第一篇：天津市2013屆高三數學總復習之綜合專題：數學歸納法及其應用舉例(教師版)

數學歸納法及其應用舉例

1、基本概念

學案P38

①

②

③

④

⑤

2、用數學歸納法證明一個與正整數有關的命題的步驟 教材P933、應用舉例——用數學歸納法證明下列命題

1Sn??k?(n?1)(2n?1)。①（數學歸納法證明恒等式）6k?1n

2教材P9

412S?k?[(n?1)]②（數學歸納法證明恒等式）。?n2k?1n

3③（數學歸納法證明不等式）當n?N*,n?5時，恒有2n?n2。學案P39

④（數學歸納法證明整除性問題）試證當n?N時，*?3n?1??7n?1能被9整除。學案P40

⑤（數學歸納法證明幾何問題）平面上有n條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過同一點，求證：這n條直線互相分割成n2條線段或射線。學案P404、補充練習——用數學歸納法證明：

①（數學歸納法證明恒等式）???1?

i?1ni?1?2???1?i?1n?12n1??。33

學案P39

②（數學歸納法證明不等式）1?111?????2n，?n?N?； 學案P39

講解：此題為與自然數有關的命題，故可考慮用數學歸納法證明。

①當n?1時命題成立。

②假設n?k?k?N?時命題成立，即：1?111?????2。則當n?k?1時，不等式的左端?1?

不等式的右端?2k?1。由于2???2?11111?2?????? ?

?1211?2???? ??????

?121??0。所以，2k??2k?1，即n?k?1時命題也成立。?由①②可知：原不等式得證。

③（數學歸納法證明整除性問題）試證當n?N時，3*2n?2?8n?9能被64整除。學案P39 ④（數學歸納法證明整除性問題）試證當n?N時，11n?2?122n?1能被133整除。

全解P102

第二篇：【天津市2013屆高三數學總復習之綜合專題：數列(文)(學生版)

數列（文）

考查內容：本小題主要考查等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、不等式證明等基礎知識，考查分類討論的思想方法，考查運算能力、推理論證能力及綜合分析、解決問題的能力。

1、已知數列?xn?的首項x1?3，通項公式xn?2np?nq（n?N?,p,q為常數），且x1,x4,x5成等差數列，求：（1）p,q的值；

（2）數列?xn?的前n項的和Sn的公式。

2、在數列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n。（1）設bn?an。證明：數列?bn?是等差數列； 2n?1（2）求數列?an?的前n項和Sn。

3、設數列?an?的前n項和為Sn，已知ban?2n??b?1?Sn（1）證明：當b?2時，?an?n?2n?1?是等比數列；（2）求?an?的通項公式

4、已知數列{an}的首項a1?22an，an?1?，n?1,2,3,…。3an?1?1?（1）證明：數列??1?是等比數列；

?an?

?n?（2）數列??的前n項和Sn。

?an?

15、設數列{an}滿足a1?1，a2?2，an?(an?1?2an?2)，(n?3,4,3)。數列{bn}滿足b1?1,bn(n?2,3,)是非零整數，且對任意的正整數m和自然數k，都有?1?bm?bm?1??bm?k?1。

（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；（2）記cn?nanbn(n?1,2，n?n???

6、數列{an}的通項公式為an?n2?cos2?sin2?，其前n項和為Sn。

33??)，求數列{cn}的前n項和Sn。

（1）求Sn；（2）設bn?

滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos27、數列{an}?滿足

n?n?)an?sin2,n?1,2,3,22.。S3n，求數列{bn}的前n項和Tn。n?4n（1）求a3,a4,并求數列?an?的通項公式；（2）設bn?

8、已知數列{an}和{bn}的通項公式分別為an?3n?6，bn?2n?7，n?N*，若將**集合{x|x?an,n?N}{x|x?bn,n?N}中的元素從小到大依次排列，構成一個a2n?1,Sn?b1?b2?a2n1?bn.。證明：當n?n6?時，6時，Sn?2?。.n新的數列{cn}。

