第一篇：平方差公式重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

平方差公式重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

北井頭鄉(xiāng)中武英芳

這節(jié)課的重點(diǎn)是平方差公式的推導(dǎo)和運(yùn)用，以及對平方差公式的幾何背景的了解．這節(jié)課的難點(diǎn)是平方差公式的運(yùn)用．對于平方美公式的推導(dǎo)，我們可以通過教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察、總結(jié)、猜想，然后得出結(jié)論來突破．對于平方差公式的運(yùn)用，教師可以選取典型的題目，而且，引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的做題規(guī)律．對于平方差公式的幾何背景的了解，可以讓學(xué)生親自動(dòng) 手，這樣，更容易理解． 《平方差公式》教材分析

教材分析：

（一）教材的地位與作用。

《平方差公式》是魯教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》六年級（下）第六章《整式的運(yùn)算》第六節(jié)的內(nèi)容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知識“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”的應(yīng)用，也是后繼知識如因式分解，分式等的基礎(chǔ)，對整個(gè)教科書也起到了承上啟下的作用，在初中階段占有很重要的地位。本節(jié)課主要研究的是平方差公式的推導(dǎo)和平方差公式在整式乘法中的應(yīng)用。它是學(xué)生在已經(jīng)掌握單項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上的拓展和再創(chuàng)造，一方面是對多項(xiàng)式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、總結(jié)；另一方面，通過乘法公式的學(xué)習(xí)可以簡化某些整式的運(yùn)算、培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識。

（二）教學(xué)重難點(diǎn)、關(guān)鍵：

1、重點(diǎn)：平方差公式的探索和應(yīng)用。

2、難點(diǎn)：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確運(yùn)用公式。

3、關(guān)鍵：準(zhǔn)確找到a，b。

目標(biāo)分析：學(xué)生在前一節(jié)課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，容易得出(a+b)(a-b)=a2-b2，但理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確運(yùn)用公式是難點(diǎn)，所以應(yīng)該進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力。因此我覺得本節(jié)課應(yīng)關(guān)注學(xué)生對公式的探索過程，讓學(xué)生經(jīng)歷“特例→歸納→猜想→證明”的知識發(fā)生過程，有意識的培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，數(shù)感和符號感，真正理解公式的來源、本質(zhì)和應(yīng)用。參照《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求及教材的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知水平與數(shù)學(xué)思維特征，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：(1)知識與技能目標(biāo)：了解平方差公式的幾何背景，理解并掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，能利用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。

(2)過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探索平方差公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和推理能力，通過討論幾何圖形的面積，來驗(yàn)證公式，進(jìn)而感受數(shù)形結(jié)合思想。

(3)情感態(tài)度目標(biāo)：讓學(xué)生在合作探究學(xué)習(xí)的過程中體驗(yàn)成功的喜悅；在感悟數(shù)學(xué)美的同時(shí)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和信心；發(fā)展學(xué)生的符號感和有條理推理的能力。

第二篇：平方差公式教學(xué)案例分析

平方差公式教學(xué)案例分析

一、設(shè)計(jì)理念

新課程的一個(gè)基本理念就是：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．這就需要我們在教學(xué)的過程中，利用教師的智慧，對教材和資源進(jìn)行重新整合，并根據(jù)具體的學(xué)生的環(huán)境和接受能力，對課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，從而提高課堂教學(xué)的效率．

把握知識核心是教師課堂設(shè)計(jì)的前提，只有教師本身對這節(jié)課的知識點(diǎn)吃得透，把握得準(zhǔn)，然后在圍繞著這個(gè)中心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)才能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更加真實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，也能激發(fā)學(xué)生積極參與的欲望，從而引起學(xué)生的興趣和共鳴． 二 教材分析

（一）教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)屬于《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修改稿）中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上，再一次應(yīng)用乘法公式對多項(xiàng)式乘法進(jìn)行簡便運(yùn)算的知識．平方差公式不僅是對乘法公式的進(jìn)一步補(bǔ)充，它還為后面因式分解學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)．

技能目標(biāo)：掌握平方差公式，會運(yùn)用平方差公式進(jìn)行多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算及簡便運(yùn)算．

（二）、核心知識表述

平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差．(三)、核心解析

平方差公式是基于多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則而提出的特殊情況下的簡便計(jì)算的法則，它是一種特殊的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式．

（四）、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

（1）重點(diǎn)：平方差公式

（2）難點(diǎn)：構(gòu)造圖形來解釋平方差公式，需要較強(qiáng)的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力

