抽屜原理練習(xí)題
1.木箱里裝有紅色球3個(gè)、黃色球5個(gè)、藍(lán)色球7個(gè),若蒙眼去摸,為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同,則最少要取出球?
解:把3種顏色看作3個(gè)抽屜,若要符合題意,則小球的數(shù)目必須大于3,故至少取出4個(gè)小球才能符合要求。
2.一幅撲克牌有54張,最少要抽取幾張牌,方能保證其中至少有2張牌有相同的點(diǎn)數(shù)?
解:點(diǎn)數(shù)為1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1張,再取大王、小王各1張,一共15張,這15張牌中,沒有兩張的點(diǎn)數(shù)相同。這樣,如果任意再取1張的話,它的點(diǎn)數(shù)必為1~13中的一個(gè),于是有2張點(diǎn)數(shù)相同。
3.11名學(xué)生到老師家借書,老師是書房中有A、B、C、D四類書,每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書,最少借一本。試證明:必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同。
證明:若學(xué)生只借一本書,則不同的類型有A、B、C、D四種,若學(xué)生借兩本不同類型的書,則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種。共有10種類型,把這10種類型看作10個(gè)“抽屜”,把11個(gè)學(xué)生看作11個(gè)“蘋果”。如果誰(shuí)借哪種類型的書,就進(jìn)入哪個(gè)抽屜,由抽屜原理,至少有兩個(gè)學(xué)生,他們所借的書的類型相同。
4.有50名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽,如果沒有平局,也沒有全勝,試證明:一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同。
證明:設(shè)每勝一局得一分,由于沒有平局,也沒有全勝,則得分情況只有1、2、3……49,只有49種可能,以這49種可能得分的情況為49個(gè)抽屜,現(xiàn)有50名運(yùn)動(dòng)員得分,則一定有兩名運(yùn)動(dòng)員得分相同。
5.體育用品倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球,某班50名同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球,規(guī)定每個(gè)人至少拿1個(gè)球,至多拿2個(gè)球,問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的?
解題關(guān)鍵:利用抽屜原理2。
解:根據(jù)規(guī)定,多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下9種:﹛足﹜﹛排﹜﹛藍(lán)﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛藍(lán)藍(lán)﹜﹛足排﹜﹛足藍(lán)﹜﹛排藍(lán)﹜。以這9種配組方式制造9個(gè)抽屜,將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果50÷9
=5……5
由抽屜原理2k=[m/n
]+1可得,至少有6人,他們所拿的球類是完全一致的。
6.某校有55個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,已知將參賽人任意分成四組,則必有一組的女生多于2人,又知參賽者中任何10人中必有男生,則參賽男生的人生為__________人。
解:因?yàn)槿我夥殖伤慕M,必有一組的女生多于2人,所以女生至少有4×2+1=9(人);因?yàn)槿我?0人中必有男生,所以女生人數(shù)至多有9人。所以女生有9人,男生有55-9=46(人)
7、證明:從1,3,5,……,99中任選26個(gè)數(shù),其中必有兩個(gè)數(shù)的和是100。
解析:將這50個(gè)奇數(shù)按照和為100,放進(jìn)25個(gè)抽屜:(1,99),(3,97),(5,95),……,(49,51)。根據(jù)抽屜原理,從中選出26個(gè)數(shù),則必定有兩個(gè)數(shù)來(lái)自同一個(gè)抽屜,那么這兩個(gè)數(shù)的和即為100。
8.某旅游車上有47名乘客,每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨,并且其中任何兩位乘客中至少有一個(gè)人帶蘋果,那么乘客中有______人帶蘋果。
解析:由題意,不帶蘋果的乘客不多于一名,但又確實(shí)有不帶蘋果的乘客,所以不帶蘋果的乘客恰有一名,所以帶蘋果的就有46人。
9.一些蘋果和梨混放在一個(gè)筐里,小明把這筐水果分成了若干堆,后來(lái)發(fā)現(xiàn)無(wú)論怎么分,總能從這若干堆里找到兩堆,把這兩堆水果合并在一起后,蘋果和梨的個(gè)數(shù)是偶數(shù),那么小明至少把這些水果分成了_______堆。
解析:要求把其中兩堆合并在一起后,蘋果和梨的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù),那么這兩堆水果中,蘋果和梨的奇偶性必須相同。對(duì)于每一堆蘋果和梨,奇偶可能性有4種:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),所以根據(jù)抽屜原理可知最少分了4+1=5筐。
10.有黑色、白色、藍(lán)色手套各5只(不分左右手),至少要拿出_____只(拿的時(shí)候不許看顏色),才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。
解析:考慮最壞情況,假設(shè)拿了3只黑色、1只白色和1只藍(lán)色,則只有一雙同顏色的,但是再多拿一只,不論什么顏色,則一定會(huì)有兩雙同顏色的,所以至少要那6只。
11.從前25個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù),證明:取出的數(shù)中一定有兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)不超過小數(shù)的1.5倍.證明:把前25個(gè)自然數(shù)分成下面6組:
1;
①
2,3;
②
4,5,6;
③
7,8,9,10;
④
11,12,13,14,15,16;
⑤
17,18,19,20,21,22,23,⑥
因?yàn)閺那?5個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù),所以至少有兩個(gè)數(shù)取自上面第②組到第⑥組中的某同一組,這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)就不超過小數(shù)的1.5倍.12.一副撲克牌有四種花色,每種花色各有13張,現(xiàn)在從中任意抽牌。問最少抽幾張牌,才能保證有4張牌是同一種花色的?
