,y)?k，vyy(x,y)?uyy(x,y)?wyy(x,y)?uyy(x,y)

所以，uxx(x,y)?uyy(x,y)?k?vxx(x,y)?vyy(x,y)?0，u(0,y)?0,u(a,y)?0?v(0,y)?0,v(a,y)?0，u(x,0)?0,u(x,b)?0?v(x,0)?k2x(x?a),v(x,b)?k2x(x?a)

所以，u(x,y)是原定解問題的解的充要條件是v(x,y)是如下定解問題的解： ??vxx(x,y)?vyy(x,y)?0?（*）?v(0,y)?0,v(a,y)?0，?kkv(x,0)?x(x?a),v(x,b)?x(x?a)?22?用分離變量法求解（*），由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：

v(x,y)?X(x)Y(y)?X??(x)??X(x)?0,?n??

?n???,?a?2Y??(y)??Y(y)?0，Xn(x)?sinn?xa,n?yn?yYn(y)?Anexp()?Bnexp?()

aa(n?1,2,?)，v(x,y)?vn(x,y)?Xn(x)Yn(y)??設(shè)（*）的解函數(shù)為v(x,y)??n?1(Anexp(n?yak2)?Bnexp(?n?ya))sinn?xa

??則

v(x,0)??n?1??(An?Bn)sinn?xa?1?x(x?a)，v(x,b)??n?1(AnDn?BnDn)sinn?xa，（其中 Dn?exp(n?ba)）

若記

Cn??a2ak20x(x?a)sinn?xadx?2k2aa2n?333((?1)?1)，3?1??n?b??)?1?Cn??An??exp(A?B?C??annn???則有： ?，??1?1AD?BD?Cn?bn?b??nnn?nn?B?exp()?exp()?1?Cnn??a?a??? 12 其中，An,Bn,Cn,Dn由以上各式給出。而題目所給的定解問題的解函數(shù)為

u(x,y)?v(x,y)?w(x,y)?v(x,y)?12．求解邊值問題

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?

?u(x,0)?0,u(x,b)?0?u(0,y)?y(y?b),u(a,y)?0?0?y?b)k2x(x?a)。

解：用分離變量法求解此定解問題：設(shè)u(x,y)?X(x)Y(y)，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程

n?y?n??可得

????????n???,Yn(y)?sinX(x)Y(y)b?b?X??(x)??nX(x)?0?X(x)?Xn(x)?Anexp(n?xb)?Bnexp(?n?xb)(n?1,2,?)X??(x)Y??(y)2設(shè)原定解問題的解函數(shù)為

????

u(x,y)??n?1Xn(x)Yn(y)??n?1(Anexp(n?xb??)?Bnexp(?n?xb))sinn?yb，則由關(guān)于x的邊界條件可得：y(y?b)?u(0,y)?2b?n?1(An?Bn)sinn?yb，An?Bn??b0y(y?b)sinn?ybdy

??

0?u(a,y)?n?ab?n?1(Anexp(n?abn?ab?1b)?Bnexp(?n?ab))sinn?yb，Anexp(所以

An??

Bn?2b)?Bnexp?(2n?abb)?0，y(y?b)sin)?1)?12b(exp()?1)?n?yb0dy，n?ybdy，exp(??2n?a)(exp(2n?ab?b0y(y?b)sin所以，u(x,y)?所以，……。

13.求解混合問題

?(An?1nexp(n?xb)?Bnexp(?n?xb))sinn?yb

3?x3?at?2u(x,t)?au(x,t)?sinsinxx?tt2l2l?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?0,u(x,0)?0t??(0?x?l,t?0)。

解：用分離變量法求解此混合問題：設(shè)原給定的混合問題中的微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程有如下分離變量形式的滿足邊界條件的非零解：

u(x,t)?X(x)T(t)?ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)，ut(x,t)?X(x)T?(t),utt(x,t)?X(x)T??(t)，utt(x,t)?a2uxx(x,t)?0?

X??(x)??X(x)?0, 由邊界條件可得：u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0，ux(l,t)?X?(l)T(t)?0?X?(l)?0，所以，X(x)是如下邊值問題的非零解函數(shù)：

?X??(x)??X(x)?0

?

?X(0)?0,X(l)?0?X??(x)X(x)?T??(t)aT(t)2???

?(2n?1)??求解此問題，可當(dāng)???n???時(shí)，問題有非零解，其解函數(shù)集構(gòu)成一個(gè)

2l??2一維線性空間，它的一個(gè)基向量函數(shù)為X(x)?Xn(x)?sin令

fn(t)?2l(2n?1)?x2l2lsin，dx，?l0f(x,t)Xn(x)dx?,fn(t)?0,?l0sin3?x2lsin3?at(2n?1)?x2l則

f2(t)?sin3?at2l(n?1,3,4,5,?)

令{Tn(t)}為如下初值問題的解函數(shù)： ?T??(t)??na2T(t)?fn(t)

??T(0)?0,T?(0)?0(t?0)，（1）

則Tn(t)?0(n?1,3,4,5,?)，對(duì)于n=2,可用常數(shù)變易法來求：

T??(t)??2aT(t)?0?T(t)?Acos設(shè)（1）的解函數(shù)為 T(t)?A(t)cos則 T?(t)?A?(t)cos令

A?(t)cos3?at2l?B?(t)sin3?at2l3?at2l3?at?B(t)sin?3?a2l2l3?at2l?Bsin3?at2l，3?at2l?B(t)cos3?at2l)

(?A(t)sin3?at2l?B?(t)sin3?at2l?0，14 則

T?(t)?3?a2l3?a2l(?A(t)sin3?at2l3?at?B(t)cos)，2lT??(t)?(?A?(t)sin3?at2l?B?(t)cos3?a2l3?at3?at3?at?3?a?)???B(t)sin)?(A(t)cos2l2l2l?2l?3?at2l3?at ?B?(t)cos)?f2(t)，2l2

T??(t)??2a2T(t)?f2(t)?(?A?(t)sin3?at3?at??(t)cos?(t)sinA?B?0?2l2l也就是：

?，3?a3?at3?at3?at?(?A?(t)sin?B?(t)cos)?sin2l2l2l?2l求解此線性方程組得：A?(t)??22l3?asin23?at2l,B?(t)?2l3?asin23?at2lcos3?at2l，3?atl?l?

A(t)??sin?t?c1,?l3?a?3?a?3?at?l? B(t)???cos?c2，?l?3?a?所以，（1）的解為：

3?atl3?at3?at3?at?l?

T(t)?T2(t)?? ?tcos?c1cos?c2sin?sin3?a2l3?a2l2l2l??2由初始條件T(0)?0,T?(0)?0可得：c1?0,2l22?l?c2???，?3?a?3?at2l2所以，T2(t)??3?a?sin3?at2l?l3?atcos，所以，題目所給的定解問題的解函數(shù)為：

??

u(x,t)?14．求解混合問題

?n?1?2l23?atl3?atXn(x)Tn(t)??sin?tcos?(3?a)22l3?a2l??3?x?sin。?2l?2?x?2u(x,t)?au(x,t)?sin(0?x?l,xx?ttl?

?u(0,t)?0,u(l,t)?0?3?x2?xu(x,0)?2sin,u(x,0)?sint?ll?t?0)。

解：作函數(shù)變換v(x,t)?u(x,t)?w(x)，其中w(x)為待定函數(shù)，則

vtt(x,t)?utt(x,t),vt(x,t)?ut(x,t),vxx(x,t)?uxx(x,t)?w??(x)，22

vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?a(uxx(x,t)?w??(x))

?utt(x,t)?auxx(x,t)?aw??(x)，15 設(shè)u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，2?xl取aw??(x)?sin222?x?l?，則有： ?0，即w(x)???sinl?2?a?222vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?auxx(x,t)?aw??(x)?sin2?xl ?aw??(x)?0，2而

v(0,t)?u(0,t)?w(0)?0?0?0,3?xlv(l,t)?u(l,t)?w(l)?0

v(x,0)?u(x,0)?w(x)?2sin2?xl2?x?l?，???sin2?al??2

vt(x,0)?ut(x,0)?sin，所以，v(x,t)為如下定解問題的解函數(shù)： ??v(x,t)?a2v(x,t)?0ttxx??（*）

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?3?x?l???v(x,0)?2sin?l?2?a?(0?x?l,2?x?sin,?l?2t?0)，vt(x,0)?sin2?xl用分離變量法求解此定解問題：由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程可得： ?n??

???n???,l??2X(x)?Xn(x)?sinn?atl?Bnsinn?atln?xl,，T(t)?Tn(t)?Ancos設(shè)（*）的解函數(shù)為

??(n?1,2,?)

??

v(x,t)??n?1un(x,t)??n?1(Ancosn?atl?Bnsinn?atl??)sinn?xl，由初始條件可得：2sin3?xl2?x?l????v(x,0)??sin2?al??22?n?1Ansinn?xl

?l?可得： A1?0,A2????,A3?2,?2?a???An?0(n?4,5,?)

n?atlln?a

vt(x,t)??n?1n?al??(?Ansinn?atln?xl?Bncos)sinn?xl，sin2?xl?vt(x,0)??n?1n?alBnsin?B2?,Bn?0(n?1,3,4,5,?)

