全等三角形經典題目測試含答案

一．選擇題（共13小題,共39分）

1．（2013賀州）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交點，則BF的長是（）

A．

4cm

B．

6cm

C．

8cm

D．

9cm

2．（2011蕪湖）如圖，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交點，CD=4，則線段DF的長度為（）

（第1題）

（第2題）

（第3題）

（第4題）

A．

B．

C．

D．

·

3．（2011恩施州）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（）

A．

B．

C．

D．

4．（2010岳陽）如圖，要使△ABC≌△ABD，下面給出的四組條件中，錯誤的一組是（）

A．

BC=BD，∠BAC=∠BAD

B．

∠C=∠D，∠BAC=∠BAD

C．

∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD

D．

BC=BD，AC=AD

5．（2010鄂州）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（）

A．

B．

C．

D．

6．（2009西寧）用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如下，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據是（）

A．

（S．S．S．）

B．

（S．A．S．）

C．

（A．S．A．）

D．

（A．A．S．）

7．（2009蕪湖）如圖所示的4×4正方形網格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）

（第7題）

（第8題）

A．

330°

B．

315°

C．

310°

D．

320°

8．（2009臨沂）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結論中不一定成立的是（）

A．

PA=PB

B．

PO平分∠APB

C．

OA=OB

D．

AB垂直平分OP

9．（2009江蘇）如圖，給出下列四組條件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；

其中能使△ABC≌△DEF的條件共有（）

A．

1組

B．

2組

C．

3組

D．

4組

10．（2008新疆）如圖，△ABC中BC邊上的高為h1，△DEF中DE邊上的高為h2，下列結論正確的是（）

A．

h1＞h2

B．

h1＜h2

C．

h1=h2

D．

無法確定

11．如圖，點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，則點P到AB的距離是（）

（第11題）

（第12題）

（第13題）

A．

B．

C．

D．

12．如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）

A．

4個

B．

3個

C．

2個

D．

1個

13．如圖，已知AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上．下列條件中不能推出AB=AB′的是（）

A．

BB′⊥AC

B．

BC=B′C

C．

∠ACB=∠ACB′

D．

∠ABC=∠AB′C

二．填空題（共7小題，共21分）

14．（2013麗水）如圖，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是　_________　．

（第14題）

（第15題）

15．（2012通遼）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=　_________　．

16．（2012臨沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC=BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F，若EF=5cm，則AE=　_________　cm．

（第16題）

（第17題）

（第18題）

17．（2011資陽）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，則∠ABC=　_________　度．

18．（2011郴州）如圖，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么圖中有　_________　對全等三角形．

19．（2008大興安嶺）如圖，∠BAC=∠ABD，請你添加一個條件：　_________，使OC=OD（只添一個即可）．

20．如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則∠1+∠2+∠3=　_________　度．

三．解答題（共6小題，共60分）

21．（2013陜西）如圖，∠AOB=90°，OA=OB，直線l經過點O，分別過A、B兩點作AC⊥l交l于點C，BD⊥l交l于點D．

求證：AC=OD．

22．（2012云南）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D是AB邊上的一點，DM⊥AB，且DM=AC，過點M作ME∥BC交AB于點E．

求證：△ABC≌△MED．

23．（2011烏魯木齊）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E．AD⊥CE于點D．

求證：△BEC≌△CDA．

24．（2012密云縣二模）已知：如圖，∠C=∠CAF=90°，點E在AC上，且AE=BC，EF⊥AB于點D．求證：AB=FE．

A

B

C

D

E

25.如圖，在ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上.⑴求證：BE=CE；

⑵若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC,垂足為F，∠BAC=45°，原題設其它條件不變.求證：AEF≌BCF.C

E

A

B

D

F

26.（10分）如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：∠C=2∠B．

一．選擇題（共13小題）

1．（2013賀州）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交點，則BF的長是（）

A．

4cm

B．

6cm

C．

8cm

D．

9cm

考點：

全等三角形的判定與性質．

分析：

求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，證△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可．

解答：

解：∵F是高AD和BE的交點，∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD，在△DBF和△DAC中