解析:根據(jù)抽屜原理,當(dāng)每次取出4張牌時(shí),則至少可以保障每種花色一樣一張,按此類推,當(dāng)取出12張牌時(shí),則至少可以保障每種花色一樣三張,所以當(dāng)抽取第13張牌時(shí),無(wú)論是什么花色,都可以至少保障有4張牌是同一種花色,選B。
13.從1、2、3、4……、12這12個(gè)自然數(shù)中,至少任選幾個(gè),就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù),他們的差是7?
【解析】在這12個(gè)自然數(shù)中,差是7的自然樹有以下5對(duì):{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}。另外,還有2個(gè)不能配對(duì)的數(shù)是{6}{7}。可構(gòu)造抽屜原理,共構(gòu)造了7個(gè)抽屜。只要有兩個(gè)數(shù)是取自同一個(gè)抽屜,那么它們的差就等于7。這7個(gè)抽屜可以表示為{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}{6}{7},顯然從7個(gè)抽屜中取8個(gè)數(shù),則一定可以使有兩個(gè)數(shù)字來(lái)源于同一個(gè)抽屜,也即作差為7,所以選擇D。
15.某幼兒班有40名小朋友,現(xiàn)有各種玩具122件,把這些玩具全部分給小朋友,是否會(huì)有小朋友得到4件或4件以上的玩具?
分析與解:將40名小朋友看成40個(gè)抽屜。今有玩具122件,122=3×40+2。應(yīng)用抽屜原理2,取n=40,m=3,立即知道:至少有一個(gè)抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說(shuō),至少會(huì)有一個(gè)小朋友得到4件或4件以上的玩具。
16.一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊,其中編上號(hào)碼1,2,3,4的各有10塊。問:一次至少要取出多少木塊,才能保證其中至少有3塊號(hào)碼相同的木塊?
分析與解:將1,2,3,4四種號(hào)碼看成4個(gè)抽屜。要保證有一個(gè)抽屜中至少有3件物品,根據(jù)抽屜原理2,至少要有4×2+1=9(件)物品。所以一次至少要取出9塊木塊,才能保證其中有3塊號(hào)碼相同的木塊。
17.六年級(jí)有100名學(xué)生,他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問:至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同?
分析與解:首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。
訂一種雜志有:訂甲、訂乙、訂丙3種情況;
訂二種雜志有:訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況;
訂三種雜志有:訂甲乙丙1種情況。
總共有3+3+1=7(種)訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個(gè)“抽屜”,把100名學(xué)生看作100件物品。因?yàn)?00=14×7+2。根據(jù)抽屜原理2,至少有14+1=15(人)所訂閱的報(bào)刊種類是相同的。
18.籃子里有蘋果、梨、桃和桔子,現(xiàn)有81個(gè)小朋友,如果每個(gè)小朋友都從中任意拿兩個(gè)水果,那么至少有多少個(gè)小朋友拿的水果是相同的?
分析與解:首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種。兩個(gè)水果是相同的有4種,兩個(gè)水果不同有6種:蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4+6=10(種)。將這10種搭配作為10個(gè)“抽屜”。
81÷10=8……1(個(gè))。
根據(jù)抽屜原理2,至少有8+1=9(個(gè))小朋友拿的水果相同。
19.學(xué)校開辦了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個(gè)課外學(xué)習(xí)班,每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)(可以不參加)。問:至少有多少名學(xué)生,才能保證有不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同?