2?atl2?at2?x3?at3?x?l?所以，v(x,t)?(??，cos?sin)sin?2cossin?l2?allll?2?a?2所以，題目所給的定解問題的解函數(shù)為u(x,t)?v(x,t)?w(x)。15． 求解混合問題

2??x2sin?x(0?x?l,?utt(x,t)?auxx(x,t)??l?

?u(0,t)??t,u(l,t)?sin?t?u(x,0)?0,u(x,0)??(?為常數(shù))t??t?0)。

[注]：此定解問題中的微分方程非齊次項(xiàng)中的sin?x應(yīng)為sin?t，才能得到書中答案。

解：先將邊界條件齊次化：令v(x,t)?u(x,t)?((sin?t??t)??t)，lx則

vtt(x,t)?utt(x,t)?xl?sin?t,2vxx(x,t)?uxx(x,t)，若u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，則

vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?2xl2?sin?t?auxx(x,t)

xl22

?utt(x,t)?auxx(x,t)?0l?sin?t?0，2?t??t)??t)??t??t?0，v(0,t)?u(0,t)?((sin?t??t)??t)??t??t?0，v(l,t)?u(l,t)?((sinll

v(x,0)?u(x,0)?0?0,vt(x,0)?ut(x,0)?(xl(?cos?*0??)??)?0，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)：

?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?v(x,0)?0,v(x,0)?0t?(0?x?l,t?0)?v(x,t)?0，所以，原定解問題的解函數(shù)為 u(x,t)?xl(sin?t??t)??t

?utt(x,t)?a2uxx(x,t)?3?x2?te?x?16． 求解 ?ux(0,t)?t,ux(l,t)?u(l,t)?t?u(x,0)?0,u(x,0)?1?e?xt?(0?x?l,t?0)。

解：作如下函數(shù)變換：v(x,t)?u(x,t)?t(1?e?x)?u(x,t)?t?te?x，若u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，則經(jīng)驗(yàn)證可得：v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)： ?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?3?x2?(1?a2)te?x?

?vx(0,t)?0,vx(1,t)?v(1,t)?0?v(x,0)?0,v(x,0)?0t?(0?x?1,t?0)

用分離變量法求解此定解問題：設(shè)v(x,t)?X(x)T(t)，T??(t)aT(t)2由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程可得：

?X??(x)X(x)????X??(x)??X(x)?0，vx(0,t)?0,vx(1,t)?v(1,t)?0?X?(0)?0,X?(1)?X(1)?0 由X(x)所滿足的方程可得：X(x)?c1cos?x?c2sin?x，由邊界條件可得：c2?0,??0，取c1?1，則得X(x)?cos

X?(1)?X(1)?0???sin??cos??0?2所以，???n??n,X(x)?Xn(x)?cos?nx?x，??ctg?，(n?1,2,?)，其中，?n是方程??ctg?的所有正解。因?yàn)?/p>

?10cos?nxdx?22?100.5(1?cos2?nx)dx?0.5(1?sin?n)，2令

fn(t)?1?sin?n21?sin22??10f(x,t)cos?nxdx

?1?n0((3?x)?(1?a)te22?x)cos?nxdx

?4sin?n?(1?sin?n)??3n2?2(1?a)sin?n1?sin?n222t?bn?cnt

則

f(x,t)??n?1fn(t)cos?nx，??設(shè)原定解問題的解函數(shù)為v(x,t)??Tn?12n(t)cos?nx，??則

vtt?avxx?2?(Tn?1?n??(t)?a?T(t))cos?nx?2n?n?1fn(t)cos?nx，?22從而有：

Tn(t)?a?nTn(t)?fn(t)(n?1,2,?)，?由初始條件可得：v(x,0)?vt(x,0)?0?Tn(0)?Tn(t)?0，所以，Tn(t)為如下初值問題的解函數(shù)： ?22??Tn(t)?a?nTn(t)?fn(t)

????Tn(0)?0,Tn(0)?0(t?0)

?22用常數(shù)變易法：Tn(t)?a?nTn(t)?0?Tn(t)?Ancosa?nt?Bnsina?nt，設(shè)此邊值問題的解為： Tn(t)?An(t)cosa?nt?Bn(t)sina?nt，?A?(t)cosa?t?B?(t)sina?t?0nnnn?經(jīng)簡單推導(dǎo)得： ?，1???A(t)sina?t?B(t)cosa?t?f(t)nnnnn?a?n?1??A(t)??fn(t)sina?ntn?a?n?解此線性方程級(jí)：?

1??Bn(t)?fn(t)cosa?nt?a?n?積分并利用初始條件可得：

cn1?A(t)?((b?ct)cosa?t?b)?sina?ntnnnn23?n?a?n??a?n??

?，cn1?Bn(t)?(bn?cnt)sina?nt?(cosa?nt?1)23??a?n??a?n??

Tn(t)?An(t)cosa?nt?Bn(t)sina?nt

?1?a?n?bn2?bn?cnt??1?a?n?2(bncosa?nt?cna?nsina?nt)

??a?n?2???1?cosa?nt??cn?a?n?2??1?t??sina?tn? ?a?n??所以，u(x,t)??Tn?1n(t)cos?nx，其中的Tn(t)、bn、cn和?n均由以上各式給定。[注]課本上的答案為此處的a=1。

?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0(0?x?l,?17． 求解 ?ux(0,t)??,ux(l,t)???u(x,0)?A(A,?為常數(shù))?t?0)。

解：設(shè)u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，作函數(shù)變換v(x,t)?u(x,t)??x，19 則

vt(x,t)?ut(x,t),vx(x,t)?ux(x,t)??,vxx(x,t)?uxx(x,t)

vx(0,t)?ux(0,t)?0,vx(l,t)?ux(l,t)?0,v(x,0)?u(x,0)??x?A??x，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)：

?vt(x,t)?a2vxx(x,t)?0(0?x?l,t?0)?

?vx(0,t)?0,vx(l,t)?0

?v(x,0)?A??x?用分離變量法求解此定解問題：設(shè)v(x,t)?X(x)T(t)為微分方程的滿足齊次邊界條件的非零解函數(shù)，則將v(x,t)代入方程后化簡可得：

T?(t)aT(t)?X??(x)X(x)????T?(t)?a?T(t)?0,2X??(x)??X(x)?0，vx(0,t)?0,vx(l,t)?0?X?(0)?0,X?(l)?0，所以，X(x)為如下邊值問題的非零解函數(shù)：

2???n?????n???X??(x)??X(x)?0(0?x?l)????l????????X(0)?0,X(l)?l?X(x)?X(x)?cosn?xn??l??(n?0,1,2,?)

將???n代入T(t)的方程可得：

?n?a?

T?(t)?a2?nT(t)?0?T(t)?Tn(t)?Bnexp?(??t)l??n?x?n?a?所以，vn(x,t)?Tn(t)Xn(x)?Bnexp(??。?t)cosll????22(n?0,1,2,?)，設(shè)

v(x,t)??n?0n?x?n?a?，Bnexp?(??t)cosl?l???2則由初始條件可得：A??x?v(x,0)?1l2l?n?0Bncosn?xl

可得：

B0?

Bn??)0l(A??x)dx?A?12?l，(n?1,2,?)，n?x2?ln(A??x)cosdx?(1?(?1))22?0lln? 20 所以，v(x,t)?A?

12???l??n?12?ln?22n?x?n?a?。(1?(?1))exp(??t)cos?l?l?n2?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?f(x)(0?x?l,?18． 求解 ?u(0,t)?A,u(l,t)?B(A,B為常數(shù))?u(x,0)?g(x)?t?0)。

解：設(shè)F(x)??(?0xx0f(x)dx)dx，w(x)?1a2F(x)?(A?B)a?F(l)al22x?A，1a2

v(x,t)?u(x,t)?w(x)?vt(x,t)?ut(x,t),vxx(x,t)?uxx(x,t)?

vt(x,t)?a2vxx(x,t)?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?f(x)?0，1a1a22f(x)，v(0,t)?u(0,t)?w(0)?A?F(0)?(A?B)a?F(l)al2220?A?0，v(l,t)?u(l,t)?w(l)?B?F(l)?(A?B)a?F(l)al2l?A?0，v(x,0)?u(x,0)?w(x)?g(x)?w(x)，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)：

?vt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?v(x,0)?g(x)?w(x)?(0?x?l,t?0)，用分離變量法可求得：

??

v(x,t)?其中，An??n?1n?x?n?a?，Anexp?(??t)sinll??(g(x)?w(x))sin??22l?ln?xl20dx(n?1,2,?)。

所以，u(x,t)??n?1n?x?n?a?Anexp(???w(x)。?t)sinl?l?21．在扇形區(qū)域內(nèi)求解邊值問題

??u?0(r?a,0????)?

