抽屜原理練習題
1.木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個,若蒙眼去摸,為保證取出的球中有兩個球的顏色相同,則最少要取出球?
解:把3種顏色看作3個抽屜,若要符合題意,則小球的數目必須大于3,故至少取出4個小球才能符合要求。
2.一幅撲克牌有54張,最少要抽取幾張牌,方能保證其中至少有2張牌有相同的點數?
解:點數為1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1張,再取大王、小王各1張,一共15張,這15張牌中,沒有兩張的點數相同。這樣,如果任意再取1張的話,它的點數必為1~13中的一個,于是有2張點數相同。
3.11名學生到老師家借書,老師是書房中有A、B、C、D四類書,每名學生最多可借兩本不同類的書,最少借一本。試證明:必有兩個學生所借的書的類型相同。
證明:若學生只借一本書,則不同的類型有A、B、C、D四種,若學生借兩本不同類型的書,則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種。共有10種類型,把這10種類型看作10個“抽屜”,把11個學生看作11個“蘋果”。如果誰借哪種類型的書,就進入哪個抽屜,由抽屜原理,至少有兩個學生,他們所借的書的類型相同。
4.有50名運動員進行某個項目的單循環賽,如果沒有平局,也沒有全勝,試證明:一定有兩個運動員積分相同。
證明:設每勝一局得一分,由于沒有平局,也沒有全勝,則得分情況只有1、2、3……49,只有49種可能,以這49種可能得分的情況為49個抽屜,現有50名運動員得分,則一定有兩名運動員得分相同。
5.體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球,某班50名同學來倉庫拿球,規定每個人至少拿1個球,至多拿2個球,問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的?
解題關鍵:利用抽屜原理2。
解:根據規定,多有同學拿球的配組方式共有以下9種:﹛足﹜﹛排﹜﹛藍﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛藍藍﹜﹛足排﹜﹛足藍﹜﹛排藍﹜。以這9種配組方式制造9個抽屜,將這50個同學看作蘋果50÷9
=5……5
由抽屜原理2k=[m/n
]+1可得,至少有6人,他們所拿的球類是完全一致的。
6.某校有55個同學參加數學競賽,已知將參賽人任意分成四組,則必有一組的女生多于2人,又知參賽者中任何10人中必有男生,則參賽男生的人生為__________人。
解:因為任意分成四組,必有一組的女生多于2人,所以女生至少有4×2+1=9(人);因為任意10人中必有男生,所以女生人數至多有9人。所以女生有9人,男生有55-9=46(人)
7、證明:從1,3,5,……,99中任選26個數,其中必有兩個數的和是100。
解析:將這50個奇數按照和為100,放進25個抽屜:(1,99),(3,97),(5,95),……,(49,51)。根據抽屜原理,從中選出26個數,則必定有兩個數來自同一個抽屜,那么這兩個數的和即為100。
8.某旅游車上有47名乘客,每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨,并且其中任何兩位乘客中至少有一個人帶蘋果,那么乘客中有______人帶蘋果。
解析:由題意,不帶蘋果的乘客不多于一名,但又確實有不帶蘋果的乘客,所以不帶蘋果的乘客恰有一名,所以帶蘋果的就有46人。
9.一些蘋果和梨混放在一個筐里,小明把這筐水果分成了若干堆,后來發現無論怎么分,總能從這若干堆里找到兩堆,把這兩堆水果合并在一起后,蘋果和梨的個數是偶數,那么小明至少把這些水果分成了_______堆。
解析:要求把其中兩堆合并在一起后,蘋果和梨的個數一定是偶數,那么這兩堆水果中,蘋果和梨的奇偶性必須相同。對于每一堆蘋果和梨,奇偶可能性有4種:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),所以根據抽屜原理可知最少分了4+1=5筐。
10.有黑色、白色、藍色手套各5只(不分左右手),至少要拿出_____只(拿的時候不許看顏色),才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。
解析:考慮最壞情況,假設拿了3只黑色、1只白色和1只藍色,則只有一雙同顏色的,但是再多拿一只,不論什么顏色,則一定會有兩雙同顏色的,所以至少要那6只。
11.從前25個自然數中任意取出7個數,證明:取出的數中一定有兩個數,這兩個數中大數不超過小數的1.5倍.證明:把前25個自然數分成下面6組:
1;
①
2,3;
②
4,5,6;
③
7,8,9,10;
④
11,12,13,14,15,16;
⑤
17,18,19,20,21,22,23,⑥
因為從前25個自然數中任意取出7個數,所以至少有兩個數取自上面第②組到第⑥組中的某同一組,這兩個數中大數就不超過小數的1.5倍.12.一副撲克牌有四種花色,每種花色各有13張,現在從中任意抽牌。問最少抽幾張牌,才能保證有4張牌是同一種花色的?