（五）、學(xué)情分析

學(xué)生剛過多項(xiàng)式的乘法，學(xué)生在解題時(shí)由于思維定勢，往往還是用多項(xiàng)式乘法的方法來作這節(jié)課的題目，因此在教學(xué)中要讓學(xué)生體驗(yàn)應(yīng)用平方差公式計(jì)算多項(xiàng)式乘法的簡便性．

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）、創(chuàng)設(shè)問題情境引入新課 猜一猜：

（1）在紙上寫出你最喜歡的一個(gè)幸運(yùn)數(shù)字（10以內(nèi)）；（2）計(jì)算100與這個(gè)數(shù)的和，乘以100與這個(gè)數(shù)的差的積（屏幕打出，給學(xué)生半分鐘思考、計(jì)算的時(shí)間）

師：同學(xué)們算得很投入，只要告訴我，你運(yùn)算的結(jié)果，我就能馬上說出你的幸運(yùn)數(shù)字是幾，信嗎？并請兩位學(xué)生來試驗(yàn)．

師：等我們學(xué)了今天的知識以后，大家也 能像老師一樣，馬上猜出其他同學(xué)的幸運(yùn)數(shù)字了． [設(shè)計(jì)意圖] 通過游戲使學(xué)生產(chǎn)生對新知識的強(qiáng)烈求知欲．在游戲的過程中，學(xué)生的思維是活躍的，注意力是高度集中狀態(tài)，在游戲中能讓學(xué)生獲得知識，發(fā)展能力，提高學(xué)習(xí)興趣．學(xué)生的興趣和情境一下子被調(diào)動(dòng)起來了，有4—5名已經(jīng)預(yù)習(xí)過新課的學(xué)生，馬上能夠摸到題目中的門道，迅速的報(bào)出答案． 新課講解

（二）、新課講解

引出并推導(dǎo)公式

還記得多項(xiàng)式乘法嗎？下面讓我們運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法來進(jìn)行計(jì)算：（如果有同類項(xiàng)進(jìn)行合并）

通過觀察思考相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式之間有什么特點(diǎn)？它們相乘的結(jié)果有什么規(guī)律？

（學(xué)生歸納，老師補(bǔ)充）

期望得到結(jié)論：1）多項(xiàng)式均為兩項(xiàng)；2）這兩項(xiàng)有一項(xiàng)相同，有一項(xiàng)互為相反數(shù)；3）它們乘積的結(jié)果都是這兩個(gè)數(shù)的平方差．

歸納平方差公式： ．

（板書課題：5.4乘法公式——平方差公式）

師：請大家在自己的紙上利用多項(xiàng)式乘法的法則，推導(dǎo)一下這個(gè)公式．（學(xué)生到黑板上板演推導(dǎo)過程）下面老師這里有4塊紙片，下面按圖拼成兩個(gè)不同的圖形，我們分別計(jì)算出它們的面積：（指導(dǎo)學(xué)生通過拼圖的方法推導(dǎo)平方差公式）

由左右兩個(gè)圖形面積相等，得 ．通過具體的圖形驗(yàn)證，讓學(xué)生了解和體驗(yàn)公式的幾何意義． [設(shè)計(jì)意圖] 通過具體問題，歸納總結(jié)出平方差公式

平方差公式是一種特殊的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，它可以用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法來證明．讓學(xué)生通過推導(dǎo)公式來體驗(yàn)：原來兩個(gè)二項(xiàng)式相乘他們的積有四項(xiàng)，而現(xiàn)在這兩個(gè)特殊的二項(xiàng)式相乘，他們的積經(jīng)過整理以后只有兩項(xiàng)，這樣大大降低了計(jì)算的量．

通過拼圖的方式和學(xué)生一起探索平方差公式的由來，讓學(xué)生對公式進(jìn)行了解．同時(shí)給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想．

1．平方差公式是由多項(xiàng)式乘法直接計(jì)算得出的：

與一般式多項(xiàng)式的乘法一樣，積的項(xiàng)數(shù)是多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積，即四項(xiàng)．合并同類項(xiàng)后僅得兩項(xiàng)．

2．這一公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方差．公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)和負(fù)數(shù)），也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等代數(shù)式．

只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可運(yùn)用這一公式．例如

在運(yùn)用公式的過程中，有時(shí)需要變形，例如，兩個(gè)數(shù)就可以看清楚了．

3．關(guān)于平方差公式的特征，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意：

（1）左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩上二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．