?u(r,0)?0,u(r,?)?0。

?u(a,?)?f(?)?解：由極坐標(biāo)下的Laplace算子表達(dá)式可知：

1???u?1?u2

?u??0?rurr?rur?u???0。?r??22r?r??r?r??2用分離變量法求解此定解問題：設(shè)u(r,?)?R(r)?(?)，代入以上微分方程化簡后可rR??(r)?rR?(r)R(r)2得

?????(?)?(?)2：

??????(?)???(?)?0,rR??(r)?rR?(r)??R(r)?0

u(r,0)?R(r)?(0)?0??(0)?0, u(r,?)?R(r)?(?)?0??(?)?0，所以，?(?)是如下邊值問題的非零解函數(shù)：

2???n?????n??????(?)???(?)?0???????

?????(0)?0,?(?)?0????(?)?sinn?xn?????(n?1,2,?)，2n?/??n?/??Bnr

rR??(r)?rR?(r)??nR(r)?0?R(r)?Rn(r)?Anr，n?/?又顯然有：R(0)????Bn?0，也就是：Rn(r)?Anr，所以，un(r,?)?Rn(r)?n(?)?Anr??n?/?sinn???sin，n??設(shè)原定解問題的解函數(shù)是 u(r,?)??n?1Anrn?/??n?/?，??由關(guān)于r的邊界條件可得：f(?)?u(a,?)?其

?n?1Anasinn???，中

An?a?n?/?2???0f(?)sinn???2d?(n?1,2,?)，n?/?n??????r?所以，u(r,?)????f(?)sind?????n?1?0???a???sinn???。

??u?0(1?r?2,0????)?22 求解邊值問題

?u(1,?)?sin?,u(2,?)?0。

?u(r,0)?0,u(r,?)?0?解：由極坐標(biāo)下的Laplace算子表達(dá)式可知：

1???u?1?u2?0?rurr?rur?u???0

?u??r??22r?r??r?r??

2用分離變量法求解：設(shè)u(r,?)?R(r)?(?)代入方程中并化簡得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0，???????(?)????(?)???(?)?0???(?)

u(r,0)?0,u(r,?)?0??(0)?0,?(?)?0，?????(?)???(?)?0

???(0)?0,?(?)?0?2??n??2????n???n????????(?)??(?)?sinn?n?(n?1,2,?)，將???n?n2代入R(r)所滿足的方程可得：

r2R??(r)?rR?(r)?n2R(r)?0?R(r)?Rn(r)?Anrn?Bnr?n，????n設(shè)原定解問題的解函數(shù)為 u(r,?)??Rn?1(r)?n(?)??(An?1nr?Bnrn?n)sinn?，???n?n0?u(2,?)??(An2?Bn2)sinn???n?1由r的邊界條件可得：

?，???sin??u(1,?)??(An?Bn)sinn??n?1?容易得到：

An?Bn?0(n?2,3,?)，?1??1A????1?2A?2B1?0

3，?1??4B1?1?A1??B1??3??所以，u(r,?)?????13r?43r?1??sin?。?2?(r?a)?uxx?uyy?y23． 求解邊值問題 ? 222??ur?a?xy,r?x?y解：作函數(shù)變換 v(x,y)?u(x,y)?112y，24則有：

vxx(x,y)?uxx(x,y),vyy(x,y)?uyy(x,y)?y 此時(shí)，有：

vxx?vyy?uxx?uyy?y?y?y?0，所以，v(x,y)是如下邊值問題的解函數(shù)：

222 23 ?vxx?vyy?0(r?a)?

? 14222v?xy?y,r?x?y?12?r?a將此定解問題由直角坐標(biāo)改為極坐標(biāo)：

?r2vrr?rvr?v???0(r?a)?

?1424v(a,?)?acos?sin??asin??12?(x?rcos?,y?rsin?)，用分離變量法求解此定解問題：設(shè)v(r,?)?R(r)F(?)，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟rR??(r)?rR?(r)R(r)2容易得到：

?F??(?)??F(?)?0??????2，???rR(r)?rR(r)??R(r)?0F(?)?F??(?)由v(r,?)的實(shí)際意義可知：F(?)是以2?為周期的周期函數(shù)，R(0)??? 所以

???n?n2,F(?)?Fn(?)?Ancosn??Bnsinn?(n?0,1,2?)

22n?nn

rR??(r)?rR?(r)?nR(r)?0?R(r)?c1r?c2r,letRn(r)?r，????n設(shè)

v(r,?)??Rn?0(r)Fn(?)??(An?0??nncosn??Bnsinn?)r

由關(guān)于r的邊界條件可得：v(a,?)?112?(An?04ncosn??Bnsinn?)a，n而

v(a,?)?acos?sin??

??所以，A0??13213242asin?

12412acos2??19644a?412asin2??1a,B2?22196acos4?，4a,A2?24,A4??，其余的An、Bn的值均為零。所以，v(r,?)?? u(r,?)??1324132a?r(242124acos2??12212sin2?)?1964196rcos4?，112rsin?。

444a?r(124acos2??2sin2?)?rcos4?????u?0(r?a,0???)?2?24.求解邊值問題 ?ur(a,?)?f(?)。

??u(r,0)?0,u(r,)?0?2?解：因?yàn)槠渥宰兞康娜≈祬^(qū)域是扇形區(qū)域，所以可在極坐標(biāo)系下用分離變量法求解此定 24 解問題，因?yàn)椋?u?1?r?rr?u?r?1?ur22??2?0，設(shè) u(r,?)?R(r)?(?)，求出其各階偏導(dǎo)數(shù)并代入方程后化簡可得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0 ?????????(?)??(?)???(?)?0???(?)?(由u(r,?)關(guān)于?的邊界條件可得

?(0)?0,?2)?0

????(?)???(?)?0????n?4n2?所以

?????(0)?0,?()?0??n(?)?sin2n??2?(n?1,2?)

r2R?(r)?rR?(r)?4n2R(r)?0?R?Rn(r)?Anr2n?Bnr?2n

u(0,?)????Rn(0)????Rn(r)?Anr??2n

設(shè)原定解問題的解函數(shù)為

u(r,?)??An?1nr2nsin2n?，??則

ur(r,?)??2nAn?1nr2n?1sin2n?，??由邊界條件得

f(?)?ur(a,?)?從而有：

An?2n?a2n?1?2nAn?1na2n?1sin2n?

??/20f(?)sin2n?d?

（1）

??所以，原定解問題的解函數(shù)為u(r,?)?其中的系數(shù)由（1）式給出。

?An?1nr2nsin2n?，???u?xy(r?a,0???)?2?25．求解邊值問題

?ur(a,?)?f(?)

??222u(r,0)?0,u(r,)?0,r?x?y?2?解：設(shè)w(x,y)?112xy(x?y)，作函數(shù)變換v(x,y)?u(x,y)?w(x,y)，22則

?v?vxx?vyy?uxx?uyy?(wxx?wyy)?0 在極坐標(biāo)下：

v(r,?)?u(r,?)?w(r,?)?u(r,?)?124rsin2?，25

vr(r,?)?ur(r,?)?

vr(a,?)?ur(a,?)?經(jīng)驗(yàn)算得知：

v(r,0)?0,v(r,1616rsin2?，asin2?，33?2)?0，所以，v(r,?)為如下邊值問題的解函數(shù)：

2?1??v1?v(r)?2?0??v?2r?r?rr???13?v(a,?)?f(?)?asin2??r6??v(r,0)?0,v(r,?)?0?2?(r?a,0????2)

用分離變量法求解，設(shè)v(r,?)?R(r)?(?)代入方程并化簡得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0??????，?(?)????(?)???(?)?0???(?)由關(guān)于?的邊界條件可得：?(0)?0,?(?2)?0，(n?1,2,?)，2由此可得： ???n?4n,???n(?)?sin2n?222n?2n

rR??(r)?rR?(r)?4nR(r)?0?R?Rn(r)?Anr?Bnr，v(0,?)????R(0)????Rn(r)?Anr????n2n。

設(shè)

v(r,?)??Rn?13(r)?n(?)??An?1nr2nsin2n?，則

f(?)?16??asin2??vr(a,?)?2?2nAn?1na2n?1sin2n?，??由可求得： v(r,?)??An?1nr2nsin2n??a12rsin2?，2其中，An?2n?a2n?1??/20f(?)sin2n?d?，124rsin2?。

u(r,?)?v(r,?)?