解析:根據抽屜原理,當每次取出4張牌時,則至少可以保障每種花色一樣一張,按此類推,當取出12張牌時,則至少可以保障每種花色一樣三張,所以當抽取第13張牌時,無論是什么花色,都可以至少保障有4張牌是同一種花色,選B。
13.從1、2、3、4……、12這12個自然數中,至少任選幾個,就可以保證其中一定包括兩個數,他們的差是7?
【解析】在這12個自然數中,差是7的自然樹有以下5對:{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}。另外,還有2個不能配對的數是{6}{7}。可構造抽屜原理,共構造了7個抽屜。只要有兩個數是取自同一個抽屜,那么它們的差就等于7。這7個抽屜可以表示為{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}{6}{7},顯然從7個抽屜中取8個數,則一定可以使有兩個數字來源于同一個抽屜,也即作差為7,所以選擇D。
15.某幼兒班有40名小朋友,現有各種玩具122件,把這些玩具全部分給小朋友,是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具?
分析與解:將40名小朋友看成40個抽屜。今有玩具122件,122=3×40+2。應用抽屜原理2,取n=40,m=3,立即知道:至少有一個抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說,至少會有一個小朋友得到4件或4件以上的玩具。
16.一個布袋中有40塊相同的木塊,其中編上號碼1,2,3,4的各有10塊。問:一次至少要取出多少木塊,才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊?
分析與解:將1,2,3,4四種號碼看成4個抽屜。要保證有一個抽屜中至少有3件物品,根據抽屜原理2,至少要有4×2+1=9(件)物品。所以一次至少要取出9塊木塊,才能保證其中有3塊號碼相同的木塊。
17.六年級有100名學生,他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問:至少有多少名學生訂閱的雜志種類相同?
分析與解:首先應當弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。
訂一種雜志有:訂甲、訂乙、訂丙3種情況;
訂二種雜志有:訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況;
訂三種雜志有:訂甲乙丙1種情況。
總共有3+3+1=7(種)訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”,把100名學生看作100件物品。因為100=14×7+2。根據抽屜原理2,至少有14+1=15(人)所訂閱的報刊種類是相同的。
18.籃子里有蘋果、梨、桃和桔子,現有81個小朋友,如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果,那么至少有多少個小朋友拿的水果是相同的?
分析與解:首先應弄清不同的水果搭配有多少種。兩個水果是相同的有4種,兩個水果不同有6種:蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4+6=10(種)。將這10種搭配作為10個“抽屜”。
81÷10=8……1(個)。
根據抽屜原理2,至少有8+1=9(個)小朋友拿的水果相同。
19.學校開辦了語文、數學、美術三個課外學習班,每個學生最多可以參加兩個(可以不參加)。問:至少有多少名學生,才能保證有不少于5名同學參加學習班的情況完全相同?
