《固體物理學》習題解答

黃昆

原著

韓汝琦改編

（陳志遠解答，僅供參考）

第一章

晶體結構

1.1、解：實驗表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對稱結構。因此，可以把這些原子或離子構成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個晶體原胞所包含的點的數目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率，（1）對于簡立方結構：（見教材P2圖1-1）

a=2r，V=，Vc=a3，n=1

∴

（2）對于體心立方：晶胞的體對角線BG=

n=2,Vc=a3

∴

（3）對于面心立方：晶胞面對角線BC=

n=4，Vc=a3

（4）對于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6=

晶胞的體積：V=

n=12=6個

（5）對于金剛石結構，晶胞的體對角線BG=

n=8,Vc=a3

1.2、試證：六方密排堆積結構中

證明：在六角密堆積結構中，第一層硬球A、B、O的中心聯線形成一個邊長a=2r的正三角形，第二層硬球N位于球ABO所圍間隙的正上方并與這三個球相切，于是：

NA=NB=NO=a=2R.即圖中NABO構成一個正四面體。…

1.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。

證明：（1）面心立方的正格子基矢（固體物理學原胞基矢）：

由倒格子基矢的定義：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是體心立方。

（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學原胞基矢）：

由倒格子基矢的定義：，同理可得：即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。

所以，體心立方的倒格子是面心立方。

1.5、證明倒格子矢量垂直于密勒指數為的晶面系。

證明：

因為，利用，容易證明

所以，倒格子矢量垂直于密勒指數為的晶面系。

1.6、對于簡單立方晶格，證明密勒指數為的晶面系，面間距滿足：，其中為立方邊長；并說明面指數簡單的晶面，其面密度較大，容易解理。

解：簡單立方晶格：，由倒格子基矢的定義：，倒格子基矢：

倒格子矢量：，晶面族的面間距：

面指數越簡單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點的密度越大，單位表面的能量越小，這樣的晶面越容易解理。

第二章

固體結合2.1、兩種一價離子組成的一維晶格的馬德隆常數（）和庫侖相互作用能，設離子的總數為。

＜解＞

設想一個由正負兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負離子作參考離子（這樣馬德隆常數中的正負號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負離子取負號），用r表示相鄰離子間的距離，于是有

前邊的因子2是因為存在著兩個相等距離的離子，一個在參考離子左面，一個在其右面，故對一邊求和后要乘2，馬德隆常數為

當X=1時，有

2.3、若一晶體的相互作用能可以表示為

試求：（1）平衡間距；

（2）結合能（單個原子的）；

（3）體彈性模量；

（4）若取，計算及的值。

解：（1）求平衡間距r0

由，有：

結合能：設想把分散的原子（離子或分子）結合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個能量稱為結合能（用w表示）

（2）求結合能w（單個原子的）

題中標明單個原子是為了使問題簡化，說明組成晶體的基本單元是單個原子，而非原子團、離子基團，或其它復雜的基元。

顯然結合能就是平衡時，晶體的勢能，即Umin

即：

（可代入r0值，也可不代入）

（3）體彈性模量

由體彈性模量公式：

（4）m

=

2，n

=

10，w

=

4eV，求α、β

①

②

將，代入①②

（1）平衡間距r0的計算

晶體內能

平衡條件，（2）單個原子的結合能，（3）體彈性模量

晶體的體積，A為常數，N為原胞數目

晶體內能

由平衡條件，得

體彈性模量

（4）若取，，第三章

固格振動與晶體的熱學性質

3.2、討論N個原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N個格波解，當=

時與一維單原子鏈的結果一一對應。

解：質量為的原子位于2n-1，2n+1，2n+3

……；質量為的原子位于2n，2n+2，2n+4

……。

牛頓運動方程

N個原胞，有2N個獨立的方程

設方程的解，代回方程中得到

A、B有非零解，則

兩種不同的格波的色散關系

一個q對應有兩支格波：一支聲學波和一支光學波.總的格波數目為2N.當時，兩種色散關系如圖所示：

長波極限情況下，與一維單原子晶格格波的色散關系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰原子間的力常數交錯地為和，兩種原子質量相等，且最近鄰原子間距為。試求在處的，并粗略畫出色散關系曲線。此問題模擬如這樣的雙原子分子晶體。