第二篇：數(shù)理方程-分離變量法

第八章

分離變量法

2??2u2?u?a0?x?l,t?0?22?t?x? u(0,t)?0,u(l,t)?0t?0???u(x,0)u(x,0)??(x),??(x)0?x?l??t?對(duì)于這樣的定解問題，我們將介紹分離變量法求解，首先回憶高數(shù)中我們?nèi)绾翁幚淼那蠼獾模邤?shù)中處理微分或重積分是把函數(shù)分成單元函數(shù)

分離變量法的思路：對(duì)于二階線性微分方程變換成單元函數(shù)來求解，也就是通過分離變量法把x、t兩個(gè)變量分開來，即把常微分方程變化為兩個(gè)偏微分方程來求解。

分離變量法的思想：先求出具有分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理做出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)（疊加后這些特解滿足邊界條件不滿足初始條件，再由初始條件確定通解中的未知的數(shù)）。

疊加原理：線性偏微分方程的解的線性組合仍是這個(gè)方程的解。特點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)上 解的唯一性來做作保證。（2）物理上 由疊加原理作保證。例：有界弦的自由振動(dòng)

1.求兩端固定的弦的自由振動(dòng)的規(guī)律

2??2u2?u?a0?x?l,t?0?22?t?x? u(0,t)?0,u(l,t)?0t?0???u(x,0)u(x,0)??(x),??(x)0?x?l??t?第一步：分離變量（建立常微分方程定解問題）令u(x,t)?X(x)T(t)

這個(gè)思想可從實(shí)際的物理現(xiàn)象可抽象出來，比如我現(xiàn)在說話的聲音，它的振幅肯定隨時(shí)間變化，但到達(dá)每個(gè)同學(xué)的位置不同，振幅又是隨位置變化，可把聲音分成兩部分，一部分認(rèn)為它隨時(shí)間變化，一部分隨位置變化。

第二步：代入方程

（偏微分就可寫成微分的形式，對(duì)于u有兩個(gè)變量，但對(duì)于X、T都只有一個(gè)變量）

X(x)T??(t)?a2X(x)??T(t)

變形得X??(x)T??(t)?= ?? X(x)a2T(t)左邊與t無關(guān)，右邊與x無關(guān)，左右兩邊相互獨(dú)立，要想相等，必定等于一個(gè)常數(shù)。由于x, t 是相互

獨(dú)立的變量，上式必然等于同一常數(shù)。

方程左邊為關(guān)于x的函數(shù)，方程右邊為關(guān)于t的函數(shù)，只有當(dāng)左右兩邊都等于常數(shù)的時(shí)候才成立 令其為??（得到的兩個(gè)常微分方程形式比較標(biāo)準(zhǔn)）

X(x)????X(x)?0

T??(t)?a2?T(t)?0

得到兩個(gè)常微分方程 第三步：代入邊界條件

得到：X(0)T(t)?0

X(l)T(t)?0，由于是t>0得值，T(t)是一個(gè)范圍內(nèi)不固定的值，所以X(0)?0

X(l)?0

常微分方程含?，?未知，需要對(duì)?進(jìn)行討論

X(x)????X(x)?0，X(0)?0

X(l)?0

特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)常微分方程子一定條件下的求解問題。特征（固有）函數(shù)：和特征值相對(duì)應(yīng)的非零解 第四步：確定特征值并得到它的特征函數(shù) 分情況討論：

1）?<0時(shí), 特征方程為R???0,特征根為：R??-? 得通解為X(x)?Ae??x2?Be???x（A、B為待定系數(shù)）

??x把定解條件X(0)?0

X(l)?0代入通解X(x)?Ae得到A+B=0

?Be???x

Ae??l?Be???l?0

??x于是A=B=0?X(x)?Ae?Be???x即X(x)=0 則u(x,t)?X(x)T(t)=0，零解無意義 即?<0時(shí)，定解問題無解。2）?=0時(shí), X(x)????X(x)?0 有X(x)?Ax?B A=B=0?X(x)?Ae??x?Be???x即X(x)=0 則u(x,t)?X(x)T(t)=0，零解無意義 3）?>0時(shí), X(x)????X(x)?0

令???2（?為非零實(shí)數(shù)）

特征方程為R???0,特征根為虛數(shù)：R??-?i 通解為X(x)?Acos?x?Bsin?x（A、B為待定系數(shù)）

把定解條件X(0)?0，X(l)?0代入通解X(x)?Acos?x?Bsin?x 2X(0)?0得到A =0，即X(x)?Bsin?x X(a)?0得到Bsin?l?0

在B≠0的情況下，有sin?l=0，即?n?為非零實(shí)數(shù)）

現(xiàn)在就完成了用分離變量法求解X（x）的部分，得到特征值為?n??n?(數(shù)為：X(x)?Bnsin2n?（n=1,2,3，…注意n≠0，若n=0，則?=0，??0而?ln?2)，所對(duì)應(yīng)的特征函ln?x ln?2)代入 l下面求解關(guān)于t的常微分方程

T??(t)??T(t)?0，將?n?(2n2?2Tn??(t)?aTn(t)?0，這種情況的通解與X(x)????X(x)?0的?>0的情況相同。

l2?cos即Tn(t)?Cnn?atn?at?sin?Dn

（n=1,2,3，…）

ll至此Xn(x)與Tn(t)都求出來了，所以定解問題的n個(gè)特解（這n個(gè)特解均滿足邊界條件）為：

un(x,t)?Xn(x)Tn(t)=(Cncosn?atn?atn??Dnsin)sinx

（n=1,2,3，…）lll根據(jù)疊加原理，特解的疊加仍是方程的解，所以得到通解

u(x,t)??un(x,t))

i?1n=?(Cncosi?1nn?atn?atn??Dnsin)sinx（n=1,2,3，…）lll?u(x,0)??(x)求解）?t其中Cn、Dn為待定系數(shù)（利用初始條件u(x,0)??(x),第五步: 利用本征函數(shù)的正交歸一性確定待定系數(shù)

u(x,t)??(Cncosi?1nn?atn?atn??Dnsin)sinx lll

u(x,t)t?0?u(x,0)

??Cnsini?1nn?x??(x)l??(?i?1n?u(x,t)?t??i?1nt?0n?atn?atn?an?atn?Cnsin?ccos)sinxt?0 llllln?an?Dnsinx??(x)ll?(x)與?(x)正是傅里葉正弦級(jí)數(shù)，Cn、Dn是傅里葉系數(shù)。

利用三角函數(shù)的正交性

l1?cos(2n?/l)n?lxdx?dx? ?0?0l22ln?m?1ln?mn?msinxxdx??[cos??cosx?x]dx?0（m≠n）?0ll2?0lllsin2l?m?n?m?l得到：??(x)sinxdx???Cnsinxxdx?Cn

00lll2n?0l2lm??(x)sinxdx ?0lll2lm?2lm????(x)sinxdx??(x)sinxdx 同理，Dn?n?al0ln?a?0l于是得到：Cn?回顧整個(gè)求解過程，可作出分離變量法流程圖

u|t?0??(x)u?|t?0??(x)ut?a2uxxu|x?0?u|x?l?0X(0)?X(L)?0分離變量流程圖u?T(t)X(x)T'/(a2T)?X“/X???T'?a2?T?0T?Aexp(?a2?t)X”??X?0X?sin?x,??nl?un?Tn(t)Xn(x)u?u(x,t)2.解的性質(zhì)

u??TnXn

un(x,t)=(Cncos于x的函數(shù)）n?atn?atn??Dnsin)sinx---------方程的特解（前面是關(guān)于t的函數(shù)，后面是關(guān)lllun(x,t)=(Cncosn?n?atn?atn??Dnsin)sinx=Ancos(?nt??n)sinx lllln?aD，?n?arctann lCn22其中：An?Cn?Dn，?n?當(dāng)x?x0時(shí)，un(x,t)=Ansin點(diǎn)的振動(dòng)方程）。

n?x0cos(?nt??n)---------弦上確定的一點(diǎn)以頻率?n做振動(dòng)（弦上某ln?x----------某一時(shí)刻，特解為正弦函數(shù)的形式，所有點(diǎn)l當(dāng)t?t0時(shí)，un(x,t)=Ancos(?nt0??n)sin的位置，波動(dòng)方程（駐波的方程），每個(gè)特解代表一個(gè)駐波，因此分離變量法又稱為駐波法。

標(biāo)準(zhǔn)的駐波方程：y?2Acos2?x??cos?t

sinn?2x的（駐波）波長為?n?l（n=1,2,3，…）

nl

頻率：fn??nna? 2?2lna2T ?l?a?2ln?波速：vn?fn?n?3.分離變量法概要：

（1）作分離變量假設(shè)，代入方程和邊界條件中得到固有值問題（2）確定固有函數(shù)和固有值（3）寫出定解問題的特解（4）將特解疊加無，給出通解

（5）用初始條件確定通解系數(shù)（傅立葉展開）4.回顧整體思路：

2?u(x,0)?2u2?u??(x)

定解問題2?a初始條件u(x,0)??(x), 邊界條件u(0,t)?0,u(l,t)?0 2?t?t?x2?2u2?u?a將假設(shè)u(x,t)?X(x)T(t)代入方程，此偏微分方程得到兩個(gè)常微分方程?t2?x2X(x)????X(x)?0