（1）求c1,c2,c3,c4；

（2）求證：在數列{cn}中，但不在數列{bn}中的項恰為a2,a4,（3）求數列{cn}的通項公式。

9、在數列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0。（1）求數列?an?的通項公式；（2）求數列?an?的前n項和Sn。,a2n,；

an?1ak?1?（3）證明：存在k?N，使得對任意n?N*均成立。anak*

10、已知數列?an?中，a1?1，a2?2，且an?1?(1?q)an?qan?1，n?2,q?0。

(n?N*)*，證明?bn?是等比數列； n?N（1）設bn?an?1?an，（2）求數列?an?的通項公式；

（3）若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n?N*，an是an?3與an?6的等差中項。

11、已知等差數列?an?的公差為d不為0，設Sn?a1?a2q??anqn?1，Tn?a1?a2q??(?1)n?1anqn?1,q?0,n?N*。

（1）若q?1,a1?1,S3?15，求數列?an?的通項公式；（2）若a1?d且S1,S2,S3成等比數列，求q的值；

2dq(1?q2n)（3）若q??1，證明?1?q?S2n??1?q?T2n?，n?N*。21?q

12、在數列?an?中，a1?0，且對任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?1成等差數列，其公差為2k。

（1）證明a4,a5,a6成等比數列；（2）求數列?an?的通項公式；

32232n2（3）記Tn???...?，證明?2n?Tn?2?n?2?。

2a2a3an

3?(?1)n13、已知數列{an}與{bn}滿足：bn?1an?bnan?1???2??1，bn?，n?N*，2n且a1?2。

（1）求a2,a3的值；

（2）設cn?a2n?1?a2n?1，n?N*，證明?cn?是等比數列；（3）設Sn為{an}的前n項和，證明

SSS1S21??...?2n?1?2n?n?，n?N*。a1a2a2n?1a2n3

第三篇：【天津市2013屆高三數學總復習之綜合專題：數列(理)(學生版)

數列（理）

考查內容：本小題主要考查等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、不等式證明等基礎知識，考查分類討論的思想方法，考查運算能力、推理論證能力及綜合分析、解決問題的能力。

1、在數列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n。（1）設bn?an。證明：數列?bn?是等差數列； n?12（2）求數列?an?的前n項和Sn。

2、設數列?an?的前n項和為Sn，已知ban?2n??b?1?Sn（1）證明：當b?2時，?an?n?2n?1?是等比數列；（2）求?an?的通項公式

3、已知數列{an}的首項a1?22an，an?1?，n?1,2,3,…。3an?1?1?（1）證明：數列??1?是等比數列；

?an??n?（2）數列??的前n項和Sn。

?an?

4、已知數列?an?滿足：an??1，a1?22?cn?an?1?an，n?N。

1222，31?an?1?21?an，記數列bn?1?an，2????（1）證明數列?bn?是等比數列；（2）求數列{cn}的通項公式；

（3）是否存在數列{cn}的不同項ci,cj,ck，i?j?k，使之成為等差數列？若存在請求出這樣的不同項ci,cj,ck，i?j?k；若不存在，請說明理由。

5、已知數列{an}、{bn}中，對任何正整數n都有：

a1bn?a2bn?1?a3bn?2??an?1b2?anb1?2n?1?n?2。

（1）若數列{an}是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列{bn}是等比數列；（2）若數列{bn}是等比數列，數列{an}是否是等差數列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；

（3）若數列{an}是等差數列，數列{bn}是等比數列，求證：?i?1n13?。aibi2)。數列{bn}

16、設數列{an}滿足a1?1，a2?2，an?(an?1?2an?2)，(n?3,4,3滿足b1?1,bn(n?2,3,)是非零整數，且對任意的正整數m和自然數k，都有?1?bm?bm?1??bm?k?1。

（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；（2）記cn?nanbn(n?1,2,)，求數列{cn}的前n項和Sn。

7、有n個首項都是1的等差數列，設第m個數列的第k項為amk，(m,k?1,2,3，n, n≥3)，公差為dm，并且a1n,a2n,a3n，ann成等差數列。

（1）證明dm?p1d1?p2d2，3?m?n，p1,p2是m的多項式，并求p1?p2的值；（2）當d1?1, d2?3時，將數列{dm}分組如下：(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),（每組數的個數構成等差數列），設前m組中所有數之和為(cm)4(cm?0)，求數列{2cmdm}的前n項和Sn。

（3）設N是不超過20的正整數，當n?N時，對于（2）中的Sn，求使得不等式1(Sn?6)?dn成立的所有N的值。50

n?n???