分析與解:首先要弄清參加學習班有多少種不同情況。不參加學習班有1種情況,只參加一個學習班有3種情況,參加兩個學習班有語文和數學、語文和美術、數學和美術3種情況。共有1+3+3=7(種)情況。將這7種情況作為7個“抽屜”,根據抽屜原理2,要保證不少于5名同學參加學習班的情況相同,要有學生 7×(5-1)+1=29(名)。
20.在1,4,7,10,…,100中任選20個數,其中至少有不同的兩對數,其和等于104。
分析:解這道題,可以考慮先將4與100,7與97,49與55……,這些和等于104的兩個數組成一組,構成16個抽屜,剩下1和52再構成2個抽屜,這樣,即使20個數中取到了1和52,剩下的18個數還必須至少有兩個數取自前面16個抽屜中的兩個抽屜,從而有不同的兩組數,其和等于104;如果取不到1和52,或1和52不全取到,那么和等于104的數組將多于兩組。
解:1,4,7,10,……,100中共有34個數,將其分成{4,100},{7,97},……,{49,55},{1},{52}共18個抽屜,從這18個抽屜中任取20個數,若取到1和52,則剩下的18個數取自前16個抽屜,至少有4個數取自某兩個抽屜中,結論成立;若不全取1和52,則有多于18個數取自前16個抽屜,結論亦成立。
21.任意5個自然數中,必可找出3個數,使這三個數的和能被3整除。
分析:解這個問題,注意到一個數被3除的余數只有0,1,2三個,可以用余數來構造抽屜。
解:以一個數被3除的余數0、1、2構造抽屜,共有3個抽屜。任意五個數放入這三個抽屜中,若每個抽屜內均有數,則各抽屜取一個數,這三個數的和是3的倍數,結論成立;若至少有一個抽屜內沒有數,那么5個數中必有三個數在同一抽屜內,這三個數的和是3的倍數,結論亦成立。
22.在邊長為1的正方形內,任意放入9個點,證明在以這些點為頂點的三角形中,必有一個三角形的面積不超過1/8.解:分別連結正方形兩組對邊的中點,將正方形分為四個全等的小正方形,則各個小正方形的面積均為1/4
。把這四個小正方形看作4個抽屜,將9個點隨意放入4個抽屜中,據抽屜原理,至少有一個小正方形中有3個點。顯然,以這三個點為頂點的三角形的面積不超過1/8。
反思:將邊長為1的正方形分成4個面積均為1/4的小正方形,從而構造出4個抽屜,是解決本題的關鍵。我們知道。將正方形分成面積均為1/4的圖形的方法不只一種,如可連結兩條對角線將正方形分成4個全等的直角三角形,這4個圖形的面積也都是1/4,但這樣構造抽屜不能證到結論。可見,如何構造抽屜是利用抽屜原理解決問題的關鍵。
23.班上有50名學生,將書分給大家,至少要拿多少本,才能保證至少有一個學生能得到兩本或兩本以上的書。
解:把50名學生看作50個抽屜,把書看成蘋果,根據原理1,書的數目要比學生的人數多,即書至少需要50+1=51本.24.
在一條長100米的小路一旁植樹101棵,不管怎樣種,總有兩棵樹的距離不超過1米。
解:把這條小路分成每段1米長,共100段,每段看作是一個抽屜,共100個抽屜,把101棵樹看作是101個蘋果,于是101個蘋果放入100個抽屜中,至少有一個抽屜中有兩個蘋果,即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹
.25.
有50名運動員進行某個項目的單循環賽,如果沒有平局,也沒有全勝.試證明:一定有兩個運動員積分相同
證明:設每勝一局得一分,由于沒有平局,也沒有全勝,則得分情況只有1、2、3……49,只有49種可能,以這49種可能得分的情況為49個抽屜,現有50名運動員得分
則一定有兩名運動員得分相同
.26.體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球,某班50名同學來倉庫拿球,規定每個人至少拿1個球,至多拿2個球,問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的?
解題關鍵:利用抽屜原理2。
解:根據規定,多有同學拿球的配組方式共有以下9種:
{足}{排}{藍}{足足}{排排}{藍藍}{足排}{足藍}{排藍}
以這9種配組方式制造9個抽屜,將這50個同學看作蘋果=5.5……5
由抽屜原理2k=〔
〕+1可得,至少有6人,他們所拿的球類是完全一致的。
【歡迎你來解】
1.某班37名同學,至少有幾個同學在同一個月過生日?
2.42只鴿子飛進5個籠子里,可以保證至少有一個籠子中可以有幾只鴿子?
3.口袋中有紅、黑、白、黃球各10個,它們的外型與重量都一樣,至少要摸出幾個球,才能保證有4個顏色相同的球?
4.飼養員給10只猴子分蘋果,其中至少要有一只猴子得到7個蘋果,飼養員至少要拿來多少個蘋果?
5.從13個自然數中,一定可以找到兩個數,它們的差是12的倍數。