分析與解:首先要弄清參加學(xué)習(xí)班有多少種不同情況。不參加學(xué)習(xí)班有1種情況,只參加一個(gè)學(xué)習(xí)班有3種情況,參加兩個(gè)學(xué)習(xí)班有語(yǔ)文和數(shù)學(xué)、語(yǔ)文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和美術(shù)3種情況。共有1+3+3=7(種)情況。將這7種情況作為7個(gè)“抽屜”,根據(jù)抽屜原理2,要保證不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況相同,要有學(xué)生 7×(5-1)+1=29(名)。
20.在1,4,7,10,…,100中任選20個(gè)數(shù),其中至少有不同的兩對(duì)數(shù),其和等于104。
分析:解這道題,可以考慮先將4與100,7與97,49與55……,這些和等于104的兩個(gè)數(shù)組成一組,構(gòu)成16個(gè)抽屜,剩下1和52再構(gòu)成2個(gè)抽屜,這樣,即使20個(gè)數(shù)中取到了1和52,剩下的18個(gè)數(shù)還必須至少有兩個(gè)數(shù)取自前面16個(gè)抽屜中的兩個(gè)抽屜,從而有不同的兩組數(shù),其和等于104;如果取不到1和52,或1和52不全取到,那么和等于104的數(shù)組將多于兩組。
解:1,4,7,10,……,100中共有34個(gè)數(shù),將其分成{4,100},{7,97},……,{49,55},{1},{52}共18個(gè)抽屜,從這18個(gè)抽屜中任取20個(gè)數(shù),若取到1和52,則剩下的18個(gè)數(shù)取自前16個(gè)抽屜,至少有4個(gè)數(shù)取自某兩個(gè)抽屜中,結(jié)論成立;若不全取1和52,則有多于18個(gè)數(shù)取自前16個(gè)抽屜,結(jié)論亦成立。
21.任意5個(gè)自然數(shù)中,必可找出3個(gè)數(shù),使這三個(gè)數(shù)的和能被3整除。
分析:解這個(gè)問題,注意到一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)只有0,1,2三個(gè),可以用余數(shù)來(lái)構(gòu)造抽屜。
解:以一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)0、1、2構(gòu)造抽屜,共有3個(gè)抽屜。任意五個(gè)數(shù)放入這三個(gè)抽屜中,若每個(gè)抽屜內(nèi)均有數(shù),則各抽屜取一個(gè)數(shù),這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù),結(jié)論成立;若至少有一個(gè)抽屜內(nèi)沒有數(shù),那么5個(gè)數(shù)中必有三個(gè)數(shù)在同一抽屜內(nèi),這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù),結(jié)論亦成立。
22.在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi),任意放入9個(gè)點(diǎn),證明在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中,必有一個(gè)三角形的面積不超過1/8.解:分別連結(jié)正方形兩組對(duì)邊的中點(diǎn),將正方形分為四個(gè)全等的小正方形,則各個(gè)小正方形的面積均為1/4
。把這四個(gè)小正方形看作4個(gè)抽屜,將9個(gè)點(diǎn)隨意放入4個(gè)抽屜中,據(jù)抽屜原理,至少有一個(gè)小正方形中有3個(gè)點(diǎn)。顯然,以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過1/8。
反思:將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)面積均為1/4的小正方形,從而構(gòu)造出4個(gè)抽屜,是解決本題的關(guān)鍵。我們知道。將正方形分成面積均為1/4的圖形的方法不只一種,如可連結(jié)兩條對(duì)角線將正方形分成4個(gè)全等的直角三角形,這4個(gè)圖形的面積也都是1/4,但這樣構(gòu)造抽屜不能證到結(jié)論。可見,如何構(gòu)造抽屜是利用抽屜原理解決問題的關(guān)鍵。
23.班上有50名學(xué)生,將書分給大家,至少要拿多少本,才能保證至少有一個(gè)學(xué)生能得到兩本或兩本以上的書。
解:把50名學(xué)生看作50個(gè)抽屜,把書看成蘋果,根據(jù)原理1,書的數(shù)目要比學(xué)生的人數(shù)多,即書至少需要50+1=51本.24.
在一條長(zhǎng)100米的小路一旁植樹101棵,不管怎樣種,總有兩棵樹的距離不超過1米。
解:把這條小路分成每段1米長(zhǎng),共100段,每段看作是一個(gè)抽屜,共100個(gè)抽屜,把101棵樹看作是101個(gè)蘋果,于是101個(gè)蘋果放入100個(gè)抽屜中,至少有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果,即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹
.25.
有50名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽,如果沒有平局,也沒有全勝.試證明:一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同
證明:設(shè)每勝一局得一分,由于沒有平局,也沒有全勝,則得分情況只有1、2、3……49,只有49種可能,以這49種可能得分的情況為49個(gè)抽屜,現(xiàn)有50名運(yùn)動(dòng)員得分
則一定有兩名運(yùn)動(dòng)員得分相同
.26.體育用品倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球,某班50名同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球,規(guī)定每個(gè)人至少拿1個(gè)球,至多拿2個(gè)球,問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的?
解題關(guān)鍵:利用抽屜原理2。
解:根據(jù)規(guī)定,多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下9種:
{足}{排}{藍(lán)}{足足}{排排}{藍(lán)藍(lán)}{足排}{足藍(lán)}{排藍(lán)}
以這9種配組方式制造9個(gè)抽屜,將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果=5.5……5
由抽屜原理2k=〔
〕+1可得,至少有6人,他們所拿的球類是完全一致的。
【歡迎你來(lái)解】
1.某班37名同學(xué),至少有幾個(gè)同學(xué)在同一個(gè)月過生日?
2.42只鴿子飛進(jìn)5個(gè)籠子里,可以保證至少有一個(gè)籠子中可以有幾只鴿子?
3.口袋中有紅、黑、白、黃球各10個(gè),它們的外型與重量都一樣,至少要摸出幾個(gè)球,才能保證有4個(gè)顏色相同的球?
4.飼養(yǎng)員給10只猴子分蘋果,其中至少要有一只猴子得到7個(gè)蘋果,飼養(yǎng)員至少要拿來(lái)多少個(gè)蘋果?
5.從13個(gè)自然數(shù)中,一定可以找到兩個(gè)數(shù),它們的差是12的倍數(shù)。