∴△DBF≌△DAC，∴BF=AC=8cm，故選C．

點評：

本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理的應用，關鍵是推出△DBF≌△DAC．

2．（2011?蕪湖）如圖，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交點，CD=4，則線段DF的長度為（）

A．

B．

C．

D．

考點：

全等三角形的判定與性質．

分析：

先證明AD=BD，再證明∠FBD=∠DAC，從而利用ASA證明△BDF≌△CDA，利用全等三角形對應邊相等就可得到答案．

解答：

解：

∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC，∴AD=BD，在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF，∴DF=CD=4，故選：B．

點評：

此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是找出能使三角形全等的條件．

3．（2011?恩施州）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（）

A．

B．

C．

D．

考點：

角平分線的性質；全等三角形的判定與性質．

專題：

計算題．

分析：

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分線的性質得到DN=DF，將三角形EDF的面積轉化為三角形DNM的面積來求．

解答：

解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵DE=DG，DM=DE，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，∴DF=DN，∴△DEF≌△DNM（HL），∵△ADG和△AED的面積分別為50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△DEF=S△MDG==

故選B．

點評：

本題考查了角平分線的性質及全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是正確地作出輔助線，將所求的三角形的面積轉化為另外的三角形的面積來求．

4．（2010?岳陽）如圖，要使△ABC≌△ABD，下面給出的四組條件中，錯誤的一組是（）

A．

BC=BD，∠BAC=∠BAD

B．

∠C=∠D，∠BAC=∠BAD

C．

∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD

D．

BC=BD，AC=AD

考點：

全等三角形的判定．

分析：

根據全等三角形的判定方法，對每個選項分別分析、解答出即可；

解答：

解：A、BC=BD，∠BAC=∠BAD，又由圖可知AB為公共邊，不能證明△ABC和△ABD全等，故本項錯誤，符合題意；

B、∠C=∠D，∠BAC=∠BAD，又AB=AB，能證明△ABC和△ABD全等，故本項正確，不符合題意；

C、∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD，又AB=AB，能證明△ABC和△ABD全等，故本項正確，不符合題意；

D、BC=BD，AC=AD，又AB=AB，能證明△ABC和△ABD全等，故本項正確，不符合題意．

故選A．

點評：

本題主要考查了全等三角形的判定方法，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．

5．（2010?鄂州）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（）

A．

B．

C．

D．

考點：

角平分線的性質；三角形的面積．

分析：

首先由角平分線的性質可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面積公式得出結果．

解答：

解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F，∴DF=DE=2．

又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，∴7=×4×2×AC×2，∴AC=3．

故選B．

點評：

本題主要考查了角平分線的性質；利用三角形的面積求線段的大小是一種很好的方法，要注意掌握應用．

6．（2009?西寧）用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如下，則說明∠A′O′B′=∠AOB的依據是（）

A．

（S．S．S．）

B．

（S．A．S．）

C．

（A．S．A．）

D．

（A．A．S．）

考點：

全等三角形的判定．

專題：

作圖題．

分析：

我們可以通過其作圖的步驟來進行分析，作圖時滿足了三條邊對應相等，于是我們可以判定是運用SSS，答案可得．

解答：

解：作圖的步驟：

①以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點C、D；

②任意作一點O′，作射線O′A′，以O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；

③以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交前弧于點D′；

④過點D′作射線O′B′．

所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；

作圖完畢．

在△OCD與△O′C′D′，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，顯然運用的判定方法是SSS．

故選A．

點評：

此題是一道綜合題，不但考查了學生對作圖方法的掌握，也是對全等三角形的判定的方法的考查．

7．（2009?蕪湖）如圖所示的4×4正方形網格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）

A．

330°

B．

315°

C．

310°

D．

320°

考點：

全等三角形的判定與性質．

專題：

網格型．

分析：

利用正方形的性質，分別求出多組三角形全等，如∠1和∠7的余角所在的三角形全等，得到∠1+∠7=90°等，可得所求結論．

解答：

解：由圖中可知：①∠4=×90°=45°，②∠1和∠7的余角所在的三角形全等

∴∠1+∠7=90°

同理∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°∠4=45°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°