（2）右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差（相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方）．

（3）公式中的和可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．

（4）對于形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘，就可以運(yùn)用上述公式來計(jì)算．

（三）、教法建議

1．可以將“兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，積可能有幾項(xiàng)”的問題作為課題引入，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能在兩個(gè)二項(xiàng)式相乘其積可能為四項(xiàng)、三項(xiàng)、兩項(xiàng)中找出積為兩項(xiàng)的特征，上升到一定的理論認(rèn)識，加以實(shí)踐檢驗(yàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、概括的能力．

2．通過學(xué)生自己的試算、觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納，得出為什么有的兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其積為兩項(xiàng)，因?yàn)槠渲袃身?xiàng)是兩個(gè)數(shù)的平方差，而另兩項(xiàng)恰是互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)時(shí)為零，即

(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．

這樣得出平方差公式，并且把這類乘法的實(shí)質(zhì)講清楚了．

3．通過例題、練習(xí)與小結(jié)，教會學(xué)生如何正確應(yīng)用平方差公式．這里特別要求學(xué)生注意公式的結(jié)構(gòu)，教師可以用對應(yīng)思想來加強(qiáng)對公式結(jié)構(gòu)的理解和訓(xùn)練，如計(jì)算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2

↓ ↓ ↓ ↓ ↑ ↑

(a + b)(a-b)=a2-b2．

這樣，學(xué)生就能正確應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算，不容易出差錯(cuò)．

另外，在計(jì)算中不一定用一種模式刻板地應(yīng)用公式，可以結(jié)合以前學(xué)過的運(yùn)算法則，經(jīng)過變形后靈活應(yīng)用公式，培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性．

=1-4x2．

教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學(xué)生說出本題中a，b分別表示什么．

例2 計(jì)算(b2+2a3)(2a3-b2)．，變形為

解：(b2+2a3)(2a3-b2)

＝(2a3+b2)(2a3-b2)

＝(2a3)2-(b2)2

＝4a6-b4．

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只需將(b2+2a3)中的兩項(xiàng)交換位置，就可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．

課堂練習(xí)

運(yùn)用平方差公式計(jì)算：

(l)(x+a)(x-a)；

(2)(m+n)(m-n)；

(3)(a+3b)(a-3b)；

(4)(1-5y)(l+5y)．

例3 計(jì)算(-4a-1)(-4a+1)．

讓學(xué)生在練習(xí)本上計(jì)算，教師巡視學(xué)生解題情況，讓采用不同解法的兩個(gè)學(xué)生進(jìn)行板演．

解法1：(-4a-1)(-4a+1)

=[-(4a+l)][-(4a-l)]

=(4a+1)(4a-l)

=(4a)2-l2

=16a2-1．

解法2：(-4a-l)(-4a+l)

=(-4a)2-l

=16a2-1．

根據(jù)學(xué)生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負(fù)號的辦法，使兩乘式首項(xiàng)都變成正的，而后看出兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘的形式，應(yīng)用平方差公式，寫出結(jié)果．解法2把-4a看成一個(gè)數(shù)，把1看成另一個(gè)數(shù)，直接寫出(-4a)2-l2后得出結(jié)果．采用解法2的同學(xué)比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質(zhì)，運(yùn)算簡捷．因此，我們在計(jì)算中，先要分析題目的數(shù)字特征，然后正確應(yīng)用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案．

課堂練習(xí)

1．口答下列各題：

(l)(-a+b)(a+b)；

(2)(a-b)(b+a)；

(3)(-a-b)(-a+b)；

(4)(a-b)(-a-b)．

2．計(jì)算下列各題：

(1)(4x-5y)(4x+5y)；

(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，請不同解法的學(xué)生，或發(fā)生錯(cuò)誤的學(xué)生板演，教師和學(xué)生一起分析解法．

三、小結(jié)

1．什么是平方差公式？

2．運(yùn)用公式要注意什么？

(1)要符合公式特征才能運(yùn)用平方差公式；

(2)有些式子表面不能應(yīng)用公式，但實(shí)質(zhì)能應(yīng)用公式，要注意變形．

四、作業(yè)

1．運(yùn)用平方差公式計(jì)算：

(l)(x+2y)(x-2y)；

(2)(2a-3b)(3b+2a)；

(3)(-1+3x)(-1-3x)；

(4)(-2b-5)(2b-5)；

(5)(2x3+15)(2x3-15)；

(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l)；

2．計(jì)算：

(1)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x+y)；(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b)；

第三篇：平方差公式教案

灰太狼開了租地公司,一天他把一邊長為a米的正方形土地租給懶羊羊種植.有一年,他對懶羊羊說:“我把這塊地的一邊增加5米,另一邊減少5米,繼續(xù)租給你, 你也沒吃虧,你看如何?”懶羊羊一聽覺得沒有吃虧,就答應(yīng)了.同學(xué)們,你們覺得懶羊羊有沒有吃虧?