T??(t)?a2?T(t)?0。

將邊界條件u(0,t)?0,u(l,t)?0代入u(x,t)?X(x)T(t)，得到X(0)?0、X(l)?0，求解已知定解條件的常微分方程X(x)????X(x)?0的特征值為?n??n?(n?2n?)，特征方程Xn(x)?Bnsinx，lln?atn?at?cos?sin?Dn求解T??(t)?a2?T(t)?0的特征函數(shù)Tn(t)?Cn，所以

lln?atn?atn????Dnsin)Bnsinx。un(x,t)?Xn(x)Tn(t)=(Cncoslll2根據(jù)疊加原理，特解的疊加是方程的通解，所以得到：

u(x,t)??un(x,t))i?1n=

?(Cncosi?1nn?atn?atn??Dnsin)sinxlll，將初始條件u(x,0)??(x),?u(x,0)??(x)代入，求解待定系數(shù)Cn、Dn（傅立葉展開）。?tx(10?x)，求弦做

1000分離變量法的適用條件：任何二階線性（齊次）偏微分方程

例一：設(shè)有一根長為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速度為零，初位移為?(x)?微小橫振動(dòng)時(shí)的位移。

2??2u4?u?100?x?10,t?0?22?t?x? u(0,t)?0,u(10,t)?0t?0??x(10?x)?u(x,0)u(x,0)?,?0?1000?t?解：設(shè)u(x,t)?X(x)T(t)，代入

X??1T???4??? X10T4得到：X(x)????X(x)?0

T??(t)?10?T(t)?0

u(0,t)?X(0)T(t)?0,u(10,t)?X(10)T(t)?0

?X(x)????X(x)?0,0?x?10得到本征值問題：，?

X(0)?0,X(10)?0?經(jīng)討論???2?0時(shí)，有非零解，X(x)?Acos?x?Bsin?x

X(0)?A?0,X(10)?Bsin10??0，?n?2n?，n=1,2,3，… 10n?n2?2x 得到特征值：????

得到特征方程：Xn(x)?Bnsin10100于是：T??(t)?100n2?cos10n?t?Dn?sin10n?t ?2T(t)?0，其解為Tn(t)?Cnun(x,t)?Xn(x)Tn(t)

n??cos10n?t?Dn?sin10n?t)x(Cn10n?x =(Cncos10n?t?Dnsin10n?t)sin10?Bnsinu(x,t)??un(x,t))=?(Cncos10n?t?Dnsin10n?t)sini?1n?1n?n?x 10將初始條件u(x,0)? ?Cnsin10n?t ?n?1?x(10?x)

1000210x(10?x)n?sinxdx運(yùn)用分部積分法求解 ?010100010110n?x(10?x)sinxdx

=5000?010n為偶數(shù)?2?0=44(1?cosn?)??4

n為奇數(shù)5n???5n4?4Cn??u(x,0)?n?an???Dnsinx?0，故Dn=0.?tlln?1所以u(píng)??un(x,t))=?i?1n?1n?(2n?1)?4sinx cos10(2n?1)?t105(2n?1)4?42??2u2?u?a0?x?l,t?0?22?t?x??u(l,t)?例二：? u(0,t)?0,?0t?0?x??u(x,0)?x2?2lx,?u(x,0)?00?x?l??t?解：設(shè)u(x,t)?X(x)T(t)，代入

X??1T???2??? XaT得到：X(x)????X(x)?0

T??(t)?a2?T(t)?0

u(0,t)?X(0)T(t)?0?u(l,t)?0?x?

X(0)?0

? ?u(l,t)?X?(l)T(t)?0?x?X?(l)?0

?X(x)????X(x)?0,0?x?l得到本征值問題：，?

?X(0)?0,X(l)?0?經(jīng)討論??0，X(x)?Ae??x?Be???x（A、B為待定系數(shù)）

??x把定解條件X(0)?0

X?(l)?0代入通解X(x)?Ae得到A+B=0

?Be???x

A?e??l?B?e???l?0

于是A=B=0即X(x)=0 ?=0時(shí), X(x)????X(x)?0，有X(x)?Ax?B，A=B=0即X(x)=0 ???2?0時(shí)，X(x)????X(x)?0，X(x)?Acos?x?Bsin?x

X(0)?0X?(l)?0所以?n?? A?0

?X?(x)?B?cos?l?0

(2n?1)? n=1,2,3，… 2l2(2n?1)?(2n?1)2?2X(x)?Bsinx 寫出特征值和特征函數(shù)????，nn22l4l(2n?1)2?2Tn(t)?0 T??(t)?a?T(t)?0變?yōu)門n??(t)?a4l222(2n?1)?a(2n?1)?a?sint?Dnt，2l2l(2n?1)?a(2n?1)?a(2n?1)??cos?sint?Dnt)sinx 所以u(píng)n(x,t)?Xn(x)Tn(t)=(Cn2l2l2l?cosTn(t)?Cn所以u(píng)??un(x,t))=?(Cncosi?1i?12nn(2n?1)?a(2n?1)?a(2n?1)?at?Dnsint)sinx 2l2l2l由初始條件u(x,0)?x?2lx,?u(x,0)?0確定Cn、Dn。?tu(x,0)??Cnsinl(2n?1)?x?x2?2lx 2l2(2n?1)?32l22 Cn??(x?2lx)sinxdx??33l02l(2n?1)??u(x,0)(2n?1)?a(2n?1)???Dnsinx?0，Dn=0 ?t2l2lu??un(x,t))=?i?1n32l2?31(2n?1)?a(2n?1)?costsinx ?32l2li?1(2n?1)n附錄1：二階常系數(shù)微分方程：y???py??qy?0 特征方程：r?pr?q?0 根的三種情況

2?r1?r2??r1?r2?r?r???i??

得到常系數(shù)微分方程的通解： ?y?C1er1x?C2er2x

附錄2：線性方程滿足疊加原理。

線性齊次方程（只含未知量的一次項(xiàng)，無零次項(xiàng)）通解為所有線性無關(guān)特解的疊加；而線性非齊次方程通解為其特解與相應(yīng)齊次方程（去掉零次項(xiàng)后的線性方程）通解的疊加。

?rxrx?y?C1e?C2xe?y?e?x(Ccos?x?Csin?x)12?附錄3：和差化積公式

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

第三篇：9分離富集習(xí)題及其答案

第9章 分析化學(xué)中的分離與富集方法

思考題答案

1.分析化學(xué)中，為何要進(jìn)行分離富集？如何評(píng)價(jià)分離效果？

答：將被測(cè)組分從復(fù)雜體系中分離出來后測(cè)定；把對(duì)測(cè)定有干擾的組分分離除去；將性質(zhì)相近的組分相互分開；把微量或痕量的待測(cè)組分通過分離達(dá)到富集的目的，提高測(cè)定靈敏度。用回收率（回收因子）和分離率（分離因子）評(píng)價(jià)分離效果。

2.某水樣溶液中含有Fe3+、Al3+、Ca2+、Mn2+、Mg2+、Cr3+、Zn2+和Cu2+等離子，加入NH4Cl和氨水后，哪些離子以什么形式存在于沉淀中？哪些離子以什么形式存在于溶液中？如果加入NaOH溶液呢？

答：加入NH4Cl-NH3緩沖液，pH在8-9間，因此溶液中有Ca2+，Mg2+,，Cu(NH3)42-、Zn(NH3)42+等離子和少量Mn2+，而沉淀中有Fe(OH)3，Al(OH)3和Cr(OH)3和少量Mn(OH)2沉淀。試液中Fe3+，A13+，Cr3+可以與Ca2+，Mg2+，Cu2+和Zn2+等離子完全分開，而Mn2+分離不完全。

3.相對(duì)于無機(jī)共沉淀劑，有機(jī)共沉淀劑有何優(yōu)點(diǎn)？其進(jìn)行共沉淀分離有哪些方式？

答：與無機(jī)共沉淀劑相比，有機(jī)共沉淀劑可經(jīng)灼燒而除去，被測(cè)組分則被留在殘?jiān)校眠m當(dāng)?shù)娜軇┤芙夂蠹纯蓽y(cè)定；有機(jī)共沉淀劑的相對(duì)分子質(zhì)量較大，體積也大，有利于微量組分的共沉淀；與金屬離子生成的難溶性化合物表面吸附少，沉淀完全，沉淀較純凈，選擇性高，分離效果好。

進(jìn)行共沉淀分離的方式：利用膠體的凝聚作用進(jìn)行共沉淀；利用形成離子締合物進(jìn)行共沉淀；利用惰性共沉淀劑。

4.試說明分配系數(shù)和分配比的物理意義，兩者有何關(guān)系？分配比與萃取率有何聯(lián)系？如何提高萃取率？

答：分配系數(shù)：是溶質(zhì)在兩相中型體相同組分的濃度比（嚴(yán)格說應(yīng)為活度比）。而分配比：是溶質(zhì)在兩相中的總濃度之比。在給定的溫度下，KD是一個(gè)常數(shù)。但D除了與KD有關(guān)外，還與溶液酸度、溶質(zhì)濃度等因素有關(guān)，它是一個(gè)條件常數(shù)。