故選B．

點評：

考查了全等三角形的性質與判定；做題時主要利用全等三角形的對應角相等，得到幾對角的和的關系，認真觀察圖形，找到其中的特點是比較關鍵的．

8．（2009?臨沂）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結論中不一定成立的是（）

A．

PA=PB

B．

PO平分∠APB

C．

OA=OB

D．

AB垂直平分OP

考點：

角平分線的性質．

分析：

本題要從已知條件OP平分∠AOB入手，利用角平分線的性質，對各選項逐個驗證，選項D是錯誤的，雖然垂直，但不一定平分OP．

解答：

解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB

∴PA=PB

∴△OPA≌△OPB

∴∠APO=∠BPO，OA=OB

∴A、B、C項正確

設PO與AB相交于E

∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE

∴△AOE≌△BOE

∴∠AEO=∠BEO=90°

∴OP垂直AB

而不能得到AB平分OP

故D不成立

故選D．

點評：

本題主要考查平分線的性質，由已知能夠注意到△OPA≌△OPB，進而求得△AOE≌△BOE是解決的關鍵．

9．（2009?江蘇）如圖，給出下列四組條件：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；

其中能使△ABC≌△DEF的條件共有（）

A．

1組

B．

2組

C．

3組

D．

4組

考點：

全等三角形的判定．

分析：

要判斷能不能使△ABC≌△DEF一定要熟練運用判定方法判斷，做題時注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等，要根據已知條件的位置來選擇判定方法．

解答：

解：根據全等三角形的判定方法可知：

①AB=DE，BC=EF，AC=DF，用的判定方法是“邊邊邊”；

②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，用的判定方法是“邊角邊”；

③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F用的判定方法是“角邊角”；

④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，用的判定方法是“角角邊”；

因此能使△ABC≌△DEF的條件共有4組．

故選D．

點評：

本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA，HL．

注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．

10．（2008?新疆）如圖，△ABC中BC邊上的高為h1，△DEF中DE邊上的高為h2，下列結論正確的是（）

A．

h1＞h2

B．

h1＜h2

C．

h1=h2

D．

無法確定

考點：

全等三角形的判定與性質．

分析：

本題可通過構建全等三角形進行求解．過點A作AM⊥BC交BC于點M，過點F作FN⊥DE交DE的延長線于點N，則有AM=h1，FN=h2；因此只要證明△AMC≌△FNE，即可得出h1=h2．

解答：

解：過點A作AM⊥BC交BC于點M，過點F作FN⊥DE交DE的延長線于點N，則有AM=h1，FN=h2；

在△AMC和△FNE中，∵AM⊥BC，FN⊥DE，∴∠AMC=∠FNE；

∵∠FED=115°，∴∠FEN=65°=∠ACB；

∵又AC=FE，∴△AMC≌△FNE；

∴AM=FN，∴h1=h2．

故選C．

點評：

本題主要考查了全等三角形的判定幾性質；做題中通過作輔助線構造了全等三角形是解決本題的關鍵，也是一種很重要的方法，要注意學習、掌握．

11．（2007?義烏市）如圖，點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，則點P到AB的距離是（）

A．

B．

C．

D．

考點：

角平分線的性質．

分析：

已知條件給出了角平分線還有PE⊥AC于點E等條件，利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可求解．

解答：

解：利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知點P到AB的距離是也是3．

故選A．

點評：

本題主要考查了角平分線上的一點到角的兩邊的距離相等的性質．做題時從已知開始思考，想到角平分線的性質可以順利地解答本題．

12．（2006?十堰）如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）

A．

4個

B．

3個

C．

2個

D．

1個

考點：

全等三角形的判定．

分析：

∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根據三角形全等的判定方法，可加一角或夾已知角的另一邊．

解答：

解：∠1=∠2，AC=AD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；

加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；

加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；

加②BC=ED只是具備SSA，不能判定三角形全等．

故選B．

點評：

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做題時要根據已知條件在圖形上的位置，結合判定方法，進行添加．

13．（2005?烏蘭察布）如圖，已知AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上．下列條件中不能推出AB=AB′的是（）