8、數列{an}的通項公式為an?n2?cos2?sin2?，其前n項和為Sn。

33??（1）求Sn；

S3n，求數列{bn}的前n項和Tn。n?4nn?n?滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2)an?sin2,n?1,2,3,9、數列{an}?滿足

22（2）設bn?.。

（1）求a3,a4,并求數列?an?的通項公式；（2）設bn?a2n?1,Sn?b1?b2?a2n1?bn.。證明：當n?n6?時，6時，Sn?2?。.n10、已知數列{an}和{bn}的通項公式分別為an?3n?6，bn?2n?7，n?N*，若將**集合{x|x?an,n?N}{x|x?bn,n?N}中的元素從小到大依次排列，構成一個新的數列{cn}。（1）求c1,c2,c3,c4；

（2）求證：在數列{cn}中，但不在數列{bn}中的項恰為a2,a4,（3）求數列{cn}的通項公式。

11、在數列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0。（1）求數列?an?的通項公式；（2）求數列?an?的前n項和Sn。,a2n,；

an?1ak?1?（3）證明：存在k?N，使得對任意n?N*均成立。anak*

12、在數列?an?與?bn?中，a1?1,b1?4，數列?an?的前n項和Sn滿足nSn?1?(n?3)Sn?0，且2an?1為bn與bn?1的等比中項，n?N*。

（1）求a2，b2的值；

（2）求數列?an?與?bn?的通項公式；

*2n?N（3）設Tn?(?1)1b1?(?1)2b2?…?(?1)nbn，證明n≥?3。NT?2n，nn，aaa*

13、已知等差數列?an?的公差為d?d?0?，等比數列?bn?的公比為q，且q?1。設Sn?a1b1?a2b2??anbn，Tn?a1b1?a2b2??(?1)n?1anbn，n?N*。

（1）若a1?b1?1，d?2,q?3求S3的值；

2dq(1?q2n)*n?N（2）若b1?1，證明?1?q?S2n??1?q?T2n?，； 21?q（3）若正整數n滿足2?n?q，設k1,k2，kn和l1,l2,，2，,n ,ln是1的兩個不同的排列，c1?ak1b1?ak2b2?...?aknbn，c2?al1b1?al2b2?...?alnbn，證明c1?c2。

14、在數列?an?中，a1?0，且對任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?1成等差數列，其公差為dk。

（1）若dk?2k，證明a2k,a2k?1,a2k?2成等比數列；

（2）若對任意k?N*，a2k,a2k?1,a2k?2成等比數列，其公比為qk。

?1?

①設q1?1，證明??是等差數列；

q?1?k?n3k2?2?n?2?。

②若a2?2，證明?2n??2k?2ak15、已知數列{an}與{bn}滿足：bnan?an?1?bn?1an?2且a1?2,a2?4。（1）求a3,a4,a5的值；

3?(?1)n，n?N*，?0，bn?2（2）設cn?a2n?1?a2n?1，n?N*，證明?cn?是等比數列；

Sk7?(n?N*)。（3）設Sk?a2?a4?????a2k，k?N，證明?6k?1ak*4n

第四篇：天津市2013屆高三數學總復習之模塊專題：21 不等式證明(教師版)

不等式證明

證明不等式的基本方法有：求差（商）比較法，綜合法，分析法，有時用反證法，數學歸納法。均值定理、適度的放縮、恰當的換元是證明不等式的重要技巧。不等式的證明往往與其它知識（如函數的性質）綜合起來考查。例1：若0?x?1，證明loga(1?x)?loga(1?x)，（a?0且a?1）。

分析1：用作差法來證明。需分為a?1和0?a?1兩種情況，去掉絕對值符號，然后比較法證明。

解法1：當a?1時，因為0?1?x?1,1?x?1，所以loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x2)?0。當0?a?1時，因為0?1?x?1,1?x?1，所以loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x2)?0。綜上，loga(1?x)?loga(1?x)。

分析2：直接作差，然后用對數的性質來去絕對值符號。解法2：作差比較法。因為loga(1?x)?loga(1?x)?

1lga

lg(1?x)lga

?

lg(1?x)lga

2?

?lg(1?x)?lg(1?x)??

1lga

??lg(1?x)?lg(1?x)??