D與KD的關(guān)系：D?cHA,ocHA,w?[HA]o?HA,o[HA]w?HA,w?KD?HA,o?HA,w

D與E的關(guān)系：E?D?100%

D?VW/VO提高萃取效率方法：增加有機(jī)溶劑量；增加分配比；少量多次萃取。5.何謂相似相溶原理？它在液-液萃取和液相色譜中有何作用？

答：“相似相溶”原則：極性物質(zhì)易溶于極性溶劑中，非極性物質(zhì)易溶于非極性溶劑中，堿性物質(zhì)易溶于酸性溶劑中，酸性物質(zhì)易溶于堿性溶劑。6.液-液萃取中產(chǎn)生乳濁液的原因是什么？破乳的方法有哪些？

答：因振蕩過于激烈，使一相在另一相中高度分散，形成乳濁液；或反應(yīng)中形成某種微溶化合物，既不溶于水，也不溶于有機(jī)相，以致在界面上出現(xiàn)沉淀，形成乳濁液。一般通過采用增大萃取劑用量，加入電解質(zhì)，改變?nèi)芤核岫龋袷幉贿^于激烈等措施，使相應(yīng)的乳濁液消失。

7.用離子交換法分離兩種酸（pKa分別為3和4）的混合試樣，問：應(yīng)選用何種類型的的離子交換樹脂？哪一種酸先被洗脫？

答：用陰離子交換樹脂，pKa為4的酸先被洗脫。對(duì)強(qiáng)酸型陽離子交換樹脂交換柱，請(qǐng)預(yù)測(cè)下列離子用H+洗脫的順序。①Th4+，Na+，Ca2+，Al3+；②Li+，Na+，K+，Cs+。

答：①Na+>Ca2+>Al3+>Th4+

②Li+> Na+>K+>Cs+

9.離子交換樹脂按活性功能基團(tuán)分類有哪些類型？其交換能力與溶液pH有何關(guān)系？什么是離子交換樹脂的交聯(lián)度和交換容量？

答：陽離子交換樹脂：強(qiáng)酸型（—SO3H），弱酸型（—COOH、—OH，pH越高，交換能力越大）。陰離子交換樹脂：強(qiáng)堿型（季銨基）、弱堿型（伯胺基等），pH越低，交換能力越大）。交換容量是指每克干樹脂能交換離子的物質(zhì)的量（mmol），其大小取決于樹脂網(wǎng)的結(jié)構(gòu)上活性基團(tuán)的數(shù)目。交聯(lián)劑在樹脂單體總量中所占質(zhì)量分?jǐn)?shù)稱為交聯(lián)度。

10.如用BaSO4重量分析法測(cè)定SO42-時(shí)，大量Fe3+會(huì)產(chǎn)生共沉淀，如何消除Fe3+干擾？如用BaSO4重量分析法測(cè)定Ba2+時(shí)，大量PO43-會(huì)干擾，又如何消除？

答：測(cè)定SO42-時(shí)，F(xiàn)e3+會(huì)產(chǎn)生共沉淀，可通過H+型強(qiáng)酸性陽離子交換樹脂，交換除去Fe3+。測(cè)定Ba2+時(shí)，PO43-有干擾，可通過Cl-型強(qiáng)堿性陰離子交換樹脂，交換除去PO43-。11.樣品在薄層色譜中展開，5 cm處有一斑點(diǎn)，則10 cm處的斑點(diǎn)是哪一個(gè)？

①Rf加倍； ②Rf加倍不變；③樣品移行距離加倍；④樣品移行距離增加，但小于2倍；⑤樣品移行距離增加，但大于2倍。答：①③

12.已知某混合試樣A、B、C三組分的分配系數(shù)分別為400、450、500，則三組分在液相色譜上的Rf值的大小順序如何？ 答：Rf(A)< Rf(B)< Rf(C)

習(xí)題及其答案

1.在HCl介質(zhì)中，用乙醚萃取Ga離子時(shí)，分配比D=18，若萃取Ga時(shí)Vw = Vo，則Ga的萃取率E為多少 ?

E?D18?100%??100%?94.7%

D?VW/V018?12．有100 mL含有I2 10 mg的水溶液，用90 mL CCl4分別按照下列情況進(jìn)行萃取：(1)全量一次萃取；(2)分三次萃取。求萃取率各為多少？結(jié)果說明了什么？（D＝85）解：（1）m1?m0VW100?10??0.13mg

DVo?VW85?90?100 E??98.7%m0?m110?0.13?100％??100％m010（2）m3?m0(E?100V水)3?5.4?10?4mg)3?10?(85?30?100DV有?V水m0?m110?5.4?10?4?100％??100％?99.99%m010少量多次萃取，但萃取次數(shù)不易過多。

3.含有OsO4的50.0 mL水溶液，欲用CHCl3進(jìn)行萃取，要求萃取率達(dá)到99.8％以上。若每次使用的CHCl3的體積為10.0 mL，則至少需要萃取多少次？（D＝19.1）解：E?m0?m1?100%?99.8% m0∴m1<0.002 m0?50???????0.002 ??19.1?10?50??nnm1?VW??m0??DVo?VWn?4

故至少應(yīng)萃取4次才能達(dá)到題設(shè)要求

4.計(jì)算相比為0.75、1.5和4時(shí)，分配比D分別等于0.1、1.0、10和50時(shí)的萃取率，并以E為縱坐標(biāo)，lgD為橫坐標(biāo)，根據(jù)此圖，歸納出相比和分配比對(duì)溶質(zhì)萃取率的影響規(guī)律。解：(1)

D0.1VW??11.76% ?0.75 D=0.1時(shí)，E?D?VW/V00.1?0.75VO同理：D=1.0 時(shí)，E=57.14% D=10 時(shí)，E=93.02% D=50 時(shí)，E=98.52%(2)VW?1.5 D=0.1時(shí)，E=6.25% VO同理：D=1.0 時(shí)，E=40% D=10 時(shí)，E=86.96% D=50 時(shí)，E=97.09%(3)VW?4 D=0.1時(shí)，E=2.44% VO同理：D=1.0 時(shí)，E=20% D=10 時(shí)，E=71.43% D=50 時(shí)，E=92.59% 1008060E40200-1012相比：0.75相比：1.5相比：4lgD

相比一定時(shí)，D增大，E增大；D相同時(shí)，相比增大，E減小。

5．從水溶液中萃取銅離子和鈷離子，假定相比為1：3，單次萃取后，實(shí)測(cè)兩相中金屬離子濃度為[Cu]o=32.4 g ?L-1，[Cu]w=0.21 g ?L-1，[Co]o=0.075 g ?L-1，[Co]w=0.47 g ?L-1，試分別計(jì)算這兩種金屬離子的分配比、萃取率和分離系數(shù)，并判斷此兩種金屬離子是否被定量分離。解：對(duì)Cu2+：D=Co32.4==154.3 Cw0.21E?D?100%?D?VW/V0D1D?3?100%?99.79%

對(duì)Co2+：D=0.075=0.16 0..47E=32.65% βCu2+ /Co2+=DCu2?=964<104 DCo2?故：兩種金屬離子不能被定量分離。

6.稱取某R4N+OH-型陰離子交換樹脂2.00 g，置于錐型瓶中，加入0.2000 mol ?L-1 HCl-1 100 mL 浸泡一晝夜。用移液管吸取25.00 mL, 以甲基紅為指示劑，用0.1000 mol ?L-1 NaOH溶液滴定，消耗20.00 mL。計(jì)算此陰離子交換樹脂的交換容量。解：

交換容量=CHClVHCl?CNaOHVNaOH?2.010025?0.2000?100?0.1000?20?4=6 mol ?g-1

2.07.用8-羥基喹啉氯仿溶液于pH=7.0時(shí)，從水溶液中萃取La3+。已知它在兩相中的分配比D=43，今取含La3+的水溶液（1 mg ?mL-1）20.0 mL，計(jì)算用萃取液10.0 mL 一次萃取和用同量萃取液分兩次萃取的萃取率。