答：（1）

淺色標記的原子位于2n-1，2n+1，2n+3

……；深色標記原子位于2n，2n+2，2n+4

……。

第2n個原子和第2n＋1個原子的運動方程：

體系N個原胞，有2N個獨立的方程

方程的解：，令，將解代入上述方程得：

A、B有非零的解，系數行列式滿足：

因為、，令得到

兩種色散關系：

當時，當時，（2）色散關系圖：

3.7、設三維晶格的光學振動在q=0附近的長波極限有

求證：;.＜解＞

依據，并帶入上邊結果有

3.8、有N個相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。

證明：在到間的獨立振動模式對應于平面中半徑到間圓環的面積，且則，第四章

能帶理論

4.1、根據狀態簡并微擾結果，求出與及相應的波函數及?，并說明它們的特性．說明它們都代表駐波，并比較兩個電子云分布說明能隙的來源(假設=)。

＜解＞令，簡并微擾波函數為

取

帶入上式，其中

V(x)<0，從上式得到B=

-A,于是

=

取，=

由教材可知，及均為駐波．

在駐波狀態下，電子的平均速度為零．產生駐波因為電子波矢時，電子波的波長，恰好滿足布拉格發射條件，這時電子波發生全反射，并與反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對應不同代入能量。

4.2、寫出一維近自由電子近似，第n個能帶(n=1，2，3)中，簡約波數的0級波函數。

＜解＞

第一能帶：

第二能帶：

第三能帶：

4.3、電子在周期場中的勢能．

0，其中d＝4b，是常數．試畫出此勢能曲線，求其平均值及此晶體的第一個和第二個禁帶度．

＜解＞(I)題設勢能曲線如下圖所示．

(2)勢能的平均值：由圖可見，是個以為周期的周期函數，所以

題設，故積分上限應為，但由于在區間內，故只需在區間內積分．這時，于是。

（3），勢能在[-2b,2b]區間是個偶函數，可以展開成傅立葉級數

利用積分公式得

第二個禁帶寬度代入上式

再次利用積分公式有

4.4、解：我們求解面心立方，同學們做體心立方。

（1）如只計及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結果，晶體中S態電子的能量可表示成：

在面心立方中，有12個最近鄰，若取，則這12個最近鄰的坐標是：

①

②

③

由于S態波函數是球對稱的，在各個方向重疊積分相同，因此有相同的值，簡單表示為J1=。又由于s態波函數為偶宇稱，即

∴在近鄰重疊積分中，波函數的貢獻為正

∴J1＞0。

于是，把近鄰格矢代入表達式得到：

=

+

=

=

（2）對于體心立方：有8個最近鄰，這8個最近鄰的坐標是：

4.7、有一一維單原子鏈，間距為a，總長度為Na。求（1）用緊束縛近似求出原子s態能級對應的能帶E(k)函數。（2）求出其能態密度函數的表達式。（3）如果每個原子s態只有一個電子，求等于T=0K的費米能級及處的能態密度。

＜解＞

(2),(3),第五章

晶體中電子在電場和磁場中的運動

5.1、設有一維晶體的電子能帶可寫成，其中為晶格常數，是電子的質量。

試求（1）能帶寬度；

（2）電子在波矢k狀態的速度；

（3）帶頂和帶底的電子有效質量。

解：（1）

=[－coska+(2cos2ka－1)]

＝[(coska－2)2－1]

當ka＝(2n+1)p時,n=0,±1,±2…

當ka=2np時,能帶寬度＝

（2）

(3)

當時,帶底，當時,帶頂，—

END

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