一、知識回顧:

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式怎樣相乘的? 和學(xué)生拉近距離,引起學(xué)生的興趣。

二、自主探究:

1、計(jì)算下列多項(xiàng)式的積:

1、(x+1)(x-1)

2、(m+2)(m-2)=

= =

=

3、(2x+1)(2x-1)

4、(x+5y)(x-5y)=

= =

=

2、歸納: 觀察算式結(jié)構(gòu),你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? ①算式中每個(gè)因式都有 項(xiàng)。

②算式都是兩個(gè)數(shù)的 與 的 _____ 的積。即兩個(gè)因式中,有一項(xiàng) ,另一項(xiàng)。計(jì)算結(jié)果后,你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? 計(jì)算結(jié)果都是前項(xiàng)的 減去后項(xiàng)的。

三、合作交流:

1、猜想:

2、驗(yàn)證:

3、得出:

(a+b)(a-b)= 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

四、例題精析

1、判斷下列式子是否可用平方差公式 :(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)

2、參照(a+b)(a-b)= a2-b2填空

3、運(yùn)用平方差公式計(jì)算:(1)(2)

4、計(jì)算:(1)

(2)

鞏固提升(根據(jù)時(shí)間的變化而定)

1、下列多項(xiàng)式乘法中,能用平方差公式計(jì)算的是()A.(x+1)(1+x);B.(2x-5)(2x+5)C.(-a+b)(a-b);D.(x2-y)(x+y2)

2、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算:(1)(3x+4)(3x-4)(2)(3a+2b)(2b-3a)(3)(-4x-3y)(-4x+3y)

3、你能用簡便方法計(jì)算下列各題嗎?(1)51×49(2)998×1002 4.判斷對錯(cuò),如果有錯(cuò),如何改正? ⑴;⑵;⑶;

五、小結(jié):平方差公式的特征:(1)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)

相同,另一項(xiàng)互為相反數(shù);(2)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方;(3)先平方,后相減。

公式中的可以表示單項(xiàng)式(數(shù)字,字母), 也可以表示多項(xiàng)式(如x+y)。

六、作業(yè)

教科書156頁-----1 小組交流、討論

讓學(xué)生通過計(jì)算,觀察每個(gè)算式的特點(diǎn)和結(jié)果的特點(diǎn),挖掘題目之間的共性,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,猜想公式,從而經(jīng)歷從-般到特殊、從具體到抽象的過程,體會歸納這-數(shù)學(xué)思想方法準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表述公式以剖析a、b為目的,對于幫助學(xué)生認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征起到事半功倍的作用,在接下來的公式運(yùn)用中,相信學(xué)生會更加得心應(yīng)手.嘗試、交流、教師點(diǎn)撥進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的知識對學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行預(yù)設(shè),防微杜漸.

第四篇：平方差公式教案

《平方差公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

牟平實(shí)驗(yàn)中學(xué) 隋玲

一、教材分析

《平方差公式》是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算、列簡單的代數(shù)式、一次方程、整式的加減及整式乘法等知識的基礎(chǔ)上，在學(xué)生已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例.對它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法.因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中也具有很重要地位，是初中階段的第一個(gè)乘法公式.本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：經(jīng)歷探索平方差公式的全過程，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算.二、教學(xué)目標(biāo) 知識與技能目標(biāo)：

掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算； 過程與方法目標(biāo)：

經(jīng)歷平方差公式的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力、歸納能力； 情感態(tài)度與價(jià)值觀：

會用幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

本節(jié)課的重點(diǎn)：平方差公式的特點(diǎn)以及會運(yùn)用公式進(jìn)行簡單計(jì)算。

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋平方差公式，靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