解：已知

m0=20.0mg，Vw=20.0mL，Vo=10.0mL，D=43 用10.0mL萃取液一次萃取時(shí)：

m1?m0VW20?20??0..89mg

DVo?VW43?10?20E?m0?m1?100%=95.55% m0每次用5.0mL萃取液連續(xù)萃取兩次時(shí)：

20??=0.14mg m1?20???43?10?20??E?20?0.14?100%=99.30% 2028.某一弱酸的HA的Ka=2×10-5，它在某種有機(jī)溶劑中的分配系數(shù)為30.0，當(dāng)水溶液的（1）pH=1；（2）pH=6時(shí)，分配比各為多少？用等體積的有機(jī)溶劑萃取，萃取效率各為多少？ 解：(1)pH =1 時(shí)，δHA,0 =1 δHA,W?H?≈1 =K??H???a?HA,WD=KD?KD?30.0 ?HA,OE=D?100%=96.77% D?1(2)(1)pH =6 時(shí)，δHA,0 =1 δHA,W=?H?=0.048 K??H???aD=KD0.048=1.44 1E=59.02% 9.今有兩種性質(zhì)相似的組分A和B。用紙色譜分離時(shí)，它們的比移值分別為0.50和0.68。欲使分離后兩斑點(diǎn)中心間的距離為2 cm，濾紙條應(yīng)取用多長? 解：

a??0.50?l?b?a=0.18 ??l?bRf?B???0.68?l?Rf?A??又b-a=2cm ∴ l> 11.1cm 濾紙條至少為12cm。

10.稱取0.5000g氫型陽離子交換樹脂，裝入交換柱中，用NaCl溶液沖洗，至流出液使甲基橙呈橙色為止。收集全部洗出液，用甲基橙作指示劑，以0.1000 mol?L-1 NaOH標(biāo)準(zhǔn)溶液滴定，用去24.51 mL，計(jì)算樹脂的交換容量。

解：用去NaOH溶液的物質(zhì)的量等于被交換到樹脂上Na+的物質(zhì)的量，也等于樹脂上被交換下來的H+的物質(zhì)的量。

交換容量?CNaOH?VNaOHG?0.1000?24.51?4.902(mmol/g)0.5000

第四篇：《變量》讀后感

羅老師的跨年演講，我始終覺得對(duì)我來說主要的作用在于推薦書，在聽完全版的羅胖跨年演講后，我就好奇地買了他重磅推薦的《變量》這本書。

《變量》是何帆今年出版的書，據(jù)他自己說，要寫到2049年，對(duì)此我表示好奇，也很八卦地準(zhǔn)備觀察下去，看是否堅(jiān)持得到30年，也許，很多讀者都是這么無聊地基于這個(gè)原因看下去。

這本書用了小趨勢(shì)的概念，小趨勢(shì)應(yīng)該不是本書作者先提出來的，按照美國未來學(xué)家馬克，佩恩的定義，小趨勢(shì)就是占人口1%的群體出現(xiàn)的變化。但是作者認(rèn)為，先有大趨勢(shì)，再有小趨勢(shì)，發(fā)展初期看大趨勢(shì)，發(fā)展后期看小趨勢(shì)。未來時(shí)代，小眾才是主流。

作者通過幾個(gè)不同的故事來闡述小趨勢(shì)中的變量，看得出來，成書很新，書中含的故事和案例都很新，延禧攻略都位列其中，作者試圖通過每一個(gè)故事的解析來說明在觀察時(shí)代帶來的小趨勢(shì)時(shí)，要?jiǎng)冸x那些無關(guān)緊要的變化，而是關(guān)注重要的變化。這樣，才能找到變量的密碼，讀完覺得這本書更像是面對(duì)面類似的節(jié)目，通過觀察找出背后隱藏的規(guī)律，通過紛紜的現(xiàn)象找出同理，今年的規(guī)律和道理是小趨勢(shì)，明年是什么？想來作者在忙著選題和分析吧。

第五篇：變量讀后感

變量讀后感

變量讀后感1

《變量》是一本集記錄，觀察，預(yù)測(cè)為一體的紀(jì)實(shí)書。作者想通過樹狀形的方法論來觀察中國在20xx年的發(fā)展中所蘊(yùn)藏的內(nèi)涵和變量。書有五章，分別闡述了作者寫書的立意，其后講了無人機(jī)的應(yīng)用場(chǎng)景情況，新舊交替及融合的力量，從不同的角度觀察城市的建設(shè)需求，最后講了教育的新芽萌發(fā)情況。針對(duì)這些事物，提出了自己的觀點(diǎn)和看法，也提供了我們對(duì)與業(yè)務(wù)在不同場(chǎng)景下的解讀。整體的閱讀體驗(yàn)與吳曉波先生的視角和文筆大不相同。

吳曉波先生寫的《激蕩十年：水大魚大》，主要立意和出發(fā)點(diǎn)是在宏觀的政治和經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，對(duì)具體行業(yè)和企業(yè)的發(fā)展及問題的解讀和理解，從而更加的有歷史感，會(huì)讓讀者讀之感覺于我心有戚戚焉。而何帆先生的《變量》就是從微觀和具體的行業(yè)中某一垂直領(lǐng)域的具體產(chǎn)品的應(yīng)用的解讀，從微觀見長遠(yuǎn)，發(fā)掘的是現(xiàn)在看起來幼小，未來可能是大趨勢(shì)的事物。因此二者花開兩朵，各表一枝，相以為鑒，從而是自己的對(duì)事物的看法更加的立體及實(shí)際。

相閱相悅，因?yàn)槲覀儗?duì)于時(shí)間的每一次記錄，都是在對(duì)過去的點(diǎn)滴檢視和反思。漢娜·阿倫特也說過：除非經(jīng)由記憶之路，人不能抵達(dá)縱深。同理，我們的國家為何在記史、寫史、讀史上有別于其他國家，而且?guī)谉o遺漏。因?yàn)榉彩沁^往，皆為序曲，通過讀史、思史、鑒史，我們就會(huì)愈發(fā)的明白，個(gè)人在歷史中的渺小和群里力量影響的宏大。雖然個(gè)人力量的渺小確實(shí)是一個(gè)限制性因素，但是我們卻不必妄自菲薄，個(gè)人的力量在歷史中，確實(shí)有關(guān)鍵的作用的。

從大處說，我們是需要史官記史寫史，而從個(gè)人角度而言，我們寫日記的目的也在于此。日記其實(shí)就是一個(gè)人的個(gè)性化歷史記錄本，雖然行文和表述因個(gè)人的語言詞語水平有高下之分，但是其對(duì)于歷史的意義卻是一樣的。通過日記，我們能從中尋覓到個(gè)人的發(fā)展和變化的歷程，同時(shí)也是非常個(gè)性化的歷史表達(dá)。

回到《變量》本書，其中對(duì)于主要領(lǐng)域中的垂直市場(chǎng)中的觀察，如無人地帶無人機(jī)，社群及社群的新模式，素質(zhì)教育的變化及萌發(fā)地方，進(jìn)而論述了主要變量潛藏的地方和我們應(yīng)該關(guān)注的地方。雖然萌芽雖小，但是未來的潛力卻是無窮的。同時(shí)也給在城市生活得焦慮不已的我們，道明了一個(gè)新的道路和方向。

最后，我提一個(gè)小問題，習(xí)慣于城市便利生活的我們，是否還保留對(duì)新事物感知的好奇心和自我突破的勇氣？

變量讀后感2

我們的世界處于不斷變化中，歷史向來都是一個(gè)“反轉(zhuǎn)大師”，未來出現(xiàn)的一系列變化將挑戰(zhàn)我們的認(rèn)知，而我們更要像細(xì)致地觀察一顆樹一樣觀察歷史，從每年長出的“嫩芽”中去感受中華文明這棵大樹的生命力。

中國是一個(gè)擁有五千年文化的文明古國，自古以來，人們都喜歡用河流來形容歷史，那是因?yàn)槲拿鞯钠鹪创蠖嘣诤恿靼哆叄L河模式作為一種歷史觀，會(huì)給我們堅(jiān)定的方向感，因?yàn)槲覀冎篮恿鞑还苋绾巫罱K一定會(huì)匯入大海。如果拉長歷史的視野，你會(huì)發(fā)現(xiàn)所熟悉的那個(gè)過去的時(shí)代是極其特殊的，歷代中國人用勤勞和智慧描繪出了中華民族無數(shù)壯麗的畫卷，那是個(gè)草莽英雄出沒的時(shí)代，前人的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)值得我們學(xué)習(xí)和思考，但那個(gè)時(shí)代已經(jīng)一去不復(fù)返，舊的事物會(huì)被清除，新的事物也會(huì)落伍，尋找能夠帶來“反轉(zhuǎn)”的“新新事物”，在迎接和擁抱新變化的同時(shí)，找到適合自己的發(fā)展路徑。

“在一個(gè)所有人都贊美創(chuàng)新的年代，讓我們先向傳統(tǒng)致敬。創(chuàng)新沒有止境，但傳統(tǒng)定義了創(chuàng)新的底線。”這段話出自本書的第三章“老兵不死”，通過講述海爾的老兵張?zhí)禊i的故事提出了“企業(yè)必死，生態(tài)永存”。在參加完達(dá)沃斯世界經(jīng)濟(jì)論壇之后，張瑞敏就預(yù)見了互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的侵入，于是他嘗試了很多種方法，從邀請(qǐng)互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)請(qǐng)教自己怎么做到去海爾化，我們看到了一個(gè)企業(yè)摒棄原來那種圈定接班人的做法，變成了一個(gè)生生不息的生態(tài)系統(tǒng)。傳統(tǒng)行業(yè)的老兵早已悄悄穿上了新的軍裝，而新興的產(chǎn)業(yè)正在積極的向傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)學(xué)習(xí)，新興行業(yè)和傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)的邊界，也許并沒有我們想象的那般涇渭分明。

