2019屆衡水中學(xué)高三年級第三次質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．設(shè)集合，則

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】本題首先可以通過解一元二次不等式計算出集合A，然后通過對數(shù)的性質(zhì)計算出集合B，最后計算出，即可得出結(jié)果。

【詳解】

集合A：，，故集合，集合B：，故集合，故選C。

【點睛】

本題考查的是集合的相關(guān)性質(zhì)，主要考查集合的運算、一元二次不等式的解法以及對數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，考查計算能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性與綜合性，是簡單題。

2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，則=（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，則m=0，所以，則.3．已知函數(shù)則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域中變量的范圍先求出，然后再求出即為所求．

【詳解】

由題意得，∴．

故選D．

【點睛】

本題考查分段函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是分清自變量在定義域中的哪個范圍中，然后代入求值即可，屬于基礎(chǔ)題．

4．以下四個命題中是真命題的是

（）

A．對分類變量x與y的隨機變量觀測值k來說，k越小，判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大

B．兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0

C．若數(shù)據(jù)的方差為1，則的方差為2

D．在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好

【答案】D

【解析】依據(jù)線性相關(guān)及相關(guān)指數(shù)的有關(guān)知識可以推斷，即可得到答案.【詳解】

依據(jù)線性相關(guān)及相關(guān)指數(shù)的有關(guān)知識可以推斷，選項D是正確的．

【點睛】

本題主要考查了線性相指數(shù)的知識及其應(yīng)用，其中解答中熟記相關(guān)指數(shù)的概念和相關(guān)指數(shù)與相關(guān)性之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知兩個非零單位向量的夾角為，則下列結(jié)論不正確的是（）

A．不存在，使

B．

C．，D．在方向上的投影為

【答案】D

【解析】A中，由平面向量數(shù)量積的定義，判斷即可；B中，由平面向量模長的定義，判斷即可；C中，根據(jù)平面向量數(shù)量積與垂直的定義，判斷即可；D中，根據(jù)單位向量以及向量投影的定義，計算即可；

【詳解】

對于A，因為兩個非零單位向量所以

＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，∴A正確．

對于B，因為兩個非零單位向量＝1，B正確；

對于C，因為兩個非零單位向量且，所以∴C正確；

對于D，因為兩個非零單位向量，所以

在方向上的投影為||cosθ＝cosθ，D錯誤；

故選D．

【點睛】

本題考查了平面向量的數(shù)量積與單位向量的定義和應(yīng)用問題，也考查了模長與投影問題，屬于基礎(chǔ)題．

6．對于實數(shù)，“”是“方程表示雙曲線”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】根據(jù)方程表示雙曲線求出m的范圍，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．

【詳解】

由題意，方程表示雙曲線，則，得，所以“”是“方程表示雙曲線”的充要條件，故選C．

【點睛】

本題主要考查了充分條件和必要條件的判斷，其中解答中結(jié)合雙曲線方程的特點求出m的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，以及推理、論證能力，屬于基礎(chǔ)題.7．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4

節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為（）

A．升

B．升

C．升

D．1升

【答案】A

【解析】試題分析：依題意，解得，故.【考點】等差數(shù)列的基本概念.8．秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入，的值分別為5，2，則輸出的值為（）

A．64

B．68

C．72

D．133

【答案】B

【解析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量v的值，模擬程序的運行過程，可得答案．

【詳解】

模擬程序的運行，可得：

n＝5，x＝2，v＝1，m＝2，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件n＞0，執(zhí)行循環(huán)體，v＝4，m＝1，n＝4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件n＞0，執(zhí)行循環(huán)體，v＝9，m＝0，n＝3，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件n＞0，執(zhí)行循環(huán)體，v＝18，m＝﹣1，n＝2，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件n＞0，執(zhí)行循環(huán)體，v＝35，m＝﹣2，n＝1，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件n＞0，執(zhí)行循環(huán)體，v＝68，m＝﹣3，n＝0，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件n＞0，退出循環(huán)，輸出v的值為68．

故選：B．

【點睛】

本題考查的知識點是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時，可采用模擬程序法進(jìn)行解答，屬于基礎(chǔ)題．

9．若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，求得的最小值．

【詳解】

將函數(shù)化簡為＝sin2x+?﹣＝sin（2x+），將函數(shù)的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位，可得y＝sin（2x﹣2φ+）的圖象；根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱，可得﹣2φ+＝kπ+，k∈Z，即，k∈Z，令k＝-1，可得的最小值為.故選：D．

【點睛】

本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．

10．已知以圓的圓心為焦點的拋物線與圓在第一象限交于點，點是拋物線：上任意一點，與直線垂直，垂足為，則的最大值為（）

A．1

B．2

C．

D．8

【答案】A

【解析】分析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓心，可得拋物線方程，利用運用拋物線的定義可得，從而可得結(jié)果.詳解：因為的圓心