小明的媽媽領(lǐng)著小明到新房子去，進(jìn)了客廳，媽媽說：“客廳長6.1米，寬5.9米，能幫我算一下客廳的面積嗎？”小明沒有帶筆和計(jì)算器，你能快速幫助小明算出客廳的面積嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過出示與實(shí)際生活相聯(lián)系的問題，說明數(shù)學(xué)來源與生活并服務(wù)與生活，同時(shí)引出本節(jié)課的問題，當(dāng)然這一問題的解決需要本節(jié)課的知識來解決。

問題１：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；（3）（2x+1）（2x-1）= ．

設(shè)計(jì)意圖：通過對特殊的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算，既復(fù)習(xí)了舊知，又為下面學(xué)習(xí)習(xí)近平方差公式作了鋪墊，讓學(xué)生感受從一般到特殊的認(rèn)識規(guī)律，引出乘法公式----平方差公式．

（二）探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)

問題２：依照以上三道題的計(jì)算回答下列問題：

①式子的左邊具有什么共同特征？

②它們的結(jié)果有什么特征？

③能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？

師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生通過自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，式子左邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差，并猜想出：

．

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已掌握的多項(xiàng)乘法法則的基礎(chǔ)上,探索具有特殊形式的多項(xiàng)式乘法──平方差公式，這樣更加自然、合理．

（三）數(shù)形結(jié)合，幾何說理

問題3：活動(dòng)探究：將長為（a+b），寬為（a－b）的長方形，剪下寬為b的長方形條，拼成有空缺的正方形，并請用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關(guān)系

．

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動(dòng),利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證了平方差公式的正確性,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生體會到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系．引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從多角度、多方面來思考問題．對于任意的a、b，由學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法計(jì)算：

（四）總結(jié)歸納，發(fā)現(xiàn)新知，驗(yàn)證了其公式的正確性． 問題4：你能用文字語言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言表述，從而提高學(xué)生的語言組織與表達(dá)能力．

（五）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì) 在平方差公式

中，其結(jié)構(gòu)特征為：

①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其中“a與a”是相同項(xiàng)，“b與-b”是相反項(xiàng)；右邊是二項(xiàng)式，相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差，即

；

②讓學(xué)生說明以上四個(gè)算式中，哪些式子相當(dāng)于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式．

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察平方差公式，體驗(yàn)公式的簡潔性并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式．在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果．

（六）鞏固運(yùn)用，內(nèi)化新知

問題5：判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）（3）（－m+n）（m－n）；（4）（5）

．

；

；

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式必須具備的條件．鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會字母a、b可以是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解．

問題6：判斷下列計(jì)算是否正確：

（1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（）

（2）（x+2）（x – 2）=x2－2（）

（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4（）（4）

（）設(shè)計(jì)意圖：對學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，作具體的分析，以加深學(xué)生對公式的理解，進(jìn)一步掌握平方差公式的本質(zhì)特征和運(yùn)用平方差公式必須具備的條件．

問題7：計(jì)算：

（1）（2x +3）（2x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）． 解：（1）（2x + 3）（2x –3）=（2x）－3 = 4x －9

2（2）（b+2a）（2a－b）=（2a）－b =4a－b

設(shè)計(jì)意圖：解決操作層面問題．可提議用不同方法計(jì)算，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性．

（七）拓展引申，發(fā)展思維 問題8：計(jì)算：

（1）首先看本節(jié)課的開始題目，你能幫助小明嗎？（2）98×（－102）；（3）

．

設(shè)計(jì)意圖：首位呼應(yīng)，運(yùn)用本節(jié)課的內(nèi)容解決開始的問題；把相乘兩數(shù)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性；另一題是平方差公式與一般多項(xiàng)式乘法的綜合，注意不能用公式的仍按多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行．

（八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我

1．在下列括號中填上合適的多項(xiàng)式：

2．看誰算得快：

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)此組題旨在從正反兩方面靈活運(yùn)用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)鍛煉了學(xué)生逆向思維能力，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊．第2個(gè)填空題有兩種填法，屬開放設(shè)計(jì)．目的是加強(qiáng)學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時(shí)也鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維．

（九）總結(jié)概括，自我評價(jià)

問題10：這節(jié)課你有哪些收獲？還有什么困惑？ 設(shè)計(jì)意圖：從知識和情感態(tài)度兩個(gè)方面加以小結(jié)，使學(xué)生對本節(jié)課的知識有一個(gè)系統(tǒng)全面的認(rèn)識．

（十）課后作業(yè) 必做題：習(xí)題1.選做題：1．2．計(jì)算：（1）（2）（3）

；

；

．，則A的末位數(shù)是_______．

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)分層處理有較大的彈性，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．