A．

BB′⊥AC

B．

BC=B′C

C．

∠ACB=∠ACB′

D．

∠ABC=∠AB′C

考點：

角平分線的性質．

分析：

根據已知條件結合三角形全等的判定方法，驗證各選項提交的條件是否能證△ABC≌△AB′C即可．

解答：

解：如圖：∵AC平分∠PAQ，點B，B′分別在邊AP，AQ上，A：若BB′⊥AC，在△ABC與△AB′C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，∠ACB=∠ACB′，∴△ABC≌△AB′C，AB=AB′；

B：若BC=B′C，不能證明△ABC≌△AB′C，即不能證明AB=AB′；

C：若∠ACB=∠ACB′，則在△ABC與△AB＇C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′；

D：若∠ABC=∠AB′C，則∠ACB=∠ACB′∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′．

故選B．

點評：

本題考查的是三角形角平分線的性質及三角形全等的判定；做題時要結合已知條件在圖形上的位置對選項逐個驗證．

二．填空題（共7小題）

14．（2013?麗水）如圖，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是　15　．

考點：

角平分線的性質．

分析：

過D作DE⊥BC于E，根據角平分線性質求出DE=3，根據三角形的面積求出即可．

解答：

解：過D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面積是×DE×BC=×10×3=15，故答案為：15．

點評：

本題考查了角平分線性質和三角形的面積的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．

15．（2012?通遼）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=　4：5：6　．

考點：

角平分線的性質．

分析：

首先過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，由OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，根據角平分線的性質，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．

解答：

解：過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，∵OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．

故答案為：4：5：6．

點評：

此題考查了角平分線的性質．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．

16．（2012?臨沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC=BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F，若EF=5cm，則AE=　3　cm．

考點：

全等三角形的判定與性質．

分析：

根據直角三角形的兩銳角互余的性質求出∠ECF=∠B，然后利用“角邊角”證明△ABC和△FEC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AC=EF，再根據AE=AC﹣CE，代入數據計算即可得解．

解答：

解：∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，∴△ABC≌△FEC（ASA），∴AC=EF，∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm．

故答案為：3．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，根據直角三角形的性質證明得到∠ECF=∠B是解題的關鍵．

17．（2011?資陽）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，則∠ABC=　45　度．

考點：

直角三角形全等的判定；全等三角形的性質．

分析：

根據三角形全等的判定和性質，先證△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．

解答：

解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E

∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（對頂角相等）

∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，即∠ABC=∠BAD=45°．

故答案為：45

點評：

三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．

18．（2011?郴州）如圖，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么圖中有　3　對全等三角形．

考點：

全等三角形的判定．

分析：

根據題意，結合圖形，可得知△AEB≌△ADC，△BED≌△CDE，△BOD≌△COE．做題時要從已知條件開始結合圖形利用全等的判定方法由易到難逐個尋找．

解答：

解：①△AEB≌△ADC；

∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A，∴△AEC≌△ADC；

∴AB=AC，∴BD=CE；

②△BED≌△CDE；

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED，∴△BED≌△CDE．

③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COE．

故答案為3．

點評：

本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目

19．（2008?大興安嶺）如圖，∠BAC=∠ABD，請你添加一個條件：　∠C=∠D或AC=BD，使OC=OD（只添一個即可）．

考點：

全等三角形的判定．

專題：

開放型．

分析：

本題可通過全等三角形來證簡單的線段相等．△AOD和△BOC中，由于∠BAC=∠ABD，可得出OA=OB，又已知了∠AOD=∠BOC，因此只需添加一組對應角相等即可得出兩三角形全等，進而的得出OC=OD．也可直接添加AC=BD，然后聯立OA=OB，即可得出OC=OD．

解答：

解：∵∠BAC=∠ABD，∴OA=OB，又有∠AOD=∠BOC；

∴當∠C=∠D時，△AOD≌△BOC；

∴OC=OD．

故填∠C=∠D或AC=BD．

點評：

本題考查了全等三角形的判定；題目是開放型題目，根據已知條件結合判定方法，找出所需條件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．

20．（2005?荊門）如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則∠1+∠2+∠3=　135　度．

考點：

全等三角形的判定與性質．

專題：

網格型．

分析：

根據對稱性可得∠1+∠3=90°，∠2=45°．

解答：

解：觀察圖形可知，∠1所在的三角形與角3所在的三角形全等，∴∠1+∠3=90°，又∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135°．