所以，可得以為焦點的拋物線方程為，由，解得，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，即有，當(dāng)且僅當(dāng)在之間）三點共線，可得最大值，故選A.點睛：本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，以及平面向量的數(shù)量積公式，屬于難題.與焦點、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋線上的點到準(zhǔn)線距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問題得到解決.11．如圖，正方體的對角線上存在一動點，過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于兩點.設(shè)，的面積為，則當(dāng)點由點運動到的中點時，函數(shù)的圖象大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】設(shè)，而由運動到的中點的過程中，由相似三角形，可知為定值，設(shè)正方體的邊長為，當(dāng)為線段的中點時，則的面積為，故選D.12．若，則有（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得答案．

【詳解】

由，化簡得，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，∵，∴，則，即．

故選：D．

【點睛】

本題考查構(gòu)造函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題

13．設(shè)、為兩個不同平面，直線，則“”是“”的__________條件.【答案】充分不必要

【解析】利用面面平行的定義和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.【詳解】

根據(jù)題意，由于、表示兩個不同的平面，為內(nèi)的一條直線，由于，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，在平面內(nèi)任何一條直線都與平面平行，條件可以推出結(jié)論；

反之，直線與平面、的交線平行，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，但此時，平面、相交.因此，“”是“”的充分不必要條件，故答案為充分不必要.【點睛】

本題主要考查空間中面面平行的性質(zhì)定理，同時也考查了充分不必要條件的判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.14．若實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是____.【答案】－ln3

【解析】由約束條件作出可行域，目標(biāo)函數(shù)z＝lny﹣lnx＝ln，由圖求出的最大值即可．

【詳解】

由實數(shù)x，y滿足約束條件作出可行域如圖所示，聯(lián)立，解得B（3,1），由目標(biāo)函數(shù)z＝lny﹣lnx＝ln，而的最小值為＝，∴z＝lny﹣lnx的最小值是﹣ln3．

故答案為﹣ln3．

【點睛】

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．

15．若側(cè)面積為的圓柱有一外接球O，當(dāng)球O的體積取得最小值時，圓柱的表面積為_______.【答案】

【解析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，高為，則球的半徑，由圓柱的側(cè)面積，求得，得出，得到得最小值，進(jìn)而求得圓柱的表面積.【詳解】

由題意，設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，高為，則球的半徑.因為球體積，故最小當(dāng)且僅當(dāng)最小.圓柱的側(cè)面積為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取“=”號，此時取最小值，所以,圓柱的表面積為.【點睛】

本題主要考查了球的體積公式，以及圓柱的側(cè)面公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得出求得半徑和圓柱的底面半徑的關(guān)系式，求得圓柱的底面半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.16．已知數(shù)列的前項和，若不等式，對恒成立，則整數(shù)的最大值為______．

【答案】4

【解析】【詳解】

當(dāng)時，得，當(dāng)時，又，兩式相減得，得，所以．

又，所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，即．

因為，所以不等式，等價于．

記，時，．

所以時，．

所以，所以整數(shù)的最大值為4．

【考點】1．?dāng)?shù)列的通項公式；2．解不等式．

三、解答題

17．在中，角A，B，C對邊分別為，，且是與的等差中項.（1）求角A；

（2）若，且的外接圓半徑為1，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，得，由正弦定理，化簡，進(jìn)而得到，即可求解；

（2）設(shè)的外接圓半徑為，求得，利用余弦定理求得，進(jìn)而利用面積公式，即可求解．

【詳解】

（1）因為是與的等差中項.所以.由正弦定理得，從而可得，又為三角形的內(nèi)角，所以，于是，又為三角形內(nèi)角，因此.（2）設(shè)的外接圓半徑為，則，由余弦定理得，即，所以.所以的面積為.【點睛】

在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．

18．《漢字聽寫大會》不斷創(chuàng)收視新高，為了避免“書寫危機”，弘揚傳統(tǒng)文化，某市大約10萬名市民進(jìn)行了漢字聽寫測試.現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機抽取50名市民的聽寫測試情況，發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個數(shù)全部在160到184之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第1組，第2組，…，第6組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進(jìn)行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率；

（2）試估計該市市民正確書寫漢字的個數(shù)的眾數(shù)與中位數(shù)；

（3）已知第4組市民中有3名男性，組織方要從第4組中隨機抽取2名市同組成弘揚傳統(tǒng)文化宣傳隊，求至少有1名女性市民的概率.【答案】（1）0.32

；（2）眾數(shù)是170，中位數(shù)是168.25

；（3）

【解析】（1）利用頻率分布直方圖能求出被采訪人恰好在第2組或第6組的概率；

（2）利用頻率分布直方圖能求出眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）共50×0.12＝6人，其中男生3人，設(shè)為a，b，c，女生三人，設(shè)為d，e，f，利用列舉法能求出至少有1名女性市民的概率．