第五篇：平方差公式教案

公開課教案

課題：平方差公式 授課：張福仁 教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能目標(biāo)：會用平方差公式進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算

2、過程與方法目標(biāo)：通過問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自行得出平方差公式，再通過練習(xí)鞏固。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過問題探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、解決問題能力。教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式理解、運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn)：平方差公式理解、運(yùn)用 教學(xué)過程

Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境

[師]你能用簡便方法計(jì)算下列各題嗎?(1)2001×1999(2)998×1002 [生甲]直接乘比較復(fù)雜,我考慮把它化成整百,整千的運(yùn)算,從而使運(yùn)算簡單,2001可以寫成2000+1,1999可以寫成2000-1,那么2001×1999可以看成是多項(xiàng)式的積,根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可以很快算出.[生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.[師]很好,請同學(xué)們自己動(dòng)手運(yùn)算一下.[生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)=20002-1×2000+1×2000+1×(-1)=20002-1 =4000000-1 =3999999.(2)998×1002=(1000-2)(1000+2)=10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2

=10002-22 =1000000-4 =1999996.[師]2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它們積的結(jié)果都是兩個(gè)數(shù)的平方差,那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個(gè)規(guī)律呢?我們繼續(xù)進(jìn)行探索.Ⅱ.導(dǎo)入新課

計(jì)算下列多項(xiàng)式的積.(1)(x+1)(x-1)(2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1)(4)(x+5y)(x-5y)觀察上述算式,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?運(yùn)算出結(jié)果后,你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn).(學(xué)生討論,教師引導(dǎo))[生甲]上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng).[生乙]我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如算式(1)是x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(2)是m與2這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(3)是2x與1?這兩個(gè)數(shù)的和與差的積;算式(4)是x與5y這兩個(gè)數(shù)的和與差的積.[師]這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要,請同學(xué)們動(dòng)筆算一下,相信你還會有更大的發(fā)現(xiàn).[生]解:(1)(x+1)(x-1)

=x2+x-x-1=x2-12(2)(m+2)(m-2)=m2+2m-2m-2×2=m2-22(3)(2x+1)(2x-1)=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12(4)(x+5y)(x-5y)=x2+5y·x-x·5y-(5y)2 =x2-(5y)2 [生]從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn): 也就是說,兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差,這和我們前面的簡便運(yùn)算得出的是同一結(jié)果.[師]能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)? [生]能.例如: 51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.即(50+1)(50-1)=502-12.(-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)=(-a)2-b2=a2-b2 這同樣可以驗(yàn)證:兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.[師]為什么會是這樣的呢? [生]因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開后,中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng),且系數(shù)互為相反數(shù),所以和為零,只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了.[師]很好.請用一般形式表示上述規(guī)律,并對此規(guī)律進(jìn)行證明.[生]這個(gè)規(guī)律用符號表示為:(a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意數(shù),也可以表示任意的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則可以做如下證明:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.[師]同學(xué)們真不簡單.老師為你們感到驕傲.能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a-b)=a2-b2起一個(gè)名字呢? [生]最終結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差,叫它“平方差公式”怎樣樣? [師]有道理.這就是我們探究得到的“平方差公式”,?請同學(xué)們分別用文字語言和符號語言敘述這個(gè)公式.(出示投影)兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積,等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.即:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式,用它直接運(yùn)算會很簡便,但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用.在應(yīng)用中體會公式特征,感受平方差公式給運(yùn)算帶來的方便,從而靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算

(出示投影片)例1:運(yùn)用平方差公式計(jì)算:(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)例2:計(jì)算:

(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)[師生共析]運(yùn)用平方差公式時(shí)要注意公式的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)會對號入座.在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22(a+b)(a-b)=a2-b2 同樣的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些簡單的轉(zhuǎn)化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化:(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征,則應(yīng)考慮多項(xiàng)式的乘法法則.(作如上分析后,學(xué)生可以自己完成兩個(gè)例題.?也可以通過學(xué)生的板演進(jìn)行評析達(dá)到鞏固和深化的目的)[例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.[例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-4y+5 =-4y+1.[師]我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么?

[生]我覺得應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)公式中的字母a、b可以表示數(shù),也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式.(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式.(3)有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式,?但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式.[生]運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡才行.[師]同學(xué)們總結(jié)得很好.下面請同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí).優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言