點評：

主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性質來找到全等的條件從而判定全等后利用全等三角形的性質解題．

三．解答題（共6小題）

21．（2013?陜西）如圖，∠AOB=90°，OA=OB，直線l經過點O，分別過A、B兩點作AC⊥l交l于點C，BD⊥l交l于點D．

求證：AC=OD．

考點：

全等三角形的判定與性質．

專題：

證明題．

分析：

根據同角的余角相等求出∠A=∠BOD，然后利用“角角邊”證明△AOC和△OBD全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可．

解答：

證明：∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠A+∠AOC=90°，∴∠A=∠BOD，在△AOC和△OBD中，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴AC=OD．

點評：

本題考查了全等三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，利用三角形全等證明邊相等是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運用．

22．（2012?云南）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D是AB邊上的一點，DM⊥AB，且DM=AC，過點M作ME∥BC交AB于點E．

求證：△ABC≌△MED．

考點：

全等三角形的判定．

專題：

證明題．

分析：

根據平行線的性質可得出∠B=∠MED，結合全等三角形的判定定理可判斷△ABC≌△MED．

解答：

證明：∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90°，∵ME∥BC，∴∠B=∠MED，在△ABC與△MED中，∴△ABC≌△MED（AAS）．

點評：

此題考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，難度一般．

23．（2011?烏魯木齊）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E．AD⊥CE于點D．

求證：△BEC≌△CDA．

考點：

全等三角形的判定．

專題：

證明題．

分析：

根據垂直的定義以及等量代換可知∠CBE=∠ACD，根據已知條件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根據全等三角形的判定AAS即可證明△BEC≌△CDA．

解答：

證明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，∴△BEC≌△CDA．

點評：

本題考查了全等三角形的判定定理，本題根據AAS證明兩三角形全等，難度適中．

24．（2008?臺州）CD經過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB．E，F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直線CD經過∠BCA的內部，且E，F在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則BE　=　CF；EF　=　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請添加一個關于∠α與∠BCA關系的條件　∠α+∠BCA=180°，使①中的兩個結論仍然成立，并證明兩個結論成立．

（2）如圖3，若直線CD經過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請提出EF，BE，AF三條線段數量關系的合理猜想（不要求證明）．

考點：

直角三角形全等的判定；三角形內角和定理．

專題：

幾何綜合題．

分析：

由題意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理證△BCE≌△CAF，繼而得答案．

解答：

解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；

∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．

②所填的條件是：∠α+∠BCA=180°．

證明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．

∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．

又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）

∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．

（2）EF=BE+AF．

點評：

本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關知識．注意對三角形全等，相似的綜合應用．

25．（2005?揚州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，其中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分．）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD﹣BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系請寫出這個等量關系，并加以證明．

注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題．

考點：

全等三角形的判定與性質．

專題：

證明題；探究型．

分析：

（1）根據已知可利用AAS證明①△ADC≌△CEB，由此可證②DE=AD+BE；

（2）根據已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB，由此可證DE=AD﹣BE；

（3）根據已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB，由此可證DE=BE﹣AD．

解答：

解：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．

∴∠CAD=∠BCE．

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．

又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．

∴CE=AD，CD=BE．

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．

（3）當MN旋轉到圖3的位置時，AD、DE、BE所滿足的等量關系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．

點評：

本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，再根據全等三角形對應邊相等得出結論．

26．（2012?密云縣二模）已知：如圖，∠C=∠CAF=90°，點E在AC上，且AE=BC，EF⊥AB于點D．求證：AB=FE．

考點：

全等三角形的判定與性質．

專題：

證明題．

分析：

首先證明∠B=∠2，再加上條件AE=BC，∠FAF=∠BCA，可利用ASA證明△ABC≌△FEA，再根據全等三角形對應邊相等可得AB=FE．

解答：

證明：∵EF⊥AB于點D，∴∠ADE=90°．

∴∠1+∠2=90°，又∵∠C=90°，∴∠1+∠B=90°．

∴∠B=∠2，在△ABC和△FEA中，∴△ABC≌△FEA（ASA）

∴AB=FE．