【詳解】

（1）被采訪人拾好在第2組或第6組的概率.（2）眾數(shù)：；

設(shè)中位數(shù)為，則

∴中位數(shù).（3）共人，其中男生3人，設(shè)為，，女生三人，設(shè)為，，則任選2人，可能為，，，，，，，，共15種，其中兩個全是男生的有，，共3種情況，設(shè)事件：至少有1名女性，則至少有1名女性市民的概率.【點睛】

本題考查概率、眾數(shù)、中位數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

19．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為的菱形，點E是棱BC的中點，點P在平面ABCD的射影為O，F(xiàn)為棱PA上一點．

(1)求證：平面PED平面BCF；

(2)若BF//平面PDE，PO=2，求四棱錐F-ABED的體積．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）推導(dǎo)出BC⊥PO，BC⊥DE，從而BC⊥平面PED，由此能證明平面PED⊥平面BCF；

（2）取AD的中點G，連結(jié)BG，F(xiàn)G，從而BG∥DE，進(jìn)而BG∥平面PDE，平面BGF∥平面PDE，由此能求出四棱錐F﹣ABED的體積．

【詳解】

證明：平面ABCD，平面ABCD，依題意是等邊三角形，E為棱BC的中點，又，PO，平面PED，平面PED，平面BCF，平面平面BCF．

解：Ⅱ取AD的中點G，連結(jié)BG，F(xiàn)G，底面ABCD是菱形，E是棱BC的中點，平面PDE，平面PDE，平面PDE，平面PDE，平面平面PDE，又平面平面，平面平面，為PA的中點，點F到平面ABED的距離為，四棱錐的體積：

．

【點睛】

本題考查面面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．

20．設(shè)橢圓C：的左頂點為A，上頂點為B，已知直線AB的斜率為，.（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同的兩點M、N，且點O在以MN為直徑的圓外（其中O為坐標(biāo)原點），求的取值范圍.【答案】（1）（2）

【解析】(1)由已知條件列出關(guān)于的二元一次方程組，求出的值，得到橢圓方程

(2)由題意中點在以為直徑的圓外轉(zhuǎn)化為為銳角，即，設(shè)出點、的坐標(biāo)代入求出的取值范圍

【詳解】

（1）由已知得：，結(jié)合已知有，可得，則橢圓的方程為.（2）設(shè)，由得

.故，.由題意得為銳角，∴，又

∴，解得.∴的取值范圍為.【點睛】

本題考查了求橢圓方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，在求解過程中將其轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，運用向量知識求解，設(shè)而不求，解得的取值范圍，屬于中檔題

21．已知函數(shù)，在點處的切線與軸平行.（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，當(dāng)時，恒有成立，求的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間

減區(qū)間

(2)

【解析】試題分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于，解出即可；

（2）構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，分類討論的取值，在不同情況下討論，取得最后結(jié)果

解析：（1）由已知可得的定義域為

（2）不等式可化為，不適合題意.適合題意.適合題意.綜上，的取值范圍是

點睛：含有參量的不等式題目有兩種解法，一是分離含參量，二是帶著參量一起計算，本題在處理問題時含有參量運算，然后經(jīng)過分類討論，求得符合條件情況的參量范圍

22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點為極點，以軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）射線：與曲線交于點，射線：與曲線交于點，求的取值范圍．

【答案】（1）的極坐標(biāo)方程為，的直角方程為；（2）.【解析】(1)利用三種方程的互化方法求出曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程即可；

（2）設(shè)點和點的極坐標(biāo)分別為，其中，可得，的值，代入可得其取值范圍.【詳解】

解：（1）由曲線的參數(shù)方程(為參數(shù))得：，即曲線的普通方程為

又，曲線的極坐標(biāo)方程為，即

曲線的極坐標(biāo)方程可化為，故曲線的直角方程為

（2）由已知，設(shè)點和點的極坐標(biāo)分別為，其中

則，于是

由，得

故的取值范圍是

【點睛】

本題主要考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及極坐標(biāo)方程的簡單應(yīng)用，需熟練掌握三種方程的互化方法.23．已知函數(shù),．

(1)當(dāng)時，求不等式的解集；

（2）若，都有恒成立，求的取值范圍．

【答案】（1）

；（2）

【解析】（1）當(dāng)

時，f（x）＝|2x|+|2x+3|-2＝，分段解不等式即可．

（2）f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝

．當(dāng)時，得，當(dāng)時，得，利用恒成立求最值，可得m的取值范圍．

【詳解】

（1）當(dāng)m＝﹣2時，f（x）＝|2x|+|2x+3|-2＝

當(dāng)，解得；

當(dāng)恒成立

當(dāng)解得﹣2，此不等式的解集為

（2）當(dāng)x∈（﹣∞，0）時f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝．

當(dāng)時，得恒成立，由

當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立．∴，∴

當(dāng)時，得．∴恒成立，令，∵，∴在上是增函數(shù)．

∴當(dāng)時，取到最大值為

∴.又，所以

【點睛】

本題考查含絕對值不等式的解法，考查利用恒成立求參數(shù)的問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．