?1lga

lg(1?x)?0，所以loga(1?x)?loga(1?x)。

說明：解法1用分類相當于增設了已知條件，便于在變形中脫去絕對值符號；解法2用對數性質（換底公式）也能達到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡捷、明快。

補充：（比較法）已知a?2，求證：log解法1：log

?a?1?a?log

?a?1?

a?log

a

?a?1?。

1??log

a

?a?1??a

1log

a

?a?1?

?log

?a?1??a

?a?1????loga?a?1??。

loga?a?1?

因為a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，?log

?loga?a?1????loga?a?1????

?

?

?a?1??loga?a?1??a

2a

?

?

?log?a

?

1??

?

?log

a

a

2?

?1

所以，log

?a?1?

a?log

a

?a?1??0，命題得證。

解法2：因為a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，loglog

a

?a?1?a

?

?a?1?

?a?1?1，?

?loga?a?1????loga?a?1??loga?a?1?

log

a

由解法1可知：上式?1。故命題得證。例2：設a?b?0，求證：aabb?abba.分析：發現作差后變形、判斷符號較為困難。考慮到兩邊都是正數，可以作商，判斷比值與1的大小關系，從而證明不等式。證明：

abab

ba

ba

abab

b

aba

?a

a?b

?b

b?a

aa?baa，∵a?b?0，∴?1,a?b?0.∴()a?b?1 ?()bbb

a

b

b

a

∴?1.又∵ab?0，∴ab?ab.。

b

a

說明：本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法)。作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小。例3：對于任意實數a、b，求證

a?b

2?（a?b2)（當且僅當a?b時取等號）。

分析：這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等式中有（a?b2)，展開后很復雜。若使用綜合法，從重要不等式：a?b?2ab出發，再恰當地利用不等式的有關性質及“配方”的技巧可得到證明。證明：∵ a2?b2?2ab（當且僅當a2?b2時取等號）

兩邊同加(a?b):2(a?b)?(a?b)，即：

a?b2

4?（a?b2

22)（1）

又：∵a2?b2?2ab（當且僅當a?b時取等號），兩邊同加(a2?b2):2(a2?b2)?(a?b)2 ∴

a?b2

?（a?b2)，∴（a?b2

22)?（a?b2)（2）

由（1）和（2）可得

a?b2

?（a?b2

。)（當且僅當a?b時取等號）

說明：此題參考用綜合法證明不等式。綜合法證明不等式主要是應用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應用，一般式子中出現有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解。

例4：已知a、b、c?R?，a?b?c?1，求證?

a1

1b?1a1c??9.1b?1c

分析 顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分，則會把不等式

變得較復雜而不易得到證明。由于右邊是一個常數，故可考慮把左邊的式子變為具有“倒數”特征的形式，比如?

ab

ab，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數”的技巧。證明：∵a?b?c?1∴

?(1?

ba?ca)?（ab?1?

cb

1a

?

1b

a

c

?

?

1cb

c

?

a?b?c

a

?

a?b?c

bab)?（ca

??

a?b?c

cac)?（cb?

bc))?(?1)?3?（ba

?

∵∴

ba

?

1a

ab

?

?1b

1c

cacb

?2，同理：??2，??2。acbc

?3?2?2?2?9.?

說明：此題考查了變形應用綜合法證明不等式。題目中用到了“湊倒數”，這種技巧在很多不等式證明中都可應用，但有時要首先對代數式進行適當變形，以期達到可以“湊倒數”的目的。

例5：已知a?b?c，求證：

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?0。

分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程。（分析法書寫過程）證明1：為了證明只需要證明

1a?b

?

1b?c

?

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?0

1a?c

1a?b?

?1c?a,1

?0

∵a?b?c∴a?c?a?b?0,b?c?0∴∴

1a?b

?

1b?c

?

a?cb?c

?0

1a?c

成立∴

1a?b

?

1b?c

成立

（綜合法書寫過程）證明2：∵a?b?c∴a?c?a?b?0,b?c?0 ∴

1a?b

?

1a?c，1b?c

?

0，∴

1a?b

?

1b?c

?

1a?c

成立，∴

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?

成立

說明：學會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經常混在一起應用，混合應用時，應用語言敘述清楚。例6：已知a?b?0，求證：

(a?b)8a

?

a?b2

?ab?