在更迭如此迅速地時(shí)代，不僅企業(yè)需要不斷創(chuàng)新以滿足市場(chǎng)的需求，個(gè)人也是如此。在現(xiàn)實(shí)生活和工作中，很少有人將各種主意、構(gòu)思表露出來，并付諸于實(shí)踐，這樣做其實(shí)埋葬了許多初萌發(fā)的創(chuàng)新閃光點(diǎn)，習(xí)慣了用新思維去思考問題，實(shí)際上激發(fā)出一些創(chuàng)新構(gòu)思相對(duì)是比較容易的事情，而真正利用這些構(gòu)思所作出卓有成效的實(shí)際創(chuàng)造性的工作相對(duì)很難。由此來看，我們更需要在實(shí)際堅(jiān)持理念中奮戰(zhàn)到底。

懷念歷史不如親自去感知?dú)v史，與其說從歷史中找到經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，不如學(xué)會(huì)從慢變量中尋找小趨勢(shì)，也許我們目前看到的只是冰山一角，未來冰山可能會(huì)浮出水面，成為下一個(gè)時(shí)代的慢變量，把握這些，就是何帆老師這本書對(duì)我們最大的意義。

變量讀后感3

翻開這本書，不禁驚嘆于身為一名經(jīng)濟(jì)學(xué)家的何帆具有如此強(qiáng)大的文字功底和知識(shí)儲(chǔ)備，何帆首先從如何觀察齊魯平原上的樹入手，告訴我們窺見真相的全貌的方法是在慢變量中尋找小趨勢(shì)。

快變量韶光中間社會(huì)和經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的表象，也是我們唾手可得的信息，而慢變量則是給中國經(jīng)濟(jì)帶來阻力的工業(yè)化，城市化，創(chuàng)新技術(shù)，找到了小趨勢(shì)，我們才能有信心，何帆為我們找到了全書最重要的一部分：五個(gè)變量，分別是：大國博弈，技術(shù)賦能，新舊融合，自上而下，重建社群。

過去的三十年里中國經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，國際環(huán)境的變化，尤其是20xx年中美貿(mào)易摩擦引起的中國外部環(huán)境的惡化，那么中美關(guān)系可以修復(fù)嗎？可以，作者認(rèn)為中美未來都會(huì)遇見挑戰(zhàn)：“人工智能的到來”

首先我們問自己一個(gè)問題：“如果你是一家新技術(shù)初創(chuàng)公司的CEO，你最關(guān)心的問題是什么？技術(shù)的研發(fā)？那可能是一個(gè)誤區(qū)，我們需要知道的是除了極少性突破技術(shù)外，大部分技術(shù)的應(yīng)用都是已有技術(shù)的混搭，何帆用此詳細(xì)的敘述了無人機(jī)在新疆的應(yīng)用。事實(shí)上，一個(gè)“混搭“技術(shù)需要通過選擇——適應(yīng)——改造。尋找應(yīng)用場(chǎng)景從而適應(yīng)市場(chǎng)環(huán)境。

在介紹新舊融合這個(gè)變量的時(shí)候，何帆用到了一個(gè)詞“老兵不死”出自麥克阿瑟的著名演講《老兵不死》，在演講中，麥克阿瑟是懷著傷感的情緒來表達(dá)一個(gè)老兵的哀鳴，如同蒼老掉隊(duì)的孤雁，亦或是如如草原上垂垂老矣的孤狼，而在這本書里的一部分，變量之新舊融合則想表達(dá)：面對(duì)著兵強(qiáng)馬壯，如狂風(fēng)般襲來的互聯(lián)網(wǎng)大軍，“老兵”—海爾和一汽們并沒有被打的丟盔棄甲，而是依靠傳統(tǒng)制造業(yè)多年積累夏利的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，流程管理優(yōu)勢(shì)和生產(chǎn)工藝優(yōu)勢(shì)，穿上了新的“軍裝”，展開了絕地反擊。比如，海爾依靠創(chuàng)造生生不息的生態(tài)系統(tǒng)依舊屹立不倒，一汽紅旗通過新的電動(dòng)汽車重新殺進(jìn)戰(zhàn)場(chǎng)。

第四個(gè)變量—自下而上，何帆想表達(dá)的是在城市化中自上而下的力量已經(jīng)逐漸浮出水面。但中國在過去二三十年的城市化實(shí)質(zhì)上是一種政府主導(dǎo)，自上而下的城市化。如今，一些信號(hào)，土地流拍，房企改名和城市收縮已經(jīng)表明，這種短短二三十年飛速發(fā)展的城市化模式已經(jīng)無法持續(xù)。如果我們吧目光投向在一些相對(duì)不是那么受到關(guān)注的城市就會(huì)發(fā)現(xiàn)，哪里的自上而下的城市化正在悄無聲息的進(jìn)行著。何帆用很長的篇幅描寫了東莞的城市形態(tài)和子義烏打拼的林哥的故事。我看到了這兩個(gè)城市有著共同的'特點(diǎn)—活力和生命力。

變量讀后感4

叔本華曾說：“壞的東西無論如何少讀也嫌太多，而好的作品無論怎樣多讀也嫌太少。”我很慶幸，選擇了何帆老師的作品《變量：看見中國社會(huì)小趨勢(shì)》作為20xx年的第一本書。

本書開篇就為我們展現(xiàn)一個(gè)宏觀世界，從大國博弈、技術(shù)賦能、新舊融合、自下而上、重建社群五個(gè)社會(huì)發(fā)展方向，站在沖擊與反轉(zhuǎn)的角度，在“慢變量”中尋覓那看不見的小趨勢(shì)，以社會(huì)底層變化為依據(jù)，無論是建筑學(xué)教授何志森、海爾產(chǎn)品研發(fā)部張?zhí)禊i、范家小學(xué)李娜、新疆農(nóng)田中的無人接還是昆明酒店的AI機(jī)器人、收縮與擴(kuò)張下的東莞和義烏，都是作者有意放大后的慢變量，以局部分動(dòng)態(tài)投射出整體變化，好比從大樹的嫩芽和新枝去探究母體的生命力，意圖就是讓更多的人看見這個(gè)世界的發(fā)展趨勢(shì)，因勢(shì)利導(dǎo)，順勢(shì)而為，乘勢(shì)而上，從而推動(dòng)社會(huì)更好更快的發(fā)展。

勢(shì)從何來，黃遠(yuǎn)庸早在《內(nèi)外之形勢(shì)》中就有提到：“該處市面，極為恐慌，亂機(jī)日深，皆由此等草灰蛇線而來。”我們感嘆世間萬物變化無常，但變化又豈能未有征兆，草蛇有痕，灰線有印，事物的發(fā)展趨勢(shì)早在千里之外就為我們埋下伏筆，秋來之前還有葉變黃而落的過程，事物的發(fā)展也不是一蹴而就的事情，只有當(dāng)量變積累到一定程度才會(huì)引起質(zhì)變，量變的過程就是我們所說的的走勢(shì)。而大千世界的我們需要一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，見一葉落而知?dú)q之將暮，重點(diǎn)就在于“見”，在保持置身事外的冷靜基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確的分析與思考，才能得“勢(shì)”。

趨勢(shì)，是我閱讀完這本書后想到的最多詞。順勢(shì)而為，猶如乘風(fēng)而上，逆風(fēng)飛翔注定負(fù)重前行。臨時(shí)占道停車行業(yè)的出現(xiàn)就是一種城市發(fā)展的需求導(dǎo)向，隨著一個(gè)城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和生活水平的提高，人民出行方式得到改變。據(jù)新華社報(bào)道，截止20xx年末，南昌市汽車保有量達(dá)97萬輛，占全省汽車保有量的20.4%，較20xx年末增加11萬輛，同比增長12.1%。出行變得更加方便但停車卻成為老大難，停車的需求要求城市必須發(fā)展臨時(shí)占道停車行業(yè)，而市政資產(chǎn)所屬停管公司也順應(yīng)時(shí)代，始終致力于有效解決南昌市城區(qū)機(jī)動(dòng)車臨時(shí)停車需求，立足于改善城區(qū)交通擁堵的現(xiàn)狀，不斷提升城市靜態(tài)交通管理水平，為創(chuàng)建文明城市貢獻(xiàn)自己的一份力。

發(fā)展是趨勢(shì)，科技是第一生產(chǎn)力，近年來，停管公司不斷探索發(fā)展新方向，為停車服務(wù)注入新鮮血液，目前已在部分停車泊位試行智慧停車系統(tǒng)，未來將充分利用“互聯(lián)網(wǎng)+”的形式，讓南昌臨時(shí)占道停車開啟智慧模式，讓停車變得更加便捷，讓服務(wù)更加優(yōu)化。

沒有方向的船只，任何方向都必將是逆風(fēng)，找準(zhǔn)自己的定位和方向，社會(huì)需求也是對(duì)我們的要求。