(a?b)8b。

分析：欲證不等式看起來較為“復雜”，宜將它化為較“簡單”的形式，因而用分析法證明較好。證明：欲證

(a?b)8a

?

a?b2

?ab?

(a?b)8b，只須證

a?b2a

a?ab

(a?b)4a

?a?b?2ab?

(a?b)4b。

?a?b即要證??

?2a????(a???a?bb)???

?2b

2????，即要證

?a?b?

a?b2b。

即要證

a?2aba

b

?1?

a?2bab

b，即要證

?2?

a?b

b。

即要證1?

?2??1，即

ba

?1?

ab，即要證

ba

?1?

ab

（*）

∵a?b?0，∴（*）顯然成立，故

(a?b)8a

?

a?b2

?ab?

(a?b)8b

說明：分析法證明不等式，實質上是尋求結論成立的一個充分條件。分析法通常

采用“欲證—只要證—即證—已知”的格式。例7：設n是正整數，求證

12?

1n?11n?1

?

1n?21n?2

??????

12n12n

?1。

分析：要求一個n項分式

?的范圍，它的和又求不出來，可

以采用“化整為零”的方法，觀察每一項的范圍，再求整體的范圍。證明：由2n?n?k當k當k

?1時，?n(k?1,2,?,n)，得

??1n

12n12n

??

1n?k1n?2

??

1n1n

。......12n

?nn?1。

12n12n

??

n?11

；當k，∴

?2

時，n2n

?

?n

時，1n

n?n

?

1n?1

?

1n?2

???

說明1：用放縮法證明不等式，放縮要適應，否則會走入困境。例如證明

?

???

1n

?

。由

1k

?

1k?1

?

1k，如果從第3項開始放縮，正好可證明；如

果從第2項放縮，可得小于2。當放縮方式不同，結果也在變化。

說明2：放縮法一般包括：用縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮小；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮后便于求和。例8：求證1?證明：∵

1n213

?

???

1n

?2。

?1n(n?2)

?

1n

?

1n

?

1n(n?1)

?

1n?1，∴1?

????

1n

1?1?11??11??1

?1???????????????2??2。

n?12??23??n?1n?

說明：此題證明過程并不復雜，但思路難尋。本題所采用的方法也是解不等式時常用的一種方法，即放縮法。這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關鍵。例9：證明不等式：1?

12?13???

1n

?2n，?n?N?。

講解：此題為與自然數有關的命題，故可考慮用數學歸納法證明。解法1：①當n?1時命題成立。②假設n?k?k?N?時命題成立，即：1?

1213?13???

1k

?2k。

則當n?k?1時，不等式的左端?1?不等式的右端?2k?1。由于2k?1???2k?

??

?

???2k?1?1

????

1k

?

1k?1

?2k?

1k?1

k?1?k?

?

1k?1

?

2k?1?

k

?

1k?1

?

2k?1?

k?1

?

1k?1

?0。

所以，2k?

k?1

?2k?1，即n?k?1時命題也成立。

由①②可知：原不等式得證。

從上述證法可以看出：其中用到了k?

2k?1?

k

k?1這一事實，從而達到了

和

1k?1

之間的轉化，也即2?k?1?k?和

1k?1

之間的轉化，這就

提示我們，本題是否可以直接利用這一關系進行放縮？觀察原不等式，若直接證明，直接化簡是不可能的，但如果利用則可以達到目的，由此得解2。解法2：因為對于任意自然數k，都有

12?

1n?2

1k

?

2k?

k?1

?2

?

k?

k?1進行放縮，?

1k

?

2k?

k?1

?2

?

k?

k?1，所以，?

1??2

????

2?

?

0?2

????

3?2???2

??

n?n?1

?，從而不等式得證。

?2n

第五篇：天津市2013屆高三數學總復習之綜合專題：導數在研究函數中的應用 課堂驗收(教師版)（推薦）

導數在研究函數中的應用

解答下列各題。（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

1、設a?0，求函數f(x)?

全解P2472、已知函數f(x)?x?

實驗班P

53xx?ln(x?a)(x?(0,??))的單調區間。2x?a(2?lnx),a?0，討論f(x)的單調性。

3、已知函數f(x)?(x?k)ek。2

（1）求f(x)的單調區間。

（2）若?x?(0,??),f(x)?

實驗班P53

1e，求k